2020年西藏自治区拉萨市高三一模数学试题

数学试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为实数集R ，集合2{|280}A x x x =+->，2{|log 1}B x x =<，则()A B =R （ ）A ．[4,2]-B ．[4,2)-C ．(4,2)-D ．(0,2)2．已知,a b ∈R ，若i a +与3i b -互为共轭复数，则2(i)a b -=（ ） A ．86i +B ．86i -C ．86i --D ．86i -+3．若双曲线22221(0)2x y m m m -=>+的离心率为2，则实数m 的值为（ ）A ．1B ．13C ．2D ．3 4．若π1cos()36α+=-，且π2π63α<<，则7πsin()12α+=（ ）A B C D ．5．在ABC Rt △中，90A =︒，AB AC a ==，在边BC 上随机取一点D ，则事件“AD >”发生的概率为（ ） A ．34 B ．23C ．12D ．136．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3π6+，则x 等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．77．已知抛物线24y x =的焦点为F ，抛物线上任意一点P ，且PQ y ⊥轴于点Q ，则PQ PF ⋅的最小值为（ ）A ．14-B ．12-C ．1-D ．18．“2020”含有两个数字0，两个数字2，“2121”含有两个数字1，两个数字2，则含有两个数字0，两个数字2的四位数的个数与含有两个数字1、两个数字2的四位数的个数之和为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．129．已知函数π()sin()(0)6f x x ωω=+>的两个零点之差的绝对值的最小值为π2，将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） ①函数()g x 的最小正周期为π；②函数()g x 的图象关于点7π(,0)12对称； ③函数()g x 的图象关于直线2π3x =对称；④函数()g x 在π[,π]3上单调递增． A ．①②③④B ．①②C ．②③④D ．①③10．杨辉三角是二项式系数在只角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．在欧洲，帕斯卡(16231662～)在1654年发现这一规律，比杨辉要迟了393年．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，⋯，则在该数列中，第37项是（ ）A ．153B ．171C ．190D ．21011．已知双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C 的右支于点A ，若||||OA OF =，则双曲线的离心率为（ ） A 3B 5C ．2D 3112．设函数()f x 的定义域为R ，()f x '是其导函数，若3()()0(0)1f x f x f +'>=，，则不等式3()xf x e >－的解集是（ ）A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,0)-∞D ．(0,1)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知函数3log (1)2,0()(3),0x x f x f x x +-≥⎧=⎨+<⎩，则20()20f =－________． 14．已知7270127(21)x a a x a x a x -=++++，则2a =________．15．已知抛物线29y x =的焦点为F ，其准线与x 轴相交于点M ，N 为抛物线上的一点，6|2||NF MN =，则点F 到直线MN 的距离为___________． 16．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2()2cos cos sin sin A C b c B C -=，2a =，则ABC △的面积的最大值是________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在等差数列{}n a 中，46a =-，且235a a a ，，成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的公差不为0，设3n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 是菱形，2AC BC ==，1π3CBB ∠=，点A 在平面11BCC B 上的投影为棱1BB 的中点E ． （1）求证：四边形11ACC A 为矩形；（2）求二面角11E B C A --的平面角的余弦值．19．（12分）“互联网 ”是“智慧城市”的重要内士，A市在智慧城市的建设中，为方便市民使用互联网，在主城区覆盖了免费WiFi．为了解免费WiFi在h市的使用情况，调査机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调査的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到如下列联表(单位：人)：（1）根据以上数据，判断是否有90%的把握认为A 市使用免费WiFi 的情况与年龄有关； （2）将频率视为概率，现从该市45岁以上的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3人中“偶尔或不用免费WiFi ”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，数学期望()E X 和方差()D x ．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆心为坐标原点的单位圆O 在C 的内部，且与C 有且仅有两个公共点，直线2x +=与C 只有一个公共点． （1）求C 的标准方程；（2）设不垂直于坐标轴的动直线l 过椭圆C 的左焦点F ，直线l 与C 交于A ，B 两点，且弦AB 的中垂线交x 轴于点P ，试求ABP △的面积的最大值．21．（12分）已知函数2()xf x e x kx =--（其中e 为自然对数的底，k 为常数）有一个极大值点和一个极小值点． （1）求实数k 的取值范围；（2）证明：()f x 的极大值不小于1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为1x ty bt=⎧⎨=-+⎩(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立的极坐标系中，曲线C 的方程为22sin cos 0θρθ-=．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，且4AB =，求b 的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()321||||(0)f x x m x m -=+->． （1）若1m =，解不等式()4f x ≥；（2）若函数()f x 的图象与x 轴围成的三角形的面积为203，求m 的值答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D 【解析】依题意，[4,2]A =-R，(0,2)B =，则()(0,2)A B =R ．2．【答案】B【解析】因为3a =，1b =，所以2(3i)86i -=-． 3．【答案】A【解析】2=，解得1m =（1m =-舍去）． 4．【答案】B 【解析】因为π2π63α<<，所以πππ23α<+<，所以πsin()03α+>，所以πsin()3α+==所以7πππππππsin()sin()sin()cos cos()sin 12343434αααα+=++=+++1262=-⨯=． 5．【答案】C【解析】设事件事件“AD >”为M ， 设BC 的中点为P ，则4AD a ==>，解得4DP a >，所以2()1()2a a P M -==． 6．【答案】A【解析】由三视图知，该几何体由四分之一个圆锥与三棱锥组成， 所以体积为：21111π3333π64332V x x =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+，解得4x =． 7．【答案】A【解析】因为(1,0)F ，设点2(,2)P m m ，则(0,2)Q m ，则2(,0)PQ m =-，2(1,2)PF m m =--，则2422111()244PQ PF m m m ⋅=-+=--≥-． 8．【答案】B【解析】第一类：含有两个数字0、两个数字2的四位数的个数为23C 3=，第二类：含有两个数字1，两个数字2的四位数的个数为24C 6=，由分类加法计数原理，得满足题意的个数为369+=． 9．【答案】B【解析】由题意知函数π()sin()(0)6f x x ωω=+>的最小正周期为π，则2π2πω==， 所以π()sin(2)6f x x =+． 将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度得到函数ππ5πsin[2()]sin(2)366y x x =++=+的图象，即5π()sin(2)6g x x =+， 则()g x 的最小正周期为2ππ2T ==，故①正确； 令5π2π()6x k k +=∈Z ，解得π5π()212k x k =-∈Z ， 令2k =，得函数()g x 的图象关于点7π(,0)12对称，故②正确； 令5ππ2π()62x k k +=+∈Z ，解得ππ()26k x k =-∈Z ． 令1,2k =，得函数()g x 的图象关于直线π3x =，5π6x =对称，故③错误； 令π5ππ2π22π()262k x k k -≤+≤+∈Z ，得2ππππ()36k x k k -≤≤-∈Z ， 所以函数()g x 在π5π[,]36上单调递增，故④错误． 10．【答案】C【解析】考查从第3行起每行的第三个数：1，312=+，6123=++，101234=+++， 归纳推理可知第k （3k ≥）行的第3个数为12(2)k +++-，在该数列中，第37项为第21行第3个数， 所以该数列的第37项为19(191)12191902++++==． 11．【答案】B【解析】设双曲线左焦点为F '，因为OA OF OF c '===，所以90FAF '∠=︒，设点4(,)3A m m ，则2163()()95m c m c m m c =+-⇒=，所以点34(,)55A c c ， 所以222291612525c c a b -=， 所以224222216925991625251e e e e e e e -=⇒--=--42222950250(95)(5)05e e e e e e ⇒-+=⇒--=⇒=⇒=12．【答案】A【解析】令3()()xg x e f x =，则333()()()xxe f x e f x g x '=+'，因为3()()0f x f x '+>，所以333()()0x xe f x e f x '+>，所以()0g x '>，所以函数3()()xg x e f x =在R 上单调递增， 而3()xf x e>－可化为3()1xe f x >等价于()(0)g x g >，解得0x >，所以不等式3()xf x e >－的解集是(0,)+∞．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】1-【解析】3()()(1)(2)log (21)2120202017f f f f ===-==+-=-－－．14．【答案】84-【解析】52527C 2(1)84a =⨯⨯-=-．15．【答案【解析】由抛物线29y x =，可得9||2MF =， 设点N 到准线的距离为d ，由抛物线定义可得||d NF =，|2||NF MN =，由题意得||cos||||d NF NMF MN MN ∠===，所以sin NMF ∠==，所以点F 到直线MN 的距离为9||sin 2MF NMF ∠==16．【答案【解析】由2()2cos cos sin sin A C b c B C -=及正弦定理， 得222cos cos sin sin si (n )A C B B C -=．显然sin 0B ≠，所以222cos cos sin A C C -=．所以222cos sin cos 1A C C =+=，所以1cos 2A =．又(0,π)A ∈，所以sin 2A =，所以2222b c bc +-=，则2242bc b c bc +=+≥， 所以4bc ≤，当且仅当2b c ==时取等号，所以ABC △的面积：11sin 22S bc A bc ===≤故ABC △．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）见解析；（2）129988nn n n T -=-+-．【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，因为235a a a ，，成等比数列，所以2325a a a =，又46a =-，所以2(6)(62)(6)d d d --=---+，即3(2)0d d +=，解得0d =或2d =-． 当0d =时，6n a =-；当2d =-时，4(4)6(4)(2)22n a a n d n n -=-+--=-=+． （2）若数列{}n a 的公差不为0，由（1）知，22n a n =-，则22223nn b n -=-+，所以1211[1()](022)999128819n n n n n n T n -⨯-+-=+=-+--．18．【答案】（1）证明见解析；（2）217-． 【解析】（1）因为AE ⊥平面11BB C C ，所以1AE BB ⊥， 又因为1112BE BB ==，2BC =，π3EBC ∠=，所以3CE =， 因此222BE CE BC +=，所以1CE BB ⊥， 因此1BB ⊥平面AEC ，所以1BB AC ⊥， 从而1AA AC ⊥，即四边形11ACC A 为矩形．（2）如图，以E 为原点，EC ，1EB ，EA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，所以(0,0,1)A ，1(0,2,1)A ，1(0,1,0)B ，3,0,0)C ．平面1EB C 的法向量(0,0,1)=m ，设平面11A B C 的法向量为(,,)x y z =n ， 由1303CB x y y x ⊥⇒-+=⇒=n ，由110B A y z ⊥⇒+=n ， 令13x y =⇒=3z =3,3)=-n ，所以321cos ,17-<>==⨯m n ， 所以二面角11E B C A --的余弦值是217-． 19．【答案】（1）没有90%的把握认为；（2）分布列见解析，6()5E X =，18()25D X =．【解析】（1）由列联表可知22200(70406030) 2.19813070100100K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯， 因为2.198 2.706<，所以没有90%的把握认为A 市使用免费WiFi 的情况与年龄有关． （2）由题意可知2(3,)5XB ，X 的所有可能取值为0,1,2,3，033327(0)C ()5125P X ===，1232354(1)C ()()55125P X ==⨯=， 2232336(2)C ()55125P X ==⨯=，33328(3)C ()5125P X ===． 所以X 的分布列为26()355E X =⨯=，2218()3(1)5525D X =⨯⨯-=． 20．【答案】（1）2212x y +=；（236．【解析】（1）依题意，得1b =，将22x =-代入222(2)240a y a +-+-=，由22324(2)(4)0Δa a =-+-=，22a =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=． （2）由（1）可得左焦点(1,0)F -，由题设直线l 的方程为1(0)x my m =-≠， 代入椭圆方程，得22(2)210m y my +--=． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12222m y y m +=+，12212y y m -=+， 所以121224()22x x m y y m -+=+-=+，AB 的中点为222(,)22m Q m m -++， 设点0(,0)P x ，则202(2)PQ m k m m x -==-++，解得0212x m -=+， 故222012121222|1|12(1||||()422(2)ABPx m m S PF y y y y y y m +++=⋅-=+-=+△， 令21(1)t m t =+>，则221m t =-，且3322ABPt S t t t==++△，设321()(1)f x t t t t=++>，则224423(1)()1t t t f t t t t ++'=--=，所以ABP S ≤=△ABP △的面积的最大值为16．21．【答案】（1）(22ln 2,)-+∞；（2）证明见解析．【解析】（1）()2xf x e x k '=--，由()02xf x e x k '=⇒-=， 记()2xg x e x =-，()2xg x e '=-，由()0ln 2g x x '=⇒=，且ln 2x <时，()0g x '<，()g x 单调递减，()(22ln 2,)g x ∈-+∞；ln 2x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，()(22ln 2,)g x ∈-+∞，由题意，方程()g x k =有两个不同解，所以(22ln 2,)k ∈-+∞．（2）解法一：由（1）知()f x 在区间(,ln 2)-∞上存在极大值点1x ，且112xk e x =-，所以()f x 的极大值为11122111111()(2)(1)xxxf x e x e x x x e x =---=-+，记2()(1)((,ln 2))t h t t e t t =-+∈-∞，则()2(2)t th t te t t e '=-+=-， 因为(,ln 2)t ∈-∞，所以20t e ->，所以0t <时，()0h t '<，()h t 单调递减；0t >时，()0h t '>，()h t 单调递增， 所以()(0)1h t h ≥=，即函数()f x 的极大值不小于1．解法二：由（1）知()f x 在区间(,ln 2)-∞上存在极大值点1x ，且112xk e x =-，所以()f x 的极大值为11122111111()(2)(1)xxxf x e x e x x x e x =---=-+， 因为110x ->，111xe x ≥+，所以21111()(1)(1)1f x x x x ≥-++=，即函数()f x 的极大值不小于1．22．【答案】（1）22x y =；（2）b =【解析】（1）因为22sin cos 0θρθ-=，所以222sin cos 0ρθρθ-=，代入sin cos y xρθρθ=⎧⎨=⎩，得220y x -=，即22x y =．（2）由1x ty bt=⎧⎨=-+⎩，得1y bx =-+，联立212y bx x y=-+⎧⎨=⎩，消去y ，得2220x bx -+=，2(2)420Δb =--⨯>，解得b >b <设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122x x b +=，122x x ⋅=．又||4AB ===，解得b = 23．【答案】（1）(][),71,-∞-+∞；（2）2m =． 【解析】（1）若1m =，()31||2||2f x x x -=+-，当13x <-时，()4f x ≥可化为(31)(22)4x x -++-≥，解得7x ≤-； 当113x -≤<时，()4f x ≥可化为(31)(22)4x x ++-≥，解得1x ≥，无解； 当1x ≥时，()4f x ≥可化为(31)(22)4x x +--≥，解得1x ≥， 综上，不等式()4f x ≥的解集是(][),71,-∞-+∞．（2）因为()3|||2|1f x x m x -=+-，又因为0m >，所以2()3()52(1)32(1)m x m x m f x x m x x m x ⎧---<-⎪⎪⎪=+--≤<⎨⎪++≥⎪⎪⎩，因为2()2033m m f -=--<，(1)30f m =+>， 所以()f x 的图象与x 轴围成的ABC △的三个顶点的坐标为(2,0)A m --，2(,0)5mB -，2(,2)33m m C ---， 所以214(3)20||||2153ABCC m S AB y +=⋅==△，解得2m =或8m =-（舍去）。