垂直关系的性质
北师大版高一数学必修2《垂直关系的性质》
6.2 垂直关系的性质知识点一：直线和平面垂直的性质1.基本性质文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线. 符号语言：,l m l m αα⊥⊂⇒⊥图形语言：2.性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：,//l m l m αα⊥⊥⇒图形语言：3．直线与平面垂直的其他性质（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．（2）若l α⊥于A ，AP l ⊥，则AP α⊂．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．要点诠释：线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化．知识点二、平面与平面垂直的性质1．性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：,,,m l l m l αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥图形语言：要点诠释：面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法．2．平面与平面垂直性质定理的推论如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．知识点三、垂直关系的综合转化线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁．垂直间的关系可按下面的口诀记忆：线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清．平面之内两直线，两线交于一个点，面外还有一条线，垂直两线是条件．面面垂直要证好，原有图中去寻找，若是这样还不好，辅助线面是个宝．先作交线的垂线，面面转为线和面，再证一步线和线，面面垂直即可见．借助辅助线和面，加的时候不能乱，以某性质为基础，不能主观凭臆断，判断线和面垂直，线垂面中两交线．两线垂直同一面，相互平行共伸展，两面垂直同一线，一面平行另一面．要让面和面垂直，面过另面一垂线，面面垂直成直角，线面垂直记心间．【典型例题】类型一：直线与平面垂直的性质例1．设a，b为异面直线，AB是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）．（1）若a，b都平行于平面α，求证：AB⊥α；αβ=，求证：AB∥c．（2）若a，b分别垂直于平面α，β，且c例2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E 是PC的中点．（1）证明：AE⊥CD；（2）证明：PD⊥平面ABE．举一反三：【变式1】如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E 作EF⊥SC交SC于F．（1）求证：AF⊥SC；（2）若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD．【变式2】如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF ⊥平面ACE。
第11讲 空间中垂直关系的判定与性质
空间中垂直关系的判定与性质一．基础知识整合1.直线与平面存垂直（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α.直线l 叫作平面α的垂线，平面α叫作直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫作垂足．（2）画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图（3）判定定理文字语言 符号语言 图形语言如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥b a αb αa ∩b ＝P ⇒l ⊥α2.二面角（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．（2）二面角的记法：如图，记作：二面角α－AB －β，也可记作2∠α—AB —β.（3）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，其中平面角是直角的二面角叫作直二面角．3.平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．（2）判定定理文字语言符号语言 图形语言 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直⎭⎪⎬⎪⎫a αa ⊥β⇒α⊥β 4.直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言 符号语言 如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b文字语言图形语言 符号语言 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝l a αa ⊥l ⇒a ⊥β 题型一：线面垂直的判定 例1：如图所示，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，且S 为所在平面外一点，满足SA ＝SB ＝SC .D为AC 的中点．求证：SD ⊥平面ABC . 证明：∵在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，且D 为AC 的中点，∴BD ＝AD ＝DC .又∵SA ＝SB ＝SC ，SD 为公共边，∴△SBD ≌△SAD ≌△SCD ，∴∠SDB ＝∠SDA ＝∠SCD ＝90°，∴SD ⊥AD ，SD ⊥BD ，∵AD ∩BD ＝D ，∴SD ⊥平面ABC .变式训练1：如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的点，P A ⊥⊙O 所在的平面，AF ⊥PC 于F ，求证：BC ⊥平面PAC . 证明：因为AB 为⊙O 的直径，所以BC ⊥AC .因为P A ⊥平面ABC ，BC平面ABC ，所以P A ⊥BC .因为P A ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面P AC .题型二：面面垂直的判定例2：已知四面体ABCD 的棱长都相等，E ，F ，G ，H 分别为AB ，AC ，AD ，BC 的中点．求证：平面EHG ⊥平面FHG .证明：如图，取CD 的中点M ，连接HM ，MG ，FM ，则四边形MHEG为平行四边形．连接EM 交HG 于O ，连接FO .在△FHG 中，O 为HG的中点，且FH ＝FG ，所以 FO ⊥HG .同理可证FO ⊥EM .又HG ∩EM ＝O ，所以FO ⊥平面EHMG .又FO 平面FHG ，所以平面EHG ⊥平面FHG .变式训练2：如图，在空间四边形ABDC 中，AB ＝BC ，CD ＝DA ，E 、F 、G 分别为CD 、DA 和对角线AC 的中点．:求证：平面BEF ⊥平面BDG .证明：∵AB ＝BC ，CD ＝AD ，G 是AC 的中点，∴BG ⊥AC ，DG ⊥AC ，又EF ∥AC ，∴EF ⊥BG ，EF ⊥DG .∴EF ⊥平面BGD .∵EF 平面BEF ，∴平面BDG ⊥平面BEF .题型三：垂直关系的综合应用例3：如图，在三棱锥P—ABC中，P A⊥底面ABC，P A＝AB，∠BCA＝90°.点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面P AC；(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．证明：(1)∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.(2)存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角．由(1)知BC⊥平面P AC，又∵DE∥BC，∴DE⊥平面P AC.又∵AE平面P AC，PE平面P AC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．又∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥AC.∴∠P AC＝90°.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.这时，∠AEP＝90°.故存在点E使得二面角A—DE—P是直二面角．变式训练3：如图所示，P A⊥平面ABC，AC⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝6，求二面角P—BC—A的大小．解：∵P A⊥平面ABC，BC平面ABC，∴P A⊥BC.又AC⊥BC，P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.又PC平面P AC，∴BC⊥PC.又BC⊥AC，∴∠PCA为二面角P—BC—A的平面角．在Rt△PBC中，∵PB＝6，BC＝2，∴PC＝2.在Rt△ABC中，∵AB＝2，BC＝2，∴AC＝ 2.∴在Rt△P AC中，cos∠PCA＝2，∴2∠PCA＝45°，即二面角P—BC—A的大小为45°.题型四：线面垂直性质定理的应用例4：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.证明：如图所示，连接AB1、B1C、BD.∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD.∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD，且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1.∵BD1平面BDD1，∴BD1⊥AC.同理可证BD1⊥B1C.∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又EF⊥AC，且AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.变式训练3：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.若G是AB的中点，则E在A1D上什么位置时，能使EG⊥平面AB1C?解：若EG⊥平面AB1C，因为BD1⊥平面AB1C，所以EG∥BD1.因为G为AB的中点，所以E为AD1的中点，即E为A1D的中点时，EG⊥平面AB1C.题型五：面面垂直性质定理的应用例5：已知平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，求证：P A⊥平面ABC.证明：如图所示，在BC上任取一点D，作DF⊥AC于F，DG⊥AB于G，∵平面P AC⊥平面ABC，且平面P AC∩平面ABC＝AC，∴DF⊥平面P AC，又∵P A平面P AC，∴DF⊥P A，同理DG⊥P A，又∵DF∩DG＝D且DF平面ABC，DG平面ABC，∴P A⊥平面ABC.变式训练5：如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．求证：AM⊥PM.证明：如图连接AP.矩形ABCD中，AD⊥DC，BC⊥DC，又∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝DC，∴AD⊥平面PDC，BC⊥平面PDC，又∵PD平面PDC，PC平面PDC，∴AD⊥PD，BC⊥PC，在Rt△P AD和Rt△PMC中，易知AP2＝AD2＋PD2＝(22)2＋22＝12，PM2＝PC2＋MC2＝22＋(2)2＝6，又∵Rt△ABM中，AM2＝AB2＋BM2＝22＋(22)2＝6，∴AP2＝PM2＋AM2，∴AM⊥PM.题型六：垂直关系的综合应用例6：如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，F A＝FE，∠AEF＝45°.(1)求证：EF⊥平面BCE；(2)设线段CD、AE的中点分别为P，M，求证：PM∥平面BCE.证明：(1)因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD ＝AB，所以BC⊥平面ABEF.所以BC⊥EF.因为△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，所以∠AEB＝45°.又因为∠AEF＝45°，所以∠FEB＝90°，即EF⊥BE.因为BC平面BCE，BE平面BCE，BC∩BE＝B，所以EF⊥平面BCE.(2)取BE的中点N，连接CN，MN，则MN綊12AB綊PC，所以PMNC为平行四边形．所以PM∥CN.因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，所以PM∥平面BCE.变式训练6：如图，四棱锥S－ABCD中，SD⊥平面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD ＝1，SD＝2，BC⊥BD，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC.(1)证明：DE⊥平面SBC；(2)证明：SE＝2EB.证明：(1)连接BD，∵SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，又∵BC⊥BD，BD∩SD＝D，∴BC⊥平面BDS，∴BC⊥DE. 作BK⊥EC，K为垂足，因平面EDC⊥平面SBC，故BK⊥平面EDC，BK⊥DE. 又∵BK平面SBC，BC平面SBC，BK∩BC＝B，∴DE⊥平面SBC. (2)由(1)知DE⊥SB，DB＝2AD＝ 2.∴SB＝SD2＋DB2＝6，DE＝SD·DBSB＝233，EB＝DB2－DE2＝63，SE＝SB－EB＝263，∴SE＝2EB.三.方法规律总结1．线面垂直的判定定理是证明线面垂直的主要方法，证明的关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直．2．在证明面面垂直时，一般方法是从一个平面内寻找另一个平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决(所作辅助线要有利于题目的证明)，即由线面垂直证面面垂直．3．空间中线线、线面、面面之间的垂直关系可以相互转化，其转化关系如下：4．会用线面垂直的性质定理证明平行问题，用面面垂直的性质定理证明垂直问题．四：课后练习作业一、选择题1．设l、m为不同的直线，α为平面，且l⊥α，下列为假命题的是(B)A．若m⊥α，则m∥l B．若m⊥l，则m∥αC．若m∥α，则m⊥l D．若m∥l，则m⊥α【解析】A中，若l⊥α，m⊥α，则m∥l，所以A正确；B中，若l⊥α，m⊥l，则m∥α或mα，所以B错误；C中，若l⊥α，m∥α，则m⊥l，所以C正确；若l⊥α，m∥l，则m⊥α，所以D正确．2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是(A)A．平面A1DCB1 B．平面DD1C1C C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB【解析】连接A1D、B1C，由ABCD—A1B1C1D1为正方体可知，AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D.故AD1⊥平面A1DCB1.3．如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是(C)A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面P AE⊥平面ABC【解析】由题意知BC∥DF，且BC⊥PE，BC⊥AE.∵PE∩AE＝E，∴BC⊥平面P AE，∴BC∥平面PDF成立，DF⊥平面P AE成立，平面P AE⊥平面ABC也成立．4．设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是(C) A．若l⊥α，α⊥β，则lβB．若l∥α，α∥β，则lβC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β【解析】A错，可能l∥β；B错，可能l∥β；C正确；D错，不一定l⊥β.5．设平面α⊥平面β，且α∩β＝l，直线aα，直线bβ，且a不与l垂直，b不与l垂直，那么a与b (B)A．可能垂直，不可能平行B．可能平行，不可能垂直C．可能垂直，也可能平行D．不可能垂直，也不可能平行【解析】当a，b都平行于l时，a与b平行，假设a与b垂直，如图所示，由于b与l不垂直，在b上任取一点A，过点A作b′⊥l，∵平面α⊥平面β，∴b′⊥平面α，从而b′⊥a，又由假设a⊥b易知a⊥平面β，从而a⊥l，这与已知a不与l垂直矛盾，∴假设不正确，a与b不可能垂直．6．空间四边形ABCD，若AB、AC、AD与平面BCD所成角相等，则A点在平面BCD的射影是△BCD的(A)A．外心B．内心C．重心D．垂心【解析】设A点在平面BCD内的射影为O.可知，△OAB≌△OAC≌△OAD.∴OB＝OC＝OD，∴点O为外心．7．下列说法中正确命题的个数为(B)①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；③如果一条直线与平面内的一条直线垂直，则该直线与此平面必相交；④如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必在这个平面内；⑤如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任一直线．A．0B．1C．2D．3【解析】如图(1)所示，l与α相交(不垂直)，此时也有无数条直线与l垂直．故①②错误；如图(2)所示，l与α平行，此时平面内也存在无数条直线与l垂直，故③④错误；如图(3)所示，直线l与平面α的垂线m垂直，但l不在平面α内；由线面垂直的定义可知，⑤正确．8．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边BC，CD的中点，H是EF的中点，现沿AE、AF，EF把这个正方形折成一个几何体，使B、C、D三点重合于点G，则下列结论中成立的是(A)A．AG⊥平面EFG B．AH⊥平面EFGC．GF⊥平面AEF D．GH⊥平面AEF【解析】∵AG⊥GF，AG⊥GE，GF∩GE＝G，∴AG⊥平面EFG.9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列命题正确的是(B)A．平面ADC⊥平面BDCB．平面ABD⊥平面ABCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC【解析】在图①中，∵∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠ADB＝∠ABD＝45°.∵AD∥BC，∴∠DBC＝45°.又∵∠BCD＝45°.∴∠BDC＝90°，即BD⊥CD.在图②中，此关系仍成立．∵平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD.∵BA平面ADB，∴CD⊥AB.∵BA⊥AD，∴BA⊥平面ACD.∵BA平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD.10．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P在(A)A．线段B1C上B．线段BC1上C．BB1中点与CC1中点的连线上D．B1C1中点与BC中点的连线上【解析】连接AC，B1C，AB1，由线面垂直的判定可知BD1⊥平面AB1C.若AP平面AB1C，则AP⊥BD1.这样只要P在B1C上移动即可．二、填空题11．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面ACD1与平面BB1D1D的位置关系是________．垂直【解析】∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又∵D1D⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴D1D⊥AC.∵D1D∩DB＝D，∴AC⊥平面BB1D1D.∵AC平面ACD 1，∴平面ACD1⊥平面BB1D1D.12．如图所示，已知P A⊥平面α，PB⊥平面β，垂足分别为A、B，α∩β＝l，∠APB＝50°，则二面角α－l－β的大小为________．130°【解析】如图，设平面P AB∩l＝O，连接AO，BO，AB，∵P A⊥α，lα，∴P A⊥l.同理PB⊥l，而PB∩P A＝P，∴l⊥平面P AB，∴l⊥AO，l⊥BO，∴∠AOB即为二面角α－l－β的平面角．结合图形知∠AOB＋∠APB＝180°，∴∠AOB＝130°.13．如图，已知平面α⊥平面β，在α与β的交线l上，取线段AB＝4，AC、BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3 cm，BD＝12 cm，则CD＝______.13 cm【解析】连接BC.因为平面α⊥平面β，且α∩β＝l，又因为BD平面β，且BD⊥l，所以BD⊥平面α.又∵BC平面α，∴BC⊥BD.所以△CBD也是直角三角形．在Rt△BAC中，BC＝32＋42＝5.在Rt△CBD中，CD＝52＋122＝13.所以CD长为13 cm.14．α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α与β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.若①③④，则②(或若②③④，则①)【解析】利用面面垂直的判定，可知①③④⇒②为真；利用面面垂直的性质，可知②③④⇒①为真．15．如图平面ABC ⊥平面BDC ，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，且AB ＝AC ＝a ，则AD ＝_______a【解析】如图所示，取BC 的中点E ，连接ED ，AE ，∵AB ＝AC ，∴AE ⊥BC ，∵平面ABC ⊥平面BDC .∴AE ⊥平面BDC ，∴AE ⊥ED .在Rt △ABC 和Rt △BCD 中，AE ＝ED ＝12BC ＝22a ，∴在Rt △AED 中，AD ＝AE 2＋ED 2＝a .三、解答题16．如图所示，AB 是圆O 的直径，P A 垂直于圆O 所在的平面，M 是圆周上任意一点，AN⊥PM ，垂足为N .求证：AN ⊥平面PBM .证明:设圆O 所在的平面为α，∵P A ⊥α，且BM α，∴P A ⊥BM .又∵AB 为⊙O 的直径，点M 为圆周上一点，∴AM ⊥BM ，∵直线P A ∩AM ＝A ，∴BM ⊥平面P AM .又AN 平面P AM ，∴BM ⊥AN .这样，AN 与PM ，BM 两条相交直线垂直．故AN ⊥平面PBM .17．如图所示，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA ，SB ，SC 且∠ASB ＝∠ASC ＝60°，∠BSC ＝90°.求证：平面ABC ⊥平面BSC .【证明】（法一）取BC 的中点D ，连接AD ，SD .∵∠ASB ＝∠ASC ，且SA ＝SB＝AC ，∴AS ＝AB ＝AC .∴AD ⊥BC .又△ABS 是正三角形，△BSC 为等腰直角三角形，∴BD ＝SD .∴AD 2＋SD 2＝AD 2＋BD 2＝AB 2＝AS 2.由勾股定理的逆定理，知AD ⊥SD .又∵SD ∩BC ＝D ，∴AD ⊥平面BSC .又AD 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC .（法二）同法一证得AD ⊥BC ，SD ⊥BC ，则∠ADS即为二面角A —BC —S 的平面角．∵∠BSC ＝90°，令SA＝1，则SD ＝22，AD ＝22，∴SD 2＋AD 2＝SA 2.∴∠ADS ＝90°.∴平面ABC ⊥平面BSC .18．如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，分别交AC 、SC 于D 、E ，且SA ＝AB ＝a ，BC ＝2a . (1)求证：SC ⊥平面BDE ；(2)求平面BDE 与平面BDC 所成二面角的大小．(1)证明：∵SA ⊥平面ABC ，又AB 、AC 、BD 平面ABC ，∴SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，SA ⊥BD ，∴SB ＝SA 2＋AB 2＝2a .∵BC ＝2a ，∴SB＝BC .∵E 为SC 的中点，∴BE ⊥SC .又DE ⊥SC ，BE ∩DE ＝E ，∴SC ⊥平面BDE .(2)由(1)及BD 平面BDE ，得BD ⊥SC .又知BD ⊥SA ，∴BD ⊥平面SAC .∴BD ⊥AC 且BD ⊥DE .∴∠CDE 为平面BDE 与平面BDC 所成二面角的平面角．∵AB ⊥BC ，AC ＝AB 2＋BC 2＝3a .∴Rt △SAC 中，tan ∠SCA ＝SA AC ＝33，∴∠SCA ＝30°.∴∠CDE ＝60°，即平面BDE 与平面BDC 所成二面角为60°.19.如图，已知三棱锥A BPC -中，AP PC ⊥，AC BC ⊥，M为AB 中点，D 为PB 中点，且PMB ∆为正三角形.（1）求证：DM APC ∥平面；（2）求证：ABC APC ⊥平面平面.证明:（1）∵M 为AB 中点，D 为PB 中点，∴MD //AP ,又MD不在平面APC 上，∴MD //平面APC .（2）∵△PMB 为正三角形，又D 为PB 中点. ∴MD ⊥PB .又由（1）知MD //A P , ∴AP ⊥PB . 又AP ⊥PC , 且PB ∩PC =P ，∴AP ⊥平面PBC , ∴AP ⊥BC , 又∵AC ⊥BC , 且AP ∩AC =A ∴BC ⊥平面APC , 又BC 在平面ABC 内，∴平面ABC ⊥平面APC .20．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中 点，MN ⊥平面A 1DC .求证：(1)MN ∥AD 1；(2)M 是AB 的中点．证明：(1)∵ADD 1A 1为正方形，∴AD 1⊥A 1D .又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，AD 1平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1.∵A 1D ∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC .又∵MN ⊥平面A 1DC ，∴MN ∥AD 1. MD B P C A(2)连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC .∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON ∥AM .又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM .∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点．21．如图所示，P 是四边形ABCD 所在平面外一点，ABCD 是∠DAB ＝60°且边长为a 的菱形，侧面P AD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD . (1)若G 为AD 边的中点，求证：BG ⊥平面P AD ；(2)求证：AD ⊥PB .证明：(1)连接PG ，BD .由题知△P AD 为正三角形，G 是AD 的中点，∴PG ⊥AD .又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PG 平面P AD ，∴PG ⊥平面ABCD ，∴PG ⊥BG .又∵四边形ABCD 是菱形且∠DAB ＝60°，∴△ABD 是正三角形，∴BG⊥AD .又AD 平面P AD ，PG 平面P AD ，且AD ∩PG ＝G ，∴BG ⊥平面P AD .(2)由(1)可知BG ⊥AD ，PG ⊥AD .又BG 平面PBG ，PG 平面PBG ，且BG ∩PG ＝G ，AD ⊥平面PBG ，∴AD ⊥PB .。
空间几何中的平行与垂直
空间几何中的平行与垂直空间几何是研究三维空间中的几何关系的学科，其中平行和垂直是两个重要的概念。
平行和垂直关系是我们日常生活和工作中常常接触到的概念，它们在建筑设计、物体摆放和路线规划等方面都有着广泛的应用。
本文将围绕空间几何中的平行和垂直展开讨论。
一、平行概念与性质在空间几何中，平行是指两个直线或两个平面始终保持相互平行的关系。
如图所示，直线l和m平行，用符号表示为l∥m。
平行关系具有以下性质：1. 平行关系是一个等价关系，即自反性、对称性和传递性。
自反性指一条直线自己与自己平行，对称性是指如果直线l与直线m平行，则直线m与直线l也平行，传递性是指如果直线l与直线m平行，直线m与直线n平行，则直线l与直线n平行。
2. 如果一条直线与一个平面平行，那么该直线上的任意一点与该平面上的任意一点的连线垂直于该平面。
3. 平行关系与直线的切比雪夫性质密切相关。
切比雪夫性质是指在点P到直线l上的一点A的距离与点P到直线l上另一点B的距离之比，在A与B的所有可能位置之间都保持不变。
二、垂直概念与性质在空间几何中，垂直是指两个直线或两个平面相交成直角的关系。
垂直关系也称为垂直关系或直角关系。
如图所示，直线l和m垂直，用符号表示为l⊥m。
垂直关系具有以下性质：1. 垂直关系也是一个等价关系，即自反性、对称性和传递性。
自反性指一条直线与自己垂直，对称性是指如果直线l与直线m垂直，则直线m与直线l也垂直，传递性是指如果直线l与直线m垂直，直线m与直线n垂直，则直线l与直线n垂直。
2. 如果两个平面相交成直角，那么这两个平面互相垂直。
3. 垂直关系与直线的切比雪夫性质也存在关联。
在垂直关系中，点P到直线l上的一点A的距离与点P到直线l上另一点B的距离之比，与A与B的位置无关。
三、平行和垂直的判断方法在实际问题中，判断两条直线或两个平面是否平行或垂直是非常重要的。
以下是常见的判断方法：1. 对于直线而言，可以通过观察其斜率来判断平行关系。
垂直关系的性质(最新课件)
1．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是 棱DD1的中点，则过M且与直线AB和B1C1 都垂直的直线有( )条
A．1
B．2
C．3
D．无数条
解析：显然DD1是满足条件的一条，如果还有一条l满 足条件，则l⊥B1C1，l⊥AB，又AB∥C1D1，则 l⊥C1D1， B1C1∩C1D1＝C1，∴l⊥平面B1C1D1. 同理DD1⊥平面B1C1D1，则l∥DD1.又l与DD1都过M.这 是不可能的，因此只有DD1一条满足条件． 答案：A
3．(2011·郓城高一模块测试)如图，已知PA⊥平面ABC， 平面APB⊥平面BPC. 求证：AB⊥BC. 证明：平面PAB⊥平面CPB，且PB为交线． 如图，在平面PAB内，过A点作AD⊥PB，D为垂 足，则AD⊥平面CPB，又BC 平面CPB， 所以AD⊥BC. 因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以 PA⊥BC，又PA∩AD＝A，所以BC⊥平面PAB， 又AB 平面PAB，所以AB⊥BC.
[一点通] 线面平行和线面垂直是立体几何中经常 考查的位置关系之一，当已知线面、面面垂直(平行)时 可考虑性质定理，要证明线面、面面垂直(平行)时考虑 判定定理．
5．(2011·南昌第一次模拟)已知α、β是平面，m、n
是直线，给出下列命题：
①若m⊥α，m β，则α⊥β；
②若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β；
(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD. 证明：①当D在平面ABC内时， 因为AC＝BC，AD＝BD， 所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即 AB⊥CD. ②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE. 又因AC＝BC，所以AB⊥CE. 又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE. 又CD 平面CDE，得AB⊥CD. 综上所述，总有AB⊥CD.
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。
推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。
垂直线的性质与判定方法
垂直线的性质与判定方法在几何学中，垂直线是一种重要的概念，常用于描述线段、直线或平面之间的关系。
本文将详细探讨垂直线的性质以及判定方法，旨在帮助读者更好地理解和运用这一概念。
一、垂直线的性质1. 垂直线的定义垂直线是指两条直线或线段之间相互垂直的关系。
两条垂直线之间的角度为90度，也即是直角。
2. 垂直线的特点垂直线有以下几个主要特点：- 两条垂直线之间的夹角为90度，即两者之间是直角。
- 垂直线与水平线相交，形成交角为90度的交点。
- 垂直线可以用于确定两个平面之间的关系，若两个平面相互垂直，则它们的交线为垂直线。
3. 垂直线与平行线的关系垂直线和平行线是几何学中的两个重要概念。
两条垂直线之间不存在平行关系，但垂直线与同一直线上的一条平行线呈直角关系。
二、判定垂直线的方法1. 角度判定法通过测量两条线或线段之间的夹角来判定垂直线的存在。
若两条线之间的夹角为90度，则可以断定它们是垂直的。
这种方法适用于平面上的直线、线段、射线等形态。
2. 斜率判定法斜率判定法适用于已知两条直线的斜率的情况。
若两条直线的斜率之积为-1，则可以确定它们是垂直的。
即设直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，则当k1 * k2 = -1时，L1与L2垂直。
3. 三角形判定法此判定法适用于已知三角形的情况。
如果一个三角形的两条边互相垂直，那么可以判定它们所在的线段或直线是垂直线。
4. 垂直平分线判定法垂直平分线是指将一条线段垂直平分的线，该线段的两个中点通过这条线都与线段呈90度的角。
若已知一条垂直平分线，则可以判定被它垂直平分的线段是垂直线。
总结：本文介绍了垂直线的性质以及判定方法。
垂直线是指两条直线或线段之间垂直的关系，具有直角特点。
判定垂直线的方法包括角度判定法、斜率判定法、三角形判定法和垂直平分线判定法。
通过运用这些方法，我们可以准确地判断垂直线的存在与否，进一步应用于解决几何问题中。
在实际应用中，我们要善于使用这些判定方法，以提高几何问题的解决效率。
空间直线的平行与垂直关系
空间直线的平行与垂直关系直线的平行与垂直关系是几何学中的基本概念之一，这个概念在我们日常生活中也是无处不在的。
在建筑、设计、城市规划、工程等领域中，了解直线的平行与垂直关系至关重要。
本文将介绍直线的平行与垂直的定义、性质以及应用。
首先，我们来看直线的平行关系。
当两条直线在平面上永不相交，且在同一平面上的任意两点之间连线都与这两条直线相交，我们可以说这两条直线是平行的。
以字母 "||" 表示直线的平行关系，如果直线a || 直线b，则可以写作 a || b。
直线的平行关系有以下几个重要性质：1. 平行性质一：如果两条直线都与同一平面上的第三条直线平行，那么这两条直线必定平行。
2. 平行性质二：如果两条直线分别与同一平面上的两条平行线平行，那么这两条直线也平行。
3. 平行性质三：如果直线a与b平行，直线b与c平行，那么直线a与c平行。
直线的垂直关系与平行关系相对应。
当两条直线在平面上相交且交角为90度，我们可以说这两条直线是垂直的。
以一个类似于 "⊥" 的符号表示直线的垂直关系，如果直线a ⊥直线b，则可以写作 a ⊥ b。
直线的垂直关系也有几个重要性质：1. 垂直性质一：如果两条直线都与同一平面上的第三条直线垂直，那么这两条直线必定垂直。
2. 垂直性质二：如果一条直线与平面上的一条直线垂直，那么与该平面上的另一条直线平行的直线也与该直线垂直。
3. 垂直性质三：如果直线a与b垂直，直线b与c垂直，那么直线a与c平行。
直线的平行与垂直关系在很多领域中都有广泛的应用。
以下是几个常见的应用实例：1. 建筑和设计：在建筑和设计中，了解平行和垂直关系对于设计合理的建筑和室内布局至关重要。
例如，在设计房间时，我们应该确保墙壁平行或垂直于地面，以获得更美观的效果。
2. 道路和交通：平行和垂直关系在规划和设计道路和交通系统时也非常重要。
道路的平行布局可以提高交通流畅性，而垂直的交叉路口可以确保交通的安全。
两直线垂直k的关系
两直线垂直k的关系在几何学中，垂直是一个重要的概念。
当两条直线相交时，它们可能是平行的，也可能是相交的。
如果它们相交，我们可以用垂直的概念来描述它们之间的关系。
本文将探讨两条直线垂直的概念，以及它们之间的关系。
一、两条直线垂直的定义在平面几何中，两条直线垂直是指它们相交的角度为90度。
我们可以通过以下几种方式来定义两条直线垂直的概念：1. 两条直线垂直，当且仅当它们的斜率的乘积为-1。
2. 两条直线垂直，当且仅当它们的斜率之和为0。
3. 两条直线垂直，当且仅当它们的方向向量的内积为0。
这三种定义都可以用来描述两条直线垂直的概念，但它们的证明方式略有不同。
我们在后面的部分将对每种定义进行详细的讨论。
二、两条直线垂直的性质当两条直线垂直时，它们之间有许多有趣的性质。
这些性质可以帮助我们更好地理解它们之间的关系。
以下是一些重要的性质：1. 垂直直线的斜率的乘积为-1。
2. 如果一条直线的斜率为k，那么与它垂直的直线的斜率为-1/k。
3. 如果两条直线垂直，那么它们的交点是它们的垂足。
4. 如果两条直线垂直，那么它们的方向向量是互相垂直的。
5. 如果两条直线垂直，那么它们的法向量是互相垂直的。
这些性质可以用来解决许多几何问题。
例如，我们可以使用性质1来计算两条垂直直线的斜率。
我们可以使用性质2来确定与给定直线垂直的直线的斜率。
我们可以使用性质3来确定两条垂直直线的交点。
三、证明两条直线垂直的三种方法在本节中，我们将讨论三种证明两条直线垂直的方法。
这些方法是：1. 斜率乘积为-1。
2. 斜率之和为0。
3. 方向向量的内积为0。
1. 斜率乘积为-1假设我们有两条直线y1 = k1x1 + b1和y2 = k2x2 + b2。
我们可以证明这两条直线垂直，当且仅当它们的斜率的乘积为-1。
证明：首先，我们假设这两条直线垂直。
那么它们的交点将成为它们的垂足。
我们可以使用垂直直线的性质来计算它们的斜率。
我们有： k1 = -(x2-x1)/(y2-y1) 和 k2 = -(y2-y1)/(x2-x1) 我们可以将这两个式子相乘，然后简化得到：k1k2 = -1因此，当这两条直线垂直时，它们的斜率的乘积为-1。
垂直的性质
垂直的性质
垂直是一种相对于水平或平均面的方向。
在日常生活中，垂直通常被视为上下方向的垂直，与地球表面垂直的方向是重力所指向的方向。
在数学和几何学中，垂直是指两条线或两个平面相互交于90度角的关系。
垂直的概念
垂直性质在几何学中非常重要，它定义了两者之间的垂直关系。
垂直性质也可以用来描述建筑结构、地形地貌等自然现象。
在数学中，垂直关系可以用直角三角形来解释，直角三角形的两条边及其对应的角度便构成了垂直关系。
垂直的特征
垂直的特征是其与水平方向的垂直性。
而垂直性质体现了相互之间成90度角的关系，这一特征在几何学中起着至关重要的作用。
垂直性质还可应用于解决各种实际问题，例如建筑工程中的楼梯设计、道路交叉口设计等。
垂直的世界
在自然界中，垂直性质也是普遍存在的。
例如，大多数植物的生长方向是垂直向上的，以获取更多的阳光。
而在地球科学中，地球的磁力线也与地球表面垂直，形成磁场。
这些例子展示了垂直性质在自然界中的广泛应用。
垂直与水平的平衡
在生活中，垂直与水平的平衡是非常重要的。
建筑物、桥梁、汽车等都需要在水平和垂直方向上保持平衡，以确保它们的稳定性。
故而设计者需要充分考虑垂直性质来保证事物的稳定性和安全性。
结语
垂直的性质是世界上普遍存在的一种方向与关系，它在数学、几何学、自然科学中都有重要作用。
理解垂直性质不仅有助于我们解决问题，还能帮助我们更好地理解世界的运行规律。
生活中处处都有垂直性质的存在，我们应该认真对待这一概念，探求其中的更深层次含义。
空间几何中的平行与垂直关系
空间几何中的平行与垂直关系在空间几何中，平行与垂直关系是两种重要的几何关系。
它们在解决几何问题、计算坐标和推导定理等方面起着至关重要的作用。
通过研究平行和垂直关系，我们可以更好地理解空间中的几何性质，并应用于实际问题的求解。
1. 平行关系平行关系是指两条或多条直线在空间中永远不会相交。
在平行线之间不存在任何交点，它们的方向相同或者互为反向。
为了表示平行关系，我们可以使用"//"符号，如AB // CD。
在三维空间中，平行关系的判断可以通过以下方法确定：- 斜率法：对于两条直线L1和L2，如果它们的斜率相等，则L1与L2平行。
具体计算时，我们可以求两条直线上某一点的斜率，如果斜率相等，则可以判断它们是平行的。
- 向量法：如果两条直线的方向向量是平行的，则它们是平行的。
我们可以通过求取两条直线的方向向量，然后比较它们是否平行来判断平行关系。
平行关系的性质：- 平行线具有相同的斜率。
- 平行线之间的距离是恒定的，任意两点到另一条直线的距离相等。
- 平行线与平面的交线是平行的。
2. 垂直关系垂直关系是指两条直线或直线与平面的交线之间的关系。
在垂直关系中，直线或直线段与垂直交线之间的夹角为90度。
在三维空间中，判断垂直关系的方法有：- 向量法：如果两条直线的方向向量相互垂直，则它们是垂直的。
通过计算两条直线的方向向量，然后判断它们是否相互垂直。
- 斜率法：如果两条直线的斜率的乘积为-1，则它们是垂直的。
具体计算时，我们可以求两条直线上某一点的斜率，然后计算斜率的乘积，如果结果为-1，则可以判断它们是垂直的。
垂直关系的性质：- 垂直关系是相互垂直的直线或者直线与平面之间的关系。
在直角坐标系中，垂直关系可以表示为两直线斜率的乘积为-1。
- 垂直交线之间的夹角为90度。
- 垂直关系通常用于解决与直角、垂直性质相关的问题，例如计算两直线之间的距离、垂直偏移等。
总结：在空间几何中，平行与垂直关系是两种重要的几何关系。
空间几何中的平行与垂直
空间几何中的平行与垂直空间几何是研究空间中点、直线、面以及它们之间的关系的数学学科。
在空间几何中，平行和垂直是两个重要的概念。
平行表示两条直线或者两个平面没有交点，而垂直则表示两个直线或者一个直线和一个平面之间的相互垂直关系。
本文将详细介绍空间几何中平行和垂直的定义、性质以及对应的应用。
一、平行的定义与性质在空间几何中，平行是指在同一平面内没有交点的两条直线或者两个平面。
具体定义如下：定义1：设直线l和m在同一平面内，如果直线l上的任意点与直线m上的任意点之间的距离保持不变，那么直线l与直线m是平行的。
平行线具有以下性质：性质1：平行关系是一种等价关系，即自反性、对称性和传递性。
自反性：任意一条直线与自己平行。
对称性：如果直线l与直线m平行，则直线m与直线l平行。
传递性：如果直线l与直线m平行，直线m与直线n平行，则直线l与直线n平行。
性质2：平行线与交线的夹角为零。
性质3：平行线在同一平面上的投影线也是平行线。
性质4：平行线与同一平行线交割的两条直线也是平行线。
平行线在实际应用中有着广泛的应用，如建筑设计、地图制作、道路规划等。
二、垂直的定义与性质在空间几何中，垂直是指两个直线或者一个直线和一个平面之间的相互垂直关系。
具体定义如下：定义2：设直线l和m在同一平面内，如果直线l上的任意一点到直线m上的任意一点的连线垂直于直线l和直线m所在平面，那么直线l与直线m垂直。
垂直关系具有以下性质：性质1：垂直关系是一种等价关系，即自反性、对称性和传递性。
自反性：任意一条直线与自己垂直。
对称性：如果直线l与直线m垂直，则直线m与直线l垂直。
传递性：如果直线l与直线m垂直，直线m与直线n垂直，则直线l与直线n垂直。
性质2：直线与同一平面内的两条垂直线重合时，它与两条垂直线都垂直。
性质3：垂直平分线是垂直于线段且将线段平分的直线。
性质4：垂直于平面的直线，必与平面中任意一条直线垂直。
垂直关系在三维空间中的应用十分广泛，如建筑构造、植物生长、天文测量等。
垂直关系知识点总结
垂直关系知识点总结在数学中，垂直关系是指两条直线或向量相交且相交点的角度为90度。
垂直关系是几何中非常重要的概念，它在计算几何、向量、三角函数等领域都有着广泛的应用。
本文将对垂直关系的基本概念、性质、相关定理及其应用进行总结。
一、垂直关系的基本概念1.垂直线段：在平面几何中，如果两条线段的端点可以连成垂直直角，那么这两条线段就是垂直的。
两条垂直线段的特点是它们的端点组成的角是90度。
2.垂直平面：在空间几何中，如果一个平面与另一个平面相交，且它们相交的直线为垂直线，则这两个平面为垂直平面。
3.垂直向量：在向量的概念中，如果两个向量的点积为0，则这两个向量是垂直的。
4.垂直角：在直角坐标系中，如果两条线的斜率乘积为-1，则这两条线是垂直的，它们的夹角为90度。
二、垂直关系的性质1.垂直线段的性质：两条垂直线段的长度乘积等于它们的端点之间的距离的平方。
2.垂直平面的性质：两个垂直平面的法线向量互相垂直。
3.垂直角的性质：垂直角的度数为90度。
4.垂直向量的性质：如果两个向量垂直，则它们的点积为0。
5.坐标系中的垂直关系：在直角坐标系中，两条相交直线的斜率乘积为-1，即两条直线的斜率互为倒数。
三、垂直关系的相关定理1.垂直平分线定理：如果一条直线垂直于两条平行线，则它们的交点到两条平行线的距离相等。
2.垂直平分角定理：如果一条直线垂直于两条相交直线，并且把这两条相交直线的交点分成相等的两部分，则这条直线是这两条相交直线的平分线。
3.垂直高线定理：在直角三角形中，垂直于斜边的高线等于三角形两直角边之一的乘积除以斜边的长度。
4.垂直平方定理：在直角三角形中，斜边上任意一点到斜边的垂直高线和三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方。
5.垂直向量的判定定理：两个非零向量垂直的充分必要条件是它们的点积为0。
四、垂直关系的应用1.建筑领域：在建筑设计中，经常需要考虑建筑物的垂直关系，如墙壁、柱子、楼梯等的垂直度对建筑物的稳定性、美观性等有重要影响。
直线方程的垂直关系
直线方程的垂直关系在数学中，直线是一种基本的几何概念，它在我们日常生活和工程应用中都有广泛的应用。
在直线的研究中，垂直关系是一个重要的概念。
当两条直线垂直时，它们之间存在特殊的关系和性质。
本文将介绍直线方程的垂直关系以及相关的数学性质。
垂直直线的定义两条直线垂直，意味着它们的斜率之间满足特殊的关系。
在直角坐标系中，一条直线的斜率表示为k1，另一条直线的斜率表示为k2。
当$k_1 \\cdot k_2 = -1$时，这两条直线互为垂直关系。
垂直关系的数学表示为了进一步理解垂直关系，我们可以通过直线的方程来进行分析。
一条直线的方程可以表示为y=mx+c，其中m是直线的斜率，c是直线在y轴上的截距。
对于两条直线，分别表示为y1=m1x+c1和y2=m2x+c2，它们的斜率分别为m1和m2。
当两条直线垂直时，根据垂直关系的定义，有$m_1 \\cdot m_2 = -1$。
这是垂直关系的基本数学表示。
垂直关系的性质和应用垂直关系具有一些重要的数学性质和应用。
以下是一些常见的性质和应用：1. 垂直线段的长度在直角坐标系中，两条垂直直线之间的线段的长度可以通过坐标点之间的距离公式来计算。
设两条直线的方程分别为y=m1x+c1和y=m2x+c2，其交点为(x0,y0)。
则垂直线段的长度等于$\\sqrt{(x_0)^2 + (y_0)^2}$。
2. 可逆性如果两条直线垂直，那么它们之间的垂直关系是可逆的。
也就是说，如果两条直线垂直，则交换它们的斜率后，新的斜率仍然满足垂直关系。
例如，如果$k_1\\cdot k_2 = -1$，则$k_2 \\cdot k_1 = -1$。
3. 判定垂直关系的方法除了使用斜率的乘积来判定两条直线是否垂直外，我们还可以通过直线的方程来进行判定。
设两条直线的方程分别为y1=m1x+c1和y2=m2x+c2，如果$m_1 \\cdot m_2 = -1$，则可以判定这两条直线垂直。
直线与平面的垂直关系与判定
直线与平面的垂直关系与判定直线与平面的垂直关系一直是几何学中的重要概念。
在几何学中，垂直被定义为与直角（90度）相交或成直角的关系。
本文将探讨直线与平面垂直关系的性质，并介绍几种判定直线与平面垂直的方法。
一、直线与平面的垂直性质1. 定理1：如果一条直线与一个平面垂直，则与这条直线在同一平面内的另外一条直线也与这个平面垂直。
证明：首先，设一条直线L与一个平面P垂直。
在平面P内，我们可以找到另外一条直线M与直线L垂直。
如果我们在直线M上选取一点N，并以N为中心作一个圆，圆上的任意点都在平面P内。
因此，直线M上任意一点到平面P的距离都是相等的，即直线M与平面P垂直。
2. 定理2：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。
证明：设一条直线L与平面P内的两条相交直线AB和CD垂直。
构造两个平面，一个是由直线L和线段AB所确定的平面，另一个是由直线L和线段CD所确定的平面。
这两个平面的交线就是直线L，因此，直线L与平面P的夹角为90度，即直线L与平面P垂直。
二、判定直线与平面垂直的方法1. 方法1：通过判定直线的方向向量与平面的法向量是否相互垂直来确定直线与平面的垂直关系。
- 若直线的方向向量与平面的法向量相互垂直，即两个向量的点积为0，则可以判定直线与平面垂直。
- 例如，给定直线L：(x,y,z) = (1+t, 2+2t, 3+3t)，平面P：2x + 4y + 6z = 10。
直线L的方向向量为(1, 2, 3)，平面P的法向量为(2, 4, 6)。
计算两个向量的点积(1*2 + 2*4 + 3*6)，得到的结果是20，不为0，所以直线L与平面P不垂直。
2. 方法2：通过判定直线上的一点到平面的距离是否为0来确定直线与平面的垂直关系。
- 若直线上的一点到平面的距离为0，则可以判定直线与平面垂直。
- 例如，给定直线L：(x,y,z) = (1+t, 2+2t, 3+3t)，平面P：x - 2y + z = 4。
空间几何中的垂直关系
空间几何中的垂直关系垂直关系是空间几何中的重要概念之一，它与直线和平面的相互关系密切相关。
本文将就空间几何中的垂直关系进行详细探讨。
一、垂直关系的定义和性质在空间几何中，我们称两条直线或一个直线和一个平面相互垂直，当且仅当它们的夹角为90度（或称直角）。
垂直关系具有以下性质：1. 垂直关系是相对的：两条直线或一个直线和一个平面相互垂直，可以理解为它们相互垂直的方向互为补角，即互为垂线。
2. 垂直关系具有传递性：如果直线AB垂直于直线BC，那么直线AB也将垂直于直线AC。
这个性质可以通过夹角定义和垂线的性质进行推导。
3. 平面与直线的垂直关系：当一条直线与一个平面垂直时，它与该平面的任意直线均垂直。
这一性质为建立空间几何中的垂直关系提供了便利。
4. 垂直关系与平行关系之间的关系：如果两个平面相互垂直，那么它们的任意一条公共直线与这两个平面都垂直；反之，如果两个平面的任意一条公共直线与这两个平面都垂直，那么这两个平面互相垂直。
二、垂直关系的应用垂直关系在几何学和实际生活中都有广泛的应用。
以下列举了几个常见的应用场景：1. 建筑学中的垂直关系：在建筑设计与施工中，垂直关系是十分重要的，用来确保建筑结构的稳定和整体美观。
例如，墙面的垂直性要求、柱子与楼梯之间的垂直关系等都是基于几何理论的。
2. 地质学中的垂直关系：地层与地层之间的垂直关系是地质学家研究地壳演化和地层分析的基础。
通过研究地质层的垂直关系，可以推断出地层的变动和地质历史的变迁。
3. 数学建模中的垂直关系：在数学建模中，垂直关系被广泛应用于平面几何、三维几何以及向量分析等学科中。
它在描述和解决实际问题时，起到了重要的作用。
4. 导航和测量中的垂直关系：在导航和测量领域，垂直关系被用于确定方向、角度和高度。
例如，地球上的经线与纬线垂直相交，使得我们可以准确测量位置和方向。
三、总结空间几何中的垂直关系是一种重要的几何概念，它与直线和平面之间的关系密不可分。
直线与平面的垂直关系
直线与平面的垂直关系直线与平面的垂直关系是几何学中经常讨论的问题之一。
当一条直线与一个平面相交时，我们可以根据它们的特征以及定义来确定它们的垂直关系。
1. 定义与性质在几何学中，垂直是指两个物体或者两个对象之间的角度为90度的关系。
一个直线与一个平面垂直，意味着它们之间的夹角为90度。
2. 判断两条直线与平面的垂直关系要判断一条直线是否与一个平面垂直，我们可以利用以下几种方法：2.1 法向量判断法我们可以通过计算直线的方向向量和平面的法向量之间的点积是否为零来确定它们的垂直关系。
如果点积为零，则直线与平面垂直。
2.2 直线与平面的交点另一种方法是判断直线是否与平面上的一点相交。
如果直线与平面上的一点相交，并且该直线与平面上的两个相互垂直的向量成90度夹角，那么这条直线与平面垂直。
2.3 平面的法线向量如果直线的方向向量与平面的法向量垂直，则这条直线与平面垂直。
我们可以通过求直线的方向向量和平面的法向量的点积，若结果为零，则表明直线与平面垂直。
3. 直线与平面的垂直关系的应用3.1 解题技巧在解决几何问题时，判断直线与平面的垂直关系是一个常见的技巧。
通过确定直线与平面是否垂直，可以帮助我们得到其他线段、角度以及点的性质。
3.2 三维几何中的应用在三维几何中，直线与平面的垂直关系决定了直线是否穿过平面，以及直线和平面之间的夹角大小。
这对于解决三维空间中的问题非常重要。
4. 实际应用举例4.1 建筑设计在建筑设计中，直线与平面的垂直关系用来确定墙壁、楼板等结构元素的位置和角度，保证建筑的稳定性和美观性。
4.2 机械设计在机械设计中，直线与平面的垂直关系用于确定零件的相对位置和定位方式，保证机械装置的正常运行。
4.3 光学原理在光学中，直线与平面的垂直关系决定了光线的反射和折射方向。
光学设备的设计和使用都离不开对直线与平面垂直关系的理解。
结论：直线与平面的垂直关系在几何学中具有重要的意义。
通过判断直线与平面的垂直关系，我们可以解决各种几何问题，并应用于各个领域，如建筑设计、机械设计和光学原理等。
2.3垂直关系的判定与性质
C
【变式 3】 如图所示，PA⊥平面 ABC，PA＝ 2，AB＝1，BC ＝ 3，AC＝2， 求证：平面 PBC⊥平面 PAB.
B
理论迁移
例1 如图，⊙O在平面α内，AB 是⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上 不同于A、B的任意一点，求证： 平面PAC⊥平面PBC.
P
C A O
B
例2 如图，四棱锥P-ABCD的底面 为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，M 为AB的中点，求证：平面PMC⊥平面 PCD.
P
F
E
D A M
B
(1)证明：∵ AB是⊙O的直径， P C是圆周上不同于A，B的任 意一点 ∴∠ACB=90°∴BC⊥AC C 又∵平面PAC⊥平面ABC， 平面PAC∩平面ABC＝AC, A BC平面ABC O ∴BC⊥平面PAC (2)又∵ BC 平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC
B
练习2：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
A
O
D
C
B
三.随堂练习：
1.如图，直四棱柱ABCD ABCD （侧棱与底面垂直 的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形 ABCD 满足什么 条件时AC B D ？
A D
底面四边形 ABCD 对角 线相互垂直．
B
C
A D B
C
2. 在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，
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思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)垂直于同一条直线的两条直线平行. ( ) (2)垂直于同一条直线的两条直线垂直. ( ) (3)垂直于同一个平面的两条直线平行. ( ) (4)垂直于同一条直线的直线和平面平行. ( ) (5)如果两个平面垂直,且经过第一个平面内一点作一条直线垂直于 第二个平面,那么该直线一定在第一个平面内. ( )
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探究一
探究二
探究三
变式训练2 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面 ABCD,侧棱PA⊥PD,底面ABCD是直角梯形,其中 BC∥AD,∠BAD=90°.求证:平面PAB⊥平面PCD.
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探究一
探究二
探究三
探究三垂直关系的综合问题 【例3】
如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,PA⊥平面ABC,过点A作AE⊥PB于点 E.求证:AE⊥PC.
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2.若平面α⊥平面β,且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条 直线b,则( ) A.直线a必垂直于平面β B.直线b必垂直于平面α C.直线a不一定垂直于平面β D.过a的平面与过b的平面垂直
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解析:如图(1)所示,a⫋α,a⊥b,但a与β不垂直,故A错C对;如图(2)所 示,a⫋α,a⊥b,这时b与α不垂直,故B错,容易判断D项也错.
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探究一
探究二
探究三
变式训练3 如图(1)所示,在直角梯形ABCD 中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2.将△ADC沿AC折起,使平 面ADC⊥平面ABC,得到几何体D-ABC,如图(2)所示.
求证:BC⊥平面ACD.
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1.若直线l⊥平面α,直线m⫋平面α,则l,m的位置关系是 ( ) A.相交 B.异面C.平行 D.垂直 答案:D
如图所示,正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相 垂直,AF∥BE,AF⊥EF,AF=EF= 1 BE.求证:EA⊥平面ABCD.
2
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证明:设AF=EF=a,则BE=2a. 过A作AM⊥BE于点M.
∵AF∥BE,∴AM⊥AF. 又AF⊥EF,∴AM∥EF. ∴四边形AMEF是正方形. ∴AM=a,EM=MB=a, ∴AE=AB= √2a. ∴AE2+AB2=EB2,∴AE⊥AB.
热身：已知正方体ABCD-A1B1C1D1， 求证:BD1 ⊥平面A1C1 D.
第1与平面垂直、平面
与平面垂直的性质定理.
2.能运用两个性质定理解决
相关问题.
3.理解线线垂直、线面垂直、
面面垂直的内在联系,能运用
这些关系解决有关垂直的综
合问题.
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又平面ABCD⊥平面ABEF, 平面ABCD∩平面ABEF=AB,
AE⫋平面ABEF,∴EA⊥平面ABCD.
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感谢您的欣赏！
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如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且 EF⊥A1D,EF⊥AC. 求证:EF∥BD1.
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探究一
探究二
探究三
探究二面面垂直的性质定理及其应用 【例2】
如图所示,AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一 点,平面PAC⊥平面ABC.
(1)判断BC与平面PAC的位置关系,并证明; (2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系.
答案:C
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3.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,则平行
四边形ABCD一定是
.
解析:由PA⊥平面ABCD,得PA⊥BD.又PC⊥BD,PA∩PC=P,所以
BD⊥平面PAC.
于是BD⊥AC,故ABCD一定为菱形.
答案:菱形
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4.
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√
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探究一
探究二
探究三
探究一线面垂直的性质定理及其应用 【例1】
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中 点,MN⊥平面A1DC.
求证:MN∥AD1.
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探究一
探究二
变式训练1
探究三
1.直线与平面垂直的性质定理
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做一做1 如下图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面四边形ABCD是 平行四边形,SC⊥平面ABCD,E为SA的中点.
求证:平面EBD⊥平面ABCD.
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2.平面与平面垂直的性质定理
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做一做2 下列说法中错误的是( ) A.如果α⊥β,那么α内的所有直线都垂直β B.如果一条直线垂直于一个平面,那么此直线必垂直于这个平面 内的所有直线 C.如果一个平面通过另一个平面的垂线,那么两个平面互相垂直 D.如果α不垂直于β,那么α内一定不存在垂直于β的直线 解析:根据两平面垂直的性质定理,可知A错误,故选A. 答案:A