垂直关系的性质精选课件PPT
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直线与平面垂直的判定与性质(共26张PPT)
直线与平面垂直的判定与性 质(共26张ppt)
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
高中数学必修课件第一章垂直关系的性质
02
证明过程
03
首先，连接AC交BD于点O，连接EO。由于ABCD是正方 形，因此AC⊥BD。
04
由于PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AC。因此，AC⊥平面 PDB。
05
由于E是PC的中点，O是AC的中点，所以EO∥PA。因此 ，EO⊥平面PDB。
06
由于EF⊥PB且EO∩EF=E，所以PB⊥平面EFD。
01
02
03
垂直线定义
两条直线相交成90度角时 ，这两条直线互相垂直。
垂直符号
用符号"⊥"表示两条直线 垂直，如直线AB垂直于直 线CD，记作AB⊥CD。
垂直线段的性质
连接直线外一点与直线上 各点的所有线段中，垂线 段最短。
垂直角概念与性质
垂直角定义
两条相交线中的任一个角 与它的邻补角互为垂直角 。
垂直线段最短的性质
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
典型例题解题思路梳理
例题1
证明两条直线垂直。解题思路：根据垂直的定义，证明两条直线相交成90度角，或者利 用平面内两直线垂直的判定定理进行证明。
例题2
求点到直线的距离。解题思路：首先作点到直线的垂线，然后利用垂线段最短的性质，求 出点到直线的距离。
系。
注意事项
在应用垂直线段比例定理时，需 要注意直角三角形的斜边和直角 边的对应关系，避免出现错误。
垂直平分线性质
垂直平分线定义
经过某一条线段的中点，并且垂 直于这条线段的直线，叫做这条
线段的垂直平分线。
垂直平分线性质
垂直平分线上的点到线段两端的距 离相等。
垂直平分线的判定
到一条线段两个端点距离相等的点 ，在这条线段的垂直平分线上。
证明过程
03
首先，连接AC交BD于点O，连接EO。由于ABCD是正方 形，因此AC⊥BD。
04
由于PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AC。因此，AC⊥平面 PDB。
05
由于E是PC的中点，O是AC的中点，所以EO∥PA。因此 ，EO⊥平面PDB。
06
由于EF⊥PB且EO∩EF=E，所以PB⊥平面EFD。
01
02
03
垂直线定义
两条直线相交成90度角时 ，这两条直线互相垂直。
垂直符号
用符号"⊥"表示两条直线 垂直，如直线AB垂直于直 线CD，记作AB⊥CD。
垂直线段的性质
连接直线外一点与直线上 各点的所有线段中，垂线 段最短。
垂直角概念与性质
垂直角定义
两条相交线中的任一个角 与它的邻补角互为垂直角 。
垂直线段最短的性质
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
典型例题解题思路梳理
例题1
证明两条直线垂直。解题思路：根据垂直的定义，证明两条直线相交成90度角，或者利 用平面内两直线垂直的判定定理进行证明。
例题2
求点到直线的距离。解题思路：首先作点到直线的垂线，然后利用垂线段最短的性质，求 出点到直线的距离。
系。
注意事项
在应用垂直线段比例定理时，需 要注意直角三角形的斜边和直角 边的对应关系，避免出现错误。
垂直平分线性质
垂直平分线定义
经过某一条线段的中点，并且垂 直于这条线段的直线，叫做这条
线段的垂直平分线。
垂直平分线性质
垂直平分线上的点到线段两端的距 离相等。
垂直平分线的判定
到一条线段两个端点距离相等的点 ，在这条线段的垂直平分线上。
垂直关系课件
C．①④
D．②③
解析： 很明显①错，故排除A、C，②正确，排除B.
答案： D
工具
第七章
立体几何
栏目导引
4．已知平面α、β和直线m，给出条件：
①m∥α；②m⊥α；③mα；④α⊥β；⑤α∥β.
(1)当满足条件________时，有m∥β；(填所选条件的序号，下同) (2)当满足条件________时，有m⊥β. 解析： 先画出①②③④⑤的图形．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
解析： (1)证明：在△ABD中，
∵AD＝4，BD＝8，AB＝4， ∴AD2＋BD2＝AB2.∴AD⊥BD. 又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， BD平面ABCD， ∴BD⊥平面PAD. 又BD平面BDM，∴平面MBD⊥平面PAD.
工具
第七章
a α，b α a∩b＝A ⇒l⊥α. l⊥a，l⊥b
工具
第七章
立体几何
栏目导引
(3)直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线 用符号表示为 平行． .
a⊥α，b⊥α⇒a∥b
2．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成二面角是 直角 ， 就 说 这 两 个 平 面
答案： (1)③⑤ (2)②⑤
工具
第七章
立体几何
栏目导引
5．△ABC，∠ABC＝90°，PA⊥平面 则图中直角三角形的个数是________． 解析： BC⊥平面PAB， 故△PBC是直角三角形，
ABC ，
从而图中直角三角形的个数共有4个．
答案： 4
工具
第七章
立体几何
栏目导引
工具
垂直关系的性质(最新课件)
1．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是 棱DD1的中点，则过M且与直线AB和B1C1 都垂直的直线有( )条
A．1
B．2
C．3
D．无数条
解析：显然DD1是满足条件的一条，如果还有一条l满 足条件，则l⊥B1C1，l⊥AB，又AB∥C1D1，则 l⊥C1D1， B1C1∩C1D1＝C1，∴l⊥平面B1C1D1. 同理DD1⊥平面B1C1D1，则l∥DD1.又l与DD1都过M.这 是不可能的，因此只有DD1一条满足条件． 答案：A
3．(2011·郓城高一模块测试)如图，已知PA⊥平面ABC， 平面APB⊥平面BPC. 求证：AB⊥BC. 证明：平面PAB⊥平面CPB，且PB为交线． 如图，在平面PAB内，过A点作AD⊥PB，D为垂 足，则AD⊥平面CPB，又BC 平面CPB， 所以AD⊥BC. 因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以 PA⊥BC，又PA∩AD＝A，所以BC⊥平面PAB， 又AB 平面PAB，所以AB⊥BC.
[一点通] 线面平行和线面垂直是立体几何中经常 考查的位置关系之一，当已知线面、面面垂直(平行)时 可考虑性质定理，要证明线面、面面垂直(平行)时考虑 判定定理．
5．(2011·南昌第一次模拟)已知α、β是平面，m、n
是直线，给出下列命题：
①若m⊥α，m β，则α⊥β；
②若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β；
(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD. 证明：①当D在平面ABC内时， 因为AC＝BC，AD＝BD， 所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即 AB⊥CD. ②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE. 又因AC＝BC，所以AB⊥CE. 又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE. 又CD 平面CDE，得AB⊥CD. 综上所述，总有AB⊥CD.
直线与平面垂直判定完整版课件
绘制图表，将实验数据 可视化展示，便于分析 和比较。
03
分析实验数据，总结直 线与平面垂直的判定方 法和规律。
04
根据实验结果，评估实 验方法的准确性和可靠 性，并提出改进意见。
06
课程总结与回顾
知识点梳理
01
直线与平面垂直的定义
如果直线$l$与平面$alpha$内的任意一条直线都垂直，那么我们就说
角的范围
异面直线所成角的取值范围是 (0, 90°]。
异面直线所成角求解方法
01
02
03
平移法
将两条异面直线平移到同 一个起点上，然后用余弦 定理或三角函数求解。
向量法
建立空间直角坐标系，将 异面直线的方向向量表示 出来，然后通过向量的夹 角公式求解。
投影法
将一条直线投影到另一条 直线上，通过投影长度和 原长度之间的关系，利用 三角函数求解。
易错点提示
忽略直线与平面内两条相交直线 都垂直的条件，只考虑与其中一
条直线垂直或平行的情况。
在证明直线与平面垂直时，未明 确说明平面内的两条相交直线， 或者错误地认为只要与平面内无
数条直线垂直即可。
符号使用不规范，如将直线与平 面垂直的符号误写为平行或相交
等。
下一讲预告
下一讲我们将继续深入学习空间几何中的直线与平面的位置关系，包括直线与平面 平行的判定和性质等内容。
确定未知量
根据题目要求，确定需要求解 的未知量。
建立方程
利用已知条件和几何性质，建 立关于未知量的方程。
求解方程
解方程得到未知量的值，注意 解的合理性。
解答题规范步骤和答案
画出图形
根据题意画出相应 的图形，标注已知 量和未知量。
高中数学必修2课件：第一章 6 垂直关系的性质
6．2 垂直关系的性质
预习课本P39～41，思考并完成以下问题
(1)线面垂直的性质定理的内容是什么？有什么作用？
(2)面面垂直的性质定理的内容是什么？有什么作用？
(3)应用面面垂直性质定理时应注意什么？
1．直线与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直 线 平行 ． (2)图形语言：
[活学活用] 如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足 为A，EB⊥β，垂足为B，直线a β，a⊥AB. 求证：a∥l.
证明：因为EA⊥α，α∩β＝l，即l α，所以l⊥EA.同理l⊥EB. 又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB. 因为EB⊥β，a β，所以EB⊥a， 又a⊥AB，EB∩AB＝B， 所以a⊥平面EAB. 由线面垂直的性质定理，得a∥l.
(1)如图，在菱形ABCD中， 连接BD， 由已知∠DAB＝60°， ∴△ABD为正三角形，
∵G是AD的中点，∴BG⊥AD. ∵平面PAD⊥平面ABCD， 且平面PAD∩平面ABCD＝AD， ∴BG⊥平面PAD. (2)如图，连接PG. ∵△PAD是正三角形，G是AD的中点， ∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD. 又∵PG∩BG＝G.∴AD⊥平面PBG. 而PB 平面PBG，∴AD⊥PB.
面面垂直性质定理的应用
[典例] 已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平 面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.
[证明]
如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，
∵平面PAC⊥平面PBC，AD 平面PAC，且AD⊥PC， ∴AD⊥平面PBC， 又BC 平面PBC，∴AD⊥BC. ∵PA⊥平面ABC.BC 平面ABC， ∴PA⊥BC， ∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC， 又AC 平面PAC，∴BC⊥AC.
预习课本P39～41，思考并完成以下问题
(1)线面垂直的性质定理的内容是什么？有什么作用？
(2)面面垂直的性质定理的内容是什么？有什么作用？
(3)应用面面垂直性质定理时应注意什么？
1．直线与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直 线 平行 ． (2)图形语言：
[活学活用] 如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足 为A，EB⊥β，垂足为B，直线a β，a⊥AB. 求证：a∥l.
证明：因为EA⊥α，α∩β＝l，即l α，所以l⊥EA.同理l⊥EB. 又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB. 因为EB⊥β，a β，所以EB⊥a， 又a⊥AB，EB∩AB＝B， 所以a⊥平面EAB. 由线面垂直的性质定理，得a∥l.
(1)如图，在菱形ABCD中， 连接BD， 由已知∠DAB＝60°， ∴△ABD为正三角形，
∵G是AD的中点，∴BG⊥AD. ∵平面PAD⊥平面ABCD， 且平面PAD∩平面ABCD＝AD， ∴BG⊥平面PAD. (2)如图，连接PG. ∵△PAD是正三角形，G是AD的中点， ∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD. 又∵PG∩BG＝G.∴AD⊥平面PBG. 而PB 平面PBG，∴AD⊥PB.
面面垂直性质定理的应用
[典例] 已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平 面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.
[证明]
如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，
∵平面PAC⊥平面PBC，AD 平面PAC，且AD⊥PC， ∴AD⊥平面PBC， 又BC 平面PBC，∴AD⊥BC. ∵PA⊥平面ABC.BC 平面ABC， ∴PA⊥BC， ∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC， 又AC 平面PAC，∴BC⊥AC.
垂直关系的性质PPT教学课件
β N α
是垂直。因为平面α⊥平面β，所以 M
∠ABC=900，即AB ⊥BC，又AB
β
⊥MN，而MN∩BC=B，且MN⊆α， A N
BC⊆α，所以AB ⊥平面α。
α
平面与平面垂直的性质：
BC M
定理6.4 如果两个平面互相垂直，那么在一个平
面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
即“面面垂直⇒线面垂直”
①l1∥l2 A1B2-A2B1=0 且 B1C2-B2C1≠0
②l1⊥l2 A1A2+B1B2=0
③l1与l2相交 A1B2-A2B1≠0
④l1与l2重合 A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1=0。
到角与夹角：
两条直线l1,l2相交构成四个角，它们是两对对顶角，把l1 依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的 角，l1到l2的角的范围是(0，π)．l1与l2所成的角是指不大
§6.2 垂直关系的性质
一、直线与平面垂直的性质 二、平面与平面垂直的性质
一、直线 与平面垂直的性质
问题1、直线 与平面垂直的定义是什么？
问题2、若直线a⊥平面α，b⊆α，则直线a与b有什
么位置关系？ (a⊥b)
问题3、在平面 内，同垂直于同一直线 的两条直线有 什么位置关系？（平行）
问题4、若两条直线a、b都垂直平面α，那么直线a、
面，那么这两条直线平行。 例1、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，
PA⊥平面ABC，A在PB，PC上的射影分别为E，F。
求分证析：：P（B1⊥）B平C面与A平F面E。PAC垂直吗P？ E
为什么？
（2）直线BC与直线AF有何位置
关系？为什么？
α
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答疑解惑
AYIJIEHUO
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变式训练3 如图(1)所示,在直角梯形ABCD 中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2.将△ADC沿AC折起,使平 面ADC⊥平面ABC,得到几何体D-ABC,如图(2)所示.
求证:BC⊥平面ACD.
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答疑解惑
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1234
1.若直线l⊥平面α,直线m⫋平面α,则l,m的位置关系是 ( ) A.相交 B.异面C.平行 D.垂直 答案:D
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答疑解惑
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1234
6.2 垂直关系的性质
-1-
热身：已知正方体ABCD-A1B1C1D1， 求证:BD1 ⊥平面A1C1 D.
2021/3/2
2
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答疑解惑
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学习目标
思维脉络
1.理解直线与平面垂直、平面
与平面垂直的性质定理.
探究一
探究二
探究三
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答疑解惑
AYIJIEHUO
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变式训练2 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面 ABCD,侧棱PA⊥PD,底面ABCD是直角梯形,其中 BC∥AD,∠BAD=90°.求证:平面PAB⊥平面PCD.
求证:MN∥AD1.
探究一
探究二
变式训练1
探究三
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答疑解惑
AYIJIEHUO
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如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且 EF⊥A1D,EF⊥AC. 求证:EF∥BD1.
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D答疑解惑 AYIJIEHUO
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思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)垂直于同一条直线的两条直线平行. ( ) (2)垂直于同一条直线的两条直线垂直. ( ) (3)垂直于同一个平面的两条直线平行. ( ) (4)垂直于同一条直线的直线和平面平行. ( ) (5)如果两个平面垂直,且经过第一个平面内一点作一条直线垂直于 第二个平面,那么该直线一定在第一个平面内. ( )
D答疑解惑 AYIJIEHUO
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做一做1 如下图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面四边形ABCD是 平行四边形,SC⊥平面ABCD,E为SA的中点.
求证:平面EBD⊥平面ABCD.
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D答疑解惑 AYIJIEHUO
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解析:如图(1)所示,a⫋α,a⊥b,但a与β不垂直,故A错C对;如图(2)所 示,a⫋α,a⊥b,这时b与α不垂直,故B错,容易判断D项也错.
答案:C
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答疑解惑
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1234
3.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,则平
2.平面与平面垂直的性质定理
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D答疑解惑 AYIJIEHUO
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做一做2 下列说法中错误的是( ) A.如果α⊥β,那么α内的所有直线都垂直β B.如果一条直线垂直于一个平面,那么此直线必垂直于这个平面 内的所有直线 C.如果一个平面通过另一个平面的垂线,那么两个平面互相垂直 D.如果α不垂直于β,那么α内一定不存在垂直于β的直线 解析:根据两平面垂直的性质定理,可知A错误,故选A. 答案:A
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探究一
探究二
探究三
探究三垂直关系的综合问题 【例3】
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答疑解惑
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如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,PA⊥平面ABC,过点A作AE⊥PB于点 E.求证:AE⊥PC.
探究一
探究二
探究三
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答疑解惑
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探究一
探究二
探究三
探究二面面垂直的性质定理及其应用 【例2】
如图所示,AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一 点,平面PAC⊥平面ABC.
(1)判断BC与平面PAC的位置关系,并证明; (2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系.
行四边形ABCD一定是
.
解析:由PA⊥平面ABCD,得PA⊥BD.又PC⊥BD,PA∩PC=P,所以
BD⊥平面PAC.
于是BD⊥AC,故ABCD一定为菱形.
答案:菱形
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答疑解惑
2.若平面α⊥平面β,且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条 直线b,则( ) A.直线a必垂直于平面β B.直线b必垂直于平面α C.直线a不一定垂直于平面β D.过a的平面与过b的平面垂直
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答疑解惑
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2.能运用两个性质定理解决
相关问题.
3.理解线线垂直、线面垂直、
面面垂直的内在联系,能运用
这些关系解决有关垂直的综
合问题.
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D答疑解惑 AYIJIEHUO
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1.直线与平面垂直的性质定理
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答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√
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探究一
探究二
探究三
探究一线面垂直的性质定理及其应用 【例1】
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答疑解惑
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如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的 中点,MN⊥平面A1DC.