高中数学北师大版必修二 垂直关系的性质 课件(35张)
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1.6.2垂直关系的性质课件(高中数学必修2北师大版)
●教学流程
演示结束
1.理解直线与平面垂直的性质定理(重点)． 课标解读 2．理解平面与平面垂直的性质定理(重点)． 3．理解并掌握空间“平行”与“垂直”之间的 相互转化(难点).
直线与平面垂直的性质定理
【问题导思】 在大路的两侧有许多树木，这些树木垂直于地面，那 么这些树木所在直线是怎样的位置关系呢？
【提示】 平行．
平面与平面垂直的性质定理
【问题导思】 黑板所在平面与地面所在平面垂直，能否在黑板上画 一条直线与地面垂直？
【提示】 画一条直线与黑板面、地面的交线垂直即 可．
线面垂直性质定理的应用
如图1－6－16，在正方体ABCD－A1B1C1D1 中，点E、F分别在A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求 证：EF∥BD1.
1 (2)取BE的中点N，连接CN，MN，则MN綊 AB綊PC， 2 所以PMNC为平行四边形． 所以PM∥CN. 因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，所以PM ∥平面BCE.
1．本题(1)中充分利用了线线垂直、线面垂直、面面垂 直的相互转化，从而到达证明目的． 2．线面平行和线面垂直是立体几何中经常考查的位置 关系之一，当已知线面、面面垂直(平行)时可考虑性质定 理，要证明线面、面面垂直(平行)时考虑判定定理．
1．正方体的体对角线与它不共面的面对角线垂直．如 本题中，BD1⊥AC，BD1⊥A1D. 2．若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和 另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理证明．
在本例中，若G是AB的中点，则E在A1D上什么位置 时，能使EG⊥平面AB1C?
【解】 若EG⊥平面AB1C，因为BD1⊥平面AB1C，所 以EG∥BD1. 因为G为AB的中点，所以E为AD1的中点，即E为A1D的 中点时，EG⊥平面AB1C.
北师大版必修第二册第六章立体几何初步直线与平面垂直的证明技法课件共36张PPT
一、量化证明法
1.如图，四面体ABCD中，O是BD的中点， =
= = = 2, = = 2,
求证： ⊥ 平面.
证明：在 中， = = 2, = 2,O为BD
的中点， ⊥ ⋯ ①
在 ∆中， = = = 2,O为BD的中点，
A在PB上的射影为E，求证： ⊥ 平他.
证明： ⊥ , ⊂ , ⊥ . . . . . . ① ⊥
. . . . . ②, ∩ = ⋯ ⋯ 3 .由①②③可得，
⊥ .
⊂ , ⊥ , ∩ = ⋯ 3 .由①②③可
连接DE、AE.在 中，由于PD⊥平面ABCD，AB ⊂ 平面ABCD，
PD⊥AB，AB⊥AD、PD∩AD=D，AB⊥平面PAD，PA ⊂ 平面PAD，
⊥ ,所以，△PAB为直角三角形，又E为PB的中点， =
1
.连接BD，在△PBD中， ⊥ ,所以△PBD为直角三角形，
2
1
.
2
又E为PB的中点， =
于是，在 中， = ,F为AD的中点，所以 ⊥
, //,EF⊥BC……②, ∩ = ...③.由①②③可得，EF⊥
平面PBC.
3.如图在底面为直角梯形的四棱锥 − 中，
∘
⊥底面ABCD， //, ∠ = 90 , = 2, =
2 3, = 6,求证： ⊥平面PAC，
证明： ⊥ , ⊂ , ⊥ ⋯ ⋯ ①,
在四边形ABCD中， //, ∠ = 90∘ ,所以，四
边形ABCD是直角梯形，在∆ABD中，AD=2, =
∘
2 3,所以 ∠ = 30 ,
得， ⊥
高中数学 1.6.1 垂直关系的判定课件 北师大版必修2
求证：(1)直线 PA∥平面 DEF； (2)平面 BDE⊥平面 ABC. [思路分析] (1)由三角形的中位线定理易证 PA∥DE. (2)易证 DE⊥AC 及 DE⊥EF，故 DE⊥平面 ABC.
第二十六页，共40页。
[规范解答] (1)由于 D，E 分别是 PC，AC 的中点，则有 PA∥DE，
所有与l′平行的直线与l都垂直．
第十二页，共40页。
• 2．下列结论(jiélùn)正确的是( )
• A．若直线a与平面M内两条直线垂直，则 a⊥M
• B．若直线a与平面M内的无数条直线垂直， 则a⊥M
• C．若直线a与平面M内的一个三角形两边垂 直，则a⊥M
• D．若直线a与平面M内的一平行四边形两边 垂直，则a⊥M
第二十三页，共40页。
• [规律总结] 1.利用直线和平面(píngmiàn)垂 直的判定定理证明直线与平面(píngmiàn)垂 直的步骤：
• (1)在这个平面(píngmiàn)内找两条直线，证 明它和这两条直线垂直；
• (2)说明这个平面(píngmiàn)内的两直线是相 交的直线；
• (3)根据判定定理得出结论．
• (2)二面角的定义：从一条二直面线角出的棱发的 _______二_面__角_的_面______图形，叫作二面角， 这条直线叫作________________，这两个 半平面叫作________________．
• α(—3A)B二—β面角的记法： 2∠α—AB—β
• 以直线AB为棱、半平面α，β为面的二面角， 记作二面角______________，也可记作
第三十三页，共40页。
• (2)取BD的中点O，连接AO、CO，则∠AOC 为二面角A－BD－C的平面角．
第二十六页，共40页。
[规范解答] (1)由于 D，E 分别是 PC，AC 的中点，则有 PA∥DE，
所有与l′平行的直线与l都垂直．
第十二页，共40页。
• 2．下列结论(jiélùn)正确的是( )
• A．若直线a与平面M内两条直线垂直，则 a⊥M
• B．若直线a与平面M内的无数条直线垂直， 则a⊥M
• C．若直线a与平面M内的一个三角形两边垂 直，则a⊥M
• D．若直线a与平面M内的一平行四边形两边 垂直，则a⊥M
第二十三页，共40页。
• [规律总结] 1.利用直线和平面(píngmiàn)垂 直的判定定理证明直线与平面(píngmiàn)垂 直的步骤：
• (1)在这个平面(píngmiàn)内找两条直线，证 明它和这两条直线垂直；
• (2)说明这个平面(píngmiàn)内的两直线是相 交的直线；
• (3)根据判定定理得出结论．
• (2)二面角的定义：从一条二直面线角出的棱发的 _______二_面__角_的_面______图形，叫作二面角， 这条直线叫作________________，这两个 半平面叫作________________．
• α(—3A)B二—β面角的记法： 2∠α—AB—β
• 以直线AB为棱、半平面α，β为面的二面角， 记作二面角______________，也可记作
第三十三页，共40页。
• (2)取BD的中点O，连接AO、CO，则∠AOC 为二面角A－BD－C的平面角．
数学北师大版高中必修2北师大版高中数学必修二第一章第六节《直线平面垂直的判定及性质》ppt
0, . 2
共 71 页
2
(2)直线与平面垂直 ①定义:如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直,
那么就说直线l和平面α互相垂直.
②判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都 垂直,那么这条直线垂直于这个平面. ③性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直 线平行.
不正确. 如果l∥α,那么,α内的直线m不可能与l相交,所以,选项B不正 确. 在上述三种情况下,α内总存在直线m,使得m⊥l.
答案:C
共 71 页
13
类型一
线线垂直
解题准备:判定直线与直线垂直的方法:
(1)计算两直线所成的角为90°(包括平面角与异面直线所成
的角). (2)线面垂直的性质(若a⊥α,b⊂α,则a⊥b). (3)a·b=0⇔a⊥b.
共 71 页
16
[反思感悟] 证明空间中两直线互相垂直,通常先观察两直线 是否共面.若两直线共面,则一般用平面几何知识即可证出,
如勾股定理,等腰三角形的性质等.若两直线异面,则转化为
线面垂直进行证明.
共 71 页
17
直线､平面垂直的判定及性
质
金溪一中汪君兴
共 71 页
1
1.直线与平面所成的角
(1)平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角叫做
这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,就说 它们所成的角是直角;一条直线和平面平行或在平面内,就 说它们所成的角是0°的角,可见,直线和平面所成的角的范 围是
共 71 页
3
注意:(1)定义中的“任意一条”与“所有条”是同义词,不同 于“无数条”.
(2)判定定理在应用时,一定要明确“平面内的两条相交直
北师大版高中数学必修二第1章立体几何初步1.6.1.1垂直关系课件
直线A1C1⊥BD,且A1C1与平面ABCD内的和BD平行的直线都垂直, 而A1C1与平面ABCD平行,故选项A,B,C错,正确答案是D. 答案:D
-13-
第1课时 直线与平面垂直的判定
题型一 题型二 题型三
M 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 S随堂演练
UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
-5-
第1课时 直线与平面垂直的判定
M 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 S随堂演练
UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
(3)判定定理:
-6-
第1课时 直线与平面垂直的判定
M 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 S随堂演练
UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
-4-
第1课时 直线与平面垂直的判定
M 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 S随堂演练
UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
直线与平面垂直 (1)定义:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那 么称这条直线和这个平面垂直. (2)画法:当直线与平面垂直时,通常把表示直线的线段画成和表 示平面的平行四边形的横边垂直.如图所示.
-11-
第1课时 直线与平面垂直的判定
题型一 题型二 题型三
M 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 S随堂演练
UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
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【变式训练1】 下列命题正确的是( ) A.如果一条直线垂直于平面内的一条直线,那么这条直线和这个 平面垂直 B.如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线,那么这条直线和 这个平面垂直 C.如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线 和这个平面垂直 D.如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么这条直 线和这个平面垂直
北师大版高中数学必修2课件-垂直关系的性质
D．A1A
B [可证 BD⊥平面 AA1C1C，而 CE 平面 AA1C1C，故 BD⊥CE.]
2．若平面 α⊥β，直线 a∥α，则( )
A．a⊥β
B．a∥β 或 a β
C．a 与 β 相交
D．a β 或 a∥β 或 a 与 β 相交
D [a 与 β 三种位置关系都有可能．]
3．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该
第一章 立体几何初步
§6 垂直关系 6.2 垂直关系的性质
学习目标
核心素养
1.理解直线与平面、平面与平面垂 1.通过学习直线与平面、平面与平
直的性质定理．(重点) 面垂直的性质定理提升数学抽象、
2．理解并掌握空间“平行”与 直观想象素养．
“垂直”之间的相互转化．(难点、 2．通过应用线面与面面垂直的性
()
[解析] (3)×，α∥γ 或 α∩γ＝l. [答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．已知平面 α⊥平面 β，α∩β＝l，点 P∈l，给出下面四个结论：
①过 P 与 l 垂直的直线在 α 内；
②过 P 与 β 垂直的直线在 α 内；
③过 P 与 l 垂直的直线必与 α 垂直；
④过 P 与 β 垂直的平面必与 l 垂直．
立体几何中的垂直关系有三类：线线垂直、线面垂直、面面垂 直．处理垂直问题时，要注意三者之间的内在联系．转化思想是立体 几何中解决垂直问题的重要思想．垂直关系的转化如下：
课堂 小结 提素 养
1．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系 的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．
[解] (1)证明：设 G 为 AD 的中点，连接 PG，BG，
∵△PAD 为正三角形，∴PG⊥AD. 在菱形 ABCD 中，∠DAB＝60°， G 为 AD 的中点，∴BG⊥AD. 又 BG∩PG＝G，∴AD⊥平面 PGB. ∵PB 平面 PGB，∴AD⊥PB. (2)当 F 为 PC 的中点时，满足平面 DEF⊥平面 ABCD.
2015高中数学北师大版必修二课件：《垂直关系的性质》
边线靠近时,观察上下铅垂线与门线间的间隔是否一致,当线上间隔不同时
,说明门线与铅垂线
,也就说明门安装得
.
不平行
(2)直线与平面垂直的性质定理及表示
:
不竖直
垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号表示:
.
a⊥α,b⊥α⇒a∥b
第四页，编辑于星期五：十二点 八分。
...
导学固思
问题2 叙述平面与平面垂直的性质定理,并根据图形用符号语言写出
1.设 a,b 是两条异面直线,下列说法中正确的是( C ).
第十七页，编辑于星期五：十二点 八分。
...
导学固思
A.有一平面与 a,b 都垂直
B.有且仅有一条直线与 a,b 都垂直
C.过直线 a 有且仅有一平面与 b 平行
D.过空间中任一点必可以作一直线与 a,b 都相交
【解析】A 中若有一平面与 a,b 都垂直,则 a∥b,矛盾;B 中将
的中点,求证:平面 EDB⊥平面 ABCD.
【解析】 连接 AC 交 BD 于点 O,连接 EO,
因为四边形 ABCD 是平行四边形,
所以 O 是 AC 的中点,且 E 是 SA 的中点,
所以 EO∥SC.
因为 SC⊥平面 ABCD,
所以 EO⊥平面 ABCD,且 EO⊂平面 EDB,
所以平面 EDB⊥平面 ABCD.
于是,a 与 c 的关系不确定.
2
下列说法中正确的个数为( B ).
①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直
线和这个平面垂直;②过空间一点有且只有一条直线与已知平
面垂直;③一条直线和一个平面不垂直,那么这条直线和平面
内的所有直线都不垂直;④垂直于同一平面的两条直线平行.
高中数学北师大版必修二课件 第1章 6.1 垂直关系的判定
成才之路 ·数学
北师大版 ·必修2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章
立体几何初步
第一章
§6 6.1 垂直关系
垂直关系的判定
1
课前自主预习
3
易错疑难辨析
2
课堂典例讲练
4
课时作业
课前自主预习
英国发明家瓦特获得了蒸汽机专利后，从一个大学实验员
一跃成为波士顿 —瓦特公司的老板，还成为英国皇家学会的会 员，因此引起了许多旧贵族的嫉妒和不满．据说，在一次皇家 音乐会上，有个贵族嘲讽地对瓦特说：“乐队指挥手里拿的东 西在物理学家眼里仅仅是根中正确的序号是________． [答案] ①③ [解析] ①正确；②中b与α可能平行，也可能在α内，故不 正确；③易知正确．
5．在正方体A1B1C1D1－ABCD中，E、F分别是棱AB，BC
的中点，O是AC、BD的交点，如图所示，则EF与平面BB1O的 关系是________．
特别提示：应用判定定理证明平面与平面垂直的关键是： 在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面．
1.若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于
( ) A．平面OAB C．平面OBC [答案] C [解析] 由于OA⊥OB，OA⊥OC，且OB∩OC＝O，所以 OA⊥平面OBC. B．平面OAC D．平面ABC
2．下列结论正确的是(
)
A．若直线a与平面M内两条直线垂直，则a⊥M B．若直线a与平面M内的无数条直线垂直，则a⊥M C．若直线a与平面M内的一个三角形两边垂直，则a⊥M D．若直线a与平面M内的一平行四边形两边垂直，则 a⊥M [答案] C [解析] A中漏掉相交两字，B中无数条不等价于任何一
[思路分析] 利用直线与平面垂直的概念和判定定理解
北师大版 ·必修2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章
立体几何初步
第一章
§6 6.1 垂直关系
垂直关系的判定
1
课前自主预习
3
易错疑难辨析
2
课堂典例讲练
4
课时作业
课前自主预习
英国发明家瓦特获得了蒸汽机专利后，从一个大学实验员
一跃成为波士顿 —瓦特公司的老板，还成为英国皇家学会的会 员，因此引起了许多旧贵族的嫉妒和不满．据说，在一次皇家 音乐会上，有个贵族嘲讽地对瓦特说：“乐队指挥手里拿的东 西在物理学家眼里仅仅是根中正确的序号是________． [答案] ①③ [解析] ①正确；②中b与α可能平行，也可能在α内，故不 正确；③易知正确．
5．在正方体A1B1C1D1－ABCD中，E、F分别是棱AB，BC
的中点，O是AC、BD的交点，如图所示，则EF与平面BB1O的 关系是________．
特别提示：应用判定定理证明平面与平面垂直的关键是： 在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面．
1.若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于
( ) A．平面OAB C．平面OBC [答案] C [解析] 由于OA⊥OB，OA⊥OC，且OB∩OC＝O，所以 OA⊥平面OBC. B．平面OAC D．平面ABC
2．下列结论正确的是(
)
A．若直线a与平面M内两条直线垂直，则a⊥M B．若直线a与平面M内的无数条直线垂直，则a⊥M C．若直线a与平面M内的一个三角形两边垂直，则a⊥M D．若直线a与平面M内的一平行四边形两边垂直，则 a⊥M [答案] C [解析] A中漏掉相交两字，B中无数条不等价于任何一
[思路分析] 利用直线与平面垂直的概念和判定定理解
高中数学 1.6.2 垂直关系的性质课件 北师大版必修2
在 Rt△CBD 中，CD＝ 52＋122＝13.
所以 CD 的长为 13cm.
• [说明] 本题综合运用了面面垂直(chuízhí)的 性质以及直角三角形中的勾股定理．要求CD 的长，关键要构造三角形，将CD转化到三角 形中去求解．另外，本题也可以通过连接AD
第三十六页，共41页。
易错疑难辨析
第三十七页，共41页。
• (4)简记为：面面垂直⇒线面垂直． 第九页，共41页。
• 拓展：平面与平面垂直还有如下性质： • 两个平面垂直，则经过(jīngguò)第一个平面
内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个 平面内．也就是说：只要在其中一个平面内 通过一点作另一个平面的垂线，那么这条垂 线必在这个平面内．
第十页，共41页。
• 1．下列说法正确的是( ) • A．垂直于同一条直线的两条直线平行
(píngxíng) • B．垂直于同一条直线的两条直线垂直 • C．垂直于同一个平面的两条直线平行
(píngxíng) • D．垂直于同一条直线的直线和平面平行
(píngxíng) • [答案] C
第十一页，共41页。
• [解析] 在空间中，垂直于同一条直线 (zhíxiàn)的两条直线(zhíxiàn)，可能平行，相 交，也可能异面，所以选项A，B错；垂直于 同一条直线(zhíxiàn)的直线(zhíxiàn)和平面的 位置关系可以是直线(zhíxiàn)在平面内或直线 (zhíxiàn)和平面平行，所以选项D错．
第十二页，共41页。
• 2．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必 有直线m，使m与l( )
• A．平行
B．相交
• C．垂直(chuízhí) D．互为异面直线
• [答案] C
所以 CD 的长为 13cm.
• [说明] 本题综合运用了面面垂直(chuízhí)的 性质以及直角三角形中的勾股定理．要求CD 的长，关键要构造三角形，将CD转化到三角 形中去求解．另外，本题也可以通过连接AD
第三十六页，共41页。
易错疑难辨析
第三十七页，共41页。
• (4)简记为：面面垂直⇒线面垂直． 第九页，共41页。
• 拓展：平面与平面垂直还有如下性质： • 两个平面垂直，则经过(jīngguò)第一个平面
内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个 平面内．也就是说：只要在其中一个平面内 通过一点作另一个平面的垂线，那么这条垂 线必在这个平面内．
第十页，共41页。
• 1．下列说法正确的是( ) • A．垂直于同一条直线的两条直线平行
(píngxíng) • B．垂直于同一条直线的两条直线垂直 • C．垂直于同一个平面的两条直线平行
(píngxíng) • D．垂直于同一条直线的直线和平面平行
(píngxíng) • [答案] C
第十一页，共41页。
• [解析] 在空间中，垂直于同一条直线 (zhíxiàn)的两条直线(zhíxiàn)，可能平行，相 交，也可能异面，所以选项A，B错；垂直于 同一条直线(zhíxiàn)的直线(zhíxiàn)和平面的 位置关系可以是直线(zhíxiàn)在平面内或直线 (zhíxiàn)和平面平行，所以选项D错．
第十二页，共41页。
• 2．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必 有直线m，使m与l( )
• A．平行
B．相交
• C．垂直(chuízhí) D．互为异面直线
• [答案] C
高中数学必修2课件：第一章 6 垂直关系的性质
6．2 垂直关系的性质
预习课本P39～41，思考并完成以下问题
(1)线面垂直的性质定理的内容是什么？有什么作用？
(2)面面垂直的性质定理的内容是什么？有什么作用？
(3)应用面面垂直性质定理时应注意什么？
1．直线与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直 线 平行 ． (2)图形语言：
[活学活用] 如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足 为A，EB⊥β，垂足为B，直线a β，a⊥AB. 求证：a∥l.
证明：因为EA⊥α，α∩β＝l，即l α，所以l⊥EA.同理l⊥EB. 又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB. 因为EB⊥β，a β，所以EB⊥a， 又a⊥AB，EB∩AB＝B， 所以a⊥平面EAB. 由线面垂直的性质定理，得a∥l.
(1)如图，在菱形ABCD中， 连接BD， 由已知∠DAB＝60°， ∴△ABD为正三角形，
∵G是AD的中点，∴BG⊥AD. ∵平面PAD⊥平面ABCD， 且平面PAD∩平面ABCD＝AD， ∴BG⊥平面PAD. (2)如图，连接PG. ∵△PAD是正三角形，G是AD的中点， ∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD. 又∵PG∩BG＝G.∴AD⊥平面PBG. 而PB 平面PBG，∴AD⊥PB.
面面垂直性质定理的应用
[典例] 已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平 面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.
[证明]
如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，
∵平面PAC⊥平面PBC，AD 平面PAC，且AD⊥PC， ∴AD⊥平面PBC， 又BC 平面PBC，∴AD⊥BC. ∵PA⊥平面ABC.BC 平面ABC， ∴PA⊥BC， ∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC， 又AC 平面PAC，∴BC⊥AC.
预习课本P39～41，思考并完成以下问题
(1)线面垂直的性质定理的内容是什么？有什么作用？
(2)面面垂直的性质定理的内容是什么？有什么作用？
(3)应用面面垂直性质定理时应注意什么？
1．直线与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直 线 平行 ． (2)图形语言：
[活学活用] 如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足 为A，EB⊥β，垂足为B，直线a β，a⊥AB. 求证：a∥l.
证明：因为EA⊥α，α∩β＝l，即l α，所以l⊥EA.同理l⊥EB. 又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB. 因为EB⊥β，a β，所以EB⊥a， 又a⊥AB，EB∩AB＝B， 所以a⊥平面EAB. 由线面垂直的性质定理，得a∥l.
(1)如图，在菱形ABCD中， 连接BD， 由已知∠DAB＝60°， ∴△ABD为正三角形，
∵G是AD的中点，∴BG⊥AD. ∵平面PAD⊥平面ABCD， 且平面PAD∩平面ABCD＝AD， ∴BG⊥平面PAD. (2)如图，连接PG. ∵△PAD是正三角形，G是AD的中点， ∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD. 又∵PG∩BG＝G.∴AD⊥平面PBG. 而PB 平面PBG，∴AD⊥PB.
面面垂直性质定理的应用
[典例] 已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平 面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.
[证明]
如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，
∵平面PAC⊥平面PBC，AD 平面PAC，且AD⊥PC， ∴AD⊥平面PBC， 又BC 平面PBC，∴AD⊥BC. ∵PA⊥平面ABC.BC 平面ABC， ∴PA⊥BC， ∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC， 又AC 平面PAC，∴BC⊥AC.
高中数学第一章立体几何初步6垂直关系第2课时垂直关系的性质课件北师大版必修2
解析：∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)， 故 A 正确． 答案： A
4．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°， BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )
A．直线AB上
B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC内部
解析：选 A 由 AC⊥AB，AC⊥BC1，知 AC⊥平 面 ABC1.AC 面 ABC，∴平面 ABC1⊥平面 ABC，C1 在面 ABC 上的射影 H 必在二平面交线 AB 上．
面面垂直的性质定理可将面面垂直转化为线面 垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，注意以 下三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在 一个平面内；③直线必垂直于它们的交线．
练一练
2．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形
ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角 形，其所在平面垂直于底面ABCD. (1)若G为AD边的中点 ，求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB.
∴DF⊥平面 PAC. 又 PA 平面 PAC，∴DF⊥AP.
作 DG⊥AB 于点 G， 同理可证 DG⊥AP， DG、 DF 都在平面 ABC 内且交点为 D， ∴PA⊥平面 ABC.
(2)连接 BE 并延长，交 PC 于点 H. ∵E 点是△PBC 的垂心，∴PC⊥BE. 又已知 AE 是平面 PBC 的垂线，∴PC⊥AE. 又∵BE∩AE＝E，∴PC⊥面 ABE.∴PC⊥AB. 又∵PA⊥平面 ABC，∴PA⊥AB. ∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面 PAC. ∴AB⊥AC，即△ABC 是直角三角形．
(2)假设平面 SBC⊥平面 SDC. ∵BK⊥SC，∴BK⊥平面 SDC. ∵DC 平面 SDC，∴BK⊥DC， 又 AB∥CD，∴BK⊥AB. ∵ABCD 是正方形，AB⊥BC，∴AB⊥平面 SBC， 又 SB 平面 SBC， ∴AB⊥SB， 这与∠SBA 是 Rt△SAB 的一个锐角矛盾，故假设不成立． ∴原结论成立，即平面 SBC 不垂直于平面 SDC.
4．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°， BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )
A．直线AB上
B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC内部
解析：选 A 由 AC⊥AB，AC⊥BC1，知 AC⊥平 面 ABC1.AC 面 ABC，∴平面 ABC1⊥平面 ABC，C1 在面 ABC 上的射影 H 必在二平面交线 AB 上．
面面垂直的性质定理可将面面垂直转化为线面 垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，注意以 下三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在 一个平面内；③直线必垂直于它们的交线．
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2．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形
ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角 形，其所在平面垂直于底面ABCD. (1)若G为AD边的中点 ，求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB.
∴DF⊥平面 PAC. 又 PA 平面 PAC，∴DF⊥AP.
作 DG⊥AB 于点 G， 同理可证 DG⊥AP， DG、 DF 都在平面 ABC 内且交点为 D， ∴PA⊥平面 ABC.
(2)连接 BE 并延长，交 PC 于点 H. ∵E 点是△PBC 的垂心，∴PC⊥BE. 又已知 AE 是平面 PBC 的垂线，∴PC⊥AE. 又∵BE∩AE＝E，∴PC⊥面 ABE.∴PC⊥AB. 又∵PA⊥平面 ABC，∴PA⊥AB. ∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面 PAC. ∴AB⊥AC，即△ABC 是直角三角形．
(2)假设平面 SBC⊥平面 SDC. ∵BK⊥SC，∴BK⊥平面 SDC. ∵DC 平面 SDC，∴BK⊥DC， 又 AB∥CD，∴BK⊥AB. ∵ABCD 是正方形，AB⊥BC，∴AB⊥平面 SBC， 又 SB 平面 SBC， ∴AB⊥SB， 这与∠SBA 是 Rt△SAB 的一个锐角矛盾，故假设不成立． ∴原结论成立，即平面 SBC 不垂直于平面 SDC.
数学北师大版必修2课件：第一章6.2垂直关系的性质 (42张)
1．直线与平面垂直的性质定理
文字语言
图形语言
如果两条直线同 _垂__直__于__一__个__平__面__, 那么这两条直线
平行
符号语言 ________ba__⊥⊥____αα________⇒a∥b
2.平面与平面垂直的性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
如果两个平面互 相垂直，那么在 一个平面内垂直 于它们__交__线____ 的直线垂直于另 一个平面
1．如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M 是 AB 上一 点，N 是 A1C 的中点，MN⊥平面 A1DC.求证：MN∥AD1.
证明：因为 ADD1A1 为正方形， 所以 AD1⊥A1D. 又因为 CD⊥平面பைடு நூலகம்ADD1A1， 所以 CD⊥AD1.因为 A1D∩CD＝D， 所以 AD1⊥平面 A1DC. 又因为 MN⊥平面 A1DC， 所以 MN∥AD1.
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10 • You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。 •
高中数学第一章立体几何初步6.1垂直关系的判定课件北师大版必修2
(1)求二面角的大小关键是要找出或作出平面角 .再把平面角放在三角形 中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角→证 明→计算. (2) 为了能在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点， 如是否为等腰三角形等.
跟踪训练3
如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，
答案 二面角.
答案
思考2
平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？
答案 二面角的平面角.
答案
梳理
(1)定义：从一条直线出发的 两个半平面 所组成的图形. (2)相关概念：①这条直线叫作二面角的 棱 .②两个半平面叫作二面角的 面 . (3)二面角的记法 以直线AB为棱，半平面α，β为面的二面角，记作二面 角面α－AB－β. (4) 二面角的平面角：若有①O ∈ l；②OA α，OB 则二面角α－l－β的平面角是 . ∠AOB
(2)判定定理 文字语言 如果一个平面经过另一个平面的一条 垂线 ，那么这
两个平面互相垂直
图形语言
符号语言
l⊥α， l β ⇒α⊥β
题型探究
类型一 例1
线面垂直的判定
如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O
上任意一点，求证：BC⊥平面PAC.
证明 ∵PA⊥平面ABC，
边形的一边垂直
知识点二
直线和平面垂直的判定定理
将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面 上(BD，DC与桌面接触).观察折痕AD与桌面的位置关系.
思考1
折痕AD与桌面一定垂直吗？
答案 不一定.
答案
思考2
当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？
答案
跟踪训练3
如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，
答案 二面角.
答案
思考2
平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？
答案 二面角的平面角.
答案
梳理
(1)定义：从一条直线出发的 两个半平面 所组成的图形. (2)相关概念：①这条直线叫作二面角的 棱 .②两个半平面叫作二面角的 面 . (3)二面角的记法 以直线AB为棱，半平面α，β为面的二面角，记作二面 角面α－AB－β. (4) 二面角的平面角：若有①O ∈ l；②OA α，OB 则二面角α－l－β的平面角是 . ∠AOB
(2)判定定理 文字语言 如果一个平面经过另一个平面的一条 垂线 ，那么这
两个平面互相垂直
图形语言
符号语言
l⊥α， l β ⇒α⊥β
题型探究
类型一 例1
线面垂直的判定
如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O
上任意一点，求证：BC⊥平面PAC.
证明 ∵PA⊥平面ABC，
边形的一边垂直
知识点二
直线和平面垂直的判定定理
将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面 上(BD，DC与桌面接触).观察折痕AD与桌面的位置关系.
思考1
折痕AD与桌面一定垂直吗？
答案 不一定.
答案
思考2
当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？
答案
高中数学第一章立体几何初步1.6.2垂直关系的性质课件
【训练1】 如图，在四棱锥P－ABCD中， 底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD， AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别 在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 证明 因为AB⊥平面PAD，AE 平面PAD， 所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD. 因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，所以AE⊥平面PCD. 因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD. 又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C， 所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.
6.2 垂直关系的性质
学习目标 1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质 定理(重点)；2.能运用性质定理解决一些简单问题(重点)；3. 了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间 的相互联系(重、难点)．
知识点一 直线与平面垂直的性质定理
文字语言 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行
考查 方向
题型三 线线、线面、面面垂直的综合应用
方向1 证明直线和直线平行 【例3－1】 如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A、
B，a α，a⊥AB.求证：a∥l.
证明 ∵PA⊥α，l α，∴PA⊥l. 同理PB⊥l.∵PA∩PB＝P，∴l⊥平面PAB. 又∵PA⊥α，a α，∴PA⊥a. ∵a⊥AB，PA∩AB＝A，∴a⊥平面PAB. ∴a∥l.
【训练2】 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点， ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正 三角形，其所在平面垂直于底面ABCD. (1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB.
证明 (1)连接BD， ∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°， ∴△ABD是正三角形，又∵G是AD的中点， ∴BG⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD且两 平面交于AD， ∴BG⊥平面PAD. (2)连接PG，由(1)可知BG⊥AD，∵△PAD是正三角形，G是 AD中点，所以PG⊥AD，BG∩PG＝G， 所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB.
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解:(1)BC⊥平面PAC.证明如下: ∵AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点, ∴∠ACB=90°,即BC⊥AC. 又∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,BC⫋平面 ABC,∴BC⊥平面PAC. (2)∵BC⫋平面PBC,BC⊥平面PAC, ∴平面PBC⊥平面PAC.
6.2
垂直关系的性质
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学 习 目 标 思 维 脉 络 1.理解直线与平面垂直、 平面 与平面垂直的性质定理. 2.能运用两个性质定理解决 相关问题. 3.理解线线垂直、线面垂直、 面面垂直的内在联系,能运用 这些关系解决有关垂直的综 合问题.
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证明:连接AB1,B1C,BD,B1D1. ∵DD1⊥平面ABCD,AC⫋平面ABCD,∴DD1⊥AC. 又AC⊥BD,且BD∩DD1=D, ∴AC⊥平面BDD1B1. ∵BD1⫋平面BDD1B1, ∴BD1⊥AC. 同理,BD1⊥B1C. ∵B1C∩AC=C,∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥A1D,A1D∥B1C,∴EF⊥B1C. 又EF⊥AC,且AC∩B1C=C, ∴EF⊥平面AB1C. ∴EF∥BD1.
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2.平面与平面垂直的性质定理
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做一做2 下列说法中错误的是( ) A.如果α⊥β,那么α内的所有直线都垂直β B.如果一条直线垂直于一个平面,那么此直线必垂直于这个平面 内的所有直线 C.如果一个平面通过另一个平面的垂线,那么两个平面互相垂直 D.如果α不垂直于β,那么α内一定不存在垂直于β的直线 解析:根据两平面垂直的性质定理,可知A错误,故选A. 答案:A
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探究一线面垂直的性质定理及其应用 【例1】
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且 EF⊥A1D,EF⊥AC. 求证:EF∥BD1. 分析:要证EF∥BD1,只需证明EF与BD1同垂直于某一个平面即可, 由条件可知这里当然选择平面AB1C.
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探究二面面垂直的性质定理及其应用 【例2】
如图所示,AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,平 面PAC⊥平面ABC. (1)判断BC与平面PAC的位置关系,并证明; (2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系. 分析:(1)由于BC⊥AC,所以利用面面垂直的性质定理可得到BC 与平面PAC是垂直关系.(2)利用面面垂直的判定定理解决.
∵F为▱ABCD的对角线AC与BD的交点, ∴F为AC的中点. 又E为SA的中点,∴EF为△SAC的中位线, ∴EF∥SC. ∵SC⊥平面ABCD, ∴EF⊥平面ABCD. 又EF⫋平面EBD,∴平面EBD⊥平面ABCD.
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证明:∵ADD1A1为正方形, ∴AD1⊥A1D. 又CD⊥平面ADD1A1,AD1⫋平面ADD1A1, ∴CD⊥AD1. ∵A1D∩CD=D,∴AD1⊥平面A1DC. 又MN⊥平面A1DC,∴MN∥AD1.
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做一做1 如下图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面四边形ABCD是 平行四边形,SC⊥平面ABCD,E为SA的中点. 求证:平面EBD⊥平面ABCD.
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证明:如下图所示,连接AC,与BD交于点F,连接EF.
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1.直线与平面垂直的性质定理
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思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打 “×”. (1)垂直于同一条直线的两条直线平行. ( ) (2)垂直于同一条直线的两条直线垂直. ( ) (3)垂直于同一个平面的两条直线平行. ( ) (4)垂直于同一条直线的直线和平面平行. ( ) (5)如果两个平面垂直,且经过第一个平面内一点作一条直线垂直 于第二个平面,那么该直线一定在第一个平面内. ( ) 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√
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变式训练1
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中 点,MN⊥平面A1DC. 求证:MN∥AD1.