平面与平面垂直的性质 ppt课件

练 习 : 如 图 平 面 ， ， 满 足 ， ， l, 试 判 断 l与 的 位 置 关 系 .
（法一）
l aα
βb
（法二）
l α
β
n γm
an γ mb A
如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么 这两个平面的交线垂直于这个平面.
， ， l l
证法1：设 n , m ,
F
A1
D1
α
C1 B1
D
E
A
β
C
B
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线 与另一个平面垂直．
符号表示:
MN AB AB MN
AB
M
A B M N B
面面垂直
线面垂直
A
B
N
关键点： ①线在平面内.
②线垂直于交线. C
A BD
作用： ①它能判定线面垂直.
例4：如图已知平面 ,直线a满足 a ，
试判断直线a与平面α的位置关系.
分析：寻找平面α内与a平行的直线.
α
b
a
l
β
A
解：在α内作垂直于 与交 线的
直线b，
∵ ， ∴ b ，
∵ a ， ∴a∥b.
又∵ a ， ∴a∥α.
β
即直线a与平面α平行.
α
b
a
l
A
结论：垂直于同一平面的直线和平面平行（ a）.
例1：空间四边形ABCD中，△ABD和△BCD都是正三角形， 平面ABD⊥平面BCD，试在平面ABD中找一点E，使 AE⊥平面BCD.
练习：如图AB是圆O的直径，C是圆周上不同于A、
B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC. （1）判断BC与平面PAC的关系 （2）判断平面PBC与平面PAC的关系
例 2:如右图，长方体 ABCD—A′B′C′D′中，MN 在平 面 BCC′B′内，MN⊥BC 于点 M.判断 MN 与 AB 的位 置关系，并说明理由．
解 显然，平面 BCC′B′⊥平面 ABCD，交线为 BC. 因为 MN 在平面 BCC′B′内，且 MN⊥BC， 所以 MN⊥平面 ABCD， 又 AB 平面 ABCD，从而 MN⊥AB.
练习：如图P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是 ∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形， 其所在平面垂直于底面ABCD.G为AD边中点． (1)求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.
平面与平面垂直的性质
1.使学生掌握平面与平面垂直的性质定理；（重点） 2.能运用性质定理解决一些简单问题；（难点） 3.了解平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相 互联系。
墙角线与地面有何位置关系？
思考1 黑板所在的平面与地面所在的平面垂直， 你能否在黑板上画出一条直线与地面垂直?
思考2 如图，长方体中，α⊥β, (1)α里的直线都和β垂直吗？ 不一定 (2)什么情况下α里的直线和β垂直？ 与AD垂直
(2)由(1)可知 BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G， 所以 AD⊥平面 PBG， 所以 AD⊥PB.
例3：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面APB⊥ 平面BPC.
求证：AB⊥BC.
例3：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面APB⊥
平面BPC. 证求明证：：平A面BP⊥ABB⊥C.平面CPB，且PB为交线．
练习：如图P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝ 60的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.G 为AD边中点．(1)求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.
证明 (1)由题意知△PAD 为正三角形，G 是 AD 的中点， ∴PG⊥AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD， ∴PG⊥平面 ABCD，∴PG⊥BG. 又∵四边形 ABCD 是菱形且∠DAB＝60°， ∴△ABD 是正三角形，∴BG⊥AD. 又 AD∩PG＝G，∴BG⊥平面 PAD.
已知两个平面垂直，下列命题中正确的有（ B ）.
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内的任意一点做交线的垂线，则此垂线必垂直于
另一个平面.
A.3个
B. 2个
C.1个
D.0个
(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD. 证明：①当D在平面ABC内时， 因为AC＝BC，AD＝BD， 所以C，D都在线段AB的垂直平分线上， 即AB⊥CD. ②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE. 又因AC＝BC，所以AB⊥CE. 又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE. 又CD 平面CDE，得AB⊥CD. 综上所述，总有AB⊥CD.
如图，在平面PAB内，过A点作AD⊥PB， D为垂足，则AD⊥平面CPB， 又BC 平面CPB， 所以AD⊥BC. 因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC， 所以PA⊥BC，又PA∩AD＝A，所以BC⊥平面 PAB，
2 练习:如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2， AC＝BC＝ .等边三角形ADB以AB为轴转动． (1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD； (2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论.
② 它能在一个平面内作与这个平面垂
直的垂线.
面面垂直
线面垂直
（线是一个平面内垂直于两平面பைடு நூலகம்线的一条直线）
判定线面垂直的方法主要有以下五种： ①线面垂直的定义； ②线面垂直的判定定理； ③面面垂直的性质定理；
④如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直 于同一平面， aa∥⊥bα⇒b⊥α； ⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂 直于另一个平面， αa⊥∥αβ⇒a⊥β.
[精解详析] (1)如右图，取 AB 的中点 E， 连接 DE，CE.因为△ADB 是等边三角形，所 以 DE⊥AB.
当平面 ADB⊥平面 ABC 时，因为平面 ADB∩平面 ABC＝AB，所以 DE⊥平面 ABC，可知 DE⊥CE.由已知可 得 DE＝ 3，EC＝1.
在 Rt△DEC 中，CD＝ DE2＋EC2＝2，
在α内作直线a ⊥n
l
在β内作直线b⊥m
a
同
理
b
βb
aα
n γm
b / /a
a
b / /
b
b
l
b / /l b
l
.
l