平面与平面垂直的性质 ppt课件
合集下载
8.6.3平面与平面垂直(性质)PPT课件(人教版)
∴BC⊥PA.
又PA∩AD=A，∴BC⊥平面
B
PAB.
【悟】
面面垂直的性质定理的应用
() () ()
3 于直 它线 们必 的须 交垂 线直
2 中直 一线 个必 平须 面在 内其
1
用面
要面
两 个
注垂
平
意直
面
以的
垂
下性
直
三质
点定
理
应
面面垂直的性质定理的应用
【练1】 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2. 将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC. 求证：BC⊥平面ACD.
二面角的有关概念
以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分别作垂直 于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
平面角的大小就是二面角的大小，范围是[00,1800]。
• ∠AOB即为二面角α-AB-β的 平面角
二面角的平面角的三个特征:
6.平面角是直角的二面角叫做直二面角
(1)顶点在棱上；
∴V 四棱锥 C－ABFE＝13·S 正方形 ABFE·CF＝43， V 三棱锥 A－CDE＝13·S△CDE·AE＝43，∴V 六面体 ABCDEF＝43＋43＝83.
巩固练习
巩固练习
1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，平面A1BC1⊥平面BCC1B1.证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.
b a
a / /b
a
a / /
a b
b
面面垂直的综合应用
例5.如图①所示，在直角梯形ABCD中，AB BC，BC / / AD，AD＝2AB＝4，BC＝3，E为AD的中点，EF BC, 垂足为F .沿EF 将四边形ABFE折起，连接AD，AC，BC，得到如图②所示的六面体ABCDEF .若折起后AB的 中点M 到点D的距离为3,
人教版中职数学拓展模块一：5.4.2平面与平面垂直(1)课件(共25张PPT)
例2 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，求证： 平面 ACC1A1⊥平面 BDD1B1.
活动 6 巩固练习，提升素养
例2 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，求证： 平面 ACC1A1⊥平面 BDD1B1.
分析 证明两个平面垂直的关键是在其中一个平面内 找到一条直线，证明这条直线与另一个 平面垂直.
抽象概括 如图所示，在二面角 α-l-β 的棱 l 上任取一点 O，
以点 O 为垂足，在半平面 α 和 β 内分别作垂直于棱 l 的 射线 OA 和 OB，则射线OA和OB构成的 ∠AOB 称为二面 角的平面角.
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？ 注意： （1）二面角的大小是用它的平面角来度量的，一个二 面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度. 约定二面角0°≤θ≤180°.
（2）平面角是直角的二面角叫做直二面角.
活动 3 巩固练习，提升素养
例1 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，求二 面角 D1-AB-D 的大小.
活动 3 巩固练习，提升素养
例1 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，求二 面角 D1-AB-D 的大小.
分析：如何求二面角的大小？需先找出二面角的平 面角，然后求出平面角的大小．
同样的，正方体魔方的侧棱与底面垂直，经过侧棱 的侧面与底面也是垂直的.
你能归纳出上述两例的共同特点吗？
活动 5 调动思维，探究新知
平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这
两个平面互相垂直. 用符号表示为：若l⊥α，l ⊂β，则 β⊥α. 如下图所
活动 6 巩固练习，提升素养
例2 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，求证： 平面 ACC1A1⊥平面 BDD1B1.
分析 证明两个平面垂直的关键是在其中一个平面内 找到一条直线，证明这条直线与另一个 平面垂直.
抽象概括 如图所示，在二面角 α-l-β 的棱 l 上任取一点 O，
以点 O 为垂足，在半平面 α 和 β 内分别作垂直于棱 l 的 射线 OA 和 OB，则射线OA和OB构成的 ∠AOB 称为二面 角的平面角.
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？ 注意： （1）二面角的大小是用它的平面角来度量的，一个二 面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度. 约定二面角0°≤θ≤180°.
（2）平面角是直角的二面角叫做直二面角.
活动 3 巩固练习，提升素养
例1 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，求二 面角 D1-AB-D 的大小.
活动 3 巩固练习，提升素养
例1 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，求二 面角 D1-AB-D 的大小.
分析：如何求二面角的大小？需先找出二面角的平 面角，然后求出平面角的大小．
同样的，正方体魔方的侧棱与底面垂直，经过侧棱 的侧面与底面也是垂直的.
你能归纳出上述两例的共同特点吗？
活动 5 调动思维，探究新知
平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这
两个平面互相垂直. 用符号表示为：若l⊥α，l ⊂β，则 β⊥α. 如下图所
面面垂直的判定与性质课件
详细描述
如果两个平面都与同一直线垂直，那 么这两个平面之间的夹角为90度，即 这两个平面互相垂直。
性质3：垂直于同一平面的两条直线互相平行
总结词
如果两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行。
详细描述
如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线之间的夹角为0度，即这两 条直线互相平行。
应用场景1：建筑学中的面面垂直
逆定理的表述
• 逆定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一 个平面垂直，则这两个平面互相垂直。
逆定理的证明
• 证明：设两条相交直线为$a$和$b$，它们与平面$\alpha$垂直。根据直线与平面垂直的性质，有$a \perp \alpha$和$b \perp \alpha$。由于$a$和$b$相交，根据平面的性质，过$a$和$b$的平面$\beta$与平面$\alpha$垂直。因此，逆定理 得证。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面之间的距离相等。
详细描述
根据面面垂直的性质，如果两个平面都与第三个平面垂直，那么这两个平面之间的距离 是相等的。这是因为它们都与第三个平面形成相同的角度，所以它们之间的距离也是相
等的。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一条直线，则 这两个平面之间的距离相等。
电子设备设计中，面面垂直的应用有助于提高设备的性能和稳定性。
详细描述
在电子工程中，电路板和电子元件的布局都需要遵循面面垂直的判定与性质。例如，在制造手机的过程中，利用 面面垂直的判定方法可以确保屏幕与机壳之间的垂直度，从而提高手机的显示效果和使用寿命。此外，在制造高 精度传感器的过程中，也需要利用面面垂直的判定方法来确保传感器的精确度和稳定性。
如果两个平面都与同一直线垂直，那 么这两个平面之间的夹角为90度，即 这两个平面互相垂直。
性质3：垂直于同一平面的两条直线互相平行
总结词
如果两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行。
详细描述
如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线之间的夹角为0度，即这两 条直线互相平行。
应用场景1：建筑学中的面面垂直
逆定理的表述
• 逆定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一 个平面垂直，则这两个平面互相垂直。
逆定理的证明
• 证明：设两条相交直线为$a$和$b$，它们与平面$\alpha$垂直。根据直线与平面垂直的性质，有$a \perp \alpha$和$b \perp \alpha$。由于$a$和$b$相交，根据平面的性质，过$a$和$b$的平面$\beta$与平面$\alpha$垂直。因此，逆定理 得证。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面之间的距离相等。
详细描述
根据面面垂直的性质，如果两个平面都与第三个平面垂直，那么这两个平面之间的距离 是相等的。这是因为它们都与第三个平面形成相同的角度，所以它们之间的距离也是相
等的。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一条直线，则 这两个平面之间的距离相等。
电子设备设计中，面面垂直的应用有助于提高设备的性能和稳定性。
详细描述
在电子工程中，电路板和电子元件的布局都需要遵循面面垂直的判定与性质。例如，在制造手机的过程中，利用 面面垂直的判定方法可以确保屏幕与机壳之间的垂直度，从而提高手机的显示效果和使用寿命。此外，在制造高 精度传感器的过程中，也需要利用面面垂直的判定方法来确保传感器的精确度和稳定性。
面面垂直的判定公开课课件
直。由此可知，平面β与平面α垂直。
方法2：利用面面平行的性质判定面面垂直
总结词
通过证明两个平面平行，然后利用面面平行的性质判定两个平面垂直
详细描述
首先证明两个平面平行，然后利用面面平行的性质，即如果两个平面平行，那么其中一个 平面内的任意一条直线都与另一个平面垂直，从而得出两个平面垂直的结论。
证明过程
利用三垂线定理证明一个平面内的两 条相交直线分别与另一个平面垂直， 从而得出两个平面垂直的结论。
要点三
证明过程
设直线a、b为平面α内的两条相交直 线，直线c为平面β外的一条直线，我 们需要证明直线a、b与平面β垂直， 进而证明平面α与平面β垂直。根据三 垂线定理，如果直线c与平面β的斜线 c'在点A处相交，那么c'在点A处的垂 足d在直线a、b上，且直线c、a、b 都与直线d垂直。由此可知，直线a、 b与平面β垂直。由此可知，平面α与 平面β垂直。
设平面α与平面β平行，直线a在平面α内，我们需要证明直线a与平面β垂直。由于平面α 与平面β平行，根据面面平行的性质，平面α内的任意一条直线都与平面β垂直。因此，直 线a与平面β垂直。由此可知，平面α与平面β垂直。
方法3：利用三垂线定理判定面面垂直
要点过三垂线定理证明两个平面垂直
面面垂直的判定公开课课件
$number {01}
目录
• 面面垂直的判定定理 • 面面垂直的性质 • 面面垂直的判定方法 • 面面垂直的实例分析 • 面面垂直的习题与解答
01
面面垂直的判定定理
判定定理的陈述
• 判定定理：如果一个平面内的一条直线与另一个平面垂直，那么这两个平面互 相垂直。
判定定理的证明
• 证明：假设平面α内有直线l，且l与平面β垂直。为了证明平面α 与平面β垂直，我们需要证明平面α上的任意一条直线m都与平 面β垂直。设直线m在平面α上并与直线l相交于点P。由于l与β 垂直，根据直线与平面垂直的性质定理，l与β上的任意一条直 线（包括m）都垂直。因此，m与β也垂直。由于m是平面α上 的任意一条直线，所以我们可以得出结论：平面α与平面β垂直 。
方法2：利用面面平行的性质判定面面垂直
总结词
通过证明两个平面平行，然后利用面面平行的性质判定两个平面垂直
详细描述
首先证明两个平面平行，然后利用面面平行的性质，即如果两个平面平行，那么其中一个 平面内的任意一条直线都与另一个平面垂直，从而得出两个平面垂直的结论。
证明过程
利用三垂线定理证明一个平面内的两 条相交直线分别与另一个平面垂直， 从而得出两个平面垂直的结论。
要点三
证明过程
设直线a、b为平面α内的两条相交直 线，直线c为平面β外的一条直线，我 们需要证明直线a、b与平面β垂直， 进而证明平面α与平面β垂直。根据三 垂线定理，如果直线c与平面β的斜线 c'在点A处相交，那么c'在点A处的垂 足d在直线a、b上，且直线c、a、b 都与直线d垂直。由此可知，直线a、 b与平面β垂直。由此可知，平面α与 平面β垂直。
设平面α与平面β平行，直线a在平面α内，我们需要证明直线a与平面β垂直。由于平面α 与平面β平行，根据面面平行的性质，平面α内的任意一条直线都与平面β垂直。因此，直 线a与平面β垂直。由此可知，平面α与平面β垂直。
方法3：利用三垂线定理判定面面垂直
要点过三垂线定理证明两个平面垂直
面面垂直的判定公开课课件
$number {01}
目录
• 面面垂直的判定定理 • 面面垂直的性质 • 面面垂直的判定方法 • 面面垂直的实例分析 • 面面垂直的习题与解答
01
面面垂直的判定定理
判定定理的陈述
• 判定定理：如果一个平面内的一条直线与另一个平面垂直，那么这两个平面互 相垂直。
判定定理的证明
• 证明：假设平面α内有直线l，且l与平面β垂直。为了证明平面α 与平面β垂直，我们需要证明平面α上的任意一条直线m都与平 面β垂直。设直线m在平面α上并与直线l相交于点P。由于l与β 垂直，根据直线与平面垂直的性质定理，l与β上的任意一条直 线（包括m）都垂直。因此，m与β也垂直。由于m是平面α上 的任意一条直线，所以我们可以得出结论：平面α与平面β垂直 。
6.2平面与平面 垂直的性质 课件
[答案]
B
2．过两点与一个已知平面垂直的平面( A．有且只有一个 B．有无数个 C．有且只有一个或无数个 D．可能不存在
)
[答案] C
3．如图所示，三棱锥 P－ABC 中，平面 PAB⊥平面 ABC，PA＝PB，
AD＝DB，则(
)
A．PD⊂ 平面 ABC B．PD⊥平面 ABC C．PD 与平面 ABC 相交但不垂直 D．PD∥平面 ABC
例1、已知：平面α⊥平面β，平面α⊥平面γ， 且β∩γ＝l，求证：l⊥α.
证明：如图在α内任取一点P，过点P分别作β ，γ与α交线的垂线，垂足分别为A，B. ∵β⊥α，γ⊥α，∴PA⊥β，PB⊥γ. ∴PA⊥l，PB⊥l.又∵PA α，PB α， PA∩PB＝P，∴l⊥α.
变式训练 1： 如图所示， 边长为 2 的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面， BC＝2 2，M 为 BC 的中点．求证：AM⊥PM.
证明：如图连接 AP.矩形 ABCD 中， AD⊥DC， BC⊥DC， 又∵平面 PDC⊥平面 ABCD，平面 PDC∩ 平面 ABCD＝DC， ∴AD⊥平面 PDC， BC⊥平面 PDC，又∵PD 平面 PDC，PC 平面 PDC，∴AD⊥PD，BC⊥PC，在 Rt△PAD 和 Rt △PMC 中，易知 AP2 ＝AD2＋PD2＝(2 2)2＋22＝12， PM2＝PC2＋MC2＝22＋( 2)2＝6， 又∵
③举反例：如图的长方体中，a∥γ，b∥γ，但 a 与 b 相交． ④垂直于同一平面的两直线互相平行． 故①，④正确．
6．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则 直线m与n的位置关系是________．
[答案]
平行
[解析]
《平面与平面垂直》课件
。
02
平面与面垂直的性质
平面与平面垂直的性质定理
总结词
描述平面与平面垂直的性质定理的内容。
详细描述
平面与平面垂直的性质定理是平面几何中的基本定理之一，它描述了两个平面垂直时所具有的性质特点。具体来 说，如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的任意直线与另一个平面内的任意直线所成的角都为直角。这个定 理是证明其他相关性质和定理的基础。
详细描述
首先确定一条直线，然后过这条 直线作一个平面，最后在这个平 面上作该直线的垂线，即为所求 的平面与平面垂直。
通过点作平面的垂线
总结词
通过点作平面的垂线是平面与平面垂 直作图的常用方法。
详细描述
首先确定一个点，然后过这个点作一 个平面，最后在这个平面上作该点的 垂线，即为所求的平面与平面垂直。
风口的位置。这需要运用平面与平面垂直的知识，以确保窗户和通风口
与地面和立面之间的垂直关系。
工程制图中的应用
制图基础
在工程制图中，平面与平面垂直的概念是绘图的基础。工 程师需要准确地绘制各种平面图，并确保它们之间的垂直 关系，以便准确地表达设计意图。
施工指导
工程图纸中的平面与平面垂直关系对于指导施工过程至关 重要。施工人员需要根据图纸中的垂直关系，准确地构建 建筑物或机械部件。
要点一
总结词
要点二
详细描述
列举平面与平面垂直的性质定理在实际问题中的应用。
平面与平面垂直的性质定理在现实生活中有着广泛的应用 。例如，在建筑学中，这个定理被用来确定建筑物的垂直 度，以保证建筑物的稳定性和安全性；在机械工程中，这 个定理被用来设计和制造各种机械零件，以保证其精确度 和稳定性。此外，这个定理在物理学、化学、计算机图形 学等领域也有着广泛的应用。
02
平面与面垂直的性质
平面与平面垂直的性质定理
总结词
描述平面与平面垂直的性质定理的内容。
详细描述
平面与平面垂直的性质定理是平面几何中的基本定理之一，它描述了两个平面垂直时所具有的性质特点。具体来 说，如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的任意直线与另一个平面内的任意直线所成的角都为直角。这个定 理是证明其他相关性质和定理的基础。
详细描述
首先确定一条直线，然后过这条 直线作一个平面，最后在这个平 面上作该直线的垂线，即为所求 的平面与平面垂直。
通过点作平面的垂线
总结词
通过点作平面的垂线是平面与平面垂 直作图的常用方法。
详细描述
首先确定一个点，然后过这个点作一 个平面，最后在这个平面上作该点的 垂线，即为所求的平面与平面垂直。
风口的位置。这需要运用平面与平面垂直的知识，以确保窗户和通风口
与地面和立面之间的垂直关系。
工程制图中的应用
制图基础
在工程制图中，平面与平面垂直的概念是绘图的基础。工 程师需要准确地绘制各种平面图，并确保它们之间的垂直 关系，以便准确地表达设计意图。
施工指导
工程图纸中的平面与平面垂直关系对于指导施工过程至关 重要。施工人员需要根据图纸中的垂直关系，准确地构建 建筑物或机械部件。
要点一
总结词
要点二
详细描述
列举平面与平面垂直的性质定理在实际问题中的应用。
平面与平面垂直的性质定理在现实生活中有着广泛的应用 。例如，在建筑学中，这个定理被用来确定建筑物的垂直 度，以保证建筑物的稳定性和安全性；在机械工程中，这 个定理被用来设计和制造各种机械零件，以保证其精确度 和稳定性。此外，这个定理在物理学、化学、计算机图形 学等领域也有着广泛的应用。
平面与平面垂直的性质(PPT)4-3
［复习］ 1．二面角与二面角的平面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
2．平面与平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是直角（即成直二面角），就 说这两个平面互相垂直． 3．两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平 面互相垂直．
ABຫໍສະໝຸດ 。CD
BE CD B
已知： ， ＝CD， ， CD于点
求证：
证明：过B在平面β内作BE⊥CD，
AB BE
CD CD
ABE是二面角
CD
的平面角
α
90
A D
β
BE
C
AB BE
AB CD
BE
色素沉着、角化过度或疣状增生，也可见白细胞减少或贫血。已公认长期接触砷化物可致皮肤癌和肺癌。急性经口中毒应及早洗胃，活性炭g，及氧化镁～4g 或蛋清水(4只鸡蛋清加水杯拌匀)有助于除去胃内残余的砷化合物。二巯基丙磺酸钠、二巯基丁二酸钠有较好的解毒效果。慢性中毒者应停止砷接触，并积极 驱砷治疗。车间空气中砷化物(三氧化；安馨3021 安馨3021 ；二砷和五氧化二砷最高容许浓度为.mg/m;地面水最高含砷量不得超 过.4mg/L;大气日平均最高容许浓度为.mg/m。 [4] 发现简史编辑 含砷矿石 含砷矿石 古代罗马人称砷的硫化物矿叫auripigmentum。"auri"表示"金黄色"， "Pigmentum"是指"颜料"；二者组合起来就是"金黄色的颜料"。这首先见于世纪罗马博物学家普林尼的著作中。今天英文中雌黄的名称orpiment正由这一词演 变而来的。 [] 世纪希腊医生第奥斯科里底斯叙述焙烧砷的硫化物以制取三氧化二砷，用于医药中。 [] 三氧化二砷在中国古代文献中称为砒石或砒霜。这个" 砒"字由"貔"而来。貔传说是一种吃人的凶猛野兽。这说明中国古代人们早已认识到它的毒性，常常出现在中国古典小说和戏剧中。 [] 小剂量砒霜作为药用在 中国医药书籍中最早出现在公元 7年宋朝人编辑的《开宝本草》中。 [] 世纪中叶中国北魏末期农学家贾思勰(xie)编著的农学专著《齐民要术》中讲到：将雄 黄、雌黄研成粉末，与胶水泥和，浸纸可防虫蠹(dU)(蛀虫)。明末宋应星编著的《天工开物》中讲到三氧化二砷在农业生产中的应用："陕、洛之间，忧虫蚀 者，或以砒霜拌种子……" [] 将黄色砷的硫化物在空气中焙烧后就转变成白色的三氧化二砷。这种明显的物质间的转变引起中外炼金术士和炼丹家的兴趣。西 方炼金术士们把雌黄称为帝王黄，用蛇作为砷的符号。 [] 中国炼丹家称硫磺、雄黄和雌黄为三黄，视为重要的药品。公元4世纪前半叶中国炼丹家、古药学 家葛洪(～年)在《抱朴子内篇》卷十一《仙药》中记述着："又雄黄……饵服之法，或以蒸煮之；或以酒饵；或先以硝石化为水，乃凝之；或以玄胴肠裹蒸于 赤土下；或以松脂和之；或以三物炼之，引之如布，白如冰。……。这是葛洪讲述服用雄黄的方法：或者蒸煮它，或者用酒浸泡，或者用硝酸钾(硝石)溶液溶 解它。用硝酸钾溶解它会生成砷酸钾KAsO4，受热会分解生成三氧化二砷AsO，砒霜。或者与猪油(玄胴肠或猪大肠)共热；或者与松树脂(松脂)混和加热。猪 油和松树脂都是含碳的有机化合物，
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
2．平面与平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是直角（即成直二面角），就 说这两个平面互相垂直． 3．两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平 面互相垂直．
ABຫໍສະໝຸດ 。CD
BE CD B
已知： ， ＝CD， ， CD于点
求证：
证明：过B在平面β内作BE⊥CD，
AB BE
CD CD
ABE是二面角
CD
的平面角
α
90
A D
β
BE
C
AB BE
AB CD
BE
色素沉着、角化过度或疣状增生，也可见白细胞减少或贫血。已公认长期接触砷化物可致皮肤癌和肺癌。急性经口中毒应及早洗胃，活性炭g，及氧化镁～4g 或蛋清水(4只鸡蛋清加水杯拌匀)有助于除去胃内残余的砷化合物。二巯基丙磺酸钠、二巯基丁二酸钠有较好的解毒效果。慢性中毒者应停止砷接触，并积极 驱砷治疗。车间空气中砷化物(三氧化；安馨3021 安馨3021 ；二砷和五氧化二砷最高容许浓度为.mg/m;地面水最高含砷量不得超 过.4mg/L;大气日平均最高容许浓度为.mg/m。 [4] 发现简史编辑 含砷矿石 含砷矿石 古代罗马人称砷的硫化物矿叫auripigmentum。"auri"表示"金黄色"， "Pigmentum"是指"颜料"；二者组合起来就是"金黄色的颜料"。这首先见于世纪罗马博物学家普林尼的著作中。今天英文中雌黄的名称orpiment正由这一词演 变而来的。 [] 世纪希腊医生第奥斯科里底斯叙述焙烧砷的硫化物以制取三氧化二砷，用于医药中。 [] 三氧化二砷在中国古代文献中称为砒石或砒霜。这个" 砒"字由"貔"而来。貔传说是一种吃人的凶猛野兽。这说明中国古代人们早已认识到它的毒性，常常出现在中国古典小说和戏剧中。 [] 小剂量砒霜作为药用在 中国医药书籍中最早出现在公元 7年宋朝人编辑的《开宝本草》中。 [] 世纪中叶中国北魏末期农学家贾思勰(xie)编著的农学专著《齐民要术》中讲到：将雄 黄、雌黄研成粉末，与胶水泥和，浸纸可防虫蠹(dU)(蛀虫)。明末宋应星编著的《天工开物》中讲到三氧化二砷在农业生产中的应用："陕、洛之间，忧虫蚀 者，或以砒霜拌种子……" [] 将黄色砷的硫化物在空气中焙烧后就转变成白色的三氧化二砷。这种明显的物质间的转变引起中外炼金术士和炼丹家的兴趣。西 方炼金术士们把雌黄称为帝王黄，用蛇作为砷的符号。 [] 中国炼丹家称硫磺、雄黄和雌黄为三黄，视为重要的药品。公元4世纪前半叶中国炼丹家、古药学 家葛洪(～年)在《抱朴子内篇》卷十一《仙药》中记述着："又雄黄……饵服之法，或以蒸煮之；或以酒饵；或先以硝石化为水，乃凝之；或以玄胴肠裹蒸于 赤土下；或以松脂和之；或以三物炼之，引之如布，白如冰。……。这是葛洪讲述服用雄黄的方法：或者蒸煮它，或者用酒浸泡，或者用硝酸钾(硝石)溶液溶 解它。用硝酸钾溶解它会生成砷酸钾KAsO4，受热会分解生成三氧化二砷AsO，砒霜。或者与猪油(玄胴肠或猪大肠)共热；或者与松树脂(松脂)混和加热。猪 油和松树脂都是含碳的有机化合物，
人教版高一数学《2.3.4平面与平面垂直的性质》课件
2.长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ADD1与 平面ABCD垂直，平面A1ADD1内的直线A1A 与平面ABCD垂直吗?
D1 A1
D
A
C1 B1
C B
平面与平面垂直的性质定理
1. 两视个察平实面验垂直,则一
个平面视内察垂两直垂于直交平线面的直
线中与,另一个一平个面平内面的垂直直线.
l
与符另号一表个示平：面的有哪
例1 如下图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，
ABCD是∠DAB＝60°且边长为a
的菱形．侧面PAD为正三角形，
其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证： BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB.
分析：①ABCD是边长为a的菱形；
②面PAD⊥面ABCD.
解答本题可先由面⊥面得线⊥面，再进一步得出线⊥线．
面面垂直
性质定理 判定定理
线面垂直
巩固提升:
1. 如图,已知平面 , , ，直线a满足
a , a ,试判断直线a与平面 的位置关系。
解:在 内作垂直于 与 交线的直线b,
因为 ,所以 b .
因为 a ,所以 a // b . 又因为 a ,所以a // .
a
b
即直线a与平面 平行
变式1 如图所示，α⊥β，CD⊂β，CD⊥AB， CE、EF⊂α，∠FEC＝90°.
求证：面EFD⊥面DCE.
证明：∵α⊥β，CD⊂β， CD⊥AB，α∩β＝AB，∴CD⊥α. 又∵EF⊂α，∴CD⊥EF. 又∠FEC＝90°，∴EF⊥EC. 又EC∩CD＝C，∴EF⊥面DCE. 又EF⊂面EFD，∴面EFD⊥面 DCE.
(2) 当 F 为 PC 的 中 点 时 ， 满 足 平 面 DEF⊥ 平 面 ABCD.取PC的中点F，连接DE、EF、DF，
D1 A1
D
A
C1 B1
C B
平面与平面垂直的性质定理
1. 两视个察平实面验垂直,则一
个平面视内察垂两直垂于直交平线面的直
线中与,另一个一平个面平内面的垂直直线.
l
与符另号一表个示平：面的有哪
例1 如下图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，
ABCD是∠DAB＝60°且边长为a
的菱形．侧面PAD为正三角形，
其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证： BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB.
分析：①ABCD是边长为a的菱形；
②面PAD⊥面ABCD.
解答本题可先由面⊥面得线⊥面，再进一步得出线⊥线．
面面垂直
性质定理 判定定理
线面垂直
巩固提升:
1. 如图,已知平面 , , ，直线a满足
a , a ,试判断直线a与平面 的位置关系。
解:在 内作垂直于 与 交线的直线b,
因为 ,所以 b .
因为 a ,所以 a // b . 又因为 a ,所以a // .
a
b
即直线a与平面 平行
变式1 如图所示，α⊥β，CD⊂β，CD⊥AB， CE、EF⊂α，∠FEC＝90°.
求证：面EFD⊥面DCE.
证明：∵α⊥β，CD⊂β， CD⊥AB，α∩β＝AB，∴CD⊥α. 又∵EF⊂α，∴CD⊥EF. 又∠FEC＝90°，∴EF⊥EC. 又EC∩CD＝C，∴EF⊥面DCE. 又EF⊂面EFD，∴面EFD⊥面 DCE.
(2) 当 F 为 PC 的 中 点 时 ， 满 足 平 面 DEF⊥ 平 面 ABCD.取PC的中点F，连接DE、EF、DF，
平面与平面垂直的性质定理-PPT课件
OE⊥面ABCD，推出面EDB⊥面ABCD.
[证明] 设 AC∩BD＝O，连接 EO，则 EO∥PC. ∵PC＝CD＝a，PD＝ 2a， ∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.
∵平面 PCD⊥平面 ABCD，CD 为交线，
∴PC⊥平面 ABCD，
∴EO⊥平面 ABCD.
又 EO 平面 EDB，
故有平面 EDB⊥平面 ABCD.
所以 AE 平面PCD 又 PD 平面PCD, PD AE;
因为 AB AE A,所以 PD 平面 ABE.
例1: 在四棱锥P ABCD中，PA 底面ABCD，AB AD， AC CD，ABC 60，PA AB BC，E是PC的中点。
证明: (1)CD AE; (2)PD 平面ABE; (3)平面PCD 平面ABE.
平面与平面垂直的性质定理
平面与平面垂直的性质定理
【教学目标】
1.探究平面与平面垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想 象能力. 2.面面垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力. 3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生转化的思想. 【重点难点】
教学重点:平面与平面垂直的性质定理. 教学难点:平面与平面性质定理的应用. 【课时安排】1课时
（3）因为 PD 平面 PCD 所以平面 PCD 平面 ABE
变式：（课本P41）在空间四边形 SABC 中，SO 平面 ABC ，
O 为 ABC的垂心.求证：平面 SOC 平面 SAB
【证明】 延长 CO 交 AB于 D ，连接 SD
因为 O 为 ABC 的垂心，所以 CD AB
因为 SO 平面 ABC,
平面PAD 平面ABCD AD,
且AB AD, 所以 AB 平面PAD
又PD 平面PAD, 所以 PD AB;
[证明] 设 AC∩BD＝O，连接 EO，则 EO∥PC. ∵PC＝CD＝a，PD＝ 2a， ∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.
∵平面 PCD⊥平面 ABCD，CD 为交线，
∴PC⊥平面 ABCD，
∴EO⊥平面 ABCD.
又 EO 平面 EDB，
故有平面 EDB⊥平面 ABCD.
所以 AE 平面PCD 又 PD 平面PCD, PD AE;
因为 AB AE A,所以 PD 平面 ABE.
例1: 在四棱锥P ABCD中，PA 底面ABCD，AB AD， AC CD，ABC 60，PA AB BC，E是PC的中点。
证明: (1)CD AE; (2)PD 平面ABE; (3)平面PCD 平面ABE.
平面与平面垂直的性质定理
平面与平面垂直的性质定理
【教学目标】
1.探究平面与平面垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想 象能力. 2.面面垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力. 3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生转化的思想. 【重点难点】
教学重点:平面与平面垂直的性质定理. 教学难点:平面与平面性质定理的应用. 【课时安排】1课时
（3）因为 PD 平面 PCD 所以平面 PCD 平面 ABE
变式：（课本P41）在空间四边形 SABC 中，SO 平面 ABC ，
O 为 ABC的垂心.求证：平面 SOC 平面 SAB
【证明】 延长 CO 交 AB于 D ，连接 SD
因为 O 为 ABC 的垂心，所以 CD AB
因为 SO 平面 ABC,
平面PAD 平面ABCD AD,
且AB AD, 所以 AB 平面PAD
又PD 平面PAD, 所以 PD AB;
平面与平面垂直的判定课件
ABCD⊥平面BDD1B1.
证明:因为BB1⊥AB,BB1⊥BC,AB∩BC=B,
所以BB1⊥平面ABCD.又BB1⊂平面BDD1B1,
所以平面ABCD⊥平面BDD1B1.
1.理解二面角及其平面角
剖析:(1)二面角是一个空间图形,而二面角的平面角是平面图形,
二面角的大小通过其平面角的大小来刻画,体现了由空间图形向平
平面角.
答案:∠A1AD(或∠B1BC)
2.平面与平面垂直
(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说
这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直,记作α⊥β.
(2)画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平
平面的横边垂直.如图所示.
(3)判定定理
文字
语言
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面
证明(方法一)如图,取AB的中点O,连接OD,OC.
因为AD=DB,所以DO⊥AB.
又△ABD≌△ABC,
1
所以 OD=OC=2AB.
又△ABC 是等腰直角三角形,
2
2
所以 OC= 2 AC.又 CD=AC,所以 OC= 2 CD,
所以OD2+OC2=2OC2=CD2,所以DO⊥OC.
又AB⊂平面ABC,OC⊂平面ABC,AB∩OC=O,
垂直
图形
语言
符号
语言
作用
l⊥α,l⊂β⇒α⊥β
判断两个平面垂直
名师点拨 平面与平面垂直的判定定理告诉我们,可以通过直线
与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为:线面垂直,
则面面垂直.因此处理面面垂直问题(即空间问题)转化为处理线面
垂直问题,并进一步转化为处理线线垂直问题(即平面问题)来解决.
证明:因为BB1⊥AB,BB1⊥BC,AB∩BC=B,
所以BB1⊥平面ABCD.又BB1⊂平面BDD1B1,
所以平面ABCD⊥平面BDD1B1.
1.理解二面角及其平面角
剖析:(1)二面角是一个空间图形,而二面角的平面角是平面图形,
二面角的大小通过其平面角的大小来刻画,体现了由空间图形向平
平面角.
答案:∠A1AD(或∠B1BC)
2.平面与平面垂直
(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说
这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直,记作α⊥β.
(2)画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平
平面的横边垂直.如图所示.
(3)判定定理
文字
语言
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面
证明(方法一)如图,取AB的中点O,连接OD,OC.
因为AD=DB,所以DO⊥AB.
又△ABD≌△ABC,
1
所以 OD=OC=2AB.
又△ABC 是等腰直角三角形,
2
2
所以 OC= 2 AC.又 CD=AC,所以 OC= 2 CD,
所以OD2+OC2=2OC2=CD2,所以DO⊥OC.
又AB⊂平面ABC,OC⊂平面ABC,AB∩OC=O,
垂直
图形
语言
符号
语言
作用
l⊥α,l⊂β⇒α⊥β
判断两个平面垂直
名师点拨 平面与平面垂直的判定定理告诉我们,可以通过直线
与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为:线面垂直,
则面面垂直.因此处理面面垂直问题(即空间问题)转化为处理线面
垂直问题,并进一步转化为处理线线垂直问题(即平面问题)来解决.
2.3.2平面与平面垂直的判定.ppt
问题：
问题： 如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌 的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴，
那么所砌的墙面与地面垂直。大家知道其中的理论根据吗？
猜想：
如果一个平面经过了另一个平面的一条 垂线，那么这两个平面互相垂直.
下面我们来验证这个定理
已知：直线 AB⊥平面β于B点，AB 平面α，
这样的角有何特点，该如何表示呢？
1.二面角及二面角的平面角
半平面——
平面的一条直线把平面分为两部分， 其中的每一部分都叫做一个半平面。
α
l
2．二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组
成的图形叫做二面角，这条直线叫做二
面角的棱，每个半平
面叫做二面角的面．
棱为l，两个面分
别为、的二面角记
l
为 -l- ．
线线垂直
线面垂直
面面垂直
1.过平面α的一条垂线可作__无__数_个平面
与平面α垂直.
2.过一点可作_无__数__个平面与已知平面垂
直.
3.过平面α的一条斜线，可作__一__个平
面与平面α垂直.
4.过平面α的一条平行线可作__一__个平
面与α垂直.
P69例3、如图,AB是 ⊙O的直径,PA垂直于⊙O所 在的平面,C是 圆周上不同于A,B的任意一点,求证: 平面PAC⊥平面PBC.
则二面角 B-PA-C 的平面角是 90°.
答案:90°
四、当堂训练，针对点评
变式训练 2-1：如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面
ABCD 是直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD.求证:平面 PDC⊥平面 PAD. 证明:∵PA⊥平面 AC,CD⊂ 平面 AC,∴PA⊥CD.
234平面与平面垂直的性质共29张PPT
3 .
4a
【答案】 2 3 3
栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
【名师点评】 求角的大小．由所给面面垂直的条件先 转化为线面垂直，再转化为线线垂直，一般转化为在三 角形中的计算问题．
栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
互动探究
2．在本例中，若将“△ABD是正三角形”改为 “△ABD是边长为1的正三角形”其他条件不变，如何 求点C到平面ABD的距离？ 解：过 C 点作 CO⊥AB，垂足为 O. ∵平面 ABC⊥平面 ABD，交线为 AB. ∴CO⊥平面 ABD.∴CO 即为点 C 到平面 ABD 的距离． ∵∠ ACB＝ 90°， CA＝ CB， AB＝ 1， ∴CO＝12AB＝12.故点 C 到平面 ABD 的距离为12.
栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
做一做 1.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( )
A．α∥γ
B．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能
解析：选D.可能平行，也可能相交．如图，α与δ平行，
α与γ相交．
栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2．设两个平面互相垂直，则下列说法中： ①一个平面内的任何一条直线垂直于另一个平面； ②过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一平面内； ③过交线上一点垂直于交线的直线,必垂直于另一个平面； ④分别在两个平面内的两条直线互相垂直或平行． 正确的序号是________． 答案：②
栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
知能演练轻松闯关
栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放
平面与平面垂直的性质定理课件
利用平面与平面垂直的性质定理，可以证明抛物线上的任意一点到 焦点和到准线的距离相等。
椭圆和圆性质
通过平面与平面垂直的性质定理，可以证明椭圆和圆的切线与直径 垂直。
直线斜率公式
利用平面与平面垂直的性质定理，可以推导出直线斜率公式，即线的 倾斜角正切值等于该线上两点的纵坐标差与横坐标差之商。
04
平面与平面垂直的性质定理扩展
所以假设不成立，两个平面α和β垂直。
03
平面与平面垂直的性质定理应用
在几何图形中的应用
三角形内角和定理
通过平面与平面垂直的性质定理， 可以证明三角形内角和为180度。
四边形内角和定理
利用平面与平面垂直的性质定理， 可以推导出四边形内角和为360度。
平行线判定定理
通过平面与平面垂直的性质定理， 可以证明两条直线平行时，它们所 在平面的交线与这两条直线平行。
利用三角形中位线定理证明
如果三角形ABC的边AB和边AC分别在两个平面α和β上， 且BC是这两个平面的交线，那么三角形ABC的中位线DE 平行于交线BC。
如果平面α和β不垂直，那么交线BC与平面α不垂直。
但DE是三角形ABC的中位线，所以DE与平面α垂直。 这与前面的结论矛盾。
根据直线的性质，由于DE平行于BC，所以DE与平面α不 垂直。
练习题 三
总结词
在一个平面内，垂直于两个平行平面的直线必定垂直于这两个平行平面。
详细描述
设两个平行平面分别为α和β，直线m垂直于α和β。设γ是α和β的公垂线，且γ 与m不平行。因为m垂直于α和β，所以m与γ也垂直。因此，m必定垂直于α和β。
谢谢您的聆听
THANKS
两平面垂直的充要条件是它们的法向量互 相垂直。 两平面垂直的充要条件是它们的法向量内 积为零。 在空间坐标系中，如果两个平面的法向量 内积为零，则它们互相垂直。
椭圆和圆性质
通过平面与平面垂直的性质定理，可以证明椭圆和圆的切线与直径 垂直。
直线斜率公式
利用平面与平面垂直的性质定理，可以推导出直线斜率公式，即线的 倾斜角正切值等于该线上两点的纵坐标差与横坐标差之商。
04
平面与平面垂直的性质定理扩展
所以假设不成立，两个平面α和β垂直。
03
平面与平面垂直的性质定理应用
在几何图形中的应用
三角形内角和定理
通过平面与平面垂直的性质定理， 可以证明三角形内角和为180度。
四边形内角和定理
利用平面与平面垂直的性质定理， 可以推导出四边形内角和为360度。
平行线判定定理
通过平面与平面垂直的性质定理， 可以证明两条直线平行时，它们所 在平面的交线与这两条直线平行。
利用三角形中位线定理证明
如果三角形ABC的边AB和边AC分别在两个平面α和β上， 且BC是这两个平面的交线，那么三角形ABC的中位线DE 平行于交线BC。
如果平面α和β不垂直，那么交线BC与平面α不垂直。
但DE是三角形ABC的中位线，所以DE与平面α垂直。 这与前面的结论矛盾。
根据直线的性质，由于DE平行于BC，所以DE与平面α不 垂直。
练习题 三
总结词
在一个平面内，垂直于两个平行平面的直线必定垂直于这两个平行平面。
详细描述
设两个平行平面分别为α和β，直线m垂直于α和β。设γ是α和β的公垂线，且γ 与m不平行。因为m垂直于α和β，所以m与γ也垂直。因此，m必定垂直于α和β。
谢谢您的聆听
THANKS
两平面垂直的充要条件是它们的法向量互 相垂直。 两平面垂直的充要条件是它们的法向量内 积为零。 在空间坐标系中，如果两个平面的法向量 内积为零，则它们互相垂直。
直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质课件(优质课)
在工程设计中的应用
机械设计
在机械设计中，直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质对于确保机械部件的稳定性和精 确性至关重要。例如，在制造精密仪器或高精度机械设备时，需要严格控制各个部件之间 的垂直关系。
电子设备
在设计和制造电子设备如电视、电脑和手机时，需要利用直线与平面垂直、平面与平面垂 直的性质来确保设备的稳定性和可靠性。
C. 平行于同一条直线的两条直线一定 平行
基础习题
4、题目：下列说法正确的是( )
A.垂直于同一平面的两直线平行 B.平行于同一平面的两直线平行
C.若直线$a$不垂直于平面$beta$内的无数条直线，则$a$也不垂直于平 面$beta$ D.若直线$a$不垂直于平面$beta$，则直线$a$与平面$beta$ 有斜交
解析：根据空间线面位置关系的定义及判定定理得D正确．在A中，过 $a$上任一点 $P$作直线 $c/backslash/$ $a$，则 $c,b$相交或为异面直线，故A错误；在B中， 可取 $a/backslash/b$判断B错误；在C中，可取 $a,b$都垂直于第三个平面判断C 错误．故选D．
THANKS
直线与平面垂直的性质定理
性质定理一
如果一条直线与平面垂直， 那么这条直线与平面内的任 意一条直线都垂直。
性质定理二
如果一条直线与平面垂直， 那么这条直线上任意一点到 平面的距离都相等。
性质定理三
如果两条直线分别与同一 个平面垂直，那么这两条 直线平行。
Part
02
平面与平面垂直的性质
平面与平面垂直的定义
A. 若直线与平面有两个公共点，则该直线在平面内
进阶习题
B. 若直线 l 上有无数个点不在 平面 α 内，则 l ∥ α
2.3.2--平面与平面垂直的判定定理(经典)-ppt
而EF = 1，在△EFG中 tan EGF EF 5 GF
练习
第11页，共42页。
例 如图，将等腰直角三角形纸片沿斜线BC上的高AD折成直二面角.
求证: BDCD,BAC 600
分 析 : 由 直 二 面 角 的 定 义 可 知 , BDC
A
为直角 , 就是这个直二面角的平面角.所
以 BDCD .
2 等腰三角形底边上的高 3 勾股定理
2 线面垂直 线线垂直.
要证明l垂直于内的直线b，
往往反过来证明b垂直于过l的某个平面.
(4)两条平行线垂直于同一个平面，垂直于同一一个面的两直线平行.
二、平面与平面垂直
(1)定义：两平面所成二面角为直二面角
(2)判定定理： 平面过平面的垂线l
(3)性质定理： 两平面垂直，则平面内垂直于公共棱的直线是
i)求证面PAC 面ABC ii)求二面角B-PC-A的余弦值.
P
注意：Rt APC Rt ABC
证明:取AC的中点E，连接PE，往证PE 面ABC.
PA PB,点E为AC的中点，PE AC. 接下来往证PE BC,可转化为异面直线所成角问题.A
E
C
取AB的中点F，连接EF，PF，则EF//BC.
P
PO OA，PO OB，PO OC
PA=PB=PC，PO=PO=PO
Rt POA Rt POB Rt POC
OA=OB=OC，即O为 ABC的外心.
A
C
ABC为直角三角形，ABC=90，则O为斜边AC的中点. B 由PO 面PAC，PO 面ABC，可得面PAC 面ABC.
第20页，共42页。
A
G E
C
EGB为所求二面角B-PC-A的平面角.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
② 它能在一个平面内作与这个平面垂
直的垂线.
面面垂直
线面垂直
（线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
判定线面垂直的方法主要有以下五种： ①线面垂直的定义； ②线面垂直的判定定理； ③面面垂直的性质定理；
④如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直 于同一平面， aa∥⊥bα⇒b⊥α； ⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂 直于另一个平面， αa⊥∥αβ⇒a⊥β.
如图，在平面PAB内，过A点作AD⊥PB， D为垂足，则AD⊥平面CPB， 又BC 平面CPB， 所以AD⊥BC. 因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC， 所以PA⊥BC，又PA∩AD＝A，所以BC⊥平面 PAB，
2 练习:如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2， AC＝BC＝ .等边三角形ADB以AB为轴转动． (1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD； (2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论.
例4：如图已知平面 ,直线a满足 a ，
试判断直线a与平面α的位置关系.
分析：寻找平面α内与a平行的ຫໍສະໝຸດ 线.αba
l
β
A
解：在α内作垂直于 与交 线的
直线b，
∵ ， ∴ b ，
∵ a ， ∴a∥b.
又∵ a ， ∴a∥α.
β
即直线a与平面α平行.
α
b
a
l
A
结论：垂直于同一平面的直线和平面平行（ a）.
(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD. 证明：①当D在平面ABC内时， 因为AC＝BC，AD＝BD， 所以C，D都在线段AB的垂直平分线上， 即AB⊥CD. ②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE. 又因AC＝BC，所以AB⊥CE. 又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE. 又CD 平面CDE，得AB⊥CD. 综上所述，总有AB⊥CD.
在α内作直线a ⊥n
l
在β内作直线b⊥m
a
同
理
b
βb
aα
n γm
b / /a
a
b / /
b
b
l
b / /l b
l
.
l
练 习 : 如 图 平 面 ， ， 满 足 ， ， l, 试 判 断 l与 的 位 置 关 系 .
（法一）
l aα
βb
（法二）
l α
β
n γm
an γ mb A
如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么 这两个平面的交线垂直于这个平面.
， ， l l
证法1：设 n , m ,
已知两个平面垂直，下列命题中正确的有（ B ）.
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内的任意一点做交线的垂线，则此垂线必垂直于
另一个平面.
A.3个
B. 2个
C.1个
D.0个
解 显然，平面 BCC′B′⊥平面 ABCD，交线为 BC. 因为 MN 在平面 BCC′B′内，且 MN⊥BC， 所以 MN⊥平面 ABCD， 又 AB 平面 ABCD，从而 MN⊥AB.
练习：如图P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是 ∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形， 其所在平面垂直于底面ABCD.G为AD边中点． (1)求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.
(2)由(1)可知 BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G， 所以 AD⊥平面 PBG， 所以 AD⊥PB.
例3：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面APB⊥ 平面BPC.
求证：AB⊥BC.
例3：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面APB⊥
平面BPC. 证求明证：：平A面BP⊥ABB⊥C.平面CPB，且PB为交线．
平面与平面垂直的性质
1.使学生掌握平面与平面垂直的性质定理；（重点） 2.能运用性质定理解决一些简单问题；（难点） 3.了解平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相 互联系。
墙角线与地面有何位置关系？
思考1 黑板所在的平面与地面所在的平面垂直， 你能否在黑板上画出一条直线与地面垂直?
思考2 如图，长方体中，α⊥β, (1)α里的直线都和β垂直吗？ 不一定 (2)什么情况下α里的直线和β垂直？ 与AD垂直
F
A1
D1
α
C1 B1
D
E
A
β
C
B
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线 与另一个平面垂直．
符号表示:
MN AB AB MN
AB
M
A B M N B
面面垂直
线面垂直
A
B
N
关键点： ①线在平面内.
②线垂直于交线. C
A BD
作用： ①它能判定线面垂直.
练习：如图P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝ 60的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.G 为AD边中点．(1)求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.
证明 (1)由题意知△PAD 为正三角形，G 是 AD 的中点， ∴PG⊥AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD， ∴PG⊥平面 ABCD，∴PG⊥BG. 又∵四边形 ABCD 是菱形且∠DAB＝60°， ∴△ABD 是正三角形，∴BG⊥AD. 又 AD∩PG＝G，∴BG⊥平面 PAD.
例1：空间四边形ABCD中，△ABD和△BCD都是正三角形， 平面ABD⊥平面BCD，试在平面ABD中找一点E，使 AE⊥平面BCD.
练习：如图AB是圆O的直径，C是圆周上不同于A、
B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC. （1）判断BC与平面PAC的关系 （2）判断平面PBC与平面PAC的关系
例 2:如右图，长方体 ABCD—A′B′C′D′中，MN 在平 面 BCC′B′内，MN⊥BC 于点 M.判断 MN 与 AB 的位 置关系，并说明理由．
[精解详析] (1)如右图，取 AB 的中点 E， 连接 DE，CE.因为△ADB 是等边三角形，所 以 DE⊥AB.
当平面 ADB⊥平面 ABC 时，因为平面 ADB∩平面 ABC＝AB，所以 DE⊥平面 ABC，可知 DE⊥CE.由已知可 得 DE＝ 3，EC＝1.
在 Rt△DEC 中，CD＝ DE2＋EC2＝2，