自招竞赛数学讲义：轮换对称式的最值问题(讲师版)
自招竞赛课程数学讲义：轮换对称式最值求法【讲师版】
自招竞赛数学“轮换对称式最值求法”讲义编号：近几年来，关于多元轮换对称和式s的最值问题，多以证明形式出现在数学竞赛题目中，即证S ≥A (或S≤A)。
因为求法能代替证明(通过数学方法求出s最大值为A，也即证明了S≤A成立)，所以，s的最值求法应是一个更深刻的问题。
反之，因为证明不等式S≤A，是先提供常数A，它可以加入到论证、推理和运算过程之中，而求最值并无此条件，所以，证明不能代替求法。
鉴于此，寻找S的最值求法，远比寻找证明的方法和技巧重要。
1.如果a，b，c均为正数，且a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170，那么abc的值是（）A．672 B．688 C．720 D．750答案：1.分析：首先将a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170分别展开，即可求得ab+ac=152 ①，bc+ba=162 ②，ca+cb=170 ③，然后将三式相加，即可求得ab+bc+ca值，继而求得bc，ca，ab的值，将它们相乘再开方，即可求得abc的值．解答：解：∵a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170，∴ab+ac=152 ①，bc+ba=162 ②，ca+cb=170 ③，∴①+②+③得：ab+bc+ca=242 ④，④﹣①得：bc=90，④﹣②得：ca=80，④﹣③得：ab=72，∴bc•ca•ab=90×80×72，即（abc）2=7202，∵a，b，c均为正数，∴abc=720．故选C ．知识点：此题考查了对称式和轮换对称式的知识，考查了方程组的求解方法．此题难度较大，解题的关键是将ab ，ca ，bc 看作整体，利用整体思想与方程思想求解．通过几个典型例子的“通法”和“简解”比较，说明对称思想在探求最值问题中的巧妙运用． 例1 （2007年全国高中数学联赛广西赛预赛试题）设122007,,,a a a L 均为正实数，且12200711112222a a a +++=+++L ，则122007..a a a ⋅L 的最小值为点评：通法需要换元转化技巧，并重复使用多元均值不等式，需要深厚功力方能解决，而简解根据对称性从取得最值的条件入手，一矢中的轻松获解。
轮换对称方程组及其解法-2019年精选文档
轮换对称方程组及其解法-2019年精选文档轮换对称方程组及其解法一、轮换式与对称式1.1轮换式与对称式的概念如果把一个多元多项式中的所有字母(元),依某种顺序进行轮换(即第一个字母换成第二个字母,第二个字母换成第三个字母,……,第n个字母换成第一个字母),多项式保持不变,则称它是轮换对称多项式,简称轮换式。
例如 x+y ,a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),x2y+y2z+z2x等都是轮换式如果把一个多元多项式中的任意两个字母(元)对调,多项式都保持不变,我们就称它是对称多项式,简称对称式例如 a+b 称为二元一次对称式ab 称为二元二次对称式a3+b3+c3-abc 称为三元三次对称式1.2轮换式与对称式的性质轮换式的和、差、积、商(整除时)仍是轮换式。
对称式的和、差、积、商(整除时)仍是对称式。
特别地,轮换式与对称式的积、商(整除时)是轮换式由此可知,对称式的因式一定是对称式;轮换式的因式一定是轮换式(或对称式)。
这个特征对对称式、轮换式的因式分解尤为重要。
1.3轮换式与对称式的解法轮换式与对称式多用于因式分解。
例分解因式 a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)解:原式是三元四次齐次轮换式。
易见,当 a=b时,原式=0,由此,由因式定理知,它有因式a-b,再由轮换式的性质,经字母轮换式b-c,c-a也是它的因式,由于(a-b)(b-c)(c-a)是三次齐次轮换式,所以原式还应有一个一次因式,显然必为a+b+c(否则原式至少为六次式,例如,若a+b+-c 是它的因式,则a+c-b,b+c-a亦是)。
令a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)原式=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) 取 a=0,b=1,c=2代入上式得k=-1。
所以原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)二、轮换对称方程组轮换对称方程组是一类重要的方程组,常见于各种数学竞赛中。
由于轮换对称方程组具有特殊的性质,所以,用常规方法解不易奏效。
七年级(上)数学自招班--第6讲 轮换对称式的分解 教师版
一、基本概念：⑴对称式：在一个代数式中，如果把任意两个字母对换后，代数式保持不变，称这样的代数式为对称代数式，简称对称式．⑵轮换式：在一个代数式中，如果把所含字母顺次轮换后，代数式保持不变，称这样的代数式为轮换对称代数式，简称轮换式．把一个代数式中的字母按照某个顺序排列，然后依次把第一个字母换成第二个字母，把第二个字母换成第三个字母，……，把最后一个字母换成第一个字母，我们称这种变换字母的方法叫做轮换．⑶齐次式：如果一个多项式，它所有的项都具有相同的次数n ，则称这样的多项式为n 次齐次多项式．二、对称式与轮换式的性质：⑴对称式一定是轮换式，而轮换式不一定是对称式． 如222x y y z z x ++是轮换式，但不是对称式．⑵关于相同字母的对称式或轮换式的和、差、积、商（商的除式不为零）仍是对称式或轮换式． ⑶若对称式或轮换式中含有某种形式的式子，则必定含有这种形式的同型式．如若关于x ，y ，z 的二次齐次对称式中若含有2ax 项，则一定含有2ay ，2az 项；若含有bxy 项，则一定含有byz ，bzx 项．⑷两个齐次式的积与商(商的除式不为零)仍为齐次式． 三、常见齐次对称式与齐次轮换对称式：a c 知识导航板块一 轮换对称式6轮换对称式的分解a c⑴判断多项式是否为轮换对称式；⑵对于轮换对称式，常用的方法是选定一个字母（例如x ）作主元，将其余字母看作常数，利用因式定理确定它的因式，再利用轮换对称式的性质，写出与其相关的因式（同型式）．x y【例1】 分解因式：()3333a b c a b c ++--- 【解析】 原式3()()()a b b c c a =+++【例2】 分解因式：()()()222a b c b c a c a b -+-+-【解析】 令a b =，则原式0=，根据因式定理与轮换对称式的性质，得()()()a b b c c a ---为原式的因式．比较其与原式的次数，设原式()()()k a b b c c a =---，k 为常数． 比较等号两边2a b 项的次数，得1k =-．故原式()()()a b b c c a =----．【例3】 分解因式：()()()333a b c b c a c a b -+-+-【解析】 令a b =，则原式0=，根据因式定理与轮换对称式的性质，得因式：()()()a b b c c a ---．比较其与原式的次数，设原式()()()()k a b b c c a a b c =---++，k 为常数． 比较等号两边3a b 项的次数，得1k =-．故原式()()()()a b b c c a a b c =----++．【例4】 分解因式：()()()()4444444a b c a b b c c a a b c ++-+-+-++++【解析】 当0a =时，原式()()4444440b c b b c c b c =+--+-++=，因此有因式()0a -，即有因式a ．根据轮换对称式的性质，原式有因式abc ．比较原式与abc 的次数，设原式()kabc a b c =++，k 为待定系数． 令1a =，1b =，1c =-，得11600111k ---+++=-，解得12k =． 因此原式()12abc a b c =++．经典例题【例5】 ⑴分解因式：2222222x y xy y z yz z x zx xyz ++++++⑵分解因式：2222222x y y z z x x z y x z y xyz -+-++-【解析】 ⑴原式为关于x 、y 、z 的齐次对称式，当x y =-时，原式0=，故原式有因式()()()x y y z z x +++．设原式()()()k x y y z z x =+++，比较比较2x y 项的系数，得1k =．故原式()()()x y y z z x =+++．⑵注意原式并非关于x 、y 、z 的齐次对称式，而是关于x 、y 、z 的齐次对称式． 将上题中的z 替换成z -即可，原式()()()x y y z x z =+--．【例6】 已知：a ，b ，c 为ABC △三边边长．求证：()()()2223334a b c a b c b c a c a b abc ++------<．【解析】 即证()()()22233340a b c a b c b c a c a b abc ++-------<，左边为轮换对称式，试根得a b c =-时，原式0=，根据因式定理及轮换对称式的性质， ()()()a b c b c a c a b +-+-+-为其因式．设左()()()k a b c b c a c a b =+-+-+-，k 为待定系数．比较系数或赋值得1k =-，故左()()()a b c b c a c a b =-+-+-+-．∵a ，b ，c 为ABC △三边边长，∴a b c +>，b c a +>，c a b +>，因此左0<，得证．欧拉公式：()()3332223a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---特别地，①当0a b c ++=时，有3333a b c abc ++=． ②当3333a b c abc ++=时，则有0a b c ++=或a b c ==．【例7】 ⑴分解因式：3333a b c abc ++-⑵分解因式：()()3328a b b a -+--+⑶分解因式：()()()3332332125x y x y x y -+---【解析】 ⑴轮换对称式的因式分解：当a b c =--时，原式0=，由因式定理知原多项式有因式()a b c ++，设()()()3332223a b c abc a b c m a b c n ab bc ca ⎡⎤++-=+++++++⎣⎦令0a =，0b =，1c =，得1m =；令0a =，1b c ==，得1n =-．所以原式()()222a b c a b c ab bc ca =++++---⑵原式()()62a b b a =---⑶原式()()()152332x y x y y x =---经典例题知识导航板块二 欧拉公式【例8】 ⑴计算：333201610161000300020161016---⨯⨯⑵计算：3332000100199920001001999--⨯⨯．⑶已知a ，b ，c 为ABC △的三边边长，且满足方程组33393a b c abc ⎧++=⎨=⎩，试判断ABC △的形状．【解析】 ⑴由公式3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---，故原式[][]2016(1016)(1000)0=+-+-⨯= ⑵分子=()()3333332000100199920001001999--=+-+-，又()()200010019990+-+-=，故分子()()320001001999=⨯⨯-⨯-320001001999=⨯⨯⨯因此原式3=．⑶由已知，有3333a b c abc ++=，故33330a b c abc ++-=，即()()2220a b c a b c ab bc ca ++++---=．∵a ，b ，c 为ABC △的三边长，∴0a b c ++>；∴2220a b c ab bc ca ++---=，即()()()222102a b b c c a ⎡⎤-+-+-=⎣⎦； 故a b c ==，ABC △为等边三角形．【拓1】 分解因式：()()()555y z z x x y -+-+-．【解析】 类似之前的例题可知()()()x y y z z x ---是原式的因式。
轮换对称式的最值问题(教案版)
小顺序，而只能做较弱的排列，如，，...，，即某一个是其1n a a ≥2n a a ≥1n n a a -≥中的最大或最小（如②中可设，），因为我们总可以通过轮换把某个字母调a c ≥a b ≥整到最小或最大的位置。
3.取得最值的判定暑期讲义轮换对称式一讲中我们提到，轮换对称式取到最值时往往各地位轮换对称的变量取值相等。
在这种情况下我们可以简化问题为先判断最值和取到最值的条件，在转化为不等式证明问题（此时取等的条件也作为一个解决不等式证明的重要提示）。
当然，并不是所有轮换对称式取最值的条件都是上述，所以我们尽可能用特值等方法验证来舍弃显然不合理的假定，确认判断正确后再转化为证明问题，这样可以减少无用功。
值得注意的是，判断各变量相等时取到的是最大还是最小值与题目要求比对是十分必要的。
4.轮换对称式常见的处理方法（结合例题讲解）（1）凑项法（最常用）在判断出最值后，利用基本不等式等号成立的条件凑项证明，只要领悟添项的技巧，完全可以程式化证明一类不等式。
主要细分为凑项降幂法、凑项升幂法、凑项去分母法、凑项平衡系数法。
基本思路：判断该题为轮换对称式；通过条件得出取最值时各字母或参数的值；判断是最大或最小值，抓住其中一项深入研究，构造均值不等式的其他项，再运用均值不等式加以证明。
上述各种凑项方法不是相对独立的，可以交替使用，但凑项的关键是在求和时能利用已知条件，并能取到等号。
（2）求配偶式法（即（1）的进化版本）当直接配凑较为困难时我们可以通过先设待定系数求解的方法找到要凑得项。
充分利用轮换对称式等式的结构特点以及等号成立的条件为导向，运用待定系数法构造配偶式，然后运用均值不等式等号成立的条件以及所证轮换对称不等式等号成立的条件求出待定系数，从而使所证不等式获得证明。
其中设配偶式求配偶因子是该方法的关键一步和核心部分，也是它与方法（1）的主要区别。
（3）“非常规最值”的应对方法前几个方法中,首要是确认在各变量取值相等时取到最值，这类最值问题称为“常规最值”。
对称式与轮换对称式
竞赛专题-------对称式与轮换对称式1． 基本概念【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =，，，，，，，，，，，，那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。
例如，222x yx y xy x y z xy yz zx xy++++++，，，，都是对称式。
如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。
由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2bx y 项，则必有2bx z ，2222by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。
根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母x y z ，，的二次对称多项式的般形式是：222()()()a x y z b xy yz zx c x y z d +++++++++【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数r ，那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。
由定义2知，n 元多项式12()n f x x x ，，，是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有1212()()r n n f tx tx tx t f x x x =，，，，，，。
例如，含三个字母的三元三次齐对称式为：333222222()()a x y z bx y x zy xy zz x z y c x y z+++++++++。
【定义3】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，即对于任意的i j ，()1i j n ≤<≤，都有11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =-，，，，，，，，，，，，那么就称这个代数式为n 元交代式。
江苏省高三一轮复习轮换对称法求最值教案
轮换对称法求最值常规武器库3、（机关枪）----ay=x+x 型----对勾函数模型4、（大 炮）-----分式求和型----分母双换元法我们发现通过以上方法最后取得最值时，必有某两个变量相等三、武器研发-----（猜测与探究）1、浙江高考）22若实数,满足1,则求的最大值？x y x y xy x y ++=+以后求最值时是否可以直接让某两个变量相等，直接计算答案呢？嗯，我们需要威力更强大的武器23xy x y x y x y()1(),(当且仅当时取得)23210xy x y x y x y（2）(2)1(),2(当且仅当2时取得) 2225第1秒------------ ①取值范围相同第2秒--------- ②条件整式中互换位置不改变整式结构轮换对称法----战斗机第3秒-------- ③结论中互换位置不改变结论结构或不影响结果五、小试牛刀----三秒口算法解压轴题镇江一模）14.若实数,x y满足22224444x xy y x y-++=，则当2x y+取得最大值时，xy的值为六、下节预告听说下节课要上终极大招了？嗯，让敌人闻风丧胆，所到之处寸草不生不会是万能判别式法吧？嘘.......七、靶场训练---秒杀压轴题南通二模）14．设实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2 ≤c ≤1，则a ＋b ＋c 的最小值为 ．无锡期末）14、若第一象限内的动点P （x ，y ）满足1131,22R xy xy xy++==，则以P 为圆心R 为半径 且面积最小的圆的方程为 ． C镇江期末）⒕已知0,0>>y x ，若不等式)(33y x kxy y x +≥+恒成立，则实数k 的最大值为盐城三模）14.若实数x ，y 满足1x ≥-，1y ≥-且2244x y x y +=+，则2222x y y x --+的 最小值是 x2016.1114.已知正实数,满足22ln ln ,则2y 月无锡期中）x y y x y x +-=+=。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二讲讲对称式和轮换对称式(含答案)
第二讲讲对称式和轮换对称式趣题引路】若正数召,心“,“书入.同时满足= 空込泊=2, 沁色=3,X] 吃“兀泊空£ = 6, 土込竺=9,则X,+X,+X3+X4+X5+A-6的值是多少？若将六式左右分别相乘得(X1W4X5A6)4 =64 ,因此XMP)兀乓兀=6,将已知式分别代入上式可得X| = "\/6 , = \/^» A"j = 5/2" , X4 = , X5 =1 ------- ，兀6 = • Ml" 以2 3X, +A-2+x3+A-4+x5+x6=l + V2 + V3 + lb^视六数之积为整体，可巧妙地消元求解！对于具备特殊结6构的代数式或方程，我们也要学会运用特殊的解题策略.知识拓展】1.对称多项式观察"+ /? + c , ah + be + ca » 1/ + b' + c' —3ab — 3/>c —3ca » a'h + b z c + c2a + ab~ + be2 + ca z等多项式，如果任意互换两个元的位置，所得的多项式与原式恒等，像这样的多项式叫做对称多项式(简称对称式)• 上述四个式子也可分別称为三元对称多项式，又如A-4+(X+>-)4+/是二元对称多项式.2.轮换对称多项式一个关于儿八z…、w的多元多项式，若依某种顺序把字母进行轮换(如把x换成y, y换成z, w换成X)，多项式不变，这种多项式叫做轮换对称多项式(简称轮换式)•例如x'y + y'z + Fx , (“一b+c)( b—c+")( c—a+b)都是三元轮换对称式.显然，对称多项式都是轮换对称多项式，而轮换对称多项式则不一上是对称多项式，如：+ + 是轮换式，但因互换儿y得到的是bx + Fz + Fy已不是原式，所以原式不是对称式.同样对(b-c)(c-a)(a-b)^是如此，即该式是轮换对称式而不是对称式.但只含有两个字母的轮换对称式都是对称式.3.对称式的性质(1)关于小y的对称式总可以用x+y和小来表示.(2)两个对称式的和、差、积、商也是对称式(3)齐次对称多项式的积、幕仍是齐次对称多项式.4.对称多项式和轮换多项式的因式分解：运用因式分解定理和待立系数法.一、对称式、轮换对称式的求值技巧例1已知卩一尤一)，=4,贝|J(Q —1)2_2疋〉，一2心2+十+〉,2+6卩—2x —2y的值等于____ .解析可引导学生观察已知等式和所求式的特点，易见，它们都是关于x、y的对称式，根据对称式的性质，所求式可用x+y和卩来表示，先化简后再求值.解设x+y=“，AJ=V,由题设得vr=4,贝IJ原式=(Ay-1)2 - 2AJ(X +y) + [(牙 + y)2 - Zyy] + 6xy- 2(x + y)=(v—If—2vz/+if—2v+6v~2w=v2-2 vu+/+2 ” 一2 u +1=(v—w+l)==25 ・点评：对称换元有利于简化解题过程.例2 计算：(x+y-iz)(xy+yz+zx).解析因为x+y+z和xy+w+旷都是轮换对称式，所以它们的积也是轮换对称式.因此，做这种乘法运算时可只把第一个因式的第一个字母乘以第二个因式各项，然后根据轮换对称性写岀其余各项.解:T x(xy-\-yz+vc)=+y+xyz+vC,原式+yz+yzx+xy^+厶+砂+yf=x:y+y：z+zH+亍+yz"+zx' + 3QZ ■点评：由已知代数式的对称性，可知其展开式亦是对称的，从而可由一项写出对称的英他，这样解题就会既简明又准确.二、对称式的因式分解例3 分解因式：z)+y'(z—x)+z'(x—刃.解析这是一个关于八y. 2的四次齐次轮换对称式，当x=y时，原式的值为零，根据余式泄理知x —y是它的一个因式.由轮换对称的性质知y—z和z—x也是它的因式.因为(x—y)(y—z)(z—x)是三次轮换对称式，所以原式还应有一个一次齐次轮换对称的因式，不妨设为Hr+y+z),从而有x(y—z)+yXz~x)+z(x—y)=k(x+y+z)(x—y)(y~x)(z—x)・取x=2t y=l, z=0,得k= — l.:.x(y—z)+y(z—x)+z z(x—y)= —(x+y+z)(x—y)(y—z)(z—x)・点评：由对称性来探究可能分解出的因式，这是因式分解的一种十分有趣的方法.例4把2+U+)A+y分解因式.解析这是一个二元对称多项式，分解因式时一般将原式用x+y> xy表示出来再进行分解.解：£+(x+y)'+h=(r+)」)+(x+)A=(F+『亍一2汐+(x+)A=[(x+y)'—2xyf一2xy+(A4-y):=2(x+y)1- 4x)<x+y)3+ 2xy=2[(x+yY-xy]2=2(卫+小+护)2・点评：实际上任何一个二元对称式都可以用x+y、小表示出来，对于给泄的对称式，往往是寻求这种具体表示方法.在解决本题时；实际可以直接由(x+)y的展开形式，宜接将屮+讯用x+y、心来表示，即x4+y* = (x+)y — 4・py — 6xV — 4巧3 = (x+y)4-4xy(x+y)2 + 2(Q)2.例5 分解因式：(X->')5+(.V-X)5+(Z-A)5.解析这是一个5次轮换对称多项式，只要找到它的一个因式就能找到与它同类型的期两个因式，若在原多项式中令x=y,则原式= (x-zP+(z-x)5=0.根据因式泄理，则x-y是原式的一个因式，于是y 一z、z-x也是它的因式.解：因为当x=y时，(x—yp+(y—xp+(z—xp=O,所以原多项式有因式(x~y)Cv—z)(z—x).由于原多项式是5次轮换对称式，根据其特点可设(x—y)5+(v—z)5+(z—X)5=(x—y)(y—z)(z—x)[“("+尸+z2)+b(Ay+yx+zx)]①其中“、〃是待立系数.取x=lt y= — L z=0代入①式得2d—b=\5・②取x=2, y=l, z=0代人①式得5a+2b=15・③将②、③两式联立解得“=5, b=-5.所以(x-y)5+(y-z)5 + (z-x)5=5 (x—y)(y—z)(z—x)(x2+y2+z?—xy—yx—zx)・点评：在解本题的过程中，设了一个因式为“(界+尸+刊+风巧+严+旳，若不是这种形式，不妨设为0_y2 + z2,由轮换式，就会有另两个因式严一Q+W及艺一川+尸，这样原式就至少为9次，从而由对称式的特点只能设另一个因式为“(工+护+刃+反巧+皿+旷).也就是说三个字母的轮换对称多项式若次数<3,则也一立为对称多项式.三、综合应用例6 已知“+b>c b+c>a> u+c>b,求证：c)2—b(c—6/)2—c(t/—b)2—4</Z?c<0.解析要证明多项式的值小于0,可先将它分解因式，只要判左各个因式的符号就能对原多项式的符号作出判定.证明：设T= a3+Z?3+c3—1/(/?—c)2—h(c~a)2—c(a~b)2—4cibc・把该多项式看作是关于“的3次多项式，令"=b+c,则T= (b+cP+沪+R—(b+c)(b—c)2—沪一R—4(b+c)bc=2(，+")+32c+3bc2— 2(夕+c3)+Qc+be2—4b2c—4bc2=0.由因式泄理知，"一(b+c)是T的一个因式.又由于丁是一个轮换对称式，于是b —(c+“)，c-(a+b)也是7的因式，因为T是关于"、b、c的3 次式，所以可设T— k(a—b—c)(b—c—a)(c—a~b)・比较两边/的系数可得k=\.故T= (a—b—c)(b—c—a)(c—a—b)・根据题意"+b>c, d +则有c—a—b<0, a—b—c<0, b—a—c<0.所以TVO.即原不等式成立.例7设△ABC的三边长分别为心b、c,且上二L+ —+上二£=0,试判断ZBC的形状.1 + ah \+bc 1 + ca解析已知等式去分母，得(t/—Z?)( 14- bc)( 1 + ca) 4- (/?—c)( 1 +c“)(l +")+(c—")(1 +")(1 +处)=0・上式的左边是关于a、b、c的轮换对称式,把,(a—b)(l+bc)(l+ca)展开、整理，得a-b—b2c-}-ca2+ "2力一於C2•根据轮换对称式的性质，可直接写出其余各项.由此，上式可写为a~b~ b2c+"+a2bc2—al^c2+b—c—c2a+ah2+b2ca2—berer+c—a —a2b+be2+crab1— ca2b2=0 ・整理，得ab2+be2+ca2—a2b—b2c—c2a=0.设M=ab2 -b be2+ca2—a2b—b2c—c2a ・当"=b时，A/=0,由因式泄理知"一b是M的一个因式.而M是关于“、b、c的三次齐次轮换对称式，故M含有因式(a—b)(h—c)(c—u).又(“一b)(b—c)(c—a)也是三次齐次轮换对称式，则M还应有一个常因子，于是可设ab2+be2+ca2—erb — b2c•—(rci=k(a~b)(b—c)(c ~a).取a=2, h=\9 c=0,得k=\.M=(a — b)(b—c*)(c—a)=0 ・:・u=b或b=e或c=a,即"、b、c中至少有两个相等.故△ABC必为等腰三角形.好题妙解】佳题新题品味例分解因式l)(y-z)+Ay+ l)(z-x)+z3(z+ l)(x~y)・解析由于原式是X, y, z的轮换式但不是齐次式，所以当求得©—2)(z-x)仗一刃的因式后，剩下的因式是A(x2+y2+z2)+B(yz+zx+xy)+CC¥+y+z)+£)・解：当时，原式=0..・・y-z是原式的一个因式.设原式=(y~z)(z—x)(x—y)[ A("+y2+z2)+B(yz+乙t+xy)+C(x+y+z)+D]・由于原式最低为四次项，.・.D=0.•••原式=(y—z)(z—x)(x—y)[ A(x2 -+-y24-z2)+B(yz++C(x+y+z)].令x=h y= —L z=0 得2A—B= —1；①令x=-h y=0, z=2 得5A-2B+C=-4；②令x=l； y=-L z=2 得6A-B+2C=-7・③解①，②，③组成的方程组，得A=B=C=-1.故原^=—(y—z)(z—x)(x—y)(x2+y1+z1+yz+zx+xy+x+y+z)・中考真题欣赏例(陕西省中考题)分解因式：6兀一6)，—9W+18•巧一9屮一1.解析关于X, y的对称式可用含x+y, x-y,小的式子表示，考虑分组.解：6x—6y—9W+ 18小一9)卫一1 = — (9X2— 18xy+9)^)+(6x—6y) — 1=—[9(工一Zxy+〉') _ 6(x _ y) + 1 ]=一[9(A—y)2-2X 3(x-y) +1]= -[3(xp)— IF= _(3x_3y_ 1)2.竞赛样题展示例分解因式(a-\-b+c)5—a5—b5—c5・解析这是一个五次对称多项式，只要找到它的一个因式，就能找岀与它同类型的另两个因式.如果在多项式中令a = -b,则原式=c5-c5=O,根据因式上理，则“+b是原式的一个因式，于是(b+c)、(c +")也是它的因式.解：因为当"=—b时，(a+b+cp—cP—“5—芒=0,所以原式有因式(a+b)(b+c)(c+a)・由于原式是5次对称多项式，根据英特点，可设(“ + b + c)5 — "5—/一小=(“+b)(b+c)(c+a)[k(cr+b?+c?)+m(ab+bc+ca)]・①其中£、加是有待确左的系数.令么=1, b=l, c=0,代人①式得30=2("+〃?)，即2k+m=15・又令“=0, b=\, c=2,代人①式得210=6(5£+加)，即5«+加= 35.由此解得k=5t m=5.所以(a+b-^c)s—a5—b5—c5=5(a+b)(h+c)(c+a)(a2-^b2+c2+ab-\-bc-^ca)点评：先找出一个因式，再利用对称式的性质得出同型的另外一些因式，再运用待立系数法确定剩下的其他因式.过关检测】A级1.在下列四个式子中，是轮换多项式的有( )① 3x+2y+z ②+y 彳+z4 + 巧』z?③jty2 + y2^+④卫+y3+z3—x2—y2—z2A. 0个B・1个C・2个D・3个2.x2y+xy2+y2z+yz2+z2x+zx24-3xy f z=y+z)(xy'-\-yz+zx),则k 的值是( )A. 1 B・ 1 C・ 3 D・一123•设Of=xi+X2+X3, 0 =X1X2+X2X3+X3AS / =A1X2X3> 用Q、卩、丫表示岀X)3+x23+x33的结果是( )A. a'— 3a卩+3?B・0‘一3矽+3卩C・ a'+3a0—3/ D・ 0'—3a0+3y4 ・分解因式：xy^x2一y2) +yz(y2—z2)+zx(z2—x2)・5.分解因式：Ty+^+Wz+^+FCv+y)—W+h+R-Zryz.6.化简:“(b+c—“)2+b(c+“一Z?)2+d"+/?—c)2+(b+c—")(©+" —b)(“+b—c)・7.已知"+b+c+〃=O, R+b3+c3+〃3=3.(1)求证：(a+b)34-(c+J)3=0:(2)求证：ab(c+J)+cd(a+Z?) = 1 ・1.若——-—— + ——-—— + ——-——=1,则儿八x的取值情况是()(X + z)(y + z) (>■ + x)(z + A) (z + y)(x + y)A.全为零B.只有两个为零C.只有一个为零D.全不为零2.已知⑴b、c均为正数，设p=“+b+c 尸竺+竺+竺,则“与g的大小关系是( )a h cA・P>q B・ p<q C・ pPq D・pWq3.已知x+y=3,戏+尸_小=4,则十+屮+兀3$+与,3的值等于 _____________ ・4.如图2-1,正方体的每一个面上都有一个正整数，已知相对的两个而上二数之和都相等.如果13、9、3的对面的数分别是"、b、c9试求a1+b2+c1—ab—bc—ca的值，5・分解因式:(x+y)(y+z)(z+x)+xyz.6.分解因式:G(a+ l)(b—c)+b'(b+ l)(c—”)+c3(c+ \)(a~b).第二讲对称式和轮换对称式A级1. B2. B3. A4.-(x+/H-z)(x-y)(y-z)5.- (x-y-z)(/-z-a)(z - x - y).提示:令丁= y原式为0;同理7 =x十乙时，原式为0;z” ”时,原式为0・设原式-A(x- -y)-6.4a6c提示：当a=0时，原式=0；故设原式= kabj取a = 6=c=U.得&=4・7・ a，46’+c?+d'=(a+6)'-3a6(a・6) + (c • -3cJ(c+d).又a 十6 = 一(c + d),所以(a *b)‘ + (c+/)‘ =0•故3 =3a6(c + d) +3cd(a +6),即a6(c +d) +cd(c+6) = 1B级L・C提示:化简已知等式得xyz=0.2.D提示:运用作差比较.3・ 36 ^4.76 提示:原式=y[(a-6)2 + (6-c)2 + (c-a)2]5.(x+y+«) (xy+-yz+a)6・一(a - 6)(6*-c)(c-a)(a2+c2十 ab + be +co + a+ 6 +c)提示：原:式为非齐次轮换式，可视作以a为主元的多项式.当a M时，原式=0.所以a・6是原式的一个因式.由对称性知也是原式的因式.剰下的因式应是非齐次对称性•设原式=(a-6)(6-c)(c-a)(A:(a2 + + c2) +2( a6 + 6c 4-ca) +m(a+6 + c) +a]・取恃值求得A = - 1 fI = -l,m = =1』=0.。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二讲 讲对称式和轮换对称式(含答案)
第二讲 讲对称式和轮换对称式趣题引路】若正数123456,,,,,x x x x x x ．同时满足2345611x x x x x x =，3456122x x x x x x =，4561233x x x x xx =，5612344x x x x x x =，6123456x x x x x x =，1234569x x x x xx =，则123456x x x x x x +++++的值是多少？ 若将六式左右分别相乘得44123456()6x x x x x x =，因此1234566x x x x x x =，将已知式分别代入上式可得61=x ，32=x ，23=x ，264=x ，15=x ，366=x ．所以6611321654321+++=+++++x x x x x x 视六数之积为整体，可巧妙地消元求解！对于具备特殊结构的代数式或方程，我们也要学会运用特殊的解题策略.知识拓展】 1.对称多项式观察a b c ++，ab bc ca ++，333333a b c ab bc ca ++---，222222a b b c c a ab bc ca +++++等多项式，如果任意互换两个元的位置，所得的多项式与原式恒等，像这样的多项式叫做对称多项式（简称对称式）.上述四个式子也可分别称为三元对称多项式，又如444()x x y y +++是二元对称多项式． 2.轮换对称多项式一个关于x 、y 、z…、w 的多元多项式，若依某种顺序把字母进行轮换（如把x 换成y ，y 换成z ，w 换成x ），多项式不变，这种多项式叫做轮换对称多项式（简称轮换式）.例如222x y y z z x ++，(a －b ＋c )( b －c ＋a )( c －a ＋b )都是三元轮换对称式.显然，对称多项式都是轮换对称多项式，而轮换对称多项式则不一定是对称多项式，如：222x y y z z x ++是轮换式，但因互换x 、y 得到的是222y x x z z y ++已不是原式，所以原式不是对称式．同样对(b －c )(c －a )(a －b )也是如此，即该式是轮换对称式而不是对称式．但只含有两个字母的轮换对称式都是对称式． 3.对称式的性质（1）关于x 、y 的对称式总可以用x ＋y 和xy 来表示． （2）两个对称式的和、差、积、商也是对称式 （3）齐次对称多项式的积、幂仍是齐次对称多项式．4.对称多项式和轮换多项式的因式分解：运用因式分解定理和待定系数法．一、对称式、轮换对称式的求值技巧例1 已知4xy x y --=，则22222(1)22622xy x y xy x y xy x y ---+++--的值等于 . 解析 可引导学生观察已知等式和所求式的特点，易见，它们都是关于x 、y 的对称式，根据对称式的性质，所求式可用x ＋y 和xy 来表示，先化简后再求值. 解 设x ＋y ＝u ，xy ＝v ，由题设得v －u ＝4，则原式＝22(1)2()()262()xy xy x y x y xy xy x y ⎡⎤--+++-+-+⎣⎦＝(v －1)2－2vu ＋u 2－2v ＋6v －2u ＝v 2－2vu ＋u 2＋2v －2u ＋1 ＝(v －u ＋1)2＝25．点评：对称换元有利于简化解题过程．例2 计算：(x ＋y ＋z )(xy ＋yz ＋zx )．解析 因为x ＋y ＋z 和xy ＋yz ＋zx 都是轮换对称式，所以它们的积也是轮换对称式．因此，做这种乘法运算时可只把第一个因式的第一个字母乘以第二个因式各项，然后根据轮换对称性写出其余各项．解：∵x (xy ＋yz ＋zx )＝x 2y ＋xyz ＋zx 2，∴原式＝x 2y ＋xyz ＋zx 2＋y 2z ＋yzx ＋xy 2＋z 2x ＋zxy ＋yz 2＝x 2y ＋y 2z ＋z 2x ＋xy 2＋yz 2＋zx 2＋3xyz ．点评：由已知代数式的对称性，可知其展开式亦是对称的，从而可由一项写出对称的其他，这样解题就会既简明又准确．二、对称式的因式分解例3 分解因式：x 3(y －z )＋y 3(z －x )＋z 3(x －y )．解析 这是一个关于x 、y 、z 的四次齐次轮换对称式，当x ＝y 时，原式的值为零，根据余式定理知x －y 是它的一个因式．由轮换对称的性质知y －z 和z －x 也是它的因式．因为(x －y )(y －z )(z －x )是三次轮换对称式，所以原式还应有一个一次齐次轮换对称的因式，不妨设为k (x ＋y ＋z )，从而有x 3(y －z )＋y 3(z －x )＋z 3(x －y ) ＝k (x ＋y ＋z )(x －y )(y －x )(z －x )． 取x ＝2，y ＝1，z ＝0，得k ＝－1． ∴x 3(y －z )＋y 3(z －x )＋z 3(x －y ) ＝－(x ＋y ＋z )(x －y )(y －z )(z －x ) ．点评：由对称性来探究可能分解出的因式，这是因式分解的一种十分有趣的方法．例4 把x 4＋(x ＋y )4＋y 4分解因式．解析这是一个二元对称多项式，分解因式时一般将原式用x＋y、xy表示出来再进行分解．解：x4＋(x＋y)4＋y4＝(x4＋y4)＋(x＋y)4＝(x2＋y2)2－2x2y2＋(x＋y)4＝[(x＋y)2－2xy]2－2x2y2＋(x＋y)4＝2(x＋y)4－4xy(x＋y)2＋2x2y2＝2[(x＋y)2－xy]2＝2(x2＋xy＋y2)2．点评：实际上任何一个二元对称式都可以用x＋y、xy表示出来，对于给定的对称式，往往是寻求这种具体表示方法．在解决本题时；实际可以直接由(x＋y)4的展开形式，直接将x4＋y4用x＋y、xy来表示，即x4＋y4＝(x＋y)4－4x3y－6x2y2－4xy3＝(x＋y)4－4xy(x＋y)2＋2(xy)2．例5分解因式：(x－y)5＋(y－x)5＋(z－x)5．解析这是一个5次轮换对称多项式，只要找到它的一个因式就能找到与它同类型的另两个因式，若在原多项式中令x＝y，则原式＝(x－z)5＋(z－x)5＝0．根据因式定理，则x－y是原式的一个因式，于是y －z、z－x也是它的因式．解：因为当x＝y时，(x－y)5＋(y－x)5＋(z－x)5＝0，所以原多项式有因式(x－y)(y－z)(z－x)．由于原多项式是5次轮换对称式，根据其特点可设(x－y)5＋(y－z)5＋(z－x)5＝(x－y)(y－z)(z－x)[a(x2＋y2＋z2)＋b(xy＋yx＋zx)] ①其中a、b是待定系数．取x＝1，y＝－1，z＝0代入①式得2a－b＝15．②取x＝2，y＝1，z＝0代人①式得5a＋2b＝15．③将②、③两式联立解得a＝5，b＝－5．所以(x－y)5＋(y－z)5＋(z－x)5＝5(x－y)(y－z)(z－x)(x2＋y2＋z2－xy－yx－zx)．点评：在解本题的过程中，设了一个因式为a(x2＋y2＋z2)＋b(xy＋yx＋zx)，若不是这种形式，不妨设为x²－y2＋z2，由轮换式，就会有另两个因式y²－z2＋x2及z²－x2＋y2，这样原式就至少为9次，从而由对称式的特点只能设另一个因式为a(x2＋y2＋z2)＋b(xy＋yz＋zx)．也就是说三个字母的轮换对称多项式若次数＜3，则也一定为对称多项式．三、综合应用例6已知a＋b＞c，b＋c＞a，a＋c＞b，求证：a3＋b3＋c3－a(b－c)2－b(c－a)2－c(a－b)2－4abc＜0．解析 要证明多项式的值小于0，可先将它分解因式，只要判定各个因式的符号就能对原多项式的符号作出判定．证明：设T ＝a 3＋b 3＋c 3－a (b －c )2－b (c －a )2－c (a －b )2－4abc ． 把该多项式看作是关于a 的3次多项式，令a ＝b ＋c ， 则T ＝(b ＋c )3＋b 3＋c 3－(b ＋c )(b －c )2－b 3－c 3－4(b ＋c )bc ＝2(b 3＋c 3)＋3b 2c ＋3bc 2－2(b 3＋c 3)＋b 2c ＋bc 2－4b 2c －4bc 2 ＝0．由因式定理知，a －(b ＋c )是T 的一个因式．又由于T 是一个轮换对称式，于是b －(c ＋a )，c －(a ＋b )也是T 的因式，因为T 是关于a 、b 、c 的3次式，所以可设T ＝k (a －b －c )(b －c －a )(c －a －b )．比较两边a 3的系数可得k ＝1． 故T ＝(a －b －c )(b －c －a )(c －a －b )． 根据题意 a ＋b ＞c ，b ＋c ＞a ，a ＋c ＞b ． 则有c －a －b ＜0，a －b －c ＜0，b －a －c ＜0． 所以T ＜0．即原不等式成立．例7 设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且1a b ab -+＋1b c bc -+＋1c aca-+＝0，试判断△ABC 的形状． 解析 已知等式去分母，得(a －b )(1＋bc )(1＋ca )＋(b －c )(1＋ca )(1＋ab )＋(c －a )(1＋ab )(1＋bc )＝0．上式的左边是关于a 、b 、c 的轮换对称式，把(a －b )(1＋bc )(1＋ca )展开、整理，得a －b －b 2c ＋ca 2＋a 2bc 2－ab 2c 2．根据轮换对称式的性质，可直接写出其余各项．由此，上式可写为a －b －b 2c ＋ca 2＋a 2bc 2－ab 2c 2＋b －c －c 2a ＋ab 2＋b 2ca 2－bc 2a 2＋c －a －a 2b ＋bc 2＋c 2ab 2－ca 2b 2＝0． 整理，得ab 2＋bc 2＋ca 2－a 2b －b 2c －c 2a ＝0． 设M ＝ab 2＋bc 2＋ca 2－a 2b －b 2c －c 2a ．当a ＝b 时，M ＝0，由因式定理知a －b 是M 的一个因式．而M 是关于a 、b 、c 的三次齐次轮换对称式，故M 含有因式(a －b )(b －c )(c －a )．又(a －b )(b －c )(c －a )也是三次齐次轮换对称式，则M 还应有一个常因子，于是可设ab 2＋bc 2＋ca 2－a 2b －b 2c －c 2a ＝k (a －b )(b －c )(c －a )． 取a ＝2，b ＝1，c ＝0，得k ＝1． ∴M ＝(a －b )(b －c )(c －a )＝0．∴a ＝b 或b ＝c 或c ＝a ，即a 、b 、c 中至少有两个相等． 故△ABC 必为等腰三角形． 好题妙解】佳题新题品味例分解因式x3(x＋1)(y－z)＋y3(y＋1)(z－x)＋z3(z＋1)(x－y)．解析由于原式是x，y，z的轮换式但不是齐次式，所以当求得(y－z)(z－x)(x－y)的因式后，剩下的因式是A(x2＋y2＋z2)＋B(yz＋zx＋xy)＋C(x＋y＋z)＋D．解：当y＝z时，原式＝0．∴y－z是原式的一个因式．设原式＝(y－z)(z－x)(x－y)[ A(x2＋y2＋z2)＋B(yz＋zx＋xy)＋C(x＋y＋z)＋D]．由于原式最低为四次项，∴D＝0．∴原式＝(y－z)(z－x)(x－y)[ A(x2＋y2＋z2)＋B(yz＋zx＋xy)＋C(x＋y＋z)]．令x＝l，y＝－1，z＝0得2A－B＝－1；①令x＝－1，y＝0，z＝2得5A－2B＋C＝－4；②令x＝1；y＝－1，z＝2得6A－B＋2C＝－7．③解①，②，③组成的方程组，得A＝B＝C＝－1．故原式＝－(y－z)(z－x)(x－y)(x2＋y2＋z2＋yz＋zx＋xy＋x＋y＋z)．中考真题欣赏例(陕西省中考题)分解因式：6x－6y－9x2＋18xy－9y2－1．解析关于x，y的对称式可用含x＋y，x－y，xy的式子表示，考虑分组．解：6x－6y－9x2＋18xy－9y2－1＝－(9x2－18xy＋9y2)＋(6x－6y)－1＝－[9(x2－2xy＋y2)－6(x－y)＋1]＝－[9(x－y)2－2×3(x－y)＋1]＝－[3(x－y)－1]2＝－(3x－3y－1)2．竞赛样题展示例分解因式(a＋b＋c)5－a5－b5－c5．解析这是一个五次对称多项式，只要找到它的一个因式，就能找出与它同类型的另两个因式．如果在多项式中令a＝－b，则原式＝c5－c5＝0，根据因式定理，则a＋b是原式的一个因式，于是(b＋c)、(c ＋a)也是它的因式．解：因为当a＝－b时，(a＋b＋c)5－a5－b5－c5＝0，所以原式有因式(a＋b)(b＋c)(c＋a)．由于原式是5次对称多项式，根据其特点，可设(a＋b＋c)5－a5－b5－c5＝(a＋b)(b＋c)(c＋a)[k(a2＋b2＋c2)＋m(ab＋bc＋ca)]．①其中k、m是有待确定的系数．令a＝1，b＝1，c＝0，代人①式得30＝2(2k＋m)，即2k＋m＝15．又令a＝0，b＝1，c＝2，代人①式得210＝6(5k＋2m)，即5k＋2m＝35．由此解得k＝5，m＝5．所以(a＋b＋c)5－a5－b5－c5＝5(a＋b)(b＋c)(c＋a)(a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca)点评：先找出一个因式，再利用对称式的性质得出同型的另外一些因式，再运用待定系数法确定剩下的其他因式．过关检测】A级1．在下列四个式子中，是轮换多项式的有( )①3x＋2y＋z②x2＋y3＋z4＋x4y3z2③xy2＋y2z3＋z3x④x3＋y3＋z3－x2－y2－z2A．0个B．1个C．2个D．3个2．若x2y＋xy2＋y2z＋yz2＋z2x＋zx2＋3xyz＝k(x＋y＋z)(xy＋yz＋zx)，则k的值是( )A．12B．1 C．3 D．－13．设α＝x1＋x2＋x3，β＝x1x2＋x2x3＋x3x1，γ＝x1x2x3，用α、β、γ表示出x13＋x23＋x33的结果是( ) A．3α－3αβ＋3γB．3β－3αγ＋3γC．3α＋3αβ－3γD．3β－3αβ＋3γ4．分解因式：xy(x2－y2)＋yz(y2－z2)＋zx(z2－x2)．5．分解因式：x2(y＋z)＋y2(z＋x)＋z2(x＋y)－(x3＋y3＋z3)－2xyz．6．化简：a(b＋c－a)2＋b(c＋a－b)2＋c(a＋b－c)2＋(b＋c－a)(c＋a－b)(a＋b－c)．7．已知a＋b＋c＋d＝0，a3＋b3＋c3＋d3＝3．(1)求证：(a＋b)3＋(c＋d)3＝0；(2)求证：ab(c＋d)＋cd(a＋b)＝1．B 级1．若()()xyx z y z ++＋()()yz y x z x ++＋()()zx z y x y ++＝1，则x 、y 、x 的取值情况是( )A ．全为零B ．只有两个为零C ．只有一个为零D ．全不为零 2．已知a 、b 、c 均为正数，设p ＝a ＋b ＋c ，q ＝bc a ＋ca b ＋abc，则p 与q 的大小关系是( ) A ．p ＞q B ．p ＜q C ．p ≥q D ．p ≤q 3．已知x ＋y ＝3，x 2＋y 2－xy ＝4，则x 4＋y 4＋x 3y ＋xy 3的值等于 ．4．如图2-1，正方体的每一个面上都有一个正整数，已知相对的两个面上二数之和都相等．如果13、9、3的对面的数分别是a 、b 、c ，试求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca 的值，3913图2-15．分解因式：(x ＋y )(y ＋z )(z ＋x )＋xyz ．6．分解因式：a 3(a ＋1)(b －c )＋b 3(b ＋1)(c －a )＋c 3(c ＋1)(a －b )．。
轮换对称式解题技巧
轮换对称式解题技巧
轮换对称式解题技巧是一种有效的解决问题的方法，它可以帮助我们更好地理解和解决问题。
轮换对称式解题技巧是一种以轮换对称的方式来解决问题的技巧。
它的基本思想是，将一个问题分解成若干个子问题，然后以轮换对称的方式解决这些子问题，最终得到一个完整的解决方案。
轮换对称式解题技巧的优点是，它可以帮助我们更好地理解问题，并且可以有效地解决问题。
它的基本思想是，将一个问题分解成若干个子问题，然后以轮换对称的方式解决这些子问题，最终得到一个完整的解决方案。
轮换对称式解题技巧的应用非常广泛，它可以用于解决各种各样的问题，比如数学问题、物理问题、化学问题等等。
它的优点是，可以有效地解决问题，而且可以帮助我们更好地理解问题。
轮换对称式解题技巧是一种有效的解决问题的方法，它可以帮助我们更好地理解和解决问题。
它的基本思想是，将一个问题分解成若干个子问题，然后以轮换对称的方式解决这些子问题，最终得到一个完整的解决方案。
此外，它还可以帮助我们更好地理解问题，从而更好地解决问题。
总之，轮换对称式解题技巧是一种有效的解决问题的方法，它可以帮助我们更好地理解和解决问题。
它的优点是，可以有效地解决问题，而且可以帮助我们更好地理解问题。
因此，轮换对称式解题技巧是一种有效的解决问题的方法，值得我们去学习和使用。
江苏省高三一轮复习轮换对称法求最值教案.doc
学习必备欢迎下载轮换对称法求最值学员姓名：年级：高三课时数：1辅导科目：数学学科教师：授课日期及时段知识与技能：掌握利用均值不等式求解最值得常规方法，以及利用轮换对称快速口算最值过程与方法：通过几道题目先猜测得出答案，然后再通过常规方法验证。
探索发现这类题教学目标目的共同特点，总结题型与方法。
情感、态度与价值观：通过猜测与验证科学的探索发现过程，激发学生自我思考探索的快乐，感受快速解题的震撼，让学生爱上数学。
重点：掌握利用轮换对称快速解题的方法教学重难点难点：能够正确快速识别出符合轮换对称的条件教学过程均值不等式求最值作为高总数学8 大 C 级考点之一，经常会出现在填空13,14 压轴题位置，难度较大，灵活度要求较高。
我们平时做题时要学会总结方法，能达到快速准确解题。
通过本节课学习韩老师将带你领略秒杀压轴题的快感。
考场如战场，请各位同学们清点一下自己的弹药包.......一、弹药清点（知识回顾）1.基本不等式：2. 重要不等式： a2＋b2≥2ab(a ，b∈R)注意当且仅当a=b 时，取得“ =”b a3.重要不等式：a＋b≥2(a ， b 同号 )熟练记忆不等式链：二、武器库（题型方法总结）1 、（步枪） ------ 直接运用不等式法2 、（机关枪） ---- 倒数和形式 --- “1”的代换法或乘以“ 1”法3 、（机关枪） ---- ---- 对勾函数模型4 、（大炮） ----- 分式求和型 ---- 分母双换元法我们发现通过以上方法最后取得最值时，必有某两个变量相等以后求最值时是否可以直接让某两个变量相等，直接计算答案呢？嗯，我们需要威力更强大的武器三、武器研发 -----（猜测与探究）1、浙江高考）2.3、2019南京六校）11若均为正实数，且，则的最小值是四、列装利刃 ----（方法总结）第 1 秒------------① 取值范围相同第 2 秒---------②条件整式中互换位置不改变整式结构轮换对称法----战斗机第 3 秒--------③结论中互换位置不改变结论结构或不影响结果五、小试牛刀 ----三秒口算法解压轴题镇江一模） 14. 若实数满足，则当取得最大值时，的值为六、下节预告听说下节课要上终极大招了？嗯，让敌人闻风丧胆，所到之处寸草不生不会是万能判别式法吧？嘘.......七、靶场训练 --- 秒杀压轴题南通二模） 14．设实数 a， b， c 满足 a2＋b2 ≤c≤1，则 a＋b＋c 的最小值为．无锡期末） 14、若第一象限内的动点P（x，y）满足，则以P为圆心 R为半径且面积最小的圆的方程为．C镇江期末）⒕已知，若不等式恒成立，则实数的最大值为盐城三模） 14. 若实数，满足，且，则的最小值是。
轮换对称式的证明_高中数学_概述说明以及解释
轮换对称式的证明高中数学概述说明以及解释1. 引言1.1 概述本文将重点介绍轮换对称式的证明方法和在高中数学中的应用。
轮换对称式是一种在数学中常见的模式，它具有特殊的性质和定义。
通过探索其证明方法以及应用领域，我们可以提高对数学概念和问题的理解能力，并且能够更好地解决相关问题。
1.2 文章结构本文分为四个主要部分进行论述。
第一部分为引言，主要从整体上概述文章内容，并介绍了本文的目的。
第二部分将详细介绍轮换对称式的定义和性质，并探讨其证明方法及具体案例分析。
第三部分将重点阐述轮换对称式在高中数学中的应用，包括几何、代数和概率统计等方面。
最后一部分为结论与总结，对全文进行回顾并指出可能存在的不足之处，同时展望未来研究方向或提出进一步讨论和思考的问题。
1.3 目的本文旨在帮助读者深入理解轮换对称式这一重要概念，并掌握相关证明方法和应用技巧。
通过详细说明、举例分析和实际应用，希望能够提高读者对数学概念的把握能力，并培养解决实际问题的数学思维和能力。
相信通过阅读本文，读者将对高中数学领域中的轮换对称式有更为全面深入的了解。
2. 轮换对称式的证明：2.1 轮换对称式的定义和性质:轮换对称式是指形如$f(x_1,x_2,...,x_n)=f(x_2,x_3,...,x_n,x_1)$的函数或表达式。
其中，$x_1, x_2, ..., x_n$是一组变量。
这种函数或表达式在变量间进行周期性的轮换，并且不会改变其值。
具体来说，一个轮换对称式是通过将变量按照某种顺序进行循环置换得到的。
例如$f(x,y,z)=xyz+yzx+zxy$就是一个轮换对称式，因为通过将$x,y,z$按照顺序进行循环置换可以得到相同的表达式。
轮换对称性在数学中具有重要的性质和应用。
首先，它可以简化复杂的计算过程，减少重复或冗余计算。
此外，在代数推导和证明中，轮换对称性可以帮助我们发现等价关系、共同特征以及隐藏规律。
因此，了解和掌握轮换对称式的证明方法对于解决高中数学问题非常有帮助。
初中数学竞赛——轮换式和对称式
第2讲轮换式和对称式知识总结归纳一．基本轮换式：（1）x y z++（2）222++x y z（3）xy yz zx++（4）333++x y z（5）222++x y y z z x（6）222++xy yz zx（7）xyz二．齐次轮换式：（1）一次齐次轮换式：()l x y z++（2）二次齐次轮换式：222+++++()()l x y z m xy yz zx（3）三次齐次轮换式：333222222+++++++++()()()l x y z m x y y z z x n xy yz zx kxyz 以上l m n k、、、都是待定的常数二．轮换式与对称式的分解的一般方法：首先，把它看成一个字母的多项式，用试根法，找出一些因式；然后，根据轮换式的特点，导出更多的因式；最后，用待定系数法求出其余的因式.非齐次轮换式可以先按照次数分为几个齐次轮换式的和，对每个齐次轮换式进行分解，再相加进行分解。
特殊的轮换式可能有更简单的方法，不一定非用一般的方法去分解.、的多项式对于x y223322++++,,,,,x y xy x y x y x y xy、的对称式。
在字母x与y互换时，保持不变，这样的多项式称为x y、、的多项式类似的，关于x y z在字母x y z 、、中任意两字互换时，保持不变.这样的多项式称为x y z 、、的对称式.关于x y z 、、的多项式222333222,,,,,,,x y z xy x y z xy yz zx x y z xyz x y y z z x ++++++++++在将字母x y z 、、轮换（即将x 换成y ，y 换成z ，z 换成x ）时，保持不变.这样的多项式称为x y z 、、的轮换式。
显然，关于x y z 、、的对称式一定是x y z 、、的轮换式.但是，关于x y z 、、的轮换式不一定是x y z 、、的对称式.例如222x y y z z x ++就不是对称式.两个轮换式(对称式)的和、差、积、商（假定被除式能被除式整除）仍然是轮换式（对称式）。
5不等式培优轮换对称法
不等式培优之——“轮换对称法”【知识要点】1.不等式的对称性： （1）设()12,,,n f x x x 是一个n 元函数，若将12,,,n x x x 中任意的两个变元互相交换位置，得到的f 与原式是恒等的，则称()12,,,n f x x x 是完全对称的.如：,a b cxy yz zx b c c a a b+++++++等. （2）设()12,,,n f x x x 是一个n元函数，若作置换122311,,,,n n n x x x x x x x x -→→→→，得到的f 与原式是恒等的，则称()12,,,n f x x x 是轮换对称的. 如：333,a b c x y y z z x a b b c c a+++++++等. 显然，完全对称的一定是轮换对称的. 2.轮换对称法求最值的三个步骤： （1）确认对称：（i ）“平方和式”与“和式”的系数必须成比例；（ii ）不用管乘积项； （2）取等解方程； （3）确认最值.注意点：1.不符合轮换对称的不能使用轮换对称法；2.符合轮换对称的使用轮换对称法得到的不一定是最值！ 【典例】 例1.（1）（2010浙江文）若正实数,x y 满足26x y xy ++=，求xy 的最小值. （2）若正实数,x y 满足26x y xy ++=，求2x y +的最小值.例2.（1）（2012浙江理）设,x y 为实数，若2241x y xy ++=，求2x y +的最大值. （2）（2012浙江文）若实数,x y 满足221x y xy ++=，求x y +的最大值.例3.（2014浙江文）已知实数,,a b c 满足2220,1a b c a b c ++=++=，求a 的最大值.【题组1】1.实数,x y 满足224545x xy y -+=，设22S x y =+，则maxmin11S S +=_______.2.设,x y 为正实数，且)112x y --≤恒成立，则xy 的最大值为____.3.设正实数,,x y z 满足4,5x y z xy yz xz ++=++=，则y 的最大值为____，最小值为____.4.若,,x y z 均为正实数，且2221x y z ++=，则()212z S xyz+=的最小值为_______.5.已知01,01m n <<<<，则()()()()111mn m n m n m n --+--的最大值为_______.【题组2】1.已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_______.2.已知非负实数,a b 满足32a b +=，则()222294a b a b ++的最大值为____，最小值为____.3.已知,,2a b R a b ∈+=，则221111a b +++的最大值为_______.。
对称式和轮换对称式的性质及其应用
- ( b - c) a4 - ( c ( a - b) ( b 2 = k ( a + b2 + c2 ) +
4 4 a) b - ( a - b) c c) ( c - a)
故
a b c + + + b+ c+ d c+ d+ a d+ a+ b d a+ b+ c
2
2
2
2
p ( ab + bc + ca) .
c3 d3 + = 49 B - 68 . d+ a+ b a+ b+ c
2. 5 解对称方程组
解对称方程组时 , 可以通过对称替换把原 方程组化简 . 例 8 求方程组 数解 .
故
1
xy + 2 z
+
1
yz + 2 x
+
1
zx + 2 y
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4
中 等 数 学
=
1
( x - 2) ( y - 2) ( y - 2) ( z - 2) ( z - 2) ( x - 2) z- 2+ x- 2+ y- 2 = ( x - 2) ( y - 2) ( z - 2 ) x+y+z- 6 = xyz - 2 ( xy + yz + zx ) + 4 ( x + y + z) - 8
轮换对称式的值问题(教案版)
轮换对称式的值问题(教案版)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：轮换对称式的最值问题学生姓名 授课日期 教师姓名授课时长知识定位在不等式和求最值的问题中，轮换对称式是十分常见的。
自招、竞赛中出现的不等式证明或代数式求最值问题以轮换对称式为主，而这一类有关轮换对称式的问题也以其简洁优美的数学形式和较为灵活多变的解决方法成为自招竞赛中的一大难点。
本章节列举了处理几类轮换对称式问题和几种常见处理方法，希望同学们在考场上见到这类问题时能够有思路有针对性地着手处理，而不是盲目地尝试变形求解（证）。
知识梳理1. 不等式对称和轮换对称式的定义在一个不等式中,若把其中任何两个字母(),,1,2,...,i j a a i j n i j =≠且对调位置后,这个不等式不变(如①32a b c b c c a a b ++≥+++,其中,,0a b c >), 我们便称此不等式是关于12,,...,n a a a 对称的。
如果把不等式中的字母12,,...,n a a a 按一定顺序依次轮换（如1a 换成2a ，2a 换成3a ，...，1n a -换成n a ）后不等式不变（如②2222220,,,0c a a b b c a b c b c c a a b ---++≥>+++其中），我们便称此类不等式是关于12,,...,n a a a 轮换对称的。
2. 对称式与轮换对称不等式的性质由定义易知，对称的不等式一定是轮换对称的（如①），而轮换对称的不等式却不一定是对称的（如②就不是对称的）。
关于12,,...,n a a a 对称的不等式，由于,i j a a 互换后原不等式不变，因此要想怎么排列他们的大小顺序，只要调换其位即可，故我们可任意排列12,,...,n a a a 的大小顺序（如在①中可设a b c ≥≥），而关于12,,...,n a a a 是轮换对称的不等式则不能任意排列其字母的大小顺序，而只能做较弱的排列，如1n a a ≥，2n a a ≥，...，1n n a a -≥，即某一个是其中的最大或最小（如②中可设a c ≥，a b ≥），因为我们总可以通过轮换把某个字母调整到最小或最大的位置。
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自招竞赛 数学讲义轮换对称式的最值问题学生 授课日期 教师授课时长在不等式和求最值的问题中，轮换对称式是十分常见的。
自招、竞赛中出现的不等式证明或代数式求最值问题以轮换对称式为主，而这一类有关轮换对称式的问题也以其简洁优美的数学形式和较为灵活多变的解决方法成为自招竞赛中的一大难点。
本章节列举了处理几类轮换对称式问题和几种常见处理方法，希望同学们在考场上见到这类问题时能够有思路有针对性地着手处理，而不是盲目地尝试变形求解（证）。
1. 不等式对称和轮换对称式的定义在一个不等式中,若把其中任何两个字母(),,1,2,...,i j a a i j n i j =≠且对调位置后,这个不等式不变(如①32a b c b c c a a b ++≥+++,其中,,0a b c >), 我们便称此不等式是关于12,,...,n a a a 对称的。
如果把不等式中的字母12,,...,n a a a 按一定顺序依次轮换（如1a 换成2a ，2a 换成3a ，...，1n a -换成n a ）后不等式不变（如②2222220,,,0c a a b b c a b c b c c a a b ---++≥>+++其中），我们便称此类不等式是关于12,,...,n a a a 轮换对称的。
2. 对称式与轮换对称不等式的性质由定义易知，对称的不等式一定是轮换对称的（如①），而轮换对称的不等式却不一定是对称的（如②就不是对称的）。
关于12,,...,n a a a 对称的不等式，由于,i j a a 互换后原不等式不变，因此要想怎么排列他们的大小顺序，只要调换其位即可，故我们可任意排列12,,...,n a a a 的大小顺序（如在①中可设a b c ≥≥），而关于12,,...,n a a a 是轮换对称的不等式则不能任意排列其字母的大小顺序，而只能做较弱的排列，如1n a a ≥，2n a a ≥，...，1n n a a -≥，即某一个是其中的最大或最小（如②中可设a c ≥，a b ≥），因为我们总可以通过轮换把某个字母调整到最小或最大的位置。
3. 取得最值的判定暑期讲义轮换对称式一讲中我们提到，轮换对称式取到最值时往往各地位轮换对称的变量取值相等。
在这种情况下我们可以简化问题为先判断最值和取到最值的条件，在转化为不等式证明问题（此时取等的条件也作为一个解决不等式证明的重要提示）。
当然，并不是所有轮换对称式取最值的条件都是上述，所以我们尽可能用特值等方法验证来舍弃显然不合理的假定，确认判断正确后再转化为证明问题，这样可以减少无用功。
值得注意的是，判断各变量相等时取到的是最大还是最小值与题目要求比对是十分必要的。
4. 轮换对称式常见的处理方法（结合例题讲解）（1） 凑项法（最常用）在判断出最值后，利用基本不等式等号成立的条件凑项证明，只要领悟添项的技巧，完全可以程式化证明一类不等式。
主要细分为凑项降幂法、凑项升幂法、凑项去分母法、凑项平衡系数法。
基本思路：判断该题为轮换对称式；通过条件得出取最值时各字母或参数的值；判断是最大或最小值，抓住其中一项深入研究，构造均值不等式的其他项，再运用均值不等式加以证明。
上述各种凑项方法不是相对独立的，可以交替使用，但凑项的关键是在求和时能利用已知条件，并能取到等号。
（2） 求配偶式法（即（1）的进化版本）当直接配凑较为困难时我们可以通过先设待定系数求解的方法找到要凑得项。
充分利用轮换对称式等式的结构特点以及等号成立的条件为导向，运用待定系数法构造配偶式，然后运用均值不等式等号成立的条件以及所证轮换对称不等式等号成立的条件求出待定系数，从而使所证不等式获得证明。
其中设配偶式求配偶因子是该方法的关键一步和核心部分，也是它与方法（1）的主要区别。
（3） “非常规最值”的应对方法前几个方法中,首要是确认在各变量取值相等时取到最值，这类最值问题称为“常规最值”。
然而并非所有的轮换对称式都满足这一要求，因而面对一些“非常规最值”问题，也有一些特定的其他方法，如：构造不等式法、导数法（没有例题，导数法结合主元思想是证明不等式、求最值很常规的一类方法，本节不再做说明）和图像法等。
【试题来源】【题目】已知+∈R z y x ,,，且1=++z y x ，求141414+++++z y x 的最大值 【答案】21 【解析】猜想当31===z y x 时取得最大值， 此时37141414=+=+=+z y x ，最大值为21。
下证明：因为143714372++≤+⋅⋅x x ，所以)352(7314+≤+x x ，同理)352(7314+≤+y y ，)352(7314+≤+z z ，上述三式相加，并将1=++z y x 代入化简即得证。
（本题也可以用琴生不等式易证得） 【知识点】轮换对称式 凑项升幂法【适用场合】当堂例题 【难度系数】2【试题来源】 【题目】证明Cauchy 不等式na a a a a a n n22122221)(+⋅⋅⋅++≥+⋅⋅⋅++【答案】（证明题） 【解析】证明：设a a a a n =+⋅⋅⋅++21，则i ia n an a a ⋅≥+2)(22，所以∑∑==≥⋅+n i i n i i a n a n a n a 12122)(，即na a a a a a n n22122221)(+⋅⋅⋅++≥+⋅⋅⋅++。
【知识点】轮换对称式 凑项降幂法 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】2【试题来源】1990年第24届全数学奥林匹克 【题目】设n x x x ,,,21⋅⋅⋅是正数，且121=+⋅⋅⋅++n x x x ，求1212132222121x x x x x x x x x x x x n n n n n ++++⋅⋅⋅++++--的最小值【答案】21【解析】分析：由于当nx x x n 121==⋅⋅⋅==时等号成立，于是)(41112+++=+i i i i i x x x x x 。
下证：设11x x n =+，因为i i i i i i x x x x x x ≥+++++)(41112所以∑∑∑∑==+==+≥+++n i i n i i n i i ni i i i x x x x x x 1111112)(41，即21112≥∑+=+n i i i i x x x 。
【知识点】轮换对称式 凑项去分母法【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】1995.IMO 【题目】设+∈R c b a ,,，且1=abc ，求证：23)(1)(1)(1333≥+++++b a c a c b c b a【答案】（证明题） 【解析】原不等式等价于23)()()(222222≥+++++b a c b a a c b a c c b a c b当a=b=c=1时等号成立，此时)(41)(22c b a c b a c b +=+，所以，bcc b a c b a c b ≥+++)(41)(22，同理，caa cb ac b a c ≥+++)(41)(22，abb ac b a c b a ≥+++)(41)(22，上述三式相加并化简得2323)(21)()()(3222222=⋅⋅≥++≥+++++ca bc ab ca bc ab b a c b a a c b a c c b a c b【知识点】轮换对称式 凑项去分母法 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】设+∈R c b a ,,，且2223a b c ++=，求111121212ab bc ca+++++的最小值。
【答案】1 【解析】 猜测时，最小值为1。
下证：令，由均值不等式得，此不等式等号成立条件是即。
又易知所证不等式等号成立的条件是，此时．于是有，同理有，，将这三个不等式相加得，。
又由均值不等式可得，，代入上式显然得证。
【知识点】轮换对称式 求配偶式法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2【试题来源】 【题目】若12,,...,n x x x 为小于1的正数且12...1n x x x +++=，*,m n N ∈且2,2m n ≥≥，则11122111 (1)mm m mm n n n x x x x x x n -+++≥---- 【答案】（证明题） 【解析】证明：因，则．令，由均值不等式得，此不等式等号成立的条件是，即．又易知所证不等式等号成立的条件是，此时，于是有，即，其中，将这个不等式相加得，．因为12...1n x x x +++=，所以（均值不等式），即，代入上述不等式化简得：，即．【知识点】轮换对称式 求配偶式法 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】非负实数,,a b c 满足1a b c ++=，记111111S a b c=+++++，求S 的取值围。
【答案】9542S ≤≤ 【解析】注：基本思路和前面两种方法雷同，也是知道取到最值时变量的取值条件之后特意构造两端取等的不等式来帮助证明。
【知识点】非常规最值-构造不等式法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】2007女子数学奥林匹克（改编） 【题目】非负实数,,a b c 满足1a b c ++=，记()()()222111444S a b c b c a c a b =+-+-+-，求S 的最大值。
【答案】2【解析】 发现当1,33a b c S ====不是最大值。
【知识点】非常规最值-构造不等式法 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3习题演练【试题来源】 【题目】设角A 、B 、C 满足1cos cos cos 222=++C B A求：CB A 222sin 1sin 1sin 1++的最小值 【答案】92【解析】分析：原条件等价于2sin sin sin 222=++C B A ，猜测当32sin sin sin 222===C B A 时最小值为92。
下证：构造 34sin 9sin 122≥+A A ，34sin 9sin 122≥+B B ，34sin 9sin 122≥+C C 上述三式相加并化简得证。
【知识点】轮换对称式 凑项去分母法【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2【试题来源】 【题目】已知+∈R c b a ,,，求a b cb c a c a b+++++的最小值。
【答案】32【解析】c b a ==时显然有min 为32。
下证：设，则所求式可化为，进而变为，再令，则且，所求式变为，分离常数得-3.（换元使分子为常数，方便进一步的基本不等式）构造，则此不等式等号成立的条件是，即．又易知所证不等式等号成立的条件是，此时，所以，即，同理可得，，将这三个不等式相加得，，又，所以，故原不等式成立。