勾股

勾股数
勾股数又名毕氏三元数。

勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。

勾股定理：直角三角形两条直角边
a、b的平方和等于斜边c的平方（a²+b²=c²）
表达式
a²+b²=c²,a,b,c∈N
常用套路
简介
所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(例如a,b,c)。

即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。

关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种：[1]
第一套路
当a为大于1的奇数2n+1时，b=2n^2+2n, c=2n^2+2n+1。

实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)[1]
... ...
这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。

[1]第二套路
2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1
也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)[1]
... ...
这是第二经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。

所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (大于等于2), b=4n²-1, c=4n²+1，例如：
n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
n=3时(a,b,c)=(12,35,37)
n=4时(a,b,c)=(16,63,65)[1]
... ...
公式证明
证明
a=2mn
b=m²-n²
c=m²+n²
证：
假设a²+b²=c²，这里研究(a,b)=1的情况（如果不等于1则(a,b)|c，两边除以(a,b)即可）
如果a,b均奇数，则a² + b² = 2(mod 4)（奇数mod4余1），而2不是模4的二次剩余，矛盾，所以必定存在一个偶数。

不妨设a=2k
等式化为4k² = (c+b)(c-b)
显然b,c同奇偶（否则右边等于奇数矛盾）
作代换：M=(c+b)/2, N=(c-b)/2，显然M，N为正整数
往证：(M,N)=1
如果存在质数p，使得p|M,p|N, 那么p|M+N(=c),
p|M-N(=b), 从而p|c, p|b, 从而p|a，这与(a,b)=1矛盾所以(M,N)=1得证。

依照算术基本定理，k² = p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 * ...，其中a1,a2...均为偶数，p1,p2,p3...均为质数
如果对于某个pi，M的pi因子个数为奇数个，那N对应的pi因子必为奇数个（否则加起来不为偶数），从而pi|M,
pi|N，(M,N)=pi>1与刚才的证明矛盾所以对于所有质因子,pi²|M, pi²|N，即M，N都是平方数。

设M = m², N = n²
从而有c+b = 2m², c-b = 2n²，解得c=m²+n², b=m²-n², 从而a=2mn[1]
推广形式
关于勾股数的公式还是有局限的。

勾股数公式可以得到所有的基本勾股数，但是不可能得到所有的派生勾股数。

比如3，4，5；6，8，10；9，12，15...，就不能全部有公式计算出来。

[1]
但可以采用同乘以任意整数的形式来获取所有解！
其中规定m>n>0（两负数相乘可抵消固不考虑），(m,n)=1，m和n必须为一奇一偶，t为正整数
完全公式
公式
a=m，b=(m^2 / k - k) / 2，c=(m^2 / k + k) / 2 ①
其中m ≥3
⒈当m确定为任意一个≥3的奇数时，k={1，m^2的所
有小于m的因子}
⒉当m确定为任意一个≥4的偶数时，k={m^2 / 2的所有小于m的偶数因子}
基本勾股数与派生勾股数可以由完全一并求出。

例如，当m确定为偶数432时，因为k={432^2 / 2的所有小于432
的偶数因子}= {2，4，6，8，12，16，18，24，32，36，48，54，64，72，96，108，128，144，162，192，216，288，324，384}，将m=432及24组不同k值分别代入b=(m^2 / k - k) / 2，c=(m^2 / k + k) / 2；即得直角边a=432时，具有24组不同的另一直角边b和斜边c，基本勾股数与派生勾股数一并求出。

而勾股数的组数也有公式能直接得到。

[1]
组数N
算术基本定理：一个大于1的正整数n，如果它的标准分解式为n=p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，那么它的正因数个数为N=(m1+1)×(m2+1)×……×(mr+1)；依据定理，易得以下结论
当a给定时，不同勾股数组a，b，c的组数N等于①式中k的可取值个数
⒈取奇数a=p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，其中k={1，a^2的所有小于a的因子}，则k的可取值个数：N=[(2m1+1)×(2m2+1)×……×(2mr+1)－1]/2
⒉取偶数a=2^m0×p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，其中
k={a^2 / 2的所有小于a的偶数因子}，则k的可取值个数：
N=[(2m0－1)×(2m1+1)×(2m2+1)×……×(2mr+1)－1]/2 其中，p1，p2，……，pr为互不相同的奇素数，m0，m1，……，mr为幂指数。

[1]
常见组合
3，4，5 ：勾三股四弦五
5，12，13 ：5·12记一生（13）
6，8，10：连续的偶数
8，15，17 ：八月十五在一起（17）
特殊组合
连续的勾股数只有3，4，5
连续的偶数勾股数只有6，8，10
20以内
3 4 5；5 12 13；6 8 10；8，15，17；9 12 15
20-130
7 24 25；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20；12 35 37；
13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；15 112 113；
16 30 34；16 63 65；18 24 30；18 80 82；20 21 29；20 48 52；20 99 101；21 28 35；21 72 75；22 120 122；24 32 40；
24 45 51；24 70 74；25 60 65；27 36 45；28 45 53；30 40 50；30 72 78；32 60 68；33 44 55；33 56 65；35 84 91；
36 48 60；36 77 85；39 52 65；39 80 89；40 42 58；40 75 85；40 96 104；42 56 70；45 60 75；48 55 73 ；48 64 80 ；48 90 102 ；51 68 85 ；54 72 90 ；56 90 106 ；
57 76 95 ；60 63 87 ；60 80 100 ；60 91 109 ；63 84 105 ；65 72 97 ；66 88 110 ；69 92 115 ；72 96 120 ；
75 100 125 ；80 84 116。

三个数都在100以内共有52组。

其他公式
三个任意半径的圆相互外切，其半径两两相加，分别是以三个圆的圆心为顶点的三角形的三个边长。

如图：设一直角三角形斜边为a+n,另两个直角边分别是a+b和b+n。

a、b 都是正整数，且a>b。

以勾股定理得
，展开并化简得：
,即
，按图中步骤得
，将任意两个不相等的正整数数带入上式，注意a>b，即可得到一组勾股数。

不过得到的勾股数可能不互质，要除以三个数的最大公因数，就可得到一组互质的勾股数。