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高中数学必修二：全册作业与测评综合质量评估

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高中数学 全册综合检测试题课时作业(含解析)新人教A版必修第二册-新人教A版高一第二册数学试题

高中数学 全册综合检测试题课时作业(含解析)新人教A版必修第二册-新人教A版高一第二册数学试题

全册综合检测试题时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题每小题5分，共40分 1．下列命题为假命题的是( D ) A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数的模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|>|z 2|解析：A 中，任何复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立，所以A 正确；B 中，由复数为零的条件z ＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0⇔|z |＝0，故B 正确；C 中，若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R )，且z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，所以|z 1|＝|z 2|；反之，由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时，|z 1|＝|z 2|，故C 正确；D 中，若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，z 1>z 2，则a 1>a 2，b 1＝b 2＝0，此时|z 1|>|z 2|；若|z 1|>|z 2|，z 1与z 2不一定能比较大小，所以D 错误．2．随机调查某校50个学生在学校的午餐费，结果如表：餐费/元 6 7 8 人数102020这50A ．7.2,0.56 B ．7.2，0.56 C ．7,0.6 D ．7，0.6解析：根据题意，计算这50个学生午餐费的平均值是x ＝150×(6×10＋7×20＋8×20)＝7.2，方差是s 2＝150[10×(6－7.2)2＋20×(7－7.2)2＋20×(8－7.2)2]＝150(14.4＋0.8＋12.8)＝0.56.3．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( B ) A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面解析：当α内有无数条直线与β平行，也可能两平面相交，故A 错．同样当α，β平行于同一条直线或α，β垂直于同一平面时，两平面也可能相交，故C ，D 错．由面面平行的判定定理可得B 正确．4．如图，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则CC 1与平面AB 1C 1所成的角为( A )A.π6B.π4 C.π3D.π2解析：如图，取B 1C 1中点为D ，连接AD ，A 1D ，因为侧棱垂直于底面，底边是边长为2的正三角形，所以三棱柱ABC ­A 1B 1C 1是正三棱柱，所以CC 1∥AA 1，所以AA 1与平面AB 1C 1所成的角即是CC 1与平面AB 1C 1所成的角，因为B 1C 1⊥A 1D ，B 1C 1⊥AA 1，所以B 1C 1⊥平面AA 1D ，所以平面AA 1D ⊥平面AB 1C 1，所以AA 1与平面AB 1C 1所成角为∠A 1AD ，因为AA 1＝3，A 1D ＝3，所以tan ∠A 1AD ＝A 1D AA 1＝33，所以∠A 1AD ＝π6，所以CC 1与平面AB 1C 1所成角为π6.5．正方形ABCD 的边长为2，点E 为BC 边的中点，F 为CD 边上一点，若AF →·AE →＝|AE →|2，则|AF →|＝( D )A ．3B ．5 C.32D.52解析：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立坐标系，如图所示，因为E 为BC 边的中点，所以E (2,1)，因为F 为CD 边上一点，所以可设F (t,2)(0≤t ≤2)，所以AF →＝(t,2)，AE →＝(2,1)，由AF →·AE →＝|AE →|2可得：2t ＋2＝22＋1＝5，所以t ＝32，所以AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2， 所以|AF →|＝322＋22＝52.6．已知点O 是△ABC 内部一点，并且满足OA →＋2OB →＋3OC →＝0，△BOC 的面积为S 1，△ABC 的面积为S 2，则S 1S 2＝( A )A.16B.13C.23D.34 解析：因为OA →＋2OB →＋3OC →＝0，所以OA →＋OC →＝－2(OB →＋OC →)，如图，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，则 OA →＋OC →＝2OD →，OB →＋OC →＝2OE →， 所以OD →＝－2OE →，即O ，D ，E 三点共线且|OD →|＝2|OE →|， 则S △OBC ＝13S △DBC ，由于D 为AC 中点，所以S △DBC ＝12S △ABC ，所以S △OBC ＝16S △ABC ，即S 1S 2＝16.7．为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程，20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是( D )A.12B.13C.14D.16解析：记第i 名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意，事件A i ，B i ，C i (i ＝1,2,3)相互独立，则P (A i )＝3060＝12，P (B i )＝2060＝13，P (C i )＝1060＝16，i ＝1,2,3，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P ＝6P (A i B i C i )＝6×12×13×16＝16.8．如图，△ABC 是边长为23的正三角形，P 是以C 为圆心，半径为1的圆上任意一点，则AP →·BP →的取值X 围是( A )A ．[1,13]B ．(1,13)C ．(4,10)D ．[4,10]解析：取AB 的中点D ，连接CD ，CP ，则CA →＋CB →＝2CD →，所以AP →·BP →＝(CP →－CA →)·(CP →－CB →)＝CA →·CB →－2CD →·CP →＋1＝(23)2cos π3－2×3×1×cos〈CD →，CP →〉＋1＝7－6cos 〈CD →，CP →〉，所以当cos 〈CD →，CP →〉＝1时，AB →·BP →取得最小值为1；当cos 〈CD →，CP →〉＝－1时，AP →·BP→取得最大值为13，因此AP →·BP →的取值X 围是[1,13]．二、多项选择题每小题5分，共20分9．为了反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份某某通过联合调查，制定了中国仓储指数．由2017年1月至2018年7月的调查数据得出的中国仓储指数，绘制出如下的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( ABC ) A ．2017年各月的仓储指数最大值是在3月份 B ．2018年1月至7月的仓储指数的中位数约为55 C ．2018年1月与4月的仓储指数的平均数约为52D ．2017年1月至4月的仓储指数相对于2018年1月至4月，波动性更大解析：2017年各月的仓储指数最大值是在11月份，所以A 错误；由题图知，2018年1月至7月的仓储指数的中位数约为52，所以B 错误；2018年1月与4月的仓储指数的平均数约为51＋552＝53，所以C 错误；由题图可知，2017年1月至4月的仓储指数比2018年1月至4月的仓储指数波动更大．所以D 正确．10．已知数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是A 市n (n ≥3，n ∈N *)个普通职工的年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入x n ＋1，对于这(n ＋1)个数据，下列说法错误的是( ACD )A ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变解析：∵数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是A 市n (n ≥3，n ∈N *)个普通职工的年收入，而x n ＋1为世界首富的年收入，则x n ＋1会远大于x 1，x 2，x 3，…，x n ，∴对于这(n ＋1)个数据，年收入平均数大大增大，但中位数可能不变，也可能稍微变大，但由于数据的集中程度受到x n ＋1比较大的影响，数据更加离散，则方差变大．故A 、C 、D 说法错误，符合题意．11．已知向量a ，e 满足a ≠e ，|e |＝1，且对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |成立，则( BC )A ．a ⊥eB ．a·e ＝1C ．e ⊥(a －e )D ．(a ＋e )⊥(a －e )解析：由条件可知|a －t e |2≥|a －e |2对t ∈R 恒成立，又∵|e |＝1，∴t 2－2t a ·e ＋2a ·e －1≥0对t ∈R 恒成立，即Δ＝(－2a ·e )2－8a ·e ＋4≤0恒成立，∴(a ·e －1)2≤0恒成立，而(a ·e －1)2≥0，∴a ·e －1＝0，即a ·e ＝1＝e 2，∴e ·(a －e )＝0，即e ⊥(a －e )．12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2，E 为AB 的中点，将△ADE 沿DE 翻折到△A 1DE 的位置，A 1∉平面ABCD ，M 为A 1C 的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是( ABC )A ．恒有BM ∥平面A 1DEB ．B 与M 两点间距离恒为定值C ．三棱锥A 1­DEM 的体积的最大值为212D ．存在某个位置，使得平面A 1DE ⊥平面A 1CD解析：如图，取A 1D 的中点N ，连接MN ，EN ，可得四边形BMNE 是平行四边形，所以BM ∥EN ，所以BM ∥平面A 1DE ，故A 正确；(也可以延长DE ，CB 交于H ，可证明MB ∥A 1H ，从而证 BM ∥平面A 1DE ) 因为DN ＝12，DE ＝2，∠A 1DE ＝∠ADE ＝45°，根据余弦定理得EN 2＝14＋2－2×2×12×22，得EN ＝52， 因为EN ＝BM ，故BM ＝52，故B 正确； 因为M 为A 1C 的中点，所以三棱锥C ­A 1DE 的体积是三棱锥M ­A 1DE 的体积的两倍，故三棱锥C ­A 1DE 的体积VC ­A 1DE ＝VA 1­DEC ＝13S △CDE ·h ，其中h 表示A 1到底面ABCD 的距离，当平面A 1DE ⊥平面ABCD 时，h 达到最大值，此时VA 1­DEC 取到最大值26，所以三棱锥M ­A 1DE 体积的最大值为212，即三棱锥A 1­DEM 体积的最大值为212，故C 正确； 考察D 选项，假设平面A 1DE ⊥平面A 1CD ，因为平面A 1DE ∩平面A 1CD ＝A 1D ，A 1E ⊥A 1D ， 故A 1E ⊥平面A 1CD ，所以A 1E ⊥A 1C ， 则在△A 1CE 中，∠EA 1C ＝90°，A 1E ＝1，EC ＝2，所以A 1C ＝1，又因为A 1D ＝1，CD ＝2，所以A 1D ＋A 1C ＝CD ， 故A 1，C ，D 三点共线．所以A 1∈CD ，得A 1∈平面ABCD ，与题干条件A 1∉平面ABCD 矛盾，故D 不正确．故选ABC.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题每小题5分，共20分13．随着社会的发展，食品安全问题渐渐成为社会关注的热点，为了提高学生的食品安全意识，某学校组织全校学生参加食品安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，若该校的学生总人数为 3 000，则成绩不超过60分的学生人数大约为900.解析：由题图知，成绩不超过60分的学生的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以成绩不超过60分的学生人数大约为0.3×3 000＝900.14．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是710. 解析：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，共有10种情况．若选出的2名学生恰有1名女生，有6种情况，若选出的2名学生都是女生，有1种情况，所以所求的概率为6＋110＝710.15．已知复数z 1＝2＋3i ，z 2＝a ＋b i ，z 3＝1－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝2OA →＋OB →，则a ＝－3，b ＝－10. 解析：因为OC →＝2OA →＋OB →， 所以1－4i ＝2(2＋3i)＋(a ＋b i)即⎩⎪⎨⎪⎧1＝4＋a ，－4＝6＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－10.16．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为2，除平面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M ，则四棱锥M ­EFGH 的体积为23.解析：因为底面EFGH 的对角线EG 与FH 互相垂直， 所以S EFGH ＝12×EG ×FH ＝12×2×2＝2，又M 到底面EFGH 的距离等于棱长的一半， 即h ＝12×2＝1，所以四棱锥M ­EFGH 的体积：V M ­EFGH ＝13×S EFGH ×h ＝13×2×1＝23.四、解答题写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分17．(10分)某市举办法律知识问答活动，随机从该市18～68岁的人群中抽取了一个容量为n 的样本，并将样本数据分成五组：[18,28)，[28,38)，[38,48)，[48,58)，[58,68]，并绘制如图所示的频率分布直方图，再将其分别编号为第1组，第2组，…，第5组．该部门对回答问题的情况进行统计后，绘制了下表．组号 分组 回答正确的人数回答正确的人数占本组的比例第1组 [18,28) 5 0.5第2组 [28,38) 18 a第3组 [38,48) 270.9 第4组 [48,58) x0.36 第5组[58,68]30.2(1)分别求出a，x的值；(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层随机抽样的方法抽取6人，则第2,3,4组每组各应抽取多少人？(3)在(2)的前提下，在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求第2组至少有1人获得幸运奖的概率．解：(1)第1组的人数为5÷0.5＝10，第1组的频率为0.010×10＝0.1，所以n＝10÷0.1＝100.第2组的频率为0.020×10＝0.2，人数为100×0.2＝20，所以a＝18÷20＝0.9.第4组的频率为0.025×10＝0.25，人数为100×0.25＝25，所以x＝25×0.36＝9.(2)第2,3,4组回答正确的人数的比为18279＝231，所以第2,3,4组每组各应抽取2人、3人、1人．(3)记“第2组至少有1人获得幸运奖”为事件A，设抽取的6人中，第2组的2人为a1，a2，第3组的3人为b1，b2，b3，第4组的1人为c，则从6人中任意抽取2人所有可能的结果为(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，c)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，c)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，c)，(b2，b3)，(b2，c)，(b3，c)，共15种．其中第2组至少有1人获得幸运奖的结果为(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，c)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，c)，共9种．故P(A)＝915＝35.所以抽取的6人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为35.18．(12分)某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．(注：分组区间为[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100])(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层随机抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率．解：(1)由题可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45.(2)因为样本量与总体中的个体数的比是530＋45＝115，所以样本中包含的男生人数为30×115＝2，女生人数为45×115＝3.设抽取的5人分别为A ，B, C, D ，E ，其中A ，B 为男生，C, D ，E 为女生，从5人中任意选取2人，试验的样本空间Ω＝{(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E ) }，共10个样本点．事件“至少有一名男生”包含的样本点有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，共7个样本点，故至少有一名男生的概率为P ＝710，即选取的2人中至少有一名男生的概率为710.19．(12分)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－3sin A sin B .(1)求角C 大小；(2)若c ＝2，求3a ＋b 的取值X 围．解：(1)因为sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－3sin A sin B ， 所以由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝－3ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－3ab 2ab ＝－32，因为C ∈(0，π)，所以C ＝5π6. (2)由正弦定理得2R ＝csin C ＝4，所以3a ＋b ＝2R (3sin A ＋sin B ) ＝4[3sin A ＋sin(π6－A )]＝4(3sin A ＋12cos A －32sin A )＝4sin(A ＋π6)，因为A ∈(0，π6)，所以A ＋π6∈(π6，π3)，所以sin(A ＋π6)∈(12，32)，所以3a ＋b 的取值X 围是(2,23)．20．(12分)如图，A ，C 两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A 岛出发，以10海里/小时的速度，沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B 处．然后以同样的速度，沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C 岛．(1)求A ，C 两岛之间的直线距离； (2)求∠BAC 的正弦值．解：(1)在△ABC 中，由已知，AB ＝10×5＝50，BC ＝10×3＝30，∠ABC ＝180°－75°＋15°＝120°.根据余弦定理，得AC 2＝502＋302－2×50×30cos120°＝4 900，所以AC ＝70. 故A ，C 两岛之间的直线距离是70海里． (2)在△ABC 中，据正弦定理，得BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC，所以sin ∠BAC ＝BC sin ∠ABC AC ＝30sin120°70＝3314， 故∠BAC 的正弦值是3314.21．(12分)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，△PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA ⊥CD ，CD ＝2，AD ＝3.(1)设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH ∥平面PAD ； (2)求证：PA ⊥平面PCD ；(3)求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值． 解：(1)证明：连接BD，如图，易知AC∩BD＝H，BH＝DH，又BG＝PG，故GH∥PD，又因为GH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以GH∥平面PAD.(2)证明：取棱PC的中点N，连接DN，如图，依题意，得DN⊥PC，又因为平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC，所以DN⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，故DN⊥PA，又因为PA⊥CD，CD∩DN＝D，所以PA⊥平面PCD.(3)连接AN，如图，由(2)中DN⊥平面PAC，可知∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角．因为△PCD为等边三角形，CD＝2且N为PC的中点，所以DN＝3，又DN⊥AN，在Rt△AND中，sin∠DAN＝DNAD ＝33，所以直线AD与平面PAC所成角的正弦值为33.22．(12分)如图，在四棱锥P­ABCD中，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，AB ∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB＝2AD＝4.(1)求证：平面PCD⊥平面PAD；(2)求三棱锥P­ABC的体积；(3)在棱PC上是否存在点E，使得BE∥平面PAD？若存在，请确定点E的位置，并证明；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为AB∥CD，AB⊥AD，所以CD⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以CD⊥平面PAD.因为CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD.(2)取AD的中点O，连接PO，如图．因为△PAD为正三角形，所以PO⊥AD.因为平面PAD ⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO为三棱锥P­ABC的高．因为△PAD为正三角形，CD＝2AB＝2AD＝4，所以PO＝3，所以V三棱锥P­ABC＝S△ABC·PO＝13×12×2×2×3＝233.(3)在棱PC上存在点E，当E为PC的中点时，BE∥平面PAD.证明：如图，分别取CP，CD的中点E，F，连接BE，BF，EF，所以EF∥PD.因为AB∥CD，CD＝2AB，所以AB∥FD，AB＝FD，所以四边形ABFD为平行四边形，所以BF∥AD. 因为BF∩EF＝F，AD∩PD＝D，所以平面BEF∥平面PAD.因为BE⊂平面BEF，所以BE∥平面PAD.。

【人教A版】2019学年高中数学必修二：全册作业与测评单元质量评估(二)

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单元质量评估(二)(第三、四章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若直线过点(1,2),(4,2+),则此直线的倾斜角是( )A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选A.斜率k==,所以倾斜角为30°.【补偿训练】直线的方程为x-y+2014=0,则直线的倾斜角为( )A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】选A.直线的斜率k=,所以直线l的倾斜角为30°.2.(2015·兰州高一检测)点A(2a,a-1)在以点C(0,1)为圆心,半径为的圆上,则a的值为( )A.±1B.0或1C.-1或D.-或1【解析】选D.由题意,已知圆的方程为x2+(y-1)2=5,将点A的坐标代入圆的方程可得a=1或a=-.【补偿训练】若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围为( ) A.m< B.m<0 C.m> D.m≤【解析】选A.由题意知(-1)2+12-4m>0,得m<.3.直线-=1在y轴上的截距是( )A. B.-b2 C.b2 D.±b【解析】选B.令x=0,则y=-b2.【误区警示】本题易混淆截距和距离,误认为截距必须是正值,从而错选A或C.4.(2015·榆林高一检测)点P(x,2,1)到点A(1,1,2)、B(2,1,1)的距离相等,则x 等于( )A. B.1 C. D.2【解析】选B.由题意,|PA|=|PB|,即=,解得x=1.【补偿训练】已知空间两点A(-1,3,5),B(2,4,-3),则等于( )A. B.3 C. D.【解题指南】利用两点间的距离公式求解.【解析】选A.==.5.圆x2+y2-8x+6y+16=0与圆x2+y2=64的位置关系是( )A.相交B.相离C.内切D.外切【解析】选 C.圆x2+y2-8x+6y+16=0可化为(x-4)2+(y+3)2=9.圆心距为=5,由于8-3=5,故两圆内切.6.若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a的值为( )A.-1B.1C.3D.-3【解析】选B.化圆为标准形式为(x+1)2+(y-2)2=5,圆心为(-1,2).因为直线过圆心,所以3×(-1)+2+a=0,所以a=1.7.(2015·沈阳高一检测)两条直线y=ax-2与y=(a+2)x+1互相垂直,则a等于( ) A.2 B.1 C.0 D.-1【解析】选D.因为两直线互相垂直,所以a(a+2)=-1,所以a2+2a+1=0,故a=-1.8.设点P(a,b,c)关于原点的对称点为P',则|PP'|= ( )A. B.2C.|a+b+c|D.2|a+b+c|【解析】选B.P(a,b,c)关于原点的对称点P'(-a,-b,-c),则|PP'|==2.9.直线y=ax+b(a+b=0)的图象是( )【解析】选D.y=ax+b(a+b=0)过点(1,0),故选D.10.(2015·宜宾高一检测)圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)关于直线y=x-1对称,则( )A.D+E=2B.D-E=-1C.D-E=-2D.D+E=1【解析】选C.圆的对称轴是圆的直径所在的直线,这是圆的性质,也是题中的隐含条件,所以圆心在直线y=x-1上,所以-=--1,D-E=-2.【补偿训练】(2014·蚌埠高一检测)与圆x2+y2-ax-2y+1=0关于直线x-y-1=0对称的圆的方程是x2+y2-4x+3=0,则a= ( )A.0B.1C.2D.3【解题指南】先确定圆x2+y2-4x+3=0的圆心,求圆心关于直线x-y-1=0的对称点,即为圆x2+y2-ax-2y+1=0的圆心.【解析】选C.x2+y2-4x+3=0化为标准形式为(x-2)2+y2=1,圆心为(2,0),因为(2,0)关于直线x-y-1=0对称的点为(1,1),所以x2+y2-ax-2y+1=0的圆心为(1,1).因为x2+y2-ax-2y+1=0,即为+(y-1)2=,圆心为,所以=1,即a=2.【一题多解】本题还可以使用以下方法求解:x2+y2-4x+3=0的圆心为M(2,0),x2+y2-ax-2y+1=0的圆心为N,MN的中点在直线x-y-1=0上,所以--1=0,所以a=2.11.(2015·开原高一检测)以点(2,-1)为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程是( )A.(x-2)2+(y+1)2=3B.(x+2)2+(y-1)2=3C.(x-2)2+(y+1)2=9D.(x+2)2+(y-1)2=9【解题指南】利用点到直线的距离先求出圆的半径,结合圆心坐标,写出圆的方程.【解析】选C.由题意知,圆的半径r==3,故所求圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=9.【补偿训练】直线l与圆C:x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于A,B两点,弦AB的中点为D(0,1),则直线l的方程为( )A.x-y+1=0B.x+y+1=0C.x-y-1=0D.x+y-1=0【解析】选A.圆C的圆心坐标为(-1,2),弦AB中点D(0,1),所以k CD==-1,所以k AB=-=1,所以直线l的方程为y-1=x-0,即:x-y+1=0.12.(2015·佳木斯高一检测)设点A(2,-3),B(-3,-2),直线l过点P(1,1)且与线段AB相交,则l的斜率k的取值范围是( )A.k≥或k≤-4B.-4≤k≤C.-≤k≤4D.以上都不对【解题指南】数形结合,观察图形,分别计算出k PA,k PB的值.【解析】选A.k PA=-4,k PB=,画图观察可知k≥或k≤-4.【补偿训练】若直线l:y=kx-与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角α的取值范围是( )A.30°≤α≤60°B.30°<α<90°C.60°≤α≤90°D.30°≤α≤90°【解析】选B.如图,直线l:y=kx-,过定点P(0,-),又A(3,0),所以k PA=,则直线PA的倾斜角为30°,满足条件的直线l的倾斜角的范围是30°<α<90°.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知点M(-1,3),N(2,-1),则|MN|等于.【解析】|MN|==5.答案:514.点(a,b)到直线ax+by=0的距离是.【解析】d==.答案:15.(2015·湖北高考)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准方程为.(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为.【解析】(1)设点C的坐标为(x0,y0),则由圆C与x轴相切于点T(1,0)知,点C的横坐标为1,即x 0=1,半径r=y0.又因为|AB|=2,所以12+12=,即y0==r,所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y-)2=2.(2)令x=0得:B(0,+1).设圆C在点B处的切线方程为y-(+1)=kx,则圆心C到其距离为:d==,解之得k=1.即圆C在点B处的切线方程为y=x+(+1),于是令y=0可得x=--1,即圆C在点B处的切线在x轴上的截距为-1-.答案:(1)(x-1)2+(y-)2=2 (2)-1-【补偿训练】圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是.【解析】已知圆的圆心为C(1,1),半径为r=1,则圆心到直线的距离为d==,因此圆上的点到直线的最大距离为d max=+1.答案:+116.动圆x2+y2-(4m+2)x-2my+4m2+4m+1=0的圆心的轨迹方程是. 【解析】圆心为(2m+1,m),r=(m≠0),令x=2m+1,y=m,消去m得,x-2y-1=0,因为m≠0,所以y≠0,即x≠1.答案:x-2y-1=0(x≠1)三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2015·绍兴高一检测)一直线被两直线l1:4x+y+6=0,l2:3x-5y-6=0截得线段的中点是P(0,0),求此直线方程.【解析】由得两直线交于(-,-),记为A,则直线AP垂直于所求直线l,即k1=,所以y=x.即4x-3y=0,或24x-5y+5=0为所求.18.(12分)已知圆C:(x-1)2+y2=9内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A,B 两点.(1)当l经过圆心C时,求直线l的方程.(2)当弦AB被点P平分时,写出直线l的方程.【解析】(1)已知圆C:(x-1)2+y2=9的圆心为C(1,0),因直线l过点P,C,所以直线l 的斜率为2,直线l的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.(2)当弦AB被点P平分时,l⊥PC,直线l的方程为y-2=-(x-2),即x+2y-6=0.19.(12分)(2015·佛山高一检测)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=|AD|=3,|AA1|=2,点M在A1C1上,|MC1|=2|A1M|,N在D1C上且为D1C的中点,求M,N两点间的距离.【解析】如图,分别以AB,AD,AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.由题意可知C(3,3,0),D(0,3,0),因为|DD1|=|CC1|=2,所以C1(3,3,2),D1(0,3,2).因为N为CD1的中点,所以N.由题意M是A1C1的三等分点且靠近点A1,所以M(1,1,2).由两点间距离公式,得==.【补偿训练】一个长方体的8个顶点坐标分别为(0,0,0),(0,1,0),(3,0,0), (3,1,0),(3,1,9),(3,0,9),(0,0,9),(0,1,9).(1)在空间直角坐标系中画出这个长方体.(2)求这个长方体外接球的球心坐标.(3)求这个长方体外接球的体积.【解析】(1)如图.(2)因为长方体的体对角线长是其外接球的直径,所以球心坐标为,即.(3)因为长方体的体对角线长d==,所以其外接球的半径r==.所以其外接球的体积V球=πr3=π=.20.(12分)(2015·大同高一检测)当m为何值时,直线(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1.(1)倾斜角为45°.(2)在x轴上的截距为1.【解析】(1)倾斜角为45°,则斜率为1.所以-=1,解得m=-1,m=1(舍去),直线方程为2x-2y-5=0符合题意,所以m=-1.(2)当y=0时,x==1,解得m=-,或m=2.当m=-,m=2时都符合题意,所以m=-或m=2.【补偿训练】已知两条直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0,试确定m,n的值,使(1)l1与l2相交于点(m,-1).(2)l1∥l2.(3)l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为-1.【解析】(1)因为l1与l2相交于点(m,-1),所以点(m,-1)在l1,l2上,将点(m,-1)代入l2,得2m-m-1=0,解得m=1.又因为m=1,所以n=7.故m=1,n=7.(2)要使l1∥l2,则有解得或(3)要使l1⊥l2,则有m·2+8·m=0,得m=0.则l1为y=-,由于l1在y轴上的截距为-1,所以-=-1,即n=8.故m=0,n=8.21.(12分)已知△ABC的三个顶点A(4,-6),B(-4,0),C(-1,4),求:(1)AC边上的高BD所在的直线方程.(2)BC边的垂直平分线EF所在的直线方程.(3)AB边的中线的方程.【解析】(1)直线AC的斜率k AC==-2,所以直线BD的斜率k BD=,所以直线BD的方程为y=(x+4),即x-2y+4=0.(2)直线BC的斜率k BC==,所以EF的斜率k EF=-,线段BC的中点坐标为,所以EF的方程为y-2=-,即6x+8y-1=0.(3)AB的中点M(0,-3),所以直线CM的方程为:=,即7x+y+3=0(-1≤x≤0).【误区警示】本题中的高线,垂直平分线以及中线容易混淆从而造成失误.22.(12分)(2015·广东高考)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标.(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由.【解析】(1)由x2+y2-6x+5=0得(x-3)2+y2=4,所以圆C1的圆心坐标为(3,0).(2)设M(x,y),则因为点M为弦AB的中点,所以C1M⊥AB,所以·k AB=-1即·=-1,所以线段AB的中点M的轨迹的方程为+y2=.(3)由(2)知点M的轨迹是以C为圆心,r=为半径的部分圆弧EF(如图所示,不包括两端点)且E,F,又直线L:y=k(x-4)过定点D(4,0),当直线L与圆C相切时,由=得k=±,又k DE=-k DF=-=-,k DF=,结合图形可知当k∈∪时,直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点.关闭Word文档返回原板块。

【人教A版】高中数学必修二：全册作业与测评 综合质量评估(附答案)

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综合质量评估(第一至第四章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)满足( )A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外【解析】选C.因为(3-2)2+(2-3)2=2<4,故点P(3,2)在圆内.2.直线x-y-4=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是( )A.相交B.相切C.相交且过圆心D.相离【解析】选D.圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4,则圆心到直线的距离d=错误！未找到引用源。

=2错误！未找到引用源。

>2,所以直线与圆相离.【补偿训练】(2015·郑州高一检测)对任意实数k,圆C:(x-3)2+(y-4)2=13与直线l:kx-y-4k+3=0的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.与k取值有关【解析】选 A.对任意实数k,直线l:kx-y-4k+3=0恒过定点(4,3),而(4-3)2+(3-4)2<13,故定点(4,3)在圆C内部,所以直线与圆相交.3.(2015·乌海高一检测)已知空间两点P1(-1,3,5),P2(2,4,-3),则|P1P2|等于( ) A.错误！未找到引用源。

B.3错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【解析】选A.错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

.4.已知两圆的方程是x2+y2=1和x2+y2-6x-8y+9=0,那么这两个圆的位置关系是( ) A.外离 B.相交 C.外切 D.内切【解析】选C.将圆x2+y2-6x-8y+9=0,化为标准方程得(x-3)2+(y-4)2=16.所以两圆的圆心距为错误！未找到引用源。

=5,又r1+r2=5,所以两圆外切.5.设l,m,n表示三条直线,α,β,γ表示三个平面,给出下列四个结论:①若l⊥α,m⊥α,则l∥m;②若m⊂β,n是l在β内的射影,m⊥l,则m⊥n;③若m⊂α,m∥n,则n∥α;④若α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β.其中正确的为( )A.①②B.①②③C.①②③④D.③④【解析】选A.①正确,②可用线面垂直证明,正确,③中,n可能在α内;④中,可能有α,β相交或平行,故选A.6.(2015·临汾高一检测)垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是( )A.x+y-错误！未找到引用源。

新教材高中数学全册综合检测新人教A版选择性必修第二册

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全册综合检测A 卷——基本知能盘查卷 (时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列数中，是数列{n (n ＋1)}中的一项的是( ) A ．380 B ．29 C ．32 D ．23解析：选A 令380＝n (n ＋1)，即n 2＋n －380＝0， 解得n ＝19或n ＝－20(舍去)， 所以380是{n (n ＋1)}的第19项． 同理，可检验B 、C 、D 不是该数列中的项．2．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C 由于y ′＝e －1x，所以y ′| x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.3．已知等比数列{a n }的公比为－2，且S n 为其前n 项和，则S 4S 2等于( ) A ．－5 B ．－3 C ．5 D ．3解析：选C 由题意可得，S 4S 2＝a 1[1－－24]1－－2a 1[1－－22]1－－2＝1＋(－2)2＝5. 4．若函数f (x )＝a e x－sin x 在x ＝0处有极值，则a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．e 解析：选C f ′(x )＝a e x－cos x ，若函数f (x )＝a e x－sin x 在x ＝0处有极值， 则f ′(0)＝a －1＝0，解得a ＝1， 经检验a ＝1符合题意，故选C.5．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则其导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )解析：选D 由函数y ＝f (x )的图象知，当x <0时，f (x )单调递减；当x >0时，f (x )先递增，再递减，最后再递增，分析知y ＝f ′(x )的图象可能为D.6．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( ) A ．16 B ．27 C ．36D ．81解析：选B 设等比数列{a n }的公比为q ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝1，q 2a 1＋a 2＝9，∴q 2＝9.∵a n >0，∴q ＝3，∴a 4＋a 5＝q (a 3＋a 4)＝3×9＝27.故选B.7．若函数f (x )＝13x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2x 2＋2bx 在区间[－3,1]上不单调，则f (x )在R 上的极小值为( )A ．2b －43B ．32b －23C ．0D ．b 2－16b 3解析：选A 由题意，得f ′(x )＝(x －b )(x －2)． 因为f (x )在区间[－3,1]上不单调，所以－3<b <1. 由f ′(x )>0，得x >2或x <b ； 由f ′(x )<0，得b <x <2，所以f (x )的极小值为f (2)＝2b －43.故选A.8．用长为90 cm ，宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成(如图)，当容器的体积最大时，该容器的高为( )A ．8 cmB ．9 cmC ．10 cmD ．12 cm解析：选C 设容器的高为x cm ，容器的体积为V (x ) cm 3，则容器的长为(90－2x ) cm ，宽为(48－2x ) cm ，所以容器的体积V (x )＝x (90－2x )(48－2x )＝4x 3－276x 2＋4 320x (0＜x ＜24)，V ′(x )＝12x 2－552x ＋4 320＝12(x 2－46x ＋360)．由V ′(x )＞0，得0＜x ＜10；由V ′(x )＜0，得10＜x ＜24，所以V (x )在(0,10)上单调递增，在(10,24)上单调递减，故容器的体积V (x )最大时，该容器的高为10 cm.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知首项为正数，公差不为0的等差数列{a n }，其前n 项和为S n ，则下列命题中正确的是( )A ．若S 10＝0，则S 2＋S 8＝0B ．若S 4＝S 12，则使S n ＞0的n 的最大值为15C ．若S 15＞0，S 16＜0，则{S n }中S 8最大D ．若S 7＜S 8，则S 8＜S 9解析：选BC 对于A ，若S 10＝0，则S 10＝a 1＋a 10×102＝0，则a 1＋a 10＝0，即2a 1＋9d ＝0，则S 2＋S 8＝(2a 1＋d )＋(8a 1＋28d )＝10a 1＋29d ≠0，A 不正确；对于B ，若S 4＝S 12，则S 12－S 4＝0，即a 5＋a 6＋…＋a 11＋a 12＝4(a 8＋a 9)＝0，由于a 1＞0，则a 8＞0，a 9＜0，则有S 15＝15a 1＋a 152＝15a 8＞0，S 16＝16a 1＋a 162＝16a 8＋a 92＝0，故使S n ＞0的n 的最大值为15，B 正确；对于C ，若S 15＞0，S 16＜0，则S 15＝15a 1＋a 152＝15a 8＞0，S 16＝16a 1＋a 162＝16a 8＋a 92＜0，则有a 8＞0，a 9＜0，则{S n }中S 8最大，C 正确；对于D ，若S 7＜S 8，即a 8＝S 8－S 7＞0，而S 9－S 8＝a 9，不能确定其符号，D 错误．故选B 、C.10．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝2为f (x )的极小值点C ．f (x )的最大值为1＋ln 2D ．f (x )的最小值为1＋ln 2 解析：选BD ∵f (x )＝2x＋ln x ，∴f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x2(x ＞0)，由f ′(x )＝0得x ＝2.当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数， ∴x ＝2为f (x )的极小值点，f (x )无极大值点， 且f (x )的极小值也是最小值，为1＋ln 2，无最大值． 故选B 、D.11．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n .若对任意的n ∈N *，都有S n≥S 3，则a 6a 5的值可能为( )A ．2B ．53 C.32 D ．43解析：选ABC 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，∵数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，对任意的n ∈N *，都有S n ≥S 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 1≥S 3，S 2≥S 3，S 4≥S 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1≥3a 1＋3×22d ，2a 1＋d ≥3a 1＋3×22d ，4a 1＋4×32d ≥3a 1＋3×22d ，∴－3d ≤a 1≤－2d (d ＞0)， ∴代入选项知，当a 6a 5＝a 1＋5da 1＋4d＝2时，a 1＝－3d 成立；当a 6a 5＝a 1＋5d a 1＋4d ＝53时，a 1＝－52d 成立；当a 6a 5＝a 1＋5d a 1＋4d ＝32时，a 1＝－2d 成立；当a 6a 5＝a 1＋5da 1＋4d＝43时，a 1＝－d 不成立．故选A 、B 、C. 12．已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．给出下列四个函数，其中有“巧值点”的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝e －xC ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝tan x解析：选AC 对于A ，若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x .令x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，这个方程显然有解，故A 符合要求；对于B ，若f (x )＝e －x，则f ′(x )＝－e －x，即e －x＝－e －x，此方程无解，B 不符合要求；对于C ，若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x .若ln x ＝1x，利用数形结合法可知该方程存在实数解，C 符合要求；对于D ，若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝1cos 2x.令f (x )＝f ′(x )，可得sin x cos x ＝1，即sin 2x ＝2，无解，D 不符合要求．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥214．函数f (x )＝x －a ln x (a >0)的极小值为________． 解析：因为f (x )＝x －a ln x (a >0)，所以f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax(a >0)． 由f ′(x )＝0，解得x ＝a . 当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a . 答案：a －a ln a15．曲线y ＝sin x x在点M (π，0)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝cos x ·x －sin xx 2，所以所求切线的斜率为k ＝y ′| x ＝π＝πcos π－sin ππ2＝－1π.由于切点坐标为(π，0)，故切线方程为y ＝－1π(x －π)， 即x ＋πy －π＝0. 答案：x ＋πy －π＝016．数列{a n }的前n 项和S n 满足a 2＝2，S n ＝12n 2＋An ，则A ＝________，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和T n ＝________.解析：∵a 2＝S 2－S 1＝(2＋2A )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋A ＝2，∴A ＝12.∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n 2＋12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n －12＋12n －1＝n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝1满足上式，∴a n ＝n . ∴1a n a n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， ∴T n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.答案：12 nn ＋1四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知数列{a n }满足a 1＝1，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n . (1)求a 2，a 3；(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式．解：(1)由已知，得a 2－2a 1＝4，则a 2＝2a 1＋4，又a 1＝1，所以a 2＝6.由2a 3－3a 2＝12，得2a 3＝12＋3a 2，所以a 3＝15.(2)证明：由已知na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ，得na n ＋1－n ＋1a n n n ＋1＝2，即a n ＋1n ＋1－a nn ＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项a 11＝1，公差d ＝2的等差数列．则a nn ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝2n2－n .18．(12分)设函数f (x )＝x e a －x＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间． 解：(1)因为f (x )＝x e a －x＋bx ， 所以f ′(x )＝(1－x )ea －x＋b .依题设，得⎩⎪⎨⎪⎧f 2＝2e ＋2，f ′2＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1，解得a ＝2，b ＝e. (2)由(1)知f (x )＝x e 2－x＋e x .由f ′(x )＝e2－x(1－x ＋e x －1)及e2－x＞0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号．令g (x )＝1－x ＋ex －1，则g ′(x )＝－1＋ex －1，所以当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )＜0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．所以g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值． 所以g (x )＞0，x ∈(－∞，＋∞)． 所以f ′(x )＞0，x ∈(－∞，＋∞)，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间． 19．(12分)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由题设知a 1a 4＝a 2a 3＝8， 又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去)．设等比数列{a n }的公比为q ， 由a 4＝a 1q 3得q ＝2， 故a n ＝a 1qn －1＝2n －1，n ∈N *.(2)S n ＝a 11－q n 1－q＝2n－1，又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1 ＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1，n ∈N *. 20．(12分)已知函数f (x )＝1＋1x ＋ln x ＋ln x x.(1)判断函数f (x )的单调性；(2)记g (x )＝2ex －1x e x ＋1，试证明：当x >1时，f (x )>(e ＋1)g (x )．解：(1)由题意，得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －ln xx 2.令φ(x )＝x －ln x ，则φ′(x )＝1－1x ＝x －1x.当x >1时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增， 当0<x <1时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减，∴φ(x )≥φ(1)＝1>0，∴f ′(x )>0， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)证明：由(1)知f (x )为(0，＋∞)上的增函数， 故当x >1时，f (x )>f (1)＝2，故f xe ＋1>2e ＋1. g ′(x )＝2ex －1x e x ＋1－x e x ＋1′·e x －1x e x ＋12＝2ex －11－e x x e x＋12.∵x >1，∴1－e x<0，∴g ′(x )<0， 即g (x )在(1，＋∞)上是减函数， ∴当x >1时，g (x )<g (1)＝2e ＋1.∴f xe ＋1>2e ＋1>g (x )，即f (x )>(e ＋1)g (x )． 21．(12分)已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a2，a 3＋a 4＝32⎝⎛⎭⎪⎫1a 3＋1a 4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a 2n ＋log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)， 则a n ＝a 1qn －1，且a n ＞0.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 1q ，a 1q 2＋a 1q 3＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1q 2＋1a 1q 3，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q q ＋1＝2q ＋1，a 21q5q ＋1＝32q ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 21q ＝2，a 21q 5＝32.又∵a 1＞0，q ＞0，∴a 1＝1，q ＝2， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝a 2n ＋log 2a n ＝4n －1＋n －1，∴T n ＝(1＋4＋42＋…＋4n －1)＋(0＋1＋2＋3＋…＋n －1)＝4n－14－1＋nn －12＝4n－13＋n n －12.22．(12分)已知函数f (x )＝ln x －x 2＋ax ，a ∈R.(1)证明：ln x ≤x －1；(2)若a ≥1，讨论函数f (x )的零点个数． 解：(1)证明：令g (x )＝ln x －x ＋1(x ＞0)， 则g (1)＝0，g ′(x )＝1x －1＝1－xx，∴当x ∈(0,1)时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减． ∴当x ＝1时，函数g (x )取得极大值也是最大值， ∴g (x )≤g (1)＝0，即ln x ≤x －1.(2)f ′(x )＝1x －2x ＋a ＝－2x 2＋ax ＋1x，x ＞0.令－2x 2＋ax ＋1＝0， 解得x 0＝a ＋a 2＋84(负值舍去)，在(0，x 0)上，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增，在(x 0，＋∞)上，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．∴f (x )max ＝f (x 0)．当a ＝1时，x 0＝1，f (x )max ＝f (1)＝0，此时函数f (x )只有一个零点x ＝1.当a ＞1时，f (1)＝a －1＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝ln 12a －14a 2＋12＜12a －1－14a 2＋12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －122－14＜0，f (2a )＝ln 2a －2a 2＜2a －1－2a 2＝－2⎝⎛⎭⎪⎫a －122－12＜0. ∴函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1和区间(1,2a )上各有一个零点． 综上可得，当a ＝1时，函数f (x )只有一个零点x ＝1； 当a ＞1时，函数f (x )有两个零点．B 卷——高考能力达标卷 (时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知{a n }为等比数列且a n >0，a 2·a 4＋2a 3·a 5＋a 4·a 6＝25，则a 3＋a 5等于( ) A ．5 B ．10 C ．15 D ．20解析：选A 由等比数列的性质知a 2·a 4＝a 23，a 4·a 6＝a 25，所以a 23＋2a 3·a 5＋a 25＝25，即(a 3＋a 5)2＝25.又a n >0，所以a 3＋a 5>0，所以a 3＋a 5＝5.2．函数f (x )＝2x ＋1x，x ∈(0,5]的最小值为( )A ．2B ．3 C.174 D ．22＋12解析：选B 由f ′(x )＝1x －1x2＝x 32－1x 2＝0，得x ＝1，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(1,5]时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．∴当x ＝1时，f (x )取得最小值，且最小值为f (1)＝3.3．已知{a n }是等比数列，a 4·a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，则公比q 为( ) A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1解析：选 B 根据等比数列的性质可得a 4·a 7＝a 3·a 8＝－512.又a 3＋a 8＝124，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝－4，a 8＝128或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝128，a 8＝－4.因为公比为整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝－4，a 8＝128，所以q 5＝a 8a 3＝－32，所以q ＝－2.4．设函数f (x )＝x (x ＋k )(x ＋2k )(x －3k )，且f ′(0)＝6，则k ＝( ) A ．0 B ．－1 C ．3 D ．－6解析：选 B ∵f (x )＝x (x ＋k )(x ＋2k )(x －3k )＝(x 2－3kx )(x 2＋3kx ＋2k 2)，∴f ′(x )＝(2x －3k )(x 2＋3kx ＋2k 2)＋(x 2－3kx )(2x ＋3k )，∴f ′(0)＝－3k ×2k 2＝－6k 3＝6，解得k ＝－1.故选B.5．设曲线y ＝ln xx ＋1在点(1,0)处的切线与直线x －ay ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12B ．12C ．－2D ．2解析：选 A 由题意得，y ′＝ln x ′x ＋1－ln xx ＋1′x ＋12＝1＋1x －ln x x ＋12(x >0)．∵曲线在点(1,0)处的切线与直线x －ay ＋1＝0垂直，∴2－ln 14＝－a ，解得a ＝－12，故选A. 6．已知递增的等比数列{a n }中，a 2＝6，a 1＋1，a 2＋2，a 3成等差数列，则该数列的前6项和S 6等于( )A ．93B ．189 C.18916D ．378解析：选B 设数列{a n }的公比为q ，由题意可知，q >1， 且2(a 2＋2)＝a 1＋1＋a 3， 即2×(6＋2)＝6q＋1＋6q ，整理可得2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫q ＝12舍去，则a 1＝62＝3， ∴数列{a n }的前6项和S 6＝3×1－261－2＝189.7．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( )A ．65B ．176C ．183D ．184解析：选D 根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{a n }，其中d ＝17，n ＝8，S 8＝996.由等差数列前n 项和公式可得8a 1＋8×72×17＝996，解得a 1＝65.由等差数列通项公式得a 8＝65＋(8－1)×17＝184.8．已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )＜－xf ′(x )，则不等式f (x ＋1)＞(x －1)·f (x 2－1)的解集是( )A ．(0,1)B ．(2，＋∞)C ．(1,2)D ．(1，＋∞) 解析：选B 构造函数y ＝xf (x )，x ∈(0，＋∞)， 则y ′＝f (x )＋xf ′(x )＜0，所以函数y ＝xf (x )的图象在(0，＋∞)上单调递减． 又因为f (x ＋1)＞(x －1)f (x 2－1)， 所以(x ＋1)f (x ＋1)＞(x 2－1)f (x 2－1)， 所以x ＋1＜x 2－1，解得x ＞2或x ＜－1(舍去)．所以不等式f (x ＋1)＞(x －1)f (x 2－1)的解集是(2，＋∞)．故选B.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知等比数列{a n }的各项均为正数，且3a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则下列说法正确的是( )A ．a 1＞0B ．q ＞0 C.a 3a 2＝3或－1D ．a 6a 4＝9解析：选ABD 设等比数列{a n }的公比为q ，由题意得2×12a 3＝3a 1＋2a 2，即a 1q 2＝3a 1＋2a 1q .因为数列{a n }的各项均为正数，所以a 1＞0，且q ＞0，故A 、B 正确；由q 2－2q －3＝0，解得q ＝3或q ＝－1(舍)，所以a 3a 2＝q ＝3，a 6a 4＝q 2＝9，故C 错误，D 正确，故选A 、B 、D.10．设函数f (x )＝x 3－12x ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )在(－∞，－1)上单调递增 B ．函数f (x )在(－∞，－1)上单调递减C ．若b ＝－6，则函数f (x )的图象在点(－2，f (－2))处的切线方程为y ＝10D ．若b ＝0，则函数f (x )的图象与直线y ＝10有三个公共点解析：选CD 对于选项A ，B ，根据函数f (x )＝x 3－12x ＋b ，可得f ′(x )＝3x 2－12.令3x 2－12＝0，得x ＝－2或x ＝2，故函数f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，所以选项A ，B 都不正确；对于选项C ，当b ＝－6时，f ′(－2)＝0，f (－2)＝10，故函数f (x )的图象在点(－2，f (－2))处的切线方程为y ＝10，选项C 正确；对于选项D ，当b ＝0时，f (x )的极大值为f (－2)＝16，极小值为f (2)＝－16，故直线y ＝10与函数f (x )的图象有三个公共点，选项D 正确．故选C 、D.11．设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0.则下列结论正确的是( )A ．0<q <1B ．a 7·a 9>1C ．S n 的最大值为S 9D ．T n 的最大值为T 7解析：选AD ∵a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0， ∴a 7>1，a 8<1，∴0<q <1，故A 正确；a 7a 9＝a 28<1，故B 错误；∵a 1>1,0<q <1，∴数列为递减数列，∴S n 无最大值，故C 错误； 又a 7>1，a 8<1，∴T 7是数列{T n }中的最大项，故D 正确．故选A 、D.12．已知函数f (x )＝x ln x ＋12x 2，x 0是函数f (x )的极值点，则下列选项正确的是( )A ．0<x 0<1eB ．x 0>1eC ．f (x 0)＋x 0<0D ．f (x 0)＋x 0>0解析：选AC 因为f (x )＝x ln x ＋12x 2，所以f ′(x )＝ln x ＋1＋x ，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1e >0，又当x →0时，f ′(x )→－∞，所以0<x 0<1e ，故A 正确，B 错误；f (x 0)＋x 0＝x 0ln x 0＋12x 20＋x 0＝x 0ln x 0＋12x 0＋1＝x 0ln x 0＋x 0＋1－12x 0＝－12x 20<0，故C 正确，D 错误．综上所述，选A 、C.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1，则a 6＝________. 解析：将a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1两边同时除以a n a n ＋1，得1a n ＋1－1a n＝2.所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以1a 6＝1＋5×2＝11，即a 6＝111.答案：11114．已知函数y ＝f (x )对任意的x ∈R 都有f (1－x )－2f (x )＝x 2－1，则f (－1)＝________，曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线方程为________．解析：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧f1－x －2f x ＝x 2－1，f x －2f 1－x ＝1－x2－1，解得f (x )＝－x 2＋23x ＋23.所以f (－1)＝－1，f ′(x )＝－2x ＋23，所以f ′(－1)＝83，所以曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线方程为y ＋1＝83(x ＋1)，即8x －3y ＋5＝0.答案：－1 8x －3y ＋5＝015．已知函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．解析：∵y ′＝2x ，∴y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )．又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是首项a 1＝16，公比q ＝12的等比数列，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.答案：2116．函数f (x )＝e x(x －a e x)恰有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则实数a 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝e x(x －a e x)， ∴f ′(x )＝(x ＋1－2a e x)e x . ∵函数f (x )恰有两个极值点x 1，x 2，∴x 1，x 2是方程f ′(x )＝0的两个不相等的实数根． 令x ＋1－2a e x＝0，且a ≠0， ∴x ＋12a＝e x. 设y 1＝x ＋12a(a ≠0)， y 2＝e x ，在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示．要使这两个函数有两个不同的交点，应满足12a ＞1，解得0＜a ＜12，故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知等差数列{a n }单调递减，且a 3＝1，a 2a 4＝34.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)判断数列{a 1a n }是否为等差数列．若是，求出公差；若不是，请说明理由． 解：(1)由题意知，a 2＋a 4＝2a 3＝2. 又a 2a 4＝34，数列{a n }单调递减，∴a 4＝12，a 2＝32.∴公差d ＝a 4－a 22＝－12，a 1＝a 2－d ＝2.∴a n ＝2＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12n ＋52. (2)由(1)知a 1a n ＝2a n ，则当n ≥2时，2a n －2a n －1＝2(a n －a n －1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1.当n ＝1时，2a 1＝4，∴数列{a 1a n }是首项为4，公差为－1的等差数列．18．(12分)设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又因为f ′(x )＝a ＋b x2，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，所以f (x )＝x －3x.(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线y ＝f (x )上任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，所以切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x＝2x 0，所以切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0和y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.19．(12分)在①q ·d ＝1，②a 2＋b 3＝0，③S 2＝T 2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的λ存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．若S n 是公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和，T n 是公比为q 的等比数列{b n }的前n 项和，________，a 1＝1，S 5＝25，a 2＝b 2，是否存在正数λ，使得λ|T n |＜12?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：∵S 5＝25＝5a 3，∴a 3＝5，∴a 2＝a 1＋a 32＝1＋52＝3，∴b 2＝a 2＝3.∴d ＝a 2－a 1＝3－1＝2.若选①，∵q ·d ＝1，∴q ＝1d ＝12，∴b 1＝3×2＝6，∴T n ＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n .由λ|T n |＜12得λ≤1，又λ＞0，∴λ的取值范围为(0,1]． 若选②，∵a 2＋b 3＝0，∴b 3＝－a 2＝－3， ∴q ＝－1，b 1＝－3，∴当n 为偶数时，T n ＝0，则λ＞0；当n 为奇数时，T n ＝－3，由λ|T n |＜12得λ＜4. 综上，λ的取值范围为(0,4)．若选③，由S 2＝T 2得b 1＝a 1＋a 2－b 2＝1＋3－3＝1，∴q ＝b 2b 1＝3，∴T n ＝1－3n 1－3＝3n－12.∵T n 单调递增，没有最大值， ∴不存在正数λ，使λ|T n |＜12.20．(12分)某个体户计划经销A ，B 两种商品，据调查统计，当投资额为x (x ≥0)万元时，在经销A ，B 商品中所获得的收益分别为f (x )万元与g (x )万元，其中f (x )＝a (x －1)＋2，g (x )＝6ln(x ＋b )，a >0，b >0.已知投资额为0时收益为0.(1)求a ，b 的值；(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益．解：(1)由投资额为0时收益为0， 可知f (0)＝－a ＋2＝0，g (0)＝6ln b ＝0， 解得a ＝2，b ＝1.(2)由(1)可得f (x )＝2x ，g (x )＝6ln(x ＋1)． 设投入经销B 商品的资金为x 万元(0≤x ≤5)， 则投入经销A 商品的资金为(5－x )万元． 设所获得的收益为S (x )万元，则S (x )＝2(5－x )＋6ln(x ＋1)＝6ln(x ＋1)－2x ＋10(0≤x ≤5)．x ＋1当0≤x <2时，S ′(x )>0，函数S (x )单调递增； 当2<x ≤5时，S ′(x )<0，函数S (x )单调递减． 所以当x ＝2时，函数S (x )取得极大值，也是最大值，S (x )max ＝S (2)＝6ln 3＋6(万元)．当投入经销A 商品3万元，B 商品2万元时，可获得最大收益，收益的最大值为6ln 3＋6万元．21．(12分)已知等差数列{a n }是单调增数列，且a 2，a 3是方程x 2－8x ＋15＝0的两个根． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝3a n ＋13a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 因为a 2，a 3是方程x 2－8x ＋15＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 3＝8，a 2a 3＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，a 3＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，a 3＝3.又等差数列{a n }是单调增数列， 所以a 2<a 3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，a 3＝5，所以d ＝a 3－a 2＝2，故数列{a n }的通项公式为a n ＝a 2＋(n －2)d ＝3＋2(n －2)＝2n －1.(2)由(1)可得b n ＝3a n ＋13a n ＝32n －1＋13·(2n －1)，所以S n ＝(3＋33＋35＋…＋32n －1)＋13[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＝31－9n1－9＋13·n 1＋2n －12＝32n ＋18＋n 23－38.22．(12分)已知函数f (x )＝2ln x －x 2＋ax (a ∈R)． (1)当a ＝2时，求f (x )的图象在x ＝1处的切线方程；(2)若函数g (x )＝f (x )－ax ＋m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不同的零点，求实数m 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝2ln x －x 2＋2x ，f ′(x )＝2x－2x ＋2，则k ＝f ′(1)＝2.∵f (1)＝1，∴切点坐标为(1,1)．∴切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. (2)由题意得，g (x )＝2ln x －x 2＋m ， 则g ′(x )＝2x－2x ＝－2x ＋1x －1x.⎣⎦e 当1e ≤x <1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当1<x ≤e 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有最大值g (1)＝m －1. 又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2，g (e)＝m ＋2－e 2，g (e)－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝4－e 2＋1e 2<0，则g (e)<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ， ∴g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值是g (e)． g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不同的零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧g 1＝m －1>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2≤0，解得1<m ≤2＋1e2， ∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤1，2＋1e 2.。

2019-2020学年高中数学人教A版必修2作业与测评：学期综合测评(二) Word版含解析

2019-2020学年高中数学人教A版必修2作业与测评：学期综合测评(二) Word版含解析

姓名，年级：时间：必修2 学期综合测评(二）对应学生用书P107 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知圆x 2＋y 2－2x ＋my －4＝0上两点M,N 关于直线2x ＋y ＝0对称，则圆的半径为（ )A ．9B ．3C ．2错误!D ．2 答案 B解析 由题意知圆的圆心坐标为错误!，又点M,N 关于直线2x ＋y ＝0对称,所以该直线过圆心，即2－m2＝0，解得m ＝4．此时该圆方程为(x －1）2＋(y ＋2）2＝9，所以该圆的半径为3．2．用一个平面去截一个所有棱长均为1的五棱锥，其截面图形不可能是（ ) A ．钝角三角形 B ．等腰梯形 C ．平行四边形 D ．正五边形 答案 C解析 ①若截面过棱PB ，PE ，则截面△PBE 与△ABE 是全等三角形，且∠BAE＝108°，所以截面△PBE 是钝角三角形，如图1．②在平面PAB 内作MN∥AB,分别交PA,PB 于点M ，N ，连接CE,则CE∥AB,所以MN∥CE，且MN≠CE．又由题意及作图知ME ＝NC ，所以四边形CEMN 是等腰梯形，如图2．③用平行于底面的平面截该棱锥，其截面图形是正五边形，如图3．综上所述,不可能的截面图形是平行四边形．3．△OAB的斜二测直观图如图所示,则△OAB的面积为( ）A．错误! B．1 C．2 D．4答案 C解析三角形OAB为直角三角形，OB＝2，OA＝2，∴S＝错误!OA·OB＝2．4．过不重合的A（m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2，2m)两点的直线l的倾斜角为45°，则m的值为（）A．－1 B．－2C．－1或2 D．1或－2答案B解析过A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2,2m）两点的直线l的斜率k＝错误!＝错误!．且m2＋2≠3－m－m2,即m≠－1．∵直线l的倾斜角为45°,∴k＝错误!＝1,化为整式方程为m2＋3m＋2＝0,解得m＝－1（舍)或m＝－2，∴m＝－2．5．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线y－2tx＋2t＋1＝0(t∈R)的位置关系为( ) A．相离 B．相切C．相交 D．以上都有可能答案C解析圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心为(1，－2）,半径为错误!．因为y－2tx＋2t ＋1＝0(t∈R）,所以直线恒过点（1，－1)．因为错误!＝1＜错误!，所以点(1，－1)在圆内，故直线与圆相交．6．在三棱锥A－BCD中，E，F分别是AB，CD的中点,AC＝BD＝2，且直线BD与AC 所成的角为60°，则线段EF的长度为( ）A．1 B．错误! C．1或错误! D．1或错误!答案D解析如图，取BC的中点G，连接EG，FG,则∠EGF或其补角为BD与AC所成的角．∵BD与AC所成的角为60°，∴∠EGF＝60°或∠EGF＝120°．∵BD＝AC＝2，∴EG＝FG＝1．∴当∠EGF＝60°时，EF＝1;当∠EGF＝120°时，EF＝1×错误!×2＝错误!．故EF＝1或EF＝错误!．7．方程x2＝y2表示的图形是（)A．两条相交而不垂直的直线B．一个点C．两条垂直的直线D．两条平行直线答案 C解析x2＝y2即（x＋y）(x－y）＝0，∴y＝±x．8．将一张边长为6 cm的正方形纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形,余下的部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥(底面是正方形，顶点在底面的射影为底面正方形的中心)模型,如图2放置．若正四棱锥的主视图是正三角形(如图3），则正四棱锥的体积是( ）A．错误! cm3 B．错误! cm3C．错误! cm3 D．错误! cm3答案A解析∵正四棱锥的主视图是正三角形,设该正三角形的边长为a，则正四棱锥的高为错误!a，斜高为a．∵将一张边长为6 cm的正方形纸片按题图1的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，∴错误!×6错误!＝a＋错误!，a＝2错误!(cm）,∴正四棱锥的体积为错误!×a2×错误!a＝错误!(cm3)．9．到定点(1，0，0）的距离小于或等于1的点的集合为（)A．{（x,y,z)|（x－1)2＋y2＋z2≤1｝B．｛(x，y，z)|(x－1)2＋y2＋z2＝1}C．{（x,y，z)|（x－1）2＋y2＋z2〈1｝D．｛(x，y,z）|（x－1)2≤1}答案 A解析设动点坐标为（x,y,z)，则错误!≤1,即（x－1)2＋y2＋z2≤1，故选A．10．直线l：8x－6y－3＝0被圆O：x2＋y2－2x＋a＝0所截得弦的长度为错误!，则劣弧所对的圆心角为( )A．90° B．120° C．135° D．150°答案B解析圆O：x2＋y2－2x＋a＝0，即（x－1)2＋y2＝1－a，故a〈1，圆心(1,0)、半径为错误!．又弦心距d＝错误!＝错误!，则错误!＋错误!2＝r2＝1－a，求得a＝0，所以圆O的半径r＝1，设劣弧所对的圆心角为θ，cosθ＝错误!＝－错误!,所以θ＝120°．11．在四棱锥P－ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面四边形ABCD是矩形，且AD＝3AB，E是底面的边BC上的动点，设错误!＝λ（0<λ〈1),则满足PE⊥DE的λ的值有（) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个答案C解析如图，连接AE．∵PA⊥底面ABCD，DE⊂平面ABCD，∴PA⊥DE．又∵PE⊥DE，PA∩PE＝P，∴DE⊥平面PAE，∴DE⊥AE，∴点E在以AD为直径的圆上．∵AD＝3AB，∴以AD为直径的圆与BC有两个交点,∴满足PE⊥DE的λ的值有2个．故选C．12．在空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(1，0，2),(1，2，0),(1，2，1)，（0，2,2)，若正视图以yOz平面为投射面,则该四面体左（侧)视图面积为( )A．错误! B．1 C．2 D．4答案B解析若正视图以yOz平面为投射面，则该四面体左(侧）视图为三角形，底高分别为1，2，面积为1．第Ⅱ卷（非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为________．答案3∶1∶2解析设球的直径为2R，则V柱＝πR2·2R＝2πR3，V锥＝错误!πR2·2R＝错误!R3,V πR3．V柱∶V锥∶V球＝3∶1∶2．球＝错误!14．设圆C：(x－3）2＋（y－5）2＝5，过圆心C作直线l交圆于A，B两点，交y 轴于点P,若A恰好为线段BP的中点,则直线l的方程为________．答案2x－y－1＝0或2x＋y－11＝0解析因为点A为PB的中点，而点C为AB的中点，因此，点C为PB的一个四等分点．而C（3，5），P点的横坐标为0，因此A，B的横坐标分别为2，4，将A的横坐标代入圆的方程，可得A(2，3)或A（2,7)，根据直线的两点式得到直线l的方程为2x－y－1＝0或2x＋y－11＝0．15．在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2＋y2＝4上有且仅有三个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的值为________．答案±13解析由圆x2＋y2＝4,可知圆心为坐标原点，半径长为2．由于圆上有且仅有三个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，故圆心到直线的距离为1，即d＝错误!＝1，解得c＝±13．16．如图,正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF ＝错误!．给出下列命题：①AC⊥BE;②EF∥平面ABCD；③三棱锥A－BEF的体积为定值；④异面直线AE与BF所成的角为定值．其中正确的命题的序号为________．答案①②③解析①连接DB，由题意知AC⊥平面DD1B1B,故AC⊥BE，正确；②由正方体ABCD －A1B1C1D1的两个底面平行，且EF⊂平面A1B1C1D1，得EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，正确；③由几何体的性质及题图知,△BEF的面积是定值，点A到面DD1B1B距离是定值，故三棱锥A－BEF的体积为定值，正确；④由题图知,当F与B1重合时，令上底面的中心为点O，点E与O重合，则此时两异面直线AE与BF所成的角是∠A1AO，当E与D1重合时，点F与O重合,则此时两异面直线AE与BF所成的角是∠OBC1，∠A1AO≠∠OBC1,故异面直线AE与BF所成的角不是定值．综上可知,①②③正确．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．(本小题满分10分)已知一个组合体的三视图如下图所示，请根据具体数据来求此几何体的体积（单位：cm）．解由三视图知，此几何体是下面是一个圆柱，中间是一个圆柱，上面是一个与中间圆柱同底的圆锥的组合体．由条件中尺寸可知V圆锥＝错误!Sh＝错误!π×22×2＝错误!π（cm3）．V圆柱中＝Sh＝π×22×10＝40π(cm3），V圆柱下＝Sh＝π×62×2＝72π(cm3）．∴此组合体的体积V＝V圆锥＋V圆柱中＋V圆柱下＝错误!π＋40π＋72π＝错误!π(cm3)．18．（本小题满分12分)如图，C，D是以AB为直径的圆上两点，AB＝2AD＝2错误!，AC＝BC,F是AB上一点，且AF＝错误!AB，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD内的射影E在BD上，已知CE＝错误!．(1)求证：AD⊥BC；(2）求三棱锥A－CFD的体积．解（1）证明：依题意，得AD⊥BD，CE⊥平面ABD，∴CE⊥AD．∵BD∩CE＝E，∴AD⊥平面BCD,∴AD⊥BC．（2）由题意可知∠ADB＝90°，AB＝2AD＝2错误!，∴AD＝错误!，∴DB＝错误!＝错误!＝3．∴S△ABD＝12×错误!×3＝错误!．又∵AF＝错误!AB，∴S△FAD＝错误!S△ABD＝错误!．∵CE⊥平面ABD，∴V A－CFD＝V C－AFD＝错误!·S△FAD·CE＝错误!×错误!×错误!＝错误!．19．(本小题满分12分）如图，已知圆O:x2＋y2＝1和定点A（2，1)，由圆O外一点P（a,b）向圆O引切线PQ，切点为Q,且满足｜PQ|＝｜PA|．(1）求实数a，b间满足的等量关系；(2)求线段PQ长的最小值；（3)若以P为圆心的圆P与圆O有公共点，试求圆P的半径长最小时圆P的方程．解(1）如图，连接OP．∵Q为切点,∴PQ⊥OQ．由勾股定理，有|PQ|2＝|OP｜2－|OQ|2．又由题意知｜PQ｜＝｜PA｜,故｜PQ｜2＝｜PA｜2，即(a2＋b2）－12＝（a－2）2＋(b－1)2，化简得实数a，b间满足的等量关系为2a＋b－3＝0．(2)解法一：由2a＋b－3＝0,得b＝－2a＋3．｜PQ｜＝a2＋b2－1＝错误!＝错误!＝错误!．当a＝错误!时，|PQ|min＝错误!，即线段PQ长的最小值为错误!．解法二:由（1)知，点P在直线l：2x＋y－3＝0上，所以｜PQ|min＝｜PA|min,即求点A到直线l的距离．所以｜PQ|min ＝错误!＝错误!．（3）解法一：设圆P的半径长为R．∵圆P与圆O有公共点，圆O的半径长为1，∴|R－1|≤｜OP|≤R＋1，即R≥||OP｜－1|且R≤|OP｜＋1．而|OP｜＝错误!＝错误!＝错误!．当a＝错误!时，|OP|min＝错误!．此时，b＝－2a＋3＝错误!，R min＝错误!－1．故半径长取最小值时圆P的方程为错误!2＋错误!2＝错误!2．解法二：∵圆P与圆O有公共点,∴圆P半径长r最小时，与圆O外切（取小者），而这些半径长的最小值为圆心O到直线l的距离减去1，圆心P为过原点与l垂直的直线l′与l的交点P0．∴r min＝错误!－1＝错误!－1．又直线l′的方程为x－2y＝0，结合直线l：2x＋y－3＝0，得方程组错误!解得错误!即P0错误!．故所求圆的方程为错误!2＋错误!2＝错误!2．20．（本小题满分12分)已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B（3,4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4错误!．（1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程；(3）设点Q在圆P上,问：使△QAB的面积等于8的点Q共有几个？证明你的结论．解（1）∵A（－1，0）和B（3，4）∴k AB＝1，由题意知直线AB与CD垂直,故k CD·k AB＝－1，∴k CD＝－1．又由题意知，线段CD经过线段AB的中点（1，2)，所以CD的直线方程为x＋y－3＝0．(2）设圆心P（a，b)，则由P在CD上,得a＋b－3＝0．①∵直径｜CD｜＝4错误!，∴|PA|＝210．∴(a＋1)2＋b2＝40．②由①②解得错误!或错误!∴圆心P(－3,6）或P(5,－2)．∴圆P的方程为(x＋3）2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2）2＝40．(3)圆P上共有两个点Q使△QAB的面积为8．证明：∵｜AB｜＝42＋42＝4错误!，∴当△QAB的面积为8时，点Q到直线AB的距离为2错误!．又圆心P到直线AB的距离为4错误!，圆P的半径长r＝2错误!，且4错误!＋2错误!＞2错误!,∴圆P上共有两个点Q使△QAB的面积为8．21．(本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形,∠ADC ＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD,PO＝2，M为PD的中点．（1)求证：PB∥平面ACM；（2)求证:AD⊥平面PAC；(3）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．解（1)证明：如图,连接BD,MO，在▱ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO．因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM．(2)证明：因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1,所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC．又PO⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD．又AC∩PO＝O,所以AD⊥平面PAC．（3）取DO的中点N,连接MN,AN．因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN＝错误!PO＝1．由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD，所以∠MAN即为直线AM与平面ABCD所成的角．在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝错误!，所以DO＝错误!，从而AN＝错误!DO＝错误!．在Rt△ANM中，tan∠MAN＝错误!＝错误!＝错误!，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为错误!．22．(本小题满分12分）已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C所截得的弦AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解假设直线l存在,设l的方程为y＝x＋m，由错误!得2x2＋2(m＋1)x＋m2＋4m－4＝0．（＊)设A（x1，y1），B(x2，y2），则x1＋x2＝－(m＋1）,x1x2＝m2＋4m－42．∵以AB为直径的圆为(x－x1)(x－x2）＋(y－y1)(y－y2)＝0，若它经过原点,则x1x2＋y1y2＝0．又y1y2＝（x1＋m)(x2＋m）＝x1x2＋m（x1＋x2）＋m2，∴2x1x2＋m（x1＋x2)＋m2＝0，∴m2＋3m－4＝0，解得m＝－4或m＝1．当m＝－4或m＝1时，(＊）式的Δ>0,∴所求直线l的方程是x－y－4＝0或x－y＋1＝0．。

高一数学人教A版必修2试题：综合学业质量标准检测 含答案试卷分析详

高一数学人教A版必修2试题：综合学业质量标准检测 含答案试卷分析详

本册综合学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(·泰安二中高一检测)直线y ＝kx 与直线y ＝2x ＋1垂直，则k 等于 ( C ) A ．－2B ．2C ．－12D ．13[解析] 由题意，得2k ＝－1，∴k ＝－12.2．空间中到A 、B 两点距离相等的点构成的集合是 ( B ) A ．线段AB 的中垂线 B ．线段AB 的中垂面 C ．过AB 中点的一条直线D ．一个圆[解析] 空间中线段AB 的中垂面上的任意一点到A 、B 两点距离相等． ①三角形的高线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的高线； ②三角形的中线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中线； ③三角形的角平分线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的角平分线； ④三角形的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线． A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④[解析] 垂直线段的平行投影不一定垂直，故①错；线段的中点的平行投影仍是线段的中点，故②正确；三角形的角平分线的平行投影，不一定是角平分线，故③错；因为线段的中点的平行投影仍然是线段的中点，所以中位线的平行投影仍然是中位线，故④正确．选D ．4．如图，在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是 ( C )[解析] 当a >0时，直线y ＝ax 的斜率k ＝a >0，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距等于a >0，此时，选项A 、B 、C 、D 都不符合；当a <0时，直线y ＝ax 的斜率k ＝a <0，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距等于a <0，只有选项C 符合，故选C ．5．已知圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋m ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为2，则实数m 的值是 ( C )A ．3B ．4C ．5D ．7[解析] 圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋m ＝0的圆心(－2,2)，半径r ＝8－m (m <8)．圆心(－2,2)到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－2＋2＋2|12＋12＝2，由题意，得m ＝5.6．在圆柱内有一个内接正三棱锥，过一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是 ( D )[解析] 如图所示，由图可知选D ．7．(·天水市高一检测)圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是 ( C )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0[解析] 圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心C 1(2，－3)，圆x 2＋y 2－6x ＝0的圆心C 2(3,0)，AB 的垂直平分线过圆心C 1、C 2，∴所求直线的斜率k ＝0＋33－2＝3，所求直线方程为y ＝3(x －3)，即3x －y －9＝0.8．(·南平高一检测)已知直线l 与直线2x －3y ＋4＝0关于直线x ＝1对称，则直线l 的方程为 ( A )A ．2x ＋3y －8＝0B ．3x －2y ＋1＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．3x ＋2y －7＝0[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＋4＝0x ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2. 由题意可知直线l 的斜率k 与直线2x －3y ＋4＝0的斜率互为相反数， ∴k ＝－23，故直线l 的方程为y －2＝－23(x －1)，即2x ＋3y －8＝0.9．某几何体的三视图如下所示，则该几何体的体积是 ( B )A ．332B ．1336C ．233D ．1136[解析] 该几何体是一个正三棱柱和一个三棱锥的组合体，故体积V ＝34×22×32＋13×34×22×2＝1336. 10．(～·郑州高一检测)过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是 ( D )A ．x －2y ＋3＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －3＝0[解析] 由圆的几何性质知，圆心角∠ACB 最小时，弦AB 的长度最短， 此时应有CM ⊥AB . ∵k CM ＝1， ∴k l ＝－1.∴直线l 方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. 故选D ．11．若圆C ：x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：x －y ＋c ＝0的距离为22，则c 的取值范围是 ( C )A ．[－22，22]B ．(－22，22)C ．[－2,2]D ．(－2,2)[解析] 圆C ：x 2＋y 2－4x －4y －10＝0整理为(x －2)2＋(y －2)2＝(32)2，∴圆心坐标为C (2,2)，半径长为32，要使圆上至少有三个不同的点到直线l ：x －y ＋c ＝0的距离为22，如右图可知圆心到直线l 的距离应小于等于2，∴d ＝|2－2＋c |1＋1＝|c |2≤2，解得|c |≤2，即－2≤c ≤2.12．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M 、N 分别是圆C 1、C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为 ( A )A ．52－4B ．17－1C ．6－22D ．17[解析] 两圆的圆心均在第一象限，先求|PC 1|＋|PC 2|的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，则(|PC 1|＋|PC 2|)min ＝|C 1′C 2|＝52，所以(|PM |＋|PN |)min ＝52－(1＋3)＝52－4.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．(·曲阜师大附中高一检测)△ABC 中，已知点A (2,1)、B (－2,3)、C (0,1)，则BC 边上的中线所在直线的一般方程为__x ＋3y －5＝0__.[解析] BC 边的中点D 的坐标为(－1,2)，∴BC 边上的中线AD 所在直线的方程为y －21－2＝x ＋12＋1，即x ＋3y －5＝0.14．(·南安一中高一检测)已知直线y ＝kx ＋2k ＋1，则直线恒经过的定点__(－2,1)__. [解析] 解法一：直线y ＝kx ＋2k ＋1，即 k (x ＋2)＋1－y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝01－y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝1. ∴直线恒经过定点(－2,1)．解法二：原方程可化为y －1＝k (x ＋2)， ∴直线恒经过定点(－2,1)．15．一个正四棱台，其上、下底面边长分别为8 cm 和18 cm ，侧棱长为13 cm ，则其表面积为__1 012 cm 2__.[解析] 由已知可得正四棱台侧面梯形的高为 h ＝132－(18－82)2＝12(cm)，所以S 侧＝4×12×(8＋18)×12＝624(cm 2)，S 上底＝8×8＝64(cm 2)，S 下底＝18×18＝324(cm 2)， 于是表面积为S ＝624＋64＋324＝1 012(cm 2)．①三棱锥A －D 1PC 的体积不变；②A 1P ∥平面ACD 1；③DP ⊥BC 1；④平面PDB 1⊥平面ACD 1.[解析] ①因为BC 1∥AD 1，所以BC 1∥平面AD 1C ，所以直线BC 1上任一点到平面AD 1C 的距离都相等，所以VA －D 1PC ＝VP －AD 1C ＝VB －AD 1C 为定值，正确；②因为AC ∥A 1C 1，AD 1∥BC 1，AC ∩AD 1＝A ，A 1C 1∩BC 1＝C 1，所以平面ACD 1∥平面A 1BC 1，因为A 1P ⊂平面A 1BC 1，所以A 1P ∥平面ACD 1，正确；③假设DP ⊥BC 1，因为DC ⊥BC 1，DC ∩DP ＝D ，所以BC 1⊥平面DPC ，所以BC 1⊥CP ，因为P 是BC 1上任一点，所以BC 1⊥CP 不一定成立，错误；④因为B 1B ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以B 1B ⊥AC ，又AC ⊥BD ，BD ∩B 1B ＝B ，所以AC ⊥平面BB 1D ，所以AC ⊥DB 1，同理可知AD 1⊥DB 1，因为AC ∩AD 1＝A ，所以DB 1⊥平面ACD 1，因为DB 1⊂平面PDB 1，所以平面PDB 1⊥平面ACD 1，正确．故填①②④.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知直线l 1：ax －by －1＝0(a 、b 不同时为0)，l 2：(a ＋2)x ＋y ＋a ＝0.(1)若b ＝0且l 1⊥l 2，求实数a 的值；(2)当b ＝2，且l 1∥l 2时，求直线l 1与l 2之间的距离． [解析] (1)若b ＝0，则l 1：ax －1＝0， l 2：(a ＋2)x ＋y ＋a ＝0.∵l 1⊥l 2，∴a (a ＋2)＝0，∴a ＝－2或0(舍去)，即a ＝－2. (2)当b ＝2时，l 1：ax －2y －1＝0， l 2：(a ＋2)x ＋y ＋a ＝0，∵l 1∥l 2，∴a ＝－2(a ＋2)，∴a ＝－43.∴l 1：4x ＋6y ＋3＝0，l 2：2x ＋3y －4＝0，∴l 1与l 2之间的距离d ＝|32＋4|22＋32＝111326.18．(本小题满分12分)自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程.[解析] 连接OP ，则OP ⊥BC ，设P (x ，y )，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1， 即y x ·yx －4＝－1. 即x 2＋y 2－4x ＝0.①当x ＝0时，P 点坐标为(0,0)是方程①的解，所以BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内)．19．(本小题满分12分)(2019·葫芦岛高一检测)已知半径为2，圆心在直线y ＝x ＋2上的圆C .(1)当圆C 经过点A (2,2)且与y 轴相切时，求圆C 的方程；(2)已知E (1,1)、F (1,3)，若圆C 上存在点Q ，使|QF |2－|QE |2＝32，求圆心横坐标a 的取值范围．[解析] (1)设圆心坐标为(a ，－a ＋2)， ∵圆经过点A (2,2)且与y 轴相切，∴⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋[2－(－a ＋2)]2＝4|a |＝2， 解得a ＝2.∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4. (2)设Q (x ，y )，由已知，得(x －1)2＋(y ＋3)2－[(x －1)2＋(y －1)2]＝32， 即y ＝3.∴点Q 在直径y ＝3上．又∵Q 在圆C 上，∴圆C 与直线y ＝3相交， ∴1≤－a ＋2≤5，∴－3≤a ≤1. ∴圆心横坐标a 的取值范围为－3≤a ≤1.20．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，斜率为1的直线l 与圆C 交于A 、B 两点.(1)化圆的方程为标准形式，并指出圆心和半径；(2)是否存在直线l ，使以线段AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由；(3)当直线l 平行移动时，求△CAB 面积的最大值． [解析] (1)(x －1)2＋(y ＋2)2＝9.圆心C (1，－2)，r ＝3. (2)假设存在直线l ，设方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵以AB 为直径的圆过圆心O ， ∴OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0， 消去y 得2x 2＋2(m ＋1)x ＋m 2＋4m －4＝0. Δ＞0得－32－3＜m ＜32－3. 由根与系数关系得：x 1＋x 2＝－(m ＋1)，x 1x 2＝m 2＋4m －42，y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2 ∴x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝0. 解得m ＝1或－4.直线l 方程为y ＝x ＋1或y ＝x －4.(3)设圆心C 到直线l ：y ＝x ＋m 的距离为d ， |AB |＝29－d 2，S △CAB ＝12×29－d 2×d ＝9d 2－d 4＝814－(d 2－92)2≤92，此时d ＝322，l 的方程为y ＝x 或y ＝x －6. 21．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅰ文，18)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ；(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P －ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积．[解析] (1)证明：由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 因为AB ∥CD ，所以AB ⊥PD .又AP ∩DP ＝P ，且AP ，DP ⊂平面P AD 所以AB ⊥平面P AD . 因为AB ⊂平面P AB ， 所以平面P AB ⊥平面P AD .(2)解：如图，在平面P AD 内作PE ⊥AD ，垂足为点E .由(1)知，AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PE ，AB ⊥AD ，又∵AD ∩AB ＝A . 可得PE ⊥平面ABCD .设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22x . 故四棱锥P －ABCD 的体积V P －ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3.由题设得13x 3＝83，故x ＝2.从而结合已知可得P A ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝2 2. 可得四棱锥P －ABCD 的侧面积为12P A ·PD ＋12P A ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin 60°＝6＋2 3. 22．(本小题满分12分)已知⊙C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0. (1)若⊙C 的切线在x 轴、y 轴上截距相等，求切线的方程；(2)从圆外一点P (x 0，y 0)向圆引切线PM ，M 为切点，O 为原点，若|PM |＝|PO |，求使|PM |最小的P 点坐标．[解析] ⊙C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， 圆心C (－1,2)，半径r ＝2. (1)若切线过原点设为y ＝kx ， 则|－k －2|1＋k 2＝2，∴k ＝0或43.若切线不过原点，设为x ＋y ＝a ， 则|－1＋2－a |2＝2，∴a ＝1±22， ∴切线方程为：y ＝0，y ＝43x ，x ＋y ＝1＋22和x ＋y ＝1－2 2.(2)x 20＋y 20＋2x 0－4y 0＋1＝x 20＋y 20，∴2x 0－4y 0＋1＝0，|PM |＝x 20＋y 20＋2x 0－4y 0＋1＝5y 20－2y 0＋14∵P 在⊙C 外，∴(x 0＋1)2＋(y 0－2)2>4， 将x 0＝2y 0－12代入得5y 20－2y 0＋14>0， ∴|PM |min ＝510.此时P ⎝⎛⎭⎫－110，15.。

新教材苏教版高中数学必修第二册模块综合测评

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模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求)1．复数z 满足(3－2i)z ＝4＋3i(i 为虚数单位)，则复数在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限A [由题意得，z ＝4＋3i 3－2i ＝(4＋3i )(3＋2i )(3－2i )(3＋2i )＝613＋17i 13，则复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.]2．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率为( )A.112B.19C.16D.14B [将先后两次的点数记为有序实数对(x ，y )，则共有6×6＝36(个)基本事件，其中点数之和为大于8的偶数有(4,6)，(6,4)，(5,5)，(6,6)，共4种，则满足条件的概率为436＝19.故选B. ]3．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的恰有一名女同学的概率为( )A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.6D [设2名男生为a ，b,3名女生为A ，B ，C, 则任选2人的种数为ab ，aA ，aB ，aC ，bA ，bB ，bC ，AB ，AC ，BC 共10种，其中恰有一名女生为aA ，aB ，aC ，bA ，bB ，bC 共6种， 故恰有一名女同学的概率P ＝610＝0.6 .故选D.]4．已知△ABC 为等腰三角形，满足AB ＝AC ＝3，BC ＝2，若P 为底边BC上的动点，则AP→(AB →＋AC →)( ) A ．有最大值8B ．是定值2C ．有最小值1D ．是定值4D [如图，设AD 是等腰三角形底边BC 上的高，长度为3－1＝ 2.故AP →·(AB →＋AC →)＝(AD →＋DP →)·2AD→＝2AD →2＋2DP →·AD→＝2AD →2＝2×(2)2＝4.故选D.] 5．在△ABC 中，若lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形A [因为lg sin A －lg cosB －lg sinC ＝lg 2，所以lg sin A cos B sin C＝lg 2. 所以sin A ＝2cos B sin C .因为∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，所以sin(B ＋C )＝2cos B sin C ，所以sin(B －C )＝0.所以∠B ＝∠C ，所以△ABC 为等腰三角形．]6．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑．在鳌臑P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝4，AB ＝BC ＝2，鳌臑P -ABC 的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是( )A ．16πB ．20πC ．24πD ．64πC [四棱锥P -ABC 的四个面都是直角三角形，∵AB ＝BC ＝2，∴AB ⊥BC ，又P A ⊥平面ABC ，∴AB 是PB 在平面ABC上的射影，P A ⊥CA ，∴BC ⊥PB ，取PC 中点O ，则O 是P -ABC外接球球心．由AB ＝BC ＝2得AC ＝22，又P A ＝4，则PC ＝8＋16＝26，OP ＝6， 所以球表面积为S ＝4π(OP )2＝4π×(6)2＝24π.故选C.]7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知三个向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，cos A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，cos B 2，p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，cos C 2共线，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 A [∵向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，cos A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，cos B 2共线， ∴a cos B 2＝b cos A 2.由正弦定理得sin A cos B 2＝sin B cos A 2.∴2sin A 2cos A 2 cos B 2＝2sin B 2cos B 2cos A 2.则sin A 2＝sin B 2.∵0<A 2<π2，0<B 2<π2，∴A 2＝B 2，即A ＝B .同理可得B ＝C .∴△ABC 的形状为等边三角形．故选A.]8．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别为棱BB 1，CC 1的中点，点O 为上底面的中心，过E ，F ，O 三点的平面把正方体分为两部分，其中含A 1的部分为V 1，不含A 1的部分为V 2，连接A 1和V 2的任一点M ，设A 1M 与平面A 1B 1C 1D 1所成角为α，则sin α的最大值为( )A.22B.255C.265D.266B [连接EF ，因为EF ∥平面ABCD ，所以过EFO 的平面与平面ABCD 的交线一定是过点O且与EF 平行的直线，过点O 作GH ∥BC 交CD 于点G ，交AB 于H 点，则GH ∥EF ，连接EH ，FG ，则平行四边形EFGH 即为截面，则五棱柱A 1B 1EHA -D 1C 1FGD 为V 1，三棱柱EBH -FCG 为V 2，设M 点为V 2的任一点，过M 点作底面A 1B 1C 1D 1的垂线，垂足为N ，连接A 1N ， 则∠MA 1N 即为A 1M 与平面A 1B 1C 1D 1所成的角，所以∠MA 1N ＝α.因为sin α＝MN A 1M ，要使α的正弦值最大，必须MN 最大，A 1M 最小，当点M 与点H 重合时符合题意．故(sin α)max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫MN A 1M max ＝HN A 1H ＝255.故选B.] 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．如图是2020年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图，给出下列4个结论其中结论正确的是( )A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高；B ．深圳和厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降；C ．平均价格从高到低位于前三位的城市为北京，深圳，广州；D ．平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津，西安，上海．ABC [对于A.由图可知深圳对应的小黑点最接近0%，故变化幅度最小，北京对应的条形图最高，则北京的平均价格最高，故A 正确；对于B.由图可知深圳和厦门对应的小黑点在0%以下，故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降，故B 正确； 对于C 由图可知条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州，故C 正确；对于D 由图可知平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京，故D 错误．故选ABC.]10．已知圆锥的顶点为P ，母线长为2，底面半径为3，A ，B 为底面圆周上两个动点，则下列说法正确的是( )A ．圆锥的高为1B ．三角形P AB 为等腰三角形C．三角形P AB面积的最大值为3D．直线P A与圆锥底面所成角的大小为π6ABD[如图所示：PO＝22－()32＝1，A正确；P A＝PB＝2，B正确；易知直线P A与圆锥底面所成的角为∠P AO＝π6，D正确；取AB中点为C，设∠P AC＝θ，则θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2，S△P AB＝2sin θ·2cos θ＝2sin 2θ，当θ＝π4时，面积有最大值为2，C错误．故选ABD.]11．以下对各事件发生的概率判断正确的是()A．连续抛两枚质地均匀的硬币，有3个基本事件，出现一正一反的概率为1 3B．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如12＝5＋7，在不超过15的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为1 15C．将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，记下两次向上的点数，则点数之和为6的概率是5 36D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是12BCD[对于A，连续抛两枚质地均匀的硬币，其样本区间为Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}；有4个基本事件，出现一正一反事件A包含的样本点为(正，反)，(反，正)，所以A错误；对于B，从集合{2,3,5,7, 11,13}中取出两个数，其样本空间Ω＝{(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(2,13)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(3,13)，(5,7)，(5,11)，(5,13)，(7,11)，(7,13)，(11,13)}，即包含15个基本等可能事件，“两个数的和为14”的事件B仅包含一个样本点(3,11)，所以P(B)＝115，所以B正确；对于C，样本空间有36个样本点，“点数和为6”的事件C包含5个样本点(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，即P(C)＝536，所以C正确；对于D，从四件产品中取出两件，其样本空间为Ω＝{(正1，正2)，(正2，正3)，(正1，正3)，(正1，次)，(正2，次)，(正3，次)}，故共有6个基本等可能事件，“全是正品”的事件的样本点为3个，所以P(D)＝12，所以故选BCD.]12．已知复数z对应复平面内点A，则下列关于复数z，z1，z2结论正确的是()A. |z＋2i|表示点A到点(0,2)的距离B. 若|z－1|＝|z＋2i|，则点A的轨迹是直线C. ||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|D. |z1z2|＝|z1||z2|BCD[对于A，|z＋2i|表示点A到点(0，－2)的距离，所以A错误；对于B, |z－1|＝|z＋2i|表示A点到M(1,0)和N(0，－2)的距离相等，所以A的轨迹是MN的垂直平分线，是一条直线，所以B正确；由复数模的性质知，C、D均正确，故选BCD.]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．2019年国际山地旅游大会于8月29日在贵州黔西南州召开，据统计有来自全世界的4 000名女性和6 000名男性徒步爱好者参与徒步运动，其中抵达终点的女性与男性徒步爱好者分别为1 000名和2 000名，抵达终点的徒步爱好者可获得纪念品一份．若记者随机电话采访参与本次徒步运动的1名女性和1名男性徒步爱好者，其中恰好有1名徒步爱好者获得纪念品的概率是________．512[“男性获得纪念品，女性没有获得纪念品”的概率为2 0006 000×3 0004 000＝14，“男性没有获得纪念品，女性获得纪念品”的概率为4 0006 000×1 0004 000＝16，故“恰好有1名徒步爱好者获得纪念品”的概率为14＋16＝512.]14．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x,3y－5)，且a∥b，若x，y均为正数，则xy 的最大值是________．2524[∵a∥b，∴(3y－5)×1＋2x＝0，即2x＋3y＝5.∵x＞0，y＞0，∴5＝2x＋3y≥26xy，∴xy≤2524，当且仅当3y＝2x时取等号．]15．掷红、白两颗骰子，事件A＝{红骰子点数小于3}，事件B＝{白骰子点数小于3}，则事件P(AB)＝__________，P(A＋B)＝________.1 959[由掷红、白两颗骰子，向上的点数共6×6＝36种可能，红色骰子的点数分别记为红1，红2，…，白色骰子的点数分别记为白1，白2，…其中红骰子点数小于3的有1,2二种可能，其中白骰子点数小于3的有1,2二种可能，事件A＝{红1，白1}，{红1，白2}，{红1，白3}，{红1，白4}，{红1，白5}，{红1，白6}，{红2，白1}，{红2，白2}，{红2，白3}，{红2，白4}，{红2，白5}，{红2，白6}，共12种事件B＝{白1，红1}，{白1，红2}，{白1，红3}，{白1，红4}，{白1，红5}，{白1，红6}，{白2，红1}，{白2，红2}，{白2，红3}，{白2，红4}，{白2，红5}，{白2，红6}，共12种，事件AB＝{红1，白1}，{红1，白2}，{红2，白1}，{红2，白2}，共4种，故P(AB)＝436＝19，事件A＋B共有12＋12－4＝20种，故P(A＋B)＝2036＝59.]16．如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AB＝1，BC＝2，四棱锥外接球的球心为O，点E是棱AD上的一个动点．给出如下命题：①直线PB与直线CE是异面直线；②BE与PC一定不垂直；③三棱锥E-BCO的体积为定值；④CE＋PE的最小值为2 2.其中正确命题的序号是________．(将你认为正确的命题序号都填上)①③④[对于①，∵直线PB经过平面ABCD内的点B，而直线CE在平面ABCD内不过B，∴直线PB与直线CE是异面直线，故①正确；对于②，当E在线AD上且AE＝14AD位置时，BE⊥AC，因为P A⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以P A⊥BE，又P A∩AC＝A，P A⊂平面P AC，AC⊂平面P AC，∴BE⊥平面P AC，则BE垂直PC，故②错误；对于③，由题意知，四棱锥P-ABCD的外接球的球心为O是PC的中点，则△BCE的面积为定值，且O到平面ABCD的距离为定值，∴三棱锥E-BCO的体积为定值，故③正确；对于④，设AE＝x，则DE＝2－x，∴PE＋EC＝1＋x2＋1＋(2－x)2.由其几何意义，即平面内动点(x,1)与两定点(0,0)，(2,0)距离和的最小值知，其最小值为22，故④正确．故答案为①③④.]四、解答题(本大题共6小题，共10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算)17．(本小题满分10分)benti从青岛市统考的学生数学考试试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图．(1)求这100份数学试卷成绩的中位数；(2)从总分在[55,65)和[135,145)的试卷中随机抽取2份试卷，求抽取的2份试卷中至少有一份总分少于65分的概率．[解](1)记这100份数学试卷成绩的中位数为x(95<x<105)，则0.002×10＋0.008×10＋0.013×10＋0.015×10＋(x－95)×0.024＝0.5，解得x＝100，所以中位数为100.(2)总分在[55,65)的试卷共有0.002×10×100＝2(份)，记为A，B，总分在[135,145)的试卷共有0.004×10×100＝4(份)，记为a，b，c，d，则从上述6份试卷中随机抽取2份的结果为{A，B}，{A，a}，{A，b}，{A，c}，{A，d}，{B，a}，{B，b}，{B，c}，{B，d}，{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{b ，c }，{b ，d }，{c ，d }，共计15个样本点，且是等可能的．至少有一份总分少于65分的有：{A ，B }，{A ，a }，{A ，b }，{A ，c }，{A ，d }，{B ，a }，{B ，b }，{B ，c }，{B ，d }，共计9个样本点，所以抽取的2份至少有一份总分少于65分的概率P ＝915＝35.18．(本小题满分12分)已知向量m ＝(cos α，sin α)，n ＝(－1,2)．(1)若m ∥n ，求sin α－2cos αsin α＋cos α的值； (2)若|m －n |＝2，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值． [解] (1)因为m ∥n ，所以sin α＝－2cos α.所以原式＝－2cos α－2cos α－2cos α＋cos α＝－4cos α－cos α＝4. (2)因为 |m －n |＝2，所以2sin α－cos α＝2.所以cos 2α＝4(sin α－1)2，所以1－sin 2α＝4(sin α－1)2，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以sin α＝35，cos α＝－45. 所以原式＝－7210.19．(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A .(1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C .[解] (1)证明：由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，∴a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，代入a ＝b tan A 得sin A ＝sin B ·sin A cos A ，又∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴1＝sin B cos A ，即sin B ＝cos A .(2)由sin C －sin A cos B ＝34知，sin(A ＋B )－sin A cos B ＝34，∴cos A sin B ＝34.由(1)知，sin B ＝cos A ，∴cos 2A ＝34，由于B 是钝角，故A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos A ＝32，A ＝π6. sin B ＝32，B ＝2π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝π6.20．(本小题满分12分)如图，E 是以AB 为直径的半圆上异于A ，B 的点，矩形ABCD 所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且AB ＝2AD ＝2.(1)求证：EA ⊥EC ；(2)设平面ECD 与半圆弧的另一个交点为F .①证明：EF ∥AB ；②若EF ＝1，求三棱锥E -ADF 的体积．[解] (1)证明：∵平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，BC ⊥AB ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面ABE .又∵AE ⊂平面ABE ，∴BC ⊥AE .∵E 在以AB 为直径的半圆上，∴AE ⊥BE ，又∵BE ∩BC ＝B ，BC ，BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥平面BCE .又∵CE ⊂平面BCE ，∴EA ⊥EC .(2)①证明：∵AB ∥CD ，AB ⊄平面CED ，CD ⊂平面CED ，∴AB ∥平面CED .又∵AB ⊂平面ABE ，平面ABE ∩平面CED ＝EF ，∴AB ∥EF .②取AB 的中点O ，EF 的中点O ′，在Rt △OO ′F 中，OF ＝1，O ′F ＝12，∴OO ′＝32.由(1)得BC ⊥平面ABE ，又已知AD ∥BC ，∴AD ⊥平面ABE .故V E -ADF ＝V D -AEF ＝13·S △AEF ·AD ＝13·12·EF ·OO ′·AD ＝312.21．(本小题满分12分)已知△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .(1)证明：a cos B ＋b cos A ＝c ；(2)在①2c －b cos B ＝a cos A ，②c cos A ＝2b cos A －a cos C ，③2a －b cos C cos A ＝c cos B cos A 这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答若a ＝7，b ＝5，________，求△ABC 的周长．[解] (1)根据余弦定理：a cos B ＋b cos A ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc＝a 2＋c 2－b 2＋b 2＋c 2－a 22c＝c ，所以a cos B ＋b cos A ＝c . (2)选①：因为2c －b cos B ＝a cos A ，所以2c ·cos A ＝b cos A ＋a cos B ，所以由(1)中所证结论可知，2c cos A ＝c ，即cos A ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3；选②：因为c cos A ＝2b cos A －a cos C ，所以2b cos A ＝a cos C ＋c cos A ， 由(1)中的证明过程同理可得，a cos C ＋c cos A ＝b ，所以2b cos A ＝b ，即cos A ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3；选③：因为2a －b ·cos C cos A ＝c ·cos B cos A ，所以2a cos A ＝b cos C ＋c cos B ，由(1)中的证明过程同理可得，b cos C ＋c cos B ＝a ，所以2a cos A ＝a ，即cos A ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.在△ABC 中，由余弦定理知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋c 2－10c ·12＝49，即c 2－5c －24＝0，解得c ＝8或c ＝－3(舍)，所以a ＋b ＋c ＝7＋5＋8＝20，即△ABC 的周长为20.22. (本小题满分12分)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，小区的两个出入口设置在点 A 及点 C 处，且小区里有一条平行于 BO 的小路CD .(1)已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用了10分钟，从D 沿DA 走到 A 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长(精确到1米)(2)若该扇形的半径为OA ＝a ，已知某老人散步，从 C 沿CD 走到D ，再从D 沿DO 走到O ，试确定C 的位置，使老人散步路线最长．[解] (1)法一：设该扇形的半径为r 米，连接CO . 由题意，得CD ＝500(米)，DA ＝300(米)，∠CDO ＝60°，在△CDO 中，CD 2＋OD 2－2CD ·OD ·cos 60 °＝OC 2，即5002＋()r －3002－2×500×()r －300×12＝r 2， 解得r ＝4 90011≈445(米)．法二：连接AC ，作OH ⊥AC ，交AC 于H ，由题意，得CD ＝500(米)， AD ＝300(米)，∠CDA ＝120° ，在△CDA 中，AC 2＝CD 2＋AD 2－2·CD ·AD ·cos 120°＝5002＋3002＋2×500×300×12＝7002.AC ＝700(米). cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22·AC ·AD＝1114. 在直角△HAO 中，AH ＝350(米)，cos ∠HAO ＝1114，OA ＝AH cos ∠HAO＝4 90011≈445(米)． (2)连接OC ，设∠DOC ＝θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3， 在△DOC 中，由正弦定理得CD sin θ＝DO sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝OC sin π3＝2a 3， 于是CD ＝2a 3sin θ，DO ＝2a 3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ，则 DC ＋DO ＝2a 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6 ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3 所以当θ＝π3时，DC ＋DO 最大为2a ，此时C 在弧AB 的中点处．。

2019-2020学年高中数学人教A版必修2作业与测评：学期综合测评(一) Word版含解析

2019-2020学年高中数学人教A版必修2作业与测评：学期综合测评(一) Word版含解析

姓名，年级：时间：必修2 学期综合测评（一)对应学生用书P103 本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题,共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知两直线y＝ax－2和y＝(a＋2）x＋1互相垂直，则a等于（)A．2 B．1 C．0 D．－1答案 D解析由题知(a＋2)a＝－1⇒a2＋2a＋1＝（a＋1）2＝0,∴a＝－1，也可以代入检验．2．圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心坐标和半径分别是( ）A．（1，－2)，5 B．(1，－2），错误!C．（－1，2），5 D．(－1，2)，错误!答案D解析圆的方程化为标准方程为（x＋1)2＋（y－2)2＝5，其圆心是(－1，2）,半径为错误!．3．已知直线l的方程为2x－5y＋10＝0，且在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则|a＋b|＝（)A．3 B．7 C．10 D．5答案A解析因为直线l的方程为2x－5y＋10＝0，所以令y＝0，得x＝－5，即a＝－5，令x＝0，得y＝2，即b＝2，所以|a＋b|＝｜－5＋2|＝3．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最大侧面的面积为( )A．12B．错误! C．错误! D．错误!答案C解析由三视图，知该几何体的直观图如图所示．平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A－BCDE 的高为1．四边形BCDE是边长为1的正方形，则S△AED＝错误!×1×1＝错误!,S△ABC＝S△ABE ＝错误!×1×错误!＝错误!，S△ACD＝错误!×1×错误!＝错误!，故选C．5．某建筑物的上部为四棱锥，下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m,四棱锥的高为8 m，若按1∶500的比例用斜二测画法画出建筑物的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为( ）A．4 cm，1 cm，2 cm，1．6 cmB．4 cm,0．5 cm，2 cm,0．8 cmC．4 cm,0．5 cm，2 cm，1．6 cmD．2 cm，0．5 cm，1 cm，0．8 cm答案C解析由比例尺，可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm，1 cm，2 cm,1．6 cm，再结合斜二测画法,则在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm，0．5 cm,2 cm，1．6 cm．6．直线l：y＝kx－1与曲线错误!＝错误!不相交，则k的取值是( )A．错误!或3 B．错误! C．3 D．错误!答案A解析曲线错误!＝错误!表示直线x－2y＋3＝0（去掉点(1,2）)，则直线l:y＝kx －1与曲线错误!＝错误!不相交，即直线l与x－2y＋3＝0平行或直线l过点（1，2）,所以k的取值为错误!或3．7．如图，三棱台ABC－A′B′C′中，AB∶A′B′＝1∶2，则三棱锥A′－ABC，B －A′B′C，C－A′B′C′的体积之比为（)A．1∶1∶1B．1∶1∶2C．1∶2∶4D．1∶4∶4答案 C解析设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A′B′C′＝4S．所以V A′－ABC＝错误!S△ABC·h＝错误!Sh，V C－A′B′C′＝错误!S△A′B′C′h＝错误!Sh，又V台＝错误!h(S＋4S＋2S)＝错误!Sh，而V B－A′B′C＝V台－V C－A′B′C′－V A′－ABC＝错误!Sh,所以V A′－ABC∶V B－A′B′C∶V C－A′B′C′＝1∶2∶4．8．直线2x－y－错误!＝0与y轴的交点为P，点P把圆（x＋1）2＋y2＝25的直径分为两段,这两段长度之比为( ）A．错误!或错误! B．错误!或错误!C．错误!或错误! D．错误!或错误!答案A解析数形结合法:点P的坐标是（0,－3），圆心坐标为C（－1，0),半径长为5．因为｜PC|＝－1－02＋0＋32＝2〈5，所以点P在圆内．设点P在直径AB上,则｜PA｜＝5－2＝3，｜PB|＝5＋2＝7．所以分成的两线段之比为错误!或错误!．故选A．9．如图，三棱锥V－ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA＝VB，AD＝BD，则下列结论中不一定成立的是（）A．AC＝BCB．VC⊥VDC．AB⊥VCD．S△VCD·AB＝S△ABC·VO答案B解析因为VA＝VB,AD＝BD，所以VD⊥AB．因为VO⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以VO⊥AB．又VO∩VD＝V,所以AB⊥平面VCD．又CD⊂平面VCD ,VC⊂平面VCD，所以AB⊥VC ，AB⊥CD．又AD＝BD，所以AC＝BC（线段垂直平分线的性质)．因为VO⊥平面ABC，所以V V－ABC＝错误!S△ABC·VO．因为AB⊥平面VCD,所以V V－ABC＝V B－VCD＋V A－VCD＝错误!S△VCD·BD＋错误!S△VCD·AD＝错误!S△VCD·（BD＋AD）＝错误!S△VCD·AB,所以错误!S△ABC·VO＝错误!S△VCD·AB，即S△VCD·AB＝S△ABC·VO．综上知，A，C，D正确．10．如右图,定圆半径为a，圆心为(b，c），则直线ax＋by＋c＝0与直线x－y＋1＝0的交点在( )A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限答案 B解析解方程组错误!得错误!观察题设中圆的位置，可知a〉0，b<0，c〉0,且a＋b<0，b＋c<0,a－c〉0，所以x＝－错误!〈0，y＝错误!〈0．11．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1,则点A到平面A1BC的距离为( ) A．错误! B．错误! C．错误! D．错误!答案B解析因为ABC－A1B1C1是正三棱柱，AB＝2，所以底面三角形ABC的面积为错误!，所以VA1－ABC＝错误!×错误!×1＝错误!．如图，在△A1BC中，A1B＝A1C＝错误!＝错误!，所以BC的中点M到A1的距离为错误!＝2，所以S△A1BC＝错误!×2×2＝2．设点A到平面A1BC的距离为h，所以错误!·S△A1BC·h＝VA1－ABC,解得h＝错误!．12．若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点（a，b)所作的圆的切线长的最小值是（)A．2 B．3 C．4 D．6答案C解析将圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0化为标准方程为(x＋1）2＋(y－2)2＝2,∴圆心C（－1,2），半径r＝2．∵圆C关于直线2ax＋by＋6＝0对称，∴直线2ax＋by ＋6＝0过圆心，将x＝－1，y＝2代入直线方程得－2a＋2b＋6＝0，即a＝b＋3．∵点（a，b)与圆心的距离d＝a＋12＋b－22,∴由点(a，b)向圆C所作切线长l＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!≥4，当且仅当b＝－1时切线长最小，最小值为4．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，A∈l，B∈l，AC⊂α，BD⊂β,AC⊥l,BD⊥l,且AB＝4，AC＝3，BD＝12，则CD＝________．答案13解析连接BC（图略），因为AC⊥l，AC＝3，AB＝4，所以BC＝5．因为BD⊥l，l＝α∩β，α⊥β，BD⊂β，所以BD⊥α．又BC⊂α，所以BD⊥BC．在Rt△BDC中，CD＝BD2＋BC2＝13．14．四边形ABCD中，A（0,0),B(1,0)，C（2，1），D（0，3），若四边形ABCD绕y轴旋转一周，则所得旋转体的体积为________．答案5π解析如右图所示，V圆锥＝错误!πr2h1＝错误!π×22×2＝错误!，V圆台＝错误!πh2(r2＋R2＋Rr）＝错误!π×1×（22＋12＋2×1）＝错误!π，∴V＝V圆锥＋V圆台＝5π．15．在△ABC中，高AD与高BE所在直线的方程分别是x＋5y－3＝0和x＋y－1＝0，AB边所在直线的方程是x＋3y－1＝0，则△ABC的顶点坐标分别是A________；B________;C________．答案（－2，1) （1,0) （2，5）解析高AD与边AB所在直线的交点即为顶点A，联立错误!得A（－2，1)．高BE 与边AB所在直线的交点即为顶点B，联立错误!得B（1，0）．因为直线AC过点A，且与直线BE垂直，所以直线AC的方程为y－1＝x＋2，即y＝x＋3，同理，直线BC的方程为y＝5(x－1），联立两直线方程得C（2，5）．16．如图，正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，已知△A′ED是△AED绕DE翻折过程中的一个图形，现给出下列四个命题:①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②恒有平面A′GF⊥平面BCED；③三棱锥A′－FED的体积有最大值;④直线A′E与BD不可能垂直．其中正确命题的序号是________．答案①②③解析对于命题①，由题意,知A′G⊥DE，FG⊥DE，A′G∩FG＝G,故DE⊥平面A′FG．又DE⊂平面ABC,所以平面A′FG⊥平面ABC，故该命题正确；对于命题②，由①可知正确；对于命题③，当A′G⊥平面ABC时,三棱锥A′－FED的体积有最大值,故命题③正确;对于命题④,当A′E在平面ABC上的射影与直线BD垂直时,易证A′E 与BD垂直，故该命题不正确．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（本小题满分10分）已知直线l：kx－y＋1－2k＝0(k∈R)．（1）证明：直线l过定点;(2)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,且|OA｜＝｜OB|，求k的值．解(1)证法一：直线l的方程可化为y－1＝k(x－2）,故无论k取何值，直线l总过定点(2，1)．证法二：设直线过定点(x0，y0），则kx0－y0＋1－2k＝0对任意k∈R恒成立，即（x0－2)k－y0＋1＝0恒成立，所以错误!解得x0＝2，y0＝1，故直线l总过定点(2，1)．（2)因直线l的方程为y＝kx－2k＋1,则直线l在y轴上的截距为1－2k，在x轴上的截距为2－错误!，依题意1－2k＝2－错误!〉0,解得k＝－1或k＝错误!（经检验，不符合题意），所以所求k＝－1．18．（本小题满分12分)如图所示是一个长方体截去一个角得到的几何体的直观图及正视图和侧视图(单位:cm)．（1)画出该多面体的俯视图，并标上相应的数据；(2)按照给出的数据，求该几何体的体积．解(1）该几何体的俯视图如图所示．（2）该几何体的体积V＝V长方体－V三棱锥＝4×4×6－错误!×错误!×2×2×2＝错误!（cm3）．19．（本小题满分12分）已知动点M到点A（2，0)的距离是它到点B(8，0）的距离的一半，求：（1)动点M的轨迹方程;(2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．解（1)设动点M(x，y）为轨迹上任意一点,则点M的轨迹就是集合P＝错误!．由两点间距离公式，点M适合的条件可表示为错误!＝错误!错误!．平方后再整理，得x2＋y2＝16．可以验证，这就是动点M的轨迹方程．(2）设动点N的坐标为(x，y），M的坐标是（x1，y1)．由于A（2，0）,且N为线段AM的中点,所以x＝错误!，y＝错误!．所以有x1＝2x－2,y1＝2y．①由(1)知,M是圆x2＋y2＝16上的点,所以M的坐标（x1,y1)满足x错误!＋y错误!＝16．②将①代入②整理，得（x－1)2＋y2＝4．所以N的轨迹是以(1，0）为圆心，2为半径的圆．20．（本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，AC⊥CD，E，F分别是PC，AC的中点．证明:（1）BF∥平面PCD;（2）AE⊥平面PCD．证明（1)因为∠ABC＝60°,AB＝BC，所以△ABC为等边三角形．又F是AC的中点，所以BF⊥AC．又CD⊥AC，且BF，CD，AC都在平面ABCD内，所以BF∥CD．因为CD⊂平面PCD，BF⊄平面PCD,所以BF∥平面PCD．(2）由（1）知，△ABC为等边三角形，且PA＝AB，所以PA＝AC．又E为PC的中点，所以AE⊥PC．因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．又CD⊥AC，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC．又AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE．又PC∩CD＝C,所以AE⊥平面PCD．21．（本小题满分12分)如图，圆锥SO中,AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD ＝O，且AB⊥CD,SO＝OB＝2，P为SB的中点．(1）求证：SA∥平面PCD；(2)求圆锥SO的表面积;(3)求异面直线SA与PD所成角的正切值．解(1)证明：连接PO，∵P，O分别为SB,AB的中点，∴PO∥SA，∵PO ⊂平面PCD, SA ⊄平面PCD ， ∴SA∥平面PCD ．(2）∵圆锥的底面半径r ＝2，母线长l ＝SB ＝2错误!， S 底面＝πr 2＝4π，S 侧面＝πlr＝4错误!π， S 圆锥表面＝S 底面＋S 侧面＝4(错误!＋1）π． (3)∵PO∥SA，∴∠DPO 为异面直线SA 与PD 所成的角或其补角， ∵AB⊥CD，SO⊥CD，AB∩SO＝O ， ∴CD⊥平面SOB ．∵PO ⊂平面SOB ， ∴OD⊥PO，在Rt△DOP 中，OD ＝2， OP ＝12SA ＝错误!SB ＝错误!，∴tan∠DPO＝错误!＝错误!＝错误!．∴异面直线SA 与PD 所成角的正切值为2．22．(本小题满分12分)已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点P 是直线l ：x ＝4上的动点． （1）若从点P 到圆O 的切线长为23,求点P 的坐标以及两条切线所夹的劣弧长； （2)若点A （－2，0)，B （2,0)，直线PA ，PB 与圆O 的另一交点分别为M ，N,求证：直线MN 经过定点Q （1，0)．解 （1)依题意,设P(4，t)．设两切点分别为C ，D ，则OC⊥PC，OD⊥PD． 由题意可知｜PO|2＝｜OC ｜2＋|PC ｜2， 即42＋t 2＝22＋(2错误!)2，解得t ＝0， 所以点P 的坐标为（4,0)．在Rt△POC 中，可求得∠POC＝60°， 所以∠DOC＝120°，所以所求两条切线所夹的劣弧长为2π×2×错误!＝错误!．(2）证明：设M （x 1，y 1)，N （x 2，y 2）．依题意，可得直线PA 的方程为y ＝错误!(x ＋2)， 由错误!得(t 2＋36)x 2＋4t 2x ＋4t 2－144＝0． 因为直线PA 经过点A （－2，0)，M(x 1，y 1)， 所以－2，x 1是上述方程的两个根， 则－2x 1＝错误!,即x 1＝错误!， 代入直线方程y ＝错误!(x ＋2)， 得y 1＝错误!错误!＋2＝错误!．同理,可得直线PB 的方程为y ＝错误!(x －2）． 由错误!得（t 2＋4)x 2－4t 2x ＋4t 2－16＝0． 因为直线PB 经过点B （2，0)，N （x 2,y 2)， 所以2,x 2是上述方程的两个根， 则2x 2＝错误!,即x 2＝错误!， 代入直线方程y ＝错误!（x －2）， 得y 2＝t2错误!－2＝错误!．若x 1＝1，则t 2＝12，此时x 2＝错误!＝1，显然M ，N 在直线x ＝1上，所以直线MN 经过定点Q （1，0）． 若x 1≠1,则t 2≠12，x 2≠1, 由k MQ ＝错误!＝错误!＝错误!，k NQ ＝错误!＝错误!＝错误!，可知k MQ ＝k NQ ，所以M ，Q ，N 三点共线,即直线MN 经过定点Q(1,0)． 综上所述,直线MN 经过定点Q(1，0）．必修2 学期综合测评(二）。

新教材人教A版高中数学必修第二册全册各章综合测验汇总(共五套,附解析)

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高中数学必修第二册全册各章测验汇总章末质量检测(一) 平面向量及其应用 ............................................................................... 1 章末质量检测(二) 复数 ....................................................................................................... 8 章末质量检测(三) 立体几何初步 ..................................................................................... 14 章末质量检测(四) 统计 ..................................................................................................... 23 章末质量检测(五)概率 (32)章末质量检测(一) 平面向量及其应用一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，在⊙O 中，向量OB →，OC →，AO →是( ) A ．有相同起点的向量 B ．共线向量 C ．模相等的向量 D ．相等的向量解析：由图可知OB →，OC →，AO →是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C. 答案：C2．若A (2，－1)，B (4,2)，C (1,5)，则AB →＋2BC →等于( ) A ．5 B ．(－1,5) C ．(6,1) D ．(－4,9)解析：AB →＝(2,3)，BC →＝(－3,3)，∴AB →＋2BC →＝(2,3)＋2(－3,3)＝(－4,9)． 答案：D3．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D.3π4解析：因为|a ＋b |＝1，所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1，所以cos θ＝－12.又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.答案：C4．若A (x ，－1)，B (1,3)，C (2,5)三点共线，则x 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3解析：AB →∥BC →，(1－x,4)∥(1,2)，2(1－x )＝4，x ＝－1，故选B. 答案：B5．已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(1,3)，a －b ＝(3，－3)，则a ，b 的坐标分别为( ) A ．(4,0)，(－2,6) B ．(－2,6)，(4,0) C ．(2,0)，(－1,3) D ．(－1,3)，(2,0)解析：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，3，a －b ＝3，－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，0，b ＝－1，3.答案：C6．若a ＝(5，x )，|a |＝13，则x ＝( ) A ．±5 B．±10 C ．±12 D．±13解析：由题意得|a |＝52＋x 2＝13， 所以52＋x 2＝132，解得x ＝±12. 答案：C7．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，选定一点C ，测出AC的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为( ) A ．50 2 m B ．50 3 m C ．25 2 m D.2522m解析：由正弦定理得AB ＝AC ·sin∠ACB sin B＝50×2212＝502(m)．答案：A8．已知平面内四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且a ＋c ＝b＋d ，则四边形ABCD 为( )A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形 解析：由题意知a －b ＝d －c ， ∴BA →＝CD →，∴四边形ABCD 为平行四边形，故选D. 答案：D9．某人在无风条件下骑自行车的速度为v 1，风速为v 2(|v 1|>|v 2|)，则逆风行驶的速度的大小为( )A ．v 1－v 2B ．v 1＋v 2C ．|v 1|－|v 2| D.v 1v 2解析：题目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是实数，故逆风行驶的速度大小为|v 1|－|v 2|.答案：C10．已知O 为坐标原点，点A 的坐标为(2,1)，向量AB →＝(－1,1)，则(OA →＋OB →)·(OA→－OB →)等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析：因为O 为坐标原点，点A 的坐标为(2,1)， 向量AB →＝(－1,1)， 所以OB →＝OA →＋AB →＝(2,1)＋(－1,1)＝(1,2)， 所以(OA →＋OB →)·(OA →－OB →)＝OA →2－OB →2＝(22＋12)－(12＋22) ＝5－5＝0.故选C. 答案：C11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac，(b ＋c ＋a )(b＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形 解析：∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝ac，∴b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．答案：C12．在△ABC 中，若|AB →|＝1，|AC →|＝3，|AB →＋AC →|＝|BC →|，则AB →·BC→|BC →|＝( )A ．－32 B ．－12C.12D.32解析：由向量的平行四边形法则，知当|AB →＋AC →|＝|BC →|时，∠A ＝90°.又|AB →|＝1，|AC →|＝3，故∠B ＝60°，∠C ＝30°，|BC →|＝2，所以AB →·BC →|BC →|＝|AB →||BC →|cos 120°|BC →|＝－12.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC 是共线向量，则m ＝________.解析：∵A ，B ，C 不共线，∴AB →与BC →不共线．又m 与AB →，BC →都共线，∴m ＝0. 答案：014．若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________. 解析：方法一：设OB →＝(x ，y )，由|OA →|＝|OB →|知x 2＋y 2＝10，又OA →·OB →＝x －3y＝0，所以x ＝3，y ＝1或x ＝－3，y ＝－1.当x ＝3，y ＝1时，|AB →|＝25；当x ＝－3，y ＝－1时，|AB →|＝2 5.故|AB →|＝2 5.方法二：由几何意义知，|AB →|就是以OA →，OB →为邻边的正方形的对角线长，又|OA →|＝10，所以|AB →|＝10×2＝2 5.答案：2 515．给出以下命题：①若a ≠0，则对任一非零向量b 都有a·b ≠0； ②若a ·b ＝0，则a 与b 中至少有一个为0； ③a 与b 是两个单位向量，则a 2＝b 2. 其中正确命题的序号是________．解析：上述三个命题中只有③正确，因为|a |＝|b |＝1，所以a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b |2＝1，故a 2＝b 2.当非零向量a ，b 垂直时，有a·b ＝0，显然①②错误．答案：③16．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N ，则每根绳子的拉力大小为________N.解析：如图，由题意得，∠AOC ＝∠COB ＝60°，|OC →|＝10，则|OA →|＝|OB →|＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N.答案：10三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图所示，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示：(1)AD →－AB →； (2)AB →＋CF →； (3)EF →－CF →.解析：(1)因为OB →＝b ，OD →＝d ， 所以AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝d －b . (2)因为OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OF →＝f ， 所以AB →＋CF →＝(OB →－OA →)＋(OF →－OC →)＝b ＋f －a －c . (3)EF →－CF →＝EF →＋FC →＝EC →＝OC →－OE →＝c －e .18．(12分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°，c ＝5a ＋3b ，d ＝3a ＋k b ，当实数k 为何值时，(1)c ∥d ；(2)c ⊥d .解析：由题意得a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2×3×12＝3.(1)当c ∥d ，c ＝λd ，则5a ＋3b ＝λ(3a ＋k b )． ∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k ＝95.(2)当c ⊥d 时，c ·d ＝0，则(5a ＋3b )·(3a ＋k b )＝0. ∴15a 2＋3k b 2＋(9＋5k )a ·b ＝0， ∴k ＝－2914.19．(12分)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(m,2)，c ＝(3,4)，且(a －3b )⊥c . (1)求实数m 的值； (2)求向量a 与b 的夹角θ.解析：(1)因为a ＝(1,3)，b ＝(m,2)，c ＝(3,4)， 所以a －3b ＝(1,3)－(3m,6)＝(1－3m ，－3)．因为(a －3b )⊥c ，所以(a －3b )·c ＝(1－3m ，－3)·(3,4) ＝3(1－3m )＋(－3)×4 ＝－9m －9＝0， 解得m ＝－1.(2)由(1)知a ＝(1,3)，b ＝(－1,2)， 所以a ·b ＝5，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π4.20．(12分)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2，－2)． (1)设c ＝2a ＋b ，求(b －a )·c ； (2)求向量a 在b 方向上的投影．解析：(1)由a ＝(1,3)，b ＝(2，－2)，可得c ＝(2,6)＋(2，－2)＝(4,4)，b －a＝(1，－5)，则(b －a )·c ＝4－20＝－16.(2)向量a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－422＝－ 2. 21．(12分)已知O ，A ，B 是平面上不共线的三点，直线AB 上有一点C ，满足2AC→＋CB →＝0，(1)用OA →，OB →表示OC →；(2)若点D 是OB 的中点，证明四边形OCAD 是梯形． 解析：(1)因为2AC →＋CB →＝0， 所以2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0， 2OC →－2OA →＋OB →－OC →＝0， 所以OC →＝2OA →－OB →.(2)证明：如图， DA →＝DO →＋OA →＝－12OB →＋OA →＝12(2OA →－OB →)．故DA →＝12OC →.故四边形OCAD 为梯形．22．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(a －3b )·cos C＝c (3cos B －cos A )．(1)求sin B sin A的值；(2)若c ＝7a ，求角C 的大小．解析：(1)由正弦定理得，(sin A －3sin B )cos C ＝sin C (3cos B －cos A )， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin C cos B ＋3cos C sin B ， 即sin(A ＋C )＝3sin(C ＋B )，即sin B ＝3sin A ，∴sin Bsin A＝3.(2)由(1)知b ＝3a ，∵c ＝7a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－7a 22×a ×3a ＝3a 26a 2＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.章末质量检测(二) 复数一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数i －i 2的实部为( ) A ．0 B ．1 C ．i D ．－2 解析：i －i 2＝1＋i. 答案：B2．用C ，R 和I 分别表示复数集、实数集和虚数集，那么有( ) A ．C ＝R ∩I B ．R ∩I ＝{0}C ．R ＝C ∩ID ．R ∩I ＝∅解析：由复数的概念可知R ⊂C ，I ⊂C ，R ∩I ＝∅. 答案：D3．下列说法正确的是( )A ．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等B ．a i 是纯虚数(a ∈R )C ．如果复数x ＋y i(x ，y ∈R )是实数，那么x ＝0，y ＝0D ．复数a ＋b i(a ，b ∈R )不是实数解析：两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，则它们的实部、虚部分别相等，所以A 正确；B 中，当a ＝0时，a i ＝0是实数，所以B 不正确；要使复数x ＋y i(x ，y ∈R )是实数，则只需y ＝0，所以C 不正确；D 中，当b ＝0时，复数a ＋b i 是实数，所以D 不正确．答案：A4．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：由题意得复数z 的实部为－1，虚部为－2，因此在复平面内对应的点为(－1，－2)，位于第三象限．答案：C5．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：z 1－z 2＝5－7i. 答案：D6．复数1－7i 1＋i 的虚部为( )A ．0 B. 2 C ．4 D ．－4 解析：∵1－7i1＋i＝1－7i 1－i 1＋i1－i ＝－6－8i2＝－3－4i ，∴复数1－7i1＋i 的虚部为－4，选D.答案：D7．复数z ＝(a 2－2a －3)＋(a ＋1)i 为纯虚数，实数a 的值是( ) A ．－1 B ．3C ．1D ．－1或3解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －3＝0，a ＋1≠0，解得a ＝3.故选B.答案：B8．已知z－1＋i ＝2＋i ，则复数z ＝( )A ．－1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i解析：由题意知z －＝(1＋i)(2＋i)＝2－1＋3i ＝1＋3i ，从而z ＝1－3i ，选B. 答案：B9．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞) D．(－∞，－3)解析：由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m ＋3，m －1)，且该点在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1.答案：A10．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依题意3－4i ＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧μ－λ＝32λ－μ＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1μ＝2，∴λ＋μ＝1.答案：A11．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则|2x＋4y|的最小值为( )A ．2B ．4C ．4 2D ．16解析：由|z －4i|＝|z ＋2|得x ＋2y ＝3. 则2x＋4y≥22x ＋2y＝2·23＝4 2.12．已知f (n )＝i n －i －n (i 2＝－1，n ∈N )，集合{f (n )}的元素个数是( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．无数个 解析：f (0)＝i 0－i 0＝0，f (1)＝i －i －1＝i －1i＝2i ，f (2)＝i 2－i －2＝0， f (3)＝i 3－i －3＝－2i.∴{f (n )}＝{0，－2i,2i}． 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．若复数z ＝(m －1)＋(m ＋2)i 对应的点在直线y ＝2x 上，则实数m 的值是________．解析：由已知得2(m －1)－(m ＋2)＝0，∴m ＝4. 答案：414．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则z 的实部是________． 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则i(z ＋1)＝i(a ＋1＋b i)＝－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ， 所以a ＝1，b ＝3，复数z 的实部是1. 答案：115．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝________.解析：∵AB →＝(－1＋3i)－(1＋i)＝－2＋2i ， ∴|AB →|＝2 2. 答案：2 216．设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为________． 解析：先利用复数的运算法则将复数化为x ＋y i(x ，y ∈R )的形式，再由纯虚数的定义求a .因为a －103－i ＝a －103＋i 3－i 3＋i＝a －103＋i10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a －3＝0，所以a ＝3.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)实数m 为何值时，复数z ＝m ＋6m －1＋(m 2＋5m －6)i 是实数？ 解析：复数z 为实数，则虚部为0，由于实部是分式，因此要求分式有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m －6＝0，m ≠1，解得m ＝－6.所以当m ＝－6时，复数z 是实数． 18．(12分)计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋2i ·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220.解析：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋2i ·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220＝[(1＋2i)·1＋(－i)5]2－i 10＝(1＋i)2－i 10＝1＋2i.19．(12分)复数z ＝(a 2＋1)＋a i(a ∈R )对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹方程是什么？解析：因为a 2＋1≥1>0，复数z ＝(a 2＋1)＋a i 对应的点为(a 2＋1，a )，所以z 对应的点在第一、四象限或实轴的正半轴上．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2＋1，y ＝a ，消去a 可得x ＝y 2＋1，所以复数z 对应的点的轨迹方程是y 2＝x －1.20．(12分)设复数z 1＝(a 2－4sin 2θ)＋(1＋2cos θ)i ，a ∈R ，θ∈(0，π)，z 2在复平面内对应的点在第一象限，且z 22＝－3＋4i.(1)求z 2及|z 2|；(2)若z 1＝z 2，求θ与a 的值．解析：(1)设z 2＝m ＋n i(m ，n ∈R )，则z 22＝(m ＋n i)2＝m 2－n 2＋2mn i ＝－3＋4i ，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－n 2＝－3，2mn ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－2，所以z 2＝1＋2i 或z 2＝－1－2i.又因为z 2在复平面内对应的点在第一象限，所以z 2＝－1－2i 应舍去， 故z 2＝1＋2i ，|z 2|＝ 5.(2)由(1)知(a 2－4sin 2θ)＋(1＋2cos θ)i ＝1＋2i ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4sin 2θ＝1，1＋2cos θ＝2，解得cos θ＝12，因为θ∈(0，π)，所以θ＝π3，所以a 2＝1＋4sin 2θ＝1＋4×34＝4，a ＝±2.综上，θ＝π3，a ＝±2.21．(12分)虚数z 满足|z |＝1，z 2＋2z ＋1z<0，求z .解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，y ≠0)，∴x 2＋y 2＝1.则z 2＋2z ＋1z ＝(x ＋y i)2＋2(x ＋y i)＋1x ＋y i ＝(x 2－y 2＋3x )＋y (2x ＋1)i.∵y ≠0，z 2＋2z ＋1z<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1＝0，x 2－y 2＋3x <0，①②又x 2＋y 2＝1.③ 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.22．(12分)已知复数z 1＝i(1－i)3. (1)求|z 1|；(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．解析：(1)|z 1|＝|i(1－i)3|＝|2－2i|＝22＋－22＝2 2.(2)如图所示，由|z |＝1可知，z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O (0,0)的圆，而z 1对应着坐标系中的点Z 1(2，－2)．所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知|z－z1|max＝|z1|＋r(r为圆的半径)＝22＋1.章末质量检测(三) 立体几何初步一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列结论正确的是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．答案：D2．关于直观图画法的说法中，不正确的是( )A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段仍平行于x′轴，其长度不变B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段仍平行于y′轴，其长度不变C．画与坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′可画成135°D．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图可能不同解析：根据斜二测画法的规则可知B不正确．答案：B3．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是( )A ．4SB ．4πSC ．πSD ．2πS解析：由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径2R ， 则2R ·2R ＝4S ，得R 2＝S .所以底面面积为πR 2＝πS . 答案：C4．如果一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为9 cm 3，则其表面积为( ) A ．18 3 cm 2B ．18 cm 2C ．12 3 cm 2D ．12 cm 2解析：设正四面体的棱长为a cm ，则底面积为34a 2 cm 2，易求得高为63a cm ，则体积为13×34a 2×63a ＝212a 3＝9，解得a ＝32，所以其表面积为4×34a 2＝183(cm 2)．答案：A5．一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为1，6，3，其四面体的四个顶点在一个球面上，则这个球的表面积为( )A ．16π B．32π C ．36π D．64π解析：将四面体可补形为长方体，此长方体的对角线即为球的直径，而长方体的对角线长为12＋62＋32＝4，即球的半径为2，故这个球的表面积为4πr 2＝16π.答案：A6．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B 在平面β内，则在平面β内且过点B 的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线解析：当直线a ⊂平面β，且点B 在直线a 上时，在平面β内且过点B 的所有直线中不存在与a 平行的直线．故选A.答案：A7．若α∥β，A ∈α，C ∈α，B ∈β，D ∈β，且AB ＋CD ＝28，AB 、CD 在β内的射影长分别为9和5，则AB 、CD 的长分别为( )A ．16和12B ．15和13C ．17和11D ．18和10解析：如图，作AM ⊥β，CN ⊥β，垂足分别为M 、N ，设AB ＝x ，则CD ＝28－x ，BM ＝9，ND ＝5，∴x 2－81＝(28－x )2－25， ∴x ＝15,28－x ＝13. 答案：B 8.如图，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1＝14A 1B 1，则多面体P －BCC 1B 1的体积为( )A.83B.163 C ．4 D ．5解析：V 多面体P －BCC 1B 1＝13S 正方形BCC 1B 1·PB 1＝13×42×1＝163.答案：B9．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为A 1B 1的中点，AB ＝BC ＝BB 1＝2，AC ＝25，则异面直线BD 与AC 所成的角为( )A ．30° B．45° C ．60° D．90°解析：如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角(或其补角)．由条件可知BD＝DE＝EB＝5，所以∠BDE＝60°，故选C.答案：C10．如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是( )A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.答案：B11．在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为( )A．30° B．60°C．90° D．120°解析：如图所示，由AB＝BC＝1，∠A′BC＝90°，得A′C＝ 2.∵M为A′C的中点，∴MC＝AM＝22，且CM⊥BM，AM⊥BM，∴∠CMA为二面角C－BM－A的平面角．∵AC ＝1，MC ＝AM ＝22，∴∠CMA ＝90°. 答案：C12．在矩形ABCD 中，若AB ＝3，BC ＝4，PA ⊥平面AC ，且PA ＝1，则点P 到对角线BD 的距离为( )A.292 B.135C.175D.1195 解析：如图，过点A 作AE ⊥BD 于E ，连接PE . ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥BD ，∴BD ⊥平面PAE ，∴BD ⊥PE . ∵AE ＝AB ·AD BD ＝125，PA ＝1， ∴PE ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝135.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．正方形ABCD 绕对角线AC 所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________． 解析：由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体． 答案：两个同底的圆锥组合体14．若某空间几何体的直观图如图所示，则该几何体的表面积是________． 解析：根据直观图可知该几何体是横着放的直三棱柱，所以S 侧＝(1＋2＋3)×2＝2＋2＋6， S 底＝12×1×2＝22， 故S 表＝2＋2＋6＋2×22＝2＋22＋ 6.答案：2＋22＋ 615．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：∵EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点．故EF ＝12AC ＝ 2.答案： 216．矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝1，则PC 与平面ABCD所成的角是________．解析：tan∠PCA ＝PA AC＝13＝33，∴∠PCA ＝30°. 答案：30°三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图是由正方形ABCE 和正三角形CDE 所组成的平面图形，试画出其水平放置的直观图．解析：(1)以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图(1)，再建立坐标系x ′O ′y ′，使两轴的夹角为45°，如图(2)．(2)以O ′为中点，在x ′轴上截取A ′B ′＝AB ，分别过A ′，B ′作y ′轴的平行线，截取A ′E ′＝12AE ，B ′C ′＝12BC .在y ′轴上截取O ′D ′＝12OD .(3)连接E ′D ′，E ′C ′，C ′D ′，并擦去作为辅助线的坐标轴，就得到所求的直观图，如图(3)．18．(12分)如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，连接A ′C ′，A ′D ，A ′B ，BD ，BC ′，C ′D ，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值； (2)三棱锥A ′－BC ′D 的体积．解析：(1)∵ABCD －A ′B ′C ′D ′是正方体， ∴A ′B ＝A ′C ′＝A ′D ＝BC ′＝BD ＝C ′D ＝2a ，∴三棱锥A ′－BC ′D 的表面积为4×12×2a ×32×2a ＝23a 2.而正方体的表面积为6a 2，故三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值为23a 26a 2＝33. (2)三棱锥A ′－ABD ，C ′－BCD ，D －A ′D ′C ′，B －A ′B ′C ′是完全一样的． 故V 三棱锥A ′－BC ′D ＝V 正方体－4V 三棱锥A ′－ABD ＝a 3－4×13×12a 2×a ＝a33.19．(12分)如图，四边形ABCD 与四边形ADEF 都为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点．求证：(1)BE ∥平面DMF ； (2)平面BDE ∥平面MNG .证明：(1)设DF 与GN 交于点O ，连接AE ，则AE 必过点O ，且O 为AE 的中点，连接MO ，则MO 为△ABE 的中位线，所以BE ∥MO .因为BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为AD，EF的中点，四边形ADEF为平行四边形，所以DE∥GN.因为DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点，N为AD的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.因为BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG.因为DE∩BD＝D，BD，DE⊂平面BDE，所以平面BDE∥平面MNG.20．(12分)S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴△SAB为等腰三角形，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)由于AB＝BC，则BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.21．(12分)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，点E是AB的中点．(1)求证：OE∥平面BCC1B1；(2)若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.证明：(1)连接BC1，因为侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，所以O为AC1的中点，又因为E是AB的中点，所以OE∥BC1，因为OE⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以OE∥平面BCC1B1.(2)因为侧面AA1C1C是菱形，所以AC1⊥A1C，因为AC1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC，因为BC⊂平面A1BC，所以AC1⊥BC.22．(12分)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连接ED，EC，EB和DB.(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；(2)求二面角E－DB－C的正切值．解析：(1)证明：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．所以△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°.同理∠C1EC＝45°.所以∠DEC＝90°，即DE⊥EC.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC⊥平面D1DCC1，又DE⊂平面D1DCC1，所以BC⊥DE.又EC∩BC＝C，所以DE⊥平面EBC.因为DE⊂平面DEB，所以平面DEB⊥平面EBC.(2)如图所示，过E在平面D1DCC1中作EO⊥DC于O.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，因为平面ABCD⊥平面D1DCC1，且交线为DC，所以EO⊥面ABCD.过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连接EF，所以EF⊥BD.∠EFO为二面角E－DB－C的平面角．利用平面几何知识可得OF＝15，又OE＝1，所以tan∠EFO＝ 5.章末质量检测(四) 统计一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，下列说法正确的是( )A．500名学生是总体B．每个被抽查的学生是样本C．抽取的60名学生的体重是一个样本D．抽取的60名学生是样本容量解析：A×总体应为500名学生的体重B×样本应为每个被抽查的学生的体重C√抽取的60名学生的体重构成了总体的一个样本D×样本容量为60，不能带有单位2．某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将70个同学按01,02,03，…，70进行编号，然后从随机数表第9行第9列的数开始向右读，则选出的第7个个体是( )(注：如表为随机数表的第8行和第9行)63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54A ．07B ．44C ．15D ．51解析：找到第9行第9列数开始向右读，符合条件的是29,64,56,07,52,42,44，故选出的第7个个体是44.答案：B3．对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2，有以下结论： ①这组数据的众数是3.②这组数据的众数与中位数的数值不等． ③这组数据的中位数与平均数的数值相等． ④这组数据的平均数与众数的数值相等． 其中正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：由题意知，众数与中位数都是3，平均数为4.只有①正确，故选A. 答案：A4．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按1100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为( )A ．8B ．11C ．16D ．10解析：若设高三学生数为x ，则高一学生数为x 2，高二学生数为x2＋300，所以有x＋x 2＋x 2＋300＝3 500，解得x ＝1 600.故高一学生数为800，因此应抽取的高一学生数为800100＝8.答案：A5．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的25，且样本容量为140，则中间一组的频数为( )A ．28B ．40C ．56D ．60解析：设中间一组的频数为x ，则其他8组的频数和为52x ，所以x ＋52x ＝140，解得x ＝40.答案：B6．某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如表所示：一年级二年级三年级女生373380y男生377370z现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为( )A．24 B．18C．16 D．12解析：一年级的学生人数为373＋377＝750，二年级的学生人数为380＋370＝750，于是三年级的学生人数为2 000－750－750＝500，那么三年级应抽取的人数为500×642 000＝16.故选C.答案：C7．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是( )A．甲的极差是29 B．乙的众数是21C．甲罚球命中率比乙高 D．甲的中位数是24解析：甲的极差是37－8＝29；乙的众数显然是21；甲的平均数显然高于乙，即C成立；甲的中位数应该是23.答案：D8．为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A ．1B ．8C ．12D ．18解析：由图知，样本总数为N ＝200.16＋0.24＝50.设第三组中有疗效的人数为x ，则6＋x 50＝0.36，解得x ＝12. 答案：C9．一组数据的方差为s 2，平均数为x ，将这组数据中的每一个数都乘以2，所得的一组新数据的方差和平均数为( )A.12s 2，12x B ．2s 2,2x C ．4s 2,2x D ．s 2，x解析：将一组数据的每一个数都乘以a ，则新数据组的方差为原来数据组方差的a 2倍，平均数为原来数据组的a 倍．故答案选C.答案：C10.某超市连锁店统计了城市甲、乙的各16台自动售货机在12：00至13：00间的销售金额，并用茎叶图表示如图，则可估计有( )A ．甲城市销售额多，乙城市销售额不够稳定B ．甲城市销售额多，乙城市销售额稳定C ．乙城市销售额多，甲城市销售额稳定D ．乙城市销售额多，甲城市销售额不够稳定解析：十位数字是3,4,5时乙城市的销售额明显多于甲，估计乙城市销售额多，甲的数字过于分散，不够稳定，故选D.答案：D11．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加上2所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差解析：设A 样本数据为x i ，根据题意可知B 样本数据为x i ＋2，则依据统计知识可知A ，B 两样本中的众数、平均数和中位数都相差2，只有方差相同，即标准差相同．答案：D12．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为( ) A.1169 B.367 C ．36 D.677解析：由题图可知去掉的两个数是87,99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x ＝4.故s 2＝17[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝367.故选B. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上) 13．将一个容量为m 的样本分成3组，已知第一组频数为8，第二、三组的频率为0.15和0.45，则m ＝________.解析：由题意知第一组的频率为 1－(0.15＋0.45)＝0.4， 所以8m＝0.4，所以m ＝20.答案：2014．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上(包括50岁)的人，用分层抽样的方法从中抽20人，各年龄段分别抽取的人数为________．解析：由于样本容量与总体个体数之比为20100＝15，故各年龄段抽取的人数依次为45×15＝9(人)，25×15＝5(人)，20－9－5＝6(人)．答案：9,5,615．某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布图如图所示，若130～140分数段的人数为90人，则90～100分数段的人数为________．解析：由频率分布图知，设90～100分数段的人数为x ，则0.40x ＝0.0590，所以x＝720.答案：72016．设样本数据x 1，x 2，…，x 2017的方差是4，若y i ＝2x i －1(i ＝1,2，…，2 017)，则y 1，y 2，…，y 2017的方差为________．解析：本题考查数据的方差．由题意得D (y i )＝D (2x i －1)＝D (2x i )＝4D (x i )＝4×4＝16.答案：16三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)某总体共有60个个体，并且编号为00,01，…，59.现需从中抽取一个容量为8的样本，请从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第11列的1开始．依次向下读数，到最后一行后向右，直到取足样本为止(大于59及与前面重复的数字跳过)，求抽取样本的号码．95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 82 80 84 25 39 90 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 56 35 23 79 18 05 98 90 07 35 46 40 62 98 80 54 97 20 56 95 15 74 80 08 32 16 46 70 50 80 67 72 16 42 79 20 31 89 03 43 38 46 82 68 72 32 14 82 99 70 80 60 47 18 97 63 49 30 21 30 71 59 73 05 50 08 22 23 71 77 91 01 93 20 49 82 96 59 26 94 66 39 67 98 60解析：由随机数表法可得依次的读数为：18,24,54,38,08,22,23,0118．(12分)某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的14，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%，为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．试确定：(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； (2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．解析：(1)设登山组人数为x ，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a ，b ，c ，则有x ·40%＋3xb 4x ＝47.5%，x ·10%＋3xc4x＝10%.解得b ＝50%，c ＝10%. 故a ＝1－50%－10%＝40%.即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%,50%,10%.(2)游泳组中，抽取的青年人数为200×34×40%＝60；抽取的中年人数为200×34×50%＝75；抽取的老年人数为200×34×10%＝15.19．(12分)已知一组数据按从小到大的顺序排列为－1，0,4，x,7,14，中位数为5，求这组数据的平均数与方差．解析：由于数据－1,0,4，x,7,14的中位数为5，所以4＋x2＝5，x ＝6.设这组数据的平均数为x －，方差为s 2，由题意得 x －＝16×(－1＋0＋4＋6＋7＋14)＝5，s 2＝16×[(－1－5)2＋(0－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2＋(7－5)2＋(14－5)2]＝743. 20．(12分)为了了解小学生的体能情况，抽取了某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将取得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)．已知图中从左到右前三个小组频率分别为0.1,0.3,0.4，第一小组的频数为5.(1)求第四小组的频率；(2)参加这次测试的学生有多少人；(3)若次数在75次以上(含75次)为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率是多少．解析：(1)由累积频率为1知，第四小组的频率为1－0.1－0.3－0.4＝0.2. (2)设参加这次测试的学生有x 人，则0.1x ＝5， 所以x ＝50.即参加这次测试的学生有50人． (3)达标率为0.3＋0.4＋0.2＝90%，所以估计该年级学生跳绳测试的达标率为90%.21．(12分)市体校准备挑选一名跳高运动员参加全市中学生运动会，对跳高运动队的甲、乙两名运动员进行了8次选拔比赛．他们的成绩(单位：m)如下：甲：1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67乙：1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75(1)甲、乙两名运动员的跳高平均成绩分别是多少？(2)哪位运动员的成绩更为稳定？(3)若预测跳过1.65 m就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪名运动员参赛？若预测跳过1.70 m才能得冠军呢？解析：(1)甲的平均成绩为：(1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋1.67)÷8＝1.69 m，乙的平均成绩为：(1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75)÷8＝1.68 m；(2)根据方差公式可得：甲的方差为0.0006，乙的方差为0.00315∵0.0006＜0.00315∴甲的成绩更为稳定；(3)若跳过1.65 m就很可能获得冠军，甲成绩均过1.65米，乙3次未过1.65米，因此选甲；若预测跳过1.70 m才能得冠军，甲成绩过1.70米3次，乙过1.70米5次，因此选乙．22．(12分)某中学高一女生共有450人，为了了解高一女生的身高(单位：cm)情况，随机抽取部分高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布表如下：(1)(2)画出频率分布直方图；(3)估计该校高一女生身高在[149.5,165.5]范围内的有多少人？解析：(1)由题意得M＝80.16＝50，落在区间[165.5,169.5]内的数据频数m＝50－(8＋6＋14＋10＋8)＝4，。

2019-2020学年高中数学人教B版必修2作业与测评：学期综合测评(一)Word版含解析.docx

2019-2020学年高中数学人教B版必修2作业与测评：学期综合测评(一)Word版含解析.docx

必修 2学期综合测评(一)对应学生用书 P85 本试卷分第Ⅰ卷 (选择题 ) 和第Ⅱ卷 (非选择题 )两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟．第Ⅰ 卷(选择题，共 60 分)一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 )1．已知两直线 y＝ax－ 2 和 y＝(a＋ 2)x＋ 1 互相垂直，则 a 等于 ()A ． 2 B． 1 C．0D．－ 1答案D解析由题知 (a＋ 2)a＝－ 1? a2＋2a＋1＝(a＋1)2＝ 0，∴ a＝－ 1，也可以代入检验．．圆x 2＋y2＋2x－4y＝0 的圆心坐标和半径分别是 ()2A ． (1，－ 2)， 5 B．(1，－ 2)，5C． (－1，2)， 5 D．(－ 1， 2)，5答案D解析圆的方程化为标准方程为(x＋ 1)2＋(y－ 2)2＝5，其圆心是 (－ 1，2)，半径为5．3．已知直线 l 的方程为 2x－ 5y＋10＝0，且在 x 轴上的截距为 a，在 y 轴上的截距为 b，则 |a＋b|＝ ()A ． 3 B． 7 C．10D． 5答案A解析因为直线 l 的方程为 2x－5y＋10＝0，所以令 y＝0，得 x＝－ 5，即 a ＝－ 5，令 x＝0，得 y＝ 2，即 b＝2，所以 |a＋ b|＝|－ 5＋ 2|＝3．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最大侧面的面积为()A ．1B．2C．5D．6 2222答案C解析由三视图，知该几何体的直观图如图所示．平面 AED ⊥平面 BCDE ，四棱锥A －BCDE的高为．四边形BCDE是边长为△AED＝1×1×1＝1，1 1 的正方形，则 S22△ ABC ＝S△ ABE＝1×1×2＝2，S△ACD＝1×1×5＝5，故选 C．S22225．某建筑物的上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8m，若按 1∶500 的比例用斜二测画法画出建筑物的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为()A ． 4 cm， 1 cm，2 cm，1．6 cmB． 4 cm，0．5 cm，2 cm，0．8 cmC． 4 cm，0．5 cm，2 cm，1．6 cmD． 2 cm， 0． 5 cm，1 cm，0．8 cm答案C解析由比例尺，可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm，1 cm，2 cm， 1． 6 cm，再结合斜二测画法，则在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为 4 cm，0．5 cm，2 cm，1．6 cm．y－2 16．直线 l ：y＝kx－ 1 与曲线x－1＝2不相交，则 k 的取值是 ()111A ．2或 3B．2C．3 D．2，3答案 A解析曲线y －2＝1表示直线 x －2y ＋ 3＝ 0(去掉点 (1，2))，则直线 l ：y ＝ kx －x －121 与曲线 y － 2＝ 1不相交，即直线 l 与 x －2y ＋ 3＝ 0 平行或直线 l 过点 (1，2)，所以x － 1 21k 的取值为 2或 3．7．如图，三棱台 ABC －A ′ B ′C ′中， AB ∶ A ′B ′＝ 1∶2，则三棱锥 A ′－ABC ，B －A ′ B ′ C ，C －A ′B ′C ′的体积之比为 ()A ． 1∶ 1∶ 1B ． 1∶ 1∶2C ． 1∶ 2∶4D ． 1∶ 4∶ 4答案 C解析设棱台的高为 h ，S ABC ＝S ，则 S A B C ＝4S ．△△ ′ ′ ′所以 V A ′ －ABC ＝1△ABC ·＝ 1，3Sh3ShV3S3ShC － A ′ B ′ C ′＝1△ A ′ B′C ′h ＝4，17又 V 台 ＝3h(S ＋4S ＋ 2S)＝3Sh ，2而 V B －A ′B ′ C ＝ V 台 －V C － A ′B ′ C ′ －V A ′－ ABC ＝3Sh ，所以 V A ′ －ABC ∶V B － A ′ B ′ C ∶V C － A ′B ′ C ′ ＝1∶2∶4．8．已知直三棱柱 ABC － A 1B 1C 1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝ 12，则球 O 的表面积为 ()A ． 153πB ． 160πC ．169πD ．360π答案C解析 由于直三棱柱的底面是直角三角形 ，所以可以把此三棱柱补成长方体 ，其体对角线就是外接球的直径 ，所以球 O 的半径 R ＝ 1 32＋ 42＋122＝13，所以球2 2132 O 的表面积 S ＝ 4π× 2 ＝169π，故选 C ．9．如图，三棱锥 V － ABC 中， VO ⊥平面 ABC ，O ∈ CD ， VA ＝VB ，AD ＝BD ，则下列结论中不一定成立的是 ()A ． AC ＝ BCB ． VC ⊥ VDC ． AB ⊥ VCD ． S △ VCD ·AB ＝S △ ABC ·VO答案B解析因为 VA ＝VB ，AD ＝ BD ，所以 VD ⊥AB ．因为 VO ⊥ 平面 ABC ，AB ? 平面 ABC ，所以 VO ⊥ AB ．又 VO ∩VD ＝V ，所以 AB ⊥ 平面 VCD ．又 CD? 平面 VCD ，VC? 平面 VCD ，所以 AB ⊥VC ， AB ⊥ CD ．又 AD ＝BD ，所以 AC ＝BC( 线段垂直平分线的性质 )．因为 VO ⊥ 平面 ABC ，1所以 V V － ABC ＝ 3S △ ABC ·VO ．因为 AB ⊥平面 VCD ，所以 V V － ABC ＝ V B － VCD ＋V A －VCD1 1＝ 3S △ VCD ·BD ＋3S△VCD·AD 1＝ 3S △ VCD ·(BD ＋ AD)1＝ 3S △ VCD ·AB ，所以1 △ 1 △3S ABC·VO ＝3S VCD·AB ，即 S△VCD·AB ＝S△ABC·VO ．综上知，A ，C，D 正确．10．如右图，定圆半径为a，圆心为 (b，c)，则直线 ax＋by＋c＝0 与直线 x－y＋ 1＝ 0 的交点在 ()A ．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限答案Bb＋ cax＋ by＋c＝0，x ＝－a＋b，解析解方程组得x－y＋1＝0，a－cy＝a＋b.观察题设中圆的位置，可知 a>0， b<0，c>0，且a＋b<0，b＋c<0， a－c>0，b＋ c a－ c所以 x＝－a＋b<0，y＝a＋b<0．．在正三棱柱11 1 中，若AB＝2，AA 1＝1，则点A到平面A 111ABC－ A B C BC 的距离为 ()3333A ．4B．2C．4D． 3答案B解析因为 ABC －A 1 1 1 是正三棱柱，AB＝2，所以底面三角形ABC的面B C积为3，所以 VA1 －ABC ＝1×3×1＝3．如图，在△ A 1中， 1 ＝ 1 ＝33BC A B A C 12＋22＝5，所以 BC 的中点 M 到 A 1的距离为 5 2－1＝ 2，所以 S△A1BC＝1×2×2＝2．设点 A 到平面 A的距离为，所以1·△· ＝－，21BC h 3SA1BC h VA1ABC解得 h＝23．12．若圆 C：x2＋ y2＋2x－4y＋ 3＝ 0 关于直线 2ax＋by＋6＝0 对称，则由点 (a，b)所作的圆的切线长的最小值是()A ． 2 B． 3 C．4 D．6答案C解析将圆 C： x2＋y2＋2x－4y＋ 3＝0 化为标准方程为 (x＋1)2＋(y－2)2＝2，∴圆心 C(－ 1，2)，半径 r＝ 2．∵圆 C 关于直线 2ax＋ by＋6＝0 对称，∴直线 2ax＋by＋ 6＝ 0 过圆心，将 x＝－ 1， y＝2 代入直线方程得－ 2a＋2b＋6＝0，即 a＝ b＋3．∵点 (a，b)与圆心的距离 d＝ a＋ 1 2＋ b－2 2，∴ 由点 (a，b)向圆 C 所作切线长 l＝ d2－r2＝ a＋ 1 2＋ b－2 2－ 2＝b＋4 2＋ b－2 2－2＝ 2 b＋1 2＋16≥ 4，当且仅当 b＝－ 1 时切线长最小，最小值为 4．第Ⅱ卷(非选择题，共 90 分)二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13．如图，已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，A∈l，B∈l ，AC? α，BD? β，AC ⊥l ， BD ⊥l，且 AB ＝4，AC ＝3，BD ＝ 12，则 CD＝________．答案13解析连接 BC(图略 )，因为 AC ⊥l， AC＝ 3， AB ＝ 4，所以 BC＝5．因为 BD⊥l ，l ＝α∩β，α⊥β， BD? β，所以 BD ⊥α．又BC? α，所以 BD ⊥BC．在Rt△ DBC 中，CD＝ BD 2＋BC2＝13．14．四边形 ABCD 中，A(0，0)，B(1，0)，C(2，1)，D(0，3)，若四边形 ABCD绕 y 轴旋转一周，则所得旋转体的体积为________．答案5π解析如右图所示，V 圆锥＝1 21＝12×2＝8π，V圆台＝1πh22＋ R2＋Rr)＝1π× ×2＋ 12＋2×1)＝73πr h3π× 233 (r3 1 (23π，∴ V ＝V 圆锥＋V 圆台＝5π．15．在△ ABC 中，高 AD 与 BE 所在直线的方程分别是x ＋5y－3＝0 和 x＋ y － 1＝ 0， AB 边所在直线的方程是 x ＋ 3y－ 1＝ 0，则△ ABC的顶点坐标分别是A________；B________； C________．答案(－2，1) (1，0) (2， 5)高 AD 与边 AB 所在直线的交点即为顶点 A ，联立x＋5y－3＝0，解析得x＋3y－1＝0，A( －2，1)．高 BE 与边 AB 所在直线的交点即为顶点B，联立x＋y－1＝0，得x＋3y－1＝0，B(1，0)．因为直线 AC 过点 A ，且与直线 BE 垂直，所以直线 AC 的方程为 y－ 1 ＝x ＋2，即y＝x＋3，同理，直线 BC 的方程为 y＝ 5(x－ 1)，联立两直线方程得 C(2，5)．16．如图，正三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于点 G，已知△ A ′ED是△ AED 绕 DE 翻折过程中的一个图形，现给出下列四个命题：①动点 A ′在平面 ABC 上的射影在线段AF 上；②恒有平面 A ′ GF⊥平面 BCED ；③三棱锥 A ′－ FED 的体积有最大值；④直线 A ′E 与 BD 不可能垂直．其中正确命题的序号是 ________．答案 ①②③解析 对于命题 ①， 由题意，知 A ′ G ⊥DE ，FG ⊥ DE ，A ′G ∩ FG ＝ G ，故 DE ⊥ 平面 A ′FG ．又 DE? 平面 ABC ，所以平面 A ′FG ⊥平面 ABC ，故该命题正确；对于命题 ②， 由①可知正确；对于命题 ③， 当 A ′ G ⊥平面 ABC 时，三棱锥 A ′ －FED 的体积有最大值 ，故命题 ③正确；对于命题 ④，当 A ′E 在平面 ABC 上的射影与直线 BD 垂直时，易证 A ′E 与 BD 垂直，故该命题不正确 ．三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明 、证明过程或演算步骤 )17．(本小题满分 10 分)已知直线 l ：kx － y ＋ 1－ 2k ＝0(k ∈R )．(1)证明：直线 l 过定点；(2)若直线 l 交 x 轴正半轴于点 A ，交 y 轴正半轴于点 B ，O 为坐标原点，且 |OA|＝ |OB|，求 k 的值．解 (1)证法一：直线 l 的方程可化为 y － 1＝k(x － 2)， 故无论 k 取何值，直线 l 总过定点 (2，1)．证法二：设直线过定点 (x 0， y 0)，则 kx 0－y 0＋1－2k ＝0 对任意 k ∈R 恒成立，x 0 －2＝0，即(x 0－2)k － y 0＋1＝0 恒成立，所以 － y 0＋1＝0，解得 x 0＝ 2， y 0 ＝1，故直线 l 总过定点 (2， 1)． (2)因直线 l 的方程为 y ＝kx －2k ＋ 1，1则直线 l 在 y 轴上的截距为 1－2k ，在 x 轴上的截距为 2－k ，依题意 1－ 2k ＝2－1，解得k ＝－ 1或 k ＝ 1经检验，不符合题意 ，所以所k >02()求 k ＝－ 1．18．(本小题满分 12 分 )如图所示是一个长方体截去一个角得到的几何体的直观图及主视图和左视图 (单位： cm)．(1)画出该多面体的俯视图，并标上相应的数据；(2)按照给出的数据，求该几何体的体积．解(1) 该几何体的俯视图如图所示 ．1 1 284 3)． (2) 该几何体的体积 V ＝ V 长方体 －V 三棱锥 ＝ 4× 4× 6－ 3×2× 2× 2× 2＝ 3 (cm 19．(本小题满分 12 分)已知动点 M 到点 A(2 ，0)的距离是它到点 B(8，0)的距离的一半，求：(1)动点 M 的轨迹方程；(2)若 N 为线段 AM 的中点，试求点N 的轨迹．解(1)设动点 M(x ， y)为轨迹上任意一点 ，则点 M 的轨迹就是集合 P ＝1M|MA| ＝2|MB| ．由两点间距离公式 ，点 M 适合的条件可表示为x － 22＋ y 2＝1x －8 2＋ y 2 ．2平方后再整理 ，得 x 2＋ y 2＝16．可以验证 ，这就是动点 M 的轨迹方程 ．(2)设动点 N 的坐标为 (x ，y)，M 的坐标是 (x 1，y 1)．由于 A(2 ， 0)，且 N 为线段 AM 的中点，2＋x 1 0＋ y 1所以 x ＝ 2 ， y ＝ 2 ．所以有 x 1＝2x － 2， y 1 ＝2y ．①由 (1)知，M 是圆 x 2＋ y 2＝16 上的点，22所以 M 的坐标 (x 1， y 1)满足 x 1＋y 1＝16．②22将 ①代入 ②整理 ，得(x － 1) ＋y ＝ 4．所以 N 的轨迹是以 (1， 0)为圆心，2 为半径的圆 ．20．(本小题满分 12 分 )如图，在四棱锥 P －ABCD 中，PA ⊥底面 ABCD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，AC ⊥CD ， E ， F 分别是 PC ，AC 的中点．证明： (1)BF∥平面 PCD；(2)AE ⊥平面 PCD．证明(1)因为∠ ABC ＝ 60°，AB ＝BC，所以△ABC 为等边三角形．又F 是 AC 的中点，所以 BF⊥AC ．又CD⊥AC ，且 BF，CD，AC 都在平面 ABCD 内，所以 BF∥CD．因为 CD? 平面 PCD，BF?平面 PCD，所以 BF∥平面 PCD．(2)由(1)知，△ ABC 为等边三角形，且PA＝AB ，所以 PA＝AC ．又 E 为 PC 的中点，所以 AE ⊥PC．因为 PA⊥底面 ABCD ，CD? 平面 ABCD ，所以 PA⊥CD．又CD⊥AC ，PA∩AC ＝A ，所以 CD⊥平面 PAC．又AE? 平面 PAC，所以 CD⊥AE ．又PC∩CD＝C，所以 AE ⊥平面 PCD．21．(本小题满分 12 分 )如图，在三棱台 ABC － DEF 中，平面 BCFE⊥平面 ABC ，∠ACB ＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC ＝3．(1)求证： BF ⊥平面 ACFD ．(2)求三棱台 ABC － DEF 的体积．解 (1)证明：延长 AD ， BE ， CF 相交于一点 K ，如图所示 ，因为平面 BCFE ⊥ 平面 ABC ，且 AC ⊥BC ，所以 AC ⊥平面 BCK ，所以 BF ⊥AC ，又因为 EF ∥ BC ， BE ＝ EF ＝FC ＝1，BC ＝2，所以 △BCK 为等边三角形 ，且 F 为 CK 的中点，则 BF ⊥ CK ，所以 BF ⊥ 平面 ACFD ．DF EF(2)由题意知 ，△ DEF 和△ABC 都是直角三角形且相似 ，所以 AC ＝ BC ，所以 EF 1 3DF ＝ BC ·AC ＝2×3＝2，S △DEF ＝ 1× EF × DF ＝ 1×1×3＝3，2 2 2 4 S △ ABC ＝1×AC ×BC ＝1×3×2＝3，22过点 E 作 EH ⊥BC ，垂足为 H ，则由平面 BCFE ⊥ 平面 ABC ，可得 EH ⊥ 平面ABC ，在等腰梯形 BCFE 中，EH ＝2 2－ 12＝ 31 －22 ，所以该三棱台的体积为 1 32 323 59 3 3×4 ＋4×3＋3 × 2 ＝ 32 ．22．(本小题满分 12 分)已知圆 O ：x 2＋y 2＝4，点 P 是直线 l ：x ＝4 上的动点．(1)若从点 P 到圆 O 的切线长为 2 3，求点 P 的坐标以及两条切线所夹的劣弧长；(2)若点 A(－ 2，0)，B(2，0)，直线 PA ，PB 与圆 O 的另一交点分别为 M ，N ，求证：直线 MN 经过定点 Q(1，0)．解 (1)依题意，设 P(4， t)．设两切点分别为 C ，D ，则 OC ⊥PC ，OD ⊥PD ．由题意可知 |PO|2＝|OC|2 ＋|PC|2，即 42＋t 2＝ 22＋(2 3)2，解得 t ＝0， 所以点 P 的坐标为 (4，0)．在 Rt △ POC 中，可求得 ∠POC ＝60°，所以 ∠DOC ＝120°，120° 4π 所以所求两条切线所夹的劣弧长为2π×2×＝．360° 3(2)证明：设 M(x 1， y 1 )，N(x 2，y 2)．PA 的方程为 y ＝ t依题意，可得直线 6(x ＋ 2)，t由 y ＝6 x ＋2， 得(t 2＋36)x 2＋4t 2x ＋4t 2－144＝ 0．x 2＋ y 2＝4，因为直线 PA 经过点 A( － 2， 0)，M(x 1，y 1 ，) 所以－ 2，x 1 是上述方程的两个根 ，2－144－2 则－ 2x 1＝4t 2＋36 ，即 x 1＝7222t ， tt ＋ 36t代入直线方程 y ＝ 6(x ＋ 2)，t 72－ 2t 224t得 y 1＝ 6 t 2＋ 36 ＋2＝t 2＋ 36．t同理，可得直线 PB 的方程为 y ＝ 2(x －2)．t由y ＝2x －2 ，得(t 2＋4)x 2－4t 2x ＋4t 2－ 16＝0．x 2＋ y 2＝4，因为直线 PB 经过点 B(2，0)，N(x 2， y 2 )，所以 2，x 2 是上述方程的两个根 ，4t 2－162t 2－8则 2x 2＝ t 2＋4 ，即 x 2＝ t 2＋4 ，t代入直线方程 y ＝ 2(x － 2)，2t 2－8 －8t得 y 2＝ t 2－2＝ 2．2 t ＋ 4t ＋42t 2－8＝1，若 x 1＝1，则 t 2＝12，此时 x 2＝ 2t ＋ 4显然 M ，N 在直线 x ＝1 上，所以直线 MN 经过定点 Q(1，0)．若 x 1≠1，则 t 2≠12， x 2≠1，24t1t 2＋36－ 8t由 k MQ ＝y－ 0＝ 2＝2，x 1－ 1 72－2tt －12t 2 ＋36 －1－ 8tk NQ ＝y2－0＝t 2＋4－ 8t，可知 k MQ ＝ k NQ ，2＝ 2x 2－12t － 8t －12t 2＋4 － 1所以 M ，Q ，N 三点共线 ，即直线 MN 经过定点 Q(1， 0)．综上所述 ，直线 MN 经过定点 Q(1，0)．。

高中数学 综合质量评估(含解析)新人教A版必修2

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【全程复习方略】2013-2014学年高中数学综合质量评估（含解析）新人教A版必修2(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2013·南充高二检测)直线x=1的倾斜角和斜率分别是( )A.45°,1B.135°,-1C.90°,不存在D.180°,不存在2.(2013·温州高二检测)直线y-2=mx+m经过一定点,则该点的坐标为( )A.(-1,2)B.(2,-1)C.(1,2)D.(2,1)3.(2013·南昌高二检测)过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( )A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0D.x-2y+3=04.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是( )A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n⊂αC.m∥n,n⊥β,m⊂αD.m∥n,m⊥α,n⊥β5.(2013·长春高二检测)一个圆柱的轴截面为正方形,其体积与一个球的体积之比是3∶2,则这个圆柱的侧面积与这个球的表面积之比为( )A.1∶1B.1∶C.∶D.3∶26.过点A(4,a)和点B(5,b)的直线与直线y=x+m平行,则|AB|的值为( )A.6B.C.2D.7.已知圆的方程为x2+y2-2x+6y+8=0,那么下列直线中经过圆心的直线的方程为( ) A.2x-y+1=0 B.2x-y-1=0C.2x+y+1=0D.2x+y-1=08.如图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4,腰长为4的等腰梯形,则该几何体的侧面积是( )A.6πB.12πC.18πD.24π9.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是( )A.36B.18C.6D.510.在正方体ABCD -A1B1C1D1中,过A,C,D的平面与过D,B1,B的平面的位置关系是( ) A.相交不垂直 B.相交成60°角C.互相垂直D.互相平行11.过点P(-2,4)作圆(x-2)2+(y-1)2=25的切线l,直线l1:ax+3y+2a=0与l平行,则l1与l间的距离是( )A. B. C. D.12.已知圆x2+y2=4与圆x2+y2-6x+6y+14=0关于直线l对称,则直线l的方程是( ) A.x-2y+1=0 B.2x-y-1=0C.x-y+3=0D.x-y-3=0二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.(2012·上海高考)一个高为2的圆柱,底面周长为2π,则该圆柱的表面积为.14.若点P(-4,-2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a,b,c),(e,f,d),则c+e= .15.圆C的半径为1,圆心在第一象限,与y轴相切,与x轴相交于点A,B,若|AB|=,则该圆的标准方程是.16.若圆(x-1)2+(y+1)2=R2上有且仅有两个点到直线4x+3y=11的距离等于1,则半径R的取值范围是.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知直线l过点P(-2,1).(1)当直线l与点B(-5,4),C(3,2)的距离相等时,求直线l的方程.(2)当直线l与x轴、y轴围成的三角形的面积为时,求直线l的方程.18.(12分)已知一四棱锥P-ABCD的三视图如图,E是侧棱PC上的动点.(1)求四棱锥P-ABCD的体积.(2)是否不论点E在何位置,都有B D⊥AE?证明你的结论.19.(12分)已知圆M过两点C(1,-1),D(-1,1),且圆心M在x+y-2=0上.(1)求圆M的方程.(2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆M的两条切线,A,B为切点,求四边形PAMB面积的最小值.20.(12分)(2013·广州高二检测)如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB,F 为CD的中点.求证:(1)AF∥平面BCE.(2)平面BCE⊥平面CDE.21.(12分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4.(1)若平面上有两点A(1,0),B(-1,0),点P是圆C上的动点,求使|AP|2+|BP|2取得最小值时点P的坐标.(2)若Q是x轴上的点,QM,QN分别切圆C于M,N两点,若|MN|=2,求直线QC的方程.22.(12分)(能力挑战题)如图,在平面直角坐标系xOy中,A(a,0)(a>0),B(0,a),C(-4,0),D(0,4),设△AOB的外接圆圆心为E.(1)若圆E与直线CD相切,求实数a的值.(2)设点P在圆E上,使△PCD的面积等于12的点P有且只有3个,试问这样的圆E是否存在?若存在,求出圆E的标准方程;若不存在,说明理由.答案解析1.【解析】选C.由于直线x=1与x轴垂直,故其倾斜角为90°,斜率不存在.2.【解析】选A.将直线方程化为y-2-m(x+1)=0,则当x=-1时,y=2,即直线过定点(-1,2).【拓展提升】揭秘“直线过定点”题含有参数的关于x,y的二元一次方程表示直线时,都经过定点,这个定点的求法可以按如下思路:(1)任取参数的两个值,得到两个直线方程,联立这两个方程,解出方程组的解,就是直线过的定点(对任意的参数都成立,故对特殊的也成立,用到了由一般到特殊的思想).(2)将x,y看成参数的系数,化成A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0的形式,因为上式对任意的λ恒成立,所以需由方程组得到的解即为直线过的定点.3.【解析】选A.结合图形可知,所求直线为过点(1,2)且与原点和点(1,2)连线垂直的直线,其斜率为-,故所求直线方程为y-2=-(x-1),即x+2y-5=0.4.【解析】选C.对于选项C,因为m∥n,n⊥β,所以m⊥β,又因为m α,所以α⊥β.5.【解析】选A.设圆柱的高为2,球的半径为r,则V球=πr3=π,解得r=1,故所求比为1∶1.6.【解析】选D.由k AB=1,得b-a=1,所以|AB|===.7.【解析】选C.将圆的方程化为(x-1)2+(y+3)2=2,圆心为(1,-3),而(1,-3)满足2x+y+1=0,所以直线2x+y+1=0过圆心.8.【解析】选B.因为正视图和侧视图都是等腰梯形,俯视图是一个圆环,所以该几何体是一个圆台,且圆台的上、下底半径分别为1和2,母线长为4,所以S侧=π(r+r′)l=π·(1+2)×4=12π.9.【解析】选C.x2+y2-4x-4y-10=0化为标准式:(x-2)2+(y-2)2=18,则圆心(2,2)到直线x+y-14=0的距离d==5,半径r=3,圆上的点到直线的最小距离为d-r,最大距离为d+r,所以最大距离与最小距离的差为2r=6.10.【解析】选C.如图.因为BB1⊥面ABCD,且BB1 面BB1D,所以面ABCD⊥面BB1D,故选C.11. 【解析】选B.直线l1的斜率k=-,l1∥l,又l过P(-2,4),所以l:y-4=-(x+2),即ax+3y+2a-12=0,又直线l与圆相切,所以=5,所以a=-4,所以l1与l的距离为d=.12.【解析】选D.两圆关于直线l对称,则直线l为两圆圆心连线的垂直平分线,圆x2+y2=4的圆心为O(0,0),圆x2+y2-6x+6y+14=0的圆心为P(3,-3),则线段OP的中点为Q(,-),其斜率k OP==-1.则直线l的斜率为k=1,故直线l的方程为y-(-)=x-,即x-y-3=0.13.【解析】设圆柱的底面圆的半径为r(r>0),高为h,则2πr=2π,所以r=1,得圆柱的表面积S=2πr2+2πh=2π+4π=6π.答案:6π14.【解析】点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是(-4,-2,-3),关于y轴的对称点坐标是(4,-2,-3),从而c+e=1.答案:115.【解析】根据|AB|=,可得圆心到x轴的距离为,故圆心坐标为(1,),故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-)2=1.答案:(x-1)2+(y-)2=116.【解析】圆心到直线的距离为2,又圆(x-1)2+(y+1)2=R2上有且仅有两个点到直线4x+3y=11的距离等于1,结合图形可知,半径R的取值范围是1<R<3.答案:(1,3)17.【解析】(1)①当直线l与直线BC平行时,k l=k BC=-,所以直线l的方程为y-1=-(x+2),即x+4y-2=0;②当直线l过线段BC的中点时,线段BC的中点坐标为(-1,3),所以直线l的方程为=,即2x-y+5=0.综合①②,直线l的方程为x+4y-2=0或2x-y+5=0.(2)设直线l的方程为+=1,则解得或所以直线l的方程为x+y+1=0或x+4y-2=0.18.【解析】(1)由已知中的三视图,得:棱锥的底面面积S四边形ABCD=1×1=1,棱锥的高PC=2,故棱锥的体积V=×S四边形ABCD×2=.(2)连接AC,交BD于O,则AC⊥BD,又因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥BD,又因为AC∩PC=C,所以BD⊥平面PAC,又因为AE 平面PAC,所以BD⊥AE,即不论点E在何位置,都有BD⊥AE.19.【解析】(1)设圆M的方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).根据题意,得解得a=b=1,r=2,故所求圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.(2)因为四边形PAMB的面积S=S△PAM+S△PBM=|AM|·|PA|+|BM|·|PB|, 又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|,所以S=2|PA|,而|PA|==,即S=2.因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可,即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小,所以|PM|min==3,所以四边形PAMB面积的最小值为S=2=2=2.20.【证明】(1)取CE的中点G,连接FG,BG.因为F为CD的中点,所以GF∥DE且GF=DE.因为AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,所以AB∥DE,所以GF∥AB.又因为AB=DE,所以GF=AB.所以四边形GFAB为平行四边形,则AF∥BG.因为AF⊄平面BCE,BG⊂平面BCE,所以AF∥平面BCE.(2)因为△ACD为等边三角形,F为CD的中点,所以AF⊥CD,因为DE⊥平面ACD,AF⊂平面ACD,所以DE⊥AF.又CD∩DE=D,故AF⊥平面CDE.因为BG∥AF,所以BG⊥平面CDE.因为BG 平面BCE,所以平面BCE⊥平面CDE.21.【解析】(1)设P(x,y),则|AP|2+|BP|2=(x-1)2+y2+(x+1)2+y2=2(x2+y2)+2=2|OP|2+2,要使|AP|2+|BP|2取得最小值只要使|OP|最小即可.又P为圆上的点,所以|OP|min=|OC|-r=-2=3, 所以(|AP|2+|BP|2)min=2×32+2=20,此时直线OC:y=x,由解得或(舍去),所以点P的坐标为(,).(2)设Q(x0,0),因为圆C的半径r=2,而|MN|=2,则∠MCN=,又△QCN≌△QCM,∠MC Q=,∠CMQ=,|CM|=2,所以|QC|=4,(x0-3)2+(0-4)2=16,所以x0=3,所求直线QC的方程为:x=3.22.【解析】(1)直线CD的方程为y=x+4,圆E的圆心为E(,),半径为r= a.由题意得=a,解得a=4.(2)因为|CD|==4,所以当△PCD面积为12时,点P到直线CD的距离为3.又圆心E到直线CD距离为2(定值),要使△PCD的面积等于12的点P有且只有3个,需圆E的半径=5,解得a=10,此时,圆E的标准方程为(x-5)2+(y-5)2=50.。

高中数学必修二全册综合验收评价

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全册综合验收评价(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)解析：选D12a ＝⎝⎛⎭⎫12，12，32b ＝⎝⎛⎭⎫32，－32， 故12a －32b ＝(－1,2)． 2．某学校有老师200人，男学生1 200人，女学生1 000人，现用分层随机抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n 的样本，已知女学生一共抽取了80人，则n 的值是 ( ) A ．193 B ．192 C ．191 D ．190解析：选B1 000200＋1 200＋1 000＝80n，解得n ＝192.3．已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z 等于( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i解析：选C 由(z －1)i ＝1＋i ，两边同乘以－i ，则有z －1＝1－i ，所以z ＝2－i. 4．已知向量a 与b 的夹角为30°，且|a |＝1，|2a －b |＝1，则|b | 等于( )A. 6B.5C. 3D.2解析：选C 由题意可得a ·b ＝|b |cos 30°＝32|b |，4a 2－4a ·b ＋b 2＝1，即4－23|b |＋b 2＝1，由此求得|b |＝3，故选C.5.某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据 的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是 ( ) A ．45 B ．50 C ．55D ．60解析：选B 由频率分布直方图，知低于60分的频率为(0.01＋0.005)×20＝0.3.∴该班学生人数n ＝150.3＝50. 6．已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为 ( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD.32cm 解析：选B S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π，∴r 2＝4，∴r ＝2(cm)．7．已知向量a ＝(cos θ－2，sin θ)，其中θ∈R ，则|a |的最小值为 ( )A ．1B ．2 C. 5D ．3解析：选A 因为a ＝(cos θ－2，sin θ)，所以|a |＝(cos θ－2)2＋sin 2θ＝1－4cos θ＋4＝5－4cos θ，因为θ∈R ，所以－1≤cos θ≤1，故|a |的最小值为5－4＝1.故选A.8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝( )A ．3 3 B.2633C.2393D.292解析：选C 设△ABC 的面积为S ，由题意知S ＝12bc sin A ，即3＝12c ·sin 60°，解得c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋16－8×12＝13，即a ＝13.由正弦定理可得a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A＝1332＝2393.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)9．在某次高中学科竞赛中，4 000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是( )A ．成绩在[70,80)分的考生人数最多B ．不及格的考生人数为1 000C ．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D ．考生竞赛成绩的中位数为75分解析：选ABC 由频率分布直方图可得，成绩在[70,80)内的频率最高，因此考生人数最多，故A 正确；由频率分布直方图可得，成绩在[40,60)的频率为0.25，因此，不及格的人数为4 000×0.25＝1 000，故B 正确；由频率分布直方图可得，平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，故C 正确；因为成绩在[40,70)内的频率为0.45，[70,80)的频率为0.3，所以中位数为70＋10×0.050.3≈71.67，故D 错误．故选A 、B 、C.10.如图，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，动点E 在线段A 1C 1上，F ，M 分别是AD ，CD 的中点，则下列结论中正确的是( ) A ．FM ∥A 1C 1 B ．BM ⊥平面CC 1FC ．存在点E ，使得平面BEF ∥平面CC 1D 1D D ．三棱锥B ­CEF 的体积为定值解析：选ABD 在A 中，因为F ，M 分别是AD ，CD 的中点，所以FM ∥AC ∥A 1C 1，故A 正确；在B 中，因为tan ∠BMC ＝BC CM ＝2，tan ∠CFD ＝CDFD ＝2，所以∠BMC ＝∠CFD ，所以∠BMC ＋∠DCF ＝∠CFD ＋∠DCF ＝π2，故BM ⊥CF ，又BM ⊥C 1C ，CF ∩C 1C ＝C ，所以BM ⊥平面CC 1F ，故B 正确；在C 中，BF 与平面CC 1D 1D 有交点，所以不存在点E ，使得平面BEF ∥平面CC 1D 1D ，故C 错误；在D 中，若三棱锥B ­CEF 以面BCF 为底，则高是定值，所以三棱锥B ­CEF 的体积为定值，故D 正确．故选A 、B 、D.11．空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：AQI 指数值0～ 51～ 101～ 151～ 201～ ＞30050100150200300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市12月1日～20日AQI指数变化趋势：下列叙述正确的是() A．这20天中AQI指数值的中位数略高于100B．这20天中的中度污染及以上的天数占14C．该市12月的前半个月的空气质量越来越好D．总体来说，该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好解析：选ABD对A：将这20天的数据从小到大排序后，第10个数据略小于100，第11个数据约为120，因为中位数是这两个数据的平均数，故中位数略高于100是正确的，故A正确；对B：这20天中，AQI指数大于150的有5天，故中度污染及以上的天数占14是正确的，故B正确；对C：由折线图可知，前5天空气质量越来越好，从6日开始至15日越来越差，故C错误；对D：由折线图可知，上旬AQI指数大部分在100以下，中旬AQI指数大部分在100以上，故上旬空气质量比中旬的要好，故D正确．故选A、B、D.12.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且BC―→＝3EC―→，F为AE的中点，则()A．BC―→＝－12AB―→＋AD―→B．AF―→＝13AB―→＋13AD―→C．BF―→＝－23AB―→＋13AD―→D．CF―→＝16AB―→－23AD―→解析：选ABC ∵ AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2DC ， 由向量加法的三角形法则得BC ―→＝BA ―→＋AD ―→＋DC ―→＝－AB ―→＋AD ―→＋12AB ―→ ＝－12AB ―→＋AD ―→，A 对；∵BC ―→＝3EC ―→，∴BE ―→＝23BC ―→＝－13AB ―→＋23AD ―→，∴AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋＝23AB ―→＋23AD ―→，又F 为AE 的中点， ∴AF ―→＝12AE ―→＝13AB ―→＋13AD ―→，B 对；∴BF ―→＝BA ―→＋AF ―→＝－AB ―→＋13AB ―→＋13AD ―→＝－23AB ―→＋13AD ―→，C 对；∴CF ―→＝CB ―→＋BF ―→＝BF ―→－BC ―→ ＝－23AB ―→＋13AD ―→－＝－16AB ―→－23AD ―→，D 错．故选A 、B 、C.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设0＜θ＜π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________.解析：∵a ∥b ，∴sin 2θ×1－cos 2θ＝0， ∴2sin θcos θ－cos 2θ＝0，∵0＜θ＜π2，∴cos θ＞0，∴2sin θ＝cos θ，∴tan θ＝12.答案：1214．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B的值为________．解析：由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B ，结合已知等式得cos B ·tan B ＝32，∴sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3.答案：π3或2π315.如图所示，已知在长方体ABCD ­EFGH 中，AB ＝23，AD ＝23，AE＝2，则BC 和EG 所成角的大小是________，AE 和BG 所成角的大小是________．解析：∵BC 与EG 所成的角等于EG 与FG 所成的角，即∠EGF ，tan ∠EGF ＝EF FG ＝2323＝1，∴∠EGF ＝45°.∵AE 与BG 所成的角等于BF 与BG 所成的角，即∠GBF ，tan ∠GBF ＝GF BF ＝232＝3，∴∠GBF ＝60°.答案：45° 60°16．在四面体S ­ABC 中，SA ＝SB ＝2，且SA ⊥SB ，BC ＝5，AC ＝3，则该四面体体积的最大值为______，该四面体外接球的表面积为________． 解析：因为SA ＝SB ＝2，且SA ⊥SB ，BC ＝5，AC ＝3， 所以AB ＝2SA ＝22，因此BC 2＋AC 2＝AB 2，则AC ⊥BC . 如图，取AB 中点为O ，连接OS ，OC ， 则OA ＝OB ＝OC ＝OS ＝2，所以该四面体的外接球的球心为O ，半径为OC ＝2， 所以该四面体外接球的表面积为 S ＝4π·(2)2＝8π.又因为SA ＝SB ，所以SO ⊥AB .因为底面三角形ABC 的面积为定值12AC ·BC ＝152，SO 的长也为确定的值 2，因此，当SO ⊥平面ABC 时，四面体的体积最大，为V ＝13S △ABC ·SO ＝306.答案：3068π四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解：(1)因为m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n ，所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12. 因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.18．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos B ＝33，sin(A ＋B )＝69，ac ＝23， 求sin A 和c 的值． 解：在△ABC 中，由cos B ＝33，得sin B ＝63， 因为A ＋B ＋C ＝π， 所以sin C ＝sin(A ＋B )＝69. 因为sin C ＜sin B ，所以C ＜B ，可知C 为锐角． 所以cos C ＝539.因此sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝63×539＋33×69＝223.由a sin A ＝c sin C ，可得a ＝c sin Asin C ＝223c 69＝23c ， 又ac ＝23，所以c ＝1.19．(12分)2019年全国移动互联创新大赛在3月到10月期间举行，为了选出优秀选手，某高校先在计算机科学系选出一名种子选手甲，再从全校征集出3位志愿者分别与甲进行一场技术对抗赛，根据以往经验，甲与这三位志愿者进行比赛一场获胜的概率分别为34，35，23，且各场输赢互不影响．求甲恰好获胜两场的概率． 解：设甲与三位志愿者比赛一场获胜的事件分别为A ，B ，C ，则P (A )＝34，P (B )＝35，P (C )＝23，则甲恰好获胜两场的概率为： P ＝P (A － BC )＋P (A B － C )＋P (AB C －)＝P (A －)·P (B )·P (C )＋P (A )·P (B －)·P (C )＋P (A )·P (B )·P (C －) ＝⎝⎛⎭⎫1－34×35×23＋34×⎝⎛⎭⎫1－35×23＋34×35×⎝⎛⎭⎫1－23＝920. 20.(12分)如图，三棱台DEF ­ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC的 中点．(1)求证：BD ∥平面FGH ；(2)若CF ⊥BC ，AB ⊥BC ，求证：平面BCD ⊥平面EGH . 证明：(1)如图，连接DG ，CD ， 设CD ∩GF ＝M ，连接MH .在三棱台DEF ­ABC 中，AB ＝2DE ，G 为AC 的中点，可得DF ∥GC ， DF ＝GC ，所以四边形DFCG 为平行四边形，则M 为CD 的中点．又H 为BC 的中点，所以HM ∥BD . 又HM ⊂平面FGH ，BD ⊄平面FGH ， 所以BD ∥平面FGH .(2)连接HE，GE.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE.因为CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE⊂平面EGH，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.21．(12分)交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，记交通指数为T，其范围为[0,10]，分别有五个级别：T∈[0,2)，畅通；T∈[2,4)，基本畅通；T∈[4,6)，轻度拥堵；T∈[6,8)，中度拥堵；T∈[8,10]，严重拥堵．在晚高峰时段(T≥2)，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示．(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数；(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率．解：(1)由频率分布直方图得，这20个交通路段中，轻度拥堵的路段有(0.1＋0.2)×1×20＝6(个)，中度拥堵的路段有(0.25＋0.2)×1×20＝9(个)，严重拥堵的路段有(0.1＋0.05)×1×20＝3(个)．(2)由(1)知，拥堵路段共有6＋9＋3＝18(个)，按分层抽样，从18个路段中抽取6个，则抽取的三个级别路段的个数分别为618×6＝2，618×9＝3，618×3＝1，即从交通指数在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1.(3)记抽取的2个轻度拥堵路段为A 1，A 2，抽取的3个中度拥堵路段为B 1，B 2，B 3，抽取的1个严重拥堵路段为C 1，从这6个路段中抽取2个路段，试验的样本空间为Ω＝{(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，C 1)，(B 2，B 3)，(B 2，C 1)，(B 3，C 1)}，共15个样本点，其中至少有1个路段为轻度拥堵包含的样本点有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，共9个． 所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为915＝35.22．(12分)如图，在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB ＝2，AA 1＝2，由顶点B 沿棱柱侧面经过棱AA 1到顶点C 1的最短路线与棱AA 1的交点记为M ，求： (1)三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)该最短路线的长及A 1MAM 的值；(3)平面C 1MB 与平面ABC 所成二面角(锐角)的大小．解：(1)正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形，其对角线长为62＋22＝40＝210.(2)如图，将侧面AA 1B 1B 绕棱AA 1旋转120°使其与侧面AA 1C 1C 在同一平面上，点B 运动到点D 的位置．连接DC 1交AA 1于M ，则DC 1是由顶点B 沿棱柱侧面经过棱AA 1到顶点C 1的最短路线， ∴DC 1＝DC 2＋CC 21＝42＋22＝20＝2 5.∵∠DMA ＝∠A 1MC 1，∠MAD ＝∠MA 1C 1，DA ＝A 1C 1，∴△DMA ≌△C 1MA 1，∴AM ＝A 1M ，故A 1M AM ＝1. 即最短路线的长为25，此时A 1MAM ＝1.(3)如图，连接DB，则DB是平面C1MB与平面ABC的交线．在△DCB中，∠DBC＝∠CBA＋∠ABD＝60°＋30°＝90°，∴CB⊥DB.又∵平面CBB1C1⊥平面ABC，平面CBB1C1∩平面ABC＝BC，DB⊂平面ABC，∴DB⊥平面CBB1C1，∴C1B⊥DB，∴∠C1BC是平面C1MB与平面ABC所成二面角的平面角(锐角)．∵侧面CBB1C1是正方形，∴∠C1BC＝45°，故平面C1MB与平面ABC所成的二面角(锐角)为45°.。

新教材 人教A高中数学必修第二册全册各章测验及模块综合测验 精选最新配套习题含解析

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人教A 必修第二册各章综合测验1、平面向量及其应用............................................................................................................ - 1 -2、复数 ................................................................................................................................. - 11 -3、立体几何初步 ................................................................................................................. - 17 -4、统计 ................................................................................................................................. - 30 -5、概率 ................................................................................................................................. - 41 - 模块综合测验 ....................................................................................................................... - 52 -1、平面向量及其应用(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．6 B ．5 C ．1D ．－6A [由向量数量积公式知，(2a ＋b )·a ＝(3,0)·(2，－1)＝6.]2．设非零向量a ，b ，c 满足|a|＝|b|＝|c|，a ＋b ＝c ，则向量a ，b 的夹角为( ) A ．150° B ．120° C ．60°D ．30°B [设向量a ，b 夹角为θ， |c|2＝|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos θ，则cos θ＝－12，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.故选B ．]3．已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)，且a ＋b 与a 共线，则a ·b 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4 A [a ＋b ＝(3，k ＋2)，∵a ＋b 与a 共线， ∴3k －(k ＋2)＝0，解得k ＝1.]4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，则sin(B ＋C )的值为( )A ．－45B ．45C ．－35D ．35B [由b 2＋c 2－a 2＝65bc ，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35，则sin(B ＋C )＝sin A ＝45.]5．已知点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值是( )A ．－25B ．25C ．－24D ．24A [因为|AB →|2＋|BC →|2＝9＋16＝25＝|CA →|2， 所以∠ABC ＝90°，所以原式＝AB →·BC →＋CA →(BC →＋AB →)＝0＋CA →·AC → ＝－AC →2＝－25.]6．已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →，则实数a 等于( )A ．2B ．1C ．45D ．53A [设C (x ，y )，则AC →＝(x －7，y －1)，CB →＝(1－x,4－y )， ∵AC →＝2CB →，∴⎩⎨⎧ x －7＝2(1－x )，y －1＝2(4－y )，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝3，∴C (3,3)，又∵C 在直线y ＝12ax 上，所以3＝12a ×3， ∴a ＝2.]7．如图，在△ABC 中，AD →＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A ．49B ．89C ．23D ．43 B [∵BP →＝13BD →， ∴AP →－AB →＝13(AD →－AB →)， ∴AP →＝23AB →＋13AD →，又AD →＝23AC →， ∴AP →＝23AB →＋29AC →＝λAB →＋μAC →， ∴λ＝23，μ＝29，∴λ＋μ＝89.]8．已知点M 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆内(含边界)一动点，则MA →·MB →的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[－1,2]C ．[－1,3]D ．[－1,4]C [建立如图所示坐标系，设M (x ，y )，其中A (－1，－1)，B (1，－1)，易知x 2＋y 2≤1，而MA →·MB →＝(－1－x ，－1－y )·(1－x ，－1－y )＝x 2＋(y ＋1)2－1，若设E (0，－1)，则MA →·MB →＝|ME →|2－1，由于0≤|ME →|≤2，所以MA →·MB →＝|ME →|2－1的取值范围是[－1,3]，故选C ．] 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．对任意向量a ，b ，下列关系式中恒成立的是( ) A ．|a ·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2ACD [|a ·b |＝|a |·|b |·|cos 〈a ，b 〉|≤|a |·|b |，故A 正确；由向量的运算法则知C ，D 正确；当b ＝－a ≠0时，|a －b |＞||a |－|b ||，故B 错误．故选ACD ．]10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝π6，a ＝2，c ＝23，则角C 的大小是( )A ．π6B ．π3C ．5π6D ．2π3BD [由正弦定理可得a sin A ＝c sin C ，所以sin C ＝c a sin A ＝32，而a ＜c ，所以A ＜C ，所以π6＜C ＜56π，故C ＝π3或23π.]11．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足B ＝π3，a ＋c ＝3b ，则ac ＝( )A ．2B ．3C ．12D ．13AC [∵B ＝π3，a ＋c ＝3b ， ∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝3b 2，①由余弦定理可得，a 2＋c 2－2ac cos π3＝b 2，② 联立①②，可得2a 2－5ac ＋2c 2＝0， 即2⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2－5⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋2＝0，解得a c ＝2或a c ＝12.故选AC ．]12．点P 是△ABC 所在平面内一点，满足|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2P A →|＝0，则△ABC 的形状不可能是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形ACD [∵P 是△ABC 所在平面内一点，且 |PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2P A →|＝0， ∴|CB →|－|(PB →－P A →)＋(PC →－P A →)|＝0， 即|CB →|＝|AC →＋AB →|， ∴|AB →－AC →|＝|AC →＋AB →|，两边平方并化简得AC →·AB →＝0，∴AC →⊥AB →，∴∠A ＝90°，则△ABC 一定是直角三角形．故选ACD ．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．与向量a ＝(1,2)平行，且模等于5的向量为________．(1,2)或(－1，－2) [因为所求向量与向量a ＝(1,2)平行，所以可设所求向量为(x,2x )，又因为其模为5，所以x 2＋(2x )2＝5，解得x ＝±1.因此所求向量为(1,2)或(－1，－2)．]14．已知向量a ＝(m,2)，b ＝(－1，n )(n ＞0)，且a ·b ＝0，点P (m ，n )在圆x 2＋y 2＝5上，则m ＋n ＝________，|2a ＋b |＝________.(本题第一空2分，第二空3分)334 [因为向量a ＝(m,2)，b ＝(－1，n )(n ＞0)，且a ·b ＝0，P (m ，n )在圆x 2＋y 2＝5上，∴⎩⎨⎧－m ＋2n ＝0，m 2＋n 2＝5，解得m ＝2，n ＝1，即m ＋n ＝2＋1＝3. ∴2a ＋b ＝(3,5)，∴|2a ＋b |＝34.]15．在△ABC 中，S △ABC ＝14(a 2＋b 2－c 2)，b ＝1，a ＝2，则c ＝________.1 [∵S △ABC ＝12ab sin C ， ∴12ab sin C ＝14(a 2＋b 2－c 2)， ∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ．由余弦定理得，2ab cos C ＝2ab sin C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°，∴c ＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3－2＝1.]16．如图所示，半圆的直径AB ＝2，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值是________．－12 [因为点O 是AB 的中点， 所以P A →＋PB →＝2PO →，设|PC →|＝x ，则|PO →|＝1－x (0≤x ≤1)， 所以(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2x (1－x ) ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－12. 所以当x ＝12时，(P A →＋PB →)·PC →取到最小值－12.]四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求|a ＋b |；(2)求向量a 在向量a ＋b 方向上的投影． [解] (1)因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， 所以4|a |2－4a·b －3|b |2＝61.因为|a |＝4，|b |＝3，所以a·b ＝－6， 所以|a ＋b |＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝42＋32＋2×(－6)＝13.(2)因为a ·(a ＋b )＝|a |2＋a·b ＝42－6＝10，所以向量a 在向量a ＋b 方向上的投影为a ·(a ＋b )|a ＋b |＝1013＝101313.18．(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系中，|OA →|＝2|AB →|＝2，∠OAB＝2π3，BC →＝(－1，3)．(1)求点B ，C 的坐标；(2)求证：四边形OABC 为等腰梯形．[解] (1)连接OB (图略)，设B (x B ，y B )，则x B ＝|OA →|＋|AB →|·cos(π－∠OAB )＝52， y B ＝|AB →|·sin(π－∠OAB )＝32，∴OC →＝OB →＋BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32＋(－1，3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332. (2)证明：∵OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332， AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴OC →＝3AB →，∴OC →∥AB →. 又易知OA 与BC 不平行， |OA →|＝|BC →|＝2，∴四边形OABC 为等腰梯形．19．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c ＝3a sin C －c cos A ．(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c . [解] (1)由c ＝3a sin C －c cos A ，及正弦定理得 3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. 而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.20．(本小题满分12分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． [解] (1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1， 所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)， 所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0， ①sin α＋sin β＝1， ②由①得，cos α＝cos(π－β)， 由0＜β＜π，得0＜π－β＜π. 又0＜α＜π，故α＝π－β. 代入sin α＋sin β＝1， 得sin α＝sin β＝12， 而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.21．(本小题满分12分)如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，OP →＝x ·OA →＋y ·OB →.(1)若BP →＝P A →，求x ，y 的值；(2)若BP →＝3P A →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°时，求OP →·AB →的值． [解] (1)∵BP →＝P A →， ∴BO →＋OP →＝PO →＋OA →， 即2OP →＝OB →＋OA →，∴OP →＝12OA →＋12OB →，即x ＝12，y ＝12. (2)∵BP →＝3P A →，∴BO →＋OP →＝3PO →＋3OA →， 即4OP →＝OB →＋3OA →，∴OP →＝34O A →＋14OB →.∴x ＝34，y ＝14. OP →·AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34OA →＋14OB →·(OB →－OA →)＝14OB →·OB →－34OA →·OA →＋12OA →·OB →＝14×22－34×42＋12×4×2×12＝－9.22．(本小题满分12分)如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B 与小岛A 、小岛C 相距都为5 n mile ，与小岛D 相距为3 5 n mile.小岛A 对小岛B 与D 的视角为钝角，且sin A ＝35.(1)求小岛A 与小岛D 之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积； (2)记小岛D 对小岛B 与C 的视角为α，小岛B 对小岛C 与D 的视角为β，求sin(2α＋β)的值．[解] (1)∵sin A ＝35，且角A 为钝角， ∴cos A ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45. 在△ABD 中，由余弦定理得：AD 2＋AB 2－2AD ·AB ·cos A ＝BD 2. ∴AD 2＋52－2AD ·5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝(35)2⇒AD 2＋8AD －20＝0. 解得AD ＝2或AD ＝－10(舍)．∴小岛A 与小岛D 之间的距离为2 n mile. ∵A ，B ，C ，D 四点共圆， ∴角A 与角C 互补．∴sin C ＝35，cos C ＝cos(180°－A )＝－cos A ＝45. 在△BDC 中，由余弦定理得： CD 2＋CB 2－2CD ·CB ·cos C ＝BD 2， ∴CD 2＋52－2CD ·5·45＝(35)2⇒CD 2－8CD －20＝0， 解得CD ＝－2(舍)或CD ＝10. ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD＝12AB ·AD ·sin A ＋12CB ·CD ·sin C ＝12×5×2×35＋12×5×10×35＝3＋15＝18. ∴四个小岛所形成的四边形的面积为18平方n mile.(2)在△BDC 中，由正弦定理得：BC sin α＝BD sin C ⇒5sin α＝3535⇒sin α＝55.∵DC 2＋DB 2＞BC 2， ∴α为锐角，∴cos α＝255.又∵sin(α＋β)＝sin(180°－C )＝sin C ＝35， cos(α＋β)＝cos(180°－C )＝－cos C ＝－45. ∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝55×⎝⎛⎭⎪⎫－45＋255×35＝2525.2、复数(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知z＝11－20i，则1－2i－z等于()A．z－1B．z＋1C．－10＋18i D．10－18iC[1－2i－z＝1－2i－(11－20i)＝－10＋18i.]2.3＋i1＋i＝()A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－iD[3＋i1＋i＝(3＋i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝3－3i＋i＋12＝2－i.故选D．]3．若复数z满足z1－i＝i，其中i为虚数单位，则z＝()A．1－i B．1＋iC．－1－i D．－1＋iA[由已知得z＝i(1－i)＝i＋1，则z＝1－i，故选A．]4．若复数z满足i z＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是() A．(2,4) B．(2，－4)C ．(4，－2)D ．(4,2)C [z ＝2＋4ii ＝4－2i 对应的点的坐标是(4，－2)，故选C ．] 5．若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2B [∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，∴4a ＋(a 2－4)i ＝－4i. ∴⎩⎨⎧4a ＝0，a 2－4＝－4.解得a ＝0.故选B ．] 6．若复数2－b i1＋2i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b ＝( ) A ． 2 B ．23 C ．－23 D ．2C [因为2－b i 1＋2i ＝(2－b i )(1－2i )5＝2－2b 5－4＋b 5i ，又复数2－b i1＋2i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，所以2－2b 5＝4＋b 5，即b ＝－23.]7．设z ∈C ，若z 2为纯虚数，则z 在复平面上的对应点落在( ) A ．实轴上B ．虚轴上C ．直线y ＝±x (x ≠0)上D ．以上都不对C [设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z 2＝(x ＋y i)2＝x 2－y 2＋2xy i.∵z 2为纯虚数，∴⎩⎨⎧x 2－y 2＝0，xy ≠0.∴y ＝±x (x ≠0)．] 8．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是( ) A ．(1,5) B ．(1,3) C ．(1，5)D ．(1，3)C [由已知，得|z |＝a 2＋1. 由0<a <2，得0<a 2<4， ∴1<a 2＋1<5.∴|z |＝a 2＋1∈(1，5)．故选C ．]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)9．给出下列复平面内的点，这些点中对应的复数为虚数的为()A．(3,1) B．(－2,0)C．(0,4) D．(－1，－5)ACD[易知选项A、B、C、D中的点对应的复数分别为3＋i、－2、4i、－1－5i，因此A、C、D中的点对应的复数为虚数．]10．已知复数z＝a＋b i(a，b∈R，i为虚数单位)，且a＋b＝1，下列命题正确的是()A．z不可能为纯虚数B．若z的共轭复数为z，且z＝z，则z是实数C．若z＝|z|，则z是实数D．|z|可以等于1 2BC[当a＝0时，b＝1，此时z＝i为纯虚数，A错误；若z的共轭复数为z，且z＝z，则a＋b i＝a－b i，因此b＝0，B正确；由|z|是实数，且z＝|z|知，z是实数，C正确；由|z|＝12得a2＋b2＝14，又a＋b＝1，因此8a2－8a＋3＝0，Δ＝64－4×8×3＝－32<0，无解，即|z|不可以等于12，D错误．故选BC．]11．已知复数z0＝1＋2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z－1|＝|z－i|，下列结论正确的是()A．P0点的坐标为(1,2)B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称C．复数z对应的点Z在一条直线上D．P0与z对应的点Z间的距离的最小值为2 2ACD[复数z0＝1＋2i在复平面内对应的点为P0(1,2)，A正确；复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；设z＝x＋y i(x，y∈R)，代入|z－1|＝|z－i|，得|(x－1)＋y i|＝|x＋(y－1)i|，即(x－1)2＋y2＝x2＋(y－1)2，整理得，y＝x ，即Z 点在直线y ＝x 上，C 正确；易知点P 0到直线y ＝x 的垂线段的长度即为P 0、Z 之间距离的最小值，结合平面几何知识知D 正确．故选ACD ．]12．对任意z 1，z 2，z ∈C ，下列结论成立的是( ) A ．当m ，n ∈N *时，有z m z n ＝z m ＋nB ．当z 1，z 2∈C 时，若z 21＋z 22＝0，则z 1＝0且z 2＝0C ．互为共轭复数的两个复数的模相等，且|z |2＝|z |2＝z ·zD ．z 1＝z 2的充要条件是|z 1|＝|z 2| AC [由复数乘法的运算律知A 正确；取z 1＝1，z 2＝i ，满足z 21＋z 22＝0，但z 1＝0且z 2＝0不成立，B 错误；由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C 正确； 由z 1＝z 2能推出|z 1|＝|z 2|， 但|z 1|＝|z 2|推不出z 1＝z 2，因此z 1＝z 2的必要不充分条件是|z 1|＝|z 2|，D 错误．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________． 21 [复数z ＝(5＋2i)2＝21＋20i ，其实部是21.]14．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝________. 3 [a ＋i i ＝(a ＋i )·(－i )i·(－i )＝1－a i ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝a 2＋1＝2， 所以a 2＝3.又a 为正实数，所以a ＝ 3.] 15．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i(i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________． 8 [a ＋b i ＝11－7i 1－2i ＝(11－7i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝25＋15i5＝5＋3i ，依据复数相等的充要条件可得a ＝5，b ＝3.从而a ＋b ＝8.]16．设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则|z |＝________，z－z ＝________(本题第一空2分，第二空3分)．22 ±i [设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＝x －y i ，由z ＋z ＝4，z ·z ＝8得， ⎩⎨⎧ x ＋y i ＋x －y i ＝4，(x ＋y i )(x －y i )＝8，⇒⎩⎨⎧ x ＝2，x 2＋y 2＝8，⇒⎩⎨⎧x ＝2，y ＝±2.∴|z |＝2 2.所以zz ＝x －y i x ＋y i ＝x 2－y 2－2xy ix 2＋y 2＝±i.]四、简答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当m 为何值时，(1)z 是实数？ (2)z 是纯虚数？ [解] (1)要使复数z 为实数， 需满足⎩⎨⎧ m 2－2m －2>0，m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2或－1.即当m ＝－2或－1时，z 是实数． (2)要使复数z 为纯虚数， 需满足⎩⎨⎧m 2－2m －2＝1，m 2＋3m ＋2≠0，解得m ＝3.即当m ＝3时，z 是纯虚数．18．(本小题满分12分)已知复数z 1＝1－i ，z 1·z 2＋z 1＝2＋2i ，求复数z 2. [解] 因为z 1＝1－i ，所以z 1＝1＋i ， 所以z 1·z 2＝2＋2i －z 1＝2＋2i －(1＋i)＝1＋i. 设z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z 1·z 2＝1＋i ， 得(1－i)(a ＋b i)＝1＋i ， 所以(a ＋b )＋(b －a )i ＝1＋i ，所以⎩⎨⎧a ＋b ＝1，b －a ＝1，解得a ＝0，b ＝1，所以z 2＝i.19．(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z .[解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i 且|z |＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1.① 因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i ，而(3＋4i)z 是纯虚数， 所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.② 由①②联立， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝35，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45－35i ，或z ＝－45＋35i.20．(本小题满分12分)复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋az ＜0，求纯虚数a .[解] 由z 2＋a z ＜0可知z 2＋az 是实数且为负数． z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i ＝1－i.因为a 为纯虚数，所以设a ＝m i(m ∈R ，且m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i ＝－2i ＋m i －m 2＝－m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－2i ＜0，故⎩⎪⎨⎪⎧－m2＜0，m2－2＝0，所以m ＝4，即a ＝4i.21．(本小题满分12分)已知等腰梯形OABC 的顶点A ，B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC ．求顶点C 所对应的复数z .[解] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，C (x ，y )， 因为OA ∥BC ，|OC |＝|BA |， 所以k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |，即⎩⎨⎧21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝32＋42，解得⎩⎨⎧ x 1＝－5，y 1＝0或⎩⎨⎧x 2＝－3，y 2＝4.因为|OA |≠|BC |，所以x 2＝－3，y 2＝4(舍去)， 故z ＝－5.22．(本小题满分12分)已知复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i. (1)求复数z ；(2)若复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． [解] (1)∵(1＋2i)z ＝4＋3i ， ∴z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝10－5i5＝2－i ， ∴z ＝2＋i.(2)由(1)知z ＝2＋i ，则(z ＋a i)2＝(2＋i ＋a i)2＝[2＋(a ＋1)i]2＝4－(a ＋1)2＋4(a ＋1)i ， ∵复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限， ∴⎩⎨⎧4－(a ＋1)2＞0，4(a ＋1)＞0， 解得－1＜a ＜1，即实数a 的取值范围为(－1,1)．3、立体几何初步(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面给出了四个条件：①空间三个点；②一条直线和一个点；③和直线a都相交的两条直线；④两两相交的三条直线．其中，能确定一个平面的条件有()A．3个B．2个C．1个D．0个D[①当空间三点共线时不能确定一个平面；②点在直线上时不能确定一个平面；③两直线若不平行也不相交时不能确定一个平面；④三条直线交于一点且不共面时不能确定一个平面. 故以上4个条件都不能确定一个平面．] 2．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于() A．30°B．45°C．60°D．90°D[由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD ＝90°.]3．已知a，b，c是直线，则下面四个命题：①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；③若a∥b，则a，b与c所成的角相等．其中真命题的个数为()A．0 B．3C．2 D．1D[异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确．]4．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧面积为()A．24 cm2B．36 cm2C．72 cm2D．84 cm2C[棱柱的侧面积S侧＝3×6×4＝72(cm2)．]5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，动点E在棱BB1上，动点F在线段A1C1上，O为底面ABCD的中心，若BE＝x，A1F＝y，则四面体O-AEF的体积()A．与x，y都有关B．与x，y都无关C．与x有关，与y无关D．与y有关，与x无关B[因为V O-AEF＝V E-OAF，考察△AOF的面积和点E到平面AOF的距离的值，因为BB1∥平面ACC1A1，所以点E到平面AOF的距离为定值，又AO∥A1C1，所以OA为定值，点F到直线AO的距离也为定值，即△AOF的面积是定值，所以四面体O-AEF的体积与x，y都无关，故选B．]6．如图，点S在平面ABC外，SB⊥AC，SB＝AC＝2，E，F分别是SC和AB 的中点，则EF的长是()A．1 B． 2C．22D．12B[取CB的中点D，连接ED，DF，则∠EDF(或其补角)为异面直线SB与AC所成的角，即∠EDF＝90°.在△EDF中，ED＝12SB＝1，DF＝12AC＝1，所以EF＝ED2＋DF2＝ 2.]7．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A-CD-B的余弦值为()A ．12B ．13C ．33D ．23C [取AC 的中点E ，CD 的中点F ，连接BE ，EF ，BF ，则EF ＝12，BE ＝22，BF ＝32，因为EF 2＋BE 2＝BF 2，所以△BEF 为直角三角形，cos θ＝EF BF ＝33.]8．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( )A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π6B [如图所示，P 为正三角形A 1B 1C 1的中心，设O 为△ABC 的中心，由题意知：PO ⊥平面ABC ，连接OA ，则∠P AO 即为P A 与平面ABC 所成的角．在正三角形ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝3，则S ＝34×(3)2＝334，VABC -A 1B 1C 1＝S ×PO ＝94， ∴PO ＝ 3. 又AO ＝33×3＝1， ∴tan ∠P AO ＝PO AO ＝3，∴∠P AO ＝π3.]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列命题为真命题的是( )A ．若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合B．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直C．垂直于同一条直线的两条直线相互平行D．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直BD[A错，两个平面相交时，也有无数个公共点；C错，比如a⊥α，b⊂α，c⊂α，显然有a⊥b，a⊥c，但b与c也可能相交．故选BD．]10.如图，圆柱的轴截面是四边形ABCD，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下列结论中正确的是()A．AE⊥CEB．BE⊥DEC．DE⊥平面CEBD．平面ADE⊥平面BCEABD[由AB是底面圆的直径，得∠AEB＝90°，即AE⊥EB．∵圆柱的轴截面是四边形ABCD，∴AD⊥底面AEB，BC⊥底面AEB．∴BE⊥AD．又AD∩AE＝A，AD，AE⊂平面ADE，∴BE⊥平面ADE，∴BE⊥DE.同理可得，AE⊥CE，易得平面BCE⊥平面ADE.可得A，B，D正确．∵AD∥BC，∴∠ADE(或其补角)为DE与CB所成的角，显然∠ADE≠90°，∴DE⊥平面CEB不正确，即C错误．故选ABD．]11．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，侧面P AD 为正三角形，且平面P AD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是()A．在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMBB．异面直线AD与PB所成的角为90°C．二面角P-BC-A的大小为45°D．BD⊥平面P ACABC[如图，对于A，取AD的中点M，连接PM，BM，∵侧面P AD为正三角形，∴PM⊥AD，又底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD⊥BM，又PM∩BM＝M，PM，BM⊂平面PMB，∴AD⊥平面PBM，故A正确．对于B，∵AD⊥平面PBM，∴AD⊥PB，即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确．对于C，∵平面PBC∩平面ABCD＝BC，BC∥AD，∴BC⊥平面PBM，∴BC⊥PB，BC⊥BM，∴∠PBM是二面角P-BC-A的平面角，设AB＝1，则BM＝32，PM＝32，在Rt△PBM中，tan∠PBM＝PMBM＝1，即∠PBM＝45°，故二面角P-BC-A的大小为45°，故C正确．对于D，因为BD与P A不垂直，所以BD与平面P AC不垂直，故D错误．故选ABC．]12．如图所示，在四个正方体中，l是正方体的一条体对角线，点M、N、P 分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形为()AD[如图所示，正方体ABCD-A′B′C′D′.连接AC，BD．∵M、P分别为其所在棱的中点，∴MP∥AC．∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵BB′⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB′⊥AC，∵AC⊥BD，BD∩BB′＝B，∴AC⊥平面DBB′，∵DB′⊂平面DBB′，∴AC⊥DB′.∵MP∥AC，∴DB′⊥MP，同理，可证DB′⊥MN，DB′⊥NP，∵MP∩NP＝P，MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，∴DB′⊥平面MNP，即l垂直平面MNP，故A正确．故D中，由A中证明同理可证l⊥MP，l⊥MN，又∵MP∩MN＝M，∴l⊥平面MNP.故D正确．故选AD．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的表面积为________，体积为________．(本题第一空2分，第二空3分)3π33π[设圆锥的底面半径为r，根据题意，得2πr＝2π，解得r＝1，根据勾股定理，得圆锥的高为22－12＝3，所以圆锥的表面积S＝12×π×22＋π×12＝3π，体积V＝13×π×12×3＝33π.]14.已知正四棱锥的侧棱长为23，侧棱与底面所成的角为60°，则该四棱锥的高为________．3[如图，过点S作SO⊥平面ABCD，连接OC，则∠SCO＝60°，∴SO＝sin 60°·SC＝32×23＝3.]15．如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F-ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.1∶24[因为D，E分别是AB，AC的中点，所以S△ADE ∶S△ABC＝1∶4. 又F是AA1的中点，所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍，即三棱柱A1B1C1-ABC的高是三棱锥F-ADE高的2倍，所以V1∶V2＝13S△ADE·hS△ABC·H＝124＝1∶24.]16．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．36π[如图，连接OA，OB．由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径，知OA⊥SC，OB⊥SC．由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCB．设球O的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r，∴三棱锥S-ABC的体积V＝13×⎝⎛⎭⎪⎫12SC·OB·OA＝r33，即r33＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr2＝36π.]四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长为10 cm，求圆锥的母线长.[解]如图，设圆锥的母线长为l，圆台上、下底面的半径分别为r、R.因为l－10l＝rR，所以l－10l＝14，所以l＝403cm.即圆锥的母线长为403cm.18．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥B1C；(2)求证：AC1∥平面CDB1.[证明](1)∵C1C⊥平面ABC，∴C1C⊥AC．∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC．又BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面BCC1B1，而B1C⊂平面BCC1B1，∴AC⊥B1C．(2)连接BC1交B1C于点O，连接OD．如图，∵O，D分别为BC1，AB的中点，∴OD∥AC1.又OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1.∴AC1∥平面CDB1.19．(本小题满分12分)如图，已知三棱锥P-ABC，P A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，P A＝AC，M为PB的中点．(1)求证：PC⊥BC；(2)求二面角M-AC-B的大小．[解](1)证明：由P A⊥平面ABC，所以P A⊥BC，又因为∠ACB＝90°，即BC⊥AC，P A∩AC＝A，所以BC⊥平面P AC，所以PC⊥BC．(2)取AB中点O，连接MO，过O作HO⊥AC于H，连接MH，因为M是BP的中点，所以MO∥P A，又因为P A⊥平面ABC，所以MO⊥平面ABC，所以∠MHO为二面角M-AC-B的平面角，设AC＝2，则BC＝23，MO＝1，OH＝3，在Rt△MHO中，tan∠MHO＝MOHO＝33，所以二面角M-AC-B的大小为30°.20．(本小题满分12分)已知一个圆锥的底面半径为R，高为H, 在其中有一个高为x的内接圆柱．(1)求圆柱的侧面积；(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？[解](1)设圆柱的底面半径为r, 则它的侧面积为S＝2πrx, rR＝H－xH，解得r＝R－RH x，所以S圆柱侧＝2πRx－2πRH x2.(2)由(1)知S圆柱侧＝2πRx－2πRH x2，在此表达式中，S圆柱侧为x的二次函数，因此，当x＝H2时，圆柱的侧面积最大．21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(2)求证：PD⊥平面PBC；(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．[解](1)如图，由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角为异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．在Rt△PDA中，由已知，得AP＝AD2＋PD2＝5，所以cos∠DAP＝ADAP＝55.所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为5 5.(2)因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD．又BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，PB∩BC＝B，所以PD⊥平面PBC．(3)过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF与平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1，由已知，得CF＝BC－BF＝2.又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得DF＝CD2＋CF2＝25，在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝PDDF＝55.所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为5 5.22．(本小题满分12分)如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图②.①②(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．[解](1)证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC．又∵DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，∴DE∥平面A1CB．(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC．∵DE⊥A1D，DE⊥CD，A1D∩CD＝D，∴DE⊥平面A1DC．而A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1F.又∵A1F⊥CD，DE∩CD＝D，∴A1F⊥平面BCDE，∵BE⊂平面BCDE，∴A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC．又∵DE∥BC，∴DE∥PQ.∴平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，A1C⊂平面A1DC，∴DE⊥A1C．又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP，DE∩DP＝D，∴A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q(中点)，使得A1C⊥平面DEQ.4、统计(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2<p 3B ．p 2＝p 3<p 1C ．p 1＝p 3<p 2D ．p 1＝p 2＝p 3D [在抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样中，每个个体被抽中的概率均为nN ，所以p 1＝p 2＝p 3，故选D ．]2．某公司从代理的A ，B ，C ，D 四种产品中，按分层随机抽样的方法抽取容量为110的样本，已知A ，B ，C ，D 四种产品的数量比是2∶3∶2∶4，则该样本中D 类产品的数量为( )A ．22B ．33C ．40D ．55C [根据分层随机抽样，总体中产品数量比与抽取的样本中产品数量比相等，∴样本中D 类产品的数量为110×42＋3＋2＋4＝40.]3．在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a ，b ]是其中的一组．已知该组的频率为m ，该组上的频率分布直方图的高为h ，则|a －b |等于( )A ．mhB ．h mC ．m hD ．m ＋hC [在频率分布直方图中小长方形的高等于频率组距，所以h ＝m |a －b |，|a －b |＝mh ，故选C ．]4．我市对上、下班交通情况作抽样调查，上、下班时间各抽取12辆机动车测其行驶速度(单位：km/h)如下表：上班时间182021262728303233353640下班时间161719222527283030323637A．28与28.5 B．29与28.5C．28与27.5 D．29与27.5D[上班时间行驶速度的中位数是28＋302＝29，下班时间行驶速度的中位数是27＋282＝27.5.]5．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e，众数为m o，平均值为x，则()A．m e＝m o＝x B．m e＝m o＜xC．m e＜m o＜x D．m o＜m e＜xD[由条形图可知，中位数为m e＝5.5，众数为m o＝5，平均值为x≈5.97，所以m o＜m e＜x.]6．某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生的体重(kg)，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图，如图所示，体重在[45,50)内适合跑步训练，体重在[50,55)内适合跳远训练，体重在[55,60]内适合投掷相关方面训练，估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为()A．4∶3∶1 B．5∶3∶1C．5∶3∶2 D．3∶2∶1B[体重在[45,50)内的频率为0.1×5＝0.5，体重在[50,55)内的频率为0.06×5＝0.3，体重在[55,60]内的频率为0.02×5＝0.1，∵0.5∶0.3∶0.1＝5∶3∶1，∴可估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为5∶3∶1，故选B．]7．为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为()A．64 B．54C．48 D．27B[前两组中的频数为100×(0.05＋0.11)＝16.因为后五组频数和为62，所以前三组频数和为38.所以第三组频数为38－16＝22.又最大频率为0.32，故第四组频数为0.32×100＝32.所以a＝22＋32＝54.故选B．]8．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别是()A．85,85,85 B．87,85,86C．87,85,85 D．87,85,90C[∵得85分的人数最多为4人，∴众数为85，中位数为85，平均数为110(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75)＝87.]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．某地区经过一年的建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中正确的是()A．建设后，种植收入减少B．建设后，其他收入增加了一倍以上C．建设后，养殖收入增加了一倍D．建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半BCD[设建设前经济收入为a，则建设后经济收入为2a，由题图可知：种植收入第三产业收入养殖收入其他收入建设前经济收入0.6a 0.06a 0.3a 0.04a建设后经济收入0.74a 0.56a 0.6a 0.1a10．在某次高中学科竞赛中，4 000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是()A ．成绩在[70,80)分的考生人数最多B ．不及格的考生人数为1 000C ．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D ．考生竞赛成绩的中位数为75分ABC [由频率分布直方图可得，成绩在[70,80)内的频率最高，因此考生人数最多，故A 正确；由频率分布直方图可得，成绩在[40,60)的频率为0.25，因此，不及格的人数为4 000×0.25＝1 000，故B 正确；由频率分布直方图可得，平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，故C 正确；因为成绩在[40,70)内的频率为0.45，[70,80)的频率为0.3，所以中位数为70＋10×0.050.3≈71.67，故D 错误．故选ABC ．]11．甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表：班级 参加人数中位数 方差 平均数 甲 55 149 191 135 乙55151110135A ．甲、乙两班学生成绩的平均数相同B ．甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大C ．乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀)D ．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数ABC [甲、乙两班学生成绩的平均数都是135，故两班成绩的平均数相同，∴A 正确；s 2甲＝191>110＝s 2乙，∴甲班成绩不如乙班稳定，即甲班的成绩波动较大，∴B 正确；甲、乙两班人数相同，但甲班的中位数为149，乙班的中位数为151，从而易知乙班不少于150个的人数要多于甲班，∴C 正确；由题表看不出两班学生成绩的众数，∴D错误．]12．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标来显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是()A．平均数x≤3B．平均数x≤3且标准差s≤2C．平均数x≤3且极差小于或等于2D．众数等于1且极差小于或等于4CD[A错，举反例：0,0,0,0,2,6,6，其平均数x＝2≤3，不符合指标．B错，举反例：0,3,3,3,3,3,6，其平均数x＝3，且标准差s＝187≤2，不符合指标．C对，若极差等于0或1，在x≤3的条件下，显然符合指标；若极差等于2且x≤3，则每天新增感染人数的最小值与最大值有下列可能：(1)0,2，(2)1,3，(3)2,4，符合指标．D对，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标．故选CD．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．下列数据的70%分位数为________．20,14,26,18,28,30,24,26,33,12,35,22.28[把所给的数据按照从小到大的顺序排列可得：12,14,18,20,22,24,26,26,28,30,33,35，因为有12个数据，所以12×70%＝8.4，不是整数，所以数据的70%分位数为第9个数28.]14．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球的时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：。

【人教A版】高中数学必修二：全册作业与测评 单元质量评估(一)(附答案)

【人教A版】高中数学必修二：全册作业与测评 单元质量评估(一)(附答案)

单元质量评估(一)(第一、二章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列推理错误的是( )A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂αB.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β=ABC.l⊄α,A∈l⇒A∉αD.A∈l,l⊂α⇒A∈α【解析】选C.若直线l∩α=A,显然有l⊄α,A∈l,但A∈α.2.一个等腰三角形绕它的底边所在直线旋转360°形成的曲面所围成的几何体是( )A.球体B.圆柱C.圆台D.两个共底面的圆锥组成的组合体【解析】选D.等腰三角形的底边所在直线为旋转轴,所得几何体是两个共底面的圆锥组成的组合体.3.如图所示为某一平面图形的直观图,则此平面图形可能是下图中的( )【解析】选A.由直观图知,原四边形一组对边平行且不相等为梯形,且梯形两腰不能与底垂直.4.下列命题正确的是( )A.一直线与一个平面内的无数条直线垂直,则此直线与平面垂直B.两条异面直线不能同时垂直于一个平面C.直线与平面所成的角的取值范围是:0°<θ≤180°D.两异面直线所成的角的取值范围是:0°<θ<90°.【解析】选B. A错误,一直线与一个平面内的无数条直线垂直,并不意味着和平面内的任意直线垂直,所以此直线与平面不一定垂直;B正确,由线面垂直的性质定理可知,两条异面直线不能同时垂直于一个平面;C错误,直线与平面所成的角的取值范围是:0°≤θ≤90°;D错误,两异面直线所成的角的取值范围是:0°<θ≤90°.5.(2015·深圳高二检测)用一个平行于水平面的平面去截球,得到如图所示的几何体,则它的俯视图是( )【解析】选B. D选项为正视图或侧视图,俯视图中显然应有一个被遮挡的圆,所以内圆是虚线.【补偿训练】某几何体的三视图如图所示,则这个几何体是( )A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱【解题指南】本题考查的是几何体的三视图,在判断时要结合三种视图进行判断.【解析】选B.由题知,该几何体的三视图为一个三角形,两个四边形,经分析可知该几何体为三棱柱.6.(2015·安徽高考)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( )A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面【解析】选D.7.(2015·长白山高一检测)已知一平面平行于两条异面直线,一直线与两异面直线都垂直,那么这个平面与这条直线的位置关系是( )A.平行B.垂直C.斜交D.不能确定【解析】选B.根据线面平行的性质,在已知平面内可以作出两条相交直线与已知两条异面直线分别平行.因此,一直线与两异面直线都垂直,一定与这个平面垂直.8.如图,将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥,则棱锥的体积与原正方体的体积之比为( )A.1∶3B.1∶4C.1∶5D.1∶6【解析】选D.设正方体的棱长为a,则棱锥的体积V1=错误！未找到引用源。

2024-2025年北师大版数学必修第二册全书综合测评卷(带答案)

2024-2025年北师大版数学必修第二册全书综合测评卷(带答案)

全书综合测评卷时间：120分钟 满分：150分一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．关于向量a ，b ，下列命题中，正确的是( ) A ．若|a |＝|b |，则a ＝b B ．若a ＝－b ，则a ∥bC ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cD ．若|a |>|b |，则a >b2．已知i 为虚数单位，复数z 1＝1＋2i ，z 2＝2－i ，则( ) A ．z 1的共轭复数为－1＋2i B ．z 1的虚部是2i C ．z 1＋z 2为实数 D ．z 1z 2＝4＋3i3．三个数sin 1.5·sin 2·sin 3.1，cos 4.1·cos 5·cos 6，tan 7·tan 8·tan 9中，值为负数的个数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．已知函数f (x )＝cos (ωx ＋2π3 )(ω>0)的最小正周期为4π，则下面结论正确的是( )A ．函数f (x )在区间(0，π)上单调递增B ．函数f (x )在区间(0，π)上单调递减C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝2π3 对称D ．函数f (x )的图象关于点(2π3 ，0)对称5.宜昌奥林匹克体育中心为了迎接湖北省第十六届运动会开幕式，将中心内一块平面四边形ABCD 区域设计灯带．已知灯带AB ＝CD ＝10米，BC ＝20米，AD ＝102 米，且∠A ＋∠C ＝3π4，则cos ∠BCD ＝( ) A ．35 B ．0 C ．45 D ．2106．已知△ABC 中，3AB → ＋AC → －6AD →＝0，延长BD 交AC 于E ，则AE AC＝( )A ．23B ．12C ．13D ．14 7.如图，已知三棱柱ABC ­ A 1B 1C 1的各条棱长都相等，且CC 1⊥底面ABC ，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角为( )A ．90° B．45° C ．30° D．60°8．当函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 取得最大值时，tan x 的值为( ) A ．1 B ．±1 C．3 D ．－1二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．设z 1，z 2为复数，则下列命题中一定成立的是( ) A ．如果z 1－z 2>0，那么z 1>z 2B ．如果|z 1|＝|z 2|，那么z 1z － 1＝z 2z －2 C ．如果⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2 >1，那么|z 1|>|z 2|D ．如果z 21 ＋z 22 ＝0，那么z 1＝z 2＝010．已知函数f (x )＝cos (sin x )，g (x )＝sin (cos x )，则下列说法不正确的是( ) A ．f (x )与g (x )的定义域都是[－1，1] B ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数C ．f (x )的值域为[cos 1，1]，g (x )的值域为[－sin 1，sin 1]D ．f (x )与g (x )都不是周期函数11．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4 ＋3.给出下列结论，其中不正确的是( )A ．最小正周期为πB ．对称轴为直线x ＝k π(k ∈Z )C ．对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k2π＋π4，0D ．最大值为312.如图，已知四棱台ABCD ­ A 1B 1C 1D 1的上、下底面均为正方形，其中AB ＝22 ，A 1B 1＝2 ，AA 1＝BB 1＝CC 1＝DD 1＝2，则下列叙述正确的是( )A.该四棱台的高为3 B ．AA 1⊥CC 1C ．该四棱台的表面积为26D ．该四棱台外接球的表面积为16π三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．复数z ＝(m 2＋4m ＋3)＋(m ＋3)i ，m ∈R 为纯虚数，则m ＝________．14．已知tan α，tan β是方程2x 2＋3x －5＝0的两个实数根，则tan (α＋β)＝________．15．已知函数f (x )＝2sin (ωx ＋φ)(ω>0)满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 ＝2，f (π)＝0，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫π4，π3 上单调，则ω的最大值为________．16．记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a －3 c )sin A ＝b sin B －c sin C ，若△ABC 外接圆面积为π，则△ABC 面积的最大值为________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(1)已知复数z ＝m 2－5m ＋6＋(2m 2－3m －2)i ，m ∈R .若z 为纯虚数，求m 的值；(2)已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，若z 满足z ·z －＋i z ＝15＋3i ，求a ，b 的值． 18.(本小题满分12分)函数f (x )＝A cos (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2 )的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在区间[0，m ]有5个零点，求m 的取值范围．19．(本小题满分12分)如图，在长方体ABCD­ A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E 是AB的中点．(1)证明：D1E⊥A1D；(2)在棱DD1上是否存在一点P，使得AP∥平面D1EC，若存在，求DPDD1，若不存在，说明理由；(3)求D到平面D1EC的距离．20．(本小题满分12分)在①2cos2B＋cos2B＝0，②b cos A＋a cos B＝3＋1这两个条件中任选一个，补充在下面问题的横线中，并解决相应问题．已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若4S＝b2＋c2－a2，b＝6，________，求△ABC的面积S的大小．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．21．(本小题满分12分)矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2，P 为线段DC 的中点，将△ADP 沿AP 折起，使得平面ADP ⊥平面ABCP .(1)在DC 上是否存在点E 使得AD ∥平面PBE ？若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由；(2)求二面角P ­ AD ­ B 的余弦值． 22．(本小题满分12分)已知向量m ＝(1，cos ωx )，n ＝(sin ωx ，3 )(ω>0)，函数f (x )＝m ·n ，且f (x )图象上的一个最高点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2 ，与P 最近的一个最低点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫7π12，－2 .(1)求函数f (x )的解析式；(2)设a 为常数，判断方程f (x )＝a 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上的解的个数；(3)在锐角△ABC 中，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ＝1，求f (A )的取值范围．全书综合测评卷1．答案：B解析：向量是既有大小又有方向的量，大小相等，但方向不一定相同，故A 错误；若a ＝－b ，得a ，b 方向相反，则a ∥b ，故B 正确；当b ＝0，a 与c 不一定平行，故C 错误；尽管两个向量的模有大小之分，但两个向量是不能比较大小的，故D 错误．故选B.2．答案：D解析：z 1＝1＋2i ，z －1＝1－2i ，故A 错误；z 1的虚部是2，故B 错误；z 1＋z 2＝3＋i为虚数，故C 错误；z 1·z 2＝(1＋2i)(2－i)＝2－i ＋4i －2i 2＝4＋3i ，故D 正确．故选D.3．答案：B解析：0<1.5<π，0<2<π，0<3.1<π，∴sin 1.5·sin 2·sin 3.1>0；π<4.1<3π2，cos 4.1<0，3π2 <5<2π，3π2 <6<2π，cos 5>0，cos 6>0，∴cos 4.1·cos 5·cos 6<0；2π<7<5π2 ，5π2 <8<3π，5π2<9<3π，∴tan 7>0，tan 8<0，tan 9<0，tan 7·tan 8·tan9>0；只有一个负数．故选B.4．答案：C解析：由题意知：2πω ＝4π⇒ω＝12 ，∴f (x )＝cos (12 x ＋2π3)A ，B 选项，当x ∈(0，π)时，12 x ＋2π3 ∈(2π3 ，7π6 )，当12 x ＋2π3 ∈(2π3，π)时，f (x )单调递减，12 x ＋2π3 ∈(π，7π6 )时，f (x )单调递增．因此，A 和B 都错误；C 选项，x ＝2π3 时，12 x ＋2π3 ＝π；x ＝π是cos x 的对称轴，则x ＝2π3是f (x )的对称轴．因此，C 正确；D 选项，由C 可知，x ＝2π3是对称轴的位置，则必不是对称中心，D 错误．故选C.5．答案：A 解析：如图，连接BD .在△ABD 中，由余弦定理有：BD 2＝BA 2＋AD 2－2BA ×AD ×cos A ＝300－2002 cos A ①， 在△CBD 中，由余弦定理有：BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ×CD ×cos C ＝500－400cos C ②， 由①②得：－2 cos A ＝1－2cos C ，又∠A ＋∠C ＝3π4 ，∴－2 cos (3π4－C )＝1－2cos C ，∴－sin C ＝1－3cos C ，又∵sin 2C ＋cos 2C ＝1.∴(3cos C －1)2＋cos 2C ＝1，∴cos C ＝0或cos C ＝35，∵C ∈(0，3π4)，∴sin C >0，若cos C ＝0，则sin C ＝－1(舍)，∴cos C ＝35.故选A.6．答案：C解析：依题意，设AE → ＝λAC → ，BE → ＝μBD → ，则AE → ＝λAC → ＝λ(－3AB → ＋6AD →)＝－3λAB → ＋6λAD → .又AE → ＝AB → ＋BE → ＝AB → ＋μBD → ＝AB → ＋μ·(AD → －AB → )＝(1－μ)AB → ＋μAD → ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3λ＝1－μ，6λ＝μ， 两式相加得λ＝13 ，即AE →＝13 AC → ，所以AE AC ＝|AE →||AC →|＝13 .故选C.7．答案：A 解析：设棱长为a ，将三棱柱ABC ­ A 1B 1C 1补成正三棱柱A 1B 1C 1 ­ A 2B 2C 2(如图)，使AA 1＝AA 2.平移AB 1至A 2B ，连接A 2M ，∠MBA 2(或其补角)即为AB 1与BM 所成的角，在△A 2BM 中，A 2B ＝2a ，BM ＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22 ＝52 a ，A 2M ＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 22 ＝132 a ，∴A 2B 2＋BM 2＝A 2M 2，∴∠MBA 2＝90°.故选A.8．答案：A解析：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x ＝34 (sin 2x ＋cos 2x )＋14 sin x cosx ＋34sin x cos x ＝34 ＋12 sin 2x .当sin 2x ＝1时，y max ＝3＋24 ，此时2x ＝2k π＋π2 (k ∈Z )，即x ＝k π＋π4(k ∈Z )，∴tan x ＝1.故选A.9．答案：BC解析：取z 1＝3＋i ，z 2＝1＋i 时，z 1－z 2＝2>0，但虚数不能比较大小，故A 项错误；由|z 1|＝|z 2|，得|z 1|2＝|z 2|2.又z 1z － 1＝|z 1|2，z 2z － 2＝|z 2|2，所以z 1z － 1＝z 2z － 2，故B 项正确；因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2 ＝|z 1||z 2|>1，所以|z 1|>|z 2|，故C 项正确；取z 1＝1，z 2＝i ，满足z 21 ＋z 22＝0，但是z 1≠z 2≠0，故D 项错误．故选BC.10．答案：ABD解析：f (x )与g (x )的定义域是R ，故A 错误；f (－x )＝cos (sin (－x ))＝cos (sin x )＝f (x )，则f (x )是偶函数，故B 错误；∵－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1，∴f (x )的值域为[cos 1，1]，g (x )的值域为[－sin 1，sin 1]，故C 正确；f (x ＋2π)＝cos (sin (x ＋2π))＝cos (sin x )＝f (x )，则f (x )是周期函数，故D 错误．故选ABD.11．答案：BCD解析：因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＋3＝12 sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4 ＋3＝12 sin⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2 ＋3＝－12 cos2x ＋3，所以f (x )的最小正周期T ＝π，图象的对称轴为直线x ＝k 2 π，k ∈Z ，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋k 2π，3 ，k ∈Z ，最大值为3＋12 ＝72 ，故只有A 正确．故选BCD.12．答案：AD 解析：给四棱台ABCD ­ A 1B 1C 1D 1补上一个小四棱锥S ­ A 1B 1C 1D 1即可得到四棱锥S ­ ABCD ，如图．连接A 1C 1，B 1D 1交于点O 1，连接AC ，BD 交于点O ，连接SO .由AB ＝22 ，A 1B 1＝2 ，可知△SA 1B 1与△SAB 的相似比为1∶2，则SA ＝2AA 1＝4.由题意可得AO ＝2，则SO ＝23 ，则OO 1＝3 ，故该四棱台的高为3 ，A 正确；因为SA ＝SC ＝AC ＝4，所以AA 1与CC 1的夹角为60°，B 错误；由题意可得该四棱台侧面的高为22－⎝ ⎛⎭⎪⎫22－222＝142 ，则四棱台的表面积S ＝S上底＋S下底＋S 侧＝2＋8＋4×2＋222 ×142＝10＋67 ，C 错误；因为四棱台ABCD ­ A 1B 1C 1D 1的上、下底面都是正方形，所以其外接球的球心在OO 1上．连接OB 1，在平面B 1BOO 1中，由OO 1＝3 ，B 1O 1＝1，得OB 1＝2＝OB ，即点O 到点B 与到点B 1的距离相等，则外接球半径r ＝OB ＝2，所以该四棱台外接球的表面积为4πr 2＝16π，D 正确．故选AD.13．答案：－1解析：因为复数z ＝(m 2＋4m ＋3)＋(m ＋3)i ，m ∈R 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4m ＋3＝0，m ＋3≠0， 所以m ＝－1.14．答案：－37解析：∵tan α，tan β是方程2x 2＋3x －5＝0的两个实数根，∴tan α＋tan β＝－32 ，tan αtan β＝－52 ，由tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β ＝－321－⎝ ⎛⎭⎪⎫－52 ＝－37 . 15．答案：343解析：因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3 上单调，所以T 2 ≥π3 －π4 ＝π12 ，解得T ≥π6 ，所以2πω ≥π6 ，解得0<ω≤12.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 ＝2，f (π)＝0，所以2k ＋14 T ＝π－π4 ＝3π4 ，k ∈N *，所以T ＝3π2k ＋1 ，所以2πω ＝3π2k ＋1 ，所以ω＝4k ＋23 ，k ∈N *，当ω＝4k ＋23 ≤12时，解得k ≤172 ，k ∈N ，所以ωmax ＝4×8＋23 ＝343.16．答案：2＋34解析：由已知及正弦定理得a 2－3 ac ＝b 2－c 2，所以a 2＋c 2－b 2＝3 ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32 ，又B ∈(0，π)，所以B ＝π6.由△ABC 的外接圆面积为π，得外接圆的半径R ＝1. 由正弦定理得b ＝2R sin B ＝1，所以a 2＋c 2－1＝3 ac ，所以a 2＋c 2＝3 ac ＋1≥2ac ，解得ac ≤2＋3 ，所以△ABC 的面积S ＝12 ac sin B ＝14 ac ≤2＋34，当且仅当a ＝c 时等号成立．17．解析：(1)因为z 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m ＋6＝0，2m 2－3m －2≠0， 解得m ＝3.(2)设z ＝a ＋b i ，所以z －＝a －b i ， z ·z －＋i z ＝(a ＋b i)(a －b i)＋i(a ＋b i)＝a 2＋b 2－b ＋a i ＝15＋3i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a 2＋b 2－b ＝15， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝3 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2. 18．解析：(1)因为A >0，由图象可知A ＝2，且有T 2 ＝πω ＝2π3 －π6 ＝π2，所以ω＝2，因为图象过点(π6 ，2)，所以2cos (2·π6＋φ)＝2，即φ＋π3 ＝2k π，解得φ＝2k π－π3 ，k ∈Z ，因为|φ|<π2 ，所以φ＝－π3 ，故f (x )＝2cos (2x －π3).(2)由(1)知f (x )＝2cos (2x －π3 )，因为x ∈[0，m ]，所以2x －π3 ∈[－π3 ，2m －π3]，由函数f (x )在区间[0，m ]上有5个零点，令2x －π3＝t ，即y ＝2cos t 在区间[－π3 ，2m －π3]有5个零点，由y ＝cos t 的图象知，只需9π2 ≤2m －π3 <11π2即可，解得29π12 ≤m <35π12 ，故m ∈[29π12 ，35π12).19．解析：(1)如图所示，连接AD 1交A 1D 于点O ，则O 为AD 1的中点，由题意可知，四边形ADD 1A 1是正方形，∴A 1D ⊥AD 1. ∵AB ⊥平面ADD 1A 1，A 1D ⊂平面ADD 1A 1，∴AB ⊥AD 1. 又∵AB ⊂平面AD 1E ，AD 1⊂平面AD 1E ，AB ∩AD 1＝A ， ∴A 1D ⊥平面AD 1E ，又D 1E ⊂平面AD 1E ，∴A 1D ⊥D 1E ，即D 1E ⊥A 1D .(2)存在一点P 满足DP DD 1 ＝12时，使得AP ∥平面ED 1C ，当点P 满足DP DD 1 ＝12，即P 为DD 1的中点，取CD 1的中点Q ，连接PQ ，EQ ， 在△DD 1C 中，P ，Q 为中点，∴PQ ∥DC ，PQ ＝12DC ，∵在长方体AC 1中，E 是AB 的中点，∴AE ∥DC 且AE ＝12DC ，∴AE ∥PQ 且AE ＝PQ ，∴四边形AEQP 为▱AEQP ，∴AP ∥EQ ， 又EQ ⊂平面D 1EC ，AP ⊄平面D 1EC ，∴AP ∥平面D 1EC . (3)连接DE ，设D 到平面D 1EC 的距离为h ， ∵在长方体AC 1中，DD 1⊥平面ABCD ， ∵矩形ABCD ，点E 是AB 的中点，∴S △DCE ＝12 S 矩形ABCD ＝12×1×2＝1，∴VD 1－DCE ＝13 S △DCE ·DD 1＝13 ×1×1＝13，在Rt△D 1DC 中，D 1C ＝DD 21＋DC 2＝5 ， 在Rt△ADE 中，DE ＝AD 2＋AE 2＝2 ，∵DD 1⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴DD 1⊥DE ， 在Rt△D 1DE 中，D 1E ＝DD 21 ＋DE 2＝3 ， 在Rt△BCE 中，EC ＝BC 2＋BE 2＝2 ，∴D 1E 2＋EC 2＝CD 21 ，∴ED 1⊥CE ，∴S △D 1CE ＝12 D 1E ×EC ＝12 ×3 ×2 ＝62 ，又VD ­D 1CE ＝VD 1­DCE ，∴13 S △D 1EC ×h ＝13 ，h ＝63 ，∴D 到平面D 1EC 的距离为63. 20．解析：因为4S ＝b 2＋c 2－a 2，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，S ＝12bc sin A ，所以2bc sin A ＝2bc cos A ， 显然cos A ≠0，所以tan A ＝1，又A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 ，所以A ＝π4 . 若选择①，由2cos 2B ＋cos2B ＝0得， cos 2B ＝14. 又B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 ，∴B ＝π3 ， 由a sin A ＝b sin B 得，a ＝b sin A sin B ＝6×2232＝2. 又sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22 ×12 ＋22 ×32 ＝6＋24 ， 所以S ＝12 ab sin C ＝3＋32. 若选择②，b cos A ＋a cos B ＝3 ＋1，则b cos A ＋a cos B ＝b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝b 2＋c 2－a 22c ＋a 2＋c 2－b 22c ＝c ＝3 ＋1，所以S ＝12 bc sin A ＝12 ×6 ×(3 ＋1)×22 ＝3＋32. 21．解析：(1)存在．如图所示：连接AC ，BP ，设AC 交BP 于点F ，∵CP ∥AB ，且CP ＝12AB ， ∴CF CA ＝PF PB ＝13. 取DC 的三等分点E ，使CE CD ＝13，连接EF ，PE ，BE ，则EF ∥AD ， 又EF ⊂平面PBE ，AD ⊄平面PBE ，∴AD ∥平面PBE .故存在满足条件的点E ，且E 是线段CD 上靠近点C 的三等分点．(2)在矩形ABCD 中，AP ＝BP ＝2 ，AB ＝2，∴AP 2＋BP 2＝AB 2，∴AP ⊥BP ，又平面ADP ⊥平面ABCP ，BP ⊂平面ABCP ，平面ADP ∩平面ABCP ＝AP ，∴BP ⊥平面ADP ，∴BP ⊥DP ，∴BD 2＝DP 2＋BP 2＝1＋2＝3.在△ADB 中，AB 2＝AD 2＋BD 2，∴AD ⊥DB ，又PD ⊥AD ，PD ⊂平面ADP ，BD ⊂平面ADB ，平面ADP ∩平面ADB ＝AD ，∴∠PDB 为二面角P ­ AD ­ B 的平面角，在Rt△PDB 中，cos ∠PDB ＝DP BD ＝13＝33 ，∴二面角P ­ AD ­ B 的余弦值为33. 22．解析：(1)f (x )＝m ·n ＝sin ωx ＋3 cos ωx ＝2(12 sin ωx ＋32cos ωx )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3 . ∵f (x )图象上的一个最高点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2 ，与P 最近的一个最低点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2 ， ∴T 2 ＝7π12 －π12 ＝π2，∴T ＝π， 又ω>0，∴ω＝2πT＝2. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 . (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 时，π3 ≤2x ＋π3 ≤4π3 ， 由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 的图象(图略)可知， 当a ∈[3 ，2)时，f (x )＝a 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上有两解； 当a ∈[－3 ，3 )或a ＝2时，f (x )＝a 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上有一解； 当a <－3 或a >2时，f (x )＝a 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上无解． (3)在锐角△ABC 中，0<B <π2 ，－π6 <π3 －B <π3， 又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ＝1，∴π3 －B ＝0，∴B ＝π3 . 在锐角△ABC 中，0<A <π2 ，A ＋B >π2， ∴π6 <A <π2 ，∴2π3 <2A ＋π3 <4π3， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32 ， ∴f (A )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3 ∈(－3 ，3 ). ∴f (A )的取值范围是(－3 ，3 ).GS －2。

高中数学必修二综合质量评估

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综合质量评估(时间:120分钟 分值:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.若复数z =2i3-i ,则z 的共轭复数z =( ) A.-15-35I B.-15+35I C.15+35I D.15-35i 答案:A2.某公司生产三种型号的轿车,其中型号Ⅰ的轿车的月产量为 1 200辆,型号Ⅱ的轿车的月产量为6 000辆,型号Ⅲ的轿车的月产量为2 000辆,现用分层抽样的方法抽取92辆车进行检验,则型号Ⅲ的轿车应抽取( )A.12辆B.36辆C.20辆D.60辆答案:C3.2010-2018年之间,受益于基础设施建设对光纤产品的需求,以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级,电动汽车及物联网等新机遇,连接器行业发展较快.2010-2018年全球连接器营收情况如图所示,根据折线图,下列结论正确的个数为 ( )①每年的营收额逐年增长;②营收额增长最快的一年为2013-2014年;③2010-2018年的营收额增长率约为40%;④2014-2018年每年的营收额相对于2010-2014年每年的营收额,变化比较平稳.A.1B.2C.3D.4答案:C4.已知小张每次射击命中十环的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率,先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定2,4,6,8表示命中十环,0,1,3,5,7,9表示未命中十环,再以每三个随机数为一组,代表三次射击的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:321421292925274632800478598663 531297396 021506318230113507965据此估计,小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为()A.0.25B.0.3C.0.35D.0.4答案:B5.盒子中有若干个大小和质地完全相同的红球和黄球,从中任意取出2个球,都是红球的概率为328,都是黄球的概率为514,则从盒子中任意取出2个球,恰好是同一颜色的概率为( )A.1328B.57C.1528D.37 答案:A6.某校篮球运动员进行投篮练习,若他前一球投进,则后一球投进的概率为34;若他前一球投不进,则后一球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为34,则他第3球投进的概率为( )A.34B.58C.116D.916 答案:D7.已知数据x 1,x 2,x 3的中位数为k ,众数为m ,平均数为n ,方差为p ,下列说法中,错误的是( )A.数据2x 1,2x 2,2x 3的中位数为2kB.数据2x 1,2x 2,2x 3的众数为2mC.数据2x 1,2x 2,2x 3的平均数为2nD.数据2x 1,2x 2,2x 3的方差为2p答案:D8.一个圆柱的轴截面是正方形,如果这个圆柱的侧面积与一个球的表面积相等,那么圆柱的体积与球的体积之比为( )A.1∶3B.3∶1C.2∶3D.3∶2答案:D二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.如图,已知点O 为正六边形ABCDEF 的中心,下列结论中正确的是( )A.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 B.(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(EF ⃗⃗⃗⃗⃗ -DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0C.(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ D.|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -CB⃗⃗⃗⃗⃗ | 答案:BC10.在发生公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日,甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下,一定符合该标志的是()甲地:中位数为2,极差为5;乙地:总体平均数为2,众数为2;丙地:总体平均数为1,总体方差大于0;丁地:总体平均数为2,总体方差为3.A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地答案:AD11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以下四个选项正确的是()A.D1C∥平面A1ABB1B.A1D1与平面BCD1相交C.AD⊥平面D1DBD.平面BCD1⊥平面A1ABB1答案:AD12.在△A B C中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b=c cos A,A的平分线交BC于点D,AD=1,cos A=18,以下结论正确的是()A.AC=34B.AB=8C.CDBD =1 8D.△ABD的面积为3√74答案:ACD三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)13.已知a=(1,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角为钝角,则实数λ的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1).14.从分别写有1,2,3,4,5的五张质地相同的卡片中,任取两张,这两张卡片上的数字之差的绝对值等于1的概率为25.15.(本题第一空2分,第二空3分)随机抽取100名学生,测得他们的身高(单位:cm),按照身高依次分成六组:[155,160),[160,165),[165,170),[170,175),[175,180),[180,185),并得到样本身高的频率分布直方图如图所示,则频率分布直方图中的x的值为0.06;若将身高区间[170,175),[175,180),[180,185)依次记为A,B,C三组,并用分层抽样的方法从这三组中抽取6人,则从A,B,C三组中依次抽取的人数为3,2,1.16.如图所示,已知六棱锥P-A B C D E F的底面是正六边形, PA⊥平面ABC,PA=2 AB.则下列命题中正确的有②④.(填序号)①PB⊥AD;②平面PAB⊥平面PAE;③BC∥平面PAE;④直线PD与平面ABC所成的角为45°.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17.(10分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为A1B,AC 的中点.(1)证明:EF∥平面A1C1D;(2)求三棱锥C-A1C1D的体积.(1)证明:如图,连接BD.因为四边形ABCD为正方形,所以BD交AC于点F,且F为BD的中点.因为E为A1B的中点,所以EF∥A1D.因为EF⊄平面A1C1D,A1D⊂平面A1C1D,所以EF ∥平面A 1C 1D.(2)解:三棱锥C -A 1C 1D 的体积V =V 棱锥A 1-CC 1D =13S △CC 1D ·A 1D 1=13×12×2×2×2=43. 18.(12分)从含有两件正品a 1,a 2和一件次品b 1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.(1)写出所有可能的结果组成的样本空间.(2)求取出的两件产品中,恰有一件次品的概率.解:(1)每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其所有可能的结果有6个,即Ω={(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 2,a 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)},其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品.(2)用A 表示事件“取出的两件产品中,恰好有一件次品”,则A ={(a 1,b 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)},所以P (A )=46=23. 19.(12分)某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣,特举办读书活动,准备进一定量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段需看不同类型的书籍,为了合理配备资源,现对小区内读书者进行年龄调查, 随机抽取了一天中40名读书者进行调查,将他们的年龄分成6段:[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80],得到的频率分布直方图如图所示.(1)估计在这40名读书者中年龄分布在区间[40,70)上的人数;(2)求这40名读书者年龄的平均数和中位数;(3)从年龄在区间[20,40)上的读书者中任选两名,求这两名读书者年龄在区间[30,40)上的人数恰为1的概率.解:(1)由频率分布直方图知,年龄在区间[40,70)上的频率为(0.020+0.030+0.025)×10=0.75.所以40名读书者中年龄分布在区间[40,70)上的人数为40×0.75=30.(2)40名读书者年龄的平均数为25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.25+75×0.1=54.设40名读书者年龄的中位数为x,0.05+0.1+0.2+(x-50)×0.03=0.5,解得x=55,即40名读书者年龄的中位数为55岁.(3)年龄在区间[20,30)上的读书者有2人,分别记为a,b,年龄在区间[30,40)上的读书者有4人,分别记为A,B,C,D.从上述6人中选出2人,有如下样本点:(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共15个,记选取的两名读书者中恰好有1人年龄在区间[30,40)上为事件A,则事件A包含8个样本点:(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C), (b,D),.故P(A)=81520.(12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,已知3c2=16S+3(b2-a2).(1)求tan B的值;(2)若S=42,a=10,求b的值.解:(1)因为3c2=16S+3(b2-a2),所以3(c2+a2-b2)=16S,ac sin B,即3×2ac cos B=16×12所以3cos B =4sin B ,即tan B =34. (2)由(1)可得sin B =35,cos B =45, 所以S =12ac sin B =12×10c ×35=3c =42, 所以c =14.由余弦定理可得,45=100+196-b 22×10×14,整理可得,b =6√2.21.(12分)已知向量a ,b 满足|a |=|b |=1,|xa +b |=√3|a -xb |(x >0,x ∈R).(1)求a ·b 关于x 的解析式f (x );(2)求向量a 与b 夹角的最大值;(3)若a 与b 平行,且方向相同,试求x 的值.解:(1)由题意得|xa +b |2=3|a -xb |2,即x 2a 2+2xa ·b +b 2=3a 2-6xa ·b +3x 2b 2.因为|a |=|b |=1,所以8xa ·b =2x 2+2,所以a ·b =x 2+14x (x >0),即f (x )=14(x +1x ) (x >0). (2)设向量a 与b 夹角为θ,则cos θ=a ·b |a ||b |=f (x )=14[(√x -√x )2+2],当√x =√x ,即x =1时,cos θ有最小值12. 因为0≤θ≤π,所以θmax =π3. (3)因为a 与b 平行,且方向相同,|a |=|b |=1,所以a =b ,所以a ·b =14(x +1x )=1, 解得x =2±√3.22.(12分)如图,在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为菱形,AA 1⊥平面A B C D ,A C 与B D 交于点O ,∠B A D =60°,A B =2,A A 1=√6.(1)证明:平面A 1BD ⊥平面ACC 1A 1;(2)求二面角A -A 1C -B 的大小.(1)证明:由AA 1⊥平面ABCD ,得AA 1⊥BD ,AA 1⊥AC.因为四边形ABCD 为菱形,所以AC ⊥BD.因为AC ∩AA 1=A ,所以BD ⊥平面ACC 1A 1.因为BD ⊂平面A 1BD ,所以平面A 1BD ⊥平面ACC 1A 1.(2)解:如图,过点O 作OE ⊥A 1C 于点E ,连接BE ,DE. 由(1)知BD ⊥平面ACC 1A 1,所以BD ⊥A 1C.因为OE ⊥A 1C ,OE ∩BD =O ,所以A 1C ⊥平面BDE ,所以A 1C ⊥BE. 因为OE ⊥A 1C ,BE ⊥A 1C ,所以∠OEB 为二面角A -A 1C -B 的平面角. 因为△ABD 为等边三角形且O 为BD 中点, 所以OB =12AB =1,OA =OC =√32AB =√3. 因为AA 1⊥AC ,所以A 1C =√AA 12+AC 2=3√因为△A 1AC ∽△OEC ,所以OE AA 1=OC A 1C ,所以OE =OC ·AA 1A 1C =√3×√63√2=1.在△OEB中,OB⊥OE,所以tan∠OEB=OB=1,即∠OEB=45°.OE综上,二面角A-A1C-B的大小为45°.。

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综合质量评估
(第一至第四章)
(120分钟150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)满足( )
A.是圆心
B.在圆上
C.在圆内
D.在圆外
【解析】选C.因为(3-2)2+(2-3)2=2<4,故点P(3,2)在圆内.
2.直线x-y-4=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是( )
A.相交
B.相切
C.相交且过圆心
D.相离
【解析】选D.圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4,
则圆心到直线的距离d==2>2,所以直线与圆相离.
【补偿训练】(2015·郑州高一检测)对任意实数k,圆C:(x-3)2+(y-4)2=13与直线l:kx-y-4k+3=0的位置关系是( )
A.相交
B.相切
C.相离
D.与k取值有关
【解析】选A.对任意实数k,直线l:kx-y-4k+3=0恒过定点(4,3),而(4-3)2+(3-4)2<13,故定点(4,3)在圆C内部,所以直线与圆相交.
3.(2015·乌海高一检测)已知空间两点P1(-1,3,5),P2(2,4,-3),则|P1P2|等于
A. B.3 C. D.
【解析】选A.==.
4.已知两圆的方程是x2+y2=1和x2+y2-6x-8y+9=0,那么这两个圆的位置关系是
( )
A.外离
B.相交
C.外切
D.内切
【解析】选C.将圆x2+y2-6x-8y+9=0,化为标准方程得(x-3)2+(y-4)2=16.
所以两圆的圆心距为=5,又r1+r2=5,所以两圆外切.
5.设l,m,n表示三条直线,α,β,γ表示三个平面,给出下列四个结论:
①若l⊥α,m⊥α,则l∥m;
②若m⊂β,n是l在β内的射影,m⊥l,则m⊥n;
③若m⊂α,m∥n,则n∥α;
④若α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β.其中正确的为( )
A.①②
B.①②③
C.①②③④
D.③④
【解析】选A.①正确,②可用线面垂直证明,正确,③中,n可能在α内;④中,可能有α,β相交或平行,故选A.
6.(2015·临汾高一检测)垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是( )
A.x+y-=0
B.x+y+1=0
C.x+y-1=0
D.x+y+=0
【解析】选A.由题意可设所求的直线方程为y=-x+k,则由=1,得k=±.由切点在第一象限
知,k=.故所求的直线方程y=-x+,即x+y-=0.
【补偿训练】过点(2,1)的直线中,被圆x2+y2-2x+4y=0截得的最长弦所在的直线方程为
A.3x-y-5=0
B.3x+y-7=0
C.x+3y-5=0
D.x-3y+1=0
【解析】选A.依题意知所求直线通过圆心(1,-2),由直线的两点式方程,得=,即3x-y-5=0.
7.在空间直角坐标系中,点(-2,1,4)关于x轴的对称点的坐标为( )
A.(-2,1,-4)
B.(2,1,-4)
C.(-2,-1,-4)
D.(2,-1,4)
【解析】选C.点(-2,1,4)关于x轴的对称点的坐标为(-2,-1,-4).
【变式训练】(2014·宁波高一检测)已知点Q是点P(3,4,5)在平面xOy上的射影,则线段PQ 的长等于( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选D.由题意,Q(3,4,0),故线段PQ的长为5.
8.与圆O1:x2+y2+4x-4y+7=0和圆O2:x2+y2-4x-10y+13=0都相切的直线条数是
( )
A.4
B.3
C.2
D.1
【解析】选B.两圆的方程配方得,O1:(x+2)2+(y-2)2=1,O2:(x-2)2+(y-5)2=16,圆心
O1(-2,2),O2(2,5),半径r1=1,r2=4,所以|O1O2|==5,r1+r2=5.所以
|O1O2|=r1+r2,故两圆外切,故有3条公切线.
9.已知直线l与直线4x-3y+5=0关于y轴对称,则直线l的方程为( )
A.4x+3y+5=0
B.4x+3y-5=0
C.3x+4y+5=0
D.3x+4y-5=0
【解析】选B.直线l的斜率与直线4x-3y+5=0的斜率互为相反数,且过点,所以直线l的方程为4x+3y-5=0.
【拓展延伸】直线关于直线对称问题的两种情形
(1)两直线平行,我们可转化为点关于直线的对称问题去求解.
(2)两直线相交.一般解题步骤是:①在所求曲线上选一点M(x,y);②求出这点关于中心或轴的对称点M'(x0,y0)与M(x,y)之间的关系;③利用f(x0,y0)=0求出曲线g(x,y)=0.
10.(2015·大连高一检测)当点P在圆x2+y2=1上变动时,它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是( )
A.(x+3)2+y2=4
B.(x-3)2+y2=1
C.(2x-3)2+4y2=1
D.(2x+3)2+4y2=1
【解析】选C.设P(x1,y1),Q(3,0),设线段PQ中点M的坐标为(x,y),则x=,y=,所以
x1=2x-3,y1=2y.又点P(x1,y1)在圆x2+y2=1上,所以(2x-3)2+4y2=1.
故线段PQ中点的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1.
11.(2015·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( )
A.8cm3
B.12cm3
C.cm3
D.cm3
【解析】选C.由题意得,该几何体为一正方体与四棱锥的组合,所以体积V=23+×22×
2=(cm3).
12.(2015·潍坊高一检测)方程=lgx的根的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.无法确定
【解析】选B.设f(x)=,g(x)=lgx,则方程根的个数就是f(x)与g(x)两个函数图象交点的。

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