圆的切线的性质及判定定理 课件
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课件2：三 圆的切线的性质及判定定理
能力提升
例 如图所示，已知OC平分∠AOB，D是OC上一点， ⊙D与OA相切于点E，求证OB与⊙D的公共点，连接DF， 则DE＝DF. ∵OA与⊙D相切于点E， ∴DE⊥OA. 又∵OD平分∠AOB. ∴DF⊥OB，∴OB与⊙D相切． 分析：因为要证的是OB是⊙D的切线，所以不知道OB与 ⊙D是否有公共点，不能连接，只能过D作OB的垂线．
证明：如图，连接OD，过点O作OE⊥AC，垂足为点E.
∵⊙O与AB相切于点D， ∴OD⊥AB，且OD等于圆的半径． ∵△ABC为等腰三角形，点O是底边BC的中点， ∴∠B＝∠C，OB＝OC. 又∵∠ODB＝∠OEC＝90°， ∴△ODB≌△OEC， ∴OE＝OD， 即OE是⊙O的半径， 即圆心O到直线AC的距离等于半径． ∴AC与⊙O相切．
【正解】连接DE，过D作DF⊥OB于F， ∵OA切⊙D于E，∴DE⊥OA， ∵OD平分∠AOB，DF⊥OB， ∴DE＝DF，∴OB与⊙D相切． 【疑难点辨析】圆的切线是指与圆只有一个公共点的直线.根 据切线的定义,一定要明确切线的位置,再去证明.证明直线是 圆的切线时,无论直线是否经过圆上一点,都连接圆心与直线 上一点,这是不对的．
图形语言
作用
证明直线与圆相切
题型一 性质定理的应用
例1 如图，已知AB是⊙O的直径，ED切⊙O于D， EM⊥AB于M，交AD于C，交⊙O于F.求证：EC＝ED.
解析：方法一 连接BD(如图)，∵AB是⊙O的直径， ∴∠B＝90°－∠A，∵EM⊥AB， ∴∠ECD＝∠ACM＝90°－∠A. ∴∠ECD＝∠B. 又∵ED切⊙O于D，∴∠EDC＝∠B(证明略)． ∴∠EDC＝∠ECD.∴EC＝ED. 方法二 ∵ED切⊙O于D，连接OD. ∴OD⊥ED，∠EDA＝90°－∠ODA. ∵EM⊥AB，∴∠ECD＝∠ACM＝90°－∠A. ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠A. ∴∠EDC＝∠ECD.∴EC＝ED.
切线长定理PPT课件
求AF、BD、CE的长.
解: ∵ ⊙O与△ABC的三边都相切
∴AF＝AE,BD＝BF,CE＝CD
设AF=x(cm), BD=y(cm),CE＝z(cm)
x＋y＝9
x＝4
则有 y＋z＝14 解得 y＝5
x＋z＝13
z＝9
∴ AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm).
第十七页，共26页。
F
设AD= x , BE= y ,CE＝ r
D O·
则有
x＋r＝b y＋r＝a x＋y＝c
解得
r＝
a＋b－c
2
C
E
B
设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的
内切圆的半径 r＝ a＋b－c或r＝
2 第十八页，共26页。
ab
a＋b＋c
思考：如图，AB是⊙O的直径，
AD、DC、BC是切线，点A、E、B 为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.
AL
B
补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．
第十五页，共26页。
想一想
A
反思：在解决有关圆的
切线长问题时，往往需
。
要我们构建基本图形。 O
P
B
（1）分别连结圆心和切点 （2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
第十六页，共26页。
例题3
例3 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于
点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，
C E
C E
D
D
F
A
·O
B
A
O
B
第十九页，共26页。
例题讲解
例1、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的 切线，A、B为切点，BC是直径。
解: ∵ ⊙O与△ABC的三边都相切
∴AF＝AE,BD＝BF,CE＝CD
设AF=x(cm), BD=y(cm),CE＝z(cm)
x＋y＝9
x＝4
则有 y＋z＝14 解得 y＝5
x＋z＝13
z＝9
∴ AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm).
第十七页，共26页。
F
设AD= x , BE= y ,CE＝ r
D O·
则有
x＋r＝b y＋r＝a x＋y＝c
解得
r＝
a＋b－c
2
C
E
B
设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的
内切圆的半径 r＝ a＋b－c或r＝
2 第十八页，共26页。
ab
a＋b＋c
思考：如图，AB是⊙O的直径，
AD、DC、BC是切线，点A、E、B 为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.
AL
B
补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．
第十五页，共26页。
想一想
A
反思：在解决有关圆的
切线长问题时，往往需
。
要我们构建基本图形。 O
P
B
（1）分别连结圆心和切点 （2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
第十六页，共26页。
例题3
例3 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于
点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，
C E
C E
D
D
F
A
·O
B
A
O
B
第十九页，共26页。
例题讲解
例1、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的 切线，A、B为切点，BC是直径。
2.3 圆的切线的性质及判定定理 课件(人教A选修4-1)
1．切线的性质 (1)性质定理：圆的切线垂直于经 过 切点的半径． 如图，已知AB切⊙O于A点，则 OA ⊥AB.
(2)推论1：经过圆心且 垂直于切线 的直线必经过切点．
(3)推论2：经过切点且 垂直于切线 的直线必经过圆心．
2．圆的切线的判定方法 (1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需
添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线， 从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解， 或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等．
1. AB是圆O的直径，D为圆O上一点， 过D作圆O的切线交AB的延长线于点C，
若DA＝DC，求证：AB＝2BC.
∠BOD 是 BD 所对的圆心角，
∠BCD＝45° ， ∴∠BOD＝90° . ∵∠ADB 是△BCD 的一个外角， ∴∠DBC＝∠ADB－∠ACB ＝60° －45° ＝15° ， ∴∠DOC＝2∠DBC＝30° ， 从而∠BOC＝120° ， ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30° .
在△OEC 中，因为∠EOC＝∠ECO＝30° ， ∴OE＝EC， 在△BOE 中，因为∠BOE＝90° ，∠EBO＝30° . ∴BE＝2OE＝2EC， CE CD 1 ∴BE＝DA＝ ， 2 ∴AB∥OD，∴∠ABO＝90° ， 故 AB 是△BCD 的外接圆的切线．
交⊙O于点E，PA＝AO＝OB＝1. (1)求∠P的度数； (2)求D切点，∴OC⊥PC，△POC 为直角三角形． ∵OC＝OA＝1，PO＝PA＋AO＝2， OC 1 ∴sin ∠P＝ PO＝ .∴∠P＝30° . 2 (2)∵BD⊥PD，∴在 Rt△PBD 中， 由∠P＝30° ，PB＝PA＋AO＋OB＝3， 3 得 BD＝ . 2 连接 AE.则∠AEB＝90° ，∴AE∥PD. ∴∠EAB＝∠P＝30° ，∴BE＝ABsin 30° ＝1， 1 ∴DE＝BD－BE＝ . 2
(2)推论1：经过圆心且 垂直于切线 的直线必经过切点．
(3)推论2：经过切点且 垂直于切线 的直线必经过圆心．
2．圆的切线的判定方法 (1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需
添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线， 从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解， 或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等．
1. AB是圆O的直径，D为圆O上一点， 过D作圆O的切线交AB的延长线于点C，
若DA＝DC，求证：AB＝2BC.
∠BOD 是 BD 所对的圆心角，
∠BCD＝45° ， ∴∠BOD＝90° . ∵∠ADB 是△BCD 的一个外角， ∴∠DBC＝∠ADB－∠ACB ＝60° －45° ＝15° ， ∴∠DOC＝2∠DBC＝30° ， 从而∠BOC＝120° ， ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30° .
在△OEC 中，因为∠EOC＝∠ECO＝30° ， ∴OE＝EC， 在△BOE 中，因为∠BOE＝90° ，∠EBO＝30° . ∴BE＝2OE＝2EC， CE CD 1 ∴BE＝DA＝ ， 2 ∴AB∥OD，∴∠ABO＝90° ， 故 AB 是△BCD 的外接圆的切线．
交⊙O于点E，PA＝AO＝OB＝1. (1)求∠P的度数； (2)求D切点，∴OC⊥PC，△POC 为直角三角形． ∵OC＝OA＝1，PO＝PA＋AO＝2， OC 1 ∴sin ∠P＝ PO＝ .∴∠P＝30° . 2 (2)∵BD⊥PD，∴在 Rt△PBD 中， 由∠P＝30° ，PB＝PA＋AO＋OB＝3， 3 得 BD＝ . 2 连接 AE.则∠AEB＝90° ，∴AE∥PD. ∴∠EAB＝∠P＝30° ，∴BE＝ABsin 30° ＝1， 1 ∴DE＝BD－BE＝ . 2
圆的切线的性质及判定定理 课件
故 AC＝2AD.
【名师点评】 (1)圆的圆心；②经过切点；③垂直于切 线．用其中的某两点作条件，便能推出第三点．
(2)若题目条件中有圆的切线，可考虑连接圆心和切点，则得 垂直关系．
【名师点评】 (1)判断圆的切线的常用方法： ①和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； ②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； ③过圆的半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线． (2)判断一条直线是圆的切线时，常用辅助线的作法： ①如果已知这条直线与圆有公共点，则连接圆心与这个公共 点，设法证明连接所得到的半径与这条直线垂直，简记为“连 半径，证垂直”； ②若题目未说明这条直线与圆有公共点，则过圆心作这条直
考点突破
考点一 圆的切线的判定 例1 如图所示，在△ABC 中，已知 AB＝AC，以 AB 为直径 的⊙O 交 BC 于点 D，DE⊥AC 于点 E. 求证：DE 是⊙O 的切线．
【证明】 连接 OD 和 AD，如图所示． ∵AB 是⊙O 的直径，∴AD⊥BC. 又∵AB＝AC，∴BD＝CD. ∵AO＝OB，∴OD∥AC. ∵DE⊥AC，∴DE⊥OD， ∴DE 是⊙O 的切线．
线的垂线，得垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简
记“作垂直，证半径”．
考点二 圆的切线的性质 例2 如图，AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D，C，AC 经过圆 心 O，且 BC＝2OC.求证：AC＝2AD.
【证明】 连接 OD.因为 AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D，C， 所以∠ADO＝∠ACB＝90°. 又因为∠A＝∠A， 所以 Rt△ADO∽Rt△ACB. 所以OBCD＝AACD. 又 BC＝2OC＝2OD，
圆的切线的性质及判定定理
1．直线与圆的位置关系
直线与圆有两___个_公共点，称直线与圆相交；直线与圆只有一__个__
【名师点评】 (1)圆的圆心；②经过切点；③垂直于切 线．用其中的某两点作条件，便能推出第三点．
(2)若题目条件中有圆的切线，可考虑连接圆心和切点，则得 垂直关系．
【名师点评】 (1)判断圆的切线的常用方法： ①和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； ②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； ③过圆的半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线． (2)判断一条直线是圆的切线时，常用辅助线的作法： ①如果已知这条直线与圆有公共点，则连接圆心与这个公共 点，设法证明连接所得到的半径与这条直线垂直，简记为“连 半径，证垂直”； ②若题目未说明这条直线与圆有公共点，则过圆心作这条直
考点突破
考点一 圆的切线的判定 例1 如图所示，在△ABC 中，已知 AB＝AC，以 AB 为直径 的⊙O 交 BC 于点 D，DE⊥AC 于点 E. 求证：DE 是⊙O 的切线．
【证明】 连接 OD 和 AD，如图所示． ∵AB 是⊙O 的直径，∴AD⊥BC. 又∵AB＝AC，∴BD＝CD. ∵AO＝OB，∴OD∥AC. ∵DE⊥AC，∴DE⊥OD， ∴DE 是⊙O 的切线．
线的垂线，得垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简
记“作垂直，证半径”．
考点二 圆的切线的性质 例2 如图，AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D，C，AC 经过圆 心 O，且 BC＝2OC.求证：AC＝2AD.
【证明】 连接 OD.因为 AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D，C， 所以∠ADO＝∠ACB＝90°. 又因为∠A＝∠A， 所以 Rt△ADO∽Rt△ACB. 所以OBCD＝AACD. 又 BC＝2OC＝2OD，
圆的切线的性质及判定定理
1．直线与圆的位置关系
直线与圆有两___个_公共点，称直线与圆相交；直线与圆只有一__个__
人教版版九年级上册教材24. 圆的切线的性质和判定定理课件
证明:连接OC, ∵CD是⊙O的切线,
∴OC⊥CD. 又∵AD⊥CD,
∴OC//AD. 由此得 ∠ACO=∠CAD.
D C
∵OC=OA.
∴ ∠CAO=∠ACO.
A
O
B
∴ ∠CAD=∠CAO.
故AC平分∠DAB.
人教版版九年级上册教材24. 圆的切线的性质和判定定理课件
人教版版九年级上册教材24. 圆的切线的性质和判定定理课件
24.2.2 圆的切线的性质和 判定定理
O
r
l
A MB
l
.O
回顾：
直线与圆的
位置关系
相交
相切
相离
图形
公共点个数 公共点名称 直线名称 圆心到直线距
离d与半径r的
关系
Or
d
l
A
B
2个 交点
割线
d<r
Or d
l A
1个 切点 切线
d= r
Or d
l
没有
d> r
人教版版九年级上册教材24. 圆的切线的性质和判定定理课件
AM O
反证法
证明：假设l与OA不垂直,
作OM⊥ l于M 因“垂线段最短”, 故OA>OM, 即圆心到直线的距离小于半径. 这与“直线l是圆O的切线”矛盾. 故直线l与圆O一定垂直.
人教版版九年级上册教材24. 圆的切线的性质和判定定理课件
切线的性质定理：圆的切 线垂直于过切点的半径。
O
人教版版九年级上册教材24. 圆的切线的性质和判定定理课件
人教版版九年级上册教材24. 圆的切线的性质和判定定理课件
如图，AB、AC分别切⊙O于B、C，若
∠A=600，点P是圆上异于B、C的一动点，
圆的切线课件
通过圆上一点作切线
总结词
通过圆上一点作切线需要利用半径垂直于切线的性质。
详细描述
选取圆上任意一点，然后通过这一点作一条直线与圆相切，即为切线。这种方法 需要利用圆的性质，即半径垂直于切线。
通过圆外一点作切线
总结词
通过圆外一点作切线需要利用垂径定 理和切线的性质。
详细描述
选取圆外任意一点，然后通过这一点 作一条直线与圆相切，即为切线。这 种方法需要利用垂径定理和切线的性 质，即半径与切线垂直且半径长度等 于圆心到切点的距离。
判定方法三
利用圆的性质，通过观察 圆心到直线的距离是否等 于半径来判断是否为切线 。
02 圆的切线的性质定理
切线与半径垂直
切线与经过切点的半径垂直， 这是切线的基本性质。
在几何学中，这一性质用于证 明切线的其他性质和定理。
在实际应用中，这一性质可用 于确定某直线是否为圆的切线 。
切线长定理
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。 这一性质在几何作图和证明中非常有用，特别是在解决与圆和切线相关的问题时。
05 圆的切线的相关定理和推论
切线与半径之间的夹角定理
总结词
切线与半径之间的夹角定理描述了切线与半径之间的角度关系。
详细描述
切线与半径之间的夹角是直角，即切线与半径垂直。这个定理是圆的基本性质之一，是证明其他切线定理的基础 。
切线长定理的推论
总结词
切线长定理的推论给出了切线长度与半径之间的关系。
圆的切线ppt课件
目录
Contents
• 圆的切线的基本概念 • 圆的切线的性质定理 • 圆的切线的应用 • 圆的切线的作法 • 圆的切线的相关定理和推论
01 圆的切线的基本概念
初中数学九年级上册《切线的概念、切线的判定和性质》PPT课件(共12张PPT)
直线和⊙O相离
d＞r (没有公共点)
直线和⊙O相切
d = r (一个公共点)
直线和⊙O相交
d＜r (两个公共点)
第2页，共12页。
如图在⊙O中经过半径OA的外端点A 做直线l⊥OA,则圆心O到直线 l 的距离 是多少？
直线 l 和⊙O有什么位置关系?
o
A
l
这时圆心O到直线 l 的距离就是⊙O的半径．
·O
∵ l2切⊙O于B，OB是半径
∴ l2⊥OB.
又∵ AB为直径，
l2
B
∴ l1∥ l2 .
第8页，共12页。
知识拓展
▪ 例2．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB
的延长线上，且∠DCB= ∠A．
▪ （1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相 切，请说明理由．
▪ （2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．
1.如图 AB是⊙O的直径,∠ABT=45°AT=AB,
求证AT 是⊙O的切线. 证明: ∵ AT=AB,∠ABT = 45°，
∴ ∠ATB = ∠ABT=45 °.
∴ ∠TAB = 180°－∠ATB－∠ABT
B
= 90°.
∴ TA⊥OA.
·O
又∵ OA是⊙O的半径 ∴ AT是⊙O的切线.
T
A
第6页，共12页。
▪ 归纳小结
▪ 本节课应掌握： ▪ 1．直线和圆相交、割线、直线和圆相切，切线、切点、直线和圆
相离等概念． ▪ 2．设⊙O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d则有： ▪ 直线L和⊙O相交d<r
▪ 直线L和⊙O相切d=r
▪ 直线L和⊙O相离d>r
《切线的性质和判定》PPT课件
常添辅助线
连接圆心和切点
垂直于
切点
圆心
惟一
半径
垂直于
┃考点聚焦
考点2 切线长及切线长定理
切线长
在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长________，圆心和这一点的连线________两条切线的夹角
基本图形
如图所示，点P是⊙O外一点，PA、PB切⊙O于点A、B，AB交PO于点C，则有如下结论：(1)PA＝PB；(2)∠APO＝∠BPO＝∠OAC＝∠OBC，∠AOP＝∠BOP＝∠CAP＝∠CBP
切线的性质和判定
- .
考点1 圆的切线
切线的性质
圆的切线________过切点的半径
推论
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必过________；(2)经过切点且垂直于切线的直线必过________
切线的判定
(1)和圆有________公共点的直线是圆的切线；(2)如果圆心到一条直线的距离等于圆的________，那么这条直线是圆的切线；(3)经过半径的外端并且________这条半径的直线是圆的切线
探究一、圆的切线的性质
┃归类探究
┃归类探究
┃归类探究
命题角度：1．利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条直线是圆的切线；2．利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，判定这条直线是圆的切线．
探究二、圆的切线的判定方法
┃归类探究
┃归类探究
┃归类探究
┃归类探究
命题角度：1．利用切线长定理计算；2．利用切线长定理证明．
相等
平分
┃考点聚焦
考点3 三角形的内切圆
连接圆心和切点
垂直于
切点
圆心
惟一
半径
垂直于
┃考点聚焦
考点2 切线长及切线长定理
切线长
在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长________，圆心和这一点的连线________两条切线的夹角
基本图形
如图所示，点P是⊙O外一点，PA、PB切⊙O于点A、B，AB交PO于点C，则有如下结论：(1)PA＝PB；(2)∠APO＝∠BPO＝∠OAC＝∠OBC，∠AOP＝∠BOP＝∠CAP＝∠CBP
切线的性质和判定
- .
考点1 圆的切线
切线的性质
圆的切线________过切点的半径
推论
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必过________；(2)经过切点且垂直于切线的直线必过________
切线的判定
(1)和圆有________公共点的直线是圆的切线；(2)如果圆心到一条直线的距离等于圆的________，那么这条直线是圆的切线；(3)经过半径的外端并且________这条半径的直线是圆的切线
探究一、圆的切线的性质
┃归类探究
┃归类探究
┃归类探究
命题角度：1．利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条直线是圆的切线；2．利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，判定这条直线是圆的切线．
探究二、圆的切线的判定方法
┃归类探究
┃归类探究
┃归类探究
┃归类探究
命题角度：1．利用切线长定理计算；2．利用切线长定理证明．
相等
平分
┃考点聚焦
考点3 三角形的内切圆
切线的判定和性质定理_课件
提示：连接AO，DO，作 OE⊥AC 于点E．
E
总结：看到切线，就要连接切点和圆心，利用切线性质．
AB 是 ⊙O 的直径，AE 平分∠BAC 交 ⊙O 于点E，过点 E 作⊙O 的切线交AC 于点D，试判断△AED 的形状，并说明理 由提．示：连接OE．
答案：△AED是直角三角形． 总结：看到切线，就要连接切点和圆心，利用切线性质．
判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法? 有以下三种方法： 1．定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线． 2．数量法（d=r）：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆 的切线． 3．判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的 切线．
生活中的切线
1．当你在下雨天快速转
2．砂轮打磨零件时
知识回顾 直线和圆的位置关系
相交
图形
公共点个数 公共点名称 直线名称 距离d与半径r的关系
2个 交点 割线 d＜r
相切
相离
1个 切点 切线 d=r
0个 —— —— d＞r
思考
如图，在 ⊙O 中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线 l⊥OA， 则圆心 O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 和 ⊙O 有什么位置关 系？
圆的切线垂直于过切点的半径．
切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径．
几何表述： ∵ l 与 ⊙O 相切于点 A ∴ OA⊥l
切线的性质定理的证明
证明切线性质定理需要用到反证法：
假设OA与 l 不垂直，
过点O 作OM⊥l，垂足为M．
M
根据垂线段最短的性质，有OM＜OA，
这说明圆心 O 到直线l的距离小于半径OA．
提示：连接OD，证明三角形全等.
补充题
圆的切线的性质及判定定理 课件
证明：连接OQ. ∵QR是⊙O的切线， ∴OQ⊥QR. ∵OB＝OQ， ∴∠B＝∠OQB. ∵BO⊥OA， ∴∠BPO＝90°－∠B＝∠RPQ， ∠PQR＝90°－∠OQP， ∴∠RPQ＝∠PQR， ∴RP＝RQ
1．分析圆的切线的性质定理及两个推论的条件和结论间 的关系，可以得出如下结论：如果一条直线具备下列三个条件 中的任意两个，就可以推出第三个：①垂直于切线；②过切点； ③过圆心．于是，在利用切线性质时，通常作的辅助线是过切 点的半径．
PA=AO=OB=1. (1)求∠P的度数. (2)求DE的长. 解析：(1)如图，连接OC. ∵点C为切点， ∴OC⊥PC，△POC为直角三角形. ∵OC=OA=1,PO=PA+AO=2, ∴sin∠ p OC 1 ,
PO 2
∴∠P=30°
(2)∵BD⊥PD, ∴在Rt△PBD中，由∠P=30°， PB=PA+AO+OB=3,得BD= 3 .
A．∠1＝∠2＝∠3 B．AM·CN＝CM·BN C．CM＝CD＝CN D．△ACM∽△ABC∽△CBN
5．如图所示，⊙O是正△ABC的内切圆，切点分别为E、 F、G，P是 EG 上任意一点，则∠EPF的度数等于( C )
A．120° B．90° C．60° D．30°
6．如图所示，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90°， AO的延长线交BC于点D，AC＝4，CD＝1，则⊙O的半径等 于( A )
解析：连接 OA.∵AP 为⊙O 的切线， ∴OA⊥AP. 又∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°. ∴在 Rt△AOP 中，OA＝1，PA＝OA·tan 60°＝ 3. 答案： 3
9．PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝5，在劣弧 AB上取一点 C，过C作⊙O的切线， 分别交PA、PB于D、E两点，则△PDE
圆的切线的性质及判定定理 课件
[解题过程] (1)证明：依据题意，得 a＋b＝c＋4，ab＝4(c＋2)， 则 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab ＝(c＋4)2－2×4(c＋2)＝c2， 所以△ABC 是直角三角形．
(2)∵∠C＝90°，tan A＝ab＝34， ∴不妨设 a＝3k，b＝4k，则 c＝5k(k>0)， 代入 a＋b＝c＋4，得 k＝2. ∴a＝6，b＝8，c＝10. 连接 OE，得 BC∥OE. ∴OBCE＝AAOB，即O6E＝10－10OE.解得 OE＝145. 在 Rt△AOE 中，tan A＝OAEE＝34，∴AE＝5.
[规律方法] 用切线的性质定理求解线段的长度时，应注 意哪些问题？
(1)如果已知三边的一元二次方程，可利用韦达定理建立起 三角形的三边之间的关系；
(2)在应用切线的性质定理及其推论进行几何证明和求解 时，如果已知切点，则连接圆心和切点构成垂直是一种常用的 方法．
(江苏高考)AB是圆O的直径，D为圆O上一点， 过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA＝DC，求证：AB
[思路点拨]
[解题过程] 如图所示，连接OA、OB、OC．
∵PA和PB分别切⊙O于点A和B， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°. ∴∠AOB＋∠APB＝180°. ∴∠AOB＝180°－∠APB＝140°. ∵DC切⊙O于点C，∴∠OCD＝90°.
又∵∠PAO＝90°， 在 Rt△CDO 与 Rt△ADO 中， 有 OD＝DO，CO＝AO， ∴△CDO≌△ADO.
∴∠COD＝∠AOD＝12∠COA． 同理可证，∠COE＝∠BOE＝12∠COB．
∴∠DOE＝12(∠COA＋∠COB)＝12×140°＝70°.
[规律方法] (1)如何利用切线性质定理及推论求解有关角 的问题？
圆的切线的性质及判定定理 课件
∴∠1＝∠3，∴OD∥AE.
∵DE⊥AE，∴DE⊥OD， 即 DE 是⊙O 的切线．
(2)过 D 作 DG⊥AB， ∵∠1＝∠2，∴DG＝DE＝3. 在 Rt△ODG 中，OG＝ 52－32＝4， ∴AG＝4＋5＝9.
∵DG⊥AB，FB⊥AB，∴DG∥FB.
∴△ADG∽△AFB，∴DBFG＝AAGB. ∴B3F＝190，∴BF＝130.
【自主解答】 (1)如图所示，连接 BC. ∵CD 为⊙O 的切线， ∴OC⊥CD. 又 AD⊥CD，
∴OC∥AD.
(2)∵AC 平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB. ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. 又 AD⊥CD，∴∠ADC＝90°， ∴△ADC∽△ACB. ∴AADC＝AACB，∴AC2＝AD·AB. ∵AD＝2，AC＝ 5，∴AB＝52.
1．“以圆的两条平行切线的切点为端点的线段是圆的 直径”这句话对吗？为什么？
【提示】 正确．如图 AB、CD 分别切⊙O 于 E、F， 连接 EO 并延长交 CD 于 F′，∵AB 是⊙O 的切线，∴OE
⊥AB.∵AB∥CD，∴OF′⊥CD，∴F′为切点，∴F′与 F
重合，即 EF 是⊙O 的直径．
圆的切线的性质及判定定理
1．切线的性质定理及推论
(1)性质定理：圆的切线垂直于经过 切点的半径．
如图 2－3－1，已知 AB 切⊙O 于点 A，则 OA⊥AB.
(2)推论 1：经过圆心且 垂直于切线的直线 必经过切点． (3)推论 2：经过切点且 垂直于切线的直线 必经过圆心．
图 2－3－1
2．切线的判定定理 经过半径的 外端 并且 垂直于 这条半径的直线是圆的 切线．
如图 2－3－2 所示，已知
AB 是⊙O 的直径，直线 CD 与⊙O 相切 于点 C，AC 平分∠DAB，AD⊥CD.
∵DE⊥AE，∴DE⊥OD， 即 DE 是⊙O 的切线．
(2)过 D 作 DG⊥AB， ∵∠1＝∠2，∴DG＝DE＝3. 在 Rt△ODG 中，OG＝ 52－32＝4， ∴AG＝4＋5＝9.
∵DG⊥AB，FB⊥AB，∴DG∥FB.
∴△ADG∽△AFB，∴DBFG＝AAGB. ∴B3F＝190，∴BF＝130.
【自主解答】 (1)如图所示，连接 BC. ∵CD 为⊙O 的切线， ∴OC⊥CD. 又 AD⊥CD，
∴OC∥AD.
(2)∵AC 平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB. ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. 又 AD⊥CD，∴∠ADC＝90°， ∴△ADC∽△ACB. ∴AADC＝AACB，∴AC2＝AD·AB. ∵AD＝2，AC＝ 5，∴AB＝52.
1．“以圆的两条平行切线的切点为端点的线段是圆的 直径”这句话对吗？为什么？
【提示】 正确．如图 AB、CD 分别切⊙O 于 E、F， 连接 EO 并延长交 CD 于 F′，∵AB 是⊙O 的切线，∴OE
⊥AB.∵AB∥CD，∴OF′⊥CD，∴F′为切点，∴F′与 F
重合，即 EF 是⊙O 的直径．
圆的切线的性质及判定定理
1．切线的性质定理及推论
(1)性质定理：圆的切线垂直于经过 切点的半径．
如图 2－3－1，已知 AB 切⊙O 于点 A，则 OA⊥AB.
(2)推论 1：经过圆心且 垂直于切线的直线 必经过切点． (3)推论 2：经过切点且 垂直于切线的直线 必经过圆心．
图 2－3－1
2．切线的判定定理 经过半径的 外端 并且 垂直于 这条半径的直线是圆的 切线．
如图 2－3－2 所示，已知
AB 是⊙O 的直径，直线 CD 与⊙O 相切 于点 C，AC 平分∠DAB，AD⊥CD.
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【典例训练】
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3 cB的关系为( )
(A)相切
(B)相离
(C)相交
(D)无法判断
2.如图所示，CB为⊙O的直径，P是CB的延
长线上一点，且OB=BP，∠AOC=120°，
则PA与⊙O的位置关系是_____.
圆的切线的性质
圆的切线的性质 (1)已知一条直线是圆的切线时,常作出过切点的半径,则该半 径垂直于切线,从而出现了直角. (2)从圆外一点引圆的两条切线,这点与圆心的连线平分这两条 切线的夹角,这点到切点的切线长相等. (3)连接圆的两条平行切线的切点的线段是圆的直径.
【典例训练】 1.如图所示，DB，DC是⊙O的两条切线，A是圆上一点，已知 ∠D=46°，则∠A=_____.
DO AD
AD
2.如图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上的一点，AC是 半圆O的切线，D为切点，BC⊥AC于C，若BC=6，AC=8，则 AE=_______.
【解析】1.如图所示，连接OB，OC，
则OB⊥BD，OC⊥CD，
则∠DBO+∠DCO=90°+90°=180°，
则四边形OBDC内接于一个圆，
则有∠BOC=180°-∠D=180°-46°=134°，
【解析】连接OC，∵OA=OB,AC=CB,OC=OC, ∴△OAC≌△OBC, ∴∠OCA=∠OCB=90°, ∴直线AB与⊙O相切. 答案：相切
1.圆的切线的其他相关性质 (1)切线和圆只有一个公共点; (2)切线和圆心的距离等于圆的半径; (3)过圆心且过切点的直线与过该点的切线垂直.
2.切线的判定定理 在切线的判定定理中要分清定理的题设和结论，“经过半径外 端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是 圆的切线，如图①②中的例子就不同时满足这两个条件，所以 都不是圆的切线.
1 3r 1 4r 1 5r
2
2
2
6r 4 3 , 2
∴r=1.
答案：1
2.(1)∵AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°.
∵⊙O内切于梯形ABCD,
∴AO平分∠BAD,有∠DAO=1 ∠BAD,
2
DO平分∠ADC,有∠ADO1= ∠ADC，
2
∴∠DAO+∠ADO=1 (∠BAD+∠ADC)=90°，
A
D
E
C
·O
∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=30°. 在△OEC中, ∵∠EOC=∠ECO=30°,∴OE=EC. 在△BOE中,∵∠BOE=90°,∠EBO=30°, ∴BE=2OE=2EC,∴CE CD 1 ,
BE DA 2
∴AB∥OD,∴∠ABO=90°, 故AB是△BCD的外接圆的切线.
2
∴∠AOD=180°-(∠DAO+∠ADO)=90°.
(2)∵在Rt△AOD中,AO=8 cm,DO=6 cm,
∴由勾股定理,得AD= ∵E为切点,
AO2 =DO102 cm.
∴OE⊥AD,有∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠AOD.
又∠OAD为公共角,∴△AEO∽△AOD，
∴ OE AO ,OE=4.A8OcDmO.
圆外切三角形和四边形
1.圆外切三角形的四个性质 (1)圆心是三角形的内心. (2)半径等于圆心到三角形边的距离. (3)圆心与切点的连线与三角形对应的边垂直. (4)圆心和三角形顶点的连线平分三角形对应的角.
2.圆外切四边形的有关结论 四边分别与圆相切的四边形称为圆外切四边形. 四边形是圆外切四边形的充要条件是四边形的对边和相等.
1.垂直于半径的直线是圆的切线对吗？为什么？ 提示:这种说法错误.根据圆的切线的判定定理，主要考查两个 条件：(1)直线过半径的外端；(2)直线垂直于这条半径，这两 个条件缺一不可.故此说法错误. 2.经过直径的一端且垂直于这条直径的直线是圆的切线对吗？ 为什么？ 提示:这种说法正确.因为直径有两个端点，且都为半径的外端， 因此具备了切线判定中的两个条件，故此说法正确.
又OB=BP,∴AB=BP,∴∠P=∠BAP. 又∠OBA=60°,∴∠P=30°. 又∠AOB=60°,∴∠OAP=90°. ∴OA⊥AP,则PA与⊙O相切. 答案：相切
3.如图，连接OB,OC,OD，OD交BC于E. ∵∠DCB是 BD所对的圆周角, ∠BOD是BD所对的圆心角,∠BCD=45°, B ∴∠BOD=90°. ∵∠ADB是△BCD的一个外角, ∴∠DBC=∠ADB-∠ACB=60°-45°=15°， ∴∠DOC=2∠DBC=30°, 从而∠BOC=120°.
圆的切线的性质及判定定理
1.切线的性质 (1)性质定理：圆的切线垂直于经过__切__点__的__半__径___. (2)推论1：经过圆心且_垂__直__于__切__线____的直线必经过切点. (3)推论2：经过切点且_垂__直__于__切__线____的直线必经过圆心. 2.切线的判定定理 经过半径的__外__端___并且__垂__直__于___这条半径的直线是圆的切线.
3.已知D是△ABC的边AC上的一点,AD∶DC=2∶1,∠C=45°, ∠ADB=60°, 求证:AB是△BCD的外接圆的切线.
【解析】1.选A.∵⊙C的圆心到AB的距离d=r=2.4 cm. ∴⊙C与AB相切. 2.如图，连接AB， ∵∠AOC=120°,∴∠AOB=60°. 又OA=OB, ∴△AOB是等边三角形， ∴OB=AB.
【典例训练】 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，AB=5，则Rt△ABC的 内切圆的半径r=______. 2.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD, ⊙O为内切圆,E为切点. (1)求∠AOD的度数; (2)若AO=8 cm,DO=6 cm,求OE的长.
【解析】1.如图所示，S△ABC=
所以∠A= 1∠BOC= 1×134°=67°.
2
2
答案：67°
2.连接OD,设半圆O的半径为r,因为BC=6，
AC=8,BC⊥AC,所以AB=10.因为AC是半圆
O的切线，所以OD⊥AC.又因为BC⊥AC，
所以OD∥BC,所以 OD A即O ,
BC AB
r 10 r , 解得 r 15 ,
6 10
4
所以AE=AB-2r=5 .
2
答案： 5
2
【想一想】利用圆的切线的性质定理及推论进行计算时的关键 是什么？ 提示：利用圆的切线解决问题时的关键是作辅助线，即连接切 点和圆心的半径，从而得到直角.
圆的切线的判定
判定直线与圆相切的三种方法 (1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. (2)到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线. (3)过半径外端且和这条半径垂直的直线是圆的切线.
3.如图所示，直线l与⊙O相切于点A，点B是l上任意一点(与A不 重合)，则△OAB是_______三角形.
【解析】∵l与⊙O相切，∴l⊥OA， ∴∠OAB=90°, ∴△OAB是直角三角形. 答案：直角
4.如图，AB经过⊙O上一点C，且OA=OB，AC=CB，则直线AB与 ⊙O的位置关系是______.