直线与圆的位置关系(2)----切线的判定定理和性质定理

1.直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB, 求证:直线AB是⊙O的切线.
①过半径外端 ②垂直于这条半径。
辅助线： 有交点连半径，证垂直
练习：
1.已知:如图,A是⊙O外一点,AO的延 长线交⊙O于点C,点B在圆上,且 AB=BC, ∠A=30.
求证:直线AB是⊙O的切线.
B
C
O
A
2.如图，点D是∠AOB的平分线OC上任意一点， 过D作DE⊥OB于E，以DE为半径作⊙D，判 断⊙D与OA的位置关系， 并证明你的结论。
•
求证：AB=AC
B DC
例3、如图，在△ABC中， AB=AC，O是BC的中
点，以O为圆心的⊙O切AB于D，
求证：⊙O也和AC相切.
B
A
D
E
.O C
一、切线的定义：直线和圆有唯一公共点时，叫做直 线和圆相切．直线叫圆的切线 二、切线的判定：切线的判定方法有三
①直线和圆有唯一公共点． ②直线到圆心的距离等于该圆半径． ③切线的判定定理． • 三、切线的性质 • 1）圆的切线和圆有唯一公共点. • 2）切线到圆心的距离等于该圆半径． • 3）圆的切线垂直于经过切点的半径. • 4）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. • 5）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
24.2.2 直线和圆的位置关系(2)
-----切线的判定定理和性质定理
直线与圆的位置关系量化
r ●O ┐d
相交
直线和圆相交
直线和圆相切
直线和圆相离
r ●O
d ┐ 相切
d < r;
r ●O
d
┐ 相离
d = r;
d > r;
画⊙O及半径OA，画一条直线L过半径 OA的外端点，且垂直于OA，
.O
L A
直线与圆的位置关系？能说明 理由吗？
.O
L A
.O
L A 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是 圆的切线.
切线的判定定理：经过半径外端 并且垂直于这条半径的直线是圆 的切线。
判断下图直线L是否是⊙O的切线？ 并说明为什么。
证两②明个垂一条直条件于直缺这线一条为不半A圆可径AAO的：。O切①线过时半lll ，径必外须端 l
C
A
求证：AB是⊙O 的直径
证明：作OE∥AC，连结OA、OB
O
∵AC∥BD ∴AC∥BD∥OE
E
∵ AC、BD分别切⊙O 于点A、B
∴OA⊥ AC OB⊥ BD
D
B
∴OA⊥ OE OB⊥ BD 即∠AOE=∠BOE=900
∴∠AOB=∠AOE+∠BOE=1800
∴A、O、B三点共线
AB是⊙O 的直径
切线的判定方法 有三种： ①直线与圆有唯一公共点； ②直线到圆心的距离等于该圆的半径； ③切线的判定定理．
性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径。
点切线互相垂直，垂足为D．
求证：AC平分∠DAB．
D
证明：连结OC．
C
21
A
3
O
B
∠2=∠3
方法小结: 在解关圆的切线问题时.常常需要作出过 切点的半径
例2、如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC
于D，DE交AC于E
A
（1）若AB=AC，DE切⊙O于D.
求证：DE⊥AC
.O E
• （2）若DE切⊙O于D，且DE⊥AC
∠CAE＝∠B，AE与⊙O还相切于点A吗？
O
A
B
E
C
a
B A
O
C E
b
练习1 如图，两个圆是以O为圆心的同心圆， 大圆的弦AB是小圆的切线，切点为C．
求证：C是AB的中点．
证明：连结OC． AB切小圆O于点C
AC=BC．
OC⊥AB
2 、 如果圆的两条切线互相平行,则连结切点的线段是直径
已知:如图AC、BD分别切⊙O 于点A、B，且AC∥BD
A
辅助线： 无交点做垂直，证半径 O
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C D
E
B
已知直线L 是⊙O的切线，切点为A， 连接0A，你发现了什么？
.O
L A
切线的性质定理：圆的切线垂直 于过切点的半径。
.O
L A
判定定理：
①过半径外端 ②垂直于这条半径。
性质定理：
①圆的切线 ②过切点的半径。
切线 切线垂直于半径
三、知识应用
例1.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C
B
１如图, ⊙O切PB于点
B,PB=4,PA=2,则 ⊙O的半径多少？
OA P
2 如图：PA,PC分别切圆
C
O于点A,C两点,B为圆O
上与A,C不重合的点,若 B ∠P=50°,则∠ABC=___
O
P
A
如图（a）AB为⊙O的直径，△ABC 内接于⊙O，且∠CAE＝∠B 1、试说明AE与⊙O相切于点A。 2、如图（b）,若AB是⊙O的非直径的弦，且