7、切线的判定和性质定理

提示：连接AO，DO，作 OE⊥AC 于点E．
E
总结：看到切线，就要连接切点和圆心，利用切线性质．
AB 是 ⊙O 的直径，AE 平分∠BAC 交 ⊙O 于点E，过点 E 作⊙O 的切线交AC 于点D，试判断△AED 的形状，并说明理 由提．示：连接OE．
答案：△AED是直角三角形． 总结：看到切线，就要连接切点和圆心，利用切线性质．
切线的判定和性质定理
教学目标 理解切线的判定定理与性质定理． 会应用切线的判定定理和性质定理解决简单问题．
教学重点 切线的判定定理和性质定理的应用．
教学难点 切线的判定定理和性质定理的应用．
知识回顾 直线和圆的位置关系
相交
图形
公共点个数 公共点名称 直线名称 距离d与半径r的关系
2个 交点 割线 d＜r
判定的辨析 判断下列说法的正误： 1．过半径的外端的直线是圆的切线． （ ） 2．与半径垂直的的直线是圆的切线． （ ） 3．过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线． （ ）
反思 利用判定定理判定切线需要两个条件，缺一不可： ①经过半径的_外___端___； ②__垂__直___于这条半径．
切线判定方法的归纳
总结：有交点，连半径，证垂直．
如图，△ABC 中，AB =AC，以 AB 为直径的 ⊙O 交边 BC 于P ， PE ⊥ AC 于E．求证：PE 是 ⊙O 的切线． 提示：连接OP．
总结：有交点，连半径，证垂直．
如图，已知：O 为 ∠BAC 平分线上一点，OD⊥AB于D，以 O 为圆心，OD 为半径作 ⊙O．求证：⊙O 与 AC 相切． 提示：作 OE⊥AC 于点E .
提示：连接OD，证明三角形全等.
补充题
已知：如图 △ABC 中，AC =BC，以 BC 为直径的 ⊙O 交 AB 于点D，过点 D 作 DE⊥AC 于E，交 BC 的延长线于点F． 求证：（1）AD =BD；（2）DF 是 ⊙O 的切线．
思考 如图，如果直线 l 是 ⊙O 的切线，切点为 A，那么半径 OA 与直线 l 是不是一定垂直呢？
这节课我们学到了什么？
①过半径外端 ②垂直于这条半径
切线
2. 切线性质定理
①圆的切线 ②过切点的半径
切线垂直于半径
动雨伞时，水滴顺着伞
，溅出火星沿着砂轮
的什么方向飞出去的？
的什么方向飞出去的
都
？
是
切
线
方
向
切线的画法 已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？
①连接这个点和圆心 ②过该点作该半径的垂线
如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 D 在 AB 的延长线上，BD =OB，点 C 在圆上，∠CAB =30°. 求证：DC 是 ⊙O 的切线 ． 提示：连接OC，BC .
圆的切线垂直于过切点的半径．
切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径．
几何表述： ∵ l 与 ⊙O 相切于点 A ∴ OA⊥l
切线的性质定理的证明
证明切线性质定理需要用到反证法：
假设OA与 l 不垂直，
过点O 作OM⊥l，垂足为M．
M
根据垂线段最短的性质，有OM＜OA，
这说明圆心 O 到直线l的距离小于半径OA．
方法归纳
如果条件中出现了切线， 一定要主动连接__切__点___和__圆__心____， 然后利用切线_垂__直___于半径的性质．
切线性质定理 什么是切线性质定理？ 怎么应用切线性质定理？ 看到切线应该想到什么辅助线？
如图，AB 是 ⊙O 的直径，直线 l1，l2是 ⊙O 的切线，A，B 是切点． l1，l2有怎样的位置关系？证明你的结论．
总结：有交点，连半径，证垂直．
在 Rt△ABC 中，∠B=90°，∠A 的平分线交 BC 于 D，以 D 为 圆心，DB 长为半径作 ⊙D．试说明：AC 是 ⊙D 的切线． 提示：作DE⊥AC 于点E .
E
总结：无交点，作垂直，证半径．
方法归纳 刚才两个例题的证法有何不同？
E
有交点，连半径，证垂直． 无交点，作垂直，证半径．
于是直线l与圆相交，这与直线 l 是 ⊙O 的切线矛盾．
因此，半对比 切线判定定理 ①过半径外端 ②垂直于这条半径 切线性质定理 ①圆的切线 ②过切点的半径
切线 切线垂直于半径
已知：△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，腰 AB 与 ⊙O 相切于点 D. 求证： AC 是⊙O 的切线．
如图 CB 是 ⊙O 的切线，C 是切点，OB 交 ⊙O 于D， ∠B＝ 30°， OB =6cm，求BC．
提示：连接切点和圆心．
已知，如图 AB 是 ⊙O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接 BC． 求证：BC 平分∠PBD． 提示：连接OC．
总结：看到切线，就要连接切点和圆心，利用切线性质．
补充题
如图，在直角梯形ABCD 中，∠B =90°，AD∥BC， ∠C = 30° ，AD =1，AB =2．试猜想在 BC 是否存在一点P，使得 ⊙P 与线段CD、AB 都相切．如存在，请确定 ⊙P 的半径；如不存 在，请说明理由．
总结 1. 切线判定定理
相切
相离
1个 切点 切线 d=r
0个 —— —— d＞r
思考
如图，在 ⊙O 中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线 l⊥OA， 则圆心 O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 和 ⊙O 有什么位置关 系？
可以看出，这时圆心 O 到直 线 l 的距离就是 ⊙O 的半径 ，所以直线 l 是 ⊙O 的切线 ． 这样，我们就得到了切线的判定定理：
E 总结：无交点，作垂直，证半径．
如图，△ABC 中，AB =AC，AO⊥BC 于O，OE⊥AC 于E， 以O 为圆心，OE 为半径作 ⊙O ． 求证：AB 是 ⊙O 的切线 ．提示：作OF⊥AB 于点F.
F
总结：无交点，作垂直，证半径．
补充题 AB 为 ⊙O 直径，BC 为 ⊙O 切线，切点为B，CO 平行于弦 AD，作直线DC． 求证：DC 是⊙O 的切线．
切线判定定理 什么是切线判定定理？ 用切线判定定理证明切线时需要哪几个条件？
如图，AB 是 ⊙O 的直径，∠ABT =45°，AT =AB． 求证：AT 是 ⊙O 的切线．
直线 AB 经过 ⊙O 上的点 C，并且OA=OB，CA=CB． 求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线． 提示：连接OC .
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
几何表述： ∵ OA ⊥ l ，OA 是半径 ∴ l 是 ⊙O 的切线 利用判定定理判定切线需要几个条件？ 两个条件 ①经过半径的_外___端___； ②__垂__直___于这条半径．
判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法? 有以下三种方法： 1．定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线． 2．数量法（d=r）：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆 的切线． 3．判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的 切线．
生活中的切线
1．当你在下雨天快速转
2．砂轮打磨零件时