圆的切线性质定理

圆的切线的判定与性质

【知识点精析】

1. 直线与圆有三种位置关系，其中直线与圆只有唯一的公共点，叫直线与圆相切，这个公共点叫切点。这条直线叫圆的切线。

2. 圆的切线的判定与性质：

（1）判定：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

判定一条直线是圆的切线需要满足以下两个条件：①经过半径外端②垂直于半径

（2）圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。

注意：应用圆的切线性质时，需指出切线和切点，才可推出垂直的结论。

例如：已知如图，PO是∠APB的平分线，以O为圆心的圆与PA相切于点C。

3. 切线长定理：

（1）切线长定义：从圆外一点向圆作切线，这点与切点的线段长叫切线长。

圆外一点向圆只能做两条切线，因此有两条切线长。

（2）切线长性质

从圆外一点向圆所引的两条切线长相等，并且这点与圆心的连线平分两条切线所夹的角。

例如：从圆外一点引圆的两条切线，若两切线的夹角为60°，两切点的距离为12求圆半径

（3）三角形的内切圆：对比三角形的外接圆来学习三角形的内切圆

三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆

三角形外接圆的圆心叫三角形的外心

三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等

三角形的外心是三角形三边中垂线的交点

三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆

三角形内切圆的圆心叫三角形的内心

三角形的内心到三角形三边的距离相等

三角形的内心是三角形三角平分线的交点

【解题方法指导】

一切线长定理的计算

例1. 已知如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，点C在AC上，CD为⊙O直径，⊙O切AB于E，若BC=5，AC=12，求⊙O的半径

B

C

2 在△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，AC=3，则内切圆半径为____________。

二等腰三角形在证明切线中的巧用

例3、如图7-53，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点切线互相垂直，垂足为D．

求证：AC 平分∠DAB ．

4已知：AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，D 为AB 上一点，过D 点作AB 的垂线DE 交AC 于F ，EF=EC 。

求证：EC 与⊙O 相切。

5、如图，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过点B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BE

CE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？并证明你的结论．

7、 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=900

，以AB 为直径的⊙O 交AC 于E 点，D 为BC 的中点。 求证：DE 与⊙O 相切。

三 到直线的距离等于半径在证明切线巧用

8、 已知：△ABC 中AB=AC ，O 为BC 的中点，以O 为圆心的圆与 AC 相切于点E ，

求证：AB 与⊙O 也相切。

9.已知：在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 和CD 相等，且AB 与小圆相切于点E ，求证：CD

O

B

A C

E D

A

B C

O E

O B

A C

D E

F

与小圆相切。

10．已知：如图，P 是∠AOB 的角平分线OC 上一点．PE ⊥OA 于E ．以P 点为圆心，PE 长为半径作 ⊙P 求证：⊙P 与OB 相切

四 平行线在证明切线中的巧用

例11、如图，AN 是⊙O 的直径，⊙O 过BC 的中点D ．DE ⊥AC ． 求证：DE 是⊙O 的切线．

12、已知：以等腰△ABC 的一腰AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，，过D 作DE ⊥AC 于E ， 求证：DE 是⊙O 的切线。

13．已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以AC 为直径的半圆O 交AB 于F ，E 是BC 的中点．

求证：直线EF 是半圆O 的切线．

O

E

A

B

D

C

B C

D

A

O

E

14．已知：如图，△ABC 中，AC =BC ，以BC 为直径的⊙O 交AB 于E 点，直线EF ⊥AC 于F ．

求证：EF 与⊙O 相切．

五 外接圆内切圆的有关计算

15. 已知圆的半径r 和圆心到直线的距离d 满足等式r d dr 2

2

2+=，则圆与直线的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交式相离 16 如图，I 是△ABC 内心，则∠BIC 与∠A 的关系是（ ） A. ∠BIC=2∠A B. ∠BIC=180°－∠A

C. ∠BIC=901

2

︒-

∠A

D. ∠BIC=9012

︒+

∠A

A B C

I

17. 若三角形的三边长分别为1，1和2，则外接圆的半径为____________。 18. 等边三角形的边长为4cm ，它的外接圆的面积为____________cm 2

。

19 已知等边三角形的边长为4，则它的内切圆与外切圆组成的圆环面积为__________。