3.1 第三章 ,第一节外测度

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第三章测度理论

第三章测度理论本章先介绍集合的外测度定义与性质，然后引入可测集的定义、讨论可测集的性质，最后研究了可测集的构造。

其目的在于为改造积分定义时对分割、求和所涉及的不太规则集合求相应的“长度”、“面积”、“体积”。

§３.１外测度本节仍设X 是一固定的非空集,)(X P 是X 的全体子集所成的集类. 外测度设C 是一个非空集类, .X A ⊂ 若}{n A 是C 中的有限或无穷序列, 使得U k n n A A 1=⊂(或U ∞=⊂1n n A A ), 则称}{n A 是A 的一个C 覆盖. 由于有限并总可以写成可数并(只要令),(k n A A k n >= 则U U ∞===11n n k n n A A ). 因此我们不妨只考虑由可数个集构成的覆盖.设µ是环R 上的测度. 对每个,X A ⊂ 令}.}{:)(inf{)(1覆盖的是R A A A A n n n ∑∞=∗=µµ 若A 无R 覆盖, 则令.)(+∞=∗A µ 这样定义的∗µ是定义在)(X P 上的非负值集函数. 称∗µ为由µ导出的外测度.定理1设µ是环R 上的测度. ∗µ为由µ导出的外测度. 则∗µ满足: ).i (.0)(=∅∗µ).ii (单调性: 若≤∗⊂)(,A B A µ则).(B ∗µ).iii (次可数可加性: 对X 中的任意一列集}{n A 成立).()(11n n n n A A ∑∞=∗∞=∗≤µµU (1) 证明由于}{∅是空集∅的一个R 覆盖, 故.0)()(=∅≤∅∗µµ 因此.0)(=∅∗µ 设,B A ⊂ 则B 的每个R 覆盖也是A 的R 覆盖. 这蕴涵).()(B A ∗∗≤µµ 下面证明∗µ具有次可数可加性. 设}{n A 是X 的一列子集. 不妨设1,)(≥+∞<∗n A n µ(否则(1)显然成立). 现在任意给定0>ε. 由∗µ的定义, 对每个,1≥n 存在n A 的一个R 覆盖,}{1,≥k k n C 使得.)()(1,n n k k n A C 2+≤∑∞=∗εµµ (2)由于}1,,{,≥k n C k n 是U ∞=1n n A 的一个R 覆盖, 由(2)得到.)()(()()(111,11εµεµµµ+=2+≤≤∑∑∑∑∞=∗∞=∗∞=∞=∞=∗n n n n n n k n k n n A A C A U 由于0>ε是任意的, 因此得到.)()(11∑∞=∗∞=∗≤n n n n A A µµU 即∗µ具有次可数可加性. ■可测集由µ导出的外测度∗µ定义在X 的全体子集所成的集类上. 但∗µ的定义域太大, 一般不满足可数可加性. 因而一般不是测度. 下面将证明, 可以通过适当的限制条件挑选出一部分集即所谓“可测集”，这些集构成一个代数−σ. 将∗µ限制在这个代数−σ上, ∗µ满足可数可加性, 因而成为一个测度. 而且这个代数−σ一般要比µ的定义域R 要大, 于是就扩大了原来测度的定义域.定义2 设µ是环R 上的测度, ∗µ是由µ导出的外测度. 又设.X E ⊂ 若对任意X A ⊂, 均有).()()(c E A E A A ∩+∩=∗∗∗µµµ (3)则称E 是∗µ-可测集. ∗µ-可测集的全体所成的集类记为.∗R等式(3)称为Caratheodory 条件(简称为卡氏条件). 由于外测度∗µ具有次可数可加性, 因此对任意X A ⊂成立).()())()(()(c c E A E A E A E A A ∩+∩≤∩∪∩=∗∗∗∗µµµµ 所以(3)式等价于).()()(c E A E A A ∩+∩≥∗∗∗µµµ (4)因此集E 是∗µ-可测的当且仅当对任意,X A ⊂ (4)式成立. 又由于当+∞=∗)(A µ时(4)总是成立的, 因此若对任意,X A ⊂ 当+∞<∗)(A µ时(4)式成立, 则E 是∗µ-可测的.显然, 空集∅和全空间X 是∗µ-可测集. 又由∗µ 的单调性和(4)可以看出若,0)(=∗E µ 则E 是∗µ-可测集.引理3 设n E E ,,1L 是互不相交的∗µ-可测集. 则对任意X A ⊂, 成立).())((11i n i n i i E A E A ∩=∩∑=∗=∗µµU (5) 证明用数学归纳法. 当1=n 时(5)显然成立. 假定(5)对k n =时成立. 因为n E E ,,1L 是互不相交的. 所以).()(,)(11111111U U U k i i c k k i i k k k i i E A E E A E A E E A =++=+++=∩=∩∩∩=∩∩于是由1+k E 的∗µ-可测性和归纳法假设, 我们有∩ ∩++ ∩ ∩= ∩++=∗++=∗+=∗c k k i i k k i i k i i E E A E E A E A 11111111U U U µµµ .)(.)(1111∑+=∗=∗+∗∩= ∩+∩=k i i k i i k E A E A E A µµµU 因此当1+=k n 时(5)式成立. 因此(5)对任意n 成立. ■定理4 设µ是环R 上的测度, ∗µ是由µ导出的外测度. ∗R 是∗µ-可测集的全体所成的集类. 则有).i (∗R 是σ-代数.).ii (∗µ限制在是∗R 上是一个测度.证明 ).i (先证明∗R 是一个代数. 由于空集∅和全空间X 是∗µ-可测集. 故∗R 非空. 由∗µ-可测集的定义立即可以看出若E 是可测−∗µ的, 则c E 也是∗µ-可测的, 因此∗R 对余运算封闭. 往证∗R 对有限并的封闭性. 设∈21,E E ∗R . 令21E E E ∪=.注意到)(211E E E E c ∩∪=, 利用21E E 和的可测性, 对任意,X A ⊂ 我们有)])(())(([)()()]()([)()(2121121211c c c c c c c E E A E E A E A E E A E E A E A E A E A ∩∩++∩∩+∩=∩∩++∩∩+∩≤∩+∩∗∗∗∗∗∗∗∗µµµµµµµµ ).()()(11A E A E A c ∗∗∗=∩+∩=µµµ即E 满足卡氏条件(4)式. 这表明∈∪=21E E E ∗R . 因此∗R 是一个代数. 为证∗R 是一个σ-代数, 只需再证明∗R 对不相交可数并运算封闭即可(参见第一章习题第20题). 设⊂}{n E ∗R , 并且).(j i E E j i ≠∅=∩ 令.1U ∞==n n E E 由于∗R 是代数, 故∈=U ni i E 1∗R , .1≥n 利用引理2.2.3, 对任意,X A ⊂ 我们有).()()()()(1111c ni i c n i i c n i i n i i E A E A E A E A E A E A A ∩+∩=∩+ ∩≥∩+ ∩=∗=∗∗=∗=∗=∗∗∑µµµµµµµU U U (6) (6)式对任意n 都成立. 在(6)中令,∞→n 并利用外测度的次可数可加性, 得到).()()()()(1c c i i E A E A E A E A A ∩+∩≥∩+∩≥∗∗∗∞=∗∗∑µµµµµ上式表明E 满足卡氏条件(4)式, 因此∈=∞=U 1n n E E ∗R . 这就证明了∗R 是一个σ-代数.).ii (为证∗µ是∗R 上的测度, 只需证明∗µ在∗R 上是可数可加的. 设⊂}{n E ∗R , 并且).(j i E E j i ≠∅=∩ 由外测度的次可数可加性, 我们有.)()(11∑∞=∗∞=∗≤i i i i E E µµU 另一方面, 在(5)中令A=X 得到 ).()()(111U U ∞=∗=∗=∗≤=∑i i n i i n i i E E E µµµ上式中令,∞→n 得到).()(11U ∞=∗∞=∗≤∑i i i i E E µµ因此∑∞=∗∞=∗=11)()(i i i i E E µµU , 即∗µ在∗R 上是可数可加的. 所以∗µ是∗R 上的测度. ■注1 从定理.4的证明可以看出, 定理4的结论)i (和)ii (并不依赖于环R 上的测度µ, 只用到了定理1中∗µ所满足的性质. 因此, 我们可以定义任何满足定理1中的)i (,)ii (和)iii (的集函数∗µ为外测度. 然后和定义2一样定义∗µ可测集. 则定理4的结论对这样定义的一般的外测度∗µ仍成立.我们在微积分中碰到的函数，都是定义在区间上的，那里的积分，需涉及区间及其子区间的长度，如()()k n k kb a f dx x f ∆=∑∫=→10lim ξλ其中Δk ＝[x 1−k ,x k ]，λ＝max|Δk |需涉及[a,b]与[x 1−k ,x k ]的长度。

测度论基础知识总结

测度论基础知识总结1.集合论1.1 集合与基本运算·概念:具有一定性质的对象构成的全体（不严格定义).中间含有的对象叫元素。

全集：要研究的问题涉及到的最大集合.空集：没有任何元素的集合。

表达方法：｛x(集合元素x）｜x应该有的性质}·元素与集合的关系:x A，x∉A·集合之间的关系只有包含或者不包含若对于任意元素x A，x B则A包含于B（证明就用这个方法)，A是B的子集（A B则为B的真子集）包含的特殊情况相等：A=B就是A包含于B同时B包含于A真子集：A包含于B但A B·集合的运算①单个元素的幂集对于一个集合X，它的幂集表示所有其子集为元素构成的集合。

这种以集合为元素的集合,也叫集合族。

②两个集合的运算交：A B=｛x｜ x A且x B｝并:A B={x｜ x A或x B｝差：A\B(或写成A—B）=｛x｜ x A且x∉B｝补：=U\A（U是问题要研究的全集)于是有等式A\B=A积：（直积）A×B={（x,y）| x A且y B ｝（把A、B中元素构成有序对）③多个元素的运算多个交表示所有以λ为角标的集合的并，要求λ，称为指标集。

类似有多个并注：可以是无穷个【例】x｜ x>,A={x| x>0｝，则A=·集合的分析相关性质①上限集：一列集合｛｝,定义上限集为。

类似于数列的上极限。

②下限集：一列集合{}，定义下限集为。

类似于数列的下极限。

③集合列的极限：当上限集等于下限集时极限存在，就是上限集（或下限集)。

④单调集合列:若始终有包含于,也就是集合越来越大，则为递增集合列；反之，若始终有，则为递减列。

若为递增列，则有极限=;若为递减列，则有=.1.2映射·定义：X、Y是两个集合，对任意x X，存在唯一的y=f（x)Y与之对应，则对应法则f为X到Y的一个映射，记为f:X→Y.像集：对于X的一个子集A,像集{f(x）｜ x A｝记为f(A），显然包含于Y原像集：对于Y的一个子集B，原像集{x｜ x记为·满射：f(X)=Y，即Y中所有元素都是像单射：X中不同元素一定对应Y中不同的像双射：既是单射又是满射。

第三章,第一节

n
i
[ a ,b ]
Lesbesgue积分几何意义新解释
分割值域
( L)
E
1 i f dx lim n mE[ f n ] n 2 i 1 2
n 2n
定理 3.１.１设 f( x )在 E 上有积分值，则对任意实数α ，α f( x )在 E 上也有积分值，且

证明 1
0
上非负简单函数，定义
为 (x) 在E上的Lebesgue积分
例：对Dirichlet函数
( L) ( x)dx mG( , E ) ci mEi
E i 1
n
D( x)
E

1 x 0,1]Q [ 0 x[ 0,1]Q
有( L) D( x)dx 1 0 0 1 0
四川省省级精品课程
《实变函数论》
第三章 Lesbesgue积分及其性质
第一节 Lesbesgue积分的定义及基本性质主讲人：魏勇
1.积分的定义(定义3.1.1)
⑴非负简单函数的积分设 ( x) ci E ( x) 是 E Ei ( Ei可测且两两不交）
i 1
i
n
n
i 1
积分的绝对连续性的证明证明：由于f(x)可积，故|f(x)|也可积
| f ( x) | dx lim( L) ( x)dx, ( x)为E上简单函数，
E n E n n
故对任意ε，
n
且0 n ( x) | f ( x) |}
(| f ( x) | n ( x))dx 2
n 1 ( n 1 (
x )，φ n ( x )→ f ( x) (n→＋∞)， x )，ψ n ( x )→g( x ) (n→＋∞)，

外测度

是 x是有理数，且x ( 1 ,1 )，因此存
在某个 n，使 rnx，这样 xrn Sn。
即
(0,1)Sn
。
综上n得1(0,1) Sn(1,2)。如果外测
度具有可加性，则 n1
第8讲外测度
1 m * ( 0 , 1 ) m * ( S n ) m * S n m * ( 1 ,2 3 )
SnSm，则存在 x,yS ，使 x r n y r m，于是 xyrm rn 为有理数，但由 S的构造，若 xy，则 x,y 属于不同的 Rx,Ry ，即 xy不能为有理数，因此只能有 xy ，然而这将导
致rn rm，再次得到矛盾，所以Sn与Sm一定不交。
第8讲外测度
下证 (0,1)Sn ，任取 x(0,1)，则 xRx ，由 S的构造，n1SRx是单点集，设为{ }，于
集合都具有可加性。事实上，如果对任意
第8讲外测度
两个不交的集合A,B都有 m *(A B )m *A m *B ，
则不难推知对任意有限个互不相交的点集
E1, ,En，也有 m *( nEi) nm *Ei
进而对任意一列互不相交i1 的点集Ei1 ,1 ,En,，
有 m * ( E i) m * ( n E i) n m * E i
所以对任意有限个盖住 I 的开矩形 I1,,In， n
有 | Ii | | I | 。
i1
第8讲外测度
下设Iii1是任一列开矩形将I 盖住，则由有
限覆盖定理知存在n 有限个Ii1,,Iim，它们也
将 I 盖住，于是 | Iik | | I | ，进而
|
i1
Iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ | | I |
k1
。由 Ii

实变函数论3.1 外测度

，则有 x I ( r , r ) i i 2i1 2i 1 i 2i 1
上面叙述的错误出在取
2 i 1
，因为i的取定依赖于δ
思考：4.对Jordan外测度，我们用有限个开区间覆盖[0,1]中的有理数全体，则这有限个开区间也覆盖[0,1] （除有限个点外）注：对有限个开区间一定有从左到右的一个排列
n

b
a
f ( x)dx lim mi xi
||T || 0 i 1
xi-1 xi
•Jordan测度
Jordan外测度（外包）
n n
(m E ) J inf{ | I i | : E I i且I i为开区间 }
i 1 i 1
Jordan内测度（内填）
(m E ) J sup{ | I i | : I i E且I i为两两不交的开区间 }
2.平面上的x轴的外测度为0
Ii (ri 1, ri 1) (
2i2
, 2i2 ), ri Z，i 1,2,3,

思考：3.我们知道有理数与无理数在[0,1]上都稠密，问证明中的开区间列是否覆盖了区间[0,1]
E [0,1] Q {r1, r2 , r3 ,}
（C）次可数可加性 m ( An )
* n 1

n 1

m* An
证明：对任意的ε>0,由外测度的定义知，对每个An都有一列开区间（即用一开区间{I nm}列近似替换An）
I n1 , I n 2 , I nm ,, 使得An I nm且m An | I nm | m An n m 1 2 m 1
I i (ri 2 , r , 2 , 3 , i 1 i 1 ), i 1 i 2

Lebesgue测度

Lebesgue测度【摘要】：本次大作业主要研究Lebesgue外侧度，Lebesgue测度，Lebesgue可测集的定义、性质，以及个人对Lebesgue测度的一些理解。

【关键词】：Lebesgue 外测度、Lebesgue测度、Lebesgue可测集1.Lebesgue其人以及Lebesgue引入Lebesgue测度的动机1.1、Lebesgue其人介绍勒贝格（1875～1941）Lebesgue，Henri Lon法国数学家。

1875年6月28日生于博韦，1941年7月26日卒于巴黎。

1894～1897年在巴黎高等师范学校学习。

1902年在巴黎大学获得博士学位，从1902年起先后在雷恩大学、普瓦蒂埃大学、巴黎大学文理学院任教。

1922年任法兰西学院教授，同年被选为巴黎科学院院士。

勒贝格的主要贡献是测度和积分理论。

他采用无穷个区间来覆盖点集，使许多特殊的点集的测度有了定义。

在定义积分时他也采取划分值域而不是划分定义域的办法,使积分归结为测度,从而使黎曼积分的局限性得到突破，进一步发展了积分理论。

他的理论为20世纪的许多数学分支如泛函分析、概率论、抽象积分论、抽象调和分析等奠定了基础。

利用勒贝格积分理论,他对三角级数论也作出基本的改进。

另外,他在维数论方面也有贡献。

1.2、Lebesgue引入Lebesgue测度的动机19 世纪以来，微积分开始进入严密化的阶段．1854 年B．黎曼(Riemann)引入了以他的名字命名的积分，这一理论的应用范围主要是连续的函数．随着K．魏尔斯特拉斯(Weier-strass)和G．康托尔(Cantor)工作的问世，在数学中出现了许多“奇怪”的函数与现象，致使黎曼积分理论暴露出较大的局限性．几乎与这一理论发展的同时(1870—1880年)，人们就巳经开展了对积分理论的改造工作．当时，关于积分论的工作主要集中于无穷集合性质的探讨，而无处稠密的集合具有正的外“容度”性质的发现，使集合的测度概念在积分论的研究中占有重要地位．积分的几何意义是曲线围成的面积，黎曼积分的定义是建立在对区间长度的分割的基础上的．因此，人们自然会考虑到如何把长度、面积等概念扩充到更广泛的集合类上，从而把积分概念置于集合测度理论的框架之中．这一思想的重要性在于使人们认识到：集合的测度与可测性的推广将意味着函数的积分与可积性的推广．勒贝格积分正是建立在勒贝格测度理论的基础上的，它是黎曼积分的扩充．2、Lebesgue 可测集的相关定义 2.1、Lebesgue 外测度对于每一个实数子集E ，定义:(E) =inf{}此时我们称（E ）为E 的Lebesgue 外测度，由于全体实数R 是一个开区间并且E 是R 的子集，所以上述定义是合理的，并且（E ）是一个非负广义实数。

《实变函数》第三章_测度论

第三章测度论（总授课时数 14学时）教学目的引进外测度定义，研究其性质，由此过渡到可测集本章要点要引导学生注意外测度与测度之间的重要差别，测度概念抽象，要与具体点集诸如面积体积等概念进行比较.§1、外测度教学目的1、掌握外测度的定义及其基本性质.2、理解区间及有理点集的外测度及其证明方法.本节要点外测度的定义及其基本性质. 本节难点外测度的定义. 授课时数 4学时——————————————————————————————一、引言(1) Riemann 积分回顾（分割定义域）||||01()()lim()nbiiaT i R f x dx f x ξ→==∆∑⎰，1ii i xx x -∆=-，1i i i x x ξ-≤≤积分与分割、介点集的取法无关。

几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。

（2）新的积分（Lebesgue 积分,从分割值域入手）记1{:()}i i i E x y f x y -=≤<，1i i i y y ξ-≤<，则[,]1()()lim ni i a b i L f x dx mE δξ→==∑⎰问题：如何把长度,面积,体积概念推广? 达布上和与下和上积分（外包）（达布上和的极限）||||01()limnbiiaT i f x dx M x →==∆∑⎰下积分（内填）达布下和的极限||||01()limnbiiaT i f x dx m x →==∆∑⎰二、Lebesgue 外测度(外包)1．定义：设 n E R ⊂，称非负广义实数*({})R R ⋃±∞=11inf{||:,i i i i i m E I E I I ∞∞*===⊂⋃∑为开区间}为E 的Lebesgue 外测度。

下确界：（1）ξ是数集S 的下界，即x S ∀∈，x ξ≤（2）ξ是数集S 的最大下界，即0,,x S ε∀>∃∈使得x ξε≤+11inf{||:,i i i i i m E I E I I ∞∞*===⊂⋃∑为开区间}0,ε∀>∃开区间列{},i I 使得1i i E I ∞=⊂⋃且**1||i i m E I m E ε∞=≤≤+∑即：用一开区间列{}i I “近似”替换集合E例1 设E 是[0,1]中的全体有理数，试证明E 的外测度为0. 证明：由于E 为可数集，故不妨令123[0,1]{,,,}E Q r r r =⋂=0,ε∀>作开区间11(,),1,2,3,22i i i i i I r r i εε++=-+=则1i i E I ∞=⊂⋃且111||2i i i i I εε∞∞+====∑∑，从而*m E ε≤ ，再由ε的任意性知*0m E =思考：１. 设E 是平面上的有理点全体，则E 的外测度为0提示：找一列包含有理点集的开区间112212((,),1,2,3,i i i i i i i I r r r r r r Q Q i =⨯-∈⨯=2.平面上的x 轴的外测度为0提示：找一列包含x 轴的开区间11(1,1)(,),1,2,3,22i i i i i i I r r r Z i εε++=-+⨯-∈=，3. 对Lebesgue 外测度，我们用可数个开区间覆盖[0,1]中的有理数全体，是否这可数个开区间也覆盖[0,1]（除可数个点外）.注：对可数个开区间不一定有从左到右的一个排列（如Cantor 集的余集的构成区间） 2．Lebesgue 外测度的性质（1）非负性：0m E *≥，当E 为空集时，0m E *= （2）单调性：若A B ⊂，则m A m B **≤证明:能覆盖B 的开区间列也一定能覆盖A ，从而能覆盖B 的开区间列比能覆盖A 的开区间列要少，相应的下确界反而大。

外测度教案

a∈[−1,1]
实变函数 Ver.1.0 © 渭南师范学院余保民
–5–
教学过程
在每一个等价类中选取一个代表元，这些代表元的全体构成的集
合记为 R，即 R ⊂ [−1, 1] 且对任意的 a ∈ [−1, 1]，R ∩ a˜ 恰有一个元素. 令 R ∩ a˜ = {e}，则 r : = a − e ∈ Q，从而 a = r + e ∈ r + R，容易看到
m∗(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Am) ⩽ m∗A1 + m∗A2 + · · · + m∗Ak.
证明. 令 Ak = ∅, k > n，则有 m∗(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Am)
=m∗(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Am ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ · · · ) ⩽m∗A1 + m∗A2 + · · · + m∗Am + m∗∅ + m∗∅ + · · · =m∗A1 + m∗A2 + · · · + m∗Am.
则在 I1, · · · , Im+1 中，存在某个开区间包含 b. 不妨设 b ∈ Im+1 且 Im+1 = (c, d). 如果 c < a，则由(??)可知(??)成立. 如果 a ⩽ c < b < d，则
[a, c] ⊂ I1 ∪ I2 ∪ · · · ∪ Im.
实变函数 Ver.1.0 © 渭南师范学院余保民
, I3 =
, 23 23
,··· ,
则
I
⊂
∪∞
Ik，从而
m∗I
⩽
∞
∑
|Ik| = b − a + 2ε.

教学大纲_测度论

《测度论》教学大纲课程编号：120502B课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课□专业必修课□√专业选修课□学科基础课总学时：32 讲课学时：32 实验（上机）学时：0 学分：2适用对象：经济统计学、统计学先修课程：数学分析、概率论毕业要求：1.应用专业知识，解决数据分析问题；2.可以建立统计模型，获得有效结论；3.掌握统计软件及常用数据库工具的使用；4.关注国际统计应用的新进展；5.基于数据结论，提出决策咨询建议；6.具有不断学习的意识；7.扎实的数学基础和完整的统计知识体系；8.计算机编程技能与经济学基本常识。

一、教学目标测度论是现代数学的一个重要分支，同时也是现代概率理论的数学基础。

其在抽象空间上建立的包括积分和微分的一整套分析系统，已成为数学各分支的有力工具，在遍历论、随机过程、微分方程、微分几何、统计与金融数学等领域有着广泛而深刻的应用。

本课程旨在介绍测度论的基本概念和基本理论。

通过本课程的学习，使学生能初步掌握抽象空间上的测度与积分理论以及概率论的公理化体系，同时领会抽象概念和定理的直观涵义，为进一步的学习和研究提供必要的数学基础。

二、教学内容及其与毕业要求的对应关系（一）教学内容可测空间与单调类定理，测度空间与扩张定理，可测函数的积分与积分收敛定理，符号测度、不定积分、Radon-Nikodym导数与Lebesgue分解定理，乘积空间与Fubini定理。

（二）教学方法和手段教师课上讲授理论知识内容及相关基本例题，学生课下练习及教师答疑、辅导相结合。

（三）考核方式开卷，平时成绩占30%，期末成绩占70%。

（四）学习要求课上听讲，并独立完成课后作业。

三、各教学环节学时分配教学课时分配四、教学内容第一节集类1.集合代数2.集合代数的结构第二节可测空间1.西格玛代数2.可测空间的结构第三节单调类定理1.单调类2.单调类定理教学重点、难点：集类、可测空间的结构、单调类定理。

课程的考核要求：了解集类的概念，理解可测空间的结构、掌握单调类定理的证明与应用。

现代概率论03：测度空间（1）

现代概率论03：测度空间（1）⽬录第三讲测度空间(1)2.1 测度的定义及性质2.1.1 测度的公理化定义本节主要讨论测度的定义及性质，在此之前需要引⼊⼏个概念：⾮负集函数：给定空间 X 上的集合系 E ，将定义在 E 上，取值于 [0,∞] 上的函数称为⾮负集函数，常⽤希腊字母 µ,ν,τ,⋯ 来表⽰。

可列可加性：如果对任意可列个两两不交的集合 {A n ∈E,n ≥1} 满⾜ ∞⋃n =1A n ∈E ，均有µ∞⋃n =1An=∞∑n =1µ(An ),则称⾮负集函数 µ 具有可列可加性。

有限可加性：如果对任意有限个两两不交的集合 {A k ∈E,1≤k ≤n } 满⾜ n⋃k =1Ak∈E ，均有µn⋃k =1Ak=n∑k =1µ(Ak ),则称⾮负集函数 µ 具有有限可加性。

可减性：如果对 ∀A ,B ∈E ，满⾜ A ⊂B ，且有 B −A ∈E ，只要 µ(A )<∞ ，就有µ(B −A )=µ(B )−µ(A ),则称⾮负集函数 µ 具有可减性。

本节的核⼼是测度的公理化定义，具体如下：测度的公理化定义：指的是在抽象空间的集合上建⽴的测度。

设 E 是 X 上的集合系，且 ∅∈E 。

若 E 上的⾮负集函数 µ 满⾜：(1) µ(∅)=0 ；(2) 可列可加性，则称 µ 为 E 上的测度。

若 µ(A )<∞, ∀A ∈E ，则称测度 µ 为有限测度。

()()若 ∀A ∈E ，存在 {A n ∈E,n ≥1} ，使得 ∞⋃n =1An⊃A ，则称测度 µ 为 σ 有限测度。

命题 2.1.1：测度具有有限可加性和可减性。

命题 2.1.2：设 X ⊂R, E =Q R ，F 是 R 上⾮降右连续的实值函数。

第3次外部性理论教案

环境经济学课程教案
作业、讨论题、思考题：
简答
1 、何谓外部性？外部性的基本类型有那些？
2 、试述环境外部性不经济性内部化的基本途径及各种的局限性。

参考资料（含参考书、文献等）
1.《环境经济学》，钱翌、张培栋化学工业出版社
2.《环境经济学》（第三版），李克国主编中国环境出版社
教学反思：
填表说明：1. 每项页面大小可自行添减，一次课（二节）写一份上述格式教案。

重复班只填写一份。

2. 课次为授课次序，填1、2、3⋯⋯等。

3.授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等。

4.方法及手段如：案例讲解、多媒体讲解、模型讲解、实物讲解、挂图讲解等。

第三章测度

第三章可测集合一、内容结构在R积分的情形，被积函数的定义域是区间或简单区域, 定义域的度量有明确的意义——长度、面积或体积。

在实变函数论中，被积函数的定义域是可测点集，推广积分的概念，首先要定义一般点集的度量，就是本章讨论的集合测度。

测度理论的建立有多种方法，不同的实变函数教材引入的方法有所不同，本章为了更直观、更好地理解掌握L积分，通过测度理论的建立推广R积分的数学思想与方法，直接从L测度的引入建立测度理论。

对于可测集合性质，主要讨论可测集合的充要条件、零测度集及其性质、可测集合的运算性质、可测集合与Gδ型集、Fδ型集的关系、最常用的可测集类型。

主要内容：勒贝格外测度的定义及其基本性质；勒贝格可测集及其基本性质；勒贝格可测集类；开集、闭集、Gδ型集、Fδ型集、Borel集之间的联系。

基本要求：理解勒贝格可测集的定义及其几何意义、勒贝格测度及其基本性质，特别是可数可加性；掌握怎样用开集、闭集、Gδ型集、Fδ型集刻画勒贝格可测集；可测集合的类型与充要条件。

二、主要的数学思想与方法1、从长度、面积、体积到一般点集测度概念由内、外测度建立的思想与方法。

2、Lebesgue当初首先引入外测度m* 与内测度 m*,然后通过条件m* A = m*A 定义可测集， Caratheodory 给出的可测集的导入法：m*T = m * (T∩E ) + m *(T∩CT) (∀T)称E可测，把m*E称为E的测度，记为mE。

两种定义引入的背景、相互间的关系、在学习讨论可测集相关性质等问题时的意义与作用。

3、合列极限定义的思想与方法。

4、零测集的引入及其在实变函数学习中的意义与作用。

5、一般可测集由Gδ集、Fδ集、零测集构成的思想与方法。

三、疑难点学习方法（一）直线上有界点集的测度点集的测度更着重于直线上有界点集的测度。

用构造的方法来讲解点集的测度，从中我们可以学到一种成套理论的模型。

先从最简单的开集测度出发，再学习闭集的测度、一般点集的内测度与外测度及可测集合。

实变函数复习要点

2011实变函数复习要点第一章集合（一）考核知识点1. 集合的定义、简单性质及集合的并、交、补和极限运算。

2. 对等和基数及其性质。

3. 可数集合的概念及其性质。

4. 不可数集合的概念及例子。

~（二）考核要求 1. 集合概念识记：集合的概念、表示方法、子集、真子集和包含关系。

2. 集合的运算（1）识记：集合的并、交、补概念。

De Morgan 公式ΓααΓαα∈∈=c c A A )( ΓααΓαα∈∈=c cA A )( （2）综合应用：集合的并、交、补运算。

?例利用集合的并、交、补运算证明集合相等。

例 N n x x A n n n ∈-≤<--=},11:{11设]0,1[1-=⋂∞=n n A ，)1,2(1-=⋃∞=n n A3. 对等与基数（1）识记：集合的对等与基数的概念。

（2）综合应用：集合的对等的证明例利用定义直接构造两集合间的1-1对应。

4. 可数集合 -（1）识记：可数集合的概念和可数集合的性质，可数集合类。

（2）综合应用：可数集合的性质。

5. 不可数集合识记：不可数集合的概念、例子。

第二章点集（一）考核知识点1. n 维欧氏空间邻域、集合的距离、有界点集和区间体积概念以及邻域的性质。

2. 聚点、内点、界点、开核、边界、导集和闭包及其性质。

|3. 开集、闭集及其性质。

4. 直线上的开集的构造，构成区间，康托集。

（二）考核要求1. 度量空间，n 维欧氏空间识记：邻域的概念、有界点集概念。

2. 聚点、内点和界点识记：聚点、内点、外点、界点、孤立点、接触点、开核、边界、导集和闭包。

如聚点与内点的关系，界点与聚点、孤立点的关系?如聚点的等价定义：设E P '∈0，存在E 中的互异的点列{}n P 使0lim P P n n =∞→如0P 为E 的接触点的充要条件为存在E 中点列{}n P , 使得0lim P P n n =∞→3. 开集，闭集（1）识记：开集、闭集的概念。

Lebesgue外侧度

（1）若，则可测，此时称为零测度集；
（2）零测度集的任何子集仍为零测度集；
（3）有限个或可数多个零测度集的并集仍为零测度集。
证明（1）若，对任意的点集，，所以
，
从而
.
另一方面，
，
这样
.
由Caratheodory条件，是可测集.
（2）设是零测度集，是的任一子集，则由，有，所以，是零测度集.
证明（1）对任何覆盖的开区间列，都有，因而0是，，是开区间的一个下界，因而，，是开区间，即 .
当时，则对任意的，设
，
则，而，，所以，由是任意的，所以 .
（2）设，则任一覆盖了的开区间列也覆盖了，即，，是开区间，，是开区间 .
所以，，是开区间，，是开区间 .
因此，有
，
于是可测.
其次证明（3.2.4）成立.当时，因为可测，，，由定理3.2.1，有
推论1设都可则，则也可测，并且当时，对任何集合总有
.
定理3.2.4设，都可测，则也可测.
证明因为，由定理3.2.2及定理3.2.3，可测.
推论2设都可测，则也可测.
定理3.2.5设，都可测，则也可测.
证明将表示成互不相交的可测集列的并集，只要设，，则，且是一列互不相交的可测集.由定理3.2.6，有是可测集.
定理3.2.7设是一列可测集，则也是可测集.
证明因为，所以是可测集.
定理3.2.8设是一单调增加的可测集列，则可测，且 .
证明
，并且，因此由定理3.2.6（3.2.7式），有
.
设，则，逐个考察这些开区间，如果中只含有中点或只含有中点，则保留.若不然，因为，可以将分解成互不相交的有限多个，比如说个直径都小于的小开区间 .显然 .

测度论外测度

m * ( ∪ An ) ≤ （C）次可数可加性
n =1
∞
∑
∞
n =1
m * An
证明：对任意的由外测度的定义知，证明：对任意的ε>0,由外测度的定义知，对每个 n都有由外测度的定义知对每个A 一列开区间（即用一开区间{I 列近似替换A 一列开区间（即用一开区间 nm}列近似替换 n）列近似替换
||T || →0
∑ M ∆x
i =1 i
i
xi-1 xi
( R) ∫ f ( x)dx = lim
a
b
||T ||→0
∑ f (ξ )∆x
i =1 i
n
i
• Riemann积分
下积分（内填）
达布下和的极限
∫
b
a
f ( x)dx = lim
||T ||→0
∑ m ∆x
i =1 i
n
i
xi-1 xi
2 Lebesgue外测度(外包) Lebesgue外测度(
ε
上面叙述的错误上面叙述的错误出在取错误出在取因为i的取定依赖于δ ，因为i的取定依赖于δ 事实上，事实上，能否覆盖取决于 ε 的选取
思考：思考： 4.Lebesgue外测度的定义中， 4.Lebesgue外测度的定义中，若我们用有限个开区间覆外测度的定义中 [0,1]中的有理数全体是否这有限个开区间也覆盖[0,1] 中的有理数全体，盖[0,1]中的有理数全体，是否这有限个开区间也覆盖[0,1] （除可数个点外）除可数个点外）
定义：设E ⊂ R ，称非负广义实数 ( R ∪ {±∞} = R )
n
*
m E = inf{
∗

外测度的性质与计算

江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文外测度的性质与计算The properties and calculation of the outermeasure姓名：学号：学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学指导老师：完成时间：江西师范大学11届学士学位毕业论文外测度的性质与计算【摘要】Lebesgue外测度是Lebesgue积分的基础,本论文主要论述了它的一些性质及相关的计算.首先,给出了Lebesgue外测度的定义；接着,指出和证明了外测度具有的非负性、单调性、次可数可加性、距离可加性、平移不变性这五大主要性质；同时给出了外测度的介值定理和一些其他的性质,并讨论了在一般情况下,外测度不具备可数可加性；然后讨论了可数集的外测度的性质,着重写出可数集的外测度具有可数可加性；最后是与外测度计算相关的一些例题.【关键词】Lebesgue外测度，次可数可加性，距离可加性。

The properties and calculation of the outside measure【abstract 】Lebesgue outer measure is the base of lebesgue integral, this thesis mainly discusses some properties and its related calculation. At first, give the definition of Lebesgue outer measure; then pointed out and proved the outer measure has nonnegative, monotonicity and second countable additive property , distance additive property,translation invariant property ,the five main properties; It also gives the outer measure mean value theorem and some other properties, and discusses the properties under the meaning of general point sets, the outer measure does not have countable additive property. Then discussed the property of outer measure of countable set, and emphatically write that outer measure of countable set has count additive property. And the last is some examples about outer measure computation. 【keywords 】Lebesgue outer measure, Second countable additive property , Distance additive property目录1 引言 (1)2 Lebesgue外测度的定义 (1)3 一般集的外测度的性质 (2)3.1 非负性 (2)3.2 单调性 (2)3.3 次可数可加性 (2)3.4 距离可加性 (2)3.5 平移不变性 (4)3.6 对外测度有限可加性及可数可加性的研究 (4)3.7外测度的介值定理 (6)3.8 外测度的其他性质 (7)4 可测集的外测度 (8)5 外测度的计算 (10)6 小结 (11)参考文献 (12)外测度的性质与计算1 引言在19世纪时,数学家们已经认识到,仅有连续函数与Riemann 积分的古典理论已不足以解决数学分析中的许多问题,为了克服Riemann 积分在理论上的局限性,必须改造原有的积分定义,建立一种新型积分.19世纪下半叶,不少分析学家进行一系列扩充长度和面积概念的探索,逐渐形成测度概念,1898年,Borel 建立了一维Borel 点集的测度,法国数学家Lebesgue 在1902年他的博士论文《长度、面积和积分》中系统的建立了测度论,并成功的建立起新的积分理论--Lebesgue 积分（1915年,法国数学家弗雷歇提出在一般σ代数上建立测度,开始创立抽象测度理论,1918年,意大利数学家Caratheodory 关于外测度的研究,对于现代形式测度理论的形成起了关键作用.）.Riemann 积分忽视了函数的变化而只从定义域方面划分小区域来构造积分和,这样做的结果是将大量的函数排除在Riemann 可积函数类之外；Lebesgue 积分不是从分割自变量的区域而是从分割函数值域着手构造积分和.例设()x f 在[]b a ,上有界,满足()M x f m <<,作分割M y y y y m n 210=<<<<=令 (){}n i b x a y x f i ,2,1,,y x E 1-i i =≤≤<≤= ，则对应于上面分割的积分和为i ni i mE y•∑=-11,其中i mE 为点集i E 的长度,这种积分的优点在于可以取1--i i y y 很小,使得积分和的近似程度很高,它将积分对象从Riemann 可积函数类扩充到更大一类函数——可测函数类.积分和计算的关键是点集i E 的度量，对于通常的区间i E 的度量就是区间的长度或体积，而对于一般的点集的度量就不是一件简单的事情，它涉及到在n R 中如何建立一般点集的一种度量方案，这就是Lebesgue 外测度与测度理论。

第三章 ,第一至二节外测度

i 1
M ixi
b
n
(R)
a
f (x)dx lim ||T ||0 i1
f (i )xi
xi-1 xi • Riemann积分
下积分（内填）达布下和的极限
b
n
a
f
(x)dx

lim
||T ||0
i 1
mi xi
xi-1 xi
外测度(外包)
定义：设E Rn ，记 mE inf{G : E G且G是开集} 并称之为E的外测度。
用 mEi 表示 Ei 的“长度”
n
(L)
[ a ,b ]
f
( x)dx

lim
0
i 1
i mEi
问题：如何把长度,面积,体积概念推广?
|E|应具有长度、面积和体积的度量性质，所以它应满足如下性质： 1、非负性 |E|>=0;
2、单调性若E1⊂E2，则|E1|<=|E2|; 3、可加性 E1∩E2=Φ，则|E1 ∪E2|=|E1|+|E2|； 4、次可加性 |E1 ∪E2|<=|E1|+|E2|； 5、平移、旋转不变性：若E经平移、旋转变为E*，则
2、如果G1 ⊂G2 ，则|G1| <=|G2|；

3、 UGj Gj
；
j 1
j 1

4、如果
{G
j
} j 1
互不相交，则 UGj Gj
。
j 1
j 1
第二节点集的外测度
•圆的面积
外切正n边形的面积（外包）

n 1 2Rtg 2
2

§3.1 可测函数的基本性质

若c > 0 若c < 0.
(2). 先设 f 和 g 不取异号 ∞ 为值. 设 {rn } 是有理数的全体. 由于 f + g < a 当且仅当存在 rn 使得 f < rn 并且 g < a − rn . 因此
{ f + g < a} = ∪ ({ f < rn } ∩ {g < a − rn }).
因此, (1)—(4)是等价的. 为证(1)—(4)蕴涵(5), 我们证明(2) ⇒ (5). (2) ⇒ (5).令 A = { A ⊂ R : f
1 −1
( A) ∈ F } . 利用逆像的性质
∞ ∞
f −1 ( ∪ An ) = ∪ f −1 ( An ),
n =1 n =1
f
容易证明
−1
( Ac ) = ( f
1
别地, X 上的可测函数也称为可测空间 ( X , F ) 上的可测函数. ( X , F ) 上的可测函数和非负可测函数的全体分别记为 M ( X , F ) 和 M + ( X , F ).
R1
f ( x)
a
E1
E2
X
{x : f ( x) < a} = E1 ∪ E 2
图 1—1 注 1 设 (X , F ) 为一可测空间 ,
( f ∨ g )( x) = max{ f ( x), g ( x)}, ( f ∧ g )( x) = min{ f ( x), g ( x)}.
f
+
f ( x) = 0
若f ( x) ≥ 0 若f ( x) < 0.
70
f
−
0 = − f ( x )

公众资源节约与环境保护消费行为测度——外部表现、内在动因和分类维度

公众资源节约与环境保护消费行为测度——外部表现、内在动因和分类维度王建明【摘要】通过对城市居民进行大样本问卷调查,运用描述性统计分析、因子分析、聚类分析和列联表分析对公众资源节约与环境保护消费行为进行实证测度.结果表明,公众对不同资源节约与环境保护消费行为的外部表现不完全一致.当消费行为与自身利益相容(实施收益大于实施成本),那么公众更乐于实行.反之公众实行的可能性会大大降低:资源节约与环境保护消费行为内含三个关键因子:购买因子、使用因子、回收园子.这三个因子分别体现了公众三种不同的内在心理动机:基于自然保护的强社会利益动机、基于自我保护的弱社会列益动机、基于经济利益的个人利益动机:据上述三个因子可以把公众细分为四个不同的子群体(非节约环保型消费者、节约环保型消费者、节约环保型使用回收者和节约环保型回收者);这四个群体在年龄、个人月收入等人口统计变量上存在显著差异.这些结论对相关政府机构转变公众消费行为模式(即引导公众转向资源节约与环境保护消费行为)具有重要的公共政策涵义.【期刊名称】《中国人口·资源与环境》【年(卷),期】2010(020)006【总页数】6页(P141-146)【关键词】资源节约与环境保护消费行为;心理动机;市场细分;公共政策【作者】王建明【作者单位】浙江财经学院工商管理学院,浙江,杭州,310018【正文语种】中文【中图分类】F713.5资源节约与环境保护消费行为(Resource2saving&environment2protecting consumer behavior)是公众在消费全过程中实行产品减量化、再利用、再循环的生态文明行为的统称,它既包括购买行为,如只购买需要的产品(减量化购买)、节能型产品或可回收产品,也包括购买后行为,如注意节约使用产品,注重废旧产品的再利用、再循环等。

然而,当前公众在消费过程(包括购买、使用、处理全过程)中的资源浪费与环境污染问题却日趋严重和突出,大量的浪费性消费、污染性消费、破坏性消费、短视性消费、过度性消费、不合理消费随处可见。