第三章测度论

第三章 测 度 论（总授课时数 14学时）

教学目的 引进外测度定义，研究其性质，由此过渡到可测集

本章要点 要引导学生注意外测度与测度之间的重要差别 ，测度概念抽象，要与具体点集

诸如面积体积等概念进行比较.

§1、外测度

教学目的1、掌握外测度的定义及其基本性质.

2、理解区间及有理点集的外测度及其证明方法.

本节要点 外测度的定义及其基本性质. 本节难点 外测度的定义. 授课时数 4学时

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一、引言

(1) Riemann 积分回顾（分割定义域）

||||0

1

()()lim

()n

b

i i a

T i R f x dx f x ξ→==∆∑

⎰，1i i i x x x -∆=-，1i i i x x ξ-≤≤

积分与分割、介点集的取法无关。

几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。 （2）新的积分（Lebesgue 积分,从分割值域入手）

记1{:()}i i i E x y f x y -=≤<，1i i i y y ξ-≤<，则

[,]

1

()()lim

n

i

i

a b i L f x dx m E

δξ→==∑⎰

问题：如何把长度,面积,体积概念推广? 达布上和与下和

上积分（外包）（达布上和的极限）

||||0

1

()lim

n

b i

i a

T i f x dx M

x →==∆∑⎰

下积分（内填）达布下和的极限

||||0

1

()lim

n

b i

i

a

T i f x dx m x

→==∆∑⎰

二、Lebesgue 外测度(外包)

1．定义：设 n E R ⊂，称非负广义实数*

({})R R ⋃±∞=

1

1

inf{||:,i i i i i m E I E I I ∞

∞

*

===⊂⋃∑为开区间}

为E 的Lebesgue 外测度。 下确界：

（1）ξ是数集S 的下界，即x S ∀∈，x ξ≤

（2）ξ是数集S 的最大下界，即0,,x S ε∀>∃∈使得x ξε≤+

1

1

inf{||:,i i i i i m E I E I I ∞

∞

*

===⊂⋃∑为开区间}

0,ε∀>∃开区间列{},i I 使得1

i i E I ∞

=⊂⋃且

*

*

1

||i

i m E I

m E ε∞

=≤

≤+∑

即：用一开区间列{}i I “近似”替换集合E

例1 设E 是[0,1]中的全体有理数，试证明E 的外测度为0. 证明：由于E 为可数集，故不妨令

123[0,1]{,,,}E Q r r r =⋂=

0,ε∀>作开区间

1

1

(,),1,2,3,2

2

i i i i i I r r i ε

ε

++=-

+

=

则1

i i E I ∞

=⊂⋃且

1

1

1

||2

i i i i I ε

ε∞

∞

+===

=∑∑，

从而*

m E ε≤ ，再由ε的任意性知*

0m E = 思考：

１. 设E 是平面上的有理点全体，则E 的外测度为0

提示：找一列包含有理点集的开区间

112212(((,),1,2,3,i i i i i i i I r r r r r r Q Q i =-

+

⨯-

+

∈⨯=

2.平面上的x 轴的外测度为0

提示：找一列包含x 轴的开区间

1

1

(1,1)(,

),1,2,3,2

2

i i i i i i I r r r Z i ε

ε

++=-+⨯-

∈= ，

3. 对Lebesgue 外测度，我们用可数个开区间覆盖[0,1]中的有理数全体，是否这可数个开区间也覆盖[0,1]（除可数个点外）.

注：对可数个开区间不一定有从左到右的一个排列（如Cantor 集的余集的构成区间） 2．Lebesgue 外测度的性质

（1）非负性：0m E *≥，当E 为空集时，0m E *= （2）单调性：若A B ⊂，则m A m B **≤

证明:能覆盖B 的开区间列也一定能覆盖A ，从而能覆盖B 的开区间列比能覆盖A 的开区间列要少，相应的下确界反而大。 （3）次可数可加性*

*

11

()n n n n m A m A ∞

∞

==⋃≤

∑

证明：对任意的0ε>,由外测度的定义知，对每个n A 都有

一列开区间（即用一开区间{}nm I 列近似替换n A ）12,,,,n n nm I I I 使得1

n nm m A I ∞

=⊂⋃且

*

*

1

||2

n nm n n

m m A I m A ε

∞

=≤

≤+

∑

从而1

11

n nm n n m A I ∞∞

∞

===⋃⊂⋃⋃，且

*

*

,1

11

1

1

||||()2

nm nm

n n n

n m n m n n I I

m

A m

A εε∞∞∞

∞

∞

======

≤

+

≤

+∑

∑∑∑∑

可见

*

*

111

1

()||n nm

n n n m n m A I

m

A ε∞

∞

∞

∞

====⋃≤

≤

+∑∑∑

由ε的任意性，即得*

*

1

1

()n n n n m A m A ∞

∞

==⋃≤

∑

注：（1）一般证明都是从大的一边开始，因为外测度的定义用的是下确界

（2）外测度的次可数可加性的等号即使,A B 不交也可能不成立（反例要用不可测

集），但有:若(,)0d A B >则

*

()()()m A B m A m B *

*

⋃=+

当区间i I 的直径很小时候，区间i I 不可能同时含有A ，B 中的点从而把区间列i I 分成两部分，一部分含有A 中的点，一部分含有B 中的点.