三角形倒角模型
翻折倒角的结论
翻折倒角的结论一、倒角的数学原理与一般方法【数学原理】倒角的数学原理，本质上只有一条，即为三角形的内角和定理及其推论——三角形外角的性质。
由于三角形的外角性质是加和的形式，会使得运算更简洁。
【计算方法】倒角的计算方法，其实就只有一条：利用内角和或外角性质找等量关系，列方程！不过，列方程也是有讲究的，总体思路是宁可多设几个字母，也要尽可能地使方程简洁，进而降低角度计算过程的复杂度。
二、倒角的四个重要模型倒角的模型主要有四个：①平行线与拐点模型②字与飞镖模型③双角平分线模型④折角模型前两个模型已经在上一篇文章中说明，继续介绍后两个模型，重点介绍“双角平分线模型”。
（一）平行线与拐点模型（三）字与飞镖模型（三）双角平分线模型1、模型条件&结论2、应用场景在应对与多条角平分线相关的角度问题时，“双角平分线模型”非常好用，所求夹角∠BPC的大小只有∠A有关！3、证明思路或方法（以双内角平分线图形为例）模型的证明依然是朴素的，即为最基本的方法：“根据三角形的内角和定理或外角性质列方程”。
其它两个图形对应的结论也可类似证明。
整个证明过程，只有朴素的数学原理，没有太多需要动脑筋的地方，便可轻松地把问题解决。
这也是我一贯的解题方法，我希望我的学生是更富有逻辑思考能力的，而不是记住一堆华丽的技巧，正所谓“大道至简”。
4、经典例题（四）折角模型1、模型条件&结论2、应用场景在三角形的翻折问题求解角度时使用。
以上两个图形的唯一区别仅在于翻折后的点A'是落在△ABC的内部还是外部。
如果点A'是落在△ABC的内部，则为左边的模型；如果点A'是落在△ABC的外部，则为右边的模型。
3、证明思路或方法（以右边图形为例）4、经典例题（五）其它常见模型1、四边形的双角平分线模型区别：唯一之处就在于所求角是四边形的相邻两角的平分线所构成角（适用于左边模型）还是相对两角的角平分线所构成的角（适用于右边模型）。
初中数学三角形中的倒角模型-平行线-拐点模型及参考答案
三角形中的倒角模型-平行线+拐点模型近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算(内角和定理、外角定理等)。
平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题就平行线+拐点模型(猪蹄模型(M型)、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
拐点(平行线)模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。
模型1：猪蹄模型(M型)【模型解读】图1图2图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.1(2022·河南洛阳·统考二模)如图，AB∥CD，∠ABM=30°，∠CDM=45°，则∠BMD的度数为()A.105°B.90°C.75°D.70°2(2023春·安徽蚌埠·九年级校联考期中)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC反射后沿着与PO平行的方向射出，已知图中∠ABO =46°，∠OCD=88°，则∠BOC的度数为()A.116°B.124°C.134°D.135°3(2023春·四川泸州·七年级校考期末)如图所示，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，应为()A.α+β+γB.β+γ-αC.180°-α-γ+βD.180°+α+β-γ4(2023·广东深圳·校联考模拟预测)北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB ∥CD ，当人脚与地面的夹角∠CDE =60°时，求出此时上身AB 与水平线的夹角∠BAF 的度数为()A.60°B.45°C.50°D.55°5(2023春·河南驻马店·九年级专题练习)已知AB ∥CD ，∠EAF =13∠EAB ，∠ECF =13∠ECD ，若∠E =66°，则∠F 为()A.23°B.33°C.44°D.46°6(2022·浙江七年级期中)如图(1)所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．(1)如图(2)所示，已知AB ⎳CD ，请问∠B ，∠D ，∠E 有何关系并说明理由；(2)如图(3)所示，已知AB ⎳CD ，请问∠B ，∠E ，∠D 又有何关系并说明理由；(3)如图(4)所示，已知AB ⎳CD ，请问∠E +∠G 与∠B +∠F +∠D 有何关系并说明理由．模型2：铅笔头模型图1图2图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+⋯+∠n=(n-1)180°.7(2023·广东·统考二模)如图所示，已知AB∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=()A.180°B.270°C.360°D.540°8(2023·山西吕梁·校联考模拟预测)如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行.若∠1=32°，∠2=62°，则∠3的度数为()A.118°B.148°C.150°D.162°9(2023·河南三门峡·校联考一模)如图，图1是某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为图2所示的数学图形．已知CD垂直地面上的直线DF于点D，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点C 缓慢向上抬高，AB段则一直保持水平状态上升(即AB始终平行于DF)．在该运动过程中，当∠ABC=112°时，∠BCD的度数是()A.112°B.138°C.158°D.128°10(2023春·新疆·七年级校考阶段练习)如图，如果AB∥CD，那么∠B+∠F+∠E+∠D=°．11(2022春·河北保定·七年级校考期中)如图，已知A1B∥A n C，则∠A1+∠A2+∠A3=，则∠A1+∠A2 +⋅⋅⋅+∠A n等于(用含n的式子表示)．模型3：牛角模型图1图2如图1，已知：AB∥DE，结论：α=β-γ.如图2，已知：AB∥DE，结论：α=β+γ-180°.12(2023·安徽滁州·校联考二模)如图，若AB∥CD，则()A.∠1=∠2+∠3B.∠1+∠3=∠2C.∠1+∠2+∠3=180°D.∠1-∠2+∠3=180°13(2023·江苏·七年级假期作业)如图，若AB ⎳CD ，则∠1+∠3-∠2的度数为14(2022·湖北洪山·七年级期中)如图，已知AB ∥CD ，P 为直线AB ，CD 外一点，BF 平分∠ABP ，DE 平分∠CDP ，BF 的反向延长线交DE 于点E ，若∠FED =a ，试用a 表示∠P 为．15(2023春·广东深圳·九年级校校考期中)已知直线AB ∥CD ，点P 为直线AB ，CD 所确定的平面内的一点，(1)问题提出：如图1，∠A =120°，∠C =130°．求∠APC 的度数：(2)问题迁移：如图2，写出∠APC ，∠A ，∠C 之间的数量关系，并说明理由：(3)问题应用：如图3，∠EAH :∠HAB =1:3，∠ECH =20°，∠DCH =60°，求∠H ∠E的值．16(2023·余干县八年级期末)已知直线AB ∥CD ，(1)如图1，直接写出∠BME 、∠E 、∠END 的数量关系为；(2)如图2，∠BME 与∠CNE 的角平分线所在的直线相交于点P ，试探究∠P 与∠E 之间的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，∠ABM =1n ∠MBE ，∠CDN =1n∠NDE ，直线MB 、ND 交于点F ，则∠F=．∠E模型4：羊角模型图1图2如图1，已知：AB∥DE，结论：α=γ-β.如图2，已知：AB∥DE，结论：α+β+γ=180°.17(2023春·上海·七年级专题练习)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C=20°，则∠EAB的度数为．18(2022·江苏七年级期中)如图所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E．则∠C等于()A.20°B.25°C.30°D.40°19(2023春·浙江·七年级专题练习)已知AB⎳CD，求证：∠B=∠E+∠D20(2023·河南·统考三模)如图，已知AB∥DE，∠ABC=150°，∠CDE=75°，则∠BCD的度数为()A.55°B.60°C.45°D.50°21(2023·河北沧州·校考模拟预测)如图，∠A=58°，∠D=122°，∠1=3∠2，∠2=25°，点P是BC上一点．(1)∠DFE的度数为；(2)若∠BFP=50°．则CE与PF(填“平行”或“不平行”)．模型5：蛇形模型(“5”字模型)基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180°.图1图2如图1，已知：AB∥DE，结论：α=β+180°-γ.如图2，已知：AB∥DE，结论：α=γ+180°-β.22(2023·四川广元·统考三模)珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若∠ABC=120°，∠BCD=80°，则∠CDE等于()A.50°B.40°C.30°D.20°23(2023·湖南长沙·九年级校联考期中)如图，若AB∥CD，∠α=65°，∠γ=25°，则∠β的度数是()A.115°B.130°C.140°D.150°24(2023·河南周口·校联考三模)如图，AB∥EF，∠B=100°，∠CDE=25°，则∠BCD的度数是()A.125°B.75°C.95°D.105°25(2023·陕西西安·校考模拟预测)如图，AB∥CD，CD∥EF，CE平分∠BCD，若∠ABC=58°，则∠CEF 的度数为()A.131°B.141°C.151°D.161°26(2023·江西·九年级校考阶段练习)如图∠BAC=10°，∠ACD=125°，CD⊥EF于点D，将AB绕点A 逆时针旋转α，使AB∥EF，则α的最小值为．课后专项训练1(2023·山东临沂·统考二模)如图，a∥b,∠1=45°，则∠2的度数为()A.105°B.125°C.135°D.145°2(2023春·安徽·九年级专题练习)如图，已知：AB∥EF，∠B=∠E，求证：BC∥DE．在证明该结论时，需添加辅助线，则以下关于辅助线的作法不正确的是()A.延长BC交FE的延长线于点GB.连接BEC.分别作∠BCD，∠CDE的平分线CG，DHD.过点C作CG∥AB(点G在点C左侧)，过点D作DH∥EF(点H在点D左侧)3(2023·浙江台州·统考一模)如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1= 30°，∠2=50°，则∠3的度数为( )．A.130°B.140°C.150°D.160°4(2023·江苏·八年级假期作业)如图，两直线AB、CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=( )．A.630°B.720°C.800°D.900°5(2023·辽宁抚顺·统考三模)如图，若AB∥CD∥EF，∠1=15°，∠2=60°，那么∠BCE=()A.120°B.125°C.130°D.135°6(2022·安徽芜湖·七年级期中)如图，AB ∥CD ，BF ,DF 分别平分∠ABE 和∠CDE ，BF ∥DE ，∠F 与∠ABE 互补，则∠F 的度数为A.30°B.35°C.36°D.45°7(2023·内蒙古呼伦贝尔·统考三模)如图是一款手推车的平面示意图，其中AB ∥CD ，∠1=24°，∠3=148°，则∠2的度数为()A.56B.66C.98D.1048(2023春·重庆江津·七年级校联考期中)如图，AB ⎳CD ，∠ABE =12∠EBF ，∠DCE =13∠ECF ，设∠ABE =α，∠E =β，∠F =γ，则α，β，γ的数量关系是()A.4β-α+γ=360°B.3β-α+γ=360°C.4β-α-γ=360°D.3β-2α-γ=360°9(2022·江苏七年级期末)如图，AB ∥CD ，则∠1+∠3-∠2的度数等于．10(2023·湖南长沙·校联考二模)如图所示，AB∥DE，∠1=130°，∠2=36°，则∠3=度．11(2022·四川成都·七年级期末)已知直线AB∥DE，射线BF、DG分别平分∠ABC，∠EDC，两射线反向延长线交于点H，请写出∠H，∠C之间的数量关系：．12(2022·黑龙江·七年级月考)如图，AB⎳CD，E是CD上的点，过点E作EF⎳DP，若∠PEF=∠PEH，EG平分∠DEH，∠B=152°，∠PEG=65°，则∠BPD=．13(2023·浙江·九年级专题练习)如图，已知AB∥DE，∠BCD=30°，∠CDE=138°，求∠ABC的度数．14(2023春·重庆南岸·九年级校考期中)在数学课上老师提出了如下问题：如图，∠B=160°，当∠A与∠D满足什么关系时，BC∥DE?小明认为∠D-∠A=20°时BC∥DE，他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面的作图与填空：15(2023春·河北廊坊·七年级校考阶段练习)(1)如图(1)AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．(2)观察图(2)，已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．(3)观察图(3)和(4)，已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．16(2023秋·广东江门·八年级校考阶段练习)(1)如图①，如果AB∥CD，求证：∠APC=∠A+∠C．(2)如图②，AB∥CD，根据上面的推理方法，直接写出∠A+∠P+∠Q+∠C=．(3)如图③，AB∥CD，若∠ABP=x，∠BPQ=y，∠PQC=z，∠QCD=m，则m=(用x、y、z表示)．17(2023春·山东淄博·九年级校考期中)如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．(1)如图1，若∠BAE=30°，∠DCE=20°，则∠AEC=；如图1，若∠BAE=α，∠DCE=β，则∠AEC=；(2)如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；(3)如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由．18(2022·湖南株洲市八年级期末)已知直线a∥b，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点(不与点E，F重合)，设∠PAE=∠1，∠APB=∠2，∠PBF=∠3．(1)如图1，当点P在线段EF上运动时，试说明∠1+∠3=∠2；(提示：过点P作PM∥a)(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况，①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明．②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系(不要求证明)．19(2023·内蒙古鄂尔多斯·七年级校考期中)问题探究：如下面四个图形中，AB∥CD．(1)分别说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系．(2)请你从中任选一个加以说明理由．解决问题：(3)如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=°．20(2023春·湖北黄冈·七年级校考期中)如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，AD∥BE(1)求证：∠B+∠C-∠A=180°：(2)如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数量关系；(3)如图③，在(2)的前提下，且有AC∥QB，直线AQ、BC交于点P，QP⊥PB，直接写出∠DAC：∠ACB：∠CBE=．21(2023春·广东·七年级专题练习)(1)如图1，AB∥CD，∠ABE=45°，∠CDE=21°，直接写出∠BED 的度数．(2)如图2，AB∥CD，点E为直线AB,CD间的一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，写出∠BED与∠F之间的关系并说明理由．(3)如图3，AB与CD相交于点G，点E为∠BGD内一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠BGD=60°，∠BFD=95°，直接写出∠BED的度数．22(2023春·福建三明·七年级校考期中)探索：小明在研究数学问题：已知AB⎳CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A、∠C的数量关系．发现：在图1中，∠APC=∠A+∠C；如图5小明是这样证明的：过点Р作PQ⎳AB∴∠APQ=∠A∵PQ⎳AB，AB⎳CD．∴PQ⎳CD∴∠CPQ=∠C∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C即∠APC=∠A+∠C(1)为小明的证明填上推理的依据；(2)理解：①在图2中，∠P与∠A、∠C的数量关系为；②在图3中，若∠A=30°，∠C=70°，则∠P的度数为；(3)拓展：在图4中，探究∠P与∠A、∠C的数量关系，并说明理由．23(2023春·山东·七年级专题练习)如图1，直线AB⎳CD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F 在CD上，连接PE，PF．(1)若∠PEB=60°，∠PFD=50°，请求出∠EPF．(请写出必要的步骤，并说明理由)(2)如图2，若点P，Q在直线AB与CD之间时，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，请求出∠4=．(不需说明理由，请直接写出答案)(3)如图3，在图1的基础上，作P1E平分∠PEB，P1F平分∠PFD，若设∠PEB=x°，∠PFD=y°，则∠P1= (用含x，y的式子表示)．若P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，可得∠P2；P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2 FD，可得∠P3⋯，依次平分下去，则∠Pn=．(用含x，y的式子表示)三角形中的倒角模型-平行线+拐点模型近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算(内角和定理、外角定理等)。
第4讲 倒角模型(教师版)
知识总结典型例题1如图，2如图，3如图1如下图，已知2如图1如图，在凹四边形2如图，3如图，知识总结典型例题题型：三角形-外角角分线如图所示，1如图，点两个外角平分线的交点，如果23如图，在D.如图，已知射线41如图，2如图，，三、数学万花筒帕斯卡12岁证明任意三角形内角和180度帕斯卡12岁证明任意三角形内角和180度。
任意两个相同直角三角形一定能拼成长方形，每一个长方形的内角和是360（四个直角）恰好包含了直角三角形的6个内角，所以一个直角三角形的内角和是360÷2=180。
任意两个相同的直角三角形一定能拼成长方形在此基础上证明任意锐角三角形内角和是180°. 在三角形内作一条高，会分割出两个不同的直角三角形。
因为直角三角形的内角和是180°，所以除直角外的两个锐角和为180°-90°=90°.两个直角三角形中共有4各锐角，恰好组成了原来大锐角三角形的三个内角，即可得出任意锐角三角形内角和为90°+90°=180°.同理可证，任意钝角三角形内角和也是180°，因为只有一条高在其内部，所以作高是没有选择余地了。
任意锐角三角形内作高任意钝角三角形内作高既然任意直角三角形、锐角三角形钝角三角形的内角和都是180°，小帕斯卡才会非常肯定地说：任意三角形的内角和是都是180°。
这里有个误区，有的教师以为学生在三种类型的三角形中各选择一个分别测量，就是代表了全部的三角形，实际上具体的锐角三角形不能代表所有的锐角三角形，这与帕斯卡证明方法中的任意三角形有本质的不同。
四、巩固加油站三角形>三角形及多边形>多边形>题型：不规则图形的多角求和题型：三角形内角的应用两个外角平分线的交点，如果D.。
三角形中的倒角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型(解析版)
三角形中的倒角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算(内角和定理、外角定理等)。
熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、“8”字模型图1图28字模型(基础型)条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①∠A+∠B=∠C+∠D；②AB+CD<AD+BC。
8字模型(加角平分线)条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D1(2021·河北·统考中考真题)下图是可调躺椅示意图(数据如图)，AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E 保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=110°，则图中∠D应(填“增加”或“减少”)度．【答案】减少10【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断．【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°-110°=70°，∴∠DCE=70°，如图，连接CF并延长，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，若只调整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，因此应将∠D减少10度；故答案为：①减少；②10．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．2(2023·浙江·八年级假期作业)如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数．【答案】540°【分析】如图所示，由三角形外角的性质可知：∠A+∠B=∠IJL，∠C+∠D=∠MLJ，∠H+∠K=∠GIJ，∠E+∠F=∠GML，然后由多边形的内角和公式可求得答案．【详解】解：如图所示：由三角形的外角的性质可知：∠A+∠B=∠IJL，∠C+∠D=∠MLJ，∠H+∠K=∠GIJ，∠E+∠F=∠GML，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K=∠IJL+∠MLJ+∠GML+∠G+∠GIJ=(5-2)×180°=3×180°=540°．【点睛】本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，利用三角形外角和的性质将所求各角的和转化为五边形的内角和是解题的关键3(2023·山东德州·八年级校考阶段练习)如图1，已知线段AB,CD相交于点O，连接AC,BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：∠A+∠C=∠B+∠D；(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD,AB分别相交于点M、N．①若∠B=100°,∠C=120°，求∠P的度数；②若角平分线中角的关系改为“∠CAP=13∠CAB,∠CDP=13∠CDB”，试探究∠P与∠B,∠C之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)①110°；②∠P=13∠B+2∠C【分析】(1)利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明；(2)①根据角平分线的定义得到∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，再根据“8字形”得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P,∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C-∠P=∠P-∠B，即∠P=1 2∠B+∠C，即可求解．②根据∠CAP=13∠CAB,∠CDP=13∠CDB，可得∠BAP=23∠BAC，∠BDP=23∠BDC，再由三角形内角和定理和对顶角相等，可得2∠C-∠P=∠P-∠B，即可求解．【详解】(1)证明：在△AOC中，∠A+∠C=180°-∠AOC，在△BOD中，∠B+∠D=180°-∠BOD，∵∠AOC=∠BOD，∴∠A+∠C=∠B+∠D；(2)解：①∵∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，∴∠CAP=∠BAP,∠BDP=∠CDP，∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P①，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B②，由①-②，得：∠C-∠P=∠P-∠B，即∠P=12∠C+∠B，∵∠B=100°,∠C=120°，∴∠P=12100°+120°=110°；②∵∠CAP=13∠CAB,∠CDP=13∠CDB，∴∠BAP=23∠BAC，∠BDP=23∠BDC，∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，∴∠C-∠P=13∠BDC-13∠BAC=13∠BDC-∠BAC，∠P-∠B=23∠BDC-23∠BAC=2 3∠BDC-∠BAC，∴2∠C-∠P=∠P-∠B，∴∠P=13∠B+2∠C，故答案为：∠P=13∠B+2∠C．【点睛】本题考查了三角形内角和、有关角平分线的计算，解题的关键是灵活运用“8字形”求解．4(2023春·广东深圳·七年级统考期末)定理：三角形任意两边之和大于第三边．(1)如图1，线段AD ，BC 交于点E ，连接AB ，CD ，判断AD +BC 与AB +CD 的大小关系，并说明理由；(2)如图2，OC 平分∠AOB ，P 为OC 上任意一点，在OA ，OB 上截取OE =OF ，连接PE ，PF ．求证：PE =PF ；(3)如图3，在△ABC 中，AB >AC ，P 为角平分线AD 上异于端点的一动点，求证：PB -PC >BD -CD ．【答案】(1)AD +BC >AB +CD ；理由见详解(2)证明见详解(3)证明见详解【分析】(1)根据三角形任意两边之和大于第三边知，AE +BE >AB ，CE +ED >CD ，两式相加即可得出结论；(2)根据SAS 证△OEP ≌△OFP 即可得出结论；(3)在AB 上取一点E ，使AE =AC ，连接DE 交BP 于点F ，证△APE ≌△APC ，即PC =PE ，同理证CD =DE ，然后同理(1)得PB +CD >PC +BD ，变形不等式即可得出结论．【详解】(1)解：AD +BC >AB +CD ，理由如下：∵AE +BE >AB ，CE +ED >CD ，∴AE +BE +CE +ED >AB +CD ，即AD +BC >AB +CD ；(2)证明：∵OC 平分∠AOB ，∴∠EOP =∠FOP ，在△OEP 和△OFP 中，OE =OF∠EOP =∠FOP OP =OP，∴△OEP ≌△OFP SAS ，∴PE =PF ；(3)证明：在AB 上取一点E ，使AE =AC ，连接DE 交BP 于点F，∵AD 是∠BAC 的角平分线，∴∠EAP =∠CAP ，在△APE 和△APC 中，AE =AC∠EAP =∠CAP AP =AP，∴△APE ≌△APC SAS ，∴PE =PC ，同理可证DE =DC ，∵EF +PF >EP ，BF +FD >BD ，∴EF +PF +BF +FD >EP +BD ，即PB +DE >EP +BD ，∴PB +CD >PC +BD ，∴PB -PC >BD -CD ．【点睛】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握三角形的三边关系和全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．5(2023春·江苏苏州·七年级校联考期中)阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题．我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论∠A +∠B =∠C +∠D ．我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论∠AOC =∠A +∠C +∠P ．(1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题：如图2，AP 、CP 分别平分∠BAD 、∠BCD ，说明：∠P =12∠B +∠D ．(2)将图2看作基本图形，直接利用(1)中的结论解决下列问题：①如图3，直线AP 平分∠BAD 的外角∠FAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，若∠B =30°，∠D =20°，求∠P 的度数．②在图4中，AP 平分∠BAD 的外角∠FAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，猜想∠P 与∠B 、∠D 的关系(直接写出结果，无需说明理由)．③在图5中，AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，猜想∠P 与∠B 、∠D 的关系(直接写出结果，无需说明理由)．【答案】(1)见解析(2)①25°；②∠P =180°-12∠B +∠D ；③∠P =90°+12∠B +∠D 【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠P +∠3=∠2+∠ABC ，∠P +∠1=∠4+∠ADC ，相加得到2∠P +∠2+∠3=∠1+∠4+∠ABC +∠ADC ，继而得到2∠P =∠ABC +∠ADC ，即可证明结论；(2)①如图所示，分作∠BAD ，∠BCD 的角平分线交于H ，根据(1)的结论得到∠H =12∠B +∠D =25°，再由角平分线的定义和平角的定义证明∠PCH =90°，∠PAH =90°，再根据题干的结论可推出∠P =∠H =25°；②如图所示，分作∠BAD ，∠BCD 的角平分线交于H ，由(1)的结论可知∠H =12∠B +∠D ，，同理可得∠PCH =90°，∠PAH =90°，则由四边形内角和定理可得∠P =180°-12∠B +∠D ；③由题干的结论可得∠P =∠B +∠BAP +∠BCP ，由角平分线的定义得到∠BAP =12∠BAO ，∠BCP =12∠BCE ，再求出∠BCP =90°-12∠BCD ，由题干的结论可知∠B +∠BAO =∠D +∠BCD ，由此可得∠P =∠B +∠BAP +∠BCP =90°+12∠B +∠D ．【详解】(1)解：∵AP 、CP 分别平分∠BAD 、∠BCD ，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=∠1+∠4，由题干的结论得：∠P +∠3=∠2+∠ABC ，∠P +∠1=∠4+∠ADC ，∴2∠P +∠1+∠3=∠2+∠4+∠ABC +∠ADC ，∴2∠P =∠ABC +∠ADC ，∴∠P =12∠ABC +∠ADC ，即∠P =12∠B +∠D ；(2)解：①如图所示，分作∠BAD ，∠BCD 的角平分线交于H ，由(1)的结论可知∠H =12∠B +∠D =25°，∵PC ，HC 分别平分∠BCE ，∠BCD ，∴∠BCP =12∠BCE ，∠BCH =12∠BCD ，∵∠BCD +∠BCE =180°∴∠BCP +∠BCH =12∠BCD +12∠BCE =90°，∴∠PCH =90°，同理可得∠PAH =90°，由题干的结论可得∠P +∠PAH =∠H +∠PCH ，∴∠P =∠H =25°；②如图所示，分作∠BAD ，∠BCD 的角平分线交于H ，由(1)的结论可知∠H =12∠B +∠D ，，同理可得∠PCH =90°，∠PAH =90°，∴∠P =360°-∠PAH -∠PCH -∠H =180°-12∠B +∠D ；③由题干的结论可得∠P =∠B +∠BAP +∠BCP ，∵AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，∴∠BAP =12∠BAO ，∠BCP =12∠BCE ，∵∠BCE =180°-∠BCD ，∴∠BCP =90°-12∠BCD ，由题干的结论可知∠B +∠BAO =∠D +∠BCD ，∴∠BAO =∠D +∠BCD -∠B ，∴∠P=∠B+∠BAP+∠BCP=∠B+12∠BAO+90°-12∠BCD=∠B+12∠D+12∠BCD-12∠B+90°-12∠BCD=90°+12∠B+∠D．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，多边形内角和定理，准确识图并运用好“8”字形的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．模型2、“A”字模型结论：①∠3+∠4=∠D+∠E；②∠1+∠2=∠A+180°。
三角形倒角8个基本型
三角形倒角8个基本型
三角形倒角8个基本型
一、直角三角形型
指三角形的三条边均为直线，作工时采ユ直角三角形的两个外角倒角。
该型可分为正直角三角形和倒直角三角形两种型型。
二、锐角三角形型
指三角形的三条边均为直线，作工时采ユ锐角三角形的两个外角倒角。
该型可分为正锐角三角形和倒锐角三角形两种型型。
三、圆角三角形型
指三角形的三条边均为弧线，作工时采ユ圆角三角形的两个外角倒角。
该型可分为正圆角三角形和倒圆角三角形两种型型。
四、菱形型
指四条边均为直线的多边形，作工时采ユ菱形的两个外角倒角。
该型可分为正菱形和倒菱形两种型型。
五、六边形型
指六条边均为直线的多边形，作工时采ユ六边形的四个外角倒角。
该型可分为正六边形和倒六边形两种型型。
六、椭圆型
指四条边均为椭圆的多边形，作工时采ユ椭圆的两个外角倒角。
该型可分为正椭圆和倒椭圆两种型型。
七、不规则四边形型
指由不同正方形、长方形或多边形组成的不规则四边形，作工时
采ユ不规则四边形的四个外角倒角。
该型可分为正不规则四边形和倒不规则四边形两种型型。
八、五角形型
指五条边均为直线的多边形，作工时采ユ五角形的五个外角倒角。
该型可分为正五角形和倒五角形两种型型。
最新三角形的倒角模型(答案)
喜欢□一般□不喜欢□
大学生购买力有限，即决定了要求商品能价廉物美，但更注重的还是在购买过程中对精神文化爱好的追求，满足心理需求。
标题：手工制作坊2004年3月18日
三角形的倒角模型：
培养动手能力□学一门手艺□打发时间□兴趣爱好□
据调查，大学生对此类消费的态度是：手工艺制品消费比“负债”消费更得人心。
（3）年龄优势
十“漂亮女生”饰品店的分析
众上所述，我们认为：我们的创意小屋计划或许虽然会有很多的挑战和困难，但我们会吸取和借鉴“漂亮女生”和“碧芝”的成功经验，在产品的质量和创意上多下工夫，使自己的产品能领导潮流，领导时尚。在它们还没有打入学校这个市场时，我们要巩固我们的学生市场，制作一些吸引学生，又有使学生能接受的价格，勇敢的面对它们的挑战，使自己立于不败之地。
三角形倒角模型2024
引言：在三维建模中，倒角模型是一种常用的技术，用于给几何体的尖锐边缘添加平滑的圆角效果。
在本文中，我们将继续探讨三角形倒角模型的相关内容。
首先我们会简要回顾前文介绍的方法，然后深入讨论另外五个方面的内容，包括：双曲线倒角、坡度倒角、螺旋倒角、圆柱倒角和体积倒角。
通过详细的阐述，我们希望读者能够更好地理解和应用这些倒角模型技术。
概述：三角形的倒角模型是指给三角形的边缘或角度添加圆角效果。
倒角模型可以使模型更显真实，同时也能够消除尖锐边缘的刺眼感。
在之前的文章中，我们介绍了一种基本的三角形倒角模型方法，即通过增加额外的顶点来切割原始三角形，然后连接这些顶点以形成圆角效果。
在本文中，我们将深入讨论更多的三角形倒角模型技术。
正文内容：1.双曲线倒角1.1定义双曲线倒角1.2双曲线倒角的计算方法1.3双曲线倒角的应用实例1.4双曲线倒角的优缺点1.5双曲线倒角与其他倒角方法的比较2.坡度倒角2.1坡度倒角的原理2.2坡度倒角的计算方法2.3坡度倒角的应用实例2.4坡度倒角的优缺点2.5坡度倒角与其他倒角方法的比较3.螺旋倒角3.1螺旋倒角的原理3.2螺旋倒角的计算方法3.3螺旋倒角的应用实例3.4螺旋倒角的优缺点3.5螺旋倒角与其他倒角方法的比较4.圆柱倒角4.1圆柱倒角的定义4.2圆柱倒角的计算方法4.3圆柱倒角的应用实例4.4圆柱倒角的优缺点4.5圆柱倒角与其他倒角方法的比较5.体积倒角5.1体积倒角的概念5.2体积倒角的计算方法5.3体积倒角的应用实例5.4体积倒角的优缺点5.5体积倒角与其他倒角方法的比较总结：通过本文的讨论，我们详细了解了五种不同的三角形倒角模型技术。
双曲线倒角、坡度倒角、螺旋倒角、圆柱倒角和体积倒角都是常用的倒角方法。
它们各自具有不同的原理、计算方法、应用实例和优缺点。
通过比较不同的倒角方法，我们可以根据具体需求选择最适合的方法来创建高质量的倒角模型。
文末400字，请将前文正文段落补足至1300字。
第4讲 倒角模型(学生版)
巩固1
如图，
，
，
，则
．
巩固2
如下图，
，
，
，则 的度数为
度．
巩固3 如图，
度．
巩固4
如图，点 和点 分在
的边 和 的延长线上， ， 分别平分
和
，若
，
，则 的大小是
．
巩固5
如图，点 是
两个内角平分线的交点，点 是
，则
的度数为（ ）
两个外角平分线的交点，如果
A.
B.
C.
D.
巩固6
如图，在
中，
交于点 ，依次类推，
，
与
的角平分线交于 ，
与
的角平分线交于点 ，则
与
的角平分线
的度数是
度．
巩固7
如图⑴， 、 是任意
的 、 的角平分线．
(1) 探求
与 的数量关系.
(2)
能等于 吗？说明理由.
(3) 当 为多少度时，
？
(4) 把图⑴中的
变成图⑵中的四边形
， 、 仍然是 ， 的平分线，猜想
与 、 有何数量关系？（只写出猜想结果，不写过程）
首先得到：当 时，如图 ，
，
当 时，如图 ，
，
如图 ，猜想
．
A
B
C
图
图
图
三、数学万花筒
帕斯卡12岁证明任意三角形内角和180度 帕斯卡12岁证明任意三角形内角和180度。 任意两个相同直角三角形一定能拼成长方形，每一个长方形的内角和是360（四个直角）恰好包含了直 角三角形的6个内角，所以一个直角三角形的内角和是360÷2=180。
；
的平
三角形中的倒角模型——飞镖模型、风筝模型以及翻角模型 学生版
初中几何专题01.三角形中的倒角模型--飞镖模型、风筝模型以及翻角模型一、模型简介近年来，各地中考数学中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算(内角和定理、外角定理等)。
熟悉此类模型可以快速得到角的关系，求出所需的角，本专题就飞镖模型、风筝模型以及翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便同学们掌握。
模型1、“飞镖”模型(“燕尾”模型)图1图2图3条件：如图1，凹四边形ABCD；结论：①∠BCD=∠A+∠B+∠D；②AB+AD>BC+CD。
条件：如图2，线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC；结论：∠O=12(∠A+∠C)。
条件：如图3，线段AO平分∠DAB，线段CO平分∠BCD；结论：∠O=12(∠D-∠B)。
模型常用辅助线添加技巧1在劳动课上，小雅同学设计了一个形状如图所示的零件，其中∠A=52°，∠B=25°，∠C=30°，∠E =72°，∠F=65°，则∠D的度数为()A.35°B.45°C.30°D.24°2封闭折线ABCDEFGA组成的“七角形”，其七个角∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F、∠G之和为()A.180°B.270°C.360°D.720°3请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．(即如图1．∠ADB=∠A+∠B+∠C)理由如下：方法一：如图2，连结AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如图3，连结CD并延长至F，∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角，⋯大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论．任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是；(2)探索及应用：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分．2、风筝模型(鹰爪模型)或角内翻模型图1图21)风筝(鹰爪)模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2；2)风筝(鹰爪)模型(变形)：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。
初中数学——三角形的内外角和倒角模型
飞镖模型
A
12
D
B
34
C
结论：∠BDC=∠A+∠B+∠C
A
D B
连接BC
∵三角形内角和180°
∴∠A+∠ABC+ ∠ACB =180°
∠DBC+∠D+ ∠DCB=180°
C
∴∠A+∠ABC+ ∠ACB= ∠DBC+∠D+ ∠DCB 又∵ ∠ABC= ∠ABD+ ∠DBC
∠ACB= ∠ACD+ ∠DCB
∠A+∠B+∠F=∠BOF
在飞镖模型EDCO中
∠D+∠E+∠C=∠EOC
∠BOF=∠EOC=105 °(对顶角相等)
O
∴ ∠A+∠B+∠C +∠D+∠E+∠F=210°
“8”字模型
∵三角形内角和180°
∴∠A+∠B+ ∠1 =180° ∠C+∠D+ ∠2=180°
∠A+∠B+ ∠1 =∠C+∠D+ ∠2
∴∠A+∠ABC+∠ACB=∠BDC
飞镖模型
A
D
B
C
实现角的数量转换
飞镖模型
连接BD 在飞镖模型ABDN中 ∠A+∠ABD+∠NDB=∠AND=100 ° 在飞镖模型BDCM中 ∠C+∠BDA+∠DBM=∠CMB=130 ° ∴ ∠A+∠ABM+∠C+∠NDC=230 °
M N
在飞镖模型ABOF中
∵∠1=∠2（对顶角相等）
∴∠A+∠B=∠C+∠D
三角形中的倒角模型-双角平分线(三角形)模型(解析版)
三角形中的倒角模型-双角平分线(三角形)模型模型1、双角平分线模型图1图2图31)两内角平分线的夹角模型条件：如图1，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线BE ，CF 交于点G ；结论：∠BGC =90°+12∠A ．2)两外角平分线的夹角模型条件：如图2，在△ABC 中，BO ，CO 是△ABC 的外角平分线；结论：∠O =90°-12∠A ．3)一个内角一个外角平分线的夹角模型条件：如图3，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB 的外角，两条角平分线相交于点P ；结论：∠P =12∠A ．图4图5图64)凸多边形双内角平分线的夹角模型条件：如图4，BP 、CP 平分∠ABC 、∠DCB ，两条角平分线相交于点P ；结论：2∠P =∠A +∠D5)两内角平分线的夹角模型条件：如图5，BP 、DP 平分∠BCD 、∠CDE ，两条角平分线相交于点P ；结论：2∠P =∠A +∠B +∠E -180°6)一个内角一个外角平分线的夹角模型(累计平分线)条件：如图6，∠A =α，∠ABC ,∠ACD 的平分线相交于点P 1，∠P 1BC ,∠P 1CD 的平分线相交于点P 2，∠P 2BC ，∠P 2CD 的平分线相交于点P 3⋯⋯以此类推；结论：∠P n 的度数是α2n．7)旁心模型旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点条件：如图，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB 的外角，两条角平分线相交于点D ；结论：AD 平分∠CAD 1(2022秋·安徽阜阳·八年级统考期中)如图，在△ABC 中，点P 是△ABC 内一点，且点P 到△ABC 三边的距离相等，若∠BPC =124°，则∠A =．【答案】68°【分析】由条件可知BP 、CP 平分∠ABC 和∠ACB ，利用三角形内角和可求得∠A ．【详解】解：∵点P 到△ABC 三边的距离相等，∴BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，∴∠A =180°-(∠ABC +∠ACB )，=180°-2(∠PBC +∠PCB )=180°-2×(180°-∠BPC )=180°-2×(180°-124°)=68°故答案为：68°．【点睛】本题考查角平分线的性质与判定，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．2(2022·湖北十堰·八年级统考期末)如图，在五边形ABCDE 中，∠A +∠B +∠E =a ，DP ，CP 分别平分∠EDC ，∠BCD ，则∠P 的度数是．【答案】12α-90°【分析】利用多边形内角和公式、三角形内角和定理和角平分线的定义即可求解．【详解】解：∵五边形的内角和为5-2 ×180°=540°，∴∠EDC +∠BCD =540°-α，∵DP,CP分别为∠EDC、∠BCD的平分线，∴∠PDC=12∠EDC，∠PCD=12∠BCD，∴∠PDC+∠PCD=12∠EDC+∠BCD=12540°-α，∴∠P=180°-12540°-α=12α-90°，故答案为：12α-90°．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，牢记n边形的内角和为n-2×180°是解题关键．3(2023·山东济南·校考模拟预测)如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．(1)求证：∠AOC=90°+12∠ABC；(2)当∠ABC=90°时，且AO=3OD(如图2)，判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．【答案】(1)见解析(2)43AE+CD=AC，证明见解析【分析】(1)求出∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，根据角平分线定义求出∠OAC=12∠BAC，∠OCA=12∠BCA，即可求出∠OAC+∠OCA的度数，根据三角形内角和定理求出即可；(3)在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，证△AEO≌△AMO，△DCO≌△NCO，推出∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，求出∠MON=∠MOA=45°，根据角平分线性质求出MK=ML，据此计算即可求解．【详解】(1)证明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，∵∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．∴∠OAC=12∠BAC，∠OCA=12∠BCA，∴∠OAC+∠OCA=12(∠BAC+∠BCA)=12(180°-∠ABC)=90°-12∠ABC，∴∠AOC=180°-(∠OAC+∠OCA)=180°-90°-12∠ABC，即∠AOC=90°+12∠ABC；(2)解：43AE+CD=AC，证明：如图2，∵∠AOC=90°+12∠ABC=135°，∴∠EOA=45°，在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，则在△AEO和△AMO中，AE=AM∠EAO=∠MAO AO=AO，∴△AEO≌△AMO，同理△DCO≌△NCO，∴∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，∴∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°，∴∠MON=∠MOA=45°，过M作MK⊥AD于K，ML⊥ON于L，∴MK=ML，S△AOM=12AO×MK，S△MON=12ON×ML，∴AOON=SΔAOMSΔMON，∵SΔAOMSΔMON=AMMN，∴AOON=AMMN，∵AO=3OD，∴AOOD =31，∴AOON=AMMN=31，∴AN=43AM=43AE，∵AN+NC=AC，∴43AE+CD=AC．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定义和性质，三角形的面积，三角形内角和定理的应用，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键．4(2023秋·成都市·八年级专题练习)如图，在△ABC中，∠B=58°，三角形两外角的角平分线交于点E，则∠AEC=．【答案】61°【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答．【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-58°= 122°，∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，∴∠DAC+∠ACF=360°-(∠BAC+∠BCA)=360°-122°=238°，∵AE 平分∠DAC ，CE 平分∠ACF ，∴∠EAC =12∠DAC ，∠ECA =12∠ACF ，∴∠EAC +∠ECA =12(∠DAC +∠ACF )=119°，∵∠EAC +∠ECA +∠AEC =180°，∴∠AEC =180°-(∠EAC +∠ECA )=180°-119°=61°，故答案为：61°．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键．5(2023·湖北·八年级专题练习)如图，已知在ΔABC 中，∠B 、∠C 的外角平分线相交于点G ，若∠ABC =m °，∠ACB =n °，求∠BGC 的度数.【答案】∠BGC =12m °+n ° 【分析】运用角平分线的知识列出等式求解即可．解答过程中要注意代入与之有关的等量关系．【详解】解：∠B 、∠C 的外角平分线相交于点G ，在ΔBCG 中，∠BGC =180°-12∠EBC +12∠BCF=180°-12(∠EBC +∠BCF )=180°-12(180°-∠ABC +180°-∠ACB )=180°-12(180°-m °+180°-n °)；=12m °+n ° 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的知识．此类题的关键是找出与之相关的等量关系简化计算得出．6(2023·辽宁葫芦岛·八年级统考期中)如图，CD 、BD 分别平分∠ACE 、∠ABC ，∠A =70°，则∠BDC =()A.35°B.25°C.70°D.60°【答案】A 【分析】根据角平分线的定义可得∠CBD =12∠ABC ，∠DCE =12∠ACE ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠DCE =∠D +∠CBD ，∠ACE =∠A +∠ABC ，然后整理求出∠D=12∠A．【详解】解：∵CD、BD分别平分∠ACE、∠ABC，∴∠CBD=12∠ABC，∠DCE=12∠ACE，由三角形的外角性质得，∠DCE=∠D+∠CBD，∠ACE=∠A+∠ABC，∴∠D+∠CBD=12(∠A+∠ABC)∴∠D=12∠A，∵∠A=70°，∴∠D=12×70°=35°．故选：A．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，注意整体思想的利用是解答的关键．7(2022秋·八年级课时练习)如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1 BD的平分线，CA2是∠A1CD的平分线，BA3是∠A2BD的平分线，CA3是∠A2CD的平分线，⋯⋯以此类推，若∠A=α，则∠A2020=．【答案】α22020【分析】根据角平分线的定义可得∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解∠A1=12∠A，同理求出∠A2，∠A3，可以发现后一个角等于前一个角的12，根据此规律即可得解．【详解】∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，∴1 2(∠A+∠ABC)=12∠ABC+∠A1，∴∠A1=12∠A，∵∠A=α．∠A1=12∠A=12α，同理可得∠A2=12∠A1=122α，根据规律推导，∴∠A2020=α22020，故答案为α22020．【点睛】本题主要考查的是三角形外角性质，角平分线定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键．8(2023春·成都市七年级课时练习)如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1= 2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2，正确的是．(把所有正确的结论的序号写在横线上)【答案】①④【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1=2∠2，∠BOC=90°+12∠1，∠BOC=90°+∠2，再分析判断．【详解】∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∴∠DCE=12∠ACD，∠DBE=12∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2=∠DCE-∠DBE=12(∠ACD-∠ABC)=12∠1，故①正确；∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC=12ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12(180°-∠1)=90°+12∠1，故②、③错误；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO=12∠ACB，∠ACE=12∠ACD，∴∠OCE=12(∠ACB+∠ACD)=12×180°=90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC=∠OCE+∠2=90°+∠2，故④正确；故答案为：①④．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义．9(2023秋·广东佛山·八年级校考期末)(1)如图1所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线将于点O，则有∠BOC=90°+12∠A，请说明理由．(2)如图2所示，在△ABC中，内角的平分线∠ABC和外角∠ACD的平分线交于点O，请直接写出∠BOC与∠BAC之间的关系，不必说明理由．(3)如图3所示，AP，BP分别平分∠CAD，∠CBD，则有∠P=12(∠C+∠D)，请说明理由．(4)如图4所示，AP，BP分别平分∠CAM，∠CBD，请直接写出∠P与∠C，∠D之间的关系，不必说明理由．【答案】(1)理由见解析；(2)∠BAC=2∠BOC；(3)理由见解析；(4)∠P=12∠D+12∠C+90°【分析】(1)根据OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线，利用三角形的内角和等于180°即可得出结果；(2)根据OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACD的角平分线，利用三角形的外角性质即可得出结果；(3)根据AP是∠DAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线，利用三角形的外角性质列出等式∠D +∠DAP=∠P+∠DBP，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C，分析等式即可得出结果；(4)AP是∠MAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线，设∠DBP=∠PBC=x，∠MAP=∠PAC =y，利用三角形外角性质和内角和性质即可得出结果．【详解】解：(1)∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线∴∠ABO=OBC，∠ACO=∠OCB∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴∠OCB+∠OBC=180°-∠A÷2=90°-12∠A∴∠BOC==180°-90°-12∠A=90°+12∠A(2)∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACD的角平分线∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCD∵∠BAC+∠ABC=∠ACD，∠OBC+∠BOC=∠OCD∴2∠OBC+2∠BOC=2∠OCD∴∠ABC+2∠BOC=∠ACD∴∠BAC=2∠BOC(3)∵AP是∠DAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线∴∠DAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC∵∠D+∠DAP=∠P+∠DBP，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C∴∠D-∠P=∠P-∠C∴∠P=12(∠C+∠D)(4)∵AP是∠MAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线∴∠MAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC设∠DBP=∠PBC=x，∠MAP=∠PAC=y∴∠AGB=∠C+2x∴∠BEP=∠AEG=180°-(∠C+2x)-y∴∠P=180°-∠BEP-∠DBP=∠C+x+y∵∠D+∠AEG=∠MAP∴∠D+180°-(∠C+2x)-y =y∴x+y=12∠D-12∠C+90°∴∠P=12∠D-12∠C+90°+∠C∴∠P=12∠D+12∠C+90°【点睛】本题主要考查的是角平分线性质的综合运用，正确的掌握角平分线的性质以及运用是解题的关键．10(2023·江苏八年级课时练习)(1)如图所示，在△ABC中，BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，证明：∠BOC=90°+12∠A．(2)如图所示，△ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，证明：∠BDC=90°-12∠A．(3)如图所示，△ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D，证明：∠D=12∠A．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析【详解】(1)设∠ABO=∠OBC=x,∠ACO=∠BCO=y．由△ABC的内角和为180°，得∠A+2x+2y=180°．①由△BOC的内角和为180°，得∠BOC+x+y=180°．②由②得x+y=180°-∠BOC．③把③代入①，得∠A+2180°-∠BOC=180°，即2∠BOC=180°+∠A，即∠BOC=90°+12∠A(2)∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠BCD=12∠A+∠ABC、∠DBC=12∠A+∠ACB，由三角形内角和定理得，∠BDC=180°-∠BCD-∠DBC，=180°-12[∠A+(∠A+∠ABC+∠ACB)]，=180°-12(∠A+180°)，=90°-12∠A；(3)如图：∵BD为△ABC的角平分线，交AC与点E，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点D∴∠1=∠2，∠5=12(∠A+2∠1)，∠3=∠4，在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3∴∠1+∠3=180°-∠A①在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-12(∠A+2∠1)，即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2(∠1+∠3)-∠A②，把①代入②得∠D=12∠A．【点睛】此题考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学常规题．课后专项训练1(2023·成都·八年级月考)如图，ΔABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP 交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=()A.40°B.45°C.50°D.60°【解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD=x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，∴PF=PM，∵∠BPC=40°，∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=(x-40)°，∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°，∴∠CAF=100°，在RtΔPFA和RtΔPMA中，PA=PA PM=PF，∴RtΔPFA≅RtΔPMA(HL)，∴∠FAP=∠PAC=50°．故选：C．2(2023秋·绵阳市·八年级专题练习)如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是()A.∠BAC=70°B.∠DOC=90°C.∠BDC=35°D.∠DAC=55°【答案】B【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC，即可判断A选项；根据角平分线的定义求出∠ABO，再利用三角形的内角和定理求出∠AOB，然后利用对顶角，即可判断B选项；根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO，再利用三角形的内角和定理求出∠BDC，即可判断C选项；利用角平分线的性质，推出AD为△ABC的外角平分线，然后列式计算求出∠DAC，即可判断D选项．【详解】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-60°=70°，故A选项正确，不符合题意；∵BD平分∠ABC，∴∠ABO=12∠ABC=12×50°=25°，在△ABO中，∠AOB=180°-∠BAC-∠ABO=180°-70°-25°=85°，∴∠DOC=∠AOB=85°，故B选项错误，符合题意；∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=12∠ACE=12180°-∠ACB=12180°-60°=60°，在△COD中，∠BDC=180°-∠COD-∠ACD=180°-85°-60°=35°，故C选项正确，不符合题意；∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴D到AB、AC、BC的距离相等，∴AD是△ABC的外角平分线，∴∠DAC=12180°-∠BAC=12180°-70°=55°，故D选项正确，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题关键．3(2022春·北京海淀·七年级校考期中)如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A、B两点，点C在BA的延长线上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，则∠D的度数是()A.30°B.45°C.55°D.60°【答案】B【分析】由OA⊥OB即可得出∠OAB+∠ABO=90°、∠AOB=90°，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求出∠D的度数．【详解】解：∵OA⊥OB，∴∠OAB+∠ABO=90°，∠AOB=90°．∵DA平分∠CAO，∴∠DAO=12∠OAC=12(180°-∠OAB)．∵DB平分∠ABO，∴∠ABD=12∠ABO，∴∠D=180°-∠DAO-∠OAB-∠ABD=180°-12(180°-∠OAB)-∠OAB-12∠ABO=90°-12(∠OAB+∠ABO)=45°．故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是找出∠D=90°-12(∠OAB+∠ABO)．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练运用三角形内角和定理解决问题是关键．4(2022秋·河北张家口·八年级统考阶段练习)如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，连接OB,OC．若∠BOC=120°，则∠A的度数是()A.30°B.45°C.60°D.70°【答案】C【分析】由点O在△ABC内，且到三边的距离相等，可知O是角平分线的交点，则∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，由∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，可得∠ABC+∠ACB=120°，根据∠A+∠ABC+∠ACB=180°，计算求解即可．【详解】解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，∴O是角平分线的交点，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∵∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，∴12∠ABC+12∠ACB+120°=180°，即∠ABC+∠ACB=120°，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A=60°，故选：C．【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．5(2022秋·四川绵阳·八年级统考期末)如图，在△ABC中，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于()A.10°B.15°C.20°D.30°【答案】B【分析】先根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据三角形外角性质得∠1+∠2=∠3+∠4 +∠A，∠1=∠3+∠D，则2∠1=2∠3+∠A，利用等式的性质得到∠D=12∠A，然后把∠A的度数代入计算即可．【详解】解答：解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠ACE=∠A+∠ABC，即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∴2∠1=2∠3+∠A，∵∠1=∠3+∠D，∴∠D=12∠A=12×30°=15°．故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质、角平分线的性质等，根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析是解题关键．6(2023春·福建漳州·七年级统考期末)如图，在△ABC中，∠ACB<∠A,BD是角平分线，BE是边AC上的高，延长BD与外角∠ACF的平分线交于点G．以下四个结论：①∠ABD=∠CBD；②∠ABE+∠A=90°；③∠G=45°；④∠A-∠ACB=2∠EBD．其中结论正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】由三角形的角平分线的含义可判断①，由三角形的高的含义可判断②，证明∠ABC=2∠GBC，∠ACF=2∠GCF，∠ACF=∠ABC+∠A，∠GCF=∠GBC+∠G，可判断③，由2∠BED=290°-∠ADB，∠ADB=∠DBC+∠ACB，可得2∠BED=180°-2∠DBC+2∠ACB，从而可判断④，从而可得答案．【详解】解：∵BD是△ABC角平分线，∴∠ABD=∠CBD，故①符合题意；∵BE是边AC上的高，∴∠ABE+∠A=90°，故②符合题意；∵BD是△ABC角平分线，CG平分∠ACF，∴∠ABC=2∠GBC，∠ACF=2∠GCF∠A，∵∠ACF=∠ABC+∠A，∠GCF=∠GBC+∠G，∴2∠GCF=2∠GBC+∠A，∴∠G=12∵∠A<90°，∴∠G<45°，故③不符合题意；∵2∠BED=290°-∠ADB，∠ADB=∠DBC+∠ACB，∴2∠BED=180°-2∠DBC+2∠ACB=180°-∠ABC+2∠ACB=180°-180°-∠A+∠ACB=∠A-∠ACB，故④符合题意；故选C【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线与高的含义，三角形的外角的性质，灵活运用三角形的外角的性质解决问题是关键．7(2022秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=16°，∠ACB的平分线与外角∠ABD的平分线交于点E，连接AE，则∠AEC的度数为．【答案】37°/37度【分析】由角平分线的性质可得EF=EH=EG，进而可证明EA是∠BAC的外角平分线，再利用三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：过E点分别作EF⊥AC于F，作EG⊥AB于点G，作EH⊥CD于H，∵EC 是∠ACB 的平分线，EB 是∠ABD 的平分线，∴EF =EH ，EG =EH ，∴EF =EG ，∴EA 是∠BAC 的外角平分线，∵∠ACB =90°，∠BAC =16°，∴∠ACE =45°，∴∠EAB =∠FAB 2=180°-16°2=82°，∴∠AEC =180°-∠EAC +∠ACE =180°-82°+16°+45° =180°-143°=37°．故答案为：37°．【点睛】本题考查了三角形内角平分线和外角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键．8(2023春·江苏南通·七年级统考阶段练习)如图，BA 1和CA 1分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，BA 2是∠A 1BD 的平分线，CA 2是∠A 1CD 的平分线，BA 3是∠A 2BD 的平分线，CA 3是∠A 2CD 的平分线，若∠A =α，则∠A 999=．【答案】α2999【分析】根据角平分线的定义可得∠A 1BD =12∠ABC ，∠A 1CD =12∠ACD ，再根据三角形外角的性质可得12∠ABC +∠A =12∠ABC +∠A 1，化简可得∠A 1=12∠A ，进一步找出其中的规律，即可求出∠A 999的度数．【详解】解：∵BA 1和CA 1分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，∴∠A 1BD =12∠ABC ，∠A 1CD =12∠ACD ，又∵∠ACD =∠ABC +∠A ，∠A 1CD =∠A 1BD +∠A 1，∴12∠ABC +∠A =12∠ABC +∠A 1，∴∠A 1=12∠A =12α，同理可得：∠A 2=12∠A 1=12×12α=122α，∠A 3=122∠A 1=123α，...... 则A 999=12999∠A =α2999，故答案为：α2999．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，找出∠A 1，∠A 2，∠A 3与∠A 的规律是解题的关键．9(2022秋·北京大兴·八年级统考期末)如图，在△ABC 中，AB <AC ，∠BAC 的平分线与外角∠BCD 的平分线相交于点M ，作AB 的延长线得到射线AE ，作射线BM ，有下面四个结论：①∠MCD >∠MAB ；②BM =CM ；③射线BM 是∠EBC 的角平分线；④∠BMC =90°-12∠BAC ．所有正确结论的序号是．【答案】①③④【分析】由角平分线的定义可知∠MAB=∠MAC．再根据三角形外角的性质得出∠MCD=∠MAC+∠AMC，即可确定∠MCD>∠MAB，故①正确；过点M作MF⊥AD于点F，MG⊥BC于点G，MH⊥AE于点H，由角平分线的性质定理可得出MF=MG=MH．即易证Rt△BMG≌Rt△BMH(HL)，得出∠MBG=∠MBH，即说明射线BM是∠EBC的角平分线，故③正确；利用反证法，假设BM=CM，易证∠CBE=∠BCD，即得出∠ABC=∠ACB．由AB<AC，可知∠ABC≠∠ACB，即说明BM= CM不成立，故②错误；由∠BMC=∠BMG+∠CMG，即得出∠BMC=(90°-∠MBG)+(90°-∠MCG)．再根据角平分线的定义即得出∠BMC=90°-12∠CBE+90°-12∠BCD，最后结合三角形内角和定理即可求出结论，可判断④正确．【详解】解：∵AM为∠BAC的平分线，∴∠MAB=∠MAC．∵∠MCD=∠MAC+∠AMC，∴∠MCD>∠MAC，∴∠MCD>∠MAB，故①正确；如图，过点M作MF⊥AD于点F，MG⊥BC于点G，MH⊥AE于点H，∵AM为∠BAC的平分线，CM为∠BCD的平分线，∴MF=MG=MH．又∵BM=BM，∴Rt△BMG≌Rt△BMH(HL)，∴∠MBG=∠MBH，即射线BM是∠EBC的角平分线，故③正确；假设BM=CM，∴∠MBC=∠MCB．∵CM为∠BCD的平分线，BM是∠EBC的角平分线，∴∠MBE=∠MBC，∠MCB=∠MCD，∴∠MBE+∠MBC=∠MCB+∠MCD，即∠CBE=∠BCD，∴180°-∠CBE=180°-∠BCD，即∠ABC=∠ACB．∵AB<AC，∴∠ABC≠∠ACB，∴假设不成立，故②错误；∵∠BMC=∠BMG+∠CMG，∴∠BMC=(90°-∠MBG)+(90°-∠MCG)．∵∠MBG=12∠CBE，∠MCG=12∠BCD，∴∠BMC=90°-12∠CBE+90°-12∠BCD，∴∠BMC=90°-12∠CBE+90°-12∠BCD=180°-12∠CBE-12∠BCD=180°-12(180°-∠ABC)-12(180°-∠ACB)=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°-∠BAC)=90°-12∠BAC，∴④正确．综上可知所有正确结论的序号是①③④．故答案为：①③④．【点睛】本题考查角平分线的定义，角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质及三角形内角和的应用等知识．正确作出辅助线构造全等三角形，并利用数形结合的思想是解题关键．10(2023春·河北·七年级专题练习)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠BOC=130°，则∠D=【答案】40°【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论．【详解】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，∴∠ACO=12∠ACB，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=12∠ACE，∵∠ACB+∠ACE=180°，∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=12(∠ACB+∠ACE)=12×180°=90°，∵∠BOC=130°，∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和概念正确推理计算是解题的关键．11(2023·浙江杭州·八年级期末)如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点，则．(用含字母的代数式表示)【答案】【分析】根据四边形的内角和是360°，求出∠ABC+∠BCD的度数，然后根据角平分线的定义及三角形的内角和定理求出∠P的度数即可．【详解】解：∵∠A+∠D=m°，且四边形内角和为360°，∴∠ABC+∠BCD=360°-m°，∵PB、PC是∠ABC、∠BCD的角平分线，∴∠PBC=12∠ABC，∠BCP=12∠BCD，∴∠PBC+∠BCP=12∠ABC+12∠BCD=12∠ABC+∠BCD=12360°-m°∴∠P=180°-(∠PBC+∠BCP)=180°-12360°-m°=12m°故答案为：12m°．【点睛】本题考查了四边形的内角和及三角形的内角和与角平分线相关的角度计算问题，解题的关键是表达出∠PBC+∠BCP的度数．12(2023春·河南·七年级专题练习)如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB=3：2，那么∠CAB=．【答案】36°【分析】由角平分线的定义得∠NCM=∠MBN=12×180°=90°，再比的关系可求得∠CMB=108°，再由内角平分线及三角形内角和即可求得结果．【详解】由题意得：∠NCM=∠MBN=12×180°=90°，∴∠CMB+∠CNB=180°，又∠CMB：∠CNB=3：2，∴∠CMB=108°，∴12(∠ACB+∠ABC)=180°-∠CMB=72°，∴∠ACB+∠ABC=144°，∴∠CAB=180°-(∠ACB+∠ABC)=36°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线的定义等知识，由条件得到∠NCM=∠MBN= 90°是关键．13(2023·黑龙江八年级课时练习)(1)如图(1)所示，已知在△ABC中，O为∠ABC和∠ACB的平分线BO，CO的交点．试猜想∠BOC和∠A的关系，并说明理由．(2)如图(2)所示，若O为∠ABC的平分线BO和∠ACE的平分线CO的交点，则∠BOC与∠A的关系又该怎样？为什么？【答案】(1)∠BOC =12∠A +90°；理由见解析；(2)∠BOC =12∠A ；理由见解析【分析】(1)根据三角形内角和定理得出∠A +∠ABC +∠ACB =180°，∠BOC +∠OBC +∠OCB =180°，根据角平分线的性质得出∠ABC =2∠OBC ，∠ACB =2∠OCB ，然后得出∠BOC +12∠ABC +12∠ACB =180°，最后得出结论；(2)根据外角的性质得出∠A +∠ABC =∠ACE ，∠OBC +∠BOC =∠OCE ，然后根据角平分线的性质得出∠ABC =2∠OBC ，∠ACE =2∠OCE ，最后根据∠BOC =∠OCE -∠OBC 得出答案．【详解】(1)∠BOC =12∠A +90°．在△ABC 中，∠A +∠ABC +∠ACB =180°，在△BOC 中，∠BOC +∠OBC +∠OCB =180°，又∵BO ，CO 分别是∠ABC ，∠ACB 的平分线，∴∠ABC =2∠OBC ，∠ACB =2∠OCB ．∴∠BOC +12∠ABC +12∠ACB =180°．∴∠BOC =180°-12(∠ABC +∠ACB )=180°-12(180°-∠A )=90°+12∠A ．(2)∠BOC =12∠A ．∵∠A +∠ABC =∠ACE ，∠OBC +∠BOC =∠OCE ，∴∠A =∠ACE -∠ABC ，∠BOC =∠OCE -∠OBC又∵BO ，CO 分别是∠ABC 和∠ACE 的平分线，∴∠ABC =2∠OBC ，∠ACE =2∠OCE ．∴∠BOC =∠OCE -∠OBC =12∠ACE -12∠ABC =12(∠ACE -∠ABC )=12∠A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握外角性质并能正确计算是解题关键．14(2023·北京昌平·八年级校考阶段练习)认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.探究1：如图l ，在△ABC 中，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，通过分析发现∠BOC=90°+12∠A ,理由如下：∵BO 和CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线∴∠1=12∠ABC , ∠2=12∠ACB∴∠l+∠2=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°-∠A)=90°-12∠A∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-90°-12∠A=90°+12∠A(1)探究2；如图2中，O是12∠ABC与外角12∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．(2)探究3：如图3中, O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？(直接写出结论)(3)拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？(直接写出结论)【答案】(1)探究2结论：∠BOC=12∠A；(2)探究3：结论∠BOC=90°-12∠A；(3)拓展：结论∠BOC=12∠A+∠D【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得∠2=12∠ACD=12(∠A+∠ABC)，∠BOC=∠2-∠1，然后整理即可得解；(2)根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB，再根据三角形的内角和定理解答；(3)同(1)的求解思路．【详解】(1)探究2结论：∠BOC=12∠A．理由如下：如图，∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠2=12∠ACD=12(∠A+∠ABC)=12∠A+∠1，∵∠2是△BOC的一个外角，∴∠BOC=∠2-∠1=12∠A+∠1-∠1=12∠A，即∠BOC=12∠A；(2)由三角形的外角性质和角平分线的定义，∠OBC=12(∠A+∠ACB)，∠OCB=12(∠A+∠ABC)，在△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-12(∠A+∠ACB)-12(∠A+∠ABC)，=180°-12(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)，=180°-12(180°+∠A)，=90°-12∠A；故答案为∠BOC=90°-12∠A．(3)∠OBC+∠OCB=12(360°-∠A-∠D)，在△BOC中，∠BOC=180°-12(360°-∠A-∠B)=12(∠A+∠D)．故答案为∠BOC=12(∠A+∠D)．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图，整体思想的利用是解题的关键．15(2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习)如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动(不与点O重合)，AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．(1)若∠MON=60°，则∠ACG=°；若∠MON=90°，则∠ACG=°；(2)若∠MON=n°，请求出∠ACG的度数；(用含n的代数式表示)(3)如图2，若∠MON=n°，过C作直线与AB交于F，若CF∥OA时，求∠BGO-∠ACF的度数．(用含n的代数式表示)．【答案】(1)60°；45°；(2)90°-12n；(3)90°-12n．【分析】(1)根据三角形的内角和求出∠ABO+∠BAO的度数，再根据角平分线的定义及外角的性质即可得到∠ACG的度数；(2)根据(1)中的结论即可求出答案；(3)根据角平分线的性质，平行线的性质得到∠ACF=∠CAO=∠BAC，利用外角的性质得到∠BGO-∠ACF=∠ACG，由此得到答案.【详解】(1)∵∠MON+∠ABO+∠BAO=180°，∴∠ABO+∠BAO=180°-∠MON，∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠ABC=12∠ABO，∠BAC=12∠BAO，当∠MON=60°，∠ACG=∠ABC+∠BAC=12(∠ABO+∠BAO)=12(180°-∠MON)=60°，当∠MON=90°，∠ACG=∠ABC+∠BAC=12(∠ABO+∠BAO)=12(180°-∠MON)=45°，故答案为：60°，45°；(2)由(1)知∠ACG=12(180°-∠MON)，∵∠MON=n°，∴∠ACG=12(180°-∠MON)=90°-12n；(3)∵AC平分∠BAO，∴∠BAC=∠CAO∵CF∥OA，∴∠ACF=∠CAO=∠BAC，∵∠BGO=∠ABG+∠BAO=∠ABG+2∠ACF,∴∠BGO-∠ACF=∠ABG+2∠ACF-∠ACF=∠ABG+∠ACF=∠ABG+∠BAC=∠ACG,∵∠MON=n°时∠ACG=90°-12n，∴∠BGO-∠ACF=90°-12n.【点睛】此题考查三角形的内角和定理，外角的性质定理，平行线的性质定理，解题时注意共性思想的理解和利用.16(2023·山西晋城·七年级统考期末)在△ABC中，已知∠A=α．(1)如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．①当α=70°时，∠BDC度数=度(直接写出结果)；②∠BDC的度数为(用含α的代数式表示)；(2)如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE角平分线交于点F，求∠BFC的度数(用含α的代数式表示)．(3)在(2)的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M(如图3)，求∠BMC的度数(用含α的代数式表示)．【答案】(1)(1)①125°；②90°+12α，(2)∠BFC=12α；(3)∠BMC=90°+14α【分析】(1)①由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=110°，然后根据角平分线的定义，结合三角形内角和定理可求∠BDC；②由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，采用①的推导方法即可求解；(2)由三角形外角性质得∠BFC=∠FCE-∠FBC，然后结合角平分线的定义求解；(3)由折叠的对称性得∠BGC=∠BFC，结合(1)②的结论可得答案．【详解】解：(1)①∵∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，∴∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB =180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12(180°-70°)=125°②∵∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，∴∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB =180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12(180°-∠A)=90°+12∠A=90°+12α．故答案分别为125°，90°+12α．(2)∵BF和CF分别平分∠ABC和∠ACE∴∠FBC=12∠ABC，∠FCE=12∠ACE，∴∠BFC=∠FCE-∠FBC=12(∠ACE-∠ABC)=12∠A即∠BFC=12α．(3)由轴对称性质知：∠BGC=∠BFC=12α，由(1)②可得∠BMC=90°+12∠BGC，∴∠BMC=90°+14α．【点睛】本题考查三角形中与角平分线有关的角度计算，熟练掌握三角形内角和定理，以及三角形的外角性质是解题的关键．17(2023·江苏连云港·七年级统考期中)在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验．【结论发现】小明在处理教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半．【结论探究】(1)如图1，在△ABC中，点E是△ABC内角∠ACB平分线CE与外角∠ABD的平分线BE的交点，则有∠E=12∠A．请补齐下方的说理过程．理由如下：因为∠EBC+∠EBD=180°，又因为在△EBC中，∠EBC+∠E+∠ECB=180°，所以∠EBC+∠EBD=∠EBC+∠E+∠ECB．所以∠EBD=∠E+∠．(理由是：等式性质)同理可得：∠ABD=∠A+∠．又因为BE和CE分别是∠ABD和∠ACB的角平分线，所以∠EBD=12∠ABD，∠=12∠ACB．所以12∠ABD=∠E+12∠ACB．即∠E=12∠ABD-12∠ACB=12(∠ABD-∠ACB)．所以∠E=12∠A．请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题：【简单应用】(2)如图2，在△ABC中，∠ABC=40°．延长BA至G，延长AC至H，已知∠BAC、∠CAG 的角平分线与∠BCH的角平分线及其反向延长线交于E、F，求∠F的度数；【变式拓展】(3)如图3，四边形ABCD的内角∠BCD与外角∠ABG的平分线形成如图所示形状．①已知∠A=150°，∠D=80°，求∠E+∠F的度数；②直接写出∠E+∠F与∠A+∠D的关系．【答案】(1)ECB，ACB，ECB；(2)70°；(3)①205°；②∠E+∠F=12(∠A+∠D)+90°【分析】(1)根据三角形外角的性质以及角平分线的定义，即可得到答案；(2)先推出∠AEC=12∠ABC=20°，再推出∠EAC+∠FAC==90°，进而即可求解；(3)①延长BA、CD交于点M，延长CE、BF交于点N，可得∠N=12∠M，进而即可求解；②根据∠N= 12∠M，结合平角的意义以及三角形内角和定理，即可得到结论．【详解】解：(1)因为∠EBC+∠EBD=180°，又因为在△EBC中，∠EBC+∠E+∠ECB=180°，所以∠EBC+∠EBD=∠EBC+∠E+∠ECB．所以∠EBD=∠E+∠ECB．(理由是：等式性质)同理可得：∠ABD=∠A+∠_ACB_．又因为BE和CE分别是∠ABD和∠ACB的角平分线，所以∠EBD=12∠ABD，∠__ECB____=12∠ACB．所以12∠ABD=∠E+12∠ACB．即∠E=12∠ABD-12∠ACB=12(∠ABD-∠ACB)．所以∠E=12∠A．故答案是：ECB，ACB，ECB；(2)∵∠ABC=40°，∴∠AEC=12∠ABC=20°，∵∠BAC、∠CAG的角平分线与∠BCH的角平分线及其反向延长线交于E、F，∴∠EAC+∠FAC=12∠ABC+12∠CAG=12(∠ABC+∠CAG)=12×180°=90°，∴∠F=180°-90°-20°=70°；(3)①延长BA、CD交于点M，延长CE、BF交于点N，∵BF，CE平分∠ABG、∠DCB，∴∠N=12∠M，∵∠BAD=150°，∠ADC=80°，∴∠M=180°-(180°-150°)-(180°-80°)=50°，∴∠N=25°，∴∠AEF+∠BFE=360°-(180°-25°)=205°；②∵∠AEF+∠BFE=360°-(180°-∠N)=180°+∠N，∠BAD+∠ADC=180°+∠M，又∵∠N=12∠M，∴∠AEF+∠BFE-180°=12(∠BAD+∠ADC-180°)，即：∠E+∠F=12(∠A+∠D)+90°．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质，是解题的关键．18(2023春·江苏南京·七年级期中)(1)问题发现：如图1，在△ABC中，∠A=40°，∠ABC和∠ACB的平分线交于P，则∠BPC的度数是(2)类比探究：如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线和∠ACB的外角∠ACE的角平分线交于P，则∠BPC与∠A的关系是，并说明理由．(3)类比延伸：如图3，在△ABC中，∠ABC外角∠FBC的角平分线和∠ACB的外角∠BCE的角平分线交于P，请直接写出∠BPC与∠A的关系是．。
第4讲 倒角模型(教师版)
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析
根据三角形外角性质，可得：
，
，
，
，
∴
，
，
∴
又∵ 、 分别平分
、
∴
，
，
∴
，
∴
，
即
故选 ．
． ，
．
二、角平分线模型
知识总结
模型
图形
双内角分线模型
模型
图形
双外角分线模型
模型
图形
结论 结论 结论
一内一外角分线模型
注：角平分线模型在大题中不可直接使用，必须证明后再用．
典型例题
例题4
的平分线相交于点 ，得 ；…，
于点 ，得
，则
．
的平分线交于点 ，得 的平分线与
；
的平
的平分线相交
A1
答案
解析 ∵ ∴
， 的角平分线与
角平分线交于点 ， ，
∴
．
∴依此类推得：
，
∴
．
故答案为：
．
…，
4 如图，已知射线
， 、 为 、 上两动点，
中
的平分线与
的外角
平分线所在的直线交于点 ，则 （ ）．
A.
第4讲 倒角模型
一、“飞镖”与“8字模型”
知识总结
模型
图形
结论
飞镖模型
∠BDC=∠A+∠B+∠C
模型
图形
结论
“8”字模型
∠A+∠B=∠C+∠D
【注】1．证明思路：构造三角形，利用三角形内角和定理证明； 2．飞镖模型、“8”字模型在大题中不可直接使用，必须证明后再用．
三角形倒角模型结论和证明
三角形倒角模型结论和证明1. 引言好啦，今天咱们聊聊三角形倒角模型！这个名字听起来挺高大上的，但其实说白了就是把一个三角形的角给“修整”一下，让它看起来更柔和，更圆润。
就像我们在生活中总是希望把事情搞得圆滑一点，避免那些尖锐的冲突一样，倒角模型的主要目的是为了优化、提高效率，简直是“顺其自然”的典范嘛。
接下来，我会跟大家细说这个模型的结论和证明，保证你听完后，不仅会觉得有趣，还能带点干货回家。
2. 三角形倒角模型的基本概念2.1 什么是倒角？首先，咱得弄明白啥叫“倒角”。
通俗点说，就是把三角形的角切掉，留下一个小平面。
你可以想象一下，如果你有一个三角形的饼干，把那尖尖的角削平，这样就不会刮到嘴巴，吃起来也更爽口了。
倒角的目的是为了降低尖锐的边界，给人一种更加温和、亲切的感觉。
这就像我们在社交场合中，总是希望用更柔和的方式与人交流，不让人觉得不适。
2.2 倒角的应用在很多地方，倒角都是一个关键的设计元素。
比如说，在工业设计中，很多产品的边角都是经过倒角处理的，这样既好看，又能提高安全性。
想象一下，家里的家具如果都有尖角，那可真是个安全隐患。
小孩玩耍时不小心撞到，家长可就要心疼得直叫唤了！而且，倒角还可以让产品在生产时更容易加工，减少磨损，简直是一举两得，聪明得不得了。
3. 三角形倒角模型的结论3.1 模型的结论通过对三角形倒角模型的分析，我们得出一个结论：倒角处理可以有效提升结构的稳定性，同时降低受力集中现象。
这听起来可能有点抽象，简单来说，就是给三角形的角“减负”，让它在受到外力时不容易崩溃。
就像一个团队，大家都团结一致，才能更好地面对外部挑战，毕竟“团结就是力量”嘛！3.2 生活中的反思再说说这个模型在生活中的启示吧。
我们每个人都是一座小小的三角形，在生活中不可避免地会遇到各种冲突和挑战。
如果我们能够像倒角那样，适度地“软化”自己的态度，处理问题时就会更有智慧，减少不必要的摩擦。
比如说，当朋友之间有误会时，咱不妨先放下架子，真诚沟通，总比剑拔弩张要强得多。
三角形中的倒角模型-高分线模型、双(三)垂直模型(学生版)
三角形中的倒角模型-高分线模型、双(三)垂直模型近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算(内角和定理、外角定理等)。
熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题高分线模型、双垂直模型、子母型双垂直模型(射影定理模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1：高分线模型条件：AD是高，AE是角平分线结论：∠DAE=∠B-∠C21(2023秋·浙江·八年级专题练习)如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，CD为∠ACB的平分线，CE ⊥AB于点E，则∠ECD度数为()A.5°B.8°C.10°D.12°2(2023春·河南南阳·七年级统考期末)如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面判断正确的有()①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH是△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高A.1个B.2个C.3个D.4个3(2023·安徽合肥·七年级统考期末)如图，已知AD、AE分别是Rt△ABC的高和中线，AB=9cm，AC= 12cm，BC=15cm，试求：(1)AD的长度；(2)△ACE和△ABE的周长的差．模型2：双垂直模型结论：①∠A=∠C；②∠B=∠AFD=∠CFE；③AB⋅CD=AE⋅BC。
4(2023·陕西咸阳·统考一模)如图，在△ABC中，CD,BE分别是AB,AC边上的高，并且CD,BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数为()A.130°B.120°C.110°D.100°5(2022秋·安徽宿州·八年级校考期中)如图，在△ABC中，CD和BE分别是AB，AC边上的高，若CD= 12，BE=16，则ACAB的值为( )．A.35B.34C.43D.586(2023春·河南周口·七年级统考期末)如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，CF⊥AB于点F，AD⊥BC于点D，AD与CF交于点E，∠B=46°．(1)求∠AEC的度数．(2)若AD=6，求CF的长．模型3：子母型双垂直模型(射影定理模型)结论：①∠B=∠CAD；②∠C=∠BAD；③AB⋅AC=AD⋅BC。