【公开课教案】人教A版数学必修五第二章2.1《数列起始课》教案
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 2.1 数列的概念与简单表示法》优质课教案_26
教学设计
课题名称：由数列的前n项和求通项公式
教学年级：高三年级（文科）
1、教学任务分析
（1）知识与技能：了解数列递推公式定义，能根据数列递推公式求项，通过数列递推公式求数列的通项公式；
（2）过程与方法：通过实例“观察、分析、类比、试验、归纳”得出递推公式概念，体会数列递推公式与通项公式的不同，探索研究过程中培养学生的观察、归纳、猜想等能力；
（3）情感态度与价值观：培养学生积极参与，大胆探索精神，体验探究乐趣，感受成功快乐，增强学习数学的兴趣，培养学生一切从实际出发，认识并感受数学的应用价值。
2、教学重点、难点：
重点：由数列的前n项和公式求出通项公式。
难点：数列的前n项和递推公式求通项公式。
3、教学基本流程
4、教学情景设计
5、教学主要内容：
利用⎩⎨⎧≥-==-)2()1(1
1
n s s n s a n n n 求数列的通项公式。
6、教材编写特点
①本题设计了三种由数列的前n 项和求通项公式，有效的针对了学生易出错的地方进行讲解；
②本课内容是求通项公式的一种重要的方法也是高考考纲内容，它为求数列的项以及求数列的前n 项和打下了基础。
7、教材内容的核心数学思想
⎩⎨
⎧≥-==-)2()1(1
1
n s s n s a n n n 求数列通项公式。
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 2.1 数列的概念与简单表示法》优质课教案_14
1数列通项公式的求法教学设计一、课题数列通项公式的求法二、教学目标法求通项公式的规律。
2.2在得出求以上数列通项公式的基础上，总结发现公式的应用。
2.3在公式的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、总结、变形的能力，发展学生的创造性思维。
三、教学重点累加法、累乘法的方法归纳四、教学难点累加法与累乘法求通项的应用（联系对比-区分应用）五、教学方法激励——讨论——发现——对比——归纳——总结六、教具多媒体或小黑板七、教学过程师：在前面我们学习了等差、等比数列，请大家回忆一下等差数列的定义？等比数列的定义？及通项公式？生1：一般的一个数列从第二项起，每一项与它前面一项的差为同一个常数，我们把这样的数列叫等差数列；设首项为，公差为，则通项公式为。
生2：一般的一个数列从第二项起，每一项与它前面一项的比为同一个常数，我们把这样的数列叫等比数列，设首项为，公比为，则通项公式为。
师：非常好！对数列的定义和通项公式记忆较好。
师：请看下面的问题。
（1）在等差数列中？（2）已知，且有，求？生3：（1）中（2）中将变为是等差数列，师：很好，大家对等差数列掌握得很好。
师：大家再来看下列问题你能否解决呢？例1、已知数列满足，且，求数列的通项公式。
生4：（举手回答）这是一个等差数列变为师：同学们认真仔细思考一下，他说得对吗？生：（齐声回答）不对。
师：为什么不对呢？生：（齐声回答）因为此时，是变数，而不是常数。
师：很好，大家说得很对；既然不是等差数列，那怎么来求它的通项公式呢？（生思考，但很诧异）那么我们再来看一下，该数列与等差数列有什么异同呢？生5：与等差数列有相同的形式，只是两者之差不为常数而已。
师：很好！观察得很仔细，那么我们能否采用求等差数列通项公式的方法来求呢？（思考，解决，问题激励，语言激励）（生推得，师欣赏，鼓励学生，生板演，学生推导过程）生6：（黑板板演），将以上个等式相加得到。
师：你推导得出的通项公式是用什么方法呢？生7：累加法师：很好！大家再来观察一下例1和（2）两题有什么特点，从这两题中我们可不可以得出什么规律呢？（思考，问题激励，语言激励，学生讨论，归纳总结）生8：（板演）规律1，数列中，首项为（1）如果（常数），则数列是等差数列，且。
人教高中数学必修五第二章2.1数列的概念(第一课时)教学设计案例.
6.1数列的定义教学设计
一、学习目标
1、理解数列的定义，能叙述定义的内容。
2、能写出几个不同的数列。
3、会使用数列的记号，能指出数列的第1项（首项）、第2项…第n项(通项)。
4、能正确区分有穷数列和无穷数列。
二、教学方法与学习方法
启发式教学法探究教学法合作学习
1、通过概念课教学，力求使学生明确（1）概念的发生、发展过程以及产生背景；（2）概念中有哪些规定和限制的条件，它们与以前的什么知识有联系；（3）概念的名称、表述的语言有何特点；（4）概念有没有等价的叙述；（5）运用概念能解决哪些数学问题等。
目前，课时不足是数学新课程教学的突出问题，这会使概念教学受到严重冲击。
我认为在概念教学中多花一些时间是值得的，因为只有理解掌握了概念，才能更好地帮助学生落实“双基”，更好地帮助学生认识数学，
认识数学的思想和本质，进一步地发展学生的思维，提高学生的解题能力。
2、让学生置身于知识的发生、发展过程中，经历直观感知、观察发现、抽象概括、符号表示等思维过程，展示“数学定义的严谨性”是对事物的感性认识的升华和提高，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力。
3、教学通过丰富的实例展开的，这一方面可以使学生体会数列与现实世界的联系，另一方面，活生生的例子也会增强学生学习数列的兴趣，产生学习数学的积极情感，使他们感受到数列离自己很近，数列有用。
高中数学教案：必修5第二章教学设计(新人教A版)
数学5 第二章数列一、课程要求数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本模型。
在本模块中，学生将通过对日常中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。
1、了解数列的概念，概念2、理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，体会等差数列的通项公式与一次函数之间的关系。
3、探索并掌握等差数列的前n项和公式，体会等差数列的前n项和公式与二次函数之间的关系。
4、理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式，体会等比数列的通项公式与指数函数之间的关系。
5、探索并掌握等比数列的前n项和公式，体会等比数列的前n项和公式与指数型函数之间的关系。
6、能在具体的问题情境中，发现数列的等差或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。
二、编写意图：1、数列是刻画离散过程的重要数学模型，数列的知识也是高等数学的基础，它可以看成是定义在正整数集或其有限子集的函数，因此，从函数的角度来研究数列，即是对函数学习的延伸，也是一种特殊的函数模型。
2、本章力求通过具体的问题情景展现，帮助学生了解数列的概念，通过对具体问题的探究，理解与掌握两类特殊的数列，并应用它们解决实际生活中相关的一些问题。
编写中体现了数学来源于生活，又服务于生活的这种基础学科的特点，使学生感觉到又亲切又好奇，充满魅力。
3、教材在例题、习题的编排上，注重让学生重点掌握数列的概念、特殊数列的通项公式、求和公式等，并应用这些知识解决实际生活中的问题，渗透函数思想解决问题。
4、教材在内容设计上突出了一些重要的数学思想方法。
如类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想、特殊到一般等思想贯穿于全章内容的始终。
5、教材在知识内容设计上，注意了数列与函数、算法、微积分、方程等的联系，适度应用现代信息计术，帮助学生理解数学，提高数学学习的兴趣。
三、教学内容及课时安排建议本章教学时间约12课时2.1数列的概念与简单表示法约2课时2.2等差数列约2课时2.3等差数列的前n项和约2课时2.4等比数列约2课时2.5等比数列的前n项和约2课时问题与小结约2课时四、评价建议1、重视对学生数学学习过程的评价关注学生在数列知识学习过程中，是否对所呈现的现实问题情境充满兴趣；在学习过程中，能否发现数列的等差关系或等比关系，体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。
人教A版高中数学必修5第二章 数列2.1 数列的概念与简单表示法教案(1)
2.1.1 数列的概念与简单表示法一、教学目标（1）了解数列的概念通过实例，引入数列的概念，并理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型。
同时了解数列的几种分类。
（2）了解数列是一种特殊的函数了解数列是一类离散函数，体会数列之间的变量依赖关系，了解数列与函数之间的关系。
二、教学重点与难点（1）教学重点：了解数列的概念，以及数列是一种特殊函数，体会数列是反映自然规律的数学模型。
（2）教学难点：将数列作为一种特殊函数去认识，了解数列与函数之间的关系。
三、教学过程<1>创设情境，实例引入1、引导学生观察P26章节前的知识背景图片，构建自然现象中体现出的数的规律。
留下问题思考：你能发现下面这一列数的规律吗1，1，2.，3，5，8，13，21，34，55，89,...（我们先一起来观察一下课本P26的这幅大图，大家来数数这些花各有几片花瓣。
我们发现，第一朵花有3片花瓣，第二朵花有5片花瓣，第三朵花有8片花瓣，第四朵花有13片花瓣。
那大家来观察一下书上的那一组数：1，1，2.，3，5，8，13，21，34，55，89,...，你能发现它们有什么规律吗？带着这个问题，我们要来探讨一个有关数的新问题。
）2、引导学生观察课本P28的两幅图-三角形数与正方形数，进而引出数列的概念。
（大家都知道古希腊拥有着灿烂的文明，它的数学文化同样值得我们去探究。
古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，书本上的这两幅图正是他们所研究的一小部分，即三角形数与正方形数。
大家一起来观察一下，在三角形数这幅图中每个图形分别对应着数1，3，6，10....，而在正方形数这幅图中每个图形分别对应着数1，4，9，16...，大家能发现它们的共同特点吗？每个图形代表的数与在图中的序列号有没有什么联系呢？这样的一组数我们在数学上称之为数列。
现在我们一起来认识这个全新的概念：数列。
新课标人教A版必修5第二章《数列》全章教案(按课时备课,共14课时)
课题: §2.1数列的概念与简单表示法（第1课时）●教学目标知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。
过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
●教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用 ●教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入三角形数：1，3，6，10，… 正方形数：1，4，9，16，25，… Ⅱ.讲授新课⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….例如，①4,5,6,7,8,9,10…②1，1111,,, (2345)上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“31”是这个数列的第“3”项，等等下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项 1 51413121↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：na n 1=来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项结合上述其他例子，练习找其对应关系⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n . ⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项． 5.数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
人教A版高中数学必修5《二章数列2.1数列的概念与简单表示法》优质课教案_0
第1讲数列的概念及简单表示法教学目标：1•了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）; 2•了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数知识梳理1. 数列的概念⑴数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.⑵数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集）为定义域的函数a n= f（n）.当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法.2.数列的分类3.数列的两种常用的表示方法（1）通项公式：如果数列｛a n｝的第n项ch与序号n之间的关系可以用一个式子a n f）来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式•（2）递推公式：如果已知数列｛a n｝的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项a n 与它的前一项a n —1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那 么这个公式就叫做这个数列的递推公式.诊断自测1. 判断正误(在括号内打“V”或“X”) |精彩PPT 展示(1) 相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列 .(X ) (2) 一个数列中的数是不可以重复的.(X ) ⑶所有数列的第n 项都能使用公式表达.(X )(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个 .(")2. (2016保定调研)在数列｛a n ｝中，已知a 1= 1, a n +1 = 2a n + 1,则其通项公式为a n =() A.2n — 1B.2n —1 +1C.2n — 1D.2( n — 1)解析 法一 由a n +1 = 2a n + 1,可求a 2= 3, a 3= 7, a 4= 15,…，验证可知a *= n 2 — 1.法二 由题意知a n +1+ 1 = 2(a n + 1),二数列｛a n + 1｝是以2为首项，2为公比的等 比数列，二 a n + 1 = 2n ，— a n = 2n — 1. 答案 A3. (2016山西四校联考)已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n , S n = 2a n — n ,则a n =( ) A.2n —1 — 1B.2n — 1C.2n — 1D.2 n + 1解析 当 n 》2 时，a n = S n — S n -1 = 2a n — n — 2a n -1 + (n — 1), 即 a n = 2a n -1 + 1,— a n + 1 = 2(a n -1 + 1),•••数列｛a n + 1｝是首项为a 1+ 1 = 2,公比为2的等比数列，二a n + 1 = 2 2n —1 = 2n ,••• a n = 2n — 1. 答案 B4. (2015江苏卷)设数列｛a n ｝满足a 1= 1,且a n +1 — a n = n +1(n € N *),贝擞列 丘 10项的和为4•已知数列｛a n ｝的前n 项和s n ,则a n ―5= 1), (n > 2)将以上n — 1个式子相加得 a n — a 1 = 2 + 3+ …+ n =(2+ n )( n —1)2,即 a n = 解析 t a 1 = 1, a n +1 — a n = n + 1，— a 2 — a 1 = 2, a 3 —a 2= 3, …,a n — a n — 1 = n ,n (n + 1)2__1 2 (1令 bn = a n ，故 bn = n (n + 1) = 1 2 3 石_市， 故 S io = b i + b 2 + …+ b io「111 1 1 、 20 21-2+ 2-3+…+忆-后二亓 20答案205. （人教A 必修5P33A5改编）根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数 列的一个通项公式a n =考点一 由数列的前几项求数列的通项【例1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式: (1)- 1, 7，- 13, 19, 24_ 6 .8 1023，15，35，63，99,n 9252—0 ---------2 2 ?(4)5，55，555，5 555,解（1）偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式 （一1）n ，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大 6,故数列的一个通项公式为a n二（-1）n （6n - 5）.（2）这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1X 3, 3X 5, 5X 7, 7X 9, 9X 11,…，每一项都是两个相邻奇数的乘积.故所求数列的一个通 项公式为 an =（2n - 1）2（2n + 1）-3 数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观16答案5n- 4考点突破分黄讲竦，以例求法1 4 9 16 25 n察.即2, 2, 9, 2, 25,…，从而可得数列的一个通项公式为a n = 2.5 5 5(4) 将原数列改写为9X9, 9X99, 9X999,…，易知数列9, 99, 999,…的通项5为10n-1,故所求的数列的一个通项公式为a n=|(10n-1).规律方法根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征•应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想•【训练"⑴数列-匕，丈，-匕，息，…的一个通项公式a n = ----------------------3 7 9⑵数列｛a n｝的前4项是3，1 , 10, 17，则这个数列的一个通项公式a n = ________解析(1)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数1项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n= (- 1)n 1 .n (n+ 1)(2)数列｛a n｝的前4项可变形为2X 1 + 1 2X2+ 1 2X 3+ 1 2X4+ 1 ” 2n+ 1 〒+厂，'亏百‘7+厂'故an=孑+7. 答案⑴日丁市讨⑵铝考点—-由Si与a n的关系求a n【例2】设数列｛a n｝的前n项和为S n,数列｛S n｝的前n项和为T n,满足T n = 2S n2 *—n , n € N .(1) 求a1的值；(2) 求数列｛a n｝的通项公式.解(1)令n= 1 时，2S —1,T S1 = a1，—a1 = 2a1 —1，—a1= 1.2(2)n》2 时，T n-1 = 2S-1 —(n- 1),则S n= T n- T n-1 = 2S n-[2S n-1- (n- 1)2]—2(Si —S n-1) —2n+ 1=2a n —2n + 1.因为当n—1时，a1 —Si —1也满足上式,所以 S n — 2a n — 2n + 1(n 》1),当 n 》2 时，Sn -i — 2a n -i — 2(n — 1)+ 1,两式相减得a n — 2a n — 2a n -1 — 2,所以 a n — 2a n -1 + 2(n 》2),所以 a n + 2— 2(a n -1 + 2), 因为a 〔 + 2— 3工0, 所以数列｛a n + 2｝是以3为首项，公比为2的等比数列. 所以 a n + 2— 3X 2n —1,.・. a n — 3X 2n —1 — 2,当n — 1时也成立， 所以 a n — 3X 2n —1 — 2.规律方法 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n — S1, S —X 当n — 1,S n — S n -1, n 》2.时，a 1若适合S n — S n — 1,则n — 1的情况可并入n 》2时的通项a n ；当n — 1时, a 1若不适合S n — S n -1，则用分段函数的形式表示•-11 小 1当 n — 1 时，a 1 — 1工 2 X 2 — 3,【训练2】 (1)已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n , a 1— 1 , S n — 2a n +1,则S n —(A.2n —1n -1B. 2n — 11D^n -12 C.21 1又 a 2 — 2，A a n —n — 23(n 》2).n -1 n -11(2)由题意得,当 n 》2 时，a n — a 〔 + (a 2 — a“+ (a 3 — a 2)+…+ (a n — a n -1) — 2+ (2 + 3 (n — 1)(2+ n ) n (n + 1)+ …+ n)— 2 + 符合上式，因此2a n —今严+ 1. + 1.又 a 1 — 2—+1,(3)法一因为a n —n — 1 —^a n -(a n -1 —n — 2 n — • a n -2,・ 以上(n — 1)个式子的等号两端分别相乘得a n — a 1 • n — 1• •• S n — 2a n +1— 2X 2X 32 1(2)由S n = 2*n + 3得当n 》2时，2两式相减，得a n = 3a n — ・••当 n 》2 时，a n = — 2a n -1,即一~ = 一 2.a n -12 1又 n = 1 时，Si = a 1 = 3*1 + 3， a 1 = 1 ,二 a n = (— 2)n 1. 答案(1)B— 2)n -1考点三由数列的递推关系求通项公式【例3] (1)在数列｛a n ｝中，a 1= 1, a n +1 = 2a n + 3,求它的一个通项公式为a n . (2)在数列｛a n ｝中，a 1 — 2, a n +1 — a n + n + 1,求 a n .n — 1⑶已知数列｛a n ｝满足 a 1— 1, a n — —^a n -1(n 》2), 求 a n .解 ⑴设递推公式a n +1 — 2a n + 3可以转化为&+1 +1 — 2(a n +1),即卩a n +1 — 2a n +1, 解得t — 3.故 a n +1 + 3 — 2(a n + 3).令 b n — a n + 3,贝U b 1 — a 1 + 3 — 4, b n + 1 a n +1 + 3 b n a n + 3所以｛b n ｝是以4为首项，2为公比的等比数列 ••• b n — 4 2n —1 — 2n +1,••• a n — 2n +1-3.2.1 —n .规律方法 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法 求解•(1) 当出现a n — a n -1 + f(n)时，用累加法求解；(2)当出现旦 —f(n)时，用累乘法求a n — 1 解；(3)当出现a n +1 — pan + q 时，将a n +1 — pa n + q 的递推关系式可以化为(a n +1 + t)— p(a n +1)的形式，构成新的等比数列，其中t —p — 1【训练3】(1)(2016合肥一模)已知数列｛a n ｝满足a 1 — 1, a 2 — 4, a n +2 + 2a n — 3a n+ 1(n € N )，则数列｛a n ｝的通项公式a n — ______ .(2) 在数列｛a n ｝中，a 1 — 1， S n — n ；2a n ，则 a n — __ . 解析 (1)由 a n + 2 + 2a n — 3a n +1 — 0， 得 a n +2— a n +1 — 2(a n +1 — a n )，数列｛a n +1 — a n ｝是以a 2— a 〔一 3为首项,2为公比的等比数列，「• a n +1 — a n — 3X 2—1n 》2 时，a n — a n -1 — 3x 2n 4，…，a 3 — a 2 — 3x 2， a 2 — a 1 — 3， 将以上各式累加得a n — a 1 — 3x 2n —2+ …+ 3x 2 + 3 — 3(2n —1— 1)，.a n — 3 x 2n 1 — 2(当 n — 1 时，也满足).(2)由题设知，a 1 — 1.n + 2 n +1a n — S n — S n — 1 — ~3~ a n — ~3~ a n —1.4法二 因为 a n— a n a n —1a nT a n — 2 a n —2 a n — 3a 3 a 2n — 1 n — 2 n — 1—• — • a i ------ • •a 2 a i n n — 1n —当n 》2时, a n n +1 a n n +1a n —1 n — 1 a n -1 n — 1 a 4 5 a 3 4 a 2 小 =— =— —3a 3，a 2，a 以上(n —1)个式子的等号两端分别相乘，得到a ； - n (+^，又「a 1 -1，. a nn (n + 1)考点四 数列的单调性及应用答案 (1)3x 2n — 1— 2n (n + 1)【例4】已知数列｛a n｝的前n项和S n= 2n2+ 2n,数列｛b n｝的前n项和T n= 2-b n.(1)求数列｛a n｝与｛b n｝的通项公式；⑵设C n= a2• b n,证明：当且仅当n A 3时，C n + 1< C n.(1)解当n= 1 时，a i = S i = 4. 对于n>2, 有a n= S n- Sn-i = 2n(n+ 1)-2(n—1)n = 4n. 综上，｛a n｝的通项公式a n = 4n.将n = 1 代入T n= 2 —b n,得 5 = 2—b1,故「= b1= 1.(求b n 法一)对于n A2,由T n—1= 2—b n—1, T n= 2—b n,1 1—n得b n= T n—T n—1 = —(b n—b n —1) , b n = ^b n —1 , b n= 2 . (求b n 法二)对于n A2,由T n= 2—b n,得T n= 2—(T n —T n-1),1 1 —n 1 —n2T n= 2 + T n—1, T n—2 = ](T n-1 —2), T n —2 = 21 n(T1 —2)= —21 n, T n= 2—21—n, b n= T n —T n-1= (2 —21 —n) —(2 —22—n) = 21 —n. 综上，｛b n｝的通项公式b n = 21 —n.(2)证明(法一)由c n = a2• b n= n225—n,得詈=舟1+ n •1 4 L当且仅当n A 3 时，1 + -< 3<.2,即C n+1< C n.n 3(法二)由C n= a in • b n= n225 n,得c n+1 —c n = 24-n[( n + 1)2—2n2] = 24-n[ —(n—1)2+ 2].当且仅当n A 3 时，C n+1 —C h < 0,即卩C n +1 < C n.规律方法(1)单调性是数列的一个重要性质.判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断a n+1与a n(n€ N )的大小，若a n+1 >a n恒成立，则｛a n｝为递增数列；若a n+1 < an恒成立，则｛a n｝为递减数列.用作差法判断数列增减性的步骤为：①作差；②变形；③定号；④结论.(2)求数列｛a n｝的最大项和最小项，一种方法是利用函数的最值法；另一种是不等a n W a n+1 ,a n A a n+1 ,来确定n. On A a n —1式法，求最小项可由’来确定n,求最大项可由‘©n W a n—1若数列是单调的，也可由单调性来确定最大或最小项.3 * 【训练4】已知首项为2的等比数列｛a n｝不是递减数列，其前n项和为S n(n€ N ),且S 3+ a 3， Ss + a 5， S4 + a 4成等差数列. （1）求数列｛a n ｝的通项公式；1 *⑵设T n = S n -S n （n € N ），求数列｛T n ｝的最大项的值与最小项的值 解（1）设等比数列｛a n ｝的公比为q ,因为S 3+ a 3， S 5+ a s ， S 4+ a 4成等差数列，所以 S s + a s — S 3— a 3 = S 4+ a 4 — S 5-a s ，即卩 4a s = a 3， 干是 q 2_ a s —1 于疋 q — a 3 — 4.3 1又｛a n ｝不是递减数列且a 1= 2，所以q = — ~2故等比数列｛a n ｝的通项公式为1/ 1 n " + £，n 为奇数，（2）由（1）得 $= 1- - 2 =1J-艺，n 为偶数.当n 为奇数时，s n 随n 的增大而减小， 3所以 1 V S n < Si = 2， 挤c c 1 c 1 3 2 5 故0V Sn -斎亍 2-3二 6.3当n 为偶数时，s n 随n 的增大而增大，所以3= S 2< s n v 1, 11347故0>&-s n 》③-亍4-3=-佢* 71 5综上，对于n €N ,总有一12= S n -6.5 7所以数列｛T n ｝最大项的值为6，最小项的值为一［思想方法］1•由数列的前几项求数列通项，通常用观察法 （对于交错数列一般有（-1）n 或（- 1）n +1来区分奇偶项的符号）；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前 几3_2n课堂总结反思归纳’感悟提升n 1 - 2X 3- 2 - n a项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.、 S 2•强调an 与3的关系：an 」S n _ S n -1 3.已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有两 种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想； (2)利用累加或累乘法求数列的通项公式. ［易错防范］1. 数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取 值，如数列a n = f(n)和函数y = f(x)的单调性是不同的.2. 数列的通项公式不一定唯一.3.在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n = S n -Sn-1的形式，但它只适用于n 》2的情形.课时件业分层训练'提升能力基础巩固题组 (建议用时：40分钟)、选择题1.数列0, 1, 0，- 1，0，1，0，- 1,…的一个通项公式是a n 等于( )令门=1, 2，3，…，逐一验证四个选项，易得 D 正确. 答案 D 2.设a n = — 3n 2 + 15n -18,则数列｛a n ｝中的最大项的值是(解析 I a n =- 3 n -5 + 4，由二次函数性质，得当n = 2或3时，a n 最大，最 大为0. 答案 D3. (2016黄冈模拟)已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n = n 2-2n +2,则数列｛a n ｝的通项(n = 1),(n > 2)A (- 1)n+ 1A. 2n + 1C.cos —2 nn nB.cos解析 A 16 A.§ c 13BEC.4D.0公式为() A. a n = 2n— 3解析 当n = 1时，a i = S i = 1,当n 》2时，a n = S n — S n -1 = 2n — 3,由于a i 的值 不适合上式，故选C. 答案 C4.数列｛a n ｝满足 a n +1 + a n = 2n — 3,右 a 1 = 2,贝U a 8— a 4=( )A.7B.6C.5D.4解析 依题意得(a n +2+ a n +1)— (a n +1 + a n ) = [2(n + 1)— 3] — (2n — 3),即 a n + 2 — a n — 2, 所以 a 8 — a 4 — @8 — a 6)+ (a 6 — a 4)= 2+ 2 — 4. 答案 D5. (2015 石家庄二模)在数列｛a n ｝中，已知 a 1 =2, a 2 — 7, a n +2 等于 a n a n + 1(n € N ) 的个位数，贝U a 2 015—() A.8B.6C.4D.2解析 由题意得 a 3 — 4, a 4 — 8, a 5 — 2,a 6 — 6,a 7 — 2,a 8 — 2,a 9 — 4, a 10= 8.所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6,故a 2 015— a 335x 6+5— a 5 — 2. 答案 D 二、填空题6. ....................................................................................................................... 在数列｛a n ｝中，a 1= 1,对于所有的n 》2, n € N ,都有a 1 • a 2 • a 3 ................................. a n —门2,贝U a 3 + a 5 — _____ .解析 由题意知 a 1 • a 2 • a 3 ......... a n -1 — (n — 1)5 6,5 2 解析当 n = 1 时，a 1 = S 1 — 1a 1 + 3,B.a n = 2n + 3C.a n =1 n = 1,、2n — 3, n 》2 J 1, n = 1, D.a n =2n + 3, n 》2二a n= n—h2(n》2)「a3+ a5= f+ 4 禁答案611a1 = 1.27. （2016潍坊一模）已知数列｛a n｝的前n项和S n=?a n+3,则｛a n｝的通项公式a n=8. (2015 太原二模)已知数列｛a n ｝满足 a 1 — 1, a n — a n +1— n a n a n +1( n € N )，贝U a n —三、解答题9. 根据下列条件，确定数列｛a n ｝的通项公式. (1) a 1 — 1, a n +1 — 3a n + 2； (2) a 1 — 1, a n +1— (n + 1)a n ；(3) a 1 — 2, a n +1 — a n + In 1 + 门. 解⑴：a n +1 — 3a n + 2,• - an +1 + 1 — 3(a n + 1),•数列｛a n + 1｝为等比数列，公比q — 3, 又 a 1+ 1— 2, • a n + 1 — 2 3n 1 ,• a n — 2 3n 1 — 1. a n +1 (2) a n +1 — (n + 1)a n ,.°. & — n + 1. .a na n —1当n 》2时,1 1a n — Sn 一 S n -1 — ga n —3a na n 1a n -1 21 •••数列｛a n ｝为首项a 1 —1,公比q —— 2的等比数列，故 a n—-1n —1答案-1n 一 11 1解析 由已知得一—一 —n , a n +1a n1 1 ,1 • 一一 - — n — 1, a n a n -1a n -1丄—n -2,- a n -2丄丄1 'a 2 a 1'1 1 _ n (n — 1) a n a 1—2 21 n — n + 22a n —. 2 • an —n 2- n + 2.a n + 1 +1a n + 1 3,•—n, —n —1,a n-1 a n-2累乘可得，a n = n x (n — 1)x (n — 2)x — x 3X 2 x 1 = n ! 故 a n = n !a n + In 1+1 ,,n , n — 1 , 2 an — a1= ln n —1+ ln n^+…+ ln 1 = 又 a 1 = 2，— a n = In n + 2._ itc*10. 设数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n .已知 a 1 = a(a € R 且 a ^ 3), a n +1 = S n + 3 , n € N .(1) 设b n = S n — 3",求数列｛b n ｝的通项公式； ⑵若a n +1》a n , n € N *，求a 的取值范围. 解 (1)依题意，S n +1 — S n = a n +1 = S n + 3“， 即 S n +1 = 2S n + 3n ,由此得 S n + 1一 3“ +1 = 2(S n — 3),又S 1 — 31= a — 3(a M 3),故数列｛S n — 3n ｝是首项为a — 3,公比为2的等比数列， 因此，所求通项公式为b n = S n — 3n = (a — 3)2n 1, n € N . (2) 由(1)知 S n = 3n + (a — 3)2n —1, n € N *,于是，当 n 》2 时，a n = S n — S n —1 = 3n + (a — 3)2n 「1 — 3n —1 — (a — 3)2n —2 = 2x 3n —1+(a —3)厂2,a n +1 — a n = 4 x 3“ 1 + (a — 3)2n 2n 一 2 当 n 》2 时，a n +1》a n ? 12 • 2 + a — 3》0? a > — 9.a 3 a 2=3, a 2a i a i = 1. …a n +1 — a n = In 1+1=lnn + 1 na n — a n — 1 =说,a n —1 — a n —2=Inn — 1n —2，a 2 — aln2In n.又a2= a1+ 3>a1. 综上，所求的a的取值范围是［—9, 3)U (3,+x).能力提升题组(建议用时：20分钟)11. 已知数列｛a n｝满足a n+1 = a n —a n-1(n》2), a i= 1, a2 = 3,记S n= a i+ a2+…+a n,则下列结论正确的是()A.a2 014=—1, S2 014= 2B.a2 014= —3, S2 014= 5C.a2 014= —3, S2 014= 2D.a2 014= —1, S2 014= 5解析由a n+1 = a n —a n—1(n》2)，知a n+2 = a n+1 —a n,贝U a n+2= —a n—1(n》2), a n+3 =—a n,…，a n+ 6= a n,又a1 = 1, a2 = 3, a3= 2, a4= —1, a5= —3, a6= —2, 所以当k€ N 时，a k+1 + a k+ 2+ a k+3+ a k+ 4+ a k+5 + a k+ 6= a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 0, 所以a2 014= a4=—1, S2 014= a1 + a2 + a3 + a4= 1 + 3+ 2+ (—1) = 5.答案Dn12. (2016贵阳监测)已知数列｛a n｝满足a1 = 2, a n+1= -(n€ N )，则该数列的前1 —a n2 015 项的乘积a1 • a2 • a3 ..... a2 015= ______________ .1 + a1 - 1 + a2 1 1 + a3 1 1 + a4 解析由题意可得，a2= = —3, a3 = = —2，a4= = 3, a5= :i —a1 1 —a2 2 1 —a3 3 i —a4 =2= ◎,•••数列｛a n｝是以4 为周期的数列，而2 015= 4X503+ 3, a1&a3a4= 1 , •••前 2 015 项的乘积为1503• a1a2a3= 3.答案313. 已知a n= n2+入n且对于任意的n€ N，数列｛a n｝是递增数列，则实数入的取值范围是________ .解析因为｛a n｝是递增数列，所以对任意的n€ N*，都有a n+1>a n,即(n+ 1)2+小+ 1)>n2+入n整理，得2n+ 1+ >0,即卩A> —(2n+ 1).(*)因为n》1,所以一(2n + 1) w —3,要使不等式(*)恒成立，只需A> —3.答案(—3,+^)1 n *14. 在数列｛a n｝中，a1 =1, a n a n+1 = 2 (n€ N ).⑴求证：数列｛a 2n ｝与｛a 2n —1｝( n € N )都是等比数列；(2)若数列｛a n ｝的前2n 项和为T 2n ,令5= (3 — T 2n ) n (n + 1),求数列｛b n ｝的最大项.(1)证明 因为 a n a n +1= 2 ， a n + 1a n + 2= 1 ，所以0^ 11又a 1= 1, a 2 =2，所以数列a 1, a 3,…，a 2n -1,…，是以1为首项, 等比数列；1 1数列a 2, a 4,…，a 2n ,…，是以1为首项，1为公比的等比数列.(2)解 由(1)可得 T 2n = (a 1 + a 3 + …+ a 2n — 1)+ (a 2 + a 4 + …+ a 2n ) 2 VII — 2 1 n 1 n〔n +1 所以b 1< b 2= b 3> b 4>・・・> b n >…，所以(b n ) max ==3— 3 ，所以 b n = 3n(n + 1) , b n +1 = 3(n + 1)(n + 2), 1— 1 n 1 2 门+ 1 2 所以 b n +1 — b n = 3(n + 1) 2 号—n = 3( n + 1)广1(2 — n).2 1(2)若数列｛a n｝的前n项和S n—§a n+ 3，则｛a n｝的通项公式a n —解析(1) v S n—2a n+1，—当n》2 时，S n-1 —2a n, • I a n —S n—S n —1 —2a n + 1 —2a n(n》2),a n+1 3,即—o (n》2),a n 2'1, n—1,二a n —彳 1 /3 彳 2 1 I踢，n》2,。
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 2.1 数列的概念与简单表示法》优质课教案_15
2.1.1数列的概念与简单表示本节课先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式.通过本节课的学习使学生能理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式.教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用.教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.教具准备课件三维目标一、知识与技能1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式.二、过程与方法1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性学习；3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、情感态度与价值观1.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；2.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.教学过程导入新课师 课本图211中的正方形数分别是多少？ 生 1，3，6，10，….师 图212中正方形数呢？ 生 1，4，9，16，25，….师 像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？生 -1的正整数次幂：-1，1，-1，1，…; 无穷多个数排成一列数：1，1，1，1，….生 一些分数排成的一列数：32，154，356，638，9910，….推进新课［合作探究］折纸问题师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓).生 一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…；随着对折数面积依次为21,41 ,81 ,161 ,…,2561 ,….生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的，再折下去太困难了.师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？ 生 均是一列数. 生 还有一定次序.师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数.［教师精讲］1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列. 注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n 项，….同学们能举例说明吗？生 例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项.3.数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列.无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列.2)根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.常数数列：各项相等的数列.摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.请同学们观察：课本P 33的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？生这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列，2.递减数列.［知识拓展］师你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n项？生256是这数列的第8项，我能写出它的第n项，应为a n=2n.［合作探究］同学们看数列2，4，8，16，…，256，…①中项与项之间的对应关系，项 2 4 8 16 32↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5你能从中得到什么启示？生 数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数a n =f(n )，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1、2、3、4…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n ),….师 说的很好.如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.［例题剖析］1.根据下面数列{a n }的通项公式，写出前5项： (1)a n =1n n;(2)a n =(-1)n ·n .师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中n 依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项.生 解：(1)n =1,2,3,4,5.a 1=21;a 2=32;a 3=43;a 4=54;a 5=65. (2)n =1,2,3,4,5.a 1=-1;a 2=2;a 3=-3;a 4=4;a 5=-5. 师 好！就这样解.2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3，5，7，9，11，…；(2)32，154，356，638，9910，…；(3)0，1，0，1，0，1，…；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…； (5)2，-6，12，-20，30，-42，….师 这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？(给学生一定的思考时间) 生老师，我写好了！解：(1)a n ＝2n ＋1；(2)a n ＝)12)(12(2+-n n n；(3)a n ＝2)1(1n -+；(4)将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…，∴a n ＝n ＋2)1(1n-+；(5)将数列变形为1×2，-2×3，3×4，-4×5，5×6，…， ∴a n ＝(-1)n +1n (n ＋1).师 完全正确！这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式.［合作探究］师 函数与数列的比较(由学生完成此表)：函数 数列(特殊的函数) 定义域R 或R 的子集N *或它的有限子集{1，2，…，n } 解析式 y=f(x) a n =f(n )图象点的集合一些离散的点的集合师 对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式来画出其对应图象，下面同学们练习画数列:4，5，6，7，8，9，10…;② 1,21 ,31 ,41 ,…③的图象.生 根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为师 数列4，5，6，7，8，9，10,…②的图象与我们学过的什么函数的图象有关？生 与我们学过的一次函数y=x+3的图象有关.师 数列1,21 ,31 ,41 ,…③的图象与我们学过的什么函数的图象有关？生 与我们学过的反比例函数xy 1 的图象有关.师 这两数列的图象有什么特点？ 生 其特点为：它们都是一群孤立的点.生 它们都位于y 轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于y 轴的右侧的点.本课时的整个教学过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，体现新课程的理念.课堂小结对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式. 布置作业课本第38页习题2.1 A 组第1题.板书设计数列的概念与简单表示法(一)定义 1.数列 例12.项3.一般形式 例2 函数定义4.通项公式5.有穷数列6.无穷数列备课资料一、备用例题1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，3，5，7；(2)515;414,313;2122222----;(3)211⨯-,321⨯- ,431⨯- ,541⨯-.分析：(1)项：1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1↓ ↓ ↓ ↓序号： 1 2 3 4所以我们得到了a n =2n -1；(2)序号： 1 2 3 4↓ ↓ ↓ ↓项分母： 2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1↓ ↓ ↓↓项分子： 22-1=(1+1)2-1 32-1=(2+1)2-1 42-1=(3+1)2-1 52-1=(4+1)2-1所以我们得到了a n =1)1(2++n n 或1)2(+∙+n nn ；(3)序号: 1 2 3 4↓ ↓ ↓ ↓211⨯-321⨯- 431⨯- 541⨯-↓ ↓ ↓ ↓)11(11+⨯-)12(21+⨯- )13(31+⨯- )14(41+⨯-所以我们得到了a n =-)1(1+⨯n n .2.写出下面数列的一个通项公式，使它的前n 项分别是下列各数：(1)1,0,1,0; 〔a n =2)1(11+-+n ,n ∈N *〕(2)-32,83 ,154-,245,356-; 〔a n =(-1)n ·1)1(12-++n n 〕(3)7,77,777,7 777; 〔a n =97×(10n -1)〕 (4)-1,7,-13,19,-25,31; 〔a n =(-1)n (6n -5)〕(5)23,45 ,169 ,25617. 〔a n =12212-+n n 〕点评：上述两题都是根据数列的前几项来写出这数列的通项公式，根据数列的前几项来写出这数列的通项公式时，常可联想奇数、偶数、平方数、指数等等.遇到分数的时候，常可根据需要把分子和分母同时扩大再来看看分子和分母中数的规律性，有时可直截了当地研究分子和分母之间的关系3.已知数列{a n }的通项公式是a n =2n 2-n ，那么(A .30是数列{a n }的一项B .44是数列{a n }的一项 C.66是数列{a n }的一项D .90是数列{a n }的一项分析：注意到30，44，66，90均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出现了这四个数中的某一个，则问题就可以解决了.若出现的数比较大，还可以用解方程求正整数解的方法加以解决答案：C 点评：看一个数A 是不是数列{a n }中的某一项，实质上就是看能不能找出一个非零自然数n ，使得a n =A4.(链接探究题)假定有一张极薄的纸，厚度为2001就是每200张叠起来刚好为1 cm ，现在把这张纸裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 1；再裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 2，又裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 3，这样一裁一叠，每次叠起来所得的厚度依次排列，就得到一个数列：a 1,a 2,a 3,…,a k你能求出这个数列的通项公式吗？你知道a，即裁了50次、叠了50次后的厚度是多少厘米吗？是否有10层楼高呢？2n，答案：这个数列的通项公式为a n=200裁了50次、叠了50次后的厚度是5 629 499 534 213.12 cm＞56 294 995 km，大于地球到月球距离的146倍二、阅读材料无法实现的奖赏相传古印度舍罕王朝有一位宰相叫达依尔，据说是他发明了国际象棋，古印度的舍罕王学会了下国际象棋以后，非常激动，他要重赏他的宰相达依尔达依尔对他的国王说：陛下，我不要您的重赏，只要您按我下面的办法赏我一些麦粒就可以了：在我的棋盘上(它有64个格)第一格赏1粒，第二格赏2粒，第三格赏4粒，第四格赏8粒……依此类推每后一格的麦粒数都是前面一格的两倍.国王答应了达依尔的要求，但是几天以后他就发现事实上这是一个无法兑现的奖赏请问国王为什么不能兑现他的奖赏呢？。
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课题：数列起始课（1课时）一、教学设计1．教学内容解析本课内容为人教A版普通高中课程标准实验教科书必修5第二章数列的一节起始课。
这一章共分五节，主要学习一般数列的概念和表示方法，并将研究两类特殊的数列——等差数列和等比数列，解决与这些数列相关的一些问题，了解它们在实际生活中的应用。
.《标准》对数列内容的整体定位是：数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型. 本章是在数列概念的建构下，研究两类常见的特殊数列——等差数列、等比数列。
通过类比学习，发现其递推关系，探索并掌握其通项公式和求和公式；体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系；能在具体的问题情景中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。
就本节课而言，一方面是前面函数知识的延伸及应用，通过概念、表示、性质等多维度探究数列，理解其离散函数本质；另一方面利用数列丰富多样的实际背景让学生对本章学习产生期许，对本章教学内容产生总体印象，为后面学习等差数列、等比数列的通项、求和等知识打下铺垫。
根据以上分析，本节课的教学重点确定为教学重点：理解数列的概念，感受数列是刻画自然规律的数学模型及其广泛应用．初步感知整章所涉及的数列模型，激发学生学习兴趣2．学生学情诊断高一学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，对数列的知识有了初步的接触和认识，有通过数列前几项求通项公式的基础，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。
思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系，同时思维的严密性还有待加强，对数列还错误的停留在“按规律”排列的表象认识，根据以上分析，确定本节课教学难点为教学难点：体会研究数列的方法．用函数的观点认识数列，了解函数与数列之间的联系和区别。
3．教学标准设置（1）通过实例的数列模型建构，使学生形成数列的概念。
（2）利用有关数列实际问题的介绍，激发学生学习研究数列的积极性，使学生感受数列应用广泛性和研究的必要性；（3）利用具体数列的探究，了解数列是一种离散函数，使学生明确应抓住其函数本质研究数列的方式，培养学生归纳概括和类比学习的能力。
（4）通过分组探究问题引导，使学生感受本章两种重要数列模型等差和等比的特殊性，意识到研究数列求和的重要性，了解本章知识体系4．教学策略分析作为一章内容的起始课，要让学生初步建立对本章知识的了解，激发学生的学习兴趣。
同时，既要让学生感受数列的丰富多彩，又不能让素材冲淡主线，刻意标新立异。
所以本节课立足学生最近发展区，以熟悉的六个不同领域的情景一线贯穿，由浅入深，层层递进从不同角度让学生了解本章知识概貌，体会思想方法，让学生积极主动参与到课堂教学中来。
因此，本节课充分发挥学生主体地位，采用启发引导式教学，实现由感知数列到体会本质的突破。
教学中需采用实物投影仪、多媒体课件辅助教学。
教学流程：二、课堂实录（一）1．情景引入，理解数列引言：今天我们将进入新一章的学习，为了让大家了解本章概貌，我将作为一名导游，带领大家一起浏览这一章的风景，今天的第一站让我们从一段密码开始：播放《达芬奇密码》电影探长破译斐波拉契数列密码片段，提出了这样的问题：师：“电影达芬奇密码中有这样一段情节：卢浮宫馆长索尼埃被杀时留下了一段密码和信息，你能从短片中看出探长破译后的明文和原来的密码之间有什么关联吗？生：数字相同，顺序不同。
师：探长发现索尼埃留下的密码其实就是打乱了顺序的斐波拉契数列，从而得到启示将下面的英文字母重新进行组合找到了谜底。
以上过程反映了既便是相同的数字按照不同的先后顺序排列也会有不同的意义，这正是我们本章要研究的主题：数列【评析】此环节这样设计的直接作用是激发了学生的学习兴趣，同时结合章引言中出现的斐波拉契数列引出了本章要研究的主题——数列，但更深层次的用意是让学生认识到数字不同排列顺序产生不同信息，这是我们研究数列的本质原因。
师：请大家继续对比这两组数，斐波拉契数列是世界上著名的数列，你能观察出它的规律吗?生：每个数是其前两个数的和。
师：那么索尼埃的密码有类似规律吗？索尼埃的密码是数列吗？生：……【评析】充分发挥背景题材功能，对数列的有顺序和有规律进行了辨析，同时更进一步理解了同一数列的概念。
此引入低耗高效，一个例子将数列概念几个易混点解释清楚。
2．体会定义感受数列从不同领域自然、天文、生活、体育、民俗、文化、经济给出情景，让学生充分感受数列应用的广泛性。
1、自然界植物花瓣的数目大多符合斐波拉契中的项1，1，2，3，5，8，13，21，33，……2、哈雷彗星的回归地球年份1682，1758，1834，1910，1986，20623、1988年到2012年中国奥运金牌数5，16，16，28，32，51，384、拉面在对折过程中的根数2，4，8，16，32，64，128，256，……5、婚礼上的酒塔由顶层到底层的酒杯数1，3，5，7，96、古诗词中蕴涵的古塔上的灯数3，6，12，24，48，96，192师：对数列的研究源于现实生产、生活的需要。
在日常生活中，人们经常遇到的像存款利息，购房贷款等实际计算问题，都需要用数列的知识来解决。
学习数列的目的为了更好的让它们服务我们的生产生活。
【评析】从六个领域让学生感受到数列：一、丰富多彩二、大量存在三、在实际问题的计算中有用。
在过程当中体会到学习数列的重要意义，使学生对本章的学习产生强烈期待，同时给出的六个数列也为后续探究埋下伏笔，有效避免了起始课素材庞杂的不利因素。
3．分组探究了解概貌问题探究：结合我们得到的六组数列，观察哪些数列变化规律有共同点？又有什么不同？生：……教师归纳总结：一、从相邻项的关系看相邻两项的差为常数(等差数列）相邻两项比为常数（等比数列）二、从项与n的关系看有些数列的项是可以用代数式表示的三、从项的个数看有些数列项数有限，无限四、从项的变化趋势看有些数列递增递减或不具有单调性【评析】本环节设计较为开放，重点培养学生处理数学问题的基本技能：观察。
引导学生发现问题并解决问题。
通过两两对比从三个不同角度的问题继续探究，由学生共同思考后投影展示：探究一：(1)观察这两组数列，第n 项n a 可以用n 表示出来吗？如果可以，请归纳出它们的关系式：(2)如果把n 看成自变量，n a 看成函数值，()n a f n =，数列中的每一项n a 与n 都符合这个关系式吗？________________________________(3)结合所学的函数，试试给出一个()n a f n =的表达式，写出前5项()n a f n =_=__________【评析】本环节从学生最近发展区出发由学生直接观察归纳出数列的通项，得出通项公式的概念，明确本章第一部分将要研究的内容数列的概念和表示方法，更重要的是体会解决数列问题最基础的方式就是观察归纳，初步体会数列和函数的关系。
（1） 观察这两组数列，你能归纳出这两组数列有什么相同点？（2） 从函数的角度看，酒杯数是n a 关于n 的什么类型的函数？（3）在婚礼策划中需要一个10层酒塔，共需要多少杯子？介绍你的求法。
【评析】本环节首先让学生明确本章第二部分的内容为等差数列。
让学生通过对比体会到这种数列的本质特征，但对等差数列的定义不作过多解释，引导学生从直观上感知这种数列特点，以及初步体会等差数列和一次函数关系。
并引入等差数列求和问题，让学生初步感受这种数列求和是可以类比高斯加法的。
探究三：(1)观察两个数列，你能归纳出这两个数列有哪些相同点吗？(2) 拉面拉一下两边一合，叫“一扣”。
假设每一扣长度为1米，有人说，制作过程中，总长度将可以达到珠穆朗玛峰的高度.你能结合这个数列对应的函数表达式说说这个梦想可以实现吗？为什么？(3)若将古诗变为：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问各层几盏灯？你能求出数列吗？介绍你的求法。
【评析】引入等比数列，从学生感兴趣的话题体现等比数列和指数函数的联系。
并让学生感受到等比数列求和到问题。
师：经过以上大家共同探讨，你了解了本章将要研究哪些内容？生：主要学习:(1)一般数列的概念和表示方法，(2)两类特殊的数列——等差数列和等比数列(3)数列的求和（4）解决与这些数列相关的一些问题，了解它们在实际生活中的应用。
【评析】通过对实例的再探，使学生充分了解本章将要研究的主要内容，达到起始课要学生明确学什么的目的。
在探求过程中感受数列和函数的联系，体验到了研究数列问题的重要思想方法：（1）观察归纳（2）类比函数同时充分发挥学生主体地位，教师充当导游的身份，体现了起始课的特点。
让学生感受到了学习的快乐，真正让学生产生学习数列的兴趣。
4．本质引领类比体会师：既然数列有如此丰富的资源等着我们探寻，我们该怎样研究它呢？请大家跟我一起回顾一下报告单的生成过程：首先我们都是通过什么方式得到了数列的规律？生：观察归纳师：在研究过程中，我们发现数列和我们所学的那部分内容密切相关？生：类比函数【评析】通过对实例的再次反思，由学什么自然过渡为怎么学。
通过问题引起认知冲突，得出结论：数列是一种特殊的函数，既要抓住其函数特性研究数列，又要注意其离散的特点。
师：为了巩固这两种思想在解决数列问题中的运用，下面我们通过抢答比赛来具体体验一下：（1）观察规律填空：1，2，5，10，_____,26（2） 第3个图形中小三角形的个数为：________.(3) 你能写出这个数列的通项公式吗？9，99，999，9999，…… (4) 4为数列 第几项？【评析】通过实际运用，进一步巩固观察归纳和函数方程思想第运用。
同时介绍本章涉及的一些有趣的数列。
5． 总结整理 提炼升华师：经过本节课的学习，请大家结合章引言，谈谈对数列本章有了哪些认识？ 结合学生的归纳，完成知识小结．【评析】回归教材，让学生充分反思。
6．课后检测课外探究：（1）选取某家银行实际考察存款方式，了解各种存款利息的计算原理。
思考各种计算方式得出的数列是否是本章的数列模型。
（2）搜集生活中关于数列的实际模型。
是否符合本章的数列模型【评析】进一步感知数列在实际问题计算中的重要性，优化学生认知结构，为后续等比，及存款利息计算的学习作好准备。
同时培养学生的动手实践、合作探究能力，让学生进一步体会数学的科学价值和应用价值，增强学生学习数学的兴趣。
三、课后反思23n a n n=-通过本节课的教学实践，对《新课程标准》“倡导积极主动、用于探索的学习方式”有了更进一步的认识，教师充当导游的身份，在教学过程中精心创设了一个简洁，有趣的探索数学的环境，让学生动态地串知成链，同时充分体现了学生的主体地位，发挥了活动课寓教于乐的优势，极大的激发了学生学习本章的兴趣，为后续学习起到较好的的铺垫。