专插本高数课件-PPT文档资料
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高等数学高职
则这两个级数的敛散性相同。
sin 1 的敛散性。 例1 判别级数 n
n 1
sin 1 是正弦级数，因为 lim 解：易知 n
n 1
n
1 n 发散，故级数 sin 1 发散。 而 n1 n n 1
sin
1 n
1 n 1
，
二、比值审敛法
若 是正弦级数，且 时，级数
定义
如果 lim S n S ，则称级数 u n 收敛，称极限值S 为级 n n 1
数的和，记作
S n u n u1 u 2 u n
n 1
此时称 rn
S S n S n 1 S n 2 为级数的余项。如果lim S n n
n 1 n
u 不存在，则称级数
发散，发散的级数没有和。
高等数学（下） 高职高专 ppt 课件
1. 判定下列级数的敛散性 （1） 1 2 3 n
1 1 1 1 1 (1) n1 （2） 1 1 1 1 （3） 1 2 2 3 3 4 n(n 1)
高等数学（下） 高职高专 ppt 课件
内容提要
无穷级数
无穷级 数概念 和性质
正项 级数
任意 项 级数
幂级 数
函数的 傅立 正弦与余 周期为2L 傅立叶 弦级数 的函数 级数的 幂级 叶 的傅立 复数 数展开 级数 周期延拓 叶级数 形式
高等数学（下） 高职高专 ppt 课件
第一节 无穷级数概念与性质
解： 当 x 0 时，有 x ln(1 x) （此不等式可用函数的 单调性来证明） 所以 1
1 1 1 2 3 n 1 1 1 ln(1 1) ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ) 2 3 n 3 4 n 1 ln 2 ln ln ln 2 3 n
第一章函数、极限、连续(专升本专用PPT)-文档资料
2
六个常见函数的有界性: | sin x | 1; | cos x | 1; ( , ) | | arcsinx | | arctanx |
2
; | arccosx | ;[1,1] ; | arc cot x | ; ( , )
2
x 例2.判断函数f ( x) 的有界性 2 1 x x | x| | x| 1 解: 因为| f ( x) || | 2 2 1 x 1 x 2| x| 2 (1 x 2 2 | x |).所以函数f ( x)有界 .
y u是中间变量，y是因变量．
u , u 1 x 2
4 y就不是x的复合函数；复 合函数可分解为蕳单的函数
( 2)反函数 : 设函数y f ( x )的值域为Z f , 如果对Z f 中 任一y值从关系式y f ( x )中可确定惟一的一个 x值, 则称变量x为变量y的函数, 记为 : x ( y ), 其中 ( y )称为y f ( x )的反函数,习惯上y f ( x )的反 函数记为: y f 1 ( x )
f n ( x), y lim f (t , x) （1）极限形式的函数：y lim n tx
（2）积分形式的函数： y
5.非初等函数
x
0
f (t )dt ( f (t )连续 )
6.函数的简单性质 (1)奇偶性 设函数 f ( x )在区间x上有定义，如果对x X 恒有 f ( x ) f ( x ) (或f ( x ) f ( x )) 则称f(x)为偶函数（或f(x)为奇函数）.偶函数f(x)的 图形对称于y轴，奇函数f(x)的图形对称于原点.
13ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
六个常见函数的有界性: | sin x | 1; | cos x | 1; ( , ) | | arcsinx | | arctanx |
2
; | arccosx | ;[1,1] ; | arc cot x | ; ( , )
2
x 例2.判断函数f ( x) 的有界性 2 1 x x | x| | x| 1 解: 因为| f ( x) || | 2 2 1 x 1 x 2| x| 2 (1 x 2 2 | x |).所以函数f ( x)有界 .
y u是中间变量，y是因变量．
u , u 1 x 2
4 y就不是x的复合函数；复 合函数可分解为蕳单的函数
( 2)反函数 : 设函数y f ( x )的值域为Z f , 如果对Z f 中 任一y值从关系式y f ( x )中可确定惟一的一个 x值, 则称变量x为变量y的函数, 记为 : x ( y ), 其中 ( y )称为y f ( x )的反函数,习惯上y f ( x )的反 函数记为: y f 1 ( x )
f n ( x), y lim f (t , x) （1）极限形式的函数：y lim n tx
（2）积分形式的函数： y
5.非初等函数
x
0
f (t )dt ( f (t )连续 )
6.函数的简单性质 (1)奇偶性 设函数 f ( x )在区间x上有定义，如果对x X 恒有 f ( x ) f ( x ) (或f ( x ) f ( x )) 则称f(x)为偶函数（或f(x)为奇函数）.偶函数f(x)的 图形对称于y轴，奇函数f(x)的图形对称于原点.
13ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
专升本高数多元函数微分PPT课件
开 域 :不 包 括 边 界 在 内 的 区 域 称 为 开 域 .
无 界 区 域 有 界 区 域 :如 果 区 域 延 伸 到 无 穷 远 处 ， 则称为无界区域，否则称为有界区域.
邻 域 :把 满 足 不 等 式 (x x0)2 ( y y0)2 ( 0) 的 点 P (x, y ) 的 全 体 称 为 点 P0 ( x0 , y0 ) 的 邻 域 . 它 是 以 点 P0 为 中 心 ， 为 半 径 的 圆 形 开 区 域 ， 称 不 包 含 点 P0 的 邻 域 为 无 心 邻 域 .
数的极限 lim f (x, y) A存在．反过来,如果当 P(x, y) 沿 xx0
y y 0
两条不同路径趋近于点 P0 (x0, y0 )时,函数 f (x, y) 趋近于不 同的值, 则可以断定函数的二重极限不存在．
y
Байду номын сангаас
P0
p o
x
2 . 多元函数的连续性
定义 设二元函数 z f (x, y)在点 P0 (x0 , y0 )的某个 邻域内有定义，若
点M (x, y,z)．所有这样确定的点的集 x
合就是二元函数 z f (x, y)的图形，由 上一章知，通常是一张空间曲面（如 图 11.1-3 所示）．
z zf(x,y) M(x,y,z)
o y
P(x,y) 图11.1-3
11.1.2 二元函数的极限与连续
1. 二 元 函 数 的 极 限
定 义 设 二 元 函 数 z f (x, y) ， 如 果 当 点(x, y) 以 任 何
lim f (x, y) f (x0 , y0 )
(1)
xx0
y y0
则称二元函数 z f (x, y)在点 P0 (x0 , y0 )处连续．若函数
专转本高数知识点 讲义课件 第一讲：极限、洛比塔法则
n 例如, 数列 x n ; 有界 数列 x n 2 n . 无界 n1 数轴上对应于有界数列的点 x n 都落在闭区间
[ M , M ]上.
2.唯一性
定理2 每个收敛的数列只有一个极限.
问题: 函数 y f ( x ) 在 x 的过程中, 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
1
y x2 1
o
x
分x 0和x 0两种情况分别讨论
x从左侧无限趋近 x0 , 记作x x0 0; x从右侧无限趋近 x0 , 记作x x0 0;
左极限
0, 0, 使当x0 x x 0时,
恒有 f ( x ) A . 记作 lim f ( x ) A 或 f ( x 0 0) A.
A
o
x0
x0
x0
x
显然, 找到一个后, 越小越好.
x 1 2. 例4 证明 lim x 1 x 1
2
证
函数在点x=1处没有定义.
任给 0,
x2 1 f ( x) A 2 x 1 x 1
要使 f ( x ) A ,只要取 ,0
x
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x ) A .
lim f ( x ) A且 x lim f ( x ) A. 定理 : lim f ( x) A x x
二、自变量趋向有限值时函数的极限
问题: 函数 y f ( x ) 在 x x0 的过程中 , 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
满足不等式 f ( x ) A ,那末常数 A 就叫函数
《专转本数学》课件
运用数学知识的机会。
3
互动授课
鼓励学员参与讨论和提问，促进思 维碰撞和知识共享。
学习资源
课本和参考书籍
配套教材和参考书籍将提供深度学习和进一步 阅读的资源。
网络资源和学习平台
学员可通过在线学习平台获取课程资料、视频 课程和练习题。
考核方式
平时作业
每周作业将帮助学员巩固所考试，以检验学员对知识的掌握程度。
课程论文
鼓励学员撰写课程论文，展示对特定数学领域的深度理解。
学习体验分享
学员反馈和心得分享
听听前几届学员对课程的评价和学习经验， 了解他们是如何克服困难并取得进步的。
成功案例和学习经验
探索数学专业领域的成功案例，并分享一些 学习策略和技巧。
课程安排
课程目标和内容概述
本课程旨在帮助学员全面理解数学专业的核心概念和方法，并能够熟练运用。
核心概念
线性代数、微积分、概率 统计等
解题技巧
数学建模、证明方法、问 题求解
数学应用
数理逻辑、工程计算、数 据分析等
教学方法
1
板书教学
通过实时写在黑板上的方式，解释
实例演练
2
和演示数学概念和问题求解步骤。
通过实际例子和练习题，提供实际
1 上课时间和地点
每周二、四，上午9:00-11:00，教室A304。
2 课程重要日期
请注意期中考试、期末考试和作业截止日期等重要日期。
3 补课和调课安排
如有时间冲突或突发情况，请及时联系教师进行补课或调课安排。
联系我们
如有任何问题或疑问，请随时与我们联系。我们将竭诚为您解答。
《专转本数学》PPT课件
我们欢迎您参加《专转本数学》课程。本课程旨在帮助您顺利转入本科数学 专业，并提供坚实的数学基础。
专升本 高数 PPT课件
二、极限 4.极限存在准则
单调有界数列必有极限 两面夹定理
5.两个重要极限
6.无穷小与无穷大：定义、关系、性质、无穷小的比较
极限与无穷小关系、等价无穷小替换定理（整式替换、 常见等价无穷小代换）
Hale Waihona Puke 第一章 函数、极限与连续 知识梳理
三、连续 1.定义：两个定义、左右连续、连续充要条件 2.运算性质：四则运算
定义域 自变量 因变量（函数） 函数值 值域
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
一、函数 1.概念 （2）函数三要素
定义域 对应法则 值域 （3）函数的表示方法
图像法 表格法
分段函数 公式法用参数方程确定的函数
隐函数（显函数）
第一章 函数、极限与连续
知识梳理
定义域D关于原点对称
一、函数
高等数学辅导讲义（专升本）
• 第一章 函数、极限与连续 15%
• 第二章 一元函数的微分学 20%
• 第三章 一元函数的积分学 20%
• 第四章 多元函数微积分 15%
• 第五章 常微分方程
15%
• 第六章 无穷级数
10%
• 第七章 向量代数与空间解析几何5%
第一章 函数、极限与连续
（重点）
第一章 函数、极限与连续
复合函数的连续性 3.间断点及其分类：第一类：可去、跳跃
第二类 4.闭区间上连续函数的性质：最值性
介值性 零点定理
5. 初等函数 六种基本初等函数：
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
六种基本初等函数 • 常数函数：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性 • 幂函数： • 指数函数： • 对数函数： • 三角函数：六个（正割函数、余割函数） • 反三角函数：四个
专升本高等数学课件
链式法则
链式法则用于计算复合函数的导数， 是导数计算中数法则是用于计算分式函数的 导数，即(u/v)'=(u'v-uv')/v^2。
微分的概念与性质
微分的定义
微分是函数在某一点的变化量的近似值，它是 函数值的线性主部。
微分的几何意义
微分在几何上表示函数曲线在某一点附近的小 “斜坡”。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数曲线在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些重要的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
对于一些基本的初等函数，如幂函数、 指数函数、三角函数等，它们的导数已
经给出。
乘积法则
乘积法则用于计算两个函数的导数， 即(uv)'=u'v+uv'。
一阶微分方程是包含一个 导数项的方程。
定义
求解方法 形式
二阶微分方程
定义
二阶微分方程是包含两个导 数项的方程。
形式
d²y/dx² = f(x, y, dy/dx)， 其中f(x, y, z)是关于x、y和z 的函数。
求解方法
通过变量代换、积分等方法 求解。
高阶微分方程
01
定义
高阶微分方程是包含三个或更多 导数项的方程。
专升本高等数学 课件
汇报人： 202X-01-05
目录
• 函数与极限 • 导数与微分 • 不定积分与定积分 • 常微分方程 • 空间解析几何与向量代数
01
函数与极限
函数的概念与性质
总结词
理解函数的基本概念和性质是学习高 等数学的基础。
详细描述
函数是数学中描述两个变量之间关系 的一种方法，它具有对应性、有界性 、单调性、周期性和奇偶性等性质。 理解这些性质有助于更好地理解函数 的图像和变化规律。
广东专插本高等数学课件(二)
广东专插本高等数学课件(二)广东专插本高等数学课件教学内容•微分与积分的概念和性质•导数与微分的关系•基本微分公式和求导法则•高阶导数与高阶导数的求导法则•不定积分及其性质•定积分的概念和性质•牛顿－莱布尼兹公式•定积分的计算•微分方程基本概念和一阶微分方程的解法教学准备•教材：《高等数学》教材•电子设备：计算机、投影仪、音响•PowerPoint软件或其他课件制作工具•教学笔记和教学大纲教学目标•了解微分与积分的基本概念和性质•掌握基本微分公式和求导法则•熟悉高阶导数的概念和求导法则•理解不定积分和定积分的概念和性质•掌握定积分的计算方法•掌握一阶微分方程的解法设计说明•采用PPT进行课件设计，配合示例和练习题进行讲解•结合生活实例和应用场景，增加学生对数学的兴趣和理解•设计互动环节，鼓励学生思考和参与课堂讨论教学过程1.引入课题–介绍微分与积分在现实生活中的应用，激发学生的兴趣。
–提出教学目标，让学生了解本节课的重点和学习内容。
2.分步讲解微分与积分的概念和性质–通过图示和示例，引导学生理解微分和积分的基本概念。
–阐述微分与导数的关系，积分与定积分的关系。
3.阐述基本微分公式和求导法则–逐个介绍公式和法则，并通过例题进行演示。
–强调常用公式的应用场景，提醒学生掌握记忆。
4.讲解高阶导数的概念和求导法则–引导学生理解高阶导数的定义，并介绍求导法则。
–指导学生计算高阶导数的具体步骤，并进行练习。
5.介绍不定积分及其性质–解释不定积分的概念和特点，引导学生理解。
–讲解常用的不定积分公式，并进行例题讲解。
6.阐述定积分的概念和性质–通过实例引导学生理解定积分的概念和意义。
–提供定积分的性质，帮助学生掌握定积分的特点。
7.讲解牛顿－莱布尼兹公式和定积分的计算方法–介绍牛顿－莱布尼兹公式的原理和应用。
–讲解定积分的计算方法，包括基本积分公式和换元积分法。
8.简要讲解微分方程基本概念和一阶微分方程的解法–引导学生理解微分方程的定义和基本概念。
专升本 高数第二讲 连续 (详细)PPT课件
解 分界点为 x =1,x =2
（i）当 x=1时 lim f ( x) lim 0 0,
x1
x1
lim f ( x) lim(2x 1) 3
x 1
x 1
所以 x= 1 是函数的跳跃间断点
（ii）讨论 x=2
lim f (x) lim (2x 1) 5
x2
x2
lim f (x) lim (1 x2) 5
（1） f（x）±g（x） ，（2）f（x）·g（x），
（3）若g（x0）≠0
，
都在x0处连续。
定理 基本初等函数在定义域内是连续的. 定理 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.
定理1.13 （复合函数的连续性）设函数u=g（x）在x= x0处连 续，y=f（u）在u0=g（x0）处连续，则复合函数y=f[g（x）]在x= x0 处连续。
如果
，则称函数f（x）在点x0处右连续。由
上述定义2可知如果函数y=f（x）在点x0处连续，则f（x）在点x0
处左连续也右连续。
lim f (x) f (x0 ) lim f (x) lim f (x) f (x0 )
x x0
x x0
x x0
lim f (x) f (x0 ) lim f (x) lim f (x) f (x0 )
例1 证明 x3 方 4x2程 10在区 (0,1)内 间 至少.有一根
证 令 f(x ) x 3 4 x 2 1 ,则 f(x)在 [0,1]上连 , 续 又 f(0)10 , f(1 ) 20 , 由零点定理,
(a,b),使 f()0, 即 34 210 ,
方x3 程 4x210在 (0,1)内至少 . 有
连续定义
专升本-高等数学--第三章-PPT
Δx0
Δx Δx0
Δx0
Δx
由此可见，曲线 y f (x)在点M 0处的纵坐标 y 的增量
Δ y 与横坐标 x的增量Δx之比，当 x 0 时的极限即为
曲线在M 0点处的切线斜率.
二、导数的概念
1.导数的定义
设函数 y f (x)在点 x0的某一邻域内有定义，当自
变量 x在 x0处有增量Δx(Δx 0, x0 Δx仍在该邻域内)时，
Q (t0 )
细杆 质量
的线 m m(x) Δm m(x0 Δx) m(x0)
密度
Δx
Δx
(x0
)
lim
Δx0
m(
x0
Δx) Δx
m(x0
)
边际
成本 总成本 模型 C C(x)
ΔC C(x Δx) C(x)
Δx
Δx
C(x) limΔC limC(xΔx)C(x)
Δx Δx0
Δx0
即在 x 处连续的函数未必在 x 处可导.
例如，函数 y
x
x, x 0,
x,
x
0
显然在
x 0 处连续，
但是在该点不可导.
因为y f (0 x) f (x) x ,
所以在x 0 点的右导数:
f (0)
lim
x0
y x
lim x0
x x
x lim x0 x
1.
而左导数是:
f (0)
2.若lim xa
f (x) f (a) xa
A（A 为常数），试判断下列命
题是否正确.
（1） f (x)在点 x=a 处可导；
（2） f (x)在点 x=a 处连续；
（3） f (x) f (a) A(x a) o(x a).
专插本课件
高等数学（一）广东水利电力职业技术学院数学教学部张静华第二章导数与微分第一节导数的概念第二节导数公式与函数的和差积商的导数第四节隐函数和参数式函数的导数⒈基本初等函数的导数公式⒉函数的和差积商的导数⒉参数式函数的导数⒈隐函数的导数第五节高阶导数第六节微分及其应用第三节复合函数的导数函数的增量（改变量）定义：变量u 由初值u 1变到终值u 2，则u 2-u 1称为变量u在u 1处的增量，记为△u ，即△u = u 2 –u 1.)x (f y =函数x ：x 0 → x 0 + △xy ：f(x 0)→ f(x 0 + △x))x (f )x x (f y 00-∆+=∆称为函数y 相应于自变量增量△x 的增量。
xoy)x (f y =0x xx 0∆+x ∆y∆..第一节导数的概念一、实例：物体作变速直线运动的瞬时速度当物体作匀速直线运动时，它在任何时刻的速度可以用公式所花的时间经过的路程速度来计算。
如果物体作变速直线运动，上述公式就只能反映物体在这段时间内的平均速度，不能反映物体在某一时刻的瞬时速度。
例1因此，物体在这段时间内所走过的路程是例1：设物体作变速直线运动，其运动方程（也称位置函数，.)t (v 0解：.os.t ：0t t t 0∆+.s ：)t (f 0)t t (f 0∆+)t (f 0)t t (f 0∆+t ∆)t (f )t t (f s 00-∆+=∆而在这段时间内物体的平均速度是t ∆t)t (f )t t (f t s v 00∆-∆+=∆∆=则物体在t 0时刻的瞬时速度是t)t (f )t t (f limt slim )t (v 000t 0t 0∆-∆+=∆∆=→∆→∆即物体于时刻t 在直线上的位置）为，求在t 0时刻的瞬)t (f s =时速度s∆则称函数在点x 0处可导，函数y 有相应的增量，并称此极限值为函数f(x) 在点x 0的导数，二、导数的定义x)x (f )x x (f lim x ylim 000x 0x ∆-∆+=∆∆→∆→∆定义：设函数在点x 0的某个邻域内有定义，)x (f y =量x 在点x 0处有增量时，x ∆y ∆存在，)x (f y =)x (f 0'，或，，.0x x |y ='0x x dxdy =0x x dx df =)x (f y =x ：x 0→ x 0+△x y ：f(x 0)→ f(x 0+△x))x (f )x x (f y 00-∆+=∆当自变若极限记为导数的三个等价定义0x x 0x x )x (f )x (f lim)x (f 0--='→x)x (f )x x (f limx ylim )x (f 000x 0x 0∆-∆+=∆∆='→∆→∆即如果上述极限不存在，则称函数在点x 0处不可导。
专升本高等数学课件《内部资料》[优质ppt]
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xx1dx,D f(x,y)d
四.解微分方程
C.三大应用
一.导数的应用 1.函数单调性、极值，曲线凹凸性、拐点，
作图. 2.应用题.求Max,Min. 3.利用中值定理证明等式或不等式. 二.定积分的应用.
1.几何应用 S,V, L
2.物理应用 W , F
三.微分方程的简单应用
D.向量代数与空间解几简介
lnx
② f(x)的定义 [0,2域 ]求 , f为 ( 1 )的定义域
1x2
注意：并非任何两个函数都可以复合
uy lnxu24yln(x24)无意义
（03） f(x1 x)x4 x 21,则 f(x)[x21 2]
（07）f(x)1x,则 f1( 1)[ x] 1x 1x 2x
（08）f(1) x ,则 f1(x)[1x]
1.定义 2.性质
① 当 x x 0 ( x ), ( x ) 0 , ( x ) 0 ,
则 (x) (x) 0
② 当 x x 0 ( x ), ( x ) 0 , ( x ) 0 ,
则 (x) (x) 0
③
f ( x ) M ,当 x x 0 ( x ), ( x ) 0
yarctaxn yarccoxt
(六）初等函数－－由基本初等函数（１）经 过有限次的和,差,积,商运算，（２）有限次 的复合运算，（３）且可用一个公式表示的 函数.
非初等函数举例:
（1） y x x 2 x 3 x n ...
(2)y x x x
(3) y
a
sin( x 1) x 1
x
（C） y 1 lg 1 x
2 1 x
（D）
y
1 x 1 x
（模C） f[(x)]1cosx,(x)sinx
大专高等数学第二章PPT
05
积分
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上的积分和的极限。
定积分的几何意义
定积分的值可以理解为曲线与x轴所夹的面积，即曲线下方的面 积。
定积分的性质
定积分具有线性性质、可加性、区间可加性、不等式性质等。
定积分的运算
不定积分与原函数
01
不定积分是求一个函数的原函数的过程，原函数可以用来计算
04
导数的应用
函数的单调性
判断单调性
通过求导数并分析导数的正负，可以 判断函数的单调性。如果导数大于0， 函数单调递增；如果导数小于0，函 数单调递减。
单调性的应用
单调性在经济学、物理学等领域有广 泛应用，如分析商品价格与需求量之 间的关系、研究物体运动规律等。
函数的极值
极值的定义
函数在其定义域内某点的函数值大于或小于 其邻近点的函数值，则称该点为函数的极值 点，该点的函数值为极值。
微分的概念与运算
微分的概念与运算
微分是导数的几何意义，表示函数在某一点附近的小 变化量。微分的运算包括微分的四则运算法则和复合 函数的微分法则。微分的四则运算法则包括加法法则 、减法法则、乘法法则和除法法则，这些法则可以用 来计算函数的微分。复合函数的微分法则则是通过将 复合函数分解为基本函数，然后对每个基本函数求微 分，再根据复合函数的定义进行微分。
极值的求法
通过求导数并令其为0，可以找到可能的极 值点。然后通过判断该点左右两侧导数的符 号变化，确定是否为极值点。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性的定义
在曲线上任取两点，如果连接这两点的线段始终位于 这两点之间的曲线上方或下方，则称该曲线为凹曲线 或凸曲线。
拐点的求法
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x 1 0
又 lim y , lim x 1 为曲线 y 的铅直渐近线 ; y , x 1 0
C
X F (t ) Y f (t )
B
D
A
A
o a 1
2 b
x o F(a)
F (1)
F(2)F (b)
x
高等数学课件
导数在求极限中的应用---洛比塔法则
0 0 0 0 , , 0 , 1 , 型 ) 型及 型 ( 0
方 法
洛必塔法则
f(x x 1) f( 2)
由罗尔定理
f () 0
0 x x 1 1 2
2 2 f ( ) 3 3 3 ( 1 )0
1
矛盾
0 x x 1 1 2
高等数学课件
1 0 设a 2 零点
a
a n n 0 ,证明多项式 fx () a a x a x 0 1 n 在 (0 ,1 ) n 1
应用导数研究 讨论函数性质 及作图形
讨论函数性质及作图形 不等式的证明
f ( x ) f ( x ) x x 1 2 . f (1 2 ) 2 2
高等数学课件
3 证明多项式 f( x ) x 3 x a 在 0 , 1 上不可能有两个零点.
分析:
反证法
设有两个零点
f ( x ) 0 ; f ( x ) 0 0 x x 1 1 2 1 2
n f ( ) aa a 0 ,0 1 0 1 n
内至少有一个
分析:
设想
F ( ) f ( ) 0
,0 1
造辅助函数
F (x)
适合于中值定理
n F ( xf ) ( x ) a a x a x 0 1 n
a a n 1 a 0 0 2 n 1
分析:
f () f () 0
,证明存在一
0 a
设想
F ( ) f ( ) f ( )0 0 a
F (x)
造辅助函数
适合于中值定理
F () x fx () x fx ()
造辅助函数技巧
Fx ( )x f( x )
F ( 0 ) 0 , F () a 0
( , )
o
b x f(x)递减 y 0
a
A
o
x0
x
高等数学课件
重要理论 中值定理
恒等式.不等式的证明 方程解的判定或证明
技巧—造 辅助函数
典 型 例 题
导数在求极 限中的应用-洛比达法则
求
0 0 0 极限 0 , , 0 , 1 , 型 ) 型及 型 ( 0
即 ( , 1 ) ( 1 , 1 ) ( 1 , ),
y
1 1 2 x( x2 3) , 2 2 3 3 ( x 1) (x 1 ) (x 1 )
令 y 0 ,
得可能拐点的横坐标 x 0.
( 3 ) lim y , 没有水平渐近线 ; x
x
最值存在判别法 函数最值的求法 曲线凹凸的定义
y
oa
y
bx
y f( x )
o a
y
b x
y f( x )
o a
y
b x
yf( x )
A
B
o a
b
x
o
x1
y
曲线凹凸的判定 曲线的拐点及其求法
x2
x
B
o
x1
x2
x
0 f (x )递增 y
yf(x )
y
C
A
(x f 0) 0
y (x f )0Bx 0 0 (x f )0
tg x f (x) x
单调递增性
2 x s e c x t g x x t g x f( x ) 2 0 2 x x
高等数学课件
例
x 求 函 数 yx 的 单 调 区 间 , 极 值 , 凹 凸 区 间 , 拐 点 , 渐 近 线 , 2 x 1 并 作 函 数 的 图 形 .
高等数学课件 证明不等式
0 x1 x2
2
,
tg x 2 x 2 tg x 1 x 1
分析:
tg x 2 x 2 tg x 1 x 1
0 x1 x2
2
,
tg x 2 tg x 1 x2 x1
x 2 x1 ,
造辅助函数技巧
f(x x ) 2) f( 1
单调递增性
单调性的判别法
A
y f( x )
B
y
A yf( x )
B
x
单调区间的求法 函数极值的定义
y
o a b f ( x ) 0 单调增加
o a b x f (x ) 0 单调减少
y
函 数 的 性 质
函数极值的求法
y
o
x0
y
x
o
y
x0
x
o
x0
x0
y
x
o
x0
y
x o
x
y
o
x0
f( x ) f (x ) lim lim x aF aF (x ) x ( x )
高等数学课件
应用导数研究讨论函数性质及作图形
y
yf( x )
凹的 最 小 值 拐 点
凸的 单增 单减 极 大 值 最 大 值
极 小 值
a
o
b
x
高等数 最 值 曲 线 凹 凸 性
高等数学课件
第四章 导数的应用
主要内容
重要理论---中值定理 导数在求极限中的应用---洛比塔法则 应用导数研究讨论函数性质及作图形
高等数学课件
重要理论---中值定理
Rolle 定理
y
C
y f( x )
o a
Lagrange 中值定理
1
2
b x
y
C
y f( x )
y
B
D
Cauchy 中值定理
造辅助函数技巧
a a 1 n n 1 2 F () x a x x x 0 2 n 1
F(0) 0,
F (1) 0
高等数学课件
设 f ( x )在 [ 0 , a ] 上连续,在 ( 0 , a ) 内可导,且 f (a) 0 点 (0, a) ,使 f . () f () 0
(1) 定义域 :
解
x f( x ), 奇函数 f ( x ) x 2 x 1 2 2 2 x 1 x ( x 3) y 0 , 得 (2) y 1 2 x 3 , 0 , 3 . , 令 2 2 2 ( x 1) ( x 1)
x 1 ,
又 lim y , lim x 1 为曲线 y 的铅直渐近线 ; y , x 1 0
C
X F (t ) Y f (t )
B
D
A
A
o a 1
2 b
x o F(a)
F (1)
F(2)F (b)
x
高等数学课件
导数在求极限中的应用---洛比塔法则
0 0 0 0 , , 0 , 1 , 型 ) 型及 型 ( 0
方 法
洛必塔法则
f(x x 1) f( 2)
由罗尔定理
f () 0
0 x x 1 1 2
2 2 f ( ) 3 3 3 ( 1 )0
1
矛盾
0 x x 1 1 2
高等数学课件
1 0 设a 2 零点
a
a n n 0 ,证明多项式 fx () a a x a x 0 1 n 在 (0 ,1 ) n 1
应用导数研究 讨论函数性质 及作图形
讨论函数性质及作图形 不等式的证明
f ( x ) f ( x ) x x 1 2 . f (1 2 ) 2 2
高等数学课件
3 证明多项式 f( x ) x 3 x a 在 0 , 1 上不可能有两个零点.
分析:
反证法
设有两个零点
f ( x ) 0 ; f ( x ) 0 0 x x 1 1 2 1 2
n f ( ) aa a 0 ,0 1 0 1 n
内至少有一个
分析:
设想
F ( ) f ( ) 0
,0 1
造辅助函数
F (x)
适合于中值定理
n F ( xf ) ( x ) a a x a x 0 1 n
a a n 1 a 0 0 2 n 1
分析:
f () f () 0
,证明存在一
0 a
设想
F ( ) f ( ) f ( )0 0 a
F (x)
造辅助函数
适合于中值定理
F () x fx () x fx ()
造辅助函数技巧
Fx ( )x f( x )
F ( 0 ) 0 , F () a 0
( , )
o
b x f(x)递减 y 0
a
A
o
x0
x
高等数学课件
重要理论 中值定理
恒等式.不等式的证明 方程解的判定或证明
技巧—造 辅助函数
典 型 例 题
导数在求极 限中的应用-洛比达法则
求
0 0 0 极限 0 , , 0 , 1 , 型 ) 型及 型 ( 0
即 ( , 1 ) ( 1 , 1 ) ( 1 , ),
y
1 1 2 x( x2 3) , 2 2 3 3 ( x 1) (x 1 ) (x 1 )
令 y 0 ,
得可能拐点的横坐标 x 0.
( 3 ) lim y , 没有水平渐近线 ; x
x
最值存在判别法 函数最值的求法 曲线凹凸的定义
y
oa
y
bx
y f( x )
o a
y
b x
y f( x )
o a
y
b x
yf( x )
A
B
o a
b
x
o
x1
y
曲线凹凸的判定 曲线的拐点及其求法
x2
x
B
o
x1
x2
x
0 f (x )递增 y
yf(x )
y
C
A
(x f 0) 0
y (x f )0Bx 0 0 (x f )0
tg x f (x) x
单调递增性
2 x s e c x t g x x t g x f( x ) 2 0 2 x x
高等数学课件
例
x 求 函 数 yx 的 单 调 区 间 , 极 值 , 凹 凸 区 间 , 拐 点 , 渐 近 线 , 2 x 1 并 作 函 数 的 图 形 .
高等数学课件 证明不等式
0 x1 x2
2
,
tg x 2 x 2 tg x 1 x 1
分析:
tg x 2 x 2 tg x 1 x 1
0 x1 x2
2
,
tg x 2 tg x 1 x2 x1
x 2 x1 ,
造辅助函数技巧
f(x x ) 2) f( 1
单调递增性
单调性的判别法
A
y f( x )
B
y
A yf( x )
B
x
单调区间的求法 函数极值的定义
y
o a b f ( x ) 0 单调增加
o a b x f (x ) 0 单调减少
y
函 数 的 性 质
函数极值的求法
y
o
x0
y
x
o
y
x0
x
o
x0
x0
y
x
o
x0
y
x o
x
y
o
x0
f( x ) f (x ) lim lim x aF aF (x ) x ( x )
高等数学课件
应用导数研究讨论函数性质及作图形
y
yf( x )
凹的 最 小 值 拐 点
凸的 单增 单减 极 大 值 最 大 值
极 小 值
a
o
b
x
高等数 最 值 曲 线 凹 凸 性
高等数学课件
第四章 导数的应用
主要内容
重要理论---中值定理 导数在求极限中的应用---洛比塔法则 应用导数研究讨论函数性质及作图形
高等数学课件
重要理论---中值定理
Rolle 定理
y
C
y f( x )
o a
Lagrange 中值定理
1
2
b x
y
C
y f( x )
y
B
D
Cauchy 中值定理
造辅助函数技巧
a a 1 n n 1 2 F () x a x x x 0 2 n 1
F(0) 0,
F (1) 0
高等数学课件
设 f ( x )在 [ 0 , a ] 上连续,在 ( 0 , a ) 内可导,且 f (a) 0 点 (0, a) ,使 f . () f () 0
(1) 定义域 :
解
x f( x ), 奇函数 f ( x ) x 2 x 1 2 2 2 x 1 x ( x 3) y 0 , 得 (2) y 1 2 x 3 , 0 , 3 . , 令 2 2 2 ( x 1) ( x 1)
x 1 ,