自感磁场能量
14电磁感应2(自感互感、磁场能量)
I
一、自感 1．当一线圈中的电流变化时，它所激发的磁 场通过线圈自身的磁通量也在变化，使线 圈自身产生感应电动势。 这种因线圈中电流变化而在线圈自身所引 起的感应现象叫做自感现象，所产生的电 动势叫做自感电动势。
R
L
S2 S1
S
L
闭合开关， 2比S1先亮 S
断开开关，S闪一下熄灭
电流增大时，dI 0 ， L 0 ，即 L与电流反
向，阻碍电流增大；
dI 电流减小时， 0 ， L 0 ，即 L与电流同 dt dt
向，阻碍电流减小
I
例1 、 试计算长直螺线管的自感。 已知：匝数N,横截面积S,长度l ,磁导率
μ
l
自感的计算步骤：
S
LH dl I B H B H
单位长度导线内磁能为：
R
P
Wm wm dV
V
R
0
I 2 r 2 I 2 2rdr 2 4 8 R 16
§14-5 位移电流 麦克斯韦方程组
一、电磁场的基本规律 静电场：
D dS q
S
E dl 0
l
（对真空或电介质都成立）
稳恒磁场：
例、如图，求同轴传输线之磁能及自感系数 R2 I I 解: H B dV 2rldr R 1 2r 2r 1 W V wdV V H 2 dV 2 R2 1 I 2 ( ) 2rldr R1 2 2r I 2 l R2 ln( ) 4 R1 I 2 l R2 1 2 LI W ln( ) 4 R1 2 l R2 可得同轴电缆 L ln( ) 的自感系数为 2 R1
磁场中的磁能与自感现象
实验验证方法
静态实验法
通过测量静态情况下两个线圈之间的互感系数来验证互感现象的存在。这种方法需要使用 精密的测量仪器和稳定的电源来提供恒定的电流。
动态实验法
通过改变线圈中的电流或线圈之间的相对位置来观察感应电动势的变化情况。这种方法需 要使用示波器、电流计等实验
汇报人：XX 2024-01-16
contents
目录
• 磁场与磁能基本概念 • 磁能计算与储存方式 • 自感现象及其产生原因 • 互感现象与自感现象关系 • 磁场中能量转换与传递过程 • 总结回顾与拓展延伸
01
磁场与磁能基本概念
磁场定义及性质
磁场定义
磁场是一种存在于磁体周围的特 殊物质，它对放入其中的磁体产 生磁力作用。
影响因素探讨：距离、角度等
距离
线圈之间的距离越近，互感作用越强。当两 个线圈紧密靠近时，它们之间的磁通量变化 会更加显著，从而导致更大的感应电动势。
角度
线圈之间的相对角度也会影响互感作用。当 两个线圈的法线方向相互平行时，它们之间 的磁通量变化最大，互感作用最强。随着相 对角度的增大，磁通量变化减小，互感作用 减弱。
互感和自感之间联系和区别
联系
自感和互感都是电磁感应现象，都遵循 法拉第电磁感应定律。在电路分析中， 自感和互感往往同时存在，相互影响。
VS
区别
自感是单个线圈中电流变化时产生的感应 电动势，而互感是两个或多个线圈之间相 互作用产生的感应电动势。此外，自感系 数仅与线圈本身的结构和电流变化率有关 ，而互感系数则与线圈之间的相对位置、 形状、大小以及周围介质有关。
超导线圈应用案例
超导线圈在磁共振成像（MRI）、粒子加速器等领域有重要 应用。例如，在MRI中，超导线圈产生的强磁场和梯度磁场 用于对人体进行成像。
大学物理-12第十二讲 感生电动势、自感、互感、磁场能量
18
二、互感应
●由于一个载流回路中电流发生变化而引起邻近另 一回路中产生感生电流的现象称为“互感现象”， 所产生的电动势称为 “互感电动势”。
21N 2 21M 21I1 12N 1 12M 12I2
从能量观点可证明：
M12M21M
M称为互感系数简称互感 单位：亨利（H）
同理：
bo
ov r b E感dr0
ab oabo
o
E 感
L R2 L2 dB
2
4 dt
h
a
b
L
方向ab (Ub Ua )
9
vv
Байду номын сангаас法2： 用 LE感dl 求
vv
dE感dl
r 2
dB dt
cos
dl
h 2
dB dt
dl
vv
LE感dl
b h dB dl
a 2 dt 1 hL dB
缆单位长度的自感系数。
解： 两导体圆筒间磁场
B
I
2r
R2 R1
AB
通过单位长度一段的磁通量
I l 1
B vdS vR R 12Bldr2 IlnR R 1 2
DC
单位长度的自感系数 L lnR2 I 2 R1
17
总结L的计算方法 1.设回路电流为I，写出B的表达式（一般由安培
环路定理）
vv
2.计算磁通 B d S, N
LE库dvl
0
v
Ñ 感生电场是非保守力场 LE感dl 0
3
例：在半径为R 的长直螺线管中通有变化的电流，使
管内磁场均匀增强，求螺线管内、外感生电场的场强
第28讲 自感与互感 磁场能量
dB dI 感 dt dt
?
自感和互感现象
dI L L dt dI1 21 M dt
一 自感 1. 自感现象
当一个线圈中的电流发生变化时，它所激发的 磁场穿过线圈自身的磁通量发生变化，从而在 线圈本身产生感应电动势，这种现象称为自感 现象，相应的电动势称为自感电动势。
4. 自感系数的物理意义
dI const 时， 当线圈中的电流变化率为定值，即 dt L越大，产生的εL越大，因此线圈阻碍电流变化的能 力越强。所以线圈的自感系数L的物理意义为：
自感 L有维持原电路状态的能力, 自感系数L就是 这种能力大小的量度,它表征回路电磁惯性的大小。
dI L L dt
L0=L1+L2+2M =2L+2M
所以 L=L0/2-M < L0/2。
证毕。
9.4 磁场的能量
1 自感磁能 当电路中电流从 0 增加到稳定值 I0 时，电路附近 的空间逐渐建立起一定强度的磁场，磁场也具有 能量。 电源反抗自感电动势所做的功，就在建立磁场的 过程中转化为磁场的能量。 ─自感磁能
0 I 0 B 2 r 0 r R1 R1 r R2 r R2
I
R2 R1
l
取体积元为薄柱壳
d 2 rldr
1 B2 dV Wm wm dV V 2 V 0
r
dr
Wm wm dV
V
V
再根据
R2
R1
1 0 I 2 0 I 2 l R2 ( ) 2 rldr ln( ) 2 0 2 r 4 R1
5.自感的计算方法 • 假设线圈中电流为I; • 计算线圈中的全磁通Ψm ; m N B dS • 由L= Ψm / I, 求出L.
高中物理 第四章 电磁感应 第6节 互感和自感讲义(含解析)新人教版选修3-2-新人教版高二选修3-
第6节互感和自感1．当一个线圈中的电流变化时，会在另一个线圈中产生感应电动势，这种现象叫互感，互感的过程是一个能量传递的过程。
2．当一个线圈中的电流变化时，会在它本身激发出感应电动势，叫自感电动势，自感电动势的作用是阻碍线圈自身电流的变化。
3．自感电动势的大小为E ＝L ΔI Δt，其中L 为自感系数，它与线圈大小、形状、圈数，以及是否有铁芯等因素有关。
4．当电源断开时，线圈中的电流不会立即消失，说明线圈中储存了磁场能。
一、互感现象1．定义两个相互靠近的线圈，当一个线圈中的电流变化时，它所产生的变化的磁场会在另一个线圈中产生感应电动势的现象。
产生的电动势叫做互感电动势。
2．应用互感现象可以把能量由一个线圈传递到另一个线圈，变压器、收音机的“磁性天线”就是利用互感现象制成的。
3．危害互感现象能发生在任何两个相互靠近的电路之间。
在电力工程和电子电路中，互感现象有时会影响电路正常工作。
二、自感现象和自感系数1．自感现象 当一个线圈中的电流变化时，它产生的变化的磁场在它本身激发出感应电动势的现象。
2．自感电动势 由于自感而产生的感应电动势。
3．自感电动势的大小E ＝L ΔI Δt，其中L 是自感系数，简称自感或电感，单位：亨利，符号为H 。
4．自感系数大小的决定因素自感系数与线圈的大小、形状、圈数，以及是否有铁芯等因素有关。
三、磁场的能量1．自感现象中的磁场能量(1)线圈中电流从无到有时：磁场从无到有，电源的能量输送给磁场，储存在磁场中。
(2)线圈中电流减小时：磁场中的能量释放出来转化为电能。
2．电的“惯性”自感电动势有阻碍线圈中电流变化的“惯性”。
1．自主思考——判一判(1)两线圈相距较近时，可以产生互感现象，相距较远时，不产生互感现象。
(×)(2)在实际生活中，有的互感现象是有害的，有的互感现象可以利用。
(√)(3)只有闭合的回路才能产生互感。
(×)(4)线圈的自感系数与电流大小无关，与电流的变化率有关。
电磁感应 4-3 自感互感、磁场能量
任何磁场的能量
(不一定均匀磁场)
Wm
V wmdV
V
1 BHdV 2
电场 能量
磁场 能量
电场能量与磁场能量的对比
存储在器件中
存储在场中
We
1 2
CU
2
we
1 2
D
E
We V wedV
Wm
1 2
LI
2
wm
1 2
B
H
Wm V wmdV
若同时存在 电场和磁场
w
1
B
H
1
D
E
2
一、电感线圈存储的能量
前面演示自感的典型实验，当开关 突然断开后，灯泡会更亮地突闪。 这说明电感线圈中存储了某种形式 的能量，在开关断开后释放出来了
K
A
I
i
L
自感为 L 通有电流 I 的线圈所具有的磁能等于电流消 失过程中 (I → 0) 自感电动势所做的功，Wm = AL
dt 时间内通过灯泡的电量 q = i dt
的磁场中的，因此我们考虑磁场能量与磁感应强度之
间的关系。以长直螺线管为例，其自感 L = μn2V 忽略边缘效应，其内部的磁感应强度 B = μnI
Wm
1 2
LI 2
1 2
n2I 2V
1 2
B2
V
单位体积 磁场能量
wm
1 2
B2
1 2
BH
1 2
H 2
磁能 密度
wm
1 2
B
H
虽从长直螺线管特例推出，但对任何磁场均普遍适用
l
dr
穿过线框的磁通量为
2r
r
Φ
B dS
磁场的能量公式
磁场的能量公式
1. 自感线圈磁场能量公式。
- 对于一个自感系数为L的线圈，当通过的电流为I时，其储存的磁场能量W = (1)/(2)LI^2。
- 推导过程：当电路中的电流I发生变化时，自感电动势E = - L(di)/(dt)。
在建立电流I的过程中，电源克服自感电动势做功，这个功就转化为磁场的能量。
根据能量守恒定律，设电流从0增加到I，电源克服自感电动势做的功W=∫_0^tEidt=∫_0^ILi
di=(1)/(2)LI^2。
2. 磁场能量密度公式。
- 在均匀磁场中，磁场能量密度w=(1)/(2)frac{B^2}{μ}，其中B是磁感应强度，μ是磁导率（对于真空μ=μ_0，对于介质μ = μ_rμ_0，μ_r是相对磁导率）。
- 推导过程：对于长直螺线管，内部磁场B=μ nI（n是单位长度的匝数），自感系数L=μ n^2V（V是螺线管的体积）。
根据W=(1)/(2)LI^2，将L和I=(B)/(μ n)代入可得W=(1)/(2)frac{B^2}{μ}V，所以磁场能量密度w = (W)/(V)=(1)/(2)frac{B^2}{μ}。
对于非均匀磁场，可以通过对体积元dV积分W=∫_Vw dV=∫_V(1)/(2)frac{B^2}{μ}dV
来计算磁场的总能量。
电磁感应定律(中文)
单个回路的电感仅与回路的形状及尺寸有关，与 回路中电流无关。 磁通链与磁通不同，磁通链是指与某电流交链的 磁通。
若交链N次，则磁通链增加N倍；若部分 交链，则
中 ⑦ 必须给予适当的折扣。因此，与N匝回路 电流I交链的磁
通链为 =N 。
由N匝回路组成的线N
了=
~T~
<>
与交链的磁通链由两 部
分磁通形成，其一是本 身的磁
汽 通形成的磁通链 1 ,另一是
I2在回路，1中的
中 那么，与电流11交链讒通链孃通链
12 c
刈 毛 =% + 2
与 同理，与电流I2交链的磁通链
为
毛 中 火 =
21 +
22
<>
j多
在线性介质中，比值r 及T2均 V数。
中中
令 6=寸
ML若
^1
12
式中L11称为回路11的自感，M12称为回路12
<>
2.电感
在线性介质中，单个闭合回路电流产生的磁 通密
度与回路电流I成正比，因此穿过回路的磁 通也与回路电 流I成正比。
火与回路电流I交链的磁通称为回路电流I 的磁通链，
以 表示。
r火
火 令
与I的比值为L， L =-
式中即称为回路的电感，单位为H（亨）
。 电感又可理解为与单位电流交链的磁通链。 D< < > >1
M 21 m
4n
d l101 l2
r2 - r1
M12 4nm
d l2 01 l1
r1 - r2
考虑到d4 - dl 2 = dl 2 - dl1，,|弓由止两成if见
= M12 M 21
三13-7 磁场能量
定义：磁场能量密度---单位体积中的磁场能量 定义：磁场能量密度 单位体积中的磁场能量 能量密度 2 Wm B 1 1v v wm = = = BH= B ⋅ H V 2µ 2 2 注意:1)此式适用于磁场的一般情况 此式适用于磁场的一般情况; 注意 此式适用于磁场的一般情况 对非均场 dW 1v v
di ε − L = iRL(2) dt
εL = iRL(5)
di = iR 即: − L dt R
E i= (1−e R
−
R t L
)
i
E R
i I0
t
i = I0e
− t L
t
三）磁场能量密度 以长载流螺线管为例:设通以电流 以长载流螺线管为例 设通以电流I 设通以电流
• • • • • • • • • • • • • •
1 Wm = ∫ wmdV = ∫ µH 2dV V V 2 R2 1 I )2 2πrldr =∫ µ( R 2 1 2πr
R2 R1
dV = 2πrldr
l
作业:p386 13-28, 31, 37 作业
R µI 2l ln ( 2) = 4π R 1 1 2 R µI 2l ln ( 2) 再根据: LI = W= m 4π R 2 1 R µl 可得同轴电缆的自感系数为 ln ( 2) L= 2π R 1
idt
ε
εL
R2
i
dt内电阻消耗的能量 内电阻消耗的能量 dt内自感电动势提供的能量 内自感电动势提供的能量 当电流从I 0时，对（6）式两边积分： 当电流从 时 ）式两边积分： 左边积分为自感电动势作功 左边积分为自感电动势作功
0 di 1 2 A = ∫ ε Lidt = ∫ − Li dt = ∫ − Lidi = LI I dt 2
自感互感磁场能量
• 互感电动势
21
d(M 21I1) dt
M 21
dI1 dt
I1
dM 21 dt
若回路周围不存在铁磁质
且两线圈结构、相对位置 及其周围介质分布不变时
21
M 21
dI1 dt
同理
12
M12
dI2 dt
讨论
(1) 可以证明： M 21 M12 M
L1
L2
(2) 互感反映了线圈本身的电磁性质。 M
Ψ LI
L ——自感系数
自感 L 是反映线圈本身的电磁性质的物理量，如果回路周围 不存在铁磁质，自感 L 与电流 I 无关，仅由回路的匝数、几 何形状和大小以及周围介质的磁导率决定。
3. 自感电动势
自感电动势
＝
L
d
dt
d(LI ) dt
L dI dt
I dL dt
对一般不含铁磁质的回路，L为常数
通交流电的电磁铁 真空环
§10.3 自感 互感
一. 自感现象 自感系数 自感电动势
1. 自感现象
线圈电流变化 I I (t)
穿过自身磁通变化 Φm (t)
I
B
在线圈中产生感应电动势
dΦm
dt
—自感电动势遵从法拉第定律
2. 自感系数
根据毕 — 萨定律可知空间任意点的B与I 成正比，因此穿过 线圈自身总的磁通量与电流 I 成正比
• 电磁阻尼
• 电子感应加速器
电子感应加速器是利用感生电场对电子进行加速的设备。
原理：在 圆柱形电磁铁的两极N、S 间隙中安放一个环形真空 室，由电子枪射入真空室中的电子 : (1) 受磁场的洛仑兹力控制在真空室圆轨道上运行; (2) 利用变化磁场产生的感生电场使电子加速，一般小 型电子感应器可将电子加速到几十万电子伏特，大型的 可达数百万电子伏特。
自感与互感磁场能量
无线充电
利用互感现象实现非接触式充 电，通过磁场耦合将电能从发 射端传输到接收端。
电子变压器
在电子设备中用于实现信号放大 、阻抗匹配等功能，利用互感现
象实现电压或电流的调整。
04 自感与互感磁场能量的关系
CHAPTER
自感与互感磁场能量的转换关系
自感磁场能量
当电流在导体中流动时，会在导体周围产生磁场，这种磁场能量与电流的大小和导体的长 度成正比，与电流的变化率成正比。
自感磁场能量的应用
要点一
总结词
自感磁场能量在电子设备和电磁感应器等领域有广泛应用 ，如变压器、电感器、镇流器等。
要点二
详细描述
自感磁场能量在电子设备和电磁感应器等领域有广泛的应 用。例如，变压器利用自感现象将电压升高或降低，以满 足不同电路的需求；电感器则利用自感系数来限制电流的 变化，起到滤波和储能的作用；镇流器则利用自感现象来 稳定电流，为荧光灯等设备提供稳定的工作电流。此外， 自感现象在无线电技术、电机控制等领域也有着广泛的应 用。
03 互感磁场能量
CHAPTER
互感现象的定义
互感现象
当一个线圈中的电流发生变化时 ，在相邻的另一线圈中产生感应 电动势的现象。
互感现象原理
基于法拉第电磁感应定律，当磁 场发生变化时，会在导体中产生 感应电动势。
互感系数的计算
01
02
03
互感系数
描述两个线圈之间互感强 度的物理量，用字母M表 示。
研究背景与意义
研究背景
随着能源危机的加剧和环保意识的提高，人们开始寻找可再生能源和节能技术。 磁场能量作为一种无污染、高效的能源转换方式，逐渐受到人们的关注。
研究意义
研究自感与互感磁场能量的转换原理和应用，有助于推动能源技术的进步和发 展，为可再生能源和节能技术的应用提供新的思路和方法。
磁 场 能 量
可表示为
(10-15)
磁场能量
式(10- 15)为磁场能量密度的结果，它说明任何磁场都 具有能量，磁场能量存在于一切磁感应强度 B≠0 的空间.要 说明一点，式(10-15)虽然是从螺绕环特例推出的结论，但可 以证明上述结论适用于普遍情况.
在非均匀磁场中，各点的B、H、μ不尽相同，计算磁场 能量可在磁场中取一个微小体积元dV，在此微小部分的范围 内，各点的B、H、μ可以认为是相同的，于是体积元dV中的 磁场能量为
磁场能量
三、 磁场的能量密度
可采用均匀密绕的 细螺绕环（l>R）来讨 论上述问题.如图10-24 所示，当细螺绕环通电 流I时，它内部的磁感 应强度为B=μnI.
图10- 24 螺绕环
磁场能量
从上节内容可知，细螺绕环的自感系数为L=μn2V.这样，式（ 10-13）可改写为
（10-14） 由于螺绕环内部是均匀磁场，于是，磁场中单位体积中分布 的能量——能量密度，即
磁场能量
图中电路的开关S突然由1拨到2时，自感线圈 L中的电流不是立即消失，而是按指数规律逐渐衰 减到零.开关S合到2上时，电源已经不再提供能量 了，线圈中电流的能量从何而来呢?由于这时线圈 中的电流是由电路中的自感电动势产生，随着线圈 中磁场的消失而逐渐消失的，因此这部分能量是原 来就储存在通电线圈中的，或者是储存在线圈磁场 中的的磁场能量为 (10- 16)
式(10- 16)就是计算磁场能量的通用公式. 如果空间同时存在电场和磁场，那么电磁场中总能量密 度的表达式为
在储存的能量密度相等的前提下，磁场比电场更容易储 存能量.
谢谢观看
磁场能量
磁场能量
场是物质存在的一种方式，因此 场具有物质的基本属性——能量.本 节从磁场建立过程中所发生的电磁感 应现象出发，探讨磁场能量的来源、 分布特征和计算方法.
自感磁场的能量
自感磁场的能量4．5．1、自感(1)自感电动势、自感系数回路本身的电流变化而在回路中产生的电磁感应现象叫自感现象。
在自感现象中回路产生的电动势叫自感电动势。
由法拉第电磁感定律t n∆∆Φ=ε这里磁通Φ是自身电流产生磁场的磁通，按照毕奥—萨尔定律，线圈中的电流所激发的磁场的磁感应强度的大小与电流强度成正比。
因而应有t I t ∆∆∞∆∆Φ//。
根据法拉第电磁感应定律，可得自感到电动势t IL∆∆-=ε自式中L 为比例系数，仅与线圈的大小、形状、匝数以及周围介质情况有关，称为自感系数。
在国际单位制中，自感系数的单位是亨利。
式中负号表示自感电动势的方向。
当电流增加时，自感电动势与原有电流的方向相反；当电流减小时，自感电动势与原有电流的方向相同。
要使任何回路中的电流发生改变，都会引起自感应对电流改变的反抗，回路的自感系数越大，自感应的作用就越强，改变回路中的电流也越困难。
因此自感系数是线圈本身“电磁惯性”大小的量度。
(2)典型的自感现象及其规律如图4-5-1所示电路由电感线圈L 和灯泡A ，以及电阻R 和灯泡B组成两个支路连接在一个电源两端。
A 、B 灯泡相同，当K 闭合瞬时，L —A 支路L A B RK图4-5-1I 图4-5-2中，由于L 的自感现象，阻碍电流增大，所以A 不能立即发光，而是逐渐变亮，而B 立即正常发光。
当稳定后，电流不再变化时，L 只在电路中起一个电阻的作用。
流过L —A 支路的电流1I ，此时L 中贮存磁场能为2121LI W =(在后介绍)当K 断开瞬间，L 中电流要减小，因而会产生自感电动势ε，在回来L —A —B —R 中产生感应电流，从能量观点来看，L 释放线圈中磁场能，转变成电能消耗在回路中，所以A 、B 灯泡应是在K 断开后瞬间逐渐熄灭，其回路中电流时间变化如图4-5-2所示。
4．5．2、磁场的能量见图4-5-3，当K 闭合后，回路中电流ι将从零不断增加，而自感系数为L 的线圈中将产生自感电动势t i∆∆-=ε自阻碍电流的增加，ε和自ε合起来产生电流通过电阻RRi t iL=∆∆-ε即t iLRi ∆∆+=ε式中i 是变化的，方程两边乘以t i ∆并求和图5-2-1∑∑∑∆+∆=∆εi Li t Ri t i 2显然，方程的左边是电源输出的能量，而方程右边第一项是在电阻R 上产生的焦耳热，那剩下的一项显然也是能量，是储存在线圈中的磁场能，下面我们求它的更具体的表达式：K RLε图4-5-3K 刚闭合时，i =0，而当电路稳定后，电流不再变化，自感电动势变为零，稳定电流R I ε=(忽略电源内阻)，∑∆i Li 这个求和式的求和范围从0到I ，令，y=i 并以i 为横作标，y 为纵坐标做一坐标系，则y=i 在坐标系中为第一象限的角平分线。
互感、自感以及磁场能量
解：（a）通电螺线管内部的磁场是一个常数（忽
略边缘效应）： B 0nI 其中 n N / l
则该磁场通过螺线管本身的磁通量为
B BA 0 NIA / l
因此自感
L N B 0 N 2 A
I
l
（b）因 0 4 107 T·m/A ，故将数值代入得
自感现象:当一个 线圈（或者螺线管）中 电流发生变化时，则通 过该线圈自身的磁通量 将发生变化，从而在同 一个线圈中引起感应电 动势。感应电动势的方 向与磁通量的变化相反 （楞次定律）。
→B i
R
通过N匝线圈的磁通量ФB与线圈中的电流成正比， 因此定义自感系数L（简称自感）：
L N B I
根据法拉第电磁感应定律，自感为 L 的线圈中的感 应电动势 ：
即磁能密度为
u 磁能密度 1 B2 2 0
注意：
磁能密度公式虽然是由理想螺线管的磁场推导出 来，但可以证明对于任意的磁场都适用。
如果区域中有铁磁介质，则μ0需要替换成μ。
>0
则：
< 0 ， 与 I 方向相反
自感 L 体现回路产生自感电动势来反抗电流改
变的能力，自感的存在总是阻碍电流的变化，
自感是电磁惯性的一种表现。
例30-3 螺线管自感 （a）确定长直密绕的螺线管的 自感系数L，其中螺线管长l ，线圈匝数N，横截面 积为 A。（b）若 N=100，l=5.0cm，A=0.30cm2， 计算L的值。假设螺线管中空。
（b）如果电流减小，那么根据楞次定律，感应电动势将阻 碍磁通量的减小——即感应电流的方向要与原电流方向相 同。因此线圈中的感应电动势方向与图30-4（b）中的I方 向相同。这种情况我们可以把感应线圈看作是在以A端为 负极的电池内部，从而吸引更多的电流向右边流动。
大学物理磁场能量
2. 磁能密度 磁能：
wm
B2
2
1 2
BH
1 2
H 2
Wm V wmdV
( The end)
Wm
1 2
LI 2
11( ( n2nVI ) I2 V2 2
B2
2
V
管内为均匀场，则单位体
自感：L
积内磁场能量为：
I
V
I
wm
Wm V
B2
2
B2
( 可推广 )
Chapter 8. 电磁感应
§8. 5 磁作 场能者量：杨磁茂场田能量密度
P. 10 / 17 .
磁场能量密度(磁能密度)：
wm
dWm dV
B2
2
,
B H
wm
B2
2
1 2
BH
1 2
H 2
管内为均匀场，则单位体
积内磁场能量为：
dV B
wm
Wm V
B2
2
B2
( 可推广 )
Chapter 8. 电磁感应
§8. 5 磁作 场能者量：杨磁茂场田能量密度
磁场能量密度(磁能密度)：
wm
dWm dV
B2
2
,
B H
P. 11 / 17 .
wm
B2
P. 4 / 17 .
L L L
Chapter 8. 电磁感应
§8. 5 磁作 场能者量：杨磁茂场田能量密度
i2Rdt：焦耳热
－iLdt：磁能 (储存在螺线管 的磁场中)
充电结束后磁场能量：
Wm i Ldt
0
i(L
di
)dt
0
dt
自感互感与磁能3
当然，这只是相似，并非全同！ 当然，这只是相似，并非全同！ 因而研究中还要抓住特异点。 因而研究中还要抓住特异点。 类比研究有利于思维联想，能够开拓思路。 类比研究有利于思维联想，能够开拓思路。我 们要学会抓住各学科的交叉渗透现象， 们要学会抓住各学科的交叉渗透现象，要从看上去 互不相关的现象中寻找内在的联系。 互不相关的现象中寻找内在的联系。 建议阅读文献： 建议阅读文献： 费曼物理学讲义 第一卷 25 章
d 2q dI =L 2 U=L dt dt
dI d 2q U=L =L 2 dt dt
线圈 U I q
dv d2x 比较 F = m =m 2 dt dt
牛顿粒子 F v x m mv 1 2 mv 2
L LI（自磁链） （自磁链） 1 2 LI 2
?
相同的方程应该有相同的解。 相同的方程应该有相同的解。这种形式上的对 提供给我们一个可能是正确的信息： 可能是正确的信息 比，提供给我们一个可能是正确的信息： 1 2 LI 应该具有能量的意义 ！？ 2 这种从数学形式相同出发进行类比的研究方法 是非常有效的。 是非常有效的。 非常有趣的是，物理学中既存在相似定律， 非常有趣的是，物理学中既存在相似定律，也 存在相似现象， 存在相似现象，如 万有引力定律 机械振动 ─ ─ 库仑定律 电磁振荡 相似定律 相似现象
Ψ µ N 2 h R2 L= = ln( ) 2π R1 I
自感线圈的串联
L 1
L 2
L 1
L 2
a I
b
c
d
a I
b
c
d
（a）顺接 ）
（b）逆接 ）
L= L + L2 +2M 1
L= L + L2 −2M 1
自感互感磁场能量
第4节自感一、 自感现象及其规律I B ∝，I m ∝Φ，LI m =ΦL :L ：自感（系数），SI ：亨利（H ） dt d m L Φ-=ε=dtdI L I dt dL LI dt d --=-)(如果L 恒定，=L εdtdIL - L ε L εL ε：自感电动势 自感电动势总是阻碍电流变化 I I 线圈中电流的方向作为自感电动势的参考方向↑I ，0>dt dI，0<L ε ↓I ，0<dtdI，0>L ε i 例：列电压方程 解： )(t εRiR t L =+εε)(二、L 的计算：I L m /Φ=，)/(dtdIL L -=ε例：长直螺线管的L n 、μ，R l >> 解：nI B μ=2R nI nl NBS m πμ==Φ 222m L n l R n VIμπμΦ=== 例：两根无限长平行导线 d r <<0求：长为l 的一对导线的L（分布电感） 解：d r <<0，略去导线中的磁通量⎰⎰=⋅=ΦSS m dS B S d B θcos=ldx x d Ix I r d r ⎰--+0])(22[00πμπμ， =000)]ln([ln 2r r d x d x Il---πμ=000ln r r d Il -πμ00ln r d Il πμ≈ =Φ=I l L m )(00ln r d l πμI例：传输线由两个金属圆筒构成求：长为l 的一段传输线的L解：⎰⎰=⋅=ΦSSm dS B S d B θcosl =1200ln 2221R RIl dx l x I R R πμπμ=⎰120ln 2R Rl I L m πμ=Φ= x有利：稳流，滤波，LC 不利：如，电机中绕组, 电路自感电势! 第5节 互感一、互感现象及其规律 1 21I 激发的磁场穿过2的磁通量121I ∝Φ，12121I M =Φ2I 激发的磁场穿过1的磁通量 212I ∝Φ，21212I M =Φ21M ：1对2的互感系数，12M ：2对1的互感系数 21M ≡12M =M ：互感系数，SI ：HM ：形状、大小、面积、匝数、磁介质、相对位置有关 121MI =Φ，212MI =Φ推论：if ，21I I = , 2112Φ=Φ ε εdt dIM dt d 12121-=Φ-=ε L ε 2L εdtdIM dt d 21212-=Φ-=ε 1I I 21ε、12ε互感电动势两线圈磁场相互加强时，电流的流入端称为两线圈的同名端 电流由同名端流入时，互感电动势参考方向与自感电动势相同两线圈磁场相互削弱时，电流的流入端称为两线圈的异名端 电流由异名端流入时，互感电动势参考方向与自感电动势相反ε 21εε ε二、M 的计算212121I I M Φ=Φ=，)/()/(212121dt dI dt dI M -=-=εε例：两个共轴螺线管，1n 1l ，22l n ，半径R ，R l l >>21,（1）证明：21M =12M （2）M 与1L 、2L 的关系 解：（1）111I n B μ=，222I n B μ=211221221R I n l n S B N πμ==Φ，222112121R l n n I M πμ=Φ=222212112R I n l n S B N πμ='=Φ，222121212R l n n I M πμ=Φ= 22211221R l n n M M M πμ=== （2）21211R l n L πμ=，22222R l n L πμ=（几何平均值）2212121R l l n n L L πμ=1221221l l l l l L L M ==，2112L L l lM =一般，21L L k M =，常数10≤≤k ：耦合系数由两个线圈的相对位置决定 讨论：（1）无漏磁耦合，1=k ，21L L M = 如果，L L L ==21，L M = （2）松耦合，两线圈相距很远 或垂直摆放 0≈k ，0≈M第6节 磁场的能量一、 自感储能 i ：I →0 t ，dt diL L -=ε dtdiL U L ab =-=ε dt t t +→，Lidi idt dtdiL idt U dA ab ===2021LI Lidi dA A I ===⎰⎰221LI W m =：自感储能公式（对任意线圈都成立），221CV W e =220000()()12L tIttdit idt idt iRidt t idt Lidt iRidt dtq dq Lidi iRidt LI i Rdtεεεεε+=-===+=+⎰⎰⎰⎰二、磁场能量磁能分布在磁场中 22R l n L πμ=221LI W m =22221122n l R I nI nI l R μπμπ==⋅⋅ 12BHV = 磁场能量密度：H B H B BH dV dW w m m⋅=====2121212122μμ均匀磁场： V w W m m =非均匀磁场：⎰⎰==VV m m BHdV dV w W 21例：一段载流同轴电缆I 21,R R l >>求：磁能及L ，（0μ≈导体解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<<=222121022R r R r R r IR r R IrH ππ，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<<==2222221412220208821R r R r R r I R r R r I H w m πμπμμ⎰=Vm m dV w W 薄圆柱壳，rdrl dV π2=rdrl r I rdrl R r I W R R R m ππμππμ28282112220412220⎰⎰+==12220ln 416R R l I l I πμπμ+221LI W m =，1202ln 28/2R R l l I W L m πμπμ+==。
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§4．5 自感磁场的能量
4．5．1、自感
(1)自感电动势、自感系数
回路本身的电流变化而在回路中产生的电磁感应现象叫自感现象。
在自感现象中回路产生的电动势叫自感电动势。
由法拉第电磁感定律
t n
∆∆Φ
=ε
这里磁通Φ是自身电流产生磁场的磁通，按照毕奥—萨尔定律，线圈中的电流所激发的磁场的磁感应强度的大小与电流强度成正比。
因而应有
t I t ∆∆∞∆∆Φ//。
根据法拉第电磁感应定律，可得自感到电动势
t I
L
∆∆-=ε自
式中L 为比例系数，仅与线圈的大小、形状、匝数以及周围介质情况有关，称为自感系数。
在国际单位制中，自感系数的单位是亨利。
式中负号表示自感电动势的方向。
当电流增加时，自感电动势与原有电流的方向相反；当电流减小时，自感电动势与原有电流的方向相同。
要使任何回路中的电流发生改变，都会引起自感应对电流改变的反抗，回路的自感系数越大，自感应的作用就越强，改变回路中的电流也越困难。
因此自感系数是线圈本身“电磁惯性”大小的量度。
(2)典型的自感现象及其规律
如图4-5-1所示电路由电感线圈L 和灯泡A ，以及电阻R 和灯泡B
组成两个支路连接在一个电源两端。
A 、B 灯泡相同，当K 闭合瞬时，L —A 支路
L A B R
K
图4-5-1
I 图4-5-2
中，由于L 的自感现象，阻碍电流增大，所以A 不能立即发光，而是逐渐变亮，而B 立即正常发光。
当稳定后，电流不再变化时，L 只在电路中起一个电阻的作用。
流过L —A 支路的电流1I ，此时L 中贮存磁场能为
2121LI W =
(在后介绍)
当K 断开瞬间，L 中电流要减小，因而会产生自感电动势ε，在回来L —A —B —R 中产生感应电流，从能量观点来看，L 释放线圈中磁场能，转变成电能消耗在回路中，所以A 、B 灯泡应是在K 断开后瞬间逐渐熄灭，其回路中电流时间变化如图4-5-2所示。
4．5．2、磁场的能量
见图4-5-3，当K 闭合后，回路中电流ι将从零不断增加，而自感系数为L 的线圈中将产生自感电动势
t i
∆∆-
=ε自阻碍电流的增加，ε和自ε合起来产生电流通过
电阻R
Ri t i
L
=∆∆-ε
即
t i
L
Ri ∆∆+=ε
式中i 是变化的，方程两边乘以t i ∆并求和图5-2-1
∑∑∑∆+∆=∆εi Li t Ri t i 2
显然，方程的左边是电源输出的能量，而方程右边第一项是在电阻R 上产生的焦耳热，那剩下的一项显然也是能量，是储存在线圈中的磁场能，下面我们求它的更具体的表达式：
K R
L
ε
图4-5-3
K 刚闭合时，i =0，而当电路稳定后，电流不再变化，自感电动势变为零，稳定电流
R I ε
=
(忽略电源内阻)，∑∆i Li 这个求和式的
求和范围从0到I ，令，y=i 并以i 为横作标，y 为纵坐标做一坐标系，则y=i 在坐标系中为第
一象限的角平分线。
在横作标i 处取i ∆-，i ∆很小，可认为对应的y 为常量，窄条面积i i i y S ∆=∆=∆，把从0到I 的所有窄条面积加起来∑∑∆=∆i i i y 即为y=i 与i 轴所夹三角形面积，故
∑∑=∆=∆2
21
I i i i y
代入∑∆i Li 可知储存线圈内的能量。
2
21LI W =
从公式看，能量是与产生磁场的电流联在一起的，下面我们求出直螺线管的自感系数从而证实能量是磁场的。
设长直螺线管长为l ，截面积为S ，故绕有N 匝线圈，管内为真空。
当线圈中通有电流I 时，管内磁场的磁感应强度nI B 0ϕ=，通过N 匝线圈的磁通量
IS
l N IS l N N NBS 2
00ϕ=ϕ==Φ
与LI =Φ相比较，可得
S
l N L 2
0ϕ=
将代
S
l N L 2
ϕ=，N Bl
n B I 00ϕ=ϕ= 代入磁场能量式
图4-5-4
v n B
N Bl S l N n W 0
2
2
2
2121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ϕ
单位体积的磁场能量为 02
2n B
与电场的能量密度2
021
E ε相比较，公式何等相似。
从电学、磁学公式中，我
们知道01
ε对应于0n ，公式的相似来源于电场，磁场的对称性。
磁场的能量密度公式告诉我们，能量是与磁场联系在一起的。
只要有磁场，
就有B
，就有能量。
另外，公式虽是从长直螺线管的磁场这一特例推导出来，但
对所有磁场的均适用。
典型例题
例1、如图4-5-5所示的电路中，电池的电动势
V
12=ε，内阻
,2,15,9,2;1321H L R R R r =Ω=Ω=Ω=Ω=开始时电键K 与A 接通。
将K 迅速地由A 移至与B 接通，则线
圈L 中可产生的最大自感电动势多大？
分析：K 接在A 点时，电路中有恒定电流I ，当K 接至B 瞬间时，线圈中自感所产生的感应电动势应欲维持这一电流，此瞬时电流I 就是最大值，维持此电流的感应电动势就是最大自感电动势。
解：L 为纯电路，直流电阻不计，K 接在A 时，回路稳定时电流I 为
A
r R R I 12
21=++=
当K 接到B 点时，线圈中电流将逐渐减小至零，但开始时刻，电流仍为A I 1=，根据欧姆定律，维持这电流的瞬时自感电动势为
L
B
A K R 1 R 2
R 3
r ⋅ε
图4-5-5
)(32R R I L +=ε
V 24=
以后电流变小，自感电动势也减小直至零。
例2、由半径11=r 毫米的导线构成的半径102=r 厘米的圆形线圈处于超导状态，开始时线圈内通有100安培的电流。
一年后测出线圈内电流的减小量不足
610-安培，试粗略估算此线圈电阻率的上限。
解：线圈中电流)(t I 的减小将在线圈内导致自感电动势，故
(1)
IR t I
L
=∆∆-=ε
式中L 是线圈的自感系数
I L Φ=
在计算通过线圈的磁统量Φ时，以导线附近即1r 处的B 为最大，而该处B 又可把线圈当成无限长载流导线所产生的，即
1012)(r I n r B π=
Φ＜B )
(2)(1
2
2022
1t I r r n r r =π
I L Φ
=
＜12
202r r n (2)
而
212
21222r r r r R ρππρ
== (3)
把式(2)和式(3)代入式(1)，得
ρ ＜ t I I r r ∆∆ϕ-
4210 (4)
把3110-=r 米，1
210-=r 米，100≈I 安培及
t I
∆∆-＜146102.336002436510--⨯≈⨯⨯安培/秒
代入式(4)得
ρ＜26100.1-⨯欧姆/米
这就是超导线圈电阻率的上限。