自感磁场能量

§4．5 自感磁场的能量

4．5．1、自感

(1)自感电动势、自感系数

回路本身的电流变化而在回路中产生的电磁感应现象叫自感现象。在自感现象中回路产生的电动势叫自感电动势。由法拉第电磁感定律

t n

??Φ

=ε

这里磁通Φ是自身电流产生磁场的磁通，按照毕奥—萨尔定律，线圈中的电流所激发的磁场的磁感应强度的大小与电流强度成正比。因而应有

t I t ??∞??Φ//。根据法拉第电磁感应定律，可得自感到电动势

t I

L

??-=ε自

式中L 为比例系数，仅与线圈的大小、形状、匝数以及周围介质情况有关，称为自感系数。在国际单位制中，自感系数的单位是亨利。式中负号表示自感电动势的方向。当电流增加时，自感电动势与原有电流的方向相反；当电流减小时，自感电动势与原有电流的方向相同。要使任何回路中的电流发生改变，都会引起自感应对电流改变的反抗，回路的自感系数越大，自感应的作用就越强，改变回路中的电流也越困难。因此自感系数是线圈本身“电磁惯性”大小的量度。

(2)典型的自感现象及其规律

如图4-5-1所示电路由电感线圈L 和灯泡A ，以及电阻R 和灯泡B

组成两个支路连接在一个电源两端。A 、B 灯泡相同，当K 闭合瞬时，L —A 支路

L A B R

K

图4-5-1

I 图4-5-2

中，由于L 的自感现象，阻碍电流增大，所以A 不能立即发光，而是逐渐变亮，而B 立即正常发光。当稳定后，电流不再变化时，L 只在电路中起一个电阻的作用。流过L —A 支路的电流1I ，此时L 中贮存磁场能为

2121LI W =

(在后介绍)

当K 断开瞬间，L 中电流要减小，因而会产生自感电动势ε，在回来L —A —B —R 中产生感应电流，从能量观点来看，L 释放线圈中磁场能，转变成电能消耗在回路中，所以A 、B 灯泡应是在K 断开后瞬间逐渐熄灭，其回路中电流时间变化如图4-5-2所示。

4．5．2、磁场的能量

见图4-5-3，当K 闭合后，回路中电流ι将从零不断增加，而自感系数为L 的线圈中将产生自感电动势

t i

??-

=ε自阻碍电流的增加，ε和自ε合起来产生电流通过

电阻R

Ri t i

L

=??-ε

即

t i

L

Ri ??+=ε

式中i 是变化的，方程两边乘以t i ?并求和图5-2-1

∑∑∑?+?=?εi Li t Ri t i 2

显然，方程的左边是电源输出的能量，而方程右边第一项是在电阻R 上产生的焦耳热，那剩下的一项显然也是能量，是储存在线圈中的磁场能，下面我们求它的更具体的表达式：

K R

L

ε

图4-5-3

K 刚闭合时，i =0，而当电路稳定后，电流不再变化，自感电动势变为零，稳定电流

R I ε

=

(忽略电源内阻)，∑?i Li 这个求和式的

求和范围从0到I ，令，y=i 并以i 为横作标，y 为纵坐标做一坐标系，则y=i 在坐标系中为第

一象限的角平分线。在横作标i 处取i ?-，i ?很小，可认为对应的y 为常量，窄条面积i i i y S ?=?=?，把从0到I 的所有窄条面积加起来∑∑?=?i i i y 即为y=i 与i 轴所夹三角形面积，故

∑∑=?=?2

21

I i i i y

代入∑?i Li 可知储存线圈内的能量。

2

21LI W =

从公式看，能量是与产生磁场的电流联在一起的，下面我们求出直螺线管的自感系数从而证实能量是磁场的。设长直螺线管长为l ，截面积为S ，故绕有N 匝线圈，管内为真空。当线圈中通有电流I 时，管内磁场的磁感应强度nI B 0?=，通过N 匝线圈的磁通量

IS

l N IS l N N NBS 2

00?=?==Φ

与LI =Φ相比较，可得

S

l N L 2

0?=

将代

S

l N L 2

?=，N Bl

n B I 00?=?= 代入磁场能量式

图4-5-4

v n B

N Bl S l N n W 0

2

2

2

2121=???? ??=?

单位体积的磁场能量为 02

2n B

与电场的能量密度2

021

E ε相比较，公式何等相似。从电学、磁学公式中，我

们知道01

ε对应于0n ，公式的相似来源于电场，磁场的对称性。

磁场的能量密度公式告诉我们，能量是与磁场联系在一起的。只要有磁场，

就有B

，就有能量。另外，公式虽是从长直螺线管的磁场这一特例推导出来，但

对所有磁场的均适用。

典型例题

例1、如图4-5-5所示的电路中，电池的电动势

V

12=ε，内阻

,2,15,9,2;1321H L R R R r =Ω=Ω=Ω=Ω=开始时电键K 与A 接通。将K 迅速地由A 移至与B 接通，则线

圈L 中可产生的最大自感电动势多大？

分析：K 接在A 点时，电路中有恒定电流I ，当K 接至B 瞬间时，线圈中自感所产生的感应电动势应欲维持这一电流，此瞬时电流I 就是最大值，维持此电流的感应电动势就是最大自感电动势。

解：L 为纯电路，直流电阻不计，K 接在A 时，回路稳定时电流I 为

A

r R R I 12

21=++=

当K 接到B 点时，线圈中电流将逐渐减小至零，但开始时刻，电流仍为A I 1=，根据欧姆定律，维持这电流的瞬时自感电动势为

L

B

A K R 1 R 2

R 3

r ?ε

图4-5-5

)(32R R I L +=ε

V 24=

以后电流变小，自感电动势也减小直至零。

例2、由半径11=r 毫米的导线构成的半径102=r 厘米的圆形线圈处于超导状态，开始时线圈内通有100安培的电流。一年后测出线圈内电流的减小量不足

610-安培，试粗略估算此线圈电阻率的上限。

解：线圈中电流)(t I 的减小将在线圈内导致自感电动势，故

(1)

IR t I

L

=??-=ε

式中L 是线圈的自感系数

I L Φ=

在计算通过线圈的磁统量Φ时，以导线附近即1r 处的B 为最大，而该处B 又可把线圈当成无限长载流导线所产生的，即

1012)(r I n r B π=

Φ＜B )

(2)(1

2

2022

1t I r r n r r =π

I L Φ

=

＜12

202r r n (2)

而

212

21222r r r r R ρππρ

== (3)

把式(2)和式(3)代入式(1)，得

ρ ＜ t I I r r ???-

4210 (4)

把3110-=r 米，1

210-=r 米，100≈I 安培及

t I

??-＜146102.336002436510--?≈??安培/秒

代入式(4)得

ρ＜26100.1-?欧姆/米

这就是超导线圈电阻率的上限。