数理逻辑-归结法原理
归结原理
置换(substitution)
定义: 置换是一个形如{t1/v1,…, tn/vn}的有 限集，其中每个vi是变量，ti是不同于vi的项 （常量、变量或函数）(vi≠ti)。当i≠j时， vi≠vj。
无元素组成的置换称为空置换，记为ε；
例子：
{a/x, w/y, f(s)/z}, {g(x)/x}是置换; {x/x}, {y/f(x)}不是置换;
S={P∨Q，~P∨Q，P∨~Q，~P∨~Q} P∨Q ~P∨Q P∨~Q ~P∨~Q Q (1,2) ~Q (3,4) nil (5,6)
定义: 推演
给定一个子句集合S，从S到子句C的一个推演是 一个有限的子句序列C1 ,…, Ck，使得每个Ci 或是 S中的一个子句，或是C1到Ci-1中的某些子句的一 个归结式，而Ck=C。如果C=nil，则这个推演 （推导）称为S的一个证明，或反演。
推演树(deduction tree)
S={P∨Q，~P∨Q，P∨~Q，~P∨~Q}
P∨Q ~P∨Q P∨~Q ~P∨~Q
Q
~Q
nil
归结定理完备性
如果S不相容，则一定存在一个S的反演。
三. 置换与合一
例：
C1：P(x) ∨ Q(x) C2：~P(f(x)) ∨ R(x)
没有互补对; 例：
C1：P(y) ∨ Q(y) {y/x} C1：P(f(x)) ∨ Q(f(x)) {f(x)/y} C：R(x) ∨ Q(f(x))
子句集S是不可满足的，当且仅当存在一个 有限不可满足的S的基础实例集合S’。 Gilmore的方法(1960) Davis-Putnam: 提高效率
困难:
生成基础实例集合是指数复杂性的.
例子
例子
离散数学 第3章 基于归结原理的推理证明
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3.2.2原子集
定义 3.2.2 下列集合称为子句集 S 的原子集： A＝｛所有形如 P(t1, t2,…,tn)的元素｝ 其中，P(t1, t2,…,tn)是出现在 S 中的任一谓词符号，而 t1，t2，…，tn 则是 S 的 H 域上的 任意元素。 定义 3.2.3 将没有变元出现的原子、文字、子句和子句集分别称作基原子、基文字、基 子句和基子句集。 定义 3.2.4 当子句集 S 中的某个子句 C 中的所有变元符号均以其 H 域中的元素替换时， 所得到的基子句称作 C 的一个基例。 例 3.2.2 对于子句集 S＝{P(a),P(x)∨P(f(x))},它的 H 域为{a,f(a),f(f(a)),…}。 对于子句 P(a)，因为其中不含有变元，所以它已是基子句，而且 aH，所以它也是基例。
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3.3.1.2 置换的合成
置换的合成是将两个置换合成为一个置换。 定义 3.3.3 假设 ={t1/x1,t2/x2,…,tn/xn}, ={u1/y1,u2/y2,…,um/ym}是两个置换， 则它们的合成是一个新置换， 其作用于公式 E 时， 相当于先 后 λ 对 E 的作用。 它的定义如下： 先作置换{t1· /x1,t2· /x2,…,tn· /xn,u1/y1,u2/y2,…,um/ym}。 若 yi{ x1,…,xn}时，先从上述集合中删除 ui/yi。 若 ti· =xi 时，再从上述集合中删除 ti· /xi 。 删除以后剩下元素所构成的集合称作 与 的乘积，记作 · 。
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3.2.3 H域上的解释
定义 3.2.5 如果子句集 S 的原子集为 A，则对 A 中各元素的真假值的一个具体设定都是 S 的一个 H 解释。 可以证明，在给定域 D 上的任一个解释 I，总能在 H 域上构造一个解释 I*与之对应，使得如果 D 域上 的解释能满足子句集 S，则在 H 域的解释 I*也能满足 S（即若 S|I=T，就有 S|I*=T） 。 定理 3.2.1 设 I 是子句集 S 在域 D 上的一个解释，则存在对应于 I 的 H 域解释 I*，使得若有 S|I=T，就 必有 S|I*=T。 定理 3.2.2 子句集 S 不可满足的充要条件是 S 对 H 域上的一切解释都为假。 证明 充分性：若 S 在一般域 D 上是不可满足的，必然在 H 域上是不可满足的，从而对 H 域上的一 切解释都为假。 必要性：若 S 在任一 H 解释 I*下均为假，必然会使 S 在 D 域上的每一个解释为假。否则，如果存在一 个解释 I0 使 S 为真，那么依据定理 3.2.1 可知，一定可以在 H 域找到相对应的一个解释 I*0 使 S 为真。这与 S 在所有 H 解释下均为假矛盾。
海涅归结原理
海涅归结原理海涅定理是德国数学家海涅（Heine）给出的，应用海涅定理人们可把函数极限问题转化（归结）成数列问题，因而人们又称它为归结原则。
海涅原理搭建起了数列极限和函数极限之间的桥梁，求函数极限问题可以转化成为求数列极限的问题，求数列极限的问题也可以转化成为求函数极限的问题。
同样也可以利用此定理及间接的判断敛散性。
定义：若函数f(x)在Uo(x0)有定义 , limx→x0f(x)=A∈R⟺∀xn∈Uo(x0) limn→∞xn=x0, limn→∞f(xn)=A 注：是子数列(注：xn是子数列)应用一：证明函数极限不存在时可以用海涅定理1∘: 若存在子数列xn∈U∘(x0),limn→∞xn=x0 使{f(xn)} 发散，则limx→x0f(x) 不存在。
2∘: (双子数列方法)若存在xn,yn∈U∘(x0),limn→∞xn=x0,limn→∞yn=x0 ,且满足limn→∞f(xn)=A,limn→∞f(yn)=B ，若A≠B ,则limx →x0f(x) 不存在,反之则存在。
3∘: 若limx→x0f(x) 存在，xn∈U∘(x0), 且xn≠x0 , limn→∞xn=x0，limn→∞f(xn)=A ⟹limx→x0f(x)=A例：求证limx→∞sinx 不存在。
证明：方法一：任取子数列：时xn=π2+nπ(n→∞时,xn→∞)f(xn)=1,−1,1,−1,1,−1,1,−1⋯⋯由于limn→∞f(xn) 不存在，所以limx→∞sinx .方法二：任取两个收敛的子数列，但是可证出极限值不相等——发散令yn=nπ,limn→∞yn=0,xn=2nπ+π2,limn→∞xn=1 ,两个子数列均是收敛的，但是收敛的极限值不同，所以函数f(x)=sinx 是发散的.例：若f(x) 为R 上以t 为周期的周期函数，limx→∞f(x)=A ,求f(x) . 在证明过后应当作结论记住(在证明过后应当作结论记住)注解：利用周期函数的性质找出趋向于∞的子数列.解：xn=x,x+t,x+2t⋯⋯x+ntf(x)=f(x+t)=f(x+2t)=⋯⋯=f(x+nt) , 则当x→∞时，[xn+nt]⟶+∞，∀x0 , limn→∞f(x0+nt)=f(x0) ,所以limn→∞f(x)=f(x0)又∵x0 的任意性∴f(x0)=f(x)=A例：设f(x) 在(0,+∞) 上有定义，∀x∈R+, 有f(x)=f(3x) , limn→0+f(x)=A求f(x)解：∵f(x)=f(x3)=f(x32)=f(x33)=⋯⋯=f(x3n)limn→+∞x3n=0+ ⇒∀x0 , limn→∞f(x03n)=f(x0) ⇒limx→0+f(x)=f(x0)因为x0 的任意性，所以f(x0)=f(x)=A例：设f(x) 在(0,+∞) 上有定义，∀x∈R+, 有f(x)=f(x3) , limx→∞f(x)=A∈R求f(x)解：f(x)=f(3x)=f(32x)=⋯⋯=f(3nx) ，limn→∞3nx→∞∀固定x0 ,有limn→∞f(3nx0)=f(x0) limn→∞f(x)=f(x0)又由于x0 的任意性，推广得到f(x0)=f(x)所以：f(x)=A总结：先依据周期性找到合适的递推公式，先固定任意的x0 ,根据海涅定理得到limx→∞f(x)=f(x0) ,最后根据x0 的任意性推广到所有的x .。
归结推理方法（三）
归结推理⽅法（三）归结推理⽅法（三）引⼊新课：数理逻辑为知识的推理奠定了基础；基于⼀阶谓词逻辑的推理⽅法，是⼀种机械化的可在计算机上加以实现的推理⽅法。
⼀、命题逻辑命题逻辑和谓词逻辑是两种逻辑；对知识的形式化表⽰，特别是定理的⾃动证明发挥了重要作⽤。
谓词逻辑是在命题逻辑的基础上发展起来的。
命题逻辑可看作是谓词逻辑的⼀种特殊形式。
（⼀）命题定义1能够分辨真假的语句称作命题定义2⼀个语句如果不能再进⼀步分解成更简单的语句，并且⼜是⼀个命题，则称此命题为原⼦命题。
说明：（1）原⼦命题是命题中最基本的单位，⽤P,Q,R,…..⼤写拉丁字母表⽰。
⽽命题的真与假分别⽤“T”与“F”表⽰。
命题代表⼈们进⾏思维时的⼀种判断，或者是真。
或者是假，只有这两种情况。
若命题的意义为真，则记为T。
若命题的意义为假，则记为F。
（2）⼀般情况下，只有陈述句才可能是命题，因为只有陈述句才能分辨真假。
如“太阳从西边升起”、“雪是⽩⾊的”等等都是陈述句，⽽其他的⼀些句⼦如疑问句、祈使句、感叹句等均不能分辨其真假。
象这样的没有真假意义的句⼦就不是命题。
（3）并不是所有的陈述句都是命题；例如，“这个句⼦是假的”。
显然⽆法判断该语句的真假，这个语句不是命题。
（4）在有些情况下，要判断⼀个陈述句的真假，是需要⼀定条件的，即该陈述句在⼀种条件下，其逻辑值为真，但在另⼀种条件下，其逻辑值为假。
⽐如，“1+1=10”。
（5）⽤⼤写字母表⽰的命题既可以是⼀个特定的命题，也可以是⼀个抽象命题。
前者称为命题常量，后者称为命题变量。
对于命题变量，只有把确定的命题代⼊后，它才可能有明确的逻辑值（T或F）。
（⼆）命题公式连接词：在⽇常⽣活中，可以通过连接词将⼀些简单的陈述句组成较为复杂的语句，称为复合句。
较复杂的定义。
～：称为“⾮”或“否定”。
其作⽤是否定位于它后⾯的命题。
当命题P为真时，～P为假；当P 为假时，～P为真。
∨：称为“析取”。
它表⽰被它连接的两个命题具有“或”关系。
数理逻辑归结法原理
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机械式方法
▪ 若证明Q1,…,Qn|=R，只要证明Q1…QnR 不可满足。
▪ 机械式证明：
公式Q1…QnR的合取范式； 合取范式的所有简单析取范式，即Ω；
证明Ω不可满足
▪ 则有Q1,…,Qn|=R。
▪ 开创性的工作是赫伯特·西蒙（H. A. Simon）和艾伦· 纽威尔（A. Newel）的 Logic Theorist。
▪ 机械定理证明的主要突破是1965年由鲁宾逊（ J.A.Robinson）做出的，他建立了所谓归结原理，使机械 定理证明达到了应用阶段。
▪ 归结法推理规则简单, 而且在逻辑上是完备的, 因而成为 逻辑式程序设计语言Prolog的计算计模算型机。学院
▪ 因为(PQR)((PR)(QR)计)的算合机取学范院式 (PQR) PQR
▪ 所以子句集合 Ω={P,Q, R ,PQR }
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▪ Q1=PQR Q1Ω
▪ Q2=P
Q2Ω
▪ Q3=QR
Q3= (Q1-P) (Q2-P)
可满足，进而有Ω0可满足。 ▪ 证毕
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▪ 例题：P(QR)├ (PQ) (PR) 分配律 ▪ (P(QR)) ((PQ) (PR)) ▪ (P(QR)) ((PQ) (PR)) ▪ (PQ) (PR))( P (PR)) (Q (PR)) ▪ (PQ) (PR)P ( P R) (Q P)( QR)
▪ 对一阶逻辑公式，其解释的个数通常是任意多个，丘奇 （A.Church）和图灵（A.M.Turing）在1936年证明了不存 在判定公式是否有效的通用程序。计算机学院
归结原理是什么
归结原理是什么归结原理是指将复杂的问题归结为简单的基本原理或规律，通过对基本原理的理解和运用，来解决复杂问题的方法和思维方式。
归结原理是科学研究和工程实践中的一种基本思维方式，也是认识和解决问题的重要方法之一。
首先，归结原理是科学研究的基本方法之一。
在科学研究中，我们常常面对复杂的问题和现象，需要通过归结原理的方法来理清思路、找出规律。
例如，物理学家通过归结原理，将复杂的自然现象归结为几条基本的物理定律，从而揭示了世界的运行规律。
生物学家通过归结原理，将复杂的生物现象归结为细胞生物学的基本原理，从而揭示了生命的奥秘。
化学家通过归结原理，将复杂的化学反应归结为原子分子的运动规律，从而揭示了物质的组成和性质。
归结原理在科学研究中具有重要的作用，它帮助科学家理清思路、找出规律，从而推动了科学的发展。
其次，归结原理是工程实践的重要方法之一。
在工程实践中，我们常常面对复杂的工程问题和技术挑战，需要通过归结原理的方法来分析问题、解决困难。
例如，工程师通过归结原理，将复杂的工程问题归结为几个基本的工程原理，从而找出解决方案。
建筑工程师通过归结原理，将复杂的建筑结构归结为几个基本的受力原理，从而设计出安全稳固的建筑。
电子工程师通过归结原理，将复杂的电路问题归结为几个基本的电子原理，从而设计出高效稳定的电子产品。
归结原理在工程实践中具有重要的作用，它帮助工程师分析问题、解决困难，从而推动了工程技术的发展。
总之，归结原理是一种重要的思维方式和方法。
在科学研究和工程实践中，我们需要通过归结原理的方法，将复杂的问题归结为简单的基本原理或规律，从而理清思路、找出规律、解决问题。
归结原理是科学研究和工程实践中不可或缺的重要方法，它推动了科学的发展，促进了工程技术的进步。
因此，我们应该重视归结原理的学习和运用，不断提高归结原理的思维能力和解决问题的能力，为推动科学技术的发展做出更大的贡献。
归结推理方法(三)
（三）谓词公式的永真性和可满足性 1、谓词公式的解释 命题 公式直 接通 过真值 指派 给出解 释； 谓词 式 须 虑个 公 必 考 体常 量和 数 个体 函 在 域中 的取 值， 后 能 然 才 针 对常 和 数的 量 函 具体 取值 为谓 分 指派 词 别 真值 由于存在多种组合 。
情况， 所以一个谓词公式的解释可能有多个。 对于每一个解释， 谓 。 词公式都可求出一个真值（T 或 F） 定义：设D 为谓词公式P 的个体域，若对P 中的个体常量、函数和谓 P P 定义： D
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（二）命题公式 连接词： 连接词 ： 在 常 活 ， 以 过 接 将 些 单 陈 句 日 生 中 可 通 连 词 一 简 的 述 组 成 为 杂 语 ， 为 合 。 命 逻 中 也 以 过 较 复 的 句 称 复 句 在 题 辑 ， 可 通 以 连 词 将 些 子 题 接 来 构 一 下 接 ， 一 原 命 连 起 ， 成 个复 命 合 题以 表 比 复 的 义 示 较 杂 定 。 ～ 称 “ ” “ 定。 作 是 定 于 后 的 题 ： 为 非 或 否 ”其 用 否 位 它 面 命 。 当 题P 为 时 ～P 为 ； 命 真 ， 假 当P 为 时 ～P 为 。 假 ， 真 ∨ 称 “ 取。 表 被 连 的 个 题 有 或 关 。 ： 为 析 ”它 示 它 接 两 命 具 “ ” 系 ∧ 称 “ 取。 表 被 连 的 个 题 有 与 关 。 ： 为 合 ”它 示 它 接 两 命 具 “ ” 系 → 称 “ 件 或 蕴 ” P→ ： 为 条 ” “ 含 。 Q表 “ 蕴 示 P 含Q” 即 如 ， “ 则Q”其 ↔ 为 件 前 ， 为 件 后 。 ， 中P 称 条 的 件 Q称 条 的 件 ↔ 果P， ： 为 双 件。 称 “ 条 ” P Q表 “ 当 仅 示 P 且 当Q” 。
数学数学归纳法
数学数学归纳法高中数学数学归结法定义最复杂和罕见的数学归结法是证明当n等于恣意一个自然数时某命题成立。
证明分下面两步：1.证明当n= 1时命题成立。
2.假定n=m时命题成立，那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。
(m代表恣意自然数)这种方法的原理在于：首先证明在某个终点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的进程有效。
当这两点都曾经证明，那么恣意值都可以经过重复运用这个方法推导出来。
把这个方法想成多米诺效应也许更容易了解一些。
例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，假设你可以：1)证明第一张骨牌会倒。
2)证明只需恣意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。
那么便可以下结论：一切的骨牌都会倒下。
高中数学数学归结法及其证明方法(一)第一数学归结法普通地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤(1)证明当n取第一个值时命题成立，关于普通数列取值为1，但也有特殊状况，(2)假定当n=k(k?e;[n的第一个值]，k为自然数)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
(二)第二数学归结法关于某个与自然数有关的命题，(1)验证n=n0时P(n)成立，(2)假定no<n<k时P(n)成立，并在此基础上，推出P(k+1)成立。
综合(1)(2)对一切自然数n(>n0)，命题P(n)都成立，(三)螺旋式数学归结法P(n)，Q(n)为两个与自然数有关的命题，假设(1)P(n0)成立，(2)假定P(k)(k>n0)成立，能推出Q(k)成立，假定Q(k)成立，能推出P(k+1)成立，综合(1)(2)，关于一切自然数n(>n0)，P(n)，Q(n)都成立，(四)倒推数学归结法(又名反向数学归结法)(1)关于无量多个自然数命题P(n)成立，(2)假定P(k+1)成立，并在此基础上推出P(k)成立，综合(1)(2)，对一切自然数n(>n0)，命题P(n)都成立，总而言之：归结法是由一系列有限的特殊事例得出普通结论的推理方法。
第四章 归结法原理
• • • •
x(R(x) Q(x))， x(R(x) Q(x))， R(b) Q(b) {R(b), Q(b)}
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(4) 构造子句集S= SA∪SB∪SC (5) 构造以下反驳： • C1 = P(c) • C2 = R(x) S(c, x) • C3 = P(y) Q(z) S(y, z) • C4 = R(b), • C5 = Q(b) • C6= Q(z) S(c, z) C1, C3 ├res C6 计算机学院 • C7= S(c, b) C2, C4 ├res C7 • C8= Q(b) C6, C7 ├res C8 • C9= □ C5, C8 ├res □ 证毕。
归结子句不唯一
计算机学院 1Leabharlann 10反驳 定义：设S是子句集合，如果子句序列C1, …, Cn满足
如下条件，则称子句序列C1,…,Cn为子句集合S的一
个反驳。 (1) 对于每个1≤k<n， • CkS，或者 • Ck是Ci和Cj的归结子句，i<k，j<k。
(2) Cn是□。
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定义
子句集：子句的有限集合称为子句集.
• 子句集{{P1,1, …, P1,m}, … , {Pn,1, …, Pn,m}}，
表示公式(P1,1 … P1,m) … (Pn,1 … Pn,m)的 闭包 • 子句集合{{P(x), Q(y)}, {P(c),计算机学院 Q(z)}}表示Skolem 范式xyz((P(x)Q(y)) (P(c) Q(z)))
• yz(P(y) R(z) L(y,z)) • {P(y) R(z) L(y,z)}
归结推理方法(三)
归结推理方法（三）引入新课：数理逻辑为知识的推理奠定了基础；基于一阶谓词逻辑的推理方法，是一种机械化的可在计算机上加以实现的推理方法。
一、命题逻辑✧命题逻辑和谓词逻辑是两种逻辑；对知识的形式化表示，特别是定理的自动证明发挥了重要作用。
✧谓词逻辑是在命题逻辑的基础上发展起来的。
命题逻辑可看作是谓词逻辑的一种特殊形式。
（一）命题定义1能够分辨真假的语句称作命题定义2一个语句如果不能再进一步分解成更简单的语句，并且又是一个命题，则称此命题为原子命题。
说明：（1）原子命题是命题中最基本的单位，用P,Q,R,…..大写拉丁字母表示。
而命题的真与假分别用“T”与“F”表示。
命题代表人们进行思维时的一种判断，或者是真。
或者是假，只有这两种情况。
若命题的意义为真，则记为T。
若命题的意义为假，则记为F。
（2）一般情况下，只有陈述句才可能是命题，因为只有陈述句才能分辨真假。
如“太阳从西边升起”、“雪是白色的”等等都是陈述句，而其他的一些句子如疑问句、祈使句、感叹句等均不能分辨其真假。
象这样的没有真假意义的句子就不是命题。
（3）并不是所有的陈述句都是命题；例如，“这个句子是假的”。
显然无法判断该语句的真假，这个语句不是命题。
（4）在有些情况下，要判断一个陈述句的真假，是需要一定条件的，即该陈述句在一种条件下，其逻辑值为真，但在另一种条件下，其逻辑值为假。
比如，“1+1=10”。
（5）用大写字母表示的命题既可以是一个特定的命题，也可以是一个抽象命题。
前者称为命题常量，后者称为命题变量。
对于命题变量，只有把确定的命题代入后，它才可能有明确的逻辑值（T或F）。
（二）命题公式连接词：在日常生活中，可以通过连接词将一些简单的陈述句组成较为复杂的语句，称为复合句。
较复杂的定义。
～：称为“非”或“否定”。
其作用是否定位于它后面的命题。
当命题P为真时，～P为假；当P 为假时，～P为真。
∨：称为“析取”。
它表示被它连接的两个命题具有“或”关系。
归结原理是什么
归结原理是什么归结原理是一种思维方式和分析方法，它在各个学科领域都有着广泛的应用。
归结原理是指将一个复杂的问题或概念归结为更简单的基本要素，通过分解和归纳的过程来理解和解决问题。
在认知心理学、教育学、逻辑学等领域，归结原理都有着重要的地位和作用。
本文将从不同角度对归结原理进行深入探讨，以期更好地理解和应用这一原理。
首先，从认知心理学的角度来看，归结原理是人类认知过程中的一种重要思维方式。
人们在面对复杂的信息时，往往会倾向于将其简化为更易于理解和记忆的形式。
归结原理通过将复杂信息进行分解和归纳，帮助人们更好地理解和记忆知识。
例如，在学习数学定理时，我们常常会将复杂的证明过程归结为几个基本的推理步骤，从而更容易理解和掌握定理的本质。
其次，从教育学的角度来看，归结原理对教学和学习过程也有着重要的启发作用。
教师在教学过程中，可以运用归结原理帮助学生理清知识结构，将复杂的知识点归纳为简单易懂的规律和原理，从而提高学生的学习效果。
而学生在学习过程中，也可以通过归结原理来加深对知识的理解和记忆，提高学习效率。
例如，在学习语文时，我们可以将一篇文章的主题、结构和语言特点进行归纳总结，从而更好地把握文章的核心内容。
此外，从逻辑学的角度来看，归结原理是一种重要的思维方法。
在逻辑推理和论证过程中，归结原理可以帮助人们理清问题的逻辑结构，找出问题的核心和本质。
通过将复杂的问题进行归纳和分解，人们可以更好地进行逻辑推理和分析，从而得出正确的结论。
例如，在解决实际问题时，我们可以通过将问题进行归纳总结，找出其中的规律和相似之处，从而更好地解决问题。
综上所述，归结原理是一种重要的思维方式和分析方法，它在认知心理学、教育学、逻辑学等领域都有着广泛的应用。
通过将复杂的问题进行分解和归纳，人们可以更好地理解和解决问题，提高学习效果，进行逻辑推理和论证。
因此，我们应该在实际生活和学习中，运用归结原理来提高思维能力和解决问题的能力，从而更好地适应社会的发展和变化。
消解(归结)原理
消解（归结）原理
子句集中各子句间的关系是合取的关系，因此， 只要有一个子句是不可满足的，则子句集是不 可满足的。另外，我们在前面已经指出，空子 句是不可满足的，所以只要子句集中包含一个 空子句，则此子句集就一定是不可满足的。 Robinson的归结原理正是基于这一认识提出来 的，其基本思想是：检查子句集S中是否有空 子句，若有，则表明S是不可满足的；若没有， 就在子句集中选择合适的子句对其进行归结推 理，如果能推出空子句，则说明子句集S是不 可满足的。
(x)((~ P( x, f ( x)) (Q( x, g ( x)) ~ R( x, g ( x))))
（5）全称量词移到左边，由于只有一个全称量 词，已在左边，所以不移。 （6）将母式化为合取范式。
(x)((~ P( x, f ( x)) Q( x, g ( x))) ((~ P( x, f ( x)) ~ R( x, g ( x))))
谓词公式与子句集
然而，由于谓词公式千变万化，形形色色， 给谓词演算的研究带来一定的困难。为 此，这里先介绍两种谓词演算公式的标 准型，也就是范式；因而对谓词演算的 研究就可以归结为对范式的研究。
罗宾逊和归结原理
罗宾逊和归结原理1957年夏季，在塔尔斯基的号召下，一个逻辑学家的大聚会在康奈尔大学举行，会上数学家亚伯拉罕·罗宾逊（Abraham Robinson，数学和逻辑领域有好几个罗宾逊，且互有关联）指出，埃尔布朗（Herbrand）定理可以把一阶逻辑的问题转化为命题逻辑。
这激发了大家寻求统一高效的定理证明的实现方法。
英国人阿兰·罗宾逊（John Alan Robinson）1952年在剑桥得了古典学学位后来到美国，1956年在普林斯顿大学哲学系亨培尔（Carl Hempel）指导下得了博士，但他的实际导师是年轻的普特南。
有意思的是，罗宾逊在读博士时并不知道导师普特南正在和戴维斯合作研究机器定理证明。
罗宾逊毕业后先是到杜邦公司研究运筹学，1961年他谋得在赖斯大学（Rice）哲学系教逻辑的职位，但每年夏天还是到阿贡国家实验室做机器定理证明的研究。
后来他索性全职加入了刚成立的阿贡定理证明小组，一位同事是和他同姓的软件工程师乔治·罗宾逊，另一位就是随后成为阿贡定理证明小组的头儿的传奇人物、盲人数学家沃思（Larry Wos）。
事实上，是哲学家罗宾逊和码农罗宾逊用蒯因的入门教科书《逻辑方法》教会了数学家沃思逻辑。
阿兰·罗宾逊一开始的任务是实现DP（戴维斯-普特南）过程，这回还是用IBM 704，但此时已经有了高级语言Fortran。
在实现DP的过程中，他发现了对后来定理证明有长远且深刻影响的归结（resolution）原理。
有时，一个重大的发现或发明是在深刻体会已有工作的过程中自然出现的。
相关文章的发表却因为一名匿名审稿人的疏忽而耽搁，迟至1965年才公开发表在JACM 上。
阿兰·罗宾逊受到普拉格维茨工作的启发，拓展了普拉格维茨的原始合一算法，发明了归结原理。
以前的定理证明技术会用到很多规则，有了归结后，所有的证明推导只要有归结这一条规则就可以了。
据后来考证，归结方法在1937年就被布莱克（Archie Blake）在其关于布尔代数的博士论文中发现过，而蒯因在1955年简化布尔函数时也独立发明过。
高级数理逻辑第6讲
5.2 命题归结原理通过对公式表示形式的标准化，我们可以在这样标准化的形式上面对公式进行计算。
这种计算就是简单的加减计算。
从而可以实现到计算机上用程序来完成。
对于在标准形式上进行的公式演算，主要采用1965年Robinson 提出的归结原理来实现。
本小节首先来看看命题形式系统上的归结原理和归结方法。
5.2.1 归结定义我们知道在形式系统上的推理主要采用分离规则的方法：P ，P QQ我们将这个规则转化成子句集合：⎩⎨⎧∨⌝Q P P对于这个子句集合，根据分离规则可以得到公式Q 。
而Q 得到可以看作是以上两个子句中，将P P ⌝,合并得结果。
根据主要的特性，我们给出归结原理的定义如下：1、二元归结：21,C C 为分别为FSPC 中，含有互补文字的子句，L 1= ⌝L 2那么下面推理称为二元归结：C 1 , C 2)()(2211L C L C -∨-A1vA2vA3, ~A1vB1, ~B1,~A2,~A3 :::A2vA3vB1:::A2vA3 ::A3 :: 0其中，称C 1 , C 2为归结母式，)()(2211L C L C -∨-为归结结果，L 1L 2为归结基。
PvRvQ Pv~RvB :: PvQvB如果赋值f 使得f(c1)=1,且f(c2)=1.例如：在子句集 Q R P C ∨∨⌝=1 1)()(1=∨∨⌝=Q R P f C fQ P C ⌝∨=2 1)()(2=⌝∨=Q P f C f进行归结。
1、以P ，⌝P 为归结基Q Q R ⌝∨∨1{C1,C2,C3,C4,D1}A1,A2,A3,{C11,C12, C21,C22,C23, C3, D1,D2}-- 口2、以Q, ⌝Q 为归结基P R P ∨∨⌝ 1~P, P; 02、空子句：不含有任何文字的子句，称为空子句，记做口。
3、归结原理：设S 为一子句集，称C 是S 的归结结果，如果存在子句序列C 1……L C (=C),使C k (k=1……L)或者是S 中的子句，或者是C i ，C j 的归结结果（i,j<k ）；该序列称为由S 推导出C 的归结序列；当C 为空子句时，该序列是S 的一个否证。
归结原理
例2-11 求F={P(a, x, f(g(y))), P(z, f(z), f(u))}的最一般合一。 解： k=0：F0=F, σ0=ε F0不是单一元素集，有D0={a, z} 其中a是常量项，不包含z，所以有 σ1=σ0 o {a/z}=ε{a/z}={a/z} F1=F0{a/z}={P(a, x, f(g(y))), P(a, f(a), f(u))} k=1：F1不是单一元素集，有D1={x, f(a)}，则 σ2=σ1 o {f (a)/x}={a/z, f(a)/x} F2=F1{f(a)/x}={P(a, f(a), f(g(y))), P(a, f(a), f(u))} k=2：F2不是单一元素集，有D2={g(y), u}，则 σ3=σ2 o {g(y)/u}={a/z, f(a)/x, g(y)/u} F3=F2{g(y)/u}={P(a, f(a), f(g(y)))} k=3：F3已是单一元素集，所以 σ3={a/z, f (a)/x, g (y)/u} o 就是公式集F的最一般合一。
o
o
定义2-32 子句C1和C2的归结式是下列 定义 二元归结式之一： （1）C1与C2的二元归结式 （2）C1与C2的因子的二元归结式 （3）C1的因子与C2的二元归结式 （4）C1的因子与C2的因子的二元归结式
例如，有两个子句 C1=P(x)∨P(f(y))∨R(g(y)) C2= ～ P(f(g(a)))∨Q(b)) （1）子句C1中有可合一的文字 {P(x) ,P(f(y))} ， 它们的最一般合一是σ1={f(y)/x} C1的因子是C1σ1 =P(f(y))∨R(g(y)) , C （2）又由于P(f(y))和～ P(f(g(a)))是可合一的文字，它们的最 一般合一是θ={g(a)/y} 所以C1σ1和C2有二元归结式R(g(g(a))) ∨ Q(b) 它就是C1和C2的归结式。
数学分析中的归结原理及其应用
则
可用反证法推出 lim x→ x0
f (x) = A .
事实上,
倘若当 x → x0 时
f
不以 A 为极限,
则
存在 ε 0 > 0 , 对任何δ > 0 (无论多么小)总存在一点 x , 尽管 0 < x − x0 < δ , 但
有 f (x) − A ≥ ε0 .
现依次取 δ
=
δ
′,
δ′ 2
,
δ′ 3
f
(xn )
≠
A ，矛盾！
证明：(3)必要性 设 lim f (x) = A 对 ∀ε > 0, ∃M > 0 ，使得当 x > M 时，有 x→∞
f (x) − A < ε ，另一方面，设 xn → ∞(n → ∞) ，则对上述 M > 0, ∃N > 0 ，使得当
n > N 时，必有 x0
> M ，从而有
lim
x → x0
f
(x)
=
A
⇔
对任何以
x0
为极限的数列 {xn} ，
xn
≠
x0
，总有
lim
x→∞
f
(xn )
=
A
3
2）从归结原理可以得到证明 lim f (x) 不存在的方法： x → x0
(1)
∃{xn },
xn
→
x0 ,
n → ∞ ，使 lim n→∞
f (xn ) 不存在；
(2)
∃{xn '}, {xn "} xn '→ x0 ， xn "→ x0 , n → ∞ .
f
(x0 )
简述归结原理前提假设条件
简述归结原理前提假设条件归结原理是一种推断技术，它可以帮助人们推断某种结论或结果是否是正确的，并可以根据它来判断事物是否具有一定的可信度和准确性。
归结原理的前提假设条件通常指的是一个或多个论点所基于的通用真理，它们必须得到满足才能保证论据的有效性，进而加强我们的推理结论的正确性。
首先，归结原理的前提假设条件是，推断的结论必须有充分的根据。
即，在用来支持某种结论的论点之中，它们之间必须有一定的相互关联性，而这种关联性可以在一定程度上保证论点的正确性。
例如，如果一个推理结论是“某种行为会带来不良后果”，那么在支撑这个结论的论点之中，必须有一些论点能够证明“这种行为会导致不良后果”。
其次，归结原理的前提假设条件是，基础必须是共同的真理。
即，在对事物进行推理分析时，必须充分了解当前问题的所有论点，并且这些论点是以共同的真理作为基础的，这样才能有助于更好地理解问题并形成更准确的结论。
例如，如果一个推理结论是“金钱能够购买快乐”，那么在支持这一结论的论点之中，必须有一定的共同真理，比如“拥有物质财富可以使人拥有更多机会”，“有金钱可以买到一些快乐的东西”等等。
最后，归结原理的前提假设条件是，推断的结论必须能够包含在论据中。
即，推断的结论必须能够从用来支持它的论据中的逻辑实质中得出，也就是说，在用来支撑结论的论点之中，必须能够把该结论包含进去。
例如，如果一个推理结论是“由于贫穷，某种行为会导致不良影响”，那么在支撑这一结论的论点之中，必须有论点能够证明“贫穷可能会导致某种行为，从而引发不良影响”。
以上是归结原理的前提假设条件。
显然，归结原理的前提假设条件不仅可以帮助人们更加准确地推断出正确的结论，还可以为论证的有效性和准确性提供有力的支持。
最后，需要强调的是，在推理过程中，假设条件的重要性不可低估，仅有良好的前提条件才能保障论证的正确性和有效性。
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(PQ) (PR)P ( P R) (Q P)( QR)
因为(P(QR)) ((PQ) (PR))的合取范式 计算机学院 (PQ) (PR)P ( P R) (Q P)( QR) 所以子句集合 Ω={ P,PQ, PQ, PR ,PR , QR}。
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机械式方法
若证明Q1,…,Qn|=R，只要证明Q1…QnR 不可满足。 机械式证明：
• 公式Q1…QnR的合取范式； • 合取范式的所有简单析取范式，即Ω； • 证明Ω不可满足
则有Q1,…,Qn|=R。
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机械式地证明Ω不可满足是关键问题
Q1=q
Q2=q Q3=□
Q1Ω
Q2Ω
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因此，Q1, Q2,Q3是反驳.
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(3).根据命题逻辑紧致性定理，若子句集合Ω 不可满足，则有有穷子句集合Ω0，Ω0Ω，使 得Ω0是不可满足的。
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若有穷子句集合Ω0是不可满足的，则Ω0中的子句必 出现相反文字。 假设有穷子句集合Ω0是不可满足的，且Ω0中的子句 不出现相反文字，那么，对于Ω0中子句的每个文字 qk，有赋值函数σ使得σ(qk)=1，因此，σ(Ω0)=1，Ω0是 可满足的，这样与Ω0是不可满足的相矛盾。
(2).若Ω|=Qi，Ω|=Qj并且Qk是Qi, Qj的归结子句，则 Qi, Qj|=Qk。因此，Ω|=Qk。
(3).因为Qn=□，所以有Qn-1和Qk是相反文字，不妨设 是q和q。 计算机学院 因此，Ω|=q，Ω|=q。Ω|=qq，Ω不可满足。
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又证：设子句集合Ω是不可满足的。 (1).不妨设子句集合Ω不含永真式。因为从Ω中去掉永真 式不改变Ω的不可满足性。 (2).若Ω含有相反文字，不妨设是q，则
归结法原理
马殿富 北航计算机学院 dfma@ 2012-4
主要内容
机械证明简介
命题逻辑归结法
谓词逻辑归结法
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2
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自动推理早期的工作主要集中在机器定理证明。 机械定理证明的中心问题是寻找判定公式是否是有效的 通用程序。 对命题逻辑公式，由于解释的个数是有限的，总可以建 立一个通用判定程序，使得在有限时间内判定出一个公 式是有效的或是无效的。 对一阶逻辑公式，其解释的个数通常是任意多个，丘奇 （A.Church）和图灵（A.M.Turing）在1936年证明了不存 计算机学院 在判定公式是否有效的通用程序。
计பைடு நூலகம்机学院
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Q1= PQ Q2=PQ Q3=□
Q1Ω Q2Ω Q3= (Q1-P-Q) (Q2-P-Q) 分配律
P(QR)├ (PQ) (PR)
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例题：PQR├(PR) (QR) 证明： (PQR) ((PR) (QR)) (( PQ) R) (PRQR)
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例题：P(QR)├ (PQ) (PR) (P(QR)) ((PQ) (PR)) (P(QR)) ((PQ) (PR))
分配律
(PQ) (PR))( P (PR)) (Q (PR))
• 如果一阶逻辑公式是有效的，则存在通用程序可以验证它 是有效的 • 对于无效的公式这种通用程序一般不能终止。 计算机学院
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1930年希尔伯特（Herbrand）为定理证明建立了一种重 要方法，他的方法奠定了机械定理证明的基础。 开创性的工作是赫伯特〃西蒙（H. A. Simon）和艾伦〃 纽威尔（A. Newel）的 Logic Theorist。 机械定理证明的主要突破是1965年由鲁宾逊（ J.A.Robinson）做出的，他建立了所谓归结原理，使机械 定理证明达到了应用阶段。 归结法推理规则简单, 而且在逻辑上是完备的, 因而成为 计算机学院 逻辑式程序设计语言Prolog的计算模型。
计算机学院 10 计算机学院
10
定理：如果子句Q是Q1, Q2的归结子句，则Q1, Q2|=Q 证明： 设Q1=pq1…qn，Q2=pr1…rm。
赋值函数σ(Q1)=1，即σ(pq1…qn)=1， σ(p) σ(q1…qn)=1.
赋值函数σ(Q2)=1，即σ(pr1…rm)=1， 计算机学院 σ(p) σ(r1…rm)=1. 有σ(q1…qn r1…rm)=1，即σ(Q)=1。 证毕
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反驳
定义：设Ω是子句集合，如果子句序列 Q1,…,Qn满足如下条件，则称子句序列 Q1,…,Qn为子句集合Ω的一个反驳。 (1).对于每个1≤k<n，QkΩ
• Qk是Qi和Qj的归结子句，i<k，j<k。
(2). Qn是□。
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例题：(QR)Q├Q 证明：
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主要内容
机械证明简介
命题逻辑归结法
谓词逻辑归结法
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基本原理
Q1,…,Qn|=R，当且仅当Q1…QnR不可满足
证明Q1,…,Qn|=R
• (1). Q1…QnR化为合取范式； • (2). 构建Ω子句集合，Ω为Q1…QnR合取范式 的所有简单析取范式组成集合； • (3).若Ω不可满足，则Q1,…,Qn|=R。
皮尔斯律
因为((QR)Q)Q的合取范式Q(RQ)Q，所以 子句集合Ω={Q, RQ, Q}
Q1 = Q
Q2= Q Q3=□
Q1Ω
Q2Ω Q3= (Q1-Q) (Q2-Q)
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定理：子句集合Ω是不可满足的当且仅当存在Ω的反 驳。 证明：设为Q1,…,Qn是反驳。 (1).若QkΩ，Ω|=Qk.
σ'(qPi)=1，其中，qPiΩq
σ'(qQj)=1，其中，qQiΩq σ'(Rk)=1，其中，RkΩC 若Ω1是可满足的，则有σ'，使得σ'(Ω0)=1，这样就产生了 矛盾，所以，Ω1是不可满足的。
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因此，Ω1有n-1个命题变元并且Ω1是不可满足的。 对于所有的n进行处理获得Ωn，必有反驳，否则必有Ωn 可满足，进而有Ω0可满足。 证毕
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子句与空子句
定义：原子公式及其否定称为文字(literals)； 文字的简单析取范式称为子句，不包含文字 的子句称为空子句，记为□。 例如
• p、q、r和s都是文字 • 简单析取式pqrs是子句
–字p、q、r和s
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• 因为pqrs不是简单析取范式，所以 pqrs不是子句。
Ω1 =ΩCΩR
Ω1有n-1个命题变元。 若有rΩ1并且rΩ1，则存在反驳。
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若Ωq Ωq ΩC 不可满足，则Ω1 =ΩCΩR不可满足。 若Ω1是可满足的，则有赋值函数σ，使得σ(Ω1)=1。 如果σ(Pi)=1，i=1,...,m1，那么有σ'(q)=0，而其他命题变元 r有σ'(r)=σ(r)。 σ'(qPi)=1，其中，qPiΩq σ'(qQj)=1，其中，qQjΩq σ'(Rk)=1，其中，RkΩC
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设Ω0有n种相反文字，有相反文字q和q ，Ω0中的子句分为三类， • 一类是有文字q的子句， • 另一类是有文字q的子句， • 再一类是没有文字q和q的子句
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Ωq ={ qPk| qPkΩ}，Ωq ={qQk| qQkΩ}， ΩC=Ω-Ωq-Ωq |Ωq |=m1，|Ωq |=m2，|ΩC|=m3。 ΩR={ Pi Qj| qPiΩq, qQjΩq}
(PQR) PQR
因为(PQR)((PR)(QR))的合取范式 计算机学院 (PQR) PQR 所以子句集合 Ω={P,Q, R ,PQR }
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Q1=PQR Q2=P Q3=QR Q4=Q
Q1Ω Q3= (Q1-P) (Q2-P) Q4Ω
Q2Ω
Q5=R
Q6=R Q7=□ 证毕
Q5= (Q3-Q) (Q4-Q)
Q6Ω Q7= (Q5-R) (Q6-R) 计算机学院
因此PQR├(PR) (QR)
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定义：设Q是简单析取范式，q是Q的文字，在Q中 去掉文字q，记为Q-q。 例如，Q是子句pqrs，Q - q是简单析取范式 p rs。
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归结子句
定义：设Q1,Q2是子句，q1和q2是相反文字，并且在子句 Q1和Q2中出现，称子句(Q1-q1)(Q2-q2)为Q1和Q2的归结 子句。 例如，Q1是子句pqr，Q2是子句pqws，q和q 是相反文字，子句prws是Q1和Q2的归结子句。 例如，Q1是子句q，Q2是子句q，q和q是相反文字， 子句□是Q1和Q2的归结子句。 例如，Q1是子句pqr，Q2是子句pws，在子句Q1 和Q2中没有相反文字出现，子句Q1Q2，即 pqrws不是Q1和Q2的归结子句。
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因此，若Ω1是可满足的，则有σ'，使得σ'(Ω0)=1，这样就 产生了矛盾，所以，Ω1是不可满足的。