数理逻辑归结法原理

可满足，进而有Ω0可满足。 ▪ 证毕
计算机学院
计算机学院
21
21
▪ 例题：P(QR)├ (PQ) (PR) 分配律 ▪ (P(QR)) ((PQ) (PR)) ▪ (P(QR)) ((PQ) (PR)) ▪ (PQ) (PR))( P (PR)) (Q (PR)) ▪ (PQ) (PR)P ( P R) (Q P)( QR)
计算机学院
计算机学院
16
16
▪ 设Ω0有n种相反文字，有相反文字q和q ，Ω0中的子句分为三类， 一类是有文字q的子句， 另一类是有文字q的子句， 再一类是没有文字q和q的子句
计算机学院
计算机学院
17
17
▪ Ωq ={ qPk| qPkΩ}，Ωq ={qQk| qQkΩ}， ΩC=Ω-Ωq-Ωq
产生了矛盾，所以，Ω1是不可满足的。
计算机学院
19
19
▪ 如果σ(Pi)=0，i≤m1，则有Pi QjΩ1，j=1,…,m2。 ▪ 因为σ(Ω1)=1，所以有σ(Pi Qj)=1，即σ(Qj)=1，j=1,…,m2
。
▪ 设σ'(q)=1，而其他命题变元r有σ'(r)=σ(r)。
▪ σ'(qPi)=1，其中，qPiΩq
的所有简单析取范式组成集合； (3).若Ω不可满足，则Q1,…,Qn|=R。
计算机学院
计算机学院
5
5
机械式方法
▪ 若证明Q1,…,Qn|=R，只要证明Q1…QnR 不可满足。
▪ 机械式证明：
公式Q1…QnR的合取范式； 合取范式的所有简单析取范式，即Ω；
证明Ω不可满足
▪ 则有Q1,…,Qn|=R。
计算机学院
13
13
▪ 又证：设子句集合Ω是不可满足的。
▪ (1).不妨设子句集合Ω不含永真式。因为从Ω中去掉永真 式不改变Ω的不可满足性。
▪ (2).若Ω含有相反文字，不妨设是q，则
▪ Q1=q
Q1Ω
▪ Q2=q
Q2Ω
▪ Q3=□
▪ 因此，Q1, Q2,Q3是反驳.
计算机学院
计算机学院
14
14
计算机学院
9
9
▪ 定理：如果子句Q是Q1, Q2的归结子句，则Q1, Q2|=Q ▪ 证明： ▪ 设Q1=pq1…qn，Q2=pr1…rm。 ▪
▪ 赋值函数σ(Q1)=1，即σ(pq1…qn)=1， σ(p) σ(q1…qn)=1.
▪ 赋 σ值(p)函 数σ(rσ1(Q…2)=r1m，)=即1.σ(pr1…计r算m)机=1学，院 ▪ 有σ(q1…qn r1…rm)=1，即σ(Q)=1。 ▪ 证毕
▪ 若Ω1是可满足的，则有赋值函数σ，使得σ(Ω1)=1。 ▪ 如果σ(Pi)=1，i=1,...,m1，那么有σ'(q)=0，而其他命题变元
r有σ'(r)=σ(r)。
▪ σ'(qPi)=1，其中，qPiΩq ▪ σ'(qQj)=1，其中，qQjΩq计算机学院 ▪ σ'(Rk)=1，其中，RkΩC ▪ 因此，若Ω1是可满足的，则有σ'，使得σ'(Ω0)=1，这样就
▪ 因为(P(QR)) ((PQ) (P计R算))的机合学取院范式 (PQ) (PR)P ( P R) (Q P)( QR)
▪ 所以子句集合 Ω={ P,PQ, PQ, PR ,PR , QR}。
计算机学院
22
22
▪ Q1= PQ
皮尔斯律
▪ 证明：
▪ 因为((QR)Q)Q的合取范式Q(RQ)Q，所以 子句集合Ω={Q, RQ, Q}
▪ Q1= Q ▪ Q2= Q ▪ Q3=□
Q1Ω Q2Ω Q3= (Q1-Q) (Q2-计Q算) 机学院
计算机学院
12
12
▪ 定理：子句集合Ω是不可满足的当且仅当存在Ω的反 驳。
▪ (3).根据命题逻辑紧致性定理，若子句集合Ω 不可满足，则有有穷子句集合Ω0，Ω0Ω，使 得Ω0是不可满足的。
计算机学院
计算机学院
15
15
▪ 若有穷子句集合Ω0是不可满足的，则Ω0中的子句必 出现相反文字。
▪ 假设有穷子句集合Ω0是不可满足的，且Ω0中的子句 不出现相反文字，那么，对于Ω0中子句的每个文字 qk，有赋值函数σ使得σ(qk)=1，因此，σ(Ω0)=1，Ω0是 可满足的，这样与Ω0是不可满足的相矛盾。
▪ 例如，Q1是子句pqr，Q2是子句pqws，q和q 是相反文字，子句prws是Q1和Q2的归结子句。
▪ 例如，Q1是子句q，Q2是子句q，q和q是相反文字， 子句□是Q1和Q2的归结子句。 计算机学院
▪ 例如，Q1是子句pqr，Q2是子句pws，在子句Q1 和Q2中没有相反文字出现，子句Q1Q2，即 pqrws不是Q1和Q2的归结子句。
▪ |Ωq |=m1，|Ωq |=m2，|ΩC|=m3。 ▪ ΩR={ Pi Qj| qPiΩq, qQjΩq} ▪ Ω1 =ΩCΩR ▪ Ω1有n-1个命题变元。 ▪ 若有rΩ1并且rΩ1，则存在反驳计。算机学院
计算机学院
18
18
▪ 若Ωq Ωq ΩC 不可满足，则Ω1 =ΩCΩR不可满足。
▪ 开创性的工作是赫伯特·西蒙（H. A. Simon）和艾伦· 纽威尔（A. Newel）的 Logic Theorist。
▪ 机械定理证明的主要突破是1965年由鲁宾逊（ J.A.Robinson）做出的，他建立了所谓归结原理，使机械 定理证明达到了应用阶段。
▪ 归结法推理规则简单, 而且在逻辑上是完备的, 因而成为 逻辑式程序设计语言Prolog的计算计模算型机。学院
▪ 因为(PQR)((PR)(QR)计)的算合机取学范院式 (PQR) PQR
▪ 所以子句集合 Ω={P,Q, R ,PQR }
计算机学院
24
24
▪ Q1=PQR Q1Ω
▪ Q2=P
Q2Ω
▪ Q3=QR
Q3= (Q1-P) (Q2-P)
▪ Q4=Q
Q4Ω
▪ Q5=R
Q5= (Q3-Q) (Q4-Q)
▪ Q6=R
Q6Ω
▪ Q7=□
Q7= (Q5-R) (Q6-计R算)机学院
▪ 因此PQR├(PR) (QR)
▪ 证毕
计算机学院
25
25
Q1Ω
▪ Q2=PQ
Q2Ω
▪ Q3=□
Q3= (Q1-P-Q) (Q2-P-Q)
▪ P(QR)├ (PQ) (PR) 分配律
计算机学院
计算机学院
23
23
▪ 例题：PQR├(PR) (QR) ▪ 证明： ▪ (PQR) ((PR) (QR)) ▪ (( PQ) R) (PRQR) ▪ (PQR) PQR
▪ 对一阶逻辑公式，其解释的个数通常是任意多个，丘奇 （A.Church）和图灵（A.M.Turing）在1936年证明了不存 在判定公式是否有效的通用程序。计算机学院
如果一阶逻辑公式是有效的，则存在通用程序可以验证它 是有效的
对于无效的公式这种通用程序一般不能终止。
计算机学院
2
2
▪ 1930年希尔伯特（Herbrand）为定理证明建立了一种重 要方法，他的方法奠定了机械定理证明的基础。
计算机学院
10
10
反驳
▪ 定义：设Ω是子句集合，如果子句序列 Q1,…,Qn满足如下条件，则称子句序列 Q1,…,Qn为子句集合Ω的一个反驳。
▪ (1).对于每个1≤k<n，QkΩ
Qk是Qi和Qj的归结子句，i<k，j<k。
▪ (2). Qn是□。
计算机学院
计算机学院
11
11
▪ 例题：(QR)Q├Q
▪ 证明：设为Q1,…,Qn是反驳。
▪ (1).若QkΩ，Ω|=Qk.
▪ (2).若Ω|=Qi，Ω|=Qj并且Qk是Qi, Qj的归结子句，则 Qi, Qj|=Qk。因此，Ω|=Qk。
▪ (3).因为Qn=□，所以有Qn-1和Qk是相反文字，不妨设
是q和q。
计算机学院
▪ 因此，Ω|=q，Ω|=q。Ω|=qq，Ω不可满足。
计算机学院
3
3
主要内容
▪ 机械证明简介 ▪ 命题逻辑归结法 ▪ 谓词逻辑归结法
计算机学院
计算机学院
4
4
基本原理
▪ Q1,…,Qn|=R，当且仅当Q1…QnR不可满足 ▪ 证明Q1,…,Qn|=R
(1). Q1…QnR化为合取范式； (2). 构建Ω子句集合，Ω为Q1…QnR合取范式
主要内容
▪ 机械证明简介 ▪ 命题逻辑归结法 ▪ 谓词逻辑归结法
计算机学院
计算机学院
1
1
▪ 自动推理早期的工作主要集中在机器定理证明。
▪ 机械定理证明的中心问题是寻找判定公式是否是有效的 通用程序。
▪ 对命题逻辑公式，由于解释的个数是有限的，总可以建 立一个通用判定程序，使得在有限时间内判定出一个公 式是有效的或是无效的。
▪ σ'(qQj)=1，其中，qQiΩq
▪ σ'(Rk)=1，其中，RkΩC
计算ຫໍສະໝຸດ Baidu学院
▪ 若Ω1是可满足的，则有σ'，使得σ'(Ω0)=1，这样就产生了
矛盾，所以，Ω1是不可满足的。
计算机学院
20
20
▪ 因此，Ω1有n-1个命题变元并且Ω1是不可满足的。 ▪ 对于所有的n进行处理获得Ωn，必有反驳，否则必有Ωn
计算机学院
▪ 机械式地证明Ω不可满足是关键问题
计算机学院
6
6
子句与空子句
▪ 定义：原子公式及其否定称为文字(literals)； 文字的简单析取范式称为子句，不包含文字 的子句称为空子句，记为□。
▪ 例如
p、q、r和s都是文字
简单析取式pqrs是子句
字p、q、r和s
计算机学院
因为pqrs不是简单析取范式，所以 pqrs不是子句。
计算机学院
7
7
▪ 定义：设Q是简单析取范式，q是Q的文字，在Q中 去掉文字q，记为Q-q。
▪ 例如，Q是子句pqrs，Q - q是简单析取范式 p rs。
计算机学院
计算机学院
8
8
归结子句
▪ 定义：设Q1,Q2是子句，q1和q2是相反文字，并且在子句 Q1和Q2中出现，称子句(Q1-q1)(Q2-q2)为Q1和Q2的归结 子句。