数理逻辑归结法原理
归结原则定义
归结原则定义归结原则是一种思考和推理的方法，用于将复杂问题或命题分解为更简单、更易于理解的部分。
它是一种逻辑推理的基本原则，通过将问题或命题归结为更小、更具体的部分，以便更好地理解和解决问题。
归结原则可以应用于各种学科和领域，包括数学、逻辑学、哲学、计算机科学等。
它在问题求解、论证和推理过程中起着重要作用。
归结原则的基本思想归结原则的基本思想是将一个复杂的问题或命题分解为更小、更具体的部分，以便更好地理解和解决。
通过将问题或命题分解为可处理的部分，我们可以更系统地进行思考和推理，并找到问题的根源。
归结原则强调了从整体到部分的思考方式。
通过将整个问题或命题细化为若干个子问题或子命题，我们可以逐步地进行思考和推理，并最终得出全面且准确的结论。
归结原则在数学中的应用在数学中，归结原则被广泛应用于证明定理和解决问题。
通过将一个复杂的证明或问题分解为更简单的部分，数学家可以更系统地进行思考和推理，并最终得出结论。
例如，在证明一个定理时，数学家通常会将整个证明分解为若干个步骤或子命题。
然后，他们可以逐步地证明每个子命题，并最终得出整个定理的证明。
归结原则也可以用于解决复杂的数学问题。
通过将一个复杂的问题分解为若干个子问题，我们可以逐步地解决每个子问题，并最终得出整个问题的解答。
归结原则在逻辑学中的应用在逻辑学中，归结原则被用于推理和论证。
通过将一个复杂的命题或论证分解为更简单、更具体的部分，我们可以更好地理解和评估其合理性。
归结原则在逻辑推理中起着重要作用。
通过将一个复杂的命题分解为若干个子命题，我们可以逐步地进行推理，并最终得出整个命题的真假。
例如，在判断一个复杂命题是否成立时，我们可以先将其分解为若干个子命题。
然后，我们可以逐一判断每个子命题是否成立，并根据这些判断来推断整个命题是否成立。
归结原则还可以用于逻辑论证。
通过将一个复杂的论证分解为若干个步骤或子论证，我们可以更系统地进行推理，并最终得出整个论证的合理性。
数理逻辑的基本原理与构建方法
数理逻辑的基本原理与构建方法数理逻辑是一门研究数学推理与逻辑推理的学科，它探究了思维活动和命题推理的本质。
在这篇文章中，我们将介绍数理逻辑的基本原理和构建方法，以帮助读者更好地理解和运用数理逻辑。
一、数理逻辑的基本原理1. 命题逻辑命题逻辑是数理逻辑中的基础，它研究命题之间的逻辑关系。
在命题逻辑中，命题是指可以判断真假的陈述句。
它有以下几种基本运算：（1）合取：表示“且”的关系，记作∧；（2）析取：表示“或”的关系，记作∨；（3）非：表示“非”的关系，记作 ¬；（4）蕴含：表示“如果...那么...”的关系，记作→。
2. 谓词逻辑谓词逻辑是对命题逻辑的扩展和推广，它引入了谓词和量词的概念。
谓词是指含有变量的陈述句，而量词则用来表示命题的范围。
谓词逻辑有以下几种基本运算：（1）全称量词：表示“对于所有”的关系，记作∀；（2）存在量词：表示“存在某个”的关系，记作∃。
二、数理逻辑的构建方法1. 具体化问题在进行数理逻辑推理时，首先要将问题具体化，将含糊不清的概念和语句转化为明确的命题和符号。
通过具体化问题，我们可以清晰地定义问题，从而进行逻辑推理。
2. 构建命题和谓词在数理逻辑中，我们需要构建命题和谓词来对问题进行描述。
命题可以是真假判断的陈述句，而谓词则包含有变量的陈述句。
通过构建命题和谓词，我们可以形成具体的逻辑表达式。
3. 表示逻辑关系数理逻辑的关键在于表示逻辑关系，即通过逻辑运算符和量词来表达不同的逻辑关系。
我们可以利用逻辑符号来表示合取、析取、非、蕴含等关系，以及利用量词来表示全称量词和存在量词等关系。
4. 进行推理一旦我们构建了命题和谓词，并表示了逻辑关系，就可以进行逻辑推理了。
逻辑推理是基于已知条件和逻辑规则，通过演绎或归纳的方式得出结论。
通过合理运用数理逻辑的原理和方法，我们可以推理出符合逻辑规律的结论。
总结：数理逻辑是一门研究数学推理与逻辑推理的学科，通过命题逻辑和谓词逻辑的基本原理与构建方法，我们可以更好地理解和应用数理逻辑。
人工智能第6章 谓词逻辑与归结原理
• 当量词仅对谓词的个体（变量）起限定作用，即谓词名视
为常量时，称其为一阶谓词（First Order Predication
Logic ）.
• 若量词对个体和谓词都有限定作用时，称其为高阶谓词。 – 例如： Qy Q(y) 是二阶谓词； xyP( x, y) 是一阶谓词。 • 通常我们约定连接词和量词的优先级为：~, , 最高； 次
–连接 词： –量词：
全称量词
~ 否定（非）； 合取（与）； 析取（或）； 蕴涵（IF......TH EN）； 等价（双条件）
表示所有的，例如，对于所有个体x， 谓词F（x）均成立时，可表示为 x F ( x ) 表示存在某一些，例如，若存在某些个体x， 使谓词F（x）成立时，可表示为 x F ( x )
由于事先不知道哪两个子句可以进行归结更不知道通过对哪些子句对的归结可以尽快地得到空子句因而必须对子句集中的所有子句逐对地进行比较对任何一对可归结的子句对都进行归结这样的效率是很低的
第六章 谓词逻辑与归结原理
• 6.1 一阶谓词逻辑基础 • 6.2 归结法（消解Resolution） • 6.3 归结反演系统
4. 若A是合式公式，x是个体变量，则x（A）、
x（A）是合式公式。
•
所有合式公式都是有限次应用规则1~4得到的。
（1）谓词公式的解释
• 在应用谓词逻辑解决问题时，必须对谓词公式进行解释，即 人为地给谓词公式指派语义。
• 一阶谓词公式P的解释可有多种，其中一些解释可使P为真，
而另一些解释则可使P为假。
• 推理过程：反复使用谓词演算的基本等价式及推理规则， 对已知谓词公式进行变换，得到所需逻辑结论的过程。
6.1.6 谓词公式的规范化
为了方便使用WFF进行定理证明和逻辑推理，需要把 WFF变换为便于使用的规范形式，称为WFF范式。典型的 范式包括：前束范式，SKOLEM范式。
2基本的推理方法(归结反演系统)
将下列谓词演算公式转化为子句集。
(x){ P（x） {（ y）[ P（y） P(f(x,y))] [Q(x,g(x)) P(g(x))]}} x y { P（x） { [ P（y） P(f(x,y))] [Q(x,g(x)) P(g(x))]}} x y {[ P（x） [ P（y） P(f(x,y))]] [ P（x） [Q(x,g(x)) P(g(x))]} [ P（x） P（y） P(f(x,y))] [ P（x） Q(x,g(x)) ] [ P（x） P(g(x))] P（x） P（y） P(f(x,y)), P（w） Q(w,g(w)) , P（z） P(g(z))
3、基本的推理方法
经典推理－－－归结反演
如果存在量词不在任何一个全称量词辖域中，则该存在量词就不依赖于任何其他的变 量，因此可用一个常量代替，该常量应是原合式公式中没有的符号，因此有 （x）P(x) P(A) 根据以上所述，上例Skolem化的结果为 （x）{[P(x) Q(x)] [S(x,f(x))Q(x)]} （w）[P(w) B(w)] 5)将公式化为前束形。所谓前束形，就是把所有的全称量词都移到公式的前部，由于 公式中已无存在量词，且所有的全称量词的约束变量完全不同，因此可以把所有的全 称量词放在公式前面，使每个量词的辖域都包括公式后面的整个部分。前束形的公式 就由全称量词串组成的前缀和称为母式的无量词公式组成。上例的前束形为 （x）（w）{{[P(x) Q(x) ] [S(x,f(x)) Q(x)]} [P(w) B(w)]}
3、基本的推理方法
经典推就是子句的合取式，可以反复应用合式公式的分配 律实现从任一母式向合取范式的转换： X1（X2X3）（X1 X2）（ X1 X3）、X1（X2 X3）（X1 X2） （X1X3） 上例可转化为：（x）（w）{[P(x) S(x,f(x))]Q(x) [P(w) B(w)]} 7)略去全称量词。由于公式中所有的变量都是全称量词量化的变量，因此可以把全称 量词省去，母式中的变量仍然认为是全称量词量化的变量。 8)把母式用子句集表示，即把子句的合取表示为子句的集合，意义不变。上例的子句 形式可以表示为 p(x) S(x,f(x)) Q(x) P(w) B(w)
命题逻辑归结法
命题逻辑归结法是一种用于判断命题之间是否逻辑等价的推理方法。
具体来说，它是通过将两个命题的否定命题应用于彼此的逻辑项，来判断它们是否可以转化为同一命题。
其基本步骤如下：
1.确定待判断的两个命题P和Q。
2.将命题P和Q转化为合取范式或析取范式。
3.对P和Q的合取范式或析取范式中的逻辑项进行编号，以区分
不同的逻辑项。
4.构造一个包含P和Q的集合S，并将S的否定命题取出，形成
一个新的集合S'。
5.遍历S和S'中的所有逻辑项，如果存在两个逻辑项分别出现在
S和S'中，且它们的逻辑关系相反，则将这两个逻辑项从S和
S'中删除，并加入一个新的逻辑项，该逻辑项是这两个逻辑项
的剩余部分。
6.重复步骤5，直到S和S'中不存在相同的逻辑项或者无法再进
行归结。
7.若最终S和S'中均不包含任何逻辑项，则P和Q是逻辑等价
的；否则，它们不是逻辑等价的。
命题逻辑归结法是一种常用的推理方法，它可以应用于计算机科学、人工智能、自然语言处理等领域。
数理逻辑的基本原理与推理方法
数理逻辑的基本原理与推理方法数理逻辑是一门研究命题、谓词、推理和证明的学科。
它利用符号和数学方法来描述、分析和判断一系列命题之间的关系。
在数理逻辑中，有一些基本的原理和推理方法，可以帮助我们理解和解决问题。
本文将探讨数理逻辑的基本原理和推理方法，以便读者能够更好地理解和运用数理逻辑。
数理逻辑的基本原理包括命题逻辑和谓词逻辑。
命题逻辑是最基本的逻辑系统，研究命题之间的逻辑关系。
一个命题是能够判断真假的陈述句。
在命题逻辑中，我们用符号来表示命题，如P、Q和R。
符号“∧”表示命题的合取（与）、符号“∨”表示命题的析取（或）、符号“→”表示条件（蕴含）以及符号“¬”表示否定。
这些符号可以帮助我们构建命题之间的复合命题，并进行逻辑推理。
在命题逻辑中，有一些基本的推理方法可以帮助我们根据已知命题推导出新的命题。
其中包括析取三段论、假言三段论、摩尔根定律等。
析取三段论是指如果一个命题是两个已知命题的析取，那么这个命题也成立。
例如，如果P成立，Q成立，那么(P∨Q)也成立。
假言三段论是指如果一个命题是一个已知命题的条件，另一个命题是条件成立时所得出的结论，那么这个结论也成立。
例如，如果P成立会导致Q成立，而P成立，那么Q也成立。
摩尔根定律是指命题的否定可以通过互换逻辑运算符，并对子命题进行否定得到。
例如，¬(P∧Q)等价于¬P∨¬Q。
谓词逻辑是一种更为复杂的逻辑系统，用于描述命题中涉及对象的属性和关系。
在谓词逻辑中，我们引入了量词∀和∃，分别表示“对于所有”和“存在”的含义。
谓词逻辑允许我们对命题中的对象进行全称量化和存在量化，并进行逻辑推理。
谓词逻辑的基本原理和推理方法类似于命题逻辑，但涉及到更多的概念和符号。
推理是数理逻辑的核心，它旨在根据已知命题推导出新的命题。
推理方法有很多种，例如直接证明、间接证明和归谬法。
直接证明是一种常见的推理方法，它通过列举命题的前提和规则，逐步推导出结论。
推导数学归纳法的基本原理与应用
推导数学归纳法的基本原理与应用数学归纳法是一种重要的证明方法，在数学领域中得到广泛的应用。
它的基本原理是通过证明一个命题在第一步成立，然后假设该命题在第n步成立，再通过推导得出该命题在第n+1步也成立。
在本文中，我们将探讨数学归纳法的基本原理以及其应用。
一、数学归纳法的基本原理数学归纳法的基本原理可以归纳为以下几个步骤：步骤1：证明基础情况。
首先需要证明命题在第一个步骤时成立，这通常被称为基础情况。
这是数学归纳法的起点。
步骤2：假设命题在第n步成立。
接下来，我们假设命题在第n步成立，即条件为P(n)。
步骤3：推导命题在第n+1步成立。
根据步骤2的假设，我们可以通过推导得出命题在第n+1步也成立，即条件为P(n+1)。
通过以上步骤，我们可以得出结论：若基础情况成立并且P(n)成立能推导出P(n+1)成立，则命题P对于所有的正整数都成立。
二、数学归纳法的应用数学归纳法广泛应用于各个数学领域中，下面将介绍它在几个方面的具体应用。
1. 数列的性质证明数学归纳法通常用于证明数列的一些性质。
例如，我们可以通过归纳法证明斐波那契数列中的每个数都是一个正整数。
首先，证明第一个数1是一个正整数，然后假设第n个数是一个正整数，再通过递推关系得出第n+1个数也是一个正整数。
2. 数学等式的证明数学归纳法还可以用于证明一些数学等式。
例如，我们可以通过归纳法证明1 + 2 + 3 + ... + n = (n × (n + 1)) / 2。
首先，证明当n=1时等式成立，然后假设当n=k时等式成立，再通过归纳推导得出当n=k+1时等式也成立。
3. 不等式的证明除了数学等式，数学归纳法也可以用于证明一些数学不等式。
例如，我们可以通过归纳法证明2的n次方大于n，对于所有的正整数n。
首先，证明当n=1时不等式成立，然后假设当n=k时不等式成立，再通过归纳推导得出当n=k+1时不等式也成立。
三、数学归纳法的局限性尽管数学归纳法在许多数学领域中非常有用，但它也有一些局限性。
数理逻辑归结法原理
▪ 例如，Q1是子句q，Q2是子句q，q和q是相反文字， 子句□是Q1和Q2的归结子句。
▪ 例如，Q1是子句pqr，Q2是子句pws，在子句Q1 和Q2中没有相反文字出现，子句Q1Q2，即 pqrws不是Q1和Q2的归结子句。
▪ 有σ(q1…qn r1…rm)=1，即σ(Q)=1。 ▪ 证毕
反驳
▪ 定义：设Ω是子句集合，如果子句序列 Q1,…,Qn满足如下条件，则称子句序列 Q1,…,Qn为子句集合Ω的一个反驳。
▪ (1).对于每个1≤k<n，QkΩ
• Qk是Qi和Qj的归结子句，i<k，j<k。
▪ (2). Qn是□。
▪ Q1=q
Q1Ω
▪ Q2=q
Q2Ω
▪ Q3=□
▪ 因此，Q1, Q2,Q3是反驳.
▪ (3).根据命题逻辑紧致性定理，若子句集合Ω 不可满足，则有有穷子句集合Ω0，Ω0Ω，使 得Ω0是不可满足的。
▪ 若有穷子句集合Ω0是不可满足的，则Ω0中的子句必 出现相反文字。
▪ 假设有穷子句集合Ω0是不可满足的，且Ω0中的子句 不出现相反文字，那么，对于Ω0中子句的每个文字 qk，有赋值函数σ使得σ(qk)=1，因此，σ(Ω0)=1，Ω0是 可满足的，这样与Ω0是不可满足的相矛盾。
机械式方法
▪ 若证明Q1,…,Qn|=R，只要证明Q1…QnR 不可满足。
▪ 机械式证明：
• 公式Q1…QnR的合取范式； • 合取范式的所有简单析取范式，即Ω； • 证明Ω不可满足
▪ 则有Q1,…,Qn|=R。 ▪ 机械式地证明Ω不可满足是关键问题
子句与空子句
浅谈数学中的逻辑方法之归纳与推理
浅谈数学中的逻辑方法之归纳与推理归纳推理是通过各种手段（观察、实验、分析、比较等）对许多个别事物的经验认识的基础上，逻辑推导出各现象之间的因果关系，并逐步过渡到普遍化的一般法则的推理方法。
思维是人对事物的一般性与规律性的一种间接的、概括的反映过程，又是一个复杂而高级的心理过程。
按是否可程式化，思维可分为逻辑思维与非逻辑思维两种基本类型。
数学从它产生的年代起，数学与逻辑就是不可分的。
逻辑思维方法是数学中最常用与最基本的思维方法。
所谓逻辑推理就是指根据已知的判断，遵守逻辑规律与法则，推出新的判断的思维过程。
归纳推理是通过各种手段（观察、实验、分析、比较等）对许多个别事物的经验认识的基础上，逻辑推导出各现象之间的因果关系，并逐步过渡到普遍化的一般法则的推理方法。
归纳推理可按照它考查的对象是否完全而分为完全归纳法和不完全归纳法。
一、完全归纳法完全归纳法是根据某类事物的全体对象的属性进行概括的推理方法。
在数学中它可分为穷举归纳法与类分法两种。
1.穷举归纳法穷举归纳法是数学中常用的一种完全归纳法。
它是对具有有限个对象的某类事物进行研究时，把它所有的对象的属性分别讨论，当肯定了它们都有某一属性（作出特称判断），从而得到这类事物都有这一属性的一般结论（全称判断）的归纳推理。
在数学中所考察的对象大多数是无穷多的，穷举这种方法很多情况下不适用。
然而，对于有些无限多的对象，如果可将其分为有限的几个类来分别研究，这就是类分法。
2.类分法所谓分类，用集合语言可定义如下：在中学数学里有许多需要用到完全归纳法证明的问题。
在证明时，先对研究的对象按前提中可能存在的一切情况作如上所述的分类，再按类分别进行证明。
如每类均得证，则全称判断（结论）就得到了，此即为类分法。
如正弦定理中边与对角正弦的比等于外接圆直径的性质，其证明就是分锐角、直角、钝角三类情况进行的。
如果完全归纳法的每一类（个）前提都是真的，那么结论一定是真的，所以，它是一种严格的推理方法。
阐述数学归纳法的原理
阐述数学归纳法的原理
数学归纳法是一种用于证明数学命题的常用方法。
它基于以下原理：
基础步骤：
首先，需要证明命题在某个特定条件下（通常为n=1或n=0）成立，这称为基础步骤（base case）。
归纳假设：
其次，假设命题对于某个固定的正整数k成立，这称为归纳假设（inductive hypothesis）。
也就是假设如果命题在k上成立，那么它在k+1上也成立。
归纳步骤：
最后，需要证明如果命题在k上成立，则它在k+1上也成立。
这称为归纳步骤（inductive step）。
综合起来就是：如果能够证明基础步骤成立，且对于任意固定的正整数k，归纳假设成立，则可以通过归纳步骤，证明命题对于所有正整数n都成立。
数学归纳法的思想是通过将证明任务逐步缩小，从特定条件开始得出结论，然后通过递增的方式扩展到其他情况。
这是一种强有力的证明方法，因为它可以涵盖所有的正整数，而不仅仅是有限个特例。
需要注意的是，数学归纳法只能用于证明涉及正整数的命题，不能用于证明涉及负整数或小数的命题。
归结推理方法(三)
归结推理方法（三）引入新课：数理逻辑为知识的推理奠定了基础；基于一阶谓词逻辑的推理方法，是一种机械化的可在计算机上加以实现的推理方法。
一、命题逻辑✧命题逻辑和谓词逻辑是两种逻辑；对知识的形式化表示，特别是定理的自动证明发挥了重要作用。
✧谓词逻辑是在命题逻辑的基础上发展起来的。
命题逻辑可看作是谓词逻辑的一种特殊形式。
（一）命题定义1能够分辨真假的语句称作命题定义2一个语句如果不能再进一步分解成更简单的语句，并且又是一个命题，则称此命题为原子命题。
说明：（1）原子命题是命题中最基本的单位，用P,Q,R,…..大写拉丁字母表示。
而命题的真与假分别用“T”与“F”表示。
命题代表人们进行思维时的一种判断，或者是真。
或者是假，只有这两种情况。
若命题的意义为真，则记为T。
若命题的意义为假，则记为F。
（2）一般情况下，只有陈述句才可能是命题，因为只有陈述句才能分辨真假。
如“太阳从西边升起”、“雪是白色的”等等都是陈述句，而其他的一些句子如疑问句、祈使句、感叹句等均不能分辨其真假。
象这样的没有真假意义的句子就不是命题。
（3）并不是所有的陈述句都是命题；例如，“这个句子是假的”。
显然无法判断该语句的真假，这个语句不是命题。
（4）在有些情况下，要判断一个陈述句的真假，是需要一定条件的，即该陈述句在一种条件下，其逻辑值为真，但在另一种条件下，其逻辑值为假。
比如，“1+1=10”。
（5）用大写字母表示的命题既可以是一个特定的命题，也可以是一个抽象命题。
前者称为命题常量，后者称为命题变量。
对于命题变量，只有把确定的命题代入后，它才可能有明确的逻辑值（T或F）。
（二）命题公式连接词：在日常生活中，可以通过连接词将一些简单的陈述句组成较为复杂的语句，称为复合句。
较复杂的定义。
～：称为“非”或“否定”。
其作用是否定位于它后面的命题。
当命题P为真时，～P为假；当P 为假时，～P为真。
∨：称为“析取”。
它表示被它连接的两个命题具有“或”关系。
数理逻辑的基本原理与应用
数理逻辑的基本原理与应用数理逻辑是研究推理和证明的学科，其基本原理和方法在数学、计算机科学、哲学、语言学等多个领域中有着广泛的应用。
本文将介绍数理逻辑的基本原理，探讨其应用于不同领域的案例，并分析其意义和作用。
一、数理逻辑的基本原理1. 命题逻辑命题逻辑是数理逻辑的基础，主要研究命题之间的关系和推理规则。
命题逻辑使用符号表示命题，通过逻辑连接词如与、或、非等进行命题的组合和推理。
例如，“A与B都成立”可以用符号表示为A∧B。
命题逻辑的基本原理包括命题的真值、等价关系、蕴含关系等。
2. 谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的拓展，主要研究谓词（包含变量的命题）之间的关系和推理规则。
谓词逻辑引入了量词（存在量词∃和全称量词∀），可以描述涉及一定范围的命题。
例如，“对于任意正整数x，存在正整数y使得y大于x”可以用符号表示为∀x∃y(y>x)。
谓词逻辑的基本原理包括量化和变元替换规则等。
3. 形式系统形式系统是数理逻辑的形式化工具，用于描述和证明推理过程。
形式系统由一组公理和一组推理规则构成，通过推理规则对公理进行推演得到定理。
形式系统的基本原理包括合成规则、分解规则、代换规则等。
二、数理逻辑的应用案例1. 数学推理数理逻辑在数学中有着广泛的应用。
通过使用数理逻辑的推理规则，可以严格证明数学定理的正确性。
例如，哥德巴赫猜想的证明过程使用了谓词逻辑和形式系统，通过构建形式系统并应用推理规则得到了哥德巴赫猜想的证明。
2. 计算机科学数理逻辑在计算机科学中扮演重要的角色。
计算机程序的正确性验证和程序设计语言的语义分析都依赖于数理逻辑的基本原理。
例如，在软件工程中，通过使用数理逻辑形式化规范和验证程序，可以提高程序的可靠性和正确性。
3. 哲学思辨数理逻辑在哲学思辨中具有重要的地位。
逻辑学是哲学的重要分支之一，通过运用数理逻辑的原理和方法，可以进行严密的思辨和推理，帮助解决哲学问题。
例如，在形而上学中，逻辑的概念和原理被运用于思考实体和属性之间的关系。
消解(归结)原理讲解
S {~ P(x, f (x)) Q(x, g(x)), ~ P(x, f (x)) ~ R(x, g(x))}
（5）全称量词移到左边，由于只有一个全称量 词，已在左边，所以不移。
（6）将母式化为合取范式。
(x)((~ P(x, f (x)) Q(x, g(x))) ((~ P(x, f (x)) ~ R(x, g(x))))
子句与子句集
文字：不含有任何连接词的谓词公式叫原子公式，简称原子，而 原子或原子的否定统称文字。
中所出现的量词具有一定的规则，即每个存在 量词均在全称量词的前面。如
(x)(y)(z)(P(x) Q( y) F(z))
这是离散数学中有关Skolem范式的定义。在人 工智能的归结推理研究中，Skolem标准形的定 义是，从前束形范式中消去全部存在量词所得 到的公式称为Skolem标准形，它的一般形式是
子句：就是由一些文字组成的析取式。如：P(x) ~Q(x,y), ~P(x,c) R(x,y,f(x))都是子句。
空子句：不包含任何文字的子句称为空子句，记为NIL。由于空 子句不包含任何有任何文字，它不能被任何解释满足，所以空子 句是永假的，是不可满足的。
子句集：由子句构成的集合称为子句集。
因是，在谓词公式化为Skolem标准型的过程中，当消 除全称量词左侧的存在量词时，从个体域D中选定的某 一个个体a。而存在量词具有“或”的含义，只要个体 域D中一个个体使G为真，侧G取值就为T。Skolem标 准型只是G的一个特例。
不可满足意义下的一致性
03-L.02 命题逻辑的归结推理方法
−离散数学基础2017-11-9•定义：子句−命题公式中原子或原子的否定形式称为文字。
文字的析取式称为子句（或子句形）。
−不包含任何文字的子句称为空子句。
−若干相互形成合取关系的子句以集合元素的形式构成集合，称为子句集。
•定理1：−任何命题公式都可应用等值演算转化成相应的子句集表出。
»由合取范式存在定理导出−因此，若公式 X 在逻辑上遵循公式集 S (即 S ⇒ X )，则也遵循由 S 变换成的子句集。
•定理2：−设子句集 S 由公式 A 变换而成，则 A 不可满足当且仅当 S 不可满足。
−因此，要证明一个公式 A 是不可满足的，只需要证明由公式 A 变换而成的相应的子句集 S 是不可满足的。
•定义：归结式−设 L 为原子公式，若有子句 L∨α 和 ¬L∨β ，则构造子句 α∨β 称为前二者的归结式。
»α 和 β 都是子句形，也可以是空子句。
−上述的两个子句 L∨α 和 ¬L∨β 称为归结式 α∨β 的母体子句或亲本子句。
也称它们为可归结的。
•定义：归结−由一对可归结的亲本子句导出归结式的过程称为归结。
•定理3：−归结式是其亲本子句的逻辑结论。
−证明：即欲证(L∨α ) ∧ (¬L∨β ) ⇒ α∨β»假设 (L∨α )∧(¬L∨β )=1，则有 L∨α =1 且 ¬L∨β =1»若 L=1，则 ¬L=0，此时由 ¬L∨β =1 必须 β =1»若 L=0，此时由 L∨α =1 必须 α =1»故无论如何，都有 α∨β =1。
因此(L∨α ) ∧ (¬L∨β ) ⇒ α∨β•归结过程的图解•一次归结可以用这样的图解来表示,上面的两个红色框是两个可归结子句,下面的一个蓝色框是它们的归结式。
归结推理过程由一个个这样的结构组成,可以用图解表示成一棵归结树，我们后面会给出一些例子。
高级数理逻辑第6讲
5.2 命题归结原理通过对公式表示形式的标准化，我们可以在这样标准化的形式上面对公式进行计算。
这种计算就是简单的加减计算。
从而可以实现到计算机上用程序来完成。
对于在标准形式上进行的公式演算，主要采用1965年Robinson 提出的归结原理来实现。
本小节首先来看看命题形式系统上的归结原理和归结方法。
5.2.1 归结定义我们知道在形式系统上的推理主要采用分离规则的方法：P ，P QQ我们将这个规则转化成子句集合：⎩⎨⎧∨⌝Q P P对于这个子句集合，根据分离规则可以得到公式Q 。
而Q 得到可以看作是以上两个子句中，将P P ⌝,合并得结果。
根据主要的特性，我们给出归结原理的定义如下：1、二元归结：21,C C 为分别为FSPC 中，含有互补文字的子句，L 1= ⌝L 2那么下面推理称为二元归结：C 1 , C 2)()(2211L C L C -∨-A1vA2vA3, ~A1vB1, ~B1,~A2,~A3 :::A2vA3vB1:::A2vA3 ::A3 :: 0其中，称C 1 , C 2为归结母式，)()(2211L C L C -∨-为归结结果，L 1L 2为归结基。
PvRvQ Pv~RvB :: PvQvB如果赋值f 使得f(c1)=1,且f(c2)=1.例如：在子句集 Q R P C ∨∨⌝=1 1)()(1=∨∨⌝=Q R P f C fQ P C ⌝∨=2 1)()(2=⌝∨=Q P f C f进行归结。
1、以P ，⌝P 为归结基Q Q R ⌝∨∨1{C1,C2,C3,C4,D1}A1,A2,A3,{C11,C12, C21,C22,C23, C3, D1,D2}-- 口2、以Q, ⌝Q 为归结基P R P ∨∨⌝ 1~P, P; 02、空子句：不含有任何文字的子句，称为空子句，记做口。
3、归结原理：设S 为一子句集，称C 是S 的归结结果，如果存在子句序列C 1……L C (=C),使C k (k=1……L)或者是S 中的子句，或者是C i ，C j 的归结结果（i,j<k ）；该序列称为由S 推导出C 的归结序列；当C 为空子句时，该序列是S 的一个否证。
归结原理
2.6 利用归结原理求取问题的答案
求解答案的基本思想和定理证明类似。其求解步骤如下： （1）把前提条件用谓词公式表示出来，并且化为相应 的子句集S。 （2）把待求解的问题也用谓词公式表示出来，其中含 有欲求解的变元。 （3）另设一个特殊的一元谓词ANSWER，其变元和求 解问题公式中的变元相同。 （4）把求解公式和ANSWER谓词“或”起来构成析取 式，把此析取式化成子句集后并入条件子句集S中形成新子 句集S'。 （5）对S'用归结原理进行归结。 （6）若归结的结果是ANSWER，则其已实例化的变元 就是问题的答案。
o
o
定义2-32 子句C1和C2的归结式是下列 定义 二元归结式之一： （1）C1与C2的二元归结式 （2）C1与C2的因子的二元归结式 （3）C1的因子与C2的二元归结式 （4）C1的因子与C2的因子的二元归结式
例如，有两个子句 C1=P(x)∨P(f(y))∨R(g(y)) C2= ～ P(f(g(a)))∨Q(b)) （1）子句C1中有可合一的文字 {P(x) ,P(f(y))} ， 它们的最一般合一是σ1={f(y)/x} C1的因子是C1σ1 =P(f(y))∨R(g(y)) , C （2）又由于P(f(y))和～ P(f(g(a)))是可合一的文字，它们的最 一般合一是θ={g(a)/y} 所以C1σ1和C2有二元归结式R(g(g(a))) ∨ Q(b) 它就是C1和C2的归结式。
程序常用的方法是水平浸透法，它的做法如下： （a）把S0中的子句排序； （b）在S0中顺序地考虑两个子句的归结式：即第一个子句和其 后各子句归结，然后第二个子句和其后各子句归结，第三个子 句再和其后各子句归结，…，直至倒数第二个子句和最后一个 子句归结，得到子句集S1： S1={C12 | C1∈S0，C2∈S0} 检查S1中是否有空子句，如有空子句，则归结结束，否则继 续步骤（c）； （c）将S1并入S0得S0∪S1。再顺序地考虑子句集S0∪S1和S1 的归结式，即一个子句来自子句集S0∪S1，另一个子句来自 S1，得到子句集S2： S2={C12 | C1∈S0∨S1，C2∈S1} 检查S2中是否有空子句，如无空子句则还要重复上述过程…
数学逻辑方法——原因与结果
数学逻辑方法——原因与结果从原因到结果，这种因果观念是人们一切自觉活动必不可少的逻辑条件。
本文将介绍数理逻辑如何推演因果关系，从而认识数理逻辑的思想和意义。
原因和结果是一对哲学范畴，它反映事物、现象之间的相互联系和相互制约。
当我们把事物从普遍联系中抽象出来，就会看到有序地不断更替的运动，一种现象会引起另一种现象。
前者为原因，后者为结果，这种因果观念是人们一切自觉活动必不可少的逻辑条件。
原因和结果是有客观内容的。
例如，由于地心吸力的原因，产生了“苹果落地”的结果。
但是，人们撤去这些具体内容，仅仅考察它的形式方面，就会看到人类的思维具有形式结构，遵循某种形式推理的规律。
例如，有A必有B，那么没有B便一定没有A。
无论A和B 是什么含义，以上的形式推演都是对的。
研究思维形式结构及其规律的科学称为形式逻辑，形式逻辑的任务是研究因果关系的形式方面。
狭义的数理逻辑就是精确化、数学化的形式逻辑。
它研究命题间的“形式的推理规律”。
数学地表示一个命题，要用谓词和八个逻辑常项，即∀(任意)，∃(存在)，∧(并且)，∨(或)，=(等于)，¬(非)，→(蕴涵)，↔(当且仅当)。
我们用⊢表示“推出”。
谓词S(a)，P(b)意即a是S，b是P。
你也可以赋以实际含义，如S(a)表示a是质数，P(b)表示b是奇数等等。
倘若我们有以下三个命题：(1)∀x[S(x)→P(x)]；(2)¬P(a)(3)¬S(a)那么，我们就能从(1)、(2)推出(3)，不论S(a)、P(b)的含义是什么。
如果赋以上述特定含义，原(1)表明若对任何x，由x是质数蕴涵x是奇数，现在a不是奇数，那么a必不是质数。
由这一简单例子，我们看到(1)、(2)是原因，(3)是结果。
不管它们含义是什么，形式的推演总是对的。
数学是形式化了的思想材料，但它毕竟有它自己的内容。
例如，二次方程ax2+bx+c =0是一种符号形式，但它毕竟是方程，二次的，是一个有内容的对象。
数学分析中的归结原理及其应用
f
(x0 )
−
A
<
ε
，即证得 lim n→∞
f
(xn )
=
A
充分性（反证） 假设 lim n→∞
f (xn ) ≠
A ，则 ∃ε 0
> 0 ，∀ M
> 0, ∃
x0 满足
x0
>M，
则
可用反证法推出 lim x→ x0
f (x) = A .
事实上,
倘若当 x → x0 时
f
不以 A 为极限,
则
存在 ε 0 > 0 , 对任何δ > 0 (无论多么小)总存在一点 x , 尽管 0 < x − x0 < δ , 但
有 f (x) − A ≥ ε0 .
现依次取 δ
=
δ
′,
δ′ 2
,
δ′ 3
f (xn ) 不趋于 A .
这与假设相矛盾,所以必有
lim f (x) = A
x → x0
简记： lim x → x0
f
(x)
=
A ⇔ 对 ∀xn
→
x0 (n
→ ∞) ，有 lim n→∞
f (xn )
=
A
2.2 几点注记
1）归结原理揭示了变量离散变化与连续变化之间的内在联系，实现了数列极
限与函数极限的互相转化：
lim
x → x0
f
(x)
=
A
⇔
对任何以
x0
为极限的数列 {xn} ，
xn
≠
x0
，总有
lim
x→∞
f
(xn )
=
A
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机械式方法
▪ 若证明Q1,…,Qn|=R，只要证明Q1…QnR 不可满足。
▪ 机械式证明：
公式Q1…QnR的合取范式； 合取范式的所有简单析取范式，即Ω；
证明Ω不可满足
▪ 则有Q1,…,Qn|=R。
▪ 开创性的工作是赫伯特·西蒙（H. A. Simon）和艾伦· 纽威尔（A. Newel）的 Logic Theorist。
▪ 机械定理证明的主要突破是1965年由鲁宾逊（ J.A.Robinson）做出的，他建立了所谓归结原理，使机械 定理证明达到了应用阶段。
▪ 归结法推理规则简单, 而且在逻辑上是完备的, 因而成为 逻辑式程序设计语言Prolog的计算计模算型机。学院
▪ 因为(PQR)((PR)(QR)计)的算合机取学范院式 (PQR) PQR
▪ 所以子句集合 Ω={P,Q, R ,PQR }
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▪ Q1=PQR Q1Ω
▪ Q2=P
Q2Ω
▪ Q3=QR
Q3= (Q1-P) (Q2-P)
可满足，进而有Ω0可满足。 ▪ 证毕
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▪ 例题：P(QR)├ (PQ) (PR) 分配律 ▪ (P(QR)) ((PQ) (PR)) ▪ (P(QR)) ((PQ) (PR)) ▪ (PQ) (PR))( P (PR)) (Q (PR)) ▪ (PQ) (PR)P ( P R) (Q P)( QR)
▪ 对一阶逻辑公式，其解释的个数通常是任意多个，丘奇 （A.Church）和图灵（A.M.Turing）在1936年证明了不存 在判定公式是否有效的通用程序。计算机学院
如果一阶逻辑公式是有效的，则存在通用程序可以验证它 是有效的
对于无效的公式这种通用程序一般不能终止。
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▪ 1930年希尔伯特（Herbrand）为定理证明建立了一种重 要方法，他的方法奠定了机械定理证明的基础。
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反驳
▪ 定义：设Ω是子句集合，如果子句序列 Q1,…,Qn满足如下条件，则称子句序列 Q1,…,Qn为子句集合Ω的一个反驳。
▪ (1).对于每个1≤k<n，QkΩ
Qk是Qi和Qj的归结子句，i<k，j<k。
▪ (2). Qn是□。
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▪ 例题：(QR)Q├Q
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▪ 又证：设子句集合Ω是不可满足的。
▪ (1).不妨设子句集合Ω不含永真式。因为从Ω中去掉永真 式不改变Ω的不可满足性。
▪ (2).若Ω含有相反文字，不妨设是q，则
▪ Q1=q
Q1Ω
▪ Q2=q
Q2Ω
▪ Q3=□
▪ 因此，Q1, Q2,Q3是反驳.
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▪ (3).根据命题逻辑紧致性定理，若子句集合Ω 不可满足，则有有穷子句集合Ω0，Ω0Ω，使 得Ω0是不可满足的。
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▪ 若有穷子句集合Ω0是不可满足的，则Ω0中的子句必 出现相反文字。
▪ 假设有穷子句集合Ω0是不可满足的，且Ω0中的子句 不出现相反文字，那么，对于Ω0中子句的每个文字 qk，有赋值函数σ使得σ(qk)=1，因此，σ(Ω0)=1，Ω0是 可满足的，这样与Ω0是不可满足的相矛盾。
▪ 例如，Q1是子句pqr，Q2是子句pqws，q和q 是相反文字，子句prws是Q1和Q2的归结子句。
▪ 例如，Q1是子句q，Q2是子句q，q和q是相反文字， 子句□是Q1和Q2的归结子句。 计算机学院
▪ 例如，Q1是子句pqr，Q2是子句pws，在子句Q1 和Q2中没有相反文字出现，子句Q1Q2，即 pqrws不是Q1和Q2的归结子句。
产生了矛盾，所以，Ω1是不可满足的。
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▪ 如果σ(Pi)=0，i≤m1，则有Pi QjΩ1，j=1,…,m2。 ▪ 因为σ(Ω1)=1，所以有σ(Pi Qj)=1，即σ(Qj)=1，j=1,…,m2
。
▪ 设σ'(q)=1，而其他命题变元r有σ'(r)=σ(r)。
▪ σ'(qPi)=1，其中，qPiΩq
主要内容
▪ 机械证明简介 ▪ 命题逻辑归结法 ▪ 谓词逻辑归结法
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▪ 自动推理早期的工作主要集中在机器定理证明。
▪ 机械定理证明的中心问题是寻找判定公式是否是有效的 通用程序。
▪ 对命题逻辑公式，由于解释的个数是有限的，总可以建 立一个通用判定程序，使得在有限时间内判定出一个公 式是有效的或是无效的。
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▪ 定理：如果子句Q是Q1, Q2的归结子句，则Q1, Q2|=Q ▪ 证明： ▪ 设Q1=pq1…qn，Q2=pr1…rm。 ▪
▪ 赋值函数σ(Q1)=1，即σ(pq1…qn)=1， σ(p) σ(q1…qn)=1.
▪ 赋 σ值(p)函 数σ(rσ1(Q…2)=r1m，)=即1.σ(pr1…计r算m)机=1学，院 ▪ 有σ(q1…qn r1…rm)=1，即σ(Q)=1。 ▪ 证毕
▪ |Ωq |=m1，|Ωq |=m2，|ΩC|=m3。 ▪ ΩR={ Pi Qj| qPiΩq, qQjΩq} ▪ Ω1 =ΩCΩR ▪ Ω1有n-1个命题变元。 ▪ 若有rΩ1并且rΩ1，则存在反驳计。算机学院
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▪ 若Ωq Ωq ΩC 不可满足，则Ω1 =ΩCΩR不可满足。
▪ σ'(qQj)=1，其中，qQiΩq
▪ σ'(Rk)=1，其中，RkΩC
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▪ 若Ω1是可满足的，则有σ'，使得σ'(Ω0)=1，这样就产生了
矛盾，所以，Ω1是不可满足的。
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▪ 因此，Ω1有n-1个命题变元并且Ω1是不可满足的。 ▪ 对于所有的n进行处理获得Ωn，必有反驳，否则必有Ωn
▪ 因为(P(QR)) ((PQ) (P计R算))的机合学取院范式 (PQ) (PR)P ( P R) (Q P)( QR)
▪ 所以子句集合 Ω={ P,PQ, PQ, PR ,PR , QR}。
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▪ Q1= PQ
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▪ 设Ω0有n种相反文字，有相反文字q和q ，Ω0中的子句分为三类， 一类是有文字q的子句， 另一类是有文字q的子句， 再一类是没有文字q和q的子句
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▪ Ωq ={ qPk| qPkΩ}，Ωq ={qQk| qQkΩ}， ΩC=Ω-Ωq-Ωq
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主要内容
▪ 机械证明简介 ▪ 命题逻辑归结法 ▪ 谓词逻辑归结法
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基本原理
▪ Q1,…,Qn|=R，当且仅当Q1…QnR不可满足 ▪ 证明Q1,…,Qn|=R
(1). Q1…QnR化为合取范式； (2). 构建Ω子句集合，Ω为Q1…QnR合取范式
▪ 若Ω1是可满足的，则有赋值函数σ，使得σ(Ω1)=1。 ▪ 如果σ(Pi)=1，i=1,...,m1，那么有σ'(q)=0，而其他命题变元
r有σ'(r)=σ(r)。
▪ σ'(qPi)=1，其中，qPiΩq ▪ σ'(qQj)=1，其中，qQjΩq计算机学院 ▪ σ'(Rk)=1，其中，RkΩC ▪ 因此，若Ω1是可满足的，则有σ'，使得σ'(Ω0)=1，这样就
因为pqrs不是简单析取范式，所以 pqrs不是子句。
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▪ 定义：设Q是简单析取范式，q是Q的文字，在Q中 去掉文字q，记为Q-q。
▪ 例如，Q是子句pqrs，Q - q是简单析取范式 p rs。
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归结子句
▪ 定义：设Q1,Q2是子句，q1和q2是相反文字，并且在子句 Q1和Q2中出现，称子句(Q1-q1)(Q2-q2)为Q1和Q2的归结 子句。
Q1Ω
▪ Q2=PQ
Q2Ω
▪ Q3=□
Q3= (Q1-P-Q) (Q2-P-Q)
▪ P(QR)├ (PQ) (PR) 分配律
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▪ 例题：PQR├(PR) (QR) ▪ 证明： ▪ (PQR) ((PR) (QR)) ▪ (( PQ) R) (PRQR) ▪ (PQR) PQR
▪ 证明：设为Q1,…,Qn是反驳。
▪ (1).若QkΩ，Ω|=Qk.
▪ (2).若Ω|=Qi，Ω|=Qj并且Qk是Qi, Qj的归结子句，则 Qi, Qj|=Qk。因此，Ω|=Qk。
▪ (3).因为Qn=□，所以有Qn-1和Qk是相反文字，不妨设
是q和q。
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▪ 因此，Ω|=q，Ω|=q。Ω|=qq，Ω不可满足。
▪ Q4=Q
Q4Ω
▪ Q5=R
Q5= (Q3-Q) (Q4-Q)
▪ Q6=R
Q6Ω
▪ Q7=□
Q7= (Q5-R) (Q6-计R算)机学院
▪ 因此PQR├(PR) (QR)
▪ 证毕
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▪ 机械式地证明Ω不可满足是关键问题
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