有限单元法原理与应用
朱伯芳《有限单元法原理与应用》怎么样
朱伯芳《有限单元法原理与应用》怎么样《有限单元法原理与应用》是朱伯芳编写的一本关于有限单元法（Finite Element Method，简称FEM）的专业教材。
该书主要介绍了有限单元法在工程领域中的应用原理和实践技巧。
本文将从书籍的结构、内容、作者的资历和读者反馈等方面进行详细的分析，以期给出一个全面的评价。
首先，让我们来看看书籍的结构和内容。
《有限单元法原理与应用》共分为六章，涵盖了有限单元法的基础知识、离散法、结构分析、流体力学、固体力学和热传导，主要包括一维和二维有限元的建模方法、应力分析和位移分析等内容。
每章都以一个引言开始，然后逐步介绍理论和应用的细节，最后以一些实例或案例进行总结。
这种递进的结构使读者可以循序渐进地学习和理解有限单元法的原理和应用，使其成为一本适合初学者和专业人士的教材。
其次，让我们来看看作者朱伯芳的资历。
朱伯芳是国内有限单元法领域的知名专家，他在该领域拥有多年的研究和教学经验。
他曾在国内外多所知名大学进行过学术交流，并发表了大量有关有限单元法的论文。
他的丰富经验和深厚的理论基础使得他编写的教材具有一定的权威性和可信度。
另外，让我们来看看读者的反馈。
据我了解，该书在工程领域和学术界中广泛应用，并受到了读者的好评。
读者认为这本书的内容详实、通俗易懂，特别是在实际工程应用方面提供了很多实用的技巧和方法。
此外，该书还提供了大量的习题和案例分析，有助于读者巩固学到的知识并提升解决实际问题的能力。
然而，也有读者认为该书在某些地方没有深入或过于简单，希望在后续版本中能够进行改进和完善。
总的来说，《有限单元法原理与应用》是一本涵盖了有限单元法基本原理和应用技巧的优秀教材。
它的结构清晰，内容详实，适合初学者和专业人士学习和参考。
作者的资历和读者的反馈也增加了该书的可信度。
然而，该书也存在一些可以改进的地方，希望在后续版本中能够进行修改和完善。
总体来说，这本书可以说是有限单元法领域的一本经典之作，值得推荐给广大读者。
有限单元法基本思想,原理,数值计算过程
有限单元法学习报告在对力学问题分析求解过程中，方法可以概括为两种方法，一种为解析法，对具体问题具体分析，通过一定的推导用具体的表达式获得解答，由于实际工程中结构物的复杂性，此方法在处理工程问题是十分困难的；另一种是数值法，有限元法是其中一种方法，其数学逻辑严谨，物理概念清晰，又采用矩阵形式表达基本公式，便于计算机编程，因此在工程问题中获得广泛的应用。
有限元法基本原理是，将复杂的连续体划分为简单的单元体；将无限自由度问题化为有限自由度问题，因为单元体个数是有限的；将偏微分方程求解问题化为有限个代数方程组的求解问题。
通常以位移为基本未知量，通过虚功原理和最小势能原理来求解。
基本思想是先化整为零，即离散化整体结构，把整体结构看作是由若干个通过结点相连的单元体组成的整体；再积零为整，通过结点的平衡来建立代数方程组，最后计算出结果。
我将采用最简单的三结点三角形为基本单元体，解决弹性力学中的平面问题为例，解释有限单元法的基本原理、演示数值计算过程和一般性应用结论。
一、离散化解决平面问题时，主要单元类型包括三角形单元（三结点、六结点）和四边形单元（四结点矩形、四结点四边形、八结点四边形）等。
选用不同的单元会有不同的精度，划分的单元数越多，精度越高，但计算量也会越大。
因此在边界曲折，应力集中处单元的尺寸要小些，但最大与最小单元的尺寸倍数不宜过大。
在集中力作用点及分布力突变的点宜选为结点，不同厚度，不同材料不能划分在同一单元中。
三角形单元以内角接近60°为最好。
充分利用对称性与反对称性。
二、单元分析将一个单元上的所有未知量用结点位移表示，并将分布在单元上的外力等效到结点上。
1、位移函数选取：根据有限元法的基本思路，将连续体离散为有限的单元集合后，此时单元体满足连续性、均匀性、各向同性、完全线弹性假设。
单元与单元之间通过结点连接并传递力，位移法（应用最广）以结点位移δi=(u i v i)T为基本未知量，以离散位移场代替连续位移场。
有限单元法及工程应用
有限单元法及工程应用有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值计算方法，广泛应用于工程领域。
它是一种将复杂的连续体分割为有限个简单形状的小单元，并将偏微分方程转化为代数方程求解的方法。
有限单元法通过将计算领域离散化为一个有限的单元网络，然后通过求解每个单元上的方程来得到整个计算领域的解。
这种方法在解决复杂问题上具有很大的优势，并已经在工程应用中得到广泛应用。
有限单元法在工程应用中有许多不同的方面。
以下是其中一些主要的应用领域：1. 结构力学分析：有限单元法可以用于结构的形状、变形、应力和振动等问题的分析。
通过将结构离散为有限个单元，可以准确地计算结构的应力分布和变形情况，进而评估结构的稳定性和可靠性。
这在建筑、桥梁、飞机和船舶等领域中得到广泛应用。
2. 热传导分析：有限单元法可以用于热传导问题的分析，如温度分布、热流量和热应力等。
通过建立传导方程和边界条件，可以计算不同材料和结构的热行为，进而为热处理、热设备设计和热工艺优化提供指导。
3. 流体力学分析：有限单元法可以用于求解流体力学方程，如流体流动、湍流、传质和热传递等。
通过将流体域划分为有限个单元，可以计算流速、压力和流体力学特征等。
这在空气动力学、水力学和化工工艺等领域中得到广泛应用。
4. 电磁场分析：有限单元法可以用于求解静电场、磁场和电磁波等问题。
通过建立电磁方程和边界条件，可以计算电场、磁场和电磁波的分布和特性。
这在电力系统、电子器件和电磁辐射等领域中得到广泛应用。
5. 生物医学工程：有限单元法可以应用于生物医学领域的各种问题，如骨骼力学、组织力学、生物电流和生物传递等。
通过对生物体或医学设备建立有限元模型，可以模拟和预测生物体的行为和反应，为生物医学研究和医学工程设计提供指导。
以上只是有限单元法在工程应用中的一部分方面。
由于其灵活性和适用性，有限单元法被广泛应用于各种工程领域，为工程师提供了一种有效的工具来解决现实世界中的复杂问题。
有限单元法原理与应用
有限单元法原理与应用有限单元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种数值计算方法，广泛应用于工程领域的结构分析、流体力学、热传导等问题的求解。
它将复杂的结构或物理现象分割成有限数量的简单单元，通过对每个单元进行数学建模和分析，最终得出整个系统的行为。
本文将介绍有限单元法的基本原理和其在工程领域中的应用。
有限单元法的基本原理是将连续的物理现象离散化为有限数量的单元，每个单元都可以通过简单的数学方程来描述。
这些单元相互连接，形成一个整体的系统，通过对每个单元的行为进行分析，最终得出整个系统的行为。
有限单元法的核心思想是将复杂的问题简化为简单的数学模型，通过数值计算方法求解这些模型，从而得到系统的行为。
有限单元法在工程领域有着广泛的应用。
在结构分析中，可以用有限单元法来模拟各种复杂的结构，如桥梁、建筑、飞机机翼等，通过对结构的受力、变形等进行分析，来评估结构的安全性和稳定性。
在流体力学中，有限单元法可以用来模拟流体的流动行为，如水流、气流等，通过对流体的速度、压力等进行分析，来优化流体系统的设计。
在热传导问题中，有限单元法可以用来模拟物体的温度分布和传热行为，如热传导、对流、辐射等，通过对热场的分析，来优化热传导系统的设计。
有限单元法的应用还不仅限于工程领域，它也被广泛应用于地质勘探、医学图像处理、材料科学等领域。
在地质勘探中，有限单元法可以用来模拟地下岩层的力学行为，来评估地下资源的分布和开采方案。
在医学图像处理中，有限单元法可以用来模拟人体组织的力学行为，来辅助医学诊断和手术设计。
在材料科学中，有限单元法可以用来模拟材料的力学性能和热物理性能，来指导新材料的设计和制备。
总的来说，有限单元法作为一种数值计算方法，具有广泛的应用前景和重要的理论意义。
通过对有限单元法的深入理解和应用，可以更好地解决工程领域中的复杂问题，推动工程技术的发展和进步。
希望本文对有限单元法的原理和应用有所帮助，也希望读者能够进一步深入研究和应用有限单元法，为工程领域的发展做出更大的贡献。
有限单元法原理与应用
yi yj ym
ai x j ym xm y j , bi y j ym , ci xm x j a j x m y i xi y m , b j y m y i , c j xi x m am xi y j x j yi , bm yi y j , cm x j xi
v 4 5 x 6 y
因此可以得到:
ui 1 2X i 3Yi ui 1 2X j 3Yj ui 1 2X m 3Y m v i 4 5X i 6Yi v i 4 5X j 6Yj v i 4 5X m 6Y m
2.3单元应变
•单元内的应变分量可用矩阵表示为：
u x x y v y xy u v y x
应变分 量是常 量
其子矩阵：
bi 1 Bi 0 2A c i
在（x，y）中，
， D , ,
,
,
D
,
,
T
,
D
,
T
整体坐标 系的弹性 矩阵
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
0 e e c m B bm
应力矩阵
S D 0
e
S D B S i
Sj
Sm
有限单元法原理及应用
目
录
(4) 形成整体系统的矩阵方程
(5) 约束处理，求解系统方程
(6) 其它参数计算
整理课件
6
第一章 概述
图1-2 工程问题有限单元法分析流程
整理课件
7
第一章 概述
1.3 工程实例
返 回 章 节 目 录
(a) 铲运机举升工况测试
(b) 铲运机工作装置插入工况有限元分析
图1-3 WJD-1.5型电动铲运机
结构是用来承受和传递载荷的。如果不计材料的
返 回
应变，在其受到任意载荷作用时其形状和位置没有发
章
生刚体位移时，称之为几何不变结构或几何稳定结构，
节 目
反之则称为几何可变结构或几何不稳定结构。几何可
录
变结构不能承受和传递载荷。对结构进行几何构造分
析也是能够对工程结构作有限单元法分析的必要条件。
整理课件
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生 正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称 载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位 移为零。 (1) 具有奇数跨的刚架
① 正对称载荷作用
(a) 对称刚架
（b) 变形状态分析
(c) 对称性利用
图2-22对称性利用示意图
整理课件
19
第二章 结构几何构造分析
整理课件
16
第二章 结构几何构造分析
(3) 按结构自由度分 ①静定结构——自由度为零的几何不变结构。其特征: a. 静定结构的内力及支座反力可全部由平衡方程式
求出，并且解答是唯一的。
b. 静定结构的内力及支座反力与材料的性质和截面 特征构上无外载荷作用时，其内力及支座反力 全为零。
感谢
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有限单元法原理及应用
有限单元法原理及应用有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值分析方法，广泛应用于工程领域中结构力学、流体力学、热传导等问题的数值求解。
它的基本思想是将一个复杂的结构或物理现象分割成有限数量的简单单元，通过对单元的力学行为进行建模，最终得到整个系统的数值解。
本文将围绕有限单元法的原理及其在工程领域中的应用进行详细介绍。
有限单元法的原理。
有限单元法的原理基于力学原理和数学方法，其基本步骤包括，建立数学模型、离散化、单元划分、建立单元刚度矩阵和载荷向量、组装和求解方程、计算结果后处理等。
在建立数学模型时，需要根据实际问题选择合适的数学方程和边界条件，将问题转化为求解一组代数方程。
离散化是指将连续的物理问题划分成若干个小单元，每个单元内的物理行为可以用简单的数学方程描述。
单元划分是将整个结构或领域划分成若干个有限单元，通常采用三角形、四边形、四面体、六面体等几何形状。
建立单元刚度矩阵和载荷向量是对每个单元进行力学行为的建模，根据材料性质和几何形状计算单元的刚度矩阵和载荷向量。
组装和求解方程是将所有单元的刚度矩阵和载荷向量组装成整个系统的刚度矩阵和载荷向量，然后通过数值方法求解代数方程组。
最后，计算结果后处理是对数值解进行分析和可视化，评估结构的性能和稳定性。
有限单元法的应用。
有限单元法在工程领域中有着广泛的应用，包括结构力学、流体力学、热传导等方面。
在结构力学中，有限单元法可以用于分析和设计各种结构，如桥梁、建筑、机械零件等。
通过对结构的受力分析，可以评估结构的安全性和稳定性，指导工程设计和施工。
在流体力学中，有限单元法可以用于模拟流体的流动行为，如水力学、空气动力学等问题的数值模拟。
在热传导中，有限单元法可以用于分析材料的热传导性能，评估材料的热稳定性和散热效果。
总结。
有限单元法作为一种数值分析方法，在工程领域中有着重要的应用价值。
通过对结构、流体、热传导等问题的数值模拟，可以为工程设计和科学研究提供重要的参考和支持。
有限元法的基本原理
第二章有限单元法的基本原理作为一种比较成熟的数值计算方法，有限元的数学基础是变分原理。
经过半个过世纪的发展，它的数学基础已经比较完善。
从数学角度分析，有限元法是以变分原理和剖分插值为基础的数值计算方法。
它广泛的应用于解算各种类型的偏微分方程，特别对椭圆型方程，因为椭圆型方程的边值问题等价于适当的变分问题，即能量积分的级值问题。
通过变分，导出相应的泛涵，再把作用域从几何上剖分为足够小的单元，这样就能够用简单的图形去拟合复杂的边界，用简单的初等函数去模拟单元的性质。
在解算中先对每个单元进行分析，后在通过连接单元的节点对作用域的整体进行分析，就是对泛涵求极值，从而把一个复杂的偏微分方程求解问题，变成解线形代数方程组的问题。
尽管这样会出现大量的未知数，由于采用了矩阵分析的方法，总体上很有规律，适合编制程序用计算机完成。
通常的数学考虑包括这些：1）从古典变分方法原理去定义微分方程边值问题的广义解以及在古典变分方法的框架对有限元进行理论分析。
2）保证偏微分方程边值问题的提法正确，即要求解存在、唯一和稳定，即保证数值解法是可靠的。
3）有限元中重要的一点是采用了分块多项式插值函数，因此，有限元的误差估计转化为插值逼近的误差估计问题。
4）有限元的收敛性和误差估计。
由于本文是应用有限元的理论解决大地测量中的问题，因此，这里将不讨论上叙问题，而是从固体力学的基本方程出发，通过虚功原理建立起离散化的有限元方程。
另外，还以八节点六面体单元为例，简要叙述了实际中最常用的等参单元的概念及其数值变化的一些公式。
§2.1 弹性力学基本方程有限元法中经常要用到弹性力学的基本方程，这里写出这些方程的矩阵表达式。
2-1-1、平衡方程对任意一点的受力情况分析，沿坐标轴方向x, y ,z分解得到平衡方程0*00000000=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z y xxz yz xy z y x F F F z yzz x y z y x τττσσσ 记为： 0=+F A σ其中A 是微分算子，F 是体积力向量。
有限单元法ppt课件
06
有限单元法的发展趋势和展 望
发展趋势
工程应用领域拓展
随着科技的发展，有限单元法在解决 复杂工程问题上的应用越来越广泛， 不仅局限于结构分析，还涉及到流体 动力学、热传导等领域。
与其他方法的结合
有限单元法正与其他数值方法（如有 限差分法、边界元法等）进行交叉融 合，形成更为强大的数值分析工具。
05
有限单元法的优缺点
优点
灵活性
有限单元法允许对复杂的几何形状进 行离散化，适用于解决各种形状和大 小的问题。
高效性
有限单元法能够处理大规模问题，通 过使用计算机技术，可以快速求解。
广泛的应用领域
有限单元法被广泛应用于工程、物理 、生物等领域，是一种通用的数值分 析方法。
易于理解和实现
有限单元法的基本概念直观易懂，且 实现起来相对简单。
01
利用线性代数方法，将 各个单元的数学模型和 节点信息组合成整体方
程组。
03
将节点的未知量返回到 原问题中，得到问题的
解。
05
根据问题的物理性质和 边界条件，建立单元的 数学模型和节点信息。
02
解整体方程组，得到节 点的未知量。
04
有限单元法的特点
适用范围广
可以用于解决各种类型的问题，如弹性力学 、流体力学、传热学等。
高精度与高效率
研究者们致力于开发更高效、精确的 算法，以解决大规模、非线性、动态 等复杂问题。
并行化与云计算应用
随着计算资源的丰富，有限单元法的 计算过程正逐步实现并行化，利用云 计算平台进行大规模计算已成为趋势 。
展望
理论完善与创新
随着工程实践的深入，有限单元法的理论体系将进一步完善，同时会 有更多创新性的算法和模型出现。
有限单元法原理及应用
有限单元法原理及应用有限单元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种用于求解工程问题的数值方法。
它将一个连续问题分割成一系列离散的有限单元，通过对每个单元进行局部的数值近似，再将它们组合起来得到全局解。
有限单元法的基本原理是根据假设的位移关系和应变能量原理，将连续介质离散为有限个单元，然后通过数学方法对每个单元进行近似。
在每个单元内，假设解的形式，并通过插值方法得到每个节点的未知位移。
根据边界条件的限制，将每个单元的刚度矩阵组装成整个结构的刚度矩阵。
最后，通过求解线性方程组，得到整个结构的位移和应力分布。
有限单元法广泛应用于求解各种工程领域的问题，如结构力学、电磁场、流体力学等。
它的应用范围包括但不限于以下几个方面：1. 结构分析：有限单元法可用于结构强度分析、振动分析、热传导分析等。
通过对结构进行离散，可以计算结构的应力、应变分布，以及结构的固有频率和模态形式。
2. 热传导分析：有限单元法可以用于求解具有复杂边界条件的热传导问题。
通过离散化连续介质，可以计算温度分布和热流量分布，进而获取材料的热传导性能。
3. 流体力学：有限单元法可用于求解流体动力学问题，如流体的流动、传热、传质等。
通过将流体域离散化为网格，在每个单元上建立基本流动方程的数值近似，可以计算流体的速度、压力分布，以及各种力学量和热力学量。
4. 电磁场分析：有限单元法可以用于求解电磁场分布及其对物体的影响。
通过离散化电磁场区域，可以计算电场、磁场和电流分布，以及物体的电磁参数。
5. 地下水流动：有限单元法可用于模拟地下水流动和污染传输。
通过离散化地下水流动域，并运用流体力学的基本方程，可以计算地下水的流动速度、压力分布，以及污染物的传输路径和浓度分布。
总之，有限单元法在工程领域有广泛的应用，可以用于求解各种复杂的力学、热学和流体学问题，并为工程设计和分析提供重要的数值仿真工具。
有限单元法原理与应用
有限单元法原理与应用
有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值分析
方法，常用于求解复杂的物理问题。
它将连续物体的区域划分为许多小的离散单元，然后在每个单元内建立局部的数学模型和方程。
通过求解这些局部模型和方程，可以得到整个物体的行为和性能。
有限单元法的基本原理是将连续问题离散化为有限数目的独立子问题。
在每个小单元内，选择一个数学函数作为近似解，并通过将近似解与原问题的偏微分方程进行数值积分和数值迭代，得到近似解的解析解。
将每个小单元的解汇总起来，可以得到整个物体的解。
有限单元法的应用非常广泛，可以用于解决各种工程和科学领域的问题。
例如，它可以用来模拟结构的强度和刚度特性，预测材料的疲劳寿命，优化产品的设计，以及研究流体和热传导等问题。
在建筑工程中，有限单元法可以用来分析建筑结构的荷载和变形，评估结构的安全性。
在汽车制造业中，它可以用来模拟车辆的碰撞和破碎行为，提高车辆的安全性。
在航空航天领域，有限单元法可以用来优化飞机的结构和翼型，提高飞机的性能。
此外，有限单元法还可以应用于地震工程、地下水流动、电磁场分析等领域。
总之，有限单元法通过离散化连续问题，将其转化为独立的子问题，然后通过求解局部模型和方程，得到整体解。
它具有广泛的应用领域，为解决多种复杂问题提供了有效的数值分析方法。
有限单元法简介
3．非线性边界(接触问题) 在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦 接触和摩擦的作用不可忽 接触和摩擦 视，接触边界属于高度非线性边界。 平时遇到一些接触问题，如： • 齿轮传动； • 冲压成型； • 轧制成型； • 橡胶减振器； • 紧配合装配等 当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑 非线性边界条件。实际的非线性可能同时出现上述两种或三种 非线性问题。
(2)用每个单元内所假设的近似函数来分片地表示全求解 域内待求的未知场变量。 • 每个单元内的近似函数由未知场函数(或其导数)在单元各 个节点上的数值和与其对应的插值函数来表达(此表达式 通常表示为矩阵形式)。 • 由于在联结相邻单元的节点上，场函数应具有相同的数 值，因而将它们用作数值求解的基本未知量。
2．几何非线性问题 当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系 应变与位移的关系是非线性关系，这意味 应变与位移的关系是非线性关系 着结构本身会产生大位移或大转动，而单元中的应变却可大可小。 研究这类问题时一般都假定材料的应力与应变呈线性关系 假定材料的应力与应变呈线性关系。 假定材料的应力与应变呈线性关系 这类问题包括： • 大位移大应变问题 如：橡胶部件成形过程 • 大位移小应变问题 如：如结构的弹性屈曲问题
6 有限元法的发展、现状和未来 有限元法的发展、
有限元法的早期工作
•从应用数学的角度考虑，有限元法的基本思想可以追溯到Courant在1943年的工作。 他首先尝试应用在一系列三角形区域上定义的分片连续函数和最小位能原理相结合， 来求解St.Venant扭转问题。 •此后，不少应用数学家、物理学家和工程师分别从不同角度对有限元法的离散理论、 方法及应用进行了研究。 •有限元法的实际应用是随着电子计算机的出现而开始的。首先是Turner，Clough等 人于1956年将刚架分析中的位移法推广到弹性力学平面问题，并用于飞机结构的分 析。他们首次给出了用三角形单元求解平面应力问题的正确解答。三角形单元的特 性矩阵和结构的求解方程是由弹性理论的方程通过直接刚度法确定的。他们的研究 工作开始了利用电子计算机求解复杂弹性力学问题的新阶段。 •1960年Clough进一步求解了平面弹性问题，并第一次提出了“有限单元法”的名称， 使人们更清楚地认识到有限单元法的特性和功效。
有限单元法
M
e
AL
1
210
0
0
1
0
6
0
11 l 0 210
9 70
13 420
l
1 l2 0
13 l
1
l2
105
420 140
0
1
0
0
6
3
0
9 70
13 l 0 420
13 35
11 210
l
0
13 l 420
1 l2 140
0
11 l 210
1 l2 105
一、基本思想
2、单元矩阵
c0 w1, c1 l1, c2 3w1 3w2 2l1 l2
c3 2w1 2w2 l1 l2
w(x,t) w1(t)w1(x) 1w2 (x) w2 (t)w3 (x) 2 w4 (x)
w1(x) 1 3x l2 2x
w3(x) 3 x l 2 2 x
l
l
3 ,w2 (x) l
u(x,t)
w( x, t )
N
(
x)
q
e
N
u1
0
0
w1
0
w2
u 2
0
0
w3
0
w4
一、基本思想
2、单元矩阵
T 1 2
l 0
A
u 2
w2
Hale Waihona Puke dx1 2l
0
Au
w
u w
dx
1 2
l
A0
qeT
N
T
N
qe
dx
1 2
qe
T M e
有限元法的基本原理和应用
有限元法的基本原理和应用前言有限元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种常用的数值分析方法，用于求解工程和物理问题。
它能够将一个复杂的问题分解为许多小的、简单的部分，通过数学方法将这些部分逼近为连续函数，并进行求解。
本文将介绍有限元法的基本原理和应用。
基本原理1.离散化：有限元法将连续域分解为多个离散的小单元，这些小单元称为有限元。
离散化可以将复杂问题简化为易于处理的小部分。
每个有限元由节点和单元组成，节点是问题解的近似点，单元是在节点周围定义的几何形状。
2.变量表示：在有限元法中，通过数学函数对变量进行近似表示。
常用的近似函数有线性、二次、三次等。
通过选择合适的形状函数，可以有效地近似解决问题。
3.形成方程：根据物理方程，将离散域中每个有限元的贡献进行求和，形成一个整体方程。
这个整体方程可以是线性方程、非线性方程、常微分方程等。
通过求解这个整体方程，可以得到问题的解。
应用领域有限元法广泛应用于各个领域，包括但不限于： - 结构分析：有限元法可以用来模拟和分析工程结构的强度、刚度和振动等特性。
通过对结构进行有限元分析，可以预测和优化结构的性能。
- 热传导：有限元法可以用来模拟物体内部的温度分布和热传导过程。
通过对热传导问题进行有限元分析，可以优化物体的热设计和散热能力。
- 流体力学：有限元法可以用来模拟和分析流体的流动和压力分布。
通过对流体力学问题进行有限元分析，可以优化管道、风扇等设备的设计。
- 电磁场：有限元法可以用来模拟和分析电磁场的分布和电磁设备的性能。
通过对电磁场问题进行有限元分析，可以优化电磁设备的设计和电磁干扰问题。
有限元法的优点和局限性•优点：有限元法适用于复杂的几何形状和边界条件，并可以考虑多物理场耦合。
它具有较高的灵活性，可以适应各种问题的求解。
•局限性：有限元法的计算精度和效率受到离散化精度和网格剖分的影响。
对于高度非线性和大变形问题，有限元法可能需要更多的时间和计算资源。
有限单元法
有限单元法有限单元法，是一种有效解决数学问题的解题方法。
其基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。
根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。
从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。
不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。
对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数 ;最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小;在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。
令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。
插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。
有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值;另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。
有限单元法原理和算例
优点
• 适用于复杂几何形状 • 结果准确性高 • 可以精确模拟材料非线性行为
局限性
• 计算量大，对计算机性能要求高 • 需要经验丰富的工程师进行建模和解算 • 某些问题不适用，如高速撞击等动态响应
有限单元法在工程实例中的应 用
实例1：模拟汽车车身的刚度和振动特性，优化设计。 实例2：分析桥梁结构的受力分布和变形情况，提高结构的安全性。 实例3：计算机芯片散热分析，优化散热器设计。
有限单元法的基本原理
单元划分
将结构或物体划分为更小、更简单的几何单 元，如三角形、四边形。
单元变形分析
根据单元材料属性，在每个单元内进行变形 分析以求解各个单元的位移、应变和应力。
单元属性定义
为每个单元分配材料属性和边界条件，如弹 性模量和受力。
整体单元拼装
将所有单元的结果组合起来形成整个结构的 位移、应变和应力场。
对求解结果进行后处理，如位移云 图、应力分布。
有限单元法的应用领域
结构力学
用于分析和设计建筑、桥梁等结构的力学性 能。
流体力学
用于模拟流体在管道、容器中的流动场。
热传导
用于模拟热传导过程，如热传导板和散热器 的设计。
电磁场
用于计算电磁场在电机、变压器等电气设备 中的分布。
有限单元法的优点和局限性
结论和总结
有限单元法是一种强大的工程仿真方法，广泛应用于各个领域。通过离散化、 分析和求解，我们可以更好地理解和优化复杂结构和物体的行为。
有限单元法的算法流程
1
几何模型
描述结构的实际几何形状和尺寸。
网格划分
2
将结构划分为有限数量的单元，形
成网格。
3
边界条件
定义结构的边界条件，如约束和外力。
有限单元法
37
•从单纯的结构力学计算发展到求解许多物理场问题 有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而
来,逐步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析, 实践证明这是一种非常有效的数值分析方法。而且从 理论上也已经证明,只要用于离散求解对象的单元足 够小,所得的解就可足够逼近于精确值。所以近年来 有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁 场、渗流和声场等问题的求解计算,最近又发展到求 解几个交叉学科的问题。
时计算模型的规模不能超过1万阶方程。Microsoft Windows操作
系统和32位的Intel Pentium 处理器的推出为将PC机用于有限元
分析提供了必需的软件和硬件支撑平台。因此当前国际上著名的
有限元程序研究和发展机构都纷纷将他们的软件移植到Wintel平
台上。
42
43
44
4.2 有限单元法的分析步骤
40
但是如果用手工方式来建立这个模型,然后再处 理大量的计算结果则需用几周的时间。可以毫不夸 张地说,工程师在分析计算一个工程问题时有80%以 上的精力都花在数据准备和结果分析上。
因此目前几乎所有的商业化有限元程序系统都 有功能很强的前置建模和后置数据处理模块。在强 调"可视化"的今天,很多程序都建立了对用户非常友 好的GUI(Graphics User Interface),使用户能以可 视图形方式直观快速地进行网格自动划分,生成有限 元分析所需数据,并按要求将大量的计算结果整理成 变形图、等值分布云图,便于极值搜索和所需数据的 列表输出。
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平面应力
平面应变
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有限单元法基本原理和数值方法 (2)
有限单元法基本原理和数值方法1. 引言有限单元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种用于求解工程问题的数值计算方法。
它的基本原理是将连续体分割为离散的有限单元，通过建立有限单元间的关系，近似求解连续体的行为。
本文将介绍有限单元法的基本原理和数值方法。
2. 有限单元法基本原理有限单元法基于两个基本假设：一是一个连续物体可以用小的有限单元来近似表示；二是连续物体在每个有限单元内有近似均匀的力和位移。
有限单元法的基本原理可以概括为以下几个步骤：2.1 离散化将连续物体划分为有限个离散的单元，每个单元都有自己的性质和参数。
通常采用三角形、四边形、四面体等简单形状的单元。
2.2 建立单元间的关系通过节点和单元之间的连接关系来构建整个有限元模型。
每个单元都与相邻的单元共享一些节点，通过共享的节点建立单元间的关系。
2.3 定义单元的属性为每个单元定义材料性质、几何属性和荷载条件等参数，这些参数将用于描述单元的行为。
2.4 定义求解问题的边界条件为有限元模型定义相应的边界条件，如位移边界条件、力边界条件等。
2.5 利用单元间的关系建立方程通过应变能最小原理，利用单元间的关系建立求解整个结构的方程。
2.6 求解方程将建立的方程离散化，采用数值方法求解得到解。
3. 有限单元法数值方法有限单元法中常用的数值方法有直接法和迭代法。
3.1 直接法直接法是指直接求解线性方程组的方法，通常使用高斯消元法、LU分解法等。
直接法的优点是计算简单，稳定性好。
但是当方程组规模较大时，计算量会很大。
3.2 迭代法迭代法是指通过迭代逼近求解方程组的方法，常用的迭代法有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法等。
迭代法的优点是计算量相对较小，适用于大规模方程组。
但是迭代法的收敛性需要保证，且需要选择合适的迭代停止准则。
4. 有限单元法应用有限单元法广泛应用于工程领域的结构分析、流体力学、电磁场分析等。
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E2
2 2
n(1 n 2 ) n (1 ) 0 2 2 1 n 2(1 1 ) 1 12 0 0 0 m(1 1 ) 1 1 2n 22
当层面与x轴有一倾角时[D]必须进行变换。
则在（x’,y’）中，
Hale Waihona Puke 对于平面应力问题，温度引起的初应变为
0
T 其中：α为膨胀系 T 数 0 温度不引起剪切变形
对于平面应变问题
μ为泊松 比
0
T 1 T 0
对于层状各项异性材料： 由于线膨胀系数可能随方向的变化而变化，设X’,Y’为层状材料 的主应力方向，设相应的膨胀系数为α1，α2， X’与X夹角为φ，则在 平面应力问题的初应变为：
2.3单元应变
•单元内的应变分量可用矩阵表示为：
u x x y v y xy u v y x
应变分 量是常 量
其子矩阵：
bi 1 Bi 0 2A c i
3.各向异性体
设y轴垂直于层面，则有如下应力应变关 系：
x x E 1 2 y E 2 1 z E 1 , xy xy G 2 y 2 x E 2 y E 2 2 z E 2 , yz yz G 2 z 1 x E 1 2 y E 2 z E 1 , zx 2 1 ) zx E 1 (1
E
E
由矩阵表示为：
x 1 E y 2 1 xy 0
1 0
0 0 1 2
x x 0 y y 0 xy xy 0
解得
u
1 (ai bi x ci y)ui (a j b j x c j y)u j (am bm x cm y)u m 2A
v
1 (ai bi x ci y)vi (a j b j x c j y)v j (am bm x cm y)vm 2A
1 xi 1 A 1 x j 2 1 x m
yi yj ym
ai x j ym xm y j , bi y j ym , ci xm x j a j x m y i xi y m , b j y m y i , c j xi x m am xi y j x j yi , bm yi y j , cm x j xi
0 ci (i, j , m) bi
带入到位 移函数
bi 1 0 2A c i
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
ui v b 0 i u j 1 i cm 0 v j 2A c i bm u m v m
记
E1 E 2 n,G2 E 2 m
平面应力问题的弹性矩阵为：
n n 2 E2 D 1 (1 n 2 ) n 2 2 0 0
平面应变问题的弹性矩阵：
0 2 m(1 n 2 ) 0
D
(1 1 ) 1 1 2n
由以上可以解出：
x y xy
E
1
2
( x x 0 y y 0 ) ( x x 0 y y 0 ) 1 xy 0 ) ( xy xy 0） 2 2 1
E
1
2
( xy 2 ) (1
0
T 1 T 0
1 (1 ) E(1 ) D 1 (1 ) 1 1 2 0 0
0 1 2 2(1 ) 0
在（x，y）中，
， D , ,
,
,
D
,
,
T
,
D
,
T
整体坐标 系的弹性 矩阵
因此，单元位移：
u r N e INi v
IN j
INm
e
其中：
1 0 I 0 1
位移模式需满足以下三个条件： 1。位移模式必须反映单元的刚体位移 2。位移模式必须反映单元的常量应变 3。位移模式应尽可能反映位移的连续性
0
T , 1 x0 y ,0 2T 0 x ,y ,0
, 0
T
0
cos2 sin2 sin cos
为了简化位移函数的表达式，记：
ai bi x ci y N a j b j x c j y Ni j 2A 2A a m bm x c m y Nm 2A u N i ui N j u j N m u m
简单表达式：
v Ni vi N j v j N m vm
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
0 e e c m B bm
2.4初应变
初应变是指与应力无关，由温度变化、收缩、晶体生长等因素引起的应 变，即
0
x 0 yo xy 0
E S i D Bi 2 2 )A (1 1
bi bi
ci 2
ci ci 1 bi 2
2.各项同性体——平面应变
1 x ( x E 1 y ( y E (1 2 xy E 其中， x
z x ) T ) xy 1 ( z x y ) T 0 E y z ) T
再次得到
D ( 0 )
其中：
或
D ( 0 )
[D]为弹性矩阵，它决定于E和μ
bi 1 0 2A c i
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
ui v b 0 i u j 1 i cm 0 v j 2A c i bm u m v m
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
0 e e c m B bm
应力矩阵
S D 0
e
S D B S i
Sj
Sm
v 4 5 x 6 y
因此可以得到:
ui 1 2X i 3Yi ui 1 2X j 3Yj ui 1 2X m 3Y m v i 4 5X i 6Yi v i 4 5X j 6Yj v i 4 5X m 6Y m
D
,
D, D
2 sin cos 2 cos 2 sin cos sin cos cos2 sin 2 sin2
经过变换，在（x，y）中，γxy0可能不为0
2.5平面应力
1.各向同性体——平面应力
有广义胡克定律：
y x x x 0 E E y x y y 0 E E 2 ) (1 xy xy xy 0 E
2.2位移函数
每一结点具有两个位移分量：
i
ui v i
每个单元六个结点的位移分量可以表示为一个向量：
i e j m 假定单元内的位移分量是坐标的线性函数：
u 1 2 x 3 y
有限单元法原理与应用
——平面问题
2.1连续介质的离散化
连续介质的离散
连续介质的有限单元分析包含三个基本方面：介质的离散化、单元特性计算以及单元 组合体的结构分析。
对于二维连续介质，以图所示的建筑在岩石 基础上的支墩坝为例，用有限单元法进行分 析的步骤如下： (1)用虚拟的直线把原介质分割成有限个 三角形单元，这些直线是单元的边界，几条 直线的交点称为结点。 (2)假定各单元在结点上互相铰接，结点 位移是基本的未知量。 (3)选择位移函数。 (4)通过位移函数，用结点位移唯一地表 示单元内任一点的应变；再利用广义虎克定 律，用结点位移可唯一地表示单元内任一点 的应力。 (5)利用能量原理，找到与单元内部应力状态等效的结点力，再利用单元应力与结点位移 的关系，建立等效结点力与结点位移的关系。 (6)将每一单元所承受的荷载，按静力等效原则移置到结点上。 (7)在每一结点建立用结点位移表示的静力平衡方程，得到一个线性方程组：解出这个 方程组，求出结点位移，然后可求得每个单元的应力。