样本及抽样分布ppt
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浙大概率论与数理统计课件第六章样本及抽样分布
f *( x, x2 ,, xn ) =f(x1) f(x2) … f(xn)
简单随机样本是应用中最常见的情形，今后， 当说到“X1,X2,…,Xn是取自某总体的样本”时，若
不特别说明，就指简单随机样本.
2021/4/22
13
3. 总体、样本、样本值的关系
事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确 定的值. 如我们从某班大学生中抽取10人测量身高, 得到10个数，它们是样本取到的值而不是样本. 我 们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量.
2021/4/22
2
例如：
某公路上行驶车辆的速度服从什么分布是未知的；
电视机的使用寿命服从什么分布是未知的； 产品是否合格服从两点分布，但参数——合格率p是 未知的；
数理统计的任务则是以概率论为基础，根据试验 所得到的数据，对研究对象的客观统计规律性做出合 理的推断。
2021/4/22
3
学习的基本内容
N(0,1), 则称随机变量：
2
X
2 1
X 22
Xn2
所服从的分布为自由度为 n 的 分2布.
记为 2 ~ 2 (n)
2021/4/22
28
22 分布的密度函数为
f
( x; n)
1
2n 2 (n
2)
n 1 x
x2 e 2
0
其中伽玛函数( x)通过积分
( x) ett x1dt, x 0 0
bk
1n
n
1
(
i 1
xi
x )k
k 1,2,
k 1,2,
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24
请注意 :
若总体X的k阶矩E( X k ) k存在，则当n 时，
简单随机样本是应用中最常见的情形，今后， 当说到“X1,X2,…,Xn是取自某总体的样本”时，若
不特别说明，就指简单随机样本.
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3. 总体、样本、样本值的关系
事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确 定的值. 如我们从某班大学生中抽取10人测量身高, 得到10个数，它们是样本取到的值而不是样本. 我 们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量.
2021/4/22
2
例如：
某公路上行驶车辆的速度服从什么分布是未知的；
电视机的使用寿命服从什么分布是未知的； 产品是否合格服从两点分布，但参数——合格率p是 未知的；
数理统计的任务则是以概率论为基础，根据试验 所得到的数据，对研究对象的客观统计规律性做出合 理的推断。
2021/4/22
3
学习的基本内容
N(0,1), 则称随机变量：
2
X
2 1
X 22
Xn2
所服从的分布为自由度为 n 的 分2布.
记为 2 ~ 2 (n)
2021/4/22
28
22 分布的密度函数为
f
( x; n)
1
2n 2 (n
2)
n 1 x
x2 e 2
0
其中伽玛函数( x)通过积分
( x) ett x1dt, x 0 0
bk
1n
n
1
(
i 1
xi
x )k
k 1,2,
k 1,2,
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24
请注意 :
若总体X的k阶矩E( X k ) k存在，则当n 时，
东华大学《概率论与数理统计》课件 第6章样本与抽样分布
X
的
n
一
个
样
本的
观察
值
,
则g( x1 , x2 , xn )是统计量g( X1 , X 2 , X n )的观察值.
例1 设总体X 服从两点分布b(1, p) ，其中p 是未知参数，
X1,
,
X
是
5
来自X的简
单
随机样本.试指出
X1
X
，
2
max
1 i 5
X
i
,
X5 2 p,
( X5 X1)2
哪些是统计量,哪些不是统计量，为什么？
从国产轿车中抽5辆进行耗 油量试验
样本容量为5 抽到哪5辆是随机的
对总体X在相同条件下，进行n次重复、独立观察，其结果依次记 为 X1,X2,…,Xn.这样得到的随机变量X1,X2,…,Xn.是来自总体的一个简单 随机样本，其特点是：
1. 代表性：X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体X有相同的分布. 2. 独立性：X1,X2,…,Xn相互独立.
k同分布,
E(
X
k i
)
k
k 1, 2, , n 再由辛钦大数定律可得上述结论.
再由依概率收敛性质知，可将上述性质推广为
g( A1 , A2 , , Ak ) P g(1, 2 , , k )
其中g为连续函数.
矩估计法的理论依据
2. 经验分布函数
设X1, X2,
,
X
是
n
总
体
F的
一
个Hale Waihona Puke 本，用S(
x
则称变量
t X Yn
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布.
第四篇抽样和分布1(药学)PPT课件
该法要求各层间差异尽可能大，才能得到有较 好代表性的样本，并便于各层间分析比较。
24
4、整群抽样 先将总体分成若干互不重叠部分（称为群），再 从各群中随机抽取某群或几群作为样本。 例：调查某年级学生上网情况
可把每班作为一群，从中随机抽取一班或几班作 为样本。
该法适用于大规模调查，易于组织，节省人 力物力，但误差较大，适于群体差异较小的调 查对象。
8
实例 研究某地区12岁儿童生长发育情 况,总体和个体应为什么？ 显然，总体为该地区的全体儿童
个体为每一个儿童。
当然，衡量儿童生长发育情况要通过诸如身高、 体重等数量指标进行，所以对总体的研究实际上 是对该地区的全体儿童的这些指标值概率分布进 行研究。
9
根据研究指标的多少，总体分为 一维总体-研究一项描述指标，常用随机变量X表示； 多维总体-研究多项描述指标，常用随机向量表示，
14
一般地,对有限总体，应采用有放回抽样，对 无限总体（或数量较多），可采用无放回抽样 （近似看作有放回），否则违背独立性。
简单随机抽样具体实施的方法： 抽签法
随机数法
15
三、统计量(Statistic )
样本是对总体的代表和反映，抽样的目的是利用样本值对 总体进行统计推断。
而对总体进行统计推断，常根据需要的不同，利用样本构 造一些包含所需要的多种信息的量，就是关于样本 X1 ,X2 ,…,Xn的一些函数，这些函数统称为统计量。
3
例如，在几何学中要证明“等腰三角形底角相等”, 只须从“等腰”这个前提出发，运用几何公理，一步一 步推出这个结论.这是演绎推理。
而一个习惯于统计思想的人，可能这样推理： 做很多大小形状不一的等腰三角形，实地测量 其底角，看差距如何，根据所得资料看看可否作 出“底角相等”的结论. 这样做就是归纳式的方法.
24
4、整群抽样 先将总体分成若干互不重叠部分（称为群），再 从各群中随机抽取某群或几群作为样本。 例：调查某年级学生上网情况
可把每班作为一群，从中随机抽取一班或几班作 为样本。
该法适用于大规模调查，易于组织，节省人 力物力，但误差较大，适于群体差异较小的调 查对象。
8
实例 研究某地区12岁儿童生长发育情 况,总体和个体应为什么？ 显然，总体为该地区的全体儿童
个体为每一个儿童。
当然，衡量儿童生长发育情况要通过诸如身高、 体重等数量指标进行，所以对总体的研究实际上 是对该地区的全体儿童的这些指标值概率分布进 行研究。
9
根据研究指标的多少，总体分为 一维总体-研究一项描述指标，常用随机变量X表示； 多维总体-研究多项描述指标，常用随机向量表示，
14
一般地,对有限总体，应采用有放回抽样，对 无限总体（或数量较多），可采用无放回抽样 （近似看作有放回），否则违背独立性。
简单随机抽样具体实施的方法： 抽签法
随机数法
15
三、统计量(Statistic )
样本是对总体的代表和反映，抽样的目的是利用样本值对 总体进行统计推断。
而对总体进行统计推断，常根据需要的不同，利用样本构 造一些包含所需要的多种信息的量，就是关于样本 X1 ,X2 ,…,Xn的一些函数，这些函数统称为统计量。
3
例如，在几何学中要证明“等腰三角形底角相等”, 只须从“等腰”这个前提出发，运用几何公理，一步一 步推出这个结论.这是演绎推理。
而一个习惯于统计思想的人，可能这样推理： 做很多大小形状不一的等腰三角形，实地测量 其底角，看差距如何，根据所得资料看看可否作 出“底角相等”的结论. 这样做就是归纳式的方法.
随机抽样用样本估计总体正态分布.ppt
各自特点
从总体中逐个 抽取
将总体分成几 层进行抽取
将总体均分成 几部分，按事 先确定的规则 在各部分抽取
相互联 系
最基本 的抽样 方法
各层抽 样时采 用简单 随机抽
样
在起始 部分抽 样时采 用简单 随机抽
样
23
适用范 围
总体中 的个体 数较少
总体由 差异明 显的几 部分组
成
总体中 的个体 数较多
2.频率分布直方图会使样本的一些数字特征更明显，
9
(2)依题意，ξ 的可能取值为 0,1,2,3，则 P(ξ＝0)＝CC31382＝1545，P(ξ＝1)＝CC14C31228＝2585， P(ξ＝2)＝CC24C31218＝1525，P(ξ＝3)＝CC31342＝515. 因此，ξ 的分布列如下：
所以 Eξ＝0×1545＋1×2585＋2×1525＋3×515＝1.
体的方差最小，0
21
1．统计的基本思想方法是用样本估计总体，即用局 部推断整体，这就要求样本应具有很好的代表性， 而样本良好客观的代表性，完全依赖抽样方法． 三种抽样方法的比较：
22
类别 简单随机抽样
分层抽样
系统抽样
共同点
①抽样过程中 每个个体被抽 取的概率是相 等的；②均属 于不放回抽样
在区间(68,75)中的概率．
7
素材1
设矩形的长为 a，宽为 b，其比满足 b∶a＝
5－1 2
≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩
形常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取
两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：
甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639
统计学课件第六章抽样调查PPT课件
特点
每个样本被选中的机会都 相等，样本的代表性相对 较好。
分层抽样
定义
先将总体按一定标准分成 若干层次或群，然后从各 层或群中按随机原则抽取 样本。
方法
分类抽样、比例抽样、类 型抽样。
特点
能够提高样本的代表性， 降低误差，减少资源浪费。
系统抽样
定义
先将总体中的所有个体按某种顺序排列，然后按 照固定的间隔或系统选取样本。
改进抽样方法
采用更科学的抽样方法和技术，如分层抽样、系统抽样等，以提 高样本的代表性。
提高样本代表性
在抽样过程中尽量减少非随机误差，如无回答、不完整数据等， 以提高样本对总体的代表性。
05 抽样调查的组织与实施
抽样调查的设计
确定调查目的
明确调查的目标和意图，为后 续的抽样设计提供指导。
确定调查对象
合理安排问题的顺序、布局和格式，以提高 问卷的易用性和回答率。
确定调查方式
选择合适的调查方式，如自填式、面访式等， 并确定数据收集的途径。
测试与修正
对问卷进行测试和修正，确保问卷的准确性 和可靠性。
调查的实施与质量控制
培训调查员
对调查员进行培训，确保他们了解调 查目的、问卷内容、调查方法等。
现场实施
将总体分成若干个群集或组，然后从每个 群集或组中抽取一定数量的样本，也称为 簇抽样或组抽样。
抽样调查的应用场景
01
02
03
04
市场调查
通过对目标市场的部分消费者 进行调查，了解市场需求、消 费者行为和产品反馈等信息。
社会调查
通过对一定范围内的社会成员 进行调查，了解社会现象、人 口状况和社会问题等信息。
统计学课件第六章抽样调查ppt课 件
概率论第六章样本及抽样分布
2 1 2 2
本相互独立，记
1 n1 X Xi n1 i 1 1 n2 Y Yi n2 i 1
则有 ⑴
2 1 2 2 2 1 2 2
1 n1 S12 ( X k X )2 n1 1 k 1 1 n2 2 S2 (Yk Y ) 2 n2 1 k 1
S / ~ F (n1 1, n2 1) S /
⑵ 当 时
2 1 2 2 2
X Y ( 1 2 ) ~ N (0,1) 1 1 n1 n2
(n1 1) S12
2 1
2 (n2 1) S2
2 2
~ 2 (n1 n2 2)
X Y ( 1 2 ) ~ t (n1 n2 2) 1 1 S n1 n2
2
又因为
(n 1)S 2
2
~ (n 1)
2
X n1 X n
故 Y
(n 1) S 2
n n 1 ~ t (n 1) /(n 1)
2
X n1 X n Y S
n ~ t (n 1) n 1
例4
设总体X , Y 相互独立 X ~ N (0,32 ) , Y ~ N (0,32 ) ,
2
X n1 X n n X 1 , X 2 ,, X n , X n1 , 求 Y 的分布 . S n 1 1 n 1 n 2 2 其中 X n X i , S ( Xi X n ) n i 1 n 1 i 1
1 2 解 由已知得 X n1 ~ N ( , ) , X n ~ N ( , ) , n n 1 2 所以 X n1 X n ~ N (0, ) n n 标准化得 X n1 X n ~ N (0,1) n 1
本相互独立，记
1 n1 X Xi n1 i 1 1 n2 Y Yi n2 i 1
则有 ⑴
2 1 2 2 2 1 2 2
1 n1 S12 ( X k X )2 n1 1 k 1 1 n2 2 S2 (Yk Y ) 2 n2 1 k 1
S / ~ F (n1 1, n2 1) S /
⑵ 当 时
2 1 2 2 2
X Y ( 1 2 ) ~ N (0,1) 1 1 n1 n2
(n1 1) S12
2 1
2 (n2 1) S2
2 2
~ 2 (n1 n2 2)
X Y ( 1 2 ) ~ t (n1 n2 2) 1 1 S n1 n2
2
又因为
(n 1)S 2
2
~ (n 1)
2
X n1 X n
故 Y
(n 1) S 2
n n 1 ~ t (n 1) /(n 1)
2
X n1 X n Y S
n ~ t (n 1) n 1
例4
设总体X , Y 相互独立 X ~ N (0,32 ) , Y ~ N (0,32 ) ,
2
X n1 X n n X 1 , X 2 ,, X n , X n1 , 求 Y 的分布 . S n 1 1 n 1 n 2 2 其中 X n X i , S ( Xi X n ) n i 1 n 1 i 1
1 2 解 由已知得 X n1 ~ N ( , ) , X n ~ N ( , ) , n n 1 2 所以 X n1 X n ~ N (0, ) n n 标准化得 X n1 X n ~ N (0,1) n 1
3样本及抽样分布
x
n n 1 1 2 2 2 2 s ( x x ) [ x n x ] i i n 1 i 1 n 1 i 1
x n
i 1
i
第三章 样本及抽样分布
s
1 2 ( xi x) n 1 i 1
n
§3 抽样分布
1 n k a k x i , k 1,2 n i 1 1 n bk ( x i x ) k , k 1,2 n i 1
2
n
第三章 样本及抽样分布
§3 抽样分布
二、 常用统计量的分布
1) 2 分布 设( X 1 , X n )为来自于正态总体 N (0,1)的样本，
则称统计量：
X X
2 2 1
2
2 n
所服从的分布为自由度 是n的 分布。
记为 ~ (n)
2 2
2 分布具有下面的性质：
t 0.95 (9) 1.___ 8331. 2 __________
第三章 样本及抽样分布
3) F 分布
X / n1 F Y / n2
§3 抽样分布
若 X ~ 2 (n1 ), Y ~ 2 (n2 ), X ,Y 独立， 则 称随机变量
所服从的分布为自由度
是n1 , n2 的 F 分布，记作 F ~ F (n1 , n2 ).
定理：若 F ~ F (n1 , n2 ),则 1 / F ~ F (n2 , n1 ).
对于给定的 (0 1)， 称 满 足 条 件 ： P{ F F ( n1 , n2 )}
的点 F (n1 , n2 )为F分布的 上分位点 。
F (n1 , n2 )
概率论与数理统计基本概念及抽样分布PPT课件
~
2 (n1 ),
2 2
~
2 (n2 ), 且它们相互独立，
则
2 1
2 2
~
2 (n1
n2 )
《概率统计》
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结束
4. 2分布的百分位点
对给定的α（0＜α＜1）
（1）称满足
P{ 2
2
(n)}
，即
f ( y)dy
x2 ( n)
的点为 2分布的上100α百分位点。
f(y)
（2）称满足
注：在研究中，往往关心每个个体的一个(或几个)数量指标和 该数量指标在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量 指标的全体就是总体.
或，总体：研究对象的某项数量指标的值的全体.
《概率统计》
某批 灯泡的 寿命
该批灯泡寿命的 全体就是总体
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结束
为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若 干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程 为 “抽样”.
( x)
（1）称满足条件 P{X＞Xα} =α，
α
即
( x)dx
X
的点Xα为N(0，1)分布的上100α百分位点.
X1－α
0
由于 P{X X } 1 记 －Xα= X1－α
（2）称满足条件 P {| X | X }
2
2
的点 X 为N(0，1)分布的双侧100α百分位点.
X
2
则
E(X )
E(1 n
n i 1
Xi)
1 n
n i 1
E(Xi )
1 n
n
D(X ) D(1 n
n i1
Xi)
四章样本及抽样分布
E(X )
1 n
n i 1
E( X i )
D(X )
1 n2
n
2
D(Xi )
i 1
n
X ~ N(, 2 )
n
X ~ N (0, 1) / n
iid
2.若X1,,X n ~ N (, 2 ), 则 (1) X与S 2相互独立; (2) 2
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1);
(3)T X ~ t(n 1).
第四 章 样本及抽样分布
引言 run 随机样本 抽样分布
4.1 随机样本 一、总体与样本
1. 总体：研究对象旳全体。 一般指研究对象旳某项数量指标。 构成总体旳元素称为个体。
从本质上讲，总体就是所研究旳随机变量或 随机变量旳分布。
2. 样本：来自总体旳部分个体X1， … ，Xn 假如满足： （1）同分布性： Xi， i=1,…,n与总体同分布. （2）独立性： X1，… ，Xn 相互独立； 则称为容量为n 旳简朴随
P{ 1
1
P{ 1 F
F (n2 , n1)}
} 1
F F1 (n1, n2 )
P{ 1
1 }
得证!
F F1 (n1, n2 )
4.3 正态总体旳抽样分布定理
iid
1.若X1 ,,Xn ~ N(, 2 ), 则U
X / n
~
N(0, 1)
证明:
X
1 n
n i 1
Xi
是n 个独立旳正态随 机变量旳线性组合,故 服从正态分布
i 1
称为自由度为n的 2 分布.
2.2—分布旳密度函数f(y)曲线
f
(y)
极限定理 样本及抽样分布
f ( y)
n =1
n=5 n = 15
O
y
χ 2 (n)分布具有以下性质 分布具有以下性质:
2 χ2 χ2 χ2 (1)如果 1 ~ χ 2 (n1 ), χ2 ~ χ 2 (n2 )且 1 与 2 相互独立 2 χ2 则 1 + χ2 ~ χ 2 (n1 + n2 )
(2)如果 ~ χ (n), 则有 (χ ) = n, D(χ ) = 2n. χ E
1 n E(S ) = E( Xi2 ) − nE( X 2 ) ∑ n − 1 i=1
2
1 σ 2 2 2 2 = ∑(σ + µ ) − n(µ + n ) = σ n − 1 i=1
n 2
第二节 抽样分布
χ2 分布 1、 、
是来自总体N(0，1)的样本，称统计量 的样本， 设X1,X2…Xn是来自总体 ， 的样本
1 2 2 (∑ Xi + ∑ X − 2∑ Xi X ) = n − 1 i =1 i =1 i =1 n n n 1 2 2 X = ∑ Xi ⇒ ∑X 2 X = 2 X∑Xi ...X 2 = nX 2 = X + X + = nX= ⇒ ∑Xi n i =1 i =1 i =1
n n n
1 2 2 (∑Xi + nX − 2nX 2 ) = n − 1 i =1
定义5.1 设随机变量序列Y 是常数, 定义5.1 设随机变量序列 1 , Y2 …Yn , a是常数, 是常数 对于任意正数ε, 有
n
lim P { Yn − a < ε } = 1, →∞
则称序列 Y1 , Y2 L Yn ... 依概率收敛于 a , 记为 P Yn → a .
概率课件-样本及抽样分布
是来自总体的一个样本，则
(1) E( X ) E( X ) ,
(2) D( X ) D( X ) 2 n ,
n
(3) E(S 2 ) D( X ) 2
矩估計法的 理論根據
若总体X的k阶矩E( X k ) k存在，则
(4) Ak
1 n
n i 1
Xik
p k
k 1, 2,
.
(3)证明：E(S2 )
2. 樣本
• 總體分佈一般是未知，或只知道是包含未知參 數的分佈。
• 為推斷總體分佈及各種特徵，按一定規則從總 體中抽取若干個體進行觀察試驗，以獲得有關 總體的資訊，這一抽取過程稱為 “抽樣”。
• 所抽取的部分個體稱為樣本。 • 樣本中所包含的個體數目稱為樣本容量。
对总体X在相同的条件下，进行n次重复、独立 观察，其结果依次记为X1，X2，，Xn .
概率論與數理統計的區別： • 概率論所研究的隨機變數，其分佈都是假設已知
的，在這個前提下研究其性質、特點和規律性。 • 數理統計所研究的隨機變數，其分佈是未知或不
完全知道的。需要通過獨立重複的觀察並對觀察 數據進行分析，來推斷其分佈。
數理統計的任務就是研究有效地收集、整理、 分析所獲得的有限的資料，對所研究的問題, 盡 可能地作出精確可靠的結論.
Y ( X1 X2 X3 )2 ( X4 X5 X6 )2
试决定常数C，使随机变量CY 服从 2分布.
解: 因为 X1 X2 X3 ~ N (0,3) 所以 X1 X2 X3 ~ N (0,1) 3
从而
X1
X2 3
X3
2
~
2 (1)
同理可知
X4
X5 3
X6
2
(1) E( X ) E( X ) ,
(2) D( X ) D( X ) 2 n ,
n
(3) E(S 2 ) D( X ) 2
矩估計法的 理論根據
若总体X的k阶矩E( X k ) k存在，则
(4) Ak
1 n
n i 1
Xik
p k
k 1, 2,
.
(3)证明：E(S2 )
2. 樣本
• 總體分佈一般是未知，或只知道是包含未知參 數的分佈。
• 為推斷總體分佈及各種特徵，按一定規則從總 體中抽取若干個體進行觀察試驗，以獲得有關 總體的資訊，這一抽取過程稱為 “抽樣”。
• 所抽取的部分個體稱為樣本。 • 樣本中所包含的個體數目稱為樣本容量。
对总体X在相同的条件下，进行n次重复、独立 观察，其结果依次记为X1，X2，，Xn .
概率論與數理統計的區別： • 概率論所研究的隨機變數，其分佈都是假設已知
的，在這個前提下研究其性質、特點和規律性。 • 數理統計所研究的隨機變數，其分佈是未知或不
完全知道的。需要通過獨立重複的觀察並對觀察 數據進行分析，來推斷其分佈。
數理統計的任務就是研究有效地收集、整理、 分析所獲得的有限的資料，對所研究的問題, 盡 可能地作出精確可靠的結論.
Y ( X1 X2 X3 )2 ( X4 X5 X6 )2
试决定常数C，使随机变量CY 服从 2分布.
解: 因为 X1 X2 X3 ~ N (0,3) 所以 X1 X2 X3 ~ N (0,1) 3
从而
X1
X2 3
X3
2
~
2 (1)
同理可知
X4
X5 3
X6
2
抽样和抽样分布培训课件(PPT 49张)
0.07 0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808 0.7157 0.7486 0.7794 0.8078 0.8340 0.8577 0.8790 0.8980 0.9147 0.9292 0.9418 0.9525 0.9616 0.9693 0.9756 0.9808 0.9850 0.9884 0.9911 0.9932 0.9949 0.9962 0.9972 0.9979 0.9985 0.9989
7
自有限总体的抽样
• 无放回抽样：一个元素一旦选入样本，就从总体中剔除， 不能再次被选入。 • 放回抽样：一个元素一旦选入样本，仍被放回总体中。
先前被选入的元素可能再次被选，并且在样本中可出现
多次（多于一次）。
8
自无限总体的抽样
• 无限总体经常被定义为一个持续进行的过程，总体的元 素由在相同条件下过程无限运行下去产生的每一项构成。 在这种情况下，对总体内所有项排列是不可能的。
14
点估计
样本均值 51814.00美元 样本标准差
3347.72美元
样本比率 0.63
点估计的 统计过程
15
由30名管理人员组成的简单随机样本的点估计值
16
由30名管理人员组成的500个简单随机样本的点估计值
17
由30名管理人员组成的500个简单随机样本的抽样分布
• 抽样分布：样本统计量所有可能值构成的概率分布。
0.04 0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700 0.7054 0.7389 0.7704 0.7995 0.8264 0.8508 0.8729 0.8925 0.9099 0.9251 0.9382 0.9495 0.9591 0.9671 0.9738 0.9793 0.9838 0.9875 0.9904 0.9927 0.9945 0.9959 0.9969 0.9977 0.9984 0.9988
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2000 2000 2000 2000 2000 2000
二、样本
1. 样本的定义
从总体 中随机抽取n个个体，记其指标值为x1,x2 , xn, 称为总体的一个样本，n称为样本容量或样本量， 样本中的个体称为样品.
注；样本具有二重性：无论是样本还是观察值，本书中 样本 一般均用x1, x2, , xn 来表示.
x!
因此简单随机样本x1, x2,…,xn的样本分布为
p( x1, x2 ,
n
, xn ) P( X xi )
n
i 1
n xi e i1 xi !
xi
i1
n
e n
xi !
i 1
练习 设总体 X 服从两点分布B(1, p), 其中0 p 1, ( X1, X 2 ,, X n )是来自总体的样本, 求样本 ( X1, X 2 , , X n )的分布律.
根据简单随机样本定义得:
若 x1, x2, , xn 为具有分布函数F(x)总体X 的一个样本,
则 x1, x2, , xn 的联合分布函数为
n
F (x1, x2 , , xn ) F (xi )
又若X 具有概率密度f ,
i 1
样本分布是指
则 x1, x2 , , xn 的联合概率密度为 样本的联合分布 n
i1 i1
而当，
2未知时，x1
,
n
（xi
i1
）2等都不是统计量.
实例1 设 x1, x2 , x3是来自总体 N (, 2 )的一个 样本, 其中 为已知, 2 为未知, 判断下列各式哪
n
n
xi
n xi
pi1 (1 p) i1
其中 x1, x2, , xn 在集合{0,1}中取值.
三、小结
有限总体 基本概念: 个体 总体 无限总体 样本
说明1 一个总体对应一个随机变量X, 我们将不 区分总体和相应的随机变量, 统称为总体X.
说明2 在实际中遇到的总体往往是有限总体, 它 对应一个离散型随机变量; 当总体中包含的个体 的个数很大时, 在理论上可认为它是一个无限总 体.
第六章 样本及抽样分布
第一节 引言
在概率论中，概率分布通常被假定为已知的，而一 切问题的解决均基于已知的分布进行的。 但在实际问题中，情况往往并非如此。 例 6-1
第二节 总体与样本
一、总体与个体 二、样本 三、小结
一、总体与个体
1. 总体
研究对象的全体称为总体.
2. 个体 构成总体的每个成员称为个体.
当有限总体包含的个体的 总数很大时, 可近似地将它看 成是无限总体.
4. 总体分布
实例3 在2000名大学一年级学生的年龄中, 年 龄指标值为“15”，“16”，“17”，“18”， “19”，“20” 的依次有9，21，132，1207， 588，43 名, 它们在总体中所占比率依次为
9 , 21 , 132 , 1207 , 588 , 43 , 2000 2000 2000 2000 2000 2000
2. 简单随机抽样的定义
最常用的“简单随机抽样”有如下两个要求：
（1）样本具有随机性
即要求总体中每一个个体都有同等机会被选入样本，
这便意味着每一个样品 x1与总体 X有相同的分布 .
（2）样本要有独立性
即要求样本中每一样品的取值不影响其他样品的取值，
这意味着
x1, x2 , 相, x互n 独立.
用简单随机抽样方法得到的样本称为简单随机样本， 简称样本
实例1 在研究2000名学生的 年龄时, 这些学生的年龄的全 体就构成一个总体, 每个学生 的年龄就是个体.
3. 有限总体和无限总体
实例2 某工厂10月份生产的灯泡寿命所组成的 总体中, 个体的总数就是10月份生产的灯泡数, 这是一个有限总体; 而该工厂生产的所有灯泡寿 命所组成的总体是一个无限总体, 它包括以往生 产和今后生产的灯泡寿命.
即学生年龄的取值有一定的分布.
一般地, 我们所研究的总体, 即研究对象的某项数量 指标 X , 其取值在客观上有一定的分布, 是一个随机 变量. 总体分布的定义
我们把数量指标取不同数值的比率叫做总体分布.
如实例3中, 总体就是数集 {15, 16, 17, 18, 19, 20}. 总体分布为
年龄 15 16 17 18 19 20 比率 9 21 132 1207 588 43
f (x1, x2 , , xn ) f (xi ). i 1
又若X为离散型随机变量，
则 x1, x2 , , xn 的联合概率函数为 n p(x1, x2, , xn ) P(X x1, X x2, , X xn ) P(X xi ) i1
例6-6 设总体 X 服从参数为 ( 0) 的指数分
解 总体 X 的分布律为
P{ X x} px (1 p)1x ( x 0, 1) 因为 X1, X2 ,, Xn相互独立,
且与 X 有相同的分布, 所以 ( X1, X2 ,, Xn )的分布律为
P{ X1 x1, X 2 x2 , , X n xn }
P{ X1 x1}P{ X2 x2 } P{ Xn xn }
布, ( x1 , x2 , , xn ) 是来自总体的样本, 求样本
( x1 , x2 , , xn ) 的概率密度.
ex ,
解 总体 X 的概率密度为 f ( x) 0,
x 0, x 0,
因为 x1, x2 , , xn 相互独立, 且与 X 有相同的分布,
所以 ( x1 , x2 , , xn )的概率密度如下
第三节 统计量及其分布
一、基本概念
1. 统计量的定义
设 x1, x2 , , xn 是来自总体 X 的一个样本,
若样本函数T=T (x1, x2 , , xn ) 不含未知参数, 则
称T 是一个统计量.统计量的分布称为抽样分布.
n
n
设 x1, x2 , , xn 是样本,则 xi, xi2都是统计量.
fn( x1, x2, , xn )
n
f
(
xi
)
ne
n
i 1
xi
,
i 1
0,
xi 0, 其他.
例6-7 考虑电话交换台1小时内的呼唤次数X，求来自 这一总体的简单随机样本x1, x2,…,xn的样本分布。
解 由概率论知识，X服从泊松分布P()，其概率函数为
p( x) P{ X x} x e
二、样本
1. 样本的定义
从总体 中随机抽取n个个体，记其指标值为x1,x2 , xn, 称为总体的一个样本，n称为样本容量或样本量， 样本中的个体称为样品.
注；样本具有二重性：无论是样本还是观察值，本书中 样本 一般均用x1, x2, , xn 来表示.
x!
因此简单随机样本x1, x2,…,xn的样本分布为
p( x1, x2 ,
n
, xn ) P( X xi )
n
i 1
n xi e i1 xi !
xi
i1
n
e n
xi !
i 1
练习 设总体 X 服从两点分布B(1, p), 其中0 p 1, ( X1, X 2 ,, X n )是来自总体的样本, 求样本 ( X1, X 2 , , X n )的分布律.
根据简单随机样本定义得:
若 x1, x2, , xn 为具有分布函数F(x)总体X 的一个样本,
则 x1, x2, , xn 的联合分布函数为
n
F (x1, x2 , , xn ) F (xi )
又若X 具有概率密度f ,
i 1
样本分布是指
则 x1, x2 , , xn 的联合概率密度为 样本的联合分布 n
i1 i1
而当，
2未知时，x1
,
n
（xi
i1
）2等都不是统计量.
实例1 设 x1, x2 , x3是来自总体 N (, 2 )的一个 样本, 其中 为已知, 2 为未知, 判断下列各式哪
n
n
xi
n xi
pi1 (1 p) i1
其中 x1, x2, , xn 在集合{0,1}中取值.
三、小结
有限总体 基本概念: 个体 总体 无限总体 样本
说明1 一个总体对应一个随机变量X, 我们将不 区分总体和相应的随机变量, 统称为总体X.
说明2 在实际中遇到的总体往往是有限总体, 它 对应一个离散型随机变量; 当总体中包含的个体 的个数很大时, 在理论上可认为它是一个无限总 体.
第六章 样本及抽样分布
第一节 引言
在概率论中，概率分布通常被假定为已知的，而一 切问题的解决均基于已知的分布进行的。 但在实际问题中，情况往往并非如此。 例 6-1
第二节 总体与样本
一、总体与个体 二、样本 三、小结
一、总体与个体
1. 总体
研究对象的全体称为总体.
2. 个体 构成总体的每个成员称为个体.
当有限总体包含的个体的 总数很大时, 可近似地将它看 成是无限总体.
4. 总体分布
实例3 在2000名大学一年级学生的年龄中, 年 龄指标值为“15”，“16”，“17”，“18”， “19”，“20” 的依次有9，21，132，1207， 588，43 名, 它们在总体中所占比率依次为
9 , 21 , 132 , 1207 , 588 , 43 , 2000 2000 2000 2000 2000 2000
2. 简单随机抽样的定义
最常用的“简单随机抽样”有如下两个要求：
（1）样本具有随机性
即要求总体中每一个个体都有同等机会被选入样本，
这便意味着每一个样品 x1与总体 X有相同的分布 .
（2）样本要有独立性
即要求样本中每一样品的取值不影响其他样品的取值，
这意味着
x1, x2 , 相, x互n 独立.
用简单随机抽样方法得到的样本称为简单随机样本， 简称样本
实例1 在研究2000名学生的 年龄时, 这些学生的年龄的全 体就构成一个总体, 每个学生 的年龄就是个体.
3. 有限总体和无限总体
实例2 某工厂10月份生产的灯泡寿命所组成的 总体中, 个体的总数就是10月份生产的灯泡数, 这是一个有限总体; 而该工厂生产的所有灯泡寿 命所组成的总体是一个无限总体, 它包括以往生 产和今后生产的灯泡寿命.
即学生年龄的取值有一定的分布.
一般地, 我们所研究的总体, 即研究对象的某项数量 指标 X , 其取值在客观上有一定的分布, 是一个随机 变量. 总体分布的定义
我们把数量指标取不同数值的比率叫做总体分布.
如实例3中, 总体就是数集 {15, 16, 17, 18, 19, 20}. 总体分布为
年龄 15 16 17 18 19 20 比率 9 21 132 1207 588 43
f (x1, x2 , , xn ) f (xi ). i 1
又若X为离散型随机变量，
则 x1, x2 , , xn 的联合概率函数为 n p(x1, x2, , xn ) P(X x1, X x2, , X xn ) P(X xi ) i1
例6-6 设总体 X 服从参数为 ( 0) 的指数分
解 总体 X 的分布律为
P{ X x} px (1 p)1x ( x 0, 1) 因为 X1, X2 ,, Xn相互独立,
且与 X 有相同的分布, 所以 ( X1, X2 ,, Xn )的分布律为
P{ X1 x1, X 2 x2 , , X n xn }
P{ X1 x1}P{ X2 x2 } P{ Xn xn }
布, ( x1 , x2 , , xn ) 是来自总体的样本, 求样本
( x1 , x2 , , xn ) 的概率密度.
ex ,
解 总体 X 的概率密度为 f ( x) 0,
x 0, x 0,
因为 x1, x2 , , xn 相互独立, 且与 X 有相同的分布,
所以 ( x1 , x2 , , xn )的概率密度如下
第三节 统计量及其分布
一、基本概念
1. 统计量的定义
设 x1, x2 , , xn 是来自总体 X 的一个样本,
若样本函数T=T (x1, x2 , , xn ) 不含未知参数, 则
称T 是一个统计量.统计量的分布称为抽样分布.
n
n
设 x1, x2 , , xn 是样本,则 xi, xi2都是统计量.
fn( x1, x2, , xn )
n
f
(
xi
)
ne
n
i 1
xi
,
i 1
0,
xi 0, 其他.
例6-7 考虑电话交换台1小时内的呼唤次数X，求来自 这一总体的简单随机样本x1, x2,…,xn的样本分布。
解 由概率论知识，X服从泊松分布P()，其概率函数为
p( x) P{ X x} x e