物理竞赛静力学
高中物理竞赛辅导讲义静力学
高中物理竞赛辅导讲义静力学高中物理竞赛辅导讲义第1篇静力学【知识梳理】一、力和力矩1．力与力系（1）力：物体间的的相互作用（2）力系：作用在物体上的一群力①共点力系②平行力系③力偶2．重力和重心（1）重力：地球对物体的引力（物体各部分所受引力的合力）（2）重心：重力的等效作用点（在地面附近重心与质心重合）3．力矩（1）力的作用线：力的方向所在的直线（2）力臂：转动轴到力的作用线的距离（3）力矩①大小：力矩=力×力臂，M =FL②方向：右手螺旋法则确定。
右手握住转动轴，四指指向转动方向，母指指向就是力矩的方向。
③矢量表达形式：M r F =? （矢量的叉乘），||||||sin M r F θ=? 。
4．力偶矩（1）力偶：一对大小相等、方向相反但不共线的力。
（2）力偶臂：两力作用线间的距离。
（3）力偶矩：力和力偶臂的乘积。
二、物体平衡条件1．共点力系作用下物体平衡条件：合外力为零。
（1）直角坐标下的分量表示ΣF ix = 0，ΣF iy = 0，ΣF iz = 0（2）矢量表示各个力矢量首尾相接必形成封闭折线。
（3）三力平衡特性①三力必共面、共点；②三个力矢量构成封闭三角形。
2．有固定转动轴物体的平衡条件：3．一般物体的平衡条件：（1）合外力为零。
（2）合力矩为零。
4．摩擦角及其应用（1）摩擦力①滑动摩擦力：f k = μk N（μk－动摩擦因数）②静摩擦力：f s ≤μs N（μs－静摩擦因数）③滑动摩擦力方向：与相对运动方向相反（2）摩擦角：正压力与正压力和摩擦力的合力之间夹角。
①滑动摩擦角：tanθk=μ②最大静摩擦角：tanθsm=μ③静摩擦角：θs≤θsm（3）自锁现象三、平衡的种类1．稳定平衡：当物体稍稍偏离平衡位置时，有一个力或力矩使之回到平衡位置，这样的平衡叫稳定平衡。
2．不稳定平衡：当物体稍稍偏离平衡位置时，有一个力或力矩使它的偏离继续增大，这样的平衡叫不稳定平衡。
3．随遇平衡：当物体稍稍偏离平衡位置时，它所受的力或力矩不发生变化，它能在新的位置上再次平衡，这样的平衡叫随遇平衡。
物理竞赛讲义_静力学第二讲力平衡(一)答案
第二讲 力平衡（一）精选例题【例1】 如图所示一个均匀的质量为1m 的球挂在天花板上，从同一点挂一个重物质量为2m 。
问所成角度。
O 【解析】相对于点的总力矩为0.)m g (l +R )sin =m 12g R -(l +R sin θθ⎡⎤⎣⎦∴()1212sin []+R m (m +)m R l θ-=该题如果用变力分析去解题，对悬挂2m 的绳对大球的支持力的方向比较困难，而用力矩去解题，显得尤为简单【例2】 如图，重为G 木块用绳子悬挂在两个轻杆支架的交点P ，现给木块一个水平方向的F F 12N 、N 、T 作用力，缓慢增大并且系统保持平衡，求作用力的变化趋势。
N 【解析】可以采用图解法，分别考虑木块以及P 点的受力平衡，将二者的受力三角形画在同一个图中，利用几何相似三角形的方法可以得到三个力的变化趋势。
最后可得，不变，2N 1和T 增加。
【例3】 如图，一个半径为R 非均匀质量光滑的圆球，其重心不在球心O 处，先将它置于A 30︒B A B 30︒C O 水平地面上，平衡时球面上的点和地面接触；再将它置于倾角为的粗糙斜面上，平衡时球面上的点与斜面接触，已知到的圆心角也为，试求球体的重心到球心的距离.【解析】B BC A OA 放在斜面上，球受重力支持力和摩擦力，三力共点必过点的重心在过B 于平面垂直的直线上。
即，又放在水平面上点落地，则此时球受重力和支持力，则球重心必在连线上，则重心位置在C 点.CO==【例6】有一长l重为W的均匀杆AB，A顶端竖直的粗糙墙壁上，杆端与墙间的摩擦系数μB CθμθP A P WPB PA x 为，端用一强度足够而不可伸长的绳悬挂，绳的另一端固定在墙壁点，木杆呈水平状态，绳与杆的夹角为（如图），求杆能保持平衡时与应满足的条件。
杆保持平衡时，杆上有一点存在，若与点间挂一重物，则足够大可以破坏平衡了，而在间任一点悬挂任意重物均不能破坏平衡。
求距离. 【解析】受力分析coT Nsθ=力平衡siT f W Wnθ+=+A力矩平衡：以为支点，θ=Wsin2lTl W+x∴f=W+W-N tan≤Nθμ2W xtanθ=+N W∴0002l2lW Wx xW+W Wtanlμθ-+()≤(+W)∴00()2l2W W)≤(+WtanlW Wx xμθ+-①0W=ntaμθ≥当不挂生物,此即为不挂重物平衡的条件，可得②W0(1)2tan(+1)-W Wμxμθl tanθ-+≤W取穷大，则上式仍成立.∴μθl tan(1)+-1tanxl tanθθμ+≥0⇒x≥wr G【例7】有一个半径为a，高为4a，重为的两端开口的薄壁圆筒，现将筒竖放在光滑的水平面上，之后将半径为，重为的两个完全相同的光滑圆球放入筒内而呈叠放状态，如图，当<r 2<a 2a 时，试求使圆筒不翻倒的条件.【解析】方法一：先看一个直角三角形O 对进行受力分析∴cos sin T =G cot θθ=N T θ=N G ⇒22212-a r ar -a r N =G ar -a sin θG =G =再对筒受力分析A N A 考虑以为支点，考虑翻倒则地面给筒的支持力的作用点移到点.则不翻倒条件。
高中物理竞赛静力学
⾼中物理竞赛静⼒学静⼒学1如图所⽰，⼀个半径为R 的四分之⼀光滑球⾯放在⽔平桌⾯上，球⾯上放置⼀光滑均匀铁链，其A 端固定在球⾯的顶点，B 端恰与桌⾯不接触，铁链单位长度的质量为ρ.试求铁链A 端受的拉⼒T.2：图3—9中，半径为R 的圆盘固定不可转动，细绳不可伸长但质量可忽略，绳下悬挂的两物体质量分别为M 、m.设圆盘与绳间光滑接触，试求盘对绳的法向⽀持⼒线密度.3、质量为m ，⾃然长度为2πa ，弹性系数为k 的弹性圈，⽔平置于半径为R 的固定刚性球上，不计摩擦。
⽽且a = R/2 。
（1）设平衡时圈长为2πb ，且 b = 2a ，试求k 值；（2）若k = R 2mg 2 ，求弹性圈的平衡位置及长度。
4、均质铁链如图2悬挂在天花板上，已知悬挂处的铁链的切线与天花板的夹⾓为θ，⽽铁链总重为G , 试求铁链最底处的张⼒。
5、如图3所⽰，两不计⼤⼩的定滑轮被等⾼地固定在天花板上，跨过滑轮的轻绳悬挂三部分重物。
A 、B 部分的重量是固定的，分别是A G = 3⽜顿和B G = 5⽜顿，C G 则可以调节⼤⼩。
设绳⾜够长，试求能维持系统静⽌平衡的C G 取值范围。
6、如图5所⽰，长为L 、粗细不均匀的横杆被两根轻绳⽔平悬挂，绳⼦与⽔平⽅向的夹⾓在图上已标⽰，求横杆的重⼼位置。
7、如图所⽰，⼀个重量为G 的⼩球套在竖直放置的、半图 2θA B C 图 3径为R 的光滑⼤环上，另⼀轻质弹簧的劲度系数为k ，⾃由长度为L （L ＜2R ），⼀端固定在⼤圆环的顶点A ，另⼀端与⼩球相连。
环静⽌平衡时位于⼤环上的B 点。
试求弹簧与竖直⽅向的夹⾓θ。
思考：若将弹簧换成劲度系数k ′较⼤的弹簧，其它条件不变，则弹簧弹⼒怎么变？环的⽀持⼒怎么变？8、光滑半球固定在⽔平⾯上，球⼼O 的正上⽅有⼀定滑轮，⼀根轻绳跨过滑轮将⼀⼩球从图中所⽰的A 位置开始缓慢拉⾄B 位置。
试判断：在此过程中，绳⼦的拉⼒T 和球⾯⽀持⼒N 怎样变化？9、如图所⽰，⼀个半径为R 的⾮均质圆球，其重⼼不在球⼼O 点，先将它置于⽔平地⾯上，平衡时球⾯上的A 点和地⾯接触；再将它置于倾⾓为30°的粗糙斜⾯上，平衡时球⾯上的B 点与斜⾯接触，已知A 到B 的圆⼼⾓也为30°。
高中物理竞赛《静力学》课件
式中，
M
M
M
Ox Oy Oz
(F) (F ) (F)
yFz zFx xFy
zFy xFz yFx
分别表示力 F 对过 O 的 x, y, z 轴之矩，用于描述力对刚 体绕这些轴转动的效应
3、力矩的平面问题
如果点O、P 和力 F 都在一个平面内，比如 xy 平面，则：
r x yT ,
M
M
d
F
F
F
d F
(a)
(b)
M
F
M
d/F
F
(c)
d
F
(d)
4、力偶系
刚体上作用多对力偶，构成力偶系，有矢量和
n
M Mi i 1
在参考基上展开，为：
n
n
n
M x M ix , M y M iy , M z M iz
i 1
i 1
i 1
第二章
力系的简化
提出问题
如果一个刚体上承受的力比较多， 多于3个，并且不是一个汇交力系， 这种情况下如何解决这个刚体的平 衡问题？如何研究这些力之间的关 系？再复杂些，比如还有力偶等等， 又如何处理？
F3
F2
公理四 作用与反作用定理
两个物体间相互作用的力，总是大小相等、方 向相反，同时分别作用在两个物体上。
§1－3 约束及约束反力
3-1 约束
3-1-1 约束与约束反力的概念
我们研究物体的运动时，可能遇到两种情况：
• 物体在空间的运动是不受限制的 • 物体在空间的运动受到某些限制
显然，气球作为一个自由物体运动，其运动形式无限多—— 自由物体。 绿色圆柱体在圆槽内的运动受到限制——非自由物体。 我们把那些对非自由物体的产生限制的其周围物体称为约束
高中物理竞赛 流体静力学和运动学(无答案)
今天，我们除了要复习一下之前的内容之外，还需要学习一点关于流体的简单知识，算是对于初中物理的致敬吧~1．静止流体内的压强在重力场中相互连通的静止流体内的压强与位置的关系十分简单。
此关系可归结为两点： ⑴ 等高点，压强相等⑵ 高度差为h 的两点，压强差为gh ρ，越深处压强越大。
2．浮力，浮心由阿基米德原理可知，浮力和排开体积的流体的受重力大小相等，方向相反。
F gV ρ=浮力的作用点称为浮心，和物体同形状，同体积那部分流体的重心，但定不等同于物体的重心，只有在物体密度均匀时，它才与浸没在流体中的物体部分的重心重合。
3．浮体平衡的稳定性浮在流体表面的浮体，所受浮力与重力大小相等，方向相反，处于平衡状态。
浮体对铅垂方向（即垂直于水面）的扰动，显然平衡是稳定的。
浮体对水平方向（即水平方向）的扰动，其平衡是随遇的。
浮体对于过质心的水平对称轴的旋转扰动，平衡稳定性与浮心和物体的重心的相对位置有关。
向右扰动后，如果重心G 的位置比浮心B 更右侧，则为不稳定平衡；如果重心G 的位置右移等于浮心B ，则为随遇平衡；如果重心G 右移小于浮心B ，则为稳定平衡。
【例1】 一立方形钢块平正地浮在容器内的水银中，已知钢块的密度ρ为37.89g/cm ，水银的密度为0ρ为313.6g/cm 。
⑴ 问钢块露出水面之上的高度与边长之比为多大？⑵ 如果在水银面上加水，使水面恰与钢块的顶相平，问水层的厚度与钢块边长之比为多大？例题精讲 方法提示本讲导学高中物理竞赛专题流体静力学和运动学【例2】 用手捏住悬挂着细木棒的细绳的一端，让木棒缓慢地逐渐浸入水中，讨论在此过程中木棒和绳的倾斜情况。
【例3】 一个下窄上宽的杯中盛有密度为ρ的均匀混合液体，经一段时间后，变为两层液体，密度分别为1ρ和2ρ（21ρρ>）则会分层并且总体积不变，问杯底压强是否改变，变大或变小？【例4】 一个半球形漏斗紧贴着桌面放置（如图）现有位于漏斗最高处的孔向内注水，当漏斗内的水面刚好达到孔的位置时，漏斗开始浮起，水开始从下面流去。
物理竞赛1-35届真题分类01静力学(无答案)
真题分类--静力学（25届初赛）18．( 11分）磅秤由底座、载物平台Q、杠杆系统及硅码组成，图示为其等效的在竖直平面内的截面图．Q是一块水平放置的铁板，通过两侧的竖直铁板H和K压在E、B处的刀口上．杠杆系统由横杆DEF、ABCP和竖杆CF、MP以及横梁MON组成，另有两个位于A 、D处的刀口分别压在磅秤的底座上（Q、K、H、E、B、A、D沿垂直于纸面的方向都有一定的长度，图中为其断面）. C、F、M、N、O、P 都是转轴，其中O被位于顶部并与磅秤底座固连的支架OL吊住，所以转轴O不能发生移动，磅秤设计时，已做到当载物平台上不放任何待秤物品、游码S位于左侧零刻度处、砝码挂钩上砝码为零时，横梁MON处于水平状态，这时横杆DEF、ABCP亦是水平的，而竖杆CF、MP则是竖直的．当重为W的待秤物品放在载物平台Q上时，用W1表示B处刀口增加的压力，W2表示E处刀口增加的压力，由于杠杆系统的调节，横梁材MON失去平衡，偏离水平位置．适当增加砝码或移动游码S的位置，可使横梁MON恢复平衡，回到水平位置．待秤物品的重量（质量）可由砝码数值及游码的位置确定．为了保证待秤物品放在载物台上不同位置时磅秤都能显示出相同的结果，在设计时， AB、DE、AC、DF之间应满足怎样的关系？（20届复赛）五、(22分)有一半径为R的圆柱A，静止在水平地面上，并与竖直墙面相接触．现有另一质量与A相同，半径为r的较细圆柱B，用手扶着圆柱A，将B放在A的上面，并使之与墙面相接触，如图所示，然后放手．己知圆柱A与地面的静摩擦系数为0.20，两圆柱之间的静摩擦系数为0.30．若放手后，两圆柱体能保持图示的平衡，问圆柱B与墙面间的静摩擦系数和圆柱B的半径r的值各应满足什么条件？（28届复赛）二、（20分）质量均匀分布的刚性杆AB 、CD 如图放置，A 点与水平地面接触，与地面间的静摩擦系数为μA ，B 、D 两点与光滑竖直墙面接触，杆AB 和CD 接触处的静摩擦系数为μC ，两杆的质量均为m ，长度均为l 。
高中物理竞赛 静力学
静力学1如图所示，一个半径为R 的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A 端固定在球面的顶点，B 端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为ρ.试求铁链A 端受的拉力T.2：图3—9中，半径为R 的圆盘固定不可转动，细绳不可伸长 但质量可忽略，绳下悬挂的两物体质量分别为M 、m.设圆盘与 绳间光滑接触，试求盘对绳的法向支持力线密度.3、质量为m ，自然长度为2πa ，弹性系数为k 的弹性圈，水平置于半径为R 的固定刚性球上，不计摩擦。
而且a = R/2 。
（1）设平衡时圈长为2πb ，且b = 2a ，试求k 值；（2）若k =R2mg2 ，求弹性圈的平衡位置及长度。
4、均质铁链如图2悬挂在天花板上，已知悬挂处的铁链的切线与天花板的夹角为θ，而铁链总重为G , 试求铁链最底处的张力。
5、如图3所示，两不计大小的定滑轮被等高地固定在天花板上，跨过滑轮的轻绳悬挂三部分重物。
A 、B 部分的重量是固定的，分别是A G = 3牛顿和B G = 5牛顿，C G 则可以调节大小。
设绳足够长，试求能维持系统静止平衡的C G 取值范围。
6、如图5所示，长为L 、粗细不均匀的横杆被两根轻绳水平悬挂，绳子与水平方向的夹角在图上已标示，求横杆的重心位置。
θ图 37、如图所示，一个重量为G 的小球套在竖直放置的、半径为R 的光滑大环上，另一轻质弹簧的劲度系数为k ，自由长度为L （L ＜2R ），一端固定在大圆环的顶点A ，另一端与小球相连。
环静止平衡时位于大环上的B 点。
试求弹簧与竖直方向的夹角θ。
思考：若将弹簧换成劲度系数k ′较大的弹簧，其它条件不变，则弹簧弹力怎么变？环的支持力怎么变？8、光滑半球固定在水平面上，球心O 的正上方有一定滑轮，一根轻绳跨过滑轮将一小球从图中所示的A 位置开始缓慢拉至B 位置。
试判断：在此过程中，绳子的拉力T 和球面支持力N 怎样变化？9、如图所示，一个半径为R 的非均质圆球，其重心不在球心O 点，先将它置于水平地面上，平衡时球面上的A 点和地面接触；再将它置于倾角为30°的粗糙斜面上，平衡时球面上的B 点与斜面接触，已知A 到B 的圆心角也为30°。
与中学物理竞赛有关的静力学知识及试题
450 图四
解：由对称性可知，AD沿水平方向，设作用于C点的外力为F，则 其竖直分量与水平分量相等，均为，研究ABC段钢缆受力，由水平方向 平衡，可知AD中张力大小为。由整体分析，，桥重。由整体分析， 2Fsin450=G桥，而每根钢杆张力为。
对A分析，设AB与水平 方向的夹角为，则，解得，即。 对C分析，如图四所示，设BC与水平方向的夹角为，则，，由以上 两式得，即。
题四：一端放在地面上，另一端靠在竖直墙上的均匀梯子。梯与地 面、墙的动摩擦因数分别为、，求梯子平衡时与地面所成的最小夹角。
解：分析：梯子共受五个力作用：mg、N1、、N2、五个力的作 用，如图七(甲图)所示，当A、B两处的摩擦力都达到滑动摩擦力时，最 小。根据一般物体的平衡条件或摩擦角的概念均可求解。
题一(2003交大提前招生题)：有一半径为0.2m的圆柱绕竖直轴以 9rad/s的角速度匀速转动，今用水平力F把质量为m为1kg的物体A压在 圆柱体的侧面，由于受挡板上竖直的光滑的槽的作用，物体A在水平方 向上不能随圆柱体转动，而以2.4m/s的速率匀速下滑，如图二所示， 若物体A与圆柱体间的动摩擦因数，试求水平推力F的大小(g=10m/s2). O F 挡 板 A 图二 f O R N1 mg
与中学物理竞赛有关的静力学知识及试题 知识准备
1、重力：由于地球的吸引而使物体受到的力叫重力。重力是地球 对物体的万有引力在垂直当地水平面的一个分力，尤有引力的另一个指 向地轴的分力为物化随同地球自转提供向心力。
一个物体的各部分受到地球对它的重力可以认为集中在一点，这一 等效的作用点叫做物体的重心。重心不一定在物体上，也不一定在物体 的几何中心上。求物体的重心有许多方法：(1)如果物体是一个平面， 可以用悬持法确定物体的重心。如果物体由几个部分组成，且每一个部 分的重心容易求得，则由下面的公式求得整个物体的重心。其方法是： (1)先建立一个直角坐标系，各部分的质量分别为：m1、m2、m3、 ……，它们的坐标分别为，则物体的重心（或质心）坐标为为：
高二物理竞赛课件-静力学
刚 质量 m0 mi dm
质心可以 在刚体之
体 质心
r0 miri
mi rdmdm外 固； 结总 于是 刚
体。
x0xd,y m 0yd,zm 0zd.m dm dm dm
例：半圆形均匀薄板的质心。
对称性
x0=0, yy00==4?R/3
y
R2 y2
dm 2 R2 y2dy yd m 2y R2y2dy
代2 入 G r 3 2 / a m 3 1 r 1G m 2 3 r 2 m / c /3 m 3G 1 / m c 3 r 1 G m 2 / a 3 G 2 m / c 3 r 2m
两项不共线，所以系数分别为零，
G2m /a3G2m /c30
2G2m /a3G3m /c3G1m /c30
y方向， Tco,sTcos
NTsinTsin0 TcosTcos0
N2Tsin
yT
B
O Nx
A T
F
T
T
F=2T
例：皮带绕过轮，其与轮相接触的一段在轮心所张角 度为。皮带与轮之间的静摩擦力系数为。试求轮两 方皮带中张力T1和T0之间的数量关系。
(T dT ) cos d T cos d N 0,
ab
b
如果 <a/b， tg 时先滑动，继续增大到a/b 时
翻到。
• 旋转系统等效静力学问题
• IPhO20-2
不共线的三个点P1,P2和P3质量分别为m1,m2和m3， 彼此间仅有万有引力作用。令C代表过质点组（P1， P2，P3）质心并垂直于三角形P1P2P3所在平面的轴， 当系统绕轴C旋转时，为使三角形P1P2P3的形状保持 不变，那么质点间的距离P1P2＝a, P2P3=b, P1P3=c 应满足什么关系？角速度应满足什么条件？即在什么 样的条件下，系统能如刚体一样绕C轴旋转？
高中物理竞赛专题静力学
⑴合力为零： ①在任意方向合力都为零； ②这些力首尾相连可构成封闭多边形。 ③其中任意一个力的大小都等于剩余力的 合力，方向与其相反。
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⑵合力据为零： 顺时针力矩之和与逆时针力矩之和相等，计 算过程中，转动轴可自由选择。
三个力汇交原理：合力为零所以可构成 三角形，合力矩为零所以共点。
26
例1：如图所示，横杆质量为m，绳AB一端 固定在墙上，另一端与横杆连接，杆的左端 通过铰链与墙壁连接，横杆水平放置，绳 AB与杆的夹角为45度，求：铰链对杆的作 用力大小和方向？
合力矩为零：物体处于不转动或匀速转动 状态。
15
例4、如图所示，重球置于一光滑木板AB 和光滑竖直墙壁之间，木板AB重力不计， 可绕固定光滑铰链A转动，在B端施一始终 竖直向上的力F，使B端缓慢落下，直至AB 成水平位置，这个过程中，分析力F的大小 如何变化，力F的力矩M如何变化？
F B
A
16
P10 1、L为杆长，R 为球半径
二、力矩：力和力臂的乘积
F
O
L
O L’
M LF
F
M L'F
力臂：力的作用线到转动轴的距离 力矩单位：N·m，为矢量。顺时针或逆时 针方向。 力矩的效果：决定物体的转动状态
14
合力矩的计算：所有顺时针力矩相加， 减去所有逆时针力矩。若差值为正，说 明合力矩为顺时针方向；若差值为负， 说明合力矩为逆时针方向；若为零，说 明合力矩为零。
F’ N qF
f
G
q F’ G
q
F
10
例3：有两个轻弹簧，劲度系数分别为k1、k2， 如图所示连接，并在下面悬挂一重物G，滑轮 质量不计，试求： （1）两个弹簧的伸长量分别为多少？ （2）滑轮比未挂G时下降的距离为？ （3）若把滑轮和两个弹簧组成的系统 当作一个弹簧，该弹簧的劲度系数为？
高中物理 《静力学》奥赛试题
第一讲 共点力的处理班次 姓名 得分1、（本题20分）如图1所示，一根重8牛顿的均质直棒AB ，其A 端用悬线悬挂在O 点，现用F = 6牛顿的水平恒力作用于B 端，当达到静止平衡后，试求：（1）悬绳与竖直方向的夹角α；（2）直棒与水平方向的夹角β。
2、（本题10分）均质铁链如图2悬挂在天花板上，已知悬挂处的铁链的切线与天花板的夹角为θ，而铁链总重为G, 试求铁链最底处的张力。
3、（本题20分）如图3所示，两不计大小的定滑轮被等高地固定在天花板上，跨过滑轮的轻绳悬挂三部分重物。
A 、B 部分的重量是固定的，分别是A G = 3牛顿和B G = 5牛顿，C G 则可以调节大小。
设绳足够长，试求能维持系统静止平衡的C G 取值范围。
图 2θ图1F图 34、（本题10分）如图4所示，被固定在竖直平面的大环半径为R , 另有一质量为m 的光滑小环套在大环上，并通过劲度系数为K、自由长度为L ( L < 2R )的轻质弹簧系在大环的顶点A 。
试求小环静止平衡时弹簧与竖直方向的夹角θ。
5、（本题20分）如图5所示，均质杆AB置于互相垂直的两斜面上，杆两端与斜面摩擦系数均为μ，右边斜面的倾角为α。
试求：平衡时，杆与斜面AC的夹角θ的可取值范围。
6、（本题20分）图6的系统中，所有接触面均粗糙，B静止在C上，而A沿C匀速下滑，且α<β，试判断地面对C的摩擦力大小情况、地面对C的支持力与ABC三者重力之和的关系。
θAm图 4ABα 90-αθ图 5A BCαβ图 6。
1物理竞赛典型题,静力学
一、5个质量相等的匀质球，其中4个半径均为a的球，静止放在半径为R的半球形碗内，它们的球心在同一水平面内。
另1个半径为b的球放在4球之上。
设接触面都是光滑的，试求碗的半径R的值满足什么条件时下面的球将相互分离。
二、
三、如图所示，有两根不可伸长的柔软的轻绳，长度分别为L 1和L 2，它们的下端在C 点相连结并悬挂一质量为m 的重物，上端分别与质量可忽略的小圆球A 、B 相连，圆环套在圆形水平横杆上。
A 、B 可在横杆上滑动，它们与横杆间的静摩擦系数分别为1μ和2μ。
已知L 1和L 2的数值，且L 1<L 2。
试求1μ和2μ在各种取值情况下，此系统处于静力平衡时两环之间的距离AB 。
四、如图所示，在倾角为ϕ的足够大粗糙斜面上，有一质点，质量为m，用一弹性绳拴住绳的另一端固定在斜面上O'点，弹性绳的形变与弹性力服从胡克定律。
绳原长为L，劲度系数（即倔强系数）为k。
斜面与质点间的静摩擦系数为μ。
试确定质点在斜面上可静止的区域并画出此区域边界的示意图。
最新高中物理竞赛静力学教学讲义PPT课件
静摩擦力达到最大时,
F约
斜面约束力作用线方向 F约 与斜面法线成摩擦角!
F m axm gtan tan 1
F m inm gtan tan 1
Fmin m Fmax
tan-1
tan-1 mg
scio n s c so in s Fscio ns c so in s
专题2-问题2 如图所示，放在水平面上的质量为m的物体，在
F1
FF2
tan-1μ
F1
G F2
如图所示，对均匀细杆的一端施力F，力的方向垂 直于杆．要将杆从地板上慢慢地无滑动地抬起，试求杆与地面间的 最小摩擦因数．
杆处于一系列可能h的t动tp态s平://wen
F
衡,当杆抬起α,重力ku、.b地ai面du.co
F
约束力及F力m三/力vie汇w/11a8
F约 θ
体同时有最大静摩擦力时棒与斜面上最大倾斜线AB的夹角θ．
系统处于平衡时,两物体所受轻杆力等值反向,
B
沿斜面上每物体受下滑力、最大静摩擦力及杆 作用力，每物体三力平衡矢量关系如图:
m2
在力矢量三角形中运用余弦定理：
b22c2a24cacos
m1 θ
c在ossina力s2si矢n in4量c2a三422caa角2caa形222bs中 2isni2n c运a22c 用co2余sa4c弦acco定2s1理44c8ca：2c2 aa2a22b2cb分22别2m2c以g2sian、Ac bF、c2表mbag示c1m o各sgc力os：
A
A′
B′
C′
FB A A 89tan
F 45°
D′
E′
FA
F′
FB
高一物理竞赛训练卷(静力学)
一、力 物体的平衡（训练卷）【08年高考天津卷理综】在粗糙水平地面上与墙平行放着一个截面为半圆的柱状物体A ， A 与竖直墙之间放一光滑圆球B ，整个装置处于静止状态。
现对B 加一竖直向下的力F ，F 的作用线通过球心，设墙对B 的作用力为F 1，B 对A 的作用力为F 2，地面对A 的作用力为F 3。
若F 缓慢增大而整个装置仍保持静止，截面如图所示，在此过程中C A . F 1保持不变，F 3缓慢增大 B . F 1缓慢幼大，F 3保持不变 C . F 2缓慢增大，F 3缓慢增大 D . F 2缓慢增大，F 3保持不变【08年高考广东卷理科基础】如图2所示，质量为m 的物体悬挂在轻质的支架上，斜梁OB 与竖直方向的夹角为θ。
设水平横梁OA 和斜梁OB 作用于O 点的弹力分别为F 1和F 2。
以下结果正确的是DA ．1sin F mg θ=B ．1sin mgF θ=C ．2cos F mg θ=D ．2cos mgF θ=【05辽宁卷】两光滑平板MO 、NO 构成一具有固定夹角θ0=75°的V 形槽，一球置于槽内，用θ表示NO 板与水平面之间的夹角，如图5所示。
若球对板NO 压力的大小正好等于球所受重力的大小，则下列θ值中哪个是正确的？（ B ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°【08年高考海南卷物理】如图，质量为M 的楔形物块静置在水平地面上，其斜面的倾角为θ．斜面上有一质量为m 的小物块，小物块与斜面之间存在摩擦．用恒力F 沿斜面向上拉小物块，使之匀速上滑．在小物块运动的过程中，楔形物块始终保持静止．地面对楔形物块的支持力为DA ．（M ＋m ）gB ．（M ＋m ）g －FC ．（M ＋m ）g ＋F sin θD ．（M ＋m ）g －F sin θ【08年高考山东卷理综】用轻弹簧竖直悬挂质量为m 的物体，静止时弹簧伸长量为L 0现用该弹簧沿斜面方向拉住质量为2m 的物体，系统静止时弹簧伸长量也为L 0斜面倾角为300，如图所示。
高中物理竞赛习题集01(静力学word)
第一章 静力学例题：如图均匀带轴的直角弯杆，质量为m ，OA 段长度是AB 段长度的2倍，对杆施力F ，使杆静止在如图的位置，求F 的最小值 (在计算重力矩时，可分别计算OA 、AB 部分的重力矩。
)解： mgl l mg l F 322315+= 15F N = 例题：如图，半径为R 的匀质球体，内部挖去半径为R/2的球，求剩余部分重心的位置。
提示：设球的密度为ρ 挖去部分的质量 31432R m πρ⎛⎫= ⎪⎝⎭剩余部发的质量 33244332R m R πρπρ⎛⎫=- ⎪⎝⎭376R πρ= 则 124R m m x =（x 为m 2到球心间距） 3317266R R R x πρπρ= 14R x = 例题：一薄壁烧杯，半径为r ，质量为m ，重心位于中心线上，离杯底的距离为H ，今将水慢慢注入杯中，问烧杯连同杯内的水共同重心最低时，水面离杯底的距离等于多少？为什么？（设水的密度为ρ）解：当烧杯连同杯内的水共同重心在水面上时，就处于最低位置。
有 ()222h mgH g r hm g r h gh ρπρπ+=+ 22()2h mgH g r h mg g r h h ρπρπ+⋅⋅=+h = 例题：两个轻弹簧，劲度系数为k 1、k 2，按图所示连接，并在下面悬挂一重物G ，滑轮质量不计，把滑轮和两个弹簧等效一个弹簧，求等效弹簧的劲度系数。
解：设悬挂上重物G 后滑轮的位置比未悬挂重物G 时的位置下降了x ∆，而弹簧k 1和k 2分别伸长了1x ∆和2x ∆122x x x ∆+∆=∆而 1122k x k x ∆=∆滑轮受力平衡 1122k x k x G ∆+∆=等效弹簧的劲度系数 G k x =∆21214k k k k += 例题：如图所示，质量为m 的物体放在摩擦因数为µ的水平面上，对物体施加一和水平方向成θ的力F 的作用，要使物体运动，求力F 的大小范围？解：要使物体运动，应符合)sin (cos θμθF mg F +>mg F μθμθ>-)sin (cos若θμcot <，则θμθμsin cos ->mg F 若θμcot ≥，则用再大的力也推不动物体。
物理竞赛2静力学
第二部分：静力学一、复习基础知识点一、 考点内容1．力是物体间的相互作用，是物体发生形变和物体运动状态变化的原因。
2．重力是物体在地球表面附近所受到的地球对它的引力，重心。
3．形变与弹力，胡克定律。
4．静摩擦，最大静摩擦力。
5．滑动摩擦，滑动摩擦定律。
6．力是矢量，力的合成与分解。
7．平衡，共点力作用下物体的平衡。
二、 知识结构⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎩⎨⎧→→→⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→的灵活使用方法：整体法和隔离法产生条件、摩擦力、弹力、重力顺序原则受力分析实效原则图解法（几何法）力的分解式法图解法（几何法）、公力的合成力的等效性使物体产生形变物体产生加速度）改变物体运动状态（使力的效果效果各异作用力与反作用力效果相同平衡力支持力等回复力、浮力、压力、动力、阻力：向心力、效果子力、电场力、磁场力不接触的力：重力、分产生条件、大小、方向力接触的力：弹力、摩擦性质力的种类物体受力物体同时定是施力物体施力物体同时定是受力相互性受力物体施力物体物体间作用物质性力的属性—物体间的相互作用—力的定义力.......321 三、 复习思路在复习力的概念时,同学们应注重回顾学过的各种具体的力,包括电磁学中的各种力,也可以联系牛顿第三定律展开研究力的相互性。
对于重力,在复习时可以联系万有引力定律,分清为什么“重力是由于地球的吸引而产生的力”。
且通过分析物体随地球自转需向心力,最终认识重力与万有引力之间的差异很小,一般可认为2地R GMmmg =。
摩擦力是本单元的重点,也是难点，要结合具体的例子，对摩擦力的大小和方向，摩擦力的有无的讨论以及物体在水平面、斜面上、竖直墙上等的滑动摩擦力与弹力的关系等，要分门别类地进行讨论、研究。
高中物理竞赛静力学
力、物体的平衡补充：杠杆平衡（即力矩平衡），对随意转动点都平衡。
一、力学中常见的三种力1.重力、重心①重心的定义：++++=g m g m gx m gx m x 212211，当坐标原点移到重心上，则两边的重力矩平衡。
②重心与质心不肯定重合。
如很长的、竖直放置的杆，重心和质心不重合。
如将质量匀称的细杆AC （AB =BC =1m ）的BC 局部对折,求重心。
以重心为转轴，两边的重力力矩平衡（不是重力相等）：（0.5-x ）2G =(x +0.25)2G ,得x =0.125m （离B 点）. 或以A 点为转轴：0.5⨯2G +(1+0.5)2G =Gx ', 得x '=0.875m ，离B 点x =1-x '=0.125m.2.巴普斯定理：①质量分布匀称的平面薄板：垂直平面运动扫过的体积等于面积剩平面薄板重心通过和路程。
如质量分布匀称的半圆盘的质心离圆心的间隔 为x ， 绕直径旋转一周，2321234R x R πππ⋅=，得π34R x = ②质量分布匀称的、在同一平面内的曲线：垂直曲线所在平面运动扫过的面积等于曲线长度剩曲线的重心通过路程。
如质量分布匀称的半圆形金属丝的质心离圆心的间隔 为x ，绕直径旋转一周，R x R πππ⋅=242，得πR x 2= 1. （1）半径R =30cm 的匀称圆板上挖出一个半径r =15cm 的内切圆板，如图a 所示，求剩下局部的重心。
（2）如图b 所示是一个匀称三角形割去一个小三角形AB 'C '，而B 'C '//BC ，且∆AB 'C '的面积为原三角形面积的41，已知BC 边中线长度为L ，求剩下局部BCC 'B '的重心。
[答案：(1) 离圆心的间隔 6R ；(2)离底边中点的间隔 92L ] 解(1)分割法:在留下局部的右边对称处再挖去同样的一个圆,则它关于圆心对称,它的重心在圆心上,要求的重心就是这两块板的合重心,设板的面密度为η，重心离圆心的间隔 为x .有力矩平衡: ),2()2(])2(2[222x R R x RR -=-ηπηπ得6R x ==5cm. 填补法:在没挖去的圆上填上一块受”重力”方向向上的圆,相当于挖去局部的重力被抵消,其重心与挖去后的重心一样,同理可得6R x =. 能量守恒法:原圆板的重力势能等于留下局部的重力势能和挖去局部的重力势能之和,可得6R x =. (2) ∆AB 'C '的面积为原三角形面积的1/4，质量为原三角形质量的41，中线长度应为原三角形中线长度的21。
补充(静力学)物理竞赛
对练习中出现的错题和难题进行总结，找出自己的薄 弱环节，针对性地进行巩固和提高。
THANKS.
力的平行四边形法则
要点一
总结词
力的平行四边形法则是静力学中的一个基本法则，它指出 作用在物体上的任意两个力可以合成一个合力，这个合力 的大小和方向由这两个力和它们之间的夹角确定。
要点二
详细描述
力的平行四边形法则是静力学中一个重要的基本概念，它 说明了力的合成与分解的关系。根据这个法则，作用在物 体上的任意两个力可以合成一个合力，合力的大小和方向 由这两个力和它们之间的夹角确定。这个法则在分析物体 的运动状态和求解未知力的过程中非常有用，可以用来进 行力的合成与分解的运算。
力的平衡
总结词
掌握平衡力的判断和应用
详细描述
平衡力是指作用在物体上的一对大小相等、方向相反、作用线重合的力，使物体保持静止或匀速直线 运动状态。在解决静力学问题时，判断物体是否处于平衡状态是关键的一步。
力的合成与分解
总结词
理解力的合成与分解的方法和原则
详细描述
力的合成是指求两个或多个力的合力，力的分解是指将一个力分解为几个已知力的组合。 在静力学中，通过力的合成与分解可以解决各种复杂的问题，如力的平衡、力的矩等。
掌握受力分析技巧
学会对物体进行正确的受力分析，根据受力情况 判断物体的运动状态。
3
理解并运用平衡条件
理解平衡条件的概念，掌握利用平衡条件解题的 方法。
模拟试题练习
练习历年真题
通过练习历年真题，了解竞赛的出题风格和难度，熟 悉竞赛的考试形式。
模拟考试训练
模拟考试训练可以提高答题速度和准确性，培养考试 心理素质。
补充(静力学)物理竞赛
【精品】c桌面物理奥赛.doc-第一部分静力学88
第一部分静力学【竞赛知识要点】重心共点力作用下物体的平衡物体平衡的种类力矩刚体的平衡流体静力学（静止流体中的压强）【内容讲解】一.物体的重心1.常见物体的重心：质量均匀分布的三角板的重心在其三条中线的交点；质量均匀分布的半径R的半球体的重心在其对称轴上距球心3R/8处；质量均匀分布的高为h的圆锥体的重心在其对称轴上距顶点为3h/4处。
2.重心：在xyz 三维坐标系中，将质量为m的物体划分为质点m1、m2、m3……m n.设重心坐标为（x0,y0，z0）,各质点坐标为（x1,y1,z1）,(x2,y2,z2)……(xn,yn,zn).那么：mx0=∑m i x i my0=∑m i y i mz0=∑m i z i【例题】1、（1）有一质量均匀分布、厚度均匀的直角三角板ABC，∠A=30°∠B=90°，该三角板水平放置，被A、B、C三点下方的三个支点支撑着，三角板静止时，A、B、C三点受的支持力各是N A、N B、N C，则三力的大小关系是.（2）半径为R的均匀球体，球心为O点，今在此球内挖去一半径为0.5R的小球，且小球恰与大球面内切，则挖去小球后的剩余部分的重心距O点距离为.2、如图所示，质量分布均匀、厚度均匀的梯形板ABCD，CD=2AB，求该梯形的重心位置。
3、在质量分布均匀、厚度均匀的等腰直角三角形ABC（角C为直角）上，切去一等腰三角形APB，如图所示。
如果剩余部分的重心恰在P点，试证明：△APB的腰长与底边长的比为5：4.4、（1）质量分别为m,2m,3m……nm的一系列小球（可视为质点），用长均为L的细绳相连，并用长也是L的细绳悬于天花板上，如图所示。
求总重心的位置5、如图所示，质量均匀分布的三根细杆围成三角形ABC，试用作图法作出其重心的位置。
6、如图所示，半径为R圆心角为θ的一段质量均匀分布的圆弧，求其重心位置。
7、论证质量均匀分布的三角形板的重心在三条中线的交点上8、求半径为R 的厚薄均匀的半圆形薄板的重心9、均匀半球体的重心问题10、均匀圆锥体的重心11、如图所示，有一固定的半径为R 的光滑半球体，将一长度恰好等于R 21、质量为m 的均匀链条搭在球体上，其一端恰在球体的顶点上，并用水平拉力拉住链条使之静止，求拉力的大小。
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（自锁） 例,在机械设计中，常用到下面的力学装置，如图只要使 连杆AB与滑块m所在平面法线的夹角θ小于某个值，那么 无论连杆AB对滑块施加多大的作用力，都不可能使之滑 动，且连杆AB对滑块施加的作用力越大，滑块就越稳定， 工程力学上称为‘自锁’现象。则自锁时θ应满足什么条 件？设滑块与所在平面间的动摩擦因数为μ。 分析：将连杆AB对滑块施加的推力F分解， 且F远远大于mg，可以忽略。 则滑块m 不产生滑动的条件为 Fsinθ＜μFcosθ 化简得自锁的条件为 θ＜arctanμ
②这些力首尾相连可构成封闭多边形。 ⑵合力据为零：
顺时针力矩之和与逆时针力矩之和相等，计算过 程中，转动轴可自由选择。
三个力汇交原理：三力合力为零所以可构成三角 形，而且共点。
例1：如图所示，横杆质量为m，绳AB一端固定在 墙上，另一端与横杆连接，杆的左端通过铰链与 墙壁连接，横杆水平放置，绳AB与杆的夹角为45 度，求：铰链对杆的作用力大小和方向？ A A 450 B N F 450 B F mg
摩擦程50页，例2。
真题 第26届全国中学生物理竞赛复赛试卷
第28届全国中学生物理竞赛复赛试卷
二、平衡的种类 ㈠稳定平衡：当物体稍稍偏离平衡位置， 有一个力或力矩使之回到平衡位置，这 样的平衡叫做稳定平衡。
物理竞赛静力学
第一讲 力和力矩
考点分析： 复赛考题主要集中在摩擦力临界，及 包含力矩的平衡问题
一、力：
（一）力的种类 2、弹力 1、重力
3、摩擦力
1.求解重心的方法 1，重要的公理。将物体分为两部分，其重心必在 两物体重心的连线l上。 2，重要公理的推论。将物体分为两部分a和b，其 重心G必在两物体重心的连线l上，且满足 GbG/GaG=Ma/Mb， GaG+GbG=l。
N2
N1 N2 G
M F L sin N 2
G N2 sin
R sin
2
F
GR
2
sin sin L 2
M
GR sin sin
2
例5、有六个完全相同的刚性长条薄片AiBi（i=1， 2…6），其两端下方各有一个小突起，薄片及突起 的重力均可不计，现将六个薄片架在一只水平的碗 口上，使每个薄片一端的小突起Bi搭在碗口上，另 一端的小突起Ai位于其下方薄片的正中，由正上方 俯视如图，若将一质量为m的质点放在薄片A6B6上 的一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突 起A6的距离，求薄片A6B6中点A1所受的压力
5、解：
32N A6 A1 N A2 2N 16N A5 A4
设A1压力为N
3 L 32 N L mg L N 4 2
8N
A3 4N
mg N 42
第二讲 物体的平衡
一.物体的平衡
1.定义：物体保持静止或匀速直线运动状态或匀速 转动状态叫平衡态 2.条件：合力为零，合力矩为零 ⑴合力为零： ①在任意方向合力都为零；
N
mg
2 N mg 2
A
对杆： N 2 F cos 450 ;
F N1 450 B N2 mg
N1 F sin 45 mg ;
0
l Fl sin 45 mg ; 2 mg mg N1 ; N2 ; 2 2
0
N N N2
2 1
2
2 mg ; 2
与水平方向成450角向上
L F L’
M L F
M L ' F
力臂：力的作用线到转动轴的距离
力矩单位：N· m，为矢量。顺时针或逆时 针方向。 力矩的效果：决定物体的转动状态
合力矩的计算：所有顺时针力矩相加，减去所有 逆时针力矩。若差值为正，说明合力矩为顺时针 方向；若差值为负，说明合力矩为逆时针方向； 若为零，说明合力矩为零。
3，质量矩守恒法。在物体上任找一参考面，记为 x，将其分为若干块，则满足： MD=m1d1+m2d2+m3d3……+mNdN
m1+m2+……+mN=M，其中D为重心G到参考面x 的距离。 例题：培优教程44页，4。
2.弹簧弹力：胡克定律F =kx
1 1 1 两 k1 种 两弹簧串联： k k1 k 2 典 k2 型 弹 簧 系 两弹簧并联：K =k1+k2 k1 k2 统 实质：F为使弹簧系统产生形变的力、也可以认为 是弹簧系统形变产生的弹力，x为弹簧系统的形变 量。
m
法线
请同学们自己 比较3个摩擦 角的大小？
例题：培优教程44 页，例6。
解题经验小结：引入摩擦角的好处：通过全反力的等效替 代，可以减少力的个数，化多力平衡问题为三力平衡问题； 可以迅速确定临界平衡状态；把平衡问题的判断转化为寻 求角度之间的关系，这是求解平衡问题的重要思路。
【例3】(全国预赛)如图2—1—7所示用力F推一放 在水平地面上的木箱，质量为M，木箱与地面间摩 擦因数为 问：当力F与竖直成夹角多大时，力F 再大也无法推动木箱?
例题：培优教程45页，6。
(1)2T G
T T
T k1 x1 ; T k2 x2 G G x1 ; x2 2k1 2k2
x1 x2 G (k1 k2 ) (2) x 2 4k1k2
4k1k2 (3)G kx; k k1 k2
3、摩擦力 静摩擦力：取决于相对运动趋势 滑动摩擦力：取决于m、N 摩擦角
解:选物体为研究对象，受力如图2-1-8所示，其受 四个力作用而静止，将弹力N和摩擦力f合成作出 全反力F ．当物体将要发生滑动时，静摩擦角0。 满足tg0=m，由平衡条件知当0<<0时，物体出 现自琐现象，也就是说此时无论用多大的力都不 会使物体推动，故角属于范围(0,0)。
二、力矩：力和力臂的乘积 F O O
合力矩为零：物体处于不转动或匀速转动状态。
例4、如图所示，重球置于一光滑木板AB和光滑 竖直墙壁之间，木板AB重力不计，可绕固定光滑 铰链A转动，在B端施一始终竖直向上的力F，使B 端缓慢落下，直至AB成水平位置，这个过程中， 分析力F的大小如何变化，力F的力矩M如何变化？ F B
A
L为杆长，R 为球半径 F