2003年高考试题——数学理(北京卷)及答案

2003年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数 学（理工农医类）第Ⅰ卷（选择题共50分）参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球 ，其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. （1）设集合}01|{2>-=x x A ，}0log |{2>=x x B ，则B A 等于（A ）}1|{>x x （B ）}0|{>x x （C ）}1|{-<x x （D ）1|{-<x x 或}1>x （2）设9.014=y ，48.028=y ，5.13)21(-=y ，则（A ）213y y y >> （B ）312y y y >> （C ）321y y y >> （D ）231y y y >> （3）“232cos -=α”是“Z k k ∈+=,125ππα”的 （A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 4．已知βα,是平面，n m ,是直线，下列命题中不正确的是（A ）若m ∥α，n =βα ，则m ∥n （B ）若m ∥n ，α⊥m ，则α⊥n （C ）若α⊥m ，β⊥m ，则α∥β （D ）若α⊥m ，β⊂m ，则βα⊥． 5．极坐标方程1cos 22cos 2=-θρθρ表示的曲线是（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）抛物线 （D ）双曲线 6．若C z ∈，且1|22|=-+i z ，则|22|i z --的最小值是（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）57．如果圆台的母线与底面成︒60角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为 （A ）π2 （B ）23π （C ）332π （D ）π218．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有（A ）24种 （B ）18种 （C ）12种 （D ）6种9．若数列}{n a 的通项公式是2)23()1(23n n n n n n a ------++=， ,2,1=n ，则)(lim 21n n a a a +++∞→ 等于（A ）2411 （B ）2417 （C ）2419 （D ）242510．某班试用电子投票系统选举班干部候选人．全班k 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为k ,,2,1 ．规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”．令⎩⎨⎧=号同学当选号同学不同意第第　号同学当选号同学同意第第j i j i a ij 0 1 其中k i ,,2,1 ＝，且k j ,,2,1 ＝，则同时同意第1、2号同学当选的人数为（A ）k k a a a a a a 2222111211+++++++ （B ）2221212111k k a a a a a a +++++++ （C ）2122211211k k a a a a a a +++ （D ）k k a a a a a a 2122122111+++第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.11．)1lg()(2x x f +=，⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-<+=1 21||012)(x x x x x x g ，x tg x h 2)(=，其中 为偶函数．12．已知双曲线方程为191622=-y x ，则以双曲线左顶点为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程为 ．13．一底面半径为r 的圆柱，被一平面所截剩下部分母线最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积为 ．14．一根长为1的铁丝，分成两段分别围成一个正方形和一个圆，当正方形和圆的面积之和最小时，正方形的周长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在区间]2,0[π上的最大值和最小值.16．（本小题满分13分）已知数列}{n a 是等差数列，且21=a ，12321=++a a a （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设数列nn n x a b ⋅=（R x ∈），求数列}{n b 的前n 项和公式.ba2rxy xOB C AP(-b,0)(b,0)17．（本小题满分15分）如图，已知正三棱柱111C B A ABC -底面边长为3，2331=AA ，D 为CB 延长线上一点，且BC BD =． （1）求证：直线1BC ∥面D AB 1； （2）求二面角B AD B --1的大小； （3）求三棱锥11ABB C -的体积．18．（本小题满分15分）如图，已知椭圆的长轴21A A 与x 轴平行，短轴21B B 在y 轴上，中心),0(r M （0>>r b （Ⅰ）写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率；（Ⅱ）设直线x k y 1=与椭圆交于),(11y x C ，,(2y x D ),(44y x H （04>y ）．求证：4343121211x x x x k x x x x k +=+；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的在H G D C ,,,，设CH 交x 轴于P 点，GD 交x 轴于Q 点，求证：||||OQ OP =（证明过程不考虑CH 或GD 垂直于x 轴的情形） 19．（本小题满分14分）有三个新兴城镇分别位于A 、、三点处，且，，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC 的垂直平分线上的P 点处（建立坐标系如图）． （Ⅰ）若希望点P 到三镇距离的平方和最小，则P 应位于何处？（Ⅱ）若希望点P 到三镇的最远距离为最小，则P 应位于何处？20．（本小题满分14分）设)(x f y =是定义在区间]1,1[-上的函数，且满足条件，①0)1()1(==-f f ②对任意的u 、]1,1[-∈v ，都有|||)()(|v u v f u f -≤- （Ⅰ）证明：对任意]1,1[-∈x ，都有x x f x -≤≤-1)(1 （Ⅱ）证明：对任意的]1,1[,-∈v u 都有1|)()(|≤-v f u f（Ⅲ）在区间]1,1[-上是否存在满足题设条件的奇函数)(x f y =且使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-=-∈-<-]1,21[ |||)()(|]21,0[ |||)()(|uv v u v f u f uv v u v f u f若存在请举一例，若不存在，请说明理由．D12003年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学（理工农医类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分50分.1．A 2．D 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．B 9．C 10．C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.11．)();(x g x f 12．)4(362--=x y 13．)(212b a r +π 14．44+π 三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力，满分13分.（Ⅰ）解：因为x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=)42cos(22sin 2cos 2sin )sin )(cos sin (cos 2222π+=-=--+=x x x x x x x x所以)(x f 的最小正周期.22ππ==T （Ⅱ）解：因为20π≤≤x ,所以45424πππ≤+≤x 当442ππ=+x 时，)(x f 取最大值为22, 当ππ=+42x 时，)(x f 取最小值为－1 ∴)42cos(2)(π+=x x f 的最大值为1,最小值为－216．本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力.满分13分. （Ⅰ）解：设数列}{n a 公差为d ，则 ,12331321=+=++d a a a a 又.2,21==d a所以.2n a n =（Ⅱ）解：由,2nn n n nx x a b ==得,2)22(4212n n n x n x n x x S ⋅+-+⋅+⋅=- ①.2)22(42132+⋅+⋅-++⋅+⋅=n n n x n x n x x xS ②当x ≠1时，将①式减去②式，得.21)1(22)(2)1(112++⋅---=⋅-++=-n nn n n x n xx x x n x x x S x∴x nx x x x S n n n ----=+12)1()1(212当x=1时，)1(242+=+++=n n n S n综上可知，当x=1时，)1(242+=+++=n n n S n当x ≠1时，x nx x x x S n n n ----=+12)1()1(21217．本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体积等基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力. 满分15分.（Ⅰ）证明：∵CD ∥C 1B 1 ，又BD=BC=B 1C 1，∴四边形BDB 1C 1是平行四边形∴BC 1∥DB 1又DB 1⊂平面AB 1D ，BC 1⊄平面AB 1D ∴直线BC 1∥平面AB 1D（Ⅱ）解：过B 作BE ⊥AD 于E ，连结EB 1，∵ BB 1⊥平面ABD ∴ B 1E ⊥AD∴ ∠B 1EB 是二面角B 1—AD —B 的平面角 ∵ BD=BC=AB ∴ E 是AD 的中点，∴ BE=21AC=23在Rt ∆B 1BE 中，tan ∠B 1EB=3233231==BEB B∴ ∠B 1EB=060即二面角B 1—AD —B 的大小为60（Ⅲ）解法一：过A 作AF ⊥BC 于F ，∵ BB 1⊥平面ABC ， ∴ 平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，∴ AF ⊥平面BB 1C 1C 且AF=323323=⨯ ∴11ABB C V -=11C BB A V -=AF S C BB ⋅∆1131=31233)323321(⨯⨯⨯=827 即三棱锥C 1—ABB 18D1D1D118．本小主要考查直线、椭圆和双曲线等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.满分15分.（Ⅰ）解：椭圆方程为1)(2222=-+b r y a x 焦点坐标为),(221r b a F --，),(222r b a F -离心率ab a e 22-=（Ⅱ）证明：证明：将直线CD 的方程x k y 1=代入椭圆方程1)(2222=-+br y a x ，得 2221222)(b a r x k a x b =-+整理得0)(2)(22222122122=-+-+b a r a rx a k x k a b根据韦达定理，得212221212k a b r a k x x +=+，2122222221k a b b a r a x x +-=，所以rk b r x x x x 12221212-=+ ①将直线GH 的方程x k y 2=代入椭圆方程1)(2222=-+br y a x ，同理可得rk b r x x x x 22243432-=+ ②由 ①、②得 rb r x x x x k 22221211-=+ =43432x x x x k +所以结论成立（Ⅲ）证明：设点P )0,(p ，点Q )0,(q由C 、P 、H 共线，得421141x k x k p x p x =--解得42114121)(x k x k x x k k p --=x由D 、Q 、G 共线，同理可得322132x k x k p x p x =--32213221)(x k x k x x k k q --=由21211x x x x k + = 43432x x x x k +变形得42114121)(x k x k x x k k ---=32213221)(x k x k x x k k --所以 q p = 即OQ OP =19．本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分. （Ⅰ）解：由题设条件a>b>0,设P 的坐标为（0，y ），则P 至三镇距离的平方和为22222)()(2)(y b a y b y f --++= =2222223b a y b a y ++--所以，当322b a y -=时，函数)(y f 取得最小值. 答:点P 的坐标是)3,0(22b a - （Ⅱ）解：记22b a h -=P 至三镇的最远距离为 ⎪⎩⎪⎨⎧-<+--≥++=.|||,||,|,)(222222y h y b y h y h y b y b x g 当当由||22y h y b -≥+解得,222h b h y -≥记,222*hb h y -= 于是⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=.|,|,,)(**22y y y h y y y b x g 当当 当0222*≥-=hb h y ，即b h ≥时， 因为22y b +在[),*+∞y 上是增函数，而]y ,(-||*∞-在y h 上是减函数.y xOB C AP(-b,0)(b,0)所以*y y =时,函数)(y g 取得最小值. 点P 的坐标是)2,0(22hb h - 当0222*<-=hb h y ，即b h <时，因为22y b +在[),*+∞y 上当y=0函数)(y g 取得最小值b ，而]y ,(-||*∞-在y h 上是减函数,且 b ||>-y h ，所以0=y 时, 函数)(y g 取得最小值.答：当b h ≥时，点P 的坐标是)2,0(22hb h - 当b h <时，点P 的坐标是)0,0(，其中22b a h -=20．本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分. （Ⅰ）证明：由题设条件可知，当]1,1[-∈x 时，有,1|1||)1()(||)(|x x f x f x f -=-≤-=即.1)(1x x f x -≤≤- （Ⅱ）对任意的]1,1[,-∈v u ，当1|||)()(|,1|u |≤-≤-≤-v u v f u f v 有时当,1|u |时≤-v 0,u <⋅v 不妨设],1,0(),0,1[∈-∈v u 则1>-u v 从而有)1()()1()(|)()(|f v f f u f v f u f -+--≤-1)(2|1||1|<--=-++≤u v v u总上可知，对任意的]1,1[,-∈v u ，都有1|)()(|≤-v f u f（Ⅲ）答：这样满足所述条件的函数不存在.理由如下：假设存在函数)(x f 满足条件，则由.|||)()(|v u v f u f -=- ]1,21[,∈v u 得21|121||)1()21(|=-=-f f又0)1(=f ，所以21|)21(|=f ①又因为)(x f 为奇函数，所以0)0(=f ， 由条件.|||)()(|v u v f u f -<- ]21,0[,∈v u 得21|021||)0()21(||)21(|=-<-=f f f所以 21|)21(|<f ②①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在.。