2003年高考数学试题(广东)及答案
2003年高考试题——数学理(全国卷)及答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理工农医类）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π（ )A ．247B ．247-C ．724 D ．724- 2．圆锥曲线的准线方程是θθρ2cos sin 8=（ )A ．2cos -=θρB ．2cos =θρC ．2sin -=θρD ．2sin =θρ3．设函数的取值范围是则若0021,1)(,.0,,0,12)(x x f x x x x f x >⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=- ( )A ．（－1，1）B ．（－1,+∞)C ．),0()2,(+∞⋃--∞D ．),1()1,(+∞⋃--∞4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ）A ．21+B ．12-C ．2D ．25．已知圆截得被当直线及直线C l y x l a x a x C .03:)0(4)2()(:22=+->=-+-的弦长为32时,则a =A ．2B ．22-C ．12-D ．12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R,在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）A ．22R πB ．249R πC ．238R πD ．223r π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成的一个首项为41的等差数列，则=-||n m ( ）A ．1B ．43 C ．21 D ．83 8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为与其相交于直线1),0,7(-=x y F M 、N 两点，MN 中点的横坐标为,32-则此双曲线的方程是 （ ）A ．14322=-y x B ．13422=-y x C ．12522=-y xD ．15222=-y x 9．函数=∈=-)(]23,2[,sin )(1x f x x x f 的反函数ππ（ ）A ．]1,1[,arcsin -∈-x xB ．]1,1[,arcsin -∈--x x πC ．]1,1[,arcsin -∈+-x x πD ．]1,1[,arcsin -∈-x x π10．已知长方形的四个项点A(0，0),B(2,0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射解等于反射角）,设P 4坐标为（θtg ,2x 1),0,44则若<<x 的取值范围是( ）A ．)1,31(B ．)32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C（ ）A ．3B ．31C ．61 D ．612．一个四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为 （ )A ．3πB ．4πC ．3π3D ．6π二、填空题：本大题共4小题,每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
2003年全国统一高考理科数学试卷(全国旧课程卷)
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国旧课程卷）理科数学一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. （2003▪全国旧课程▪理）已知(2x π∈-，0)，4cos 5x =，则tan 2x = A.724 B.724- C.247 D.247- 2. （2003▪全国旧课程▪理）圆锥曲线28sin cos θρθ=的准线方程是 A.cos 2ρθ=- B.cos 2ρθ= C.sin 2ρθ=- D.sin 2ρθ=3. （2003•全国旧课程•理）设函数12210()0x x f x xx -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，若0()1f x >，则0x 的取值范围是A.(1-，1)B.(1-，)+∞C.(-∞，2)(0-，)+∞ D.(-∞，1)(1-，)+∞ 4. （2003▪全国旧课程▪理）函数2sin (sin cos )y x x x =+的最大值为A.1+1D.2 5. （2003▪全国旧课程▪理）已知圆C ：22()(2)4(0)x a y a -+-=>及直线l ：x y -+30=，当直线l 被C截得的弦长为a =B.2116. （2003▪全国旧课程▪理）已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是A.22R πB.294R πC.283R πD.252R π 7. （2003▪全国旧课程▪理）已知方程22(2)(2)0x x m x x n -+-+=的四个根组成一个首项为14的等差数列，则||m n -= A.1 B.34 C.12 D.388. （2003▪全国旧课程▪理）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 0)，直线1y x =-与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是 A.22134x y -= B.22143x y -= C.22152x y -= D.22125x y -= 9. （2003▪全国旧课程▪理）函数()sin f x x =，[2x π∈，3]2π的反函数1()f x -=A.arcsin x -，[1x ∈-，1]B.arcsin x π--，[1x ∈-，1]C.arcsin x π+，[1x ∈-，1]D.arcsin x π-，[1x ∈-，1]10. （2003▪全国旧课程▪理）已知长方形的四个项点(0A ，0)，(2B ，0)，(2C ，1)和(0D ，1)，一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD ，DA 和AB 上的点2P ，3P 和4P （入射角等于反射角）.设4P 的坐标为4(x ，0)，若41x < 2<，则tan θ的取值范围是 A.1(3，1) B.1(3，2)3 C.2(5，1)2 D.2(5，2)311. （2003▪全国旧课程▪理）22222341111234lim ()n n n C C C C n C C C C →∞++++=++++ A.3 B.13 C.16D.6 12. （2003▪全国旧课程▪则此球的表面积为A.3πB.4πC.D.6π 二、填空题（共4小题，每小题4分，满16分）13. （2003▪全国旧课程▪理）在291()2x x-的展开式中，9x 的系数是________（用数字作答）.14. （2003▪全国旧课程▪理）使2log ()1x x -<+成立的x 的取值范围是_________.15. （2003▪全国旧课程▪理）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_____种．（以数字作答）16. （2003▪全国旧课程▪理）下列五个正方体图形中，l 是正方体的一条体对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出l ⊥平面MNP 的图形的序号是_______（写出所有符合要求的图形序号）.三、解答题（共6小题，满分12+12+12+12+12+14=74分）17. （2003▪全国旧课程▪理）已知复数z 的辐角为60︒，且|1|z -是||z 和|2|z -的等比中项.求||z .18. （2003▪全国旧课程▪理）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，侧棱12AA =，D 、E 分别是1CC 与1A B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G .⑴求1A B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； ⑵求点1A 到平面AED 的距离.19. （2003▪全国旧课程▪理）已知0c >，设P ：函数x y c =在R 上单调递减，Q ：不等式|2|1x x c +->的解集为R .如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围.20. （2003▪全国旧课程▪理）在某海滨城市附近海面有一台风.据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南(arccos 10θθ=方向300km 的海面P 处，并以20 km /h 的速度向西偏北45︒方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10/km h 的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21. （2003▪全国旧课程▪理）已知常数0a >，在矩形ABCD 中，4AB =，4BC a =，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BE CF DG BC CD DA==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．22. （2003▪全国旧课程▪理）⑴设{}n a 是集合{22|0t s s t +≤<，且s ，}t Z ∈中所有的数从小到大排列成的数列，即13a =，25a =，36a =，49a =，510a =，612a =，….将数列{}n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12… … … …… … … … ……………①写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；②求100a .⑵（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）设{}n b 是集合{222|0t s rr s t ++≤<<，且r ，s ，}t Z ∈中所有的数从小到大排列成的数列，已知1160k b =，求k .2003年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2003•全国）已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x等于（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】先根据cosx，求得sinx，进而得到tanx的值，最后根据二倍角公式求得tan2x．【解答】解：∵cosx=，x∈（﹣，0），∴sinx=﹣．∴tanx=﹣．∴tan2x===﹣×=﹣．故选D．【点评】本题主要考查了三角函数中的二倍角公式．属基础题．2．（5分）（2003•全国）圆锥曲线的准线方程是（）A．ρcosθ=﹣2 B．ρcosθ=2 C．ρsinθ=﹣2 D．ρsinθ=2【分析】首先把圆锥曲线方程转化为直角坐标系的方程，然后根据抛物线的准线方程的公式求出准线方程，再转化为极坐标方程即得到答案．【解答】解：圆锥曲线由极坐标与直角坐标系的关系，可转化为直角坐标系上的方程，即为抛物线x2=8y，则准线方程为y=﹣2，再转化为极坐标方程为ρsinθ=﹣2．故选择C．【点评】此题主要考查极坐标与直角坐标系的转化，以及抛物线的准线方程的求解问题，属于综合性的问题有一定的难度．3．（5分）（2003•全国）设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【分析】将变量x0按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并．【解答】解：当x0≤0时，，则x0＜﹣1，当x0＞0时，则x0＞1，故x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选D．【点评】本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题，以及指数不等式与对数不等式的解法，属于常规题．4．（5分）（2003•全国）函数y=2sinx（sinx+cosx）的最大值为（）A．B．C．D．2【分析】把函数式展开，可以看出要逆用正弦和余弦的二倍角公式，变为y=Asin（ωx+φ）的形式，在定义域是全体实数的条件下，根据正弦的值域求本题的最值．【解答】解：∵y=2sinx（sinx+cosx）∴y=2sin2x+2sinxcosx∴y=1﹣cos2x+sin2x=sin（2x﹣）+1∵当x∈R时，sin（2x﹣）∈[﹣1，1]∴y的最大值为+1，故选A．【点评】三角函数是高中一年级数学教学中的一个重要内容，公式繁多应用灵活给学生的学习带来了一定的困难．为了学生掌握这一单元的知识，必须使学生熟练的掌握所有公式，在此基础上并能灵活的运用公式．5．（5分）（2003•全国）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4及直线l：x﹣y+3=0，当直线l被C截得的弦长为时，则a等于（）A．B．C． D．【分析】弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，半径是2，半弦长是，则弦心距是1，用点到直线的距离可以求解a．【解答】解：圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4的圆心（a，2），半径是2，半弦长是，则弦心距是1，圆心到直线的距离：1=∴故选C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，是基础题．6．（5分）（2003•全国）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A．2πR2 B．C．D．【分析】将全面积表示成底面半径的函数，用配方法求二次函数的最大值【解答】解：设内接圆柱的底面半径为r，高为h，全面积为S，则有∴h=3R﹣3r∴S=2πrh+2πr2=﹣4πr2+6πRr=﹣4π（r2﹣Rr）=﹣4π（r﹣）2+πR2∴当r=时，S取的最大值πR2．故选B．【点评】考查实际问题的最值问题，常转化成函数的最值7．（5分）（2003•全国）已知方程（x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m﹣n|等于（）A．1 B．C．D．【分析】设4个根分别为x1、x2、x3、x4，进而可知x1+x2和x3+x4的值，进而根据等差数列的性质，当m+n=p+q时，am+an=ap+aq．设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列，进而求得m和n，则答案可得．【解答】解：设4个根分别为x1、x2、x3、x4，则x1+x2=2，x3+x4=2，由等差数列的性质，当m+n=p+q时，am+an=ap+aq．设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列为，，，，∴m=，n=．∴|m﹣n|=．故选C【点评】本题主要考查了等差数列的性质．解题的关键是运用了等差数列当m+n=p+q 时，am+an=ap+aq的性质．8．（5分）（2003•全国）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x ﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及MN中点的横坐标可得a、b的一个方程，又双曲线中有c2=a2+b2，则另得a、b的一个方程，最后解a、b的方程组即得双曲线方程．【解答】解：设双曲线方程为﹣=1．将y=x﹣1代入﹣=1，整理得（b2﹣a2）x2+2a2x﹣a2﹣a2b2=0．由韦达定理得x1+x2=，则==﹣．又c2=a2+b2=7，解得a2=2，b2=5，所以双曲线的方程是．故选D．【点评】本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等．9．（5分）（2003•全国）函数f（x）=sinx，x∈的反函数f﹣1（x）=（）A．﹣arcsinx，x∈[﹣1，1] B．﹣π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]C．﹣π+arcsinx，x∈[﹣1，1] D．π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]【分析】先用诱导公式求出f（x）=sin（π﹣x），x∈，然后可以反函数的定义求解即可．【解答】解：函数f（x）=sinx，x∈所以：函数f（x）=sin（π﹣x），x∈可得π﹣x=arcsiny y∈[﹣1，1]∴f﹣1（x）=π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]故选D．【点评】本题考查反函数的求法，是基础题．10．（5分）（2003•全国）已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD．DA和AB上的点P2．P3和P4（入射角等于反射角），设P4坐标为（x4，0），若1＜x4＜2，则tanθ的取值范围是（）A．（，1） B．（，）C．（，）D．（，）【分析】先画草图，帮助理解，取BC上的点P1为中点，则P4和中点P0重合，tanθ=，用排除法解答．【解答】解：考虑由P0射到BC的中点上，这样依次反射最终回到P0，此时容易求出tanθ=，由题设条件知，1＜x4＜2，则tanθ≠，排除A．B．D，故选C．【点评】由于是选择题，因而可以特殊值方法解答：排除验证法，也可以用动态观点判定答案．11．（5分）（2003•全国）等于（）A．3 B．C．D．6【分析】利用组合数的性质对原式进行等价转化，得到．【解答】解：∵C22+C32+C42+…+Cn2=C33+C32+C42++Cn2=C43+C42+…+Cn2═Cn+13，，∴．故选B．【点评】本题考查数列的极限，解题时要注意组合数的计算和应用．12．（5分）（2003•全国）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．3D．6π【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，可求出内接该四面体的正方体棱长为1，又因为正方体的对角线即为球的直径，即球的半径R=，代入球的表面积公式，S球=4πR2，即可得到答案．【解答】解：借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四面体；（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的体对角线就是球的直径．则球的半径R=，∴球的表面积为3π，故答案选A．【点评】棱长为a的正方体，内接正四面体的棱长为a，外接球直径等于长方体的对角线长a．二、填空题（共4小题，每小题4分，满16分）13．（4分）（2003•全国）在的展开式中，x3的系数是﹣（用数字作答）【分析】首先根据题意，写出的二项展开式，可得9﹣2r=3，解可得r=3，将其代入二项展开式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，对于，有Tr+1=C99﹣r•x9﹣r•（﹣）r=（﹣）r•C99﹣r•x9﹣2r，令9﹣2r=3，可得r=3，当r=3时，有T4=﹣x3，故答案﹣．【点评】本题考查二项式定理的应用，注意系数与二项式系数的区别．14．（4分）（2003•全国）使log2（﹣x）＜x+1成立的x的取值范围是（﹣1，0）．【分析】在坐标系中画出函数f（x）=log2（﹣x）和g（x）=x+1，图象，结合图象判定即可．【解答】解：利用作图法可以判断f（x）=log2（﹣x）和g（x）=x+1，相交于（﹣1，0）前者是单调递减，后者是单调递增．所以只有﹣1＜x＜0时，log2（﹣x）＜x+1成立故答案为：（﹣1，0）．【点评】本题考查对数函数的图象，数形结合法解不等式，是中档题．15．（4分）（2003•全国）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有72 种．（以数字作答）【分析】分类型，选3种颜色时，就是②④同色，③⑤同色；4种颜色全用，只能②④或③⑤用一种颜色，其它不相同，求解即可．【解答】解：由题意，选用3种颜色时：涂色方法C43•A33=24种4色全用时涂色方法：C21•A44=48种所以不同的着色方法共有72种．故答案为：72【点评】本题考查组合及组合数公式，考查分类讨论思想，避免重复和遗漏情况，是中档题．16．（4分）（2003•全国）下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是①③（写出所有符合要求的图形序号）．【分析】能得出AB∥面MNP，关键是看平面MNP中有没有与AB平行的直线，或者有没有过AB的平面与平面MNP平行．逐一判断即可．【解答】解：①∵面AB∥面MNP，∴AB∥面MNP．②若下底面中心为O，易知NO∥AB，NO⊄面MNP，∴AB与面MNP不平行．③易知AB∥MP，∴AB∥面MNP．④易知存在一直线MC∥AB，且MC⊄平面MNP，∴AB与面MNP不平行．故答案为：①③【点评】本题考查直线与平面平行的判定，是基础题．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2003•全国）已知复数z的辐角为60°，且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项．求|z|．【分析】本题考查的复数的基本概念及等比数列的性质，由复数z的辐角为60°，我们可以使用待定系数法设出复数Z，然后根据|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项，结合等比数列的性质构造方程，解方程求出待定的系数，即可得到Z值，进而求出复数的模．【解答】解：设z=（rcos60°+rsin60°i），则复数z的实部为．由题设|z﹣1|2=|z|•|z﹣2|，即：（z﹣1）（﹣1）=|z|∴r2﹣r+1=r，整理得r2+2r﹣1=0．解得r=﹣1，r=﹣﹣1（舍去）．即|z|=﹣1．【点评】解决复数问题时，我们多使用待定系数法，即设出复数的值，然后根据题目中的其它条件，列出方程，解方程求出系数，即可得到未知复数的值．18．（12分）（2003•全国）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离．【分析】（1）连接BG，则BG是BE在面ABD的射影，易证∠EBG是A1B与平面ABD 所成的角，设F为AB中点，连接EF、FC，在三角形EBG中求出此角；（2）连接A1D，有，建立等量关系，求出点A1到平面AED的距离即可．【解答】解：（Ⅰ）连接BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角．设F为AB中点，连接EF、FC，∵D，E分别是CC1，A1B的中点，又DC⊥平面ABC，∴CDEF为矩形，连接DE，G是△ADB的重心，∴G∈DF，在直角三角形EFD中，EF2=FG•FD=FD2，∵EF=1，∴FD=．于是ED=，EG=∵FC=，CD=1∴AB=2，A1B=2，EB=，∴A1B与平面ABD所成的角是arcsin；（Ⅱ）连接A1D，有∵ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB=F，∴ED⊥平面A1AB，设A1到平面AED的距离为h，则，，．∴，即A1到平面AED的距离为．【点评】本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．19．（12分）（2003•全国）已知c＞0，设P：函数y=cx在R上单调递减，Q：不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围．【分析】函数y=cx在R上单调递减，推出c的范围，不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R，推出x+|x﹣2c|的最小值大于1，P和Q有且仅有一个正确，然后求出c的取值范围．【解答】解：函数y=cx在R上单调递减⇔0＜c＜1．不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R⇔函数y=x+|x﹣2c|在R上恒大于1．∵x+|x﹣2c|=∴函数y=x+|x﹣2c|在R上的最小值为2c．∴不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R⇔2c＞1⇔c＞．如果P正确，且Q不正确，则0＜c≤．如果P不正确，且Q正确，则c＞1．∴c的取值范围为（0，]∪（1，+∞）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，指数函数单调性的应用，是中档题．20．（12分）（2003•全国）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？【分析】建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向．设在时刻：t（h）台风中心P（x，y）的坐标进而可知此时台风侵袭的区域，根据题意可知其中r（t）=10t+60，若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有（0﹣x）2+（0﹣y）2≤（10t+60）2，进而可得关于t的一元二次不等式，求得t的范围，答案可得．【解答】解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向．在时刻：t（h）台风中心P（x，y）的坐标为令（x′，y′）是台风边缘线上一点，则此时台风侵袭的区域是（x′﹣x）2+（y′﹣y）2≤[r（t）]2，其中r（t）=10t+60，若在t时，该城市受到台风的侵袭，则有（0﹣x）2+（0﹣y）2≤（10t+60）2，即，即t2﹣36t+288≤0，解得12≤t≤24．答：12小时后该城市开始受到台风侵袭．【点评】本题主要考查了圆的方程的综合运用．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．21．（12分）（2003•全国）已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．【分析】建立坐标系，按题意写出A，B，C，D四点的坐标，进而根据解出E，F，G三点的坐标参数表示，求出OF与GE两条直线的方程，两者联立即可求出点P的坐标满足的参数方程，消去参数，得到点P的轨迹方程．由于参数a的取值范围影响曲线的形状故按参数a的范围来对曲线进行分类．【解答】解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到定点距离的和为定值．按题意有A（﹣2，0），B（2，0），C（2，4a），D（﹣2，4a）设=k（0≤k≤1），由此有E（2，4ak），F（2﹣4k，4a），G（﹣2，4a﹣4ak）．直线OF的方程为：2ax+（2k﹣1）y=0，①直线GE的方程为：﹣a（2k﹣1）x+y﹣2a=0．②从①，②消去参数k，得点P（x，y）坐标满足方程2a2x2+y2﹣2ay=0，整理得．当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点；当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长；当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值；当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值2a．【点评】考查解析法求点的轨迹方程，本题在做题时引入了参数k，故得到的轨迹方程为参数方程，需要消去参数得到轨迹方程，又当字母的取值范围对曲线的形状有影响时，要对其范围进行讨论以确定轨迹的具体性状．考查分类讨论的数学思想．22．（14分）（2003•全国）（1）设{an}是集合{2s+2t|0≤s＜t且s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，即a1=3，a2=5，a3=6，a4=9，a5=10，a6=12，…将数列{an}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣…①写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；②求a100（2）设{bn}是集合{2r+2s+2t|0≤r＜s＜t，且r，s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，已知bk=1160，求k．【分析】（1）①用（t，s）表示2t+2s，先利用前几个数找到其规律，是每一个的横坐标从0增加到对应的行数，而纵坐标为行数，就可求出第四行、第五行各数；②解法一：因为100=（1+2+3+4++13）+9，所以可以知道a100位于第14行第8列，即可求出a100．解法二：直接把设a100=2s0+2t0，再利用条件确定对应的正整数s0，t0即可．（2）利用上面的结论可以快速找到{bn}的规律，再结合组合数对其求解即可．【解答】（1）解：用（t，s）表示2t+2s，下表的规律为3（0，1）5（0，2） 6（1，2）9（0，3） 10（1，3） 12（2，3）①第四行17（0，4） 18（1，4） 20（2，4） 24（3，4）第五行33（0，5） 34（1，5） 36（2，5） 40（3，5） 48（4，5）②解法一：因为100=（1+2+3+4+…+13）+9，所以a100=（8，14）=28+214=16640 解法二：设a100=2s0+2t0，只须确定正整数s0，t0．数列{an}中小于2t0的项构成的子集为{2t+2s|0≤s＜t＜t0}，其元素个数为，依题意．满足等式的最大整数t0为14，所以取t0=14．因为100﹣C142=s0+1，由此解得s0=8，∴a100=214+28=16640．（2）解：bk=1160=210+27+23，令M={c∈B|C＜1160}（其中，B={2r+2s+2t|0≤r＜s＜t}）因M={c∈B|c＜210}∪{c∈B|210＜c＜210+27}∪{c∈B|210+27＜c＜210+27+23}．现在求M的元素个数：{c∈B|c＜210}={2r+2s+2t|0≤r＜s＜t＜10}，其元素个数为C103：{c∈B|210＜c＜210+27}={210+2s+2r|0≤r＜s＜7}．某元素个数为C72：{c∈B|210+27＜c＜210+27+23}={210+27+2r|0≤r＜3}某元素个数为C107：k=C103+C72+C32+1=145．另法：规定2r+2t+2s=（r，t，s），bk=1160=210+27+23=（3，7，10）则b1=20+21+22=（0，1，2）C22依次为（0，1，3）（0，2，3）（1，2，3） C32（0，1，4）（0，2，4）（1，2，4）（0，3，4）（1，3，4）（2，3，4） C42 （0，1，9）（0，2，9）（6，8，9）（7，8，9）C92（0，1，10）（0，2，10）（0，7，10）（1，7，10）（2，7，10）（3，7，10）C72+4k=（C22+C32++C92）+C72+4=145．【点评】本题考查数列的应用是数列这一块的难题，适合做压轴题．参与本试卷答题和审题的老师有：zhwsd；xiaolizi；minqi5；涨停；qiss；wdnah；wzj123；zlzhan；geyanli；danbo7801；豫汝王世崇；xintrl；庞会丽（排名不分先后）菁优网2017年5月28日。
2003年全国统一高考数学试卷(广东、广西卷)
2003年普通高等学校招生全国统一考试（广东、广西卷）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. （2003▪二广）在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是 A.B. C. D. 2. （2003▪二广）已知(2x π∈-，0)，4cos 5x =，则tan 2x = A.724 B.724- C.247D.247- 3. （2003▪二广）圆锥曲线28sin cos θρθ=的准线方程是 A.cos 2ρθ=- B.cos 2ρθ= C.sin 2ρθ=- D.sin 2ρθ=4. （2003▪二广）等差数列{}n a 中，已知113a =，254a a +=，33n a =，则n 为 A.48 B.49 C.50 D.515. （2003▪二广）双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，12120F MF ∠=︒，则双曲线的离心率为 36636. （2003▪二广）设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-)0()0(12)(21x x x x f x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是A.1(-，)1B.1(-，)∞+C.-∞(，0()2 -，)∞+D.-∞(，1()1 -，)∞+7. （2003▪二广）函数2sin (sin cos )y x x x =+的最大值为 A.1221 2 D.2 8. （2003▪二广）已知圆C ：22()(2)4(0)x a y a -+-=>及直线l ：30x y -+=，当直线l 被C 截得的弦长为3a = 2 B.22 21 219. （2003▪二广）已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是A.22R πB.294R π C.283R π D.232R π10. （2003▪二广）函数()sin f x x =，[2x π∈，3]2π的反函数1()fx -= A.arcsin x -，[1x ∈-，1] B.arcsin x π--，[1x ∈-，1]C.arcsin x π+，[1x ∈-，1]D.arcsin x π-，[1x ∈-，1]11. （2003▪二广）已知长方形的四个项点(0A ，0)，(2B ，0)，(2C ，1)和(0D ，1)，一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD ，DA 和AB 上的点2P ，3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为4(x ，0)，若412x <<，则tan θ的取值范围是A.1(3，1)B.1(3，2)3C.2(5，1)2D.2(5，2)312. （2003▪二广）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为A.3πB.4πC.33πD.6π 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13. （2003▪二广）不等式24x x x -<的解集是___________. 14. （2003▪二广）在291()2x x-的展开式中，9x 的系数是________（用数字作答）. 15. （2003▪二广）在平面几何里，有勾股定理“设ABC ∆的两边AB ，AC 互相垂直，则222AB AC BC +=”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A BCD -的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则_______________.” 16. （2003▪二广）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种．（以数字作答）三、解答题（共6小题，满分12+12+12+12+12+14=74分）17. （2003▪二广）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -，1AB =，12AA =，点E 为1CC 中点，点F 为1BD 中点.⑴证明EF 为1BD 与1CC 的公垂线；⑵求点1D 到面BDE 的距离.18. （2003▪二广）已知复数z 的辐角为60︒，且|1|z -是||z 和|2|z -的等比中项.求||z .19. （2003▪二广）已知0a >，1a ≠.设P ：函数log (1)a y x =+在(0x ∈，)+∞上单调递减，Q ：曲线2(23)1y x a x =+-+与x 轴交于不同的两点.如果P 与Q 有且仅有一个正确，求a 的取值范围.20. （2003▪二广）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南2(arccos)10θθ=方向300km 的海面P 处，并以20/km h 的速度向西偏北45︒方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10/km h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21. （2003▪二广）已知常数0a >，在矩形ABCD 中，4AB =，4BC a =，O 为AB的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BE CF DG BC CD DA==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．22. （2003▪二广）设0a 为常数，且1*132()n n n a a n N --=-∈.⑴证明对任意1n ≥，11[3(1)5n n n a -=+-•2](1)n n +-•02n a ； ⑵假设对任意1≥n 有1->n n a a ，求0a 的取值范围.2003年广东省高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）（5分）（2003•广东）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）1．A．B．C．D．【分析】本题是一个选择题，按照选择题的解法来做题，由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上，得到结果．【解答】解：由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选C．【点评】本题考查确定直线为主的几何要素，考查斜率和截距对于一条直线的影响，是一个基础题，这种题目也可以出现在直线与圆锥曲线之间的图形的确定．2．（5分）（2003•全国）已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x等于（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】先根据cosx，求得sinx，进而得到tanx的值，最后根据二倍角公式求得tan2x．【解答】解：∵cosx=，x∈（﹣，0），∴sinx=﹣．∴tanx=﹣．∴tan2x===﹣×=﹣．故选D．【点评】本题主要考查了三角函数中的二倍角公式．属基础题．3．（5分）（2003•全国）圆锥曲线的准线方程是（）A．ρcosθ=﹣2 B．ρcosθ=2 C．ρsinθ=﹣2 D．ρsinθ=2【分析】首先把圆锥曲线方程转化为直角坐标系的方程，然后根据抛物线的准线方程的公式求出准线方程，再转化为极坐标方程即得到答案．【解答】解：圆锥曲线由极坐标与直角坐标系的关系，可转化为直角坐标系上的方程，即为抛物线x2=8y，则准线方程为y=﹣2，再转化为极坐标方程为ρsinθ=﹣2．故选择C．【点评】此题主要考查极坐标与直角坐标系的转化，以及抛物线的准线方程的求解问题，属于综合性的问题有一定的难度．4．（5分）（2003•天津）等差数列{an}中，已知a1=，a2+a5=4，an=33，则n为（）A．48 B．49 C．50 D．51【分析】先由等差数列的通项公式和已知条件解出d，进而写出an的表达式，然后令an=33，解方程即可．【解答】解：设{an}的公差为d，∵，a2+a5=4，∴+d++4d=4，即+5d=4，解得d=．∴an=+（n﹣1）=，令an=33，即=33，解得n=50．故选C．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式an=a1+（n﹣1）d，注意方程思想的应用．5．（5分）（2003•天津）双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线对称性可知∠OMF2=60°，在直角三角形MOF2中可得tan∠OMF2==，进而可得b和c的关系式，进而根据a=求得a和b的关系式．最后代入离心率公式即可求得答案．【解答】解：根据双曲线对称性可知∠OMF2=60°，∴tan∠OMF2===，即c=b，∴a==b，∴e==．故选B．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．本题利用了双曲线的对称性．6．（5分）（2003•全国）设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【分析】将变量x0按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并．【解答】解：当x0≤0时，，则x0＜﹣1，当x0＞0时，则x0＞1，故x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选D．【点评】本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题，以及指数不等式与对数不等式的解法，属于常规题．7．（5分）（2003•全国）函数y=2sinx（sinx+cosx）的最大值为（）A．B．C．D．2【分析】把函数式展开，可以看出要逆用正弦和余弦的二倍角公式，变为y=Asin（ωx+φ）的形式，在定义域是全体实数的条件下，根据正弦的值域求本题的最值．【解答】解：∵y=2sinx（sinx+cosx）∴y=2sin2x+2sinxcosx∴y=1﹣cos2x+sin2x=sin（2x﹣）+1∵当x∈R时，sin（2x﹣）∈[﹣1，1]∴y的最大值为+1，故选A．【点评】三角函数是高中一年级数学教学中的一个重要内容，公式繁多应用灵活给学生的学习带来了一定的困难．为了学生掌握这一单元的知识，必须使学生熟练的掌握所有公式，在此基础上并能灵活的运用公式．8．（5分）（2003•全国）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4及直线l：x﹣y+3=0，当直线l被C截得的弦长为时，则a等于（）A．B．C． D．【分析】弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，半径是2，半弦长是，则弦心距是1，用点到直线的距离可以求解a．【解答】解：圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4的圆心（a，2），半径是2，半弦长是，则弦心距是1，圆心到直线的距离：1=∴故选C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，是基础题．9．（5分）（2003•全国）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A．2πR2 B．C．D．【分析】将全面积表示成底面半径的函数，用配方法求二次函数的最大值【解答】解：设内接圆柱的底面半径为r，高为h，全面积为S，则有∴h=3R﹣3r∴S=2πrh+2πr2=﹣4πr2+6πRr=﹣4π（r2﹣Rr）=﹣4π（r﹣）2+πR2∴当r=时，S取的最大值πR2．故选B．【点评】考查实际问题的最值问题，常转化成函数的最值10．（5分）（2003•全国）函数f（x）=sinx，x∈的反函数f﹣1（x）=（）A．﹣arcsinx，x∈[﹣1，1] B．﹣π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]C．﹣π+arcsinx，x∈[﹣1，1] D．π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]【分析】先用诱导公式求出f（x）=sin（π﹣x），x∈，然后可以反函数的定义求解即可．【解答】解：函数f（x）=sinx，x∈所以：函数f（x）=sin（π﹣x），x∈可得π﹣x=arcsiny y∈[﹣1，1]∴f﹣1（x）=π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]故选D．【点评】本题考查反函数的求法，是基础题．11．（5分）（2003•全国）已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD．DA和AB上的点P2．P3和P4（入射角等于反射角），设P4坐标为（x4，0），若1＜x4＜2，则tanθ的取值范围是（）A．（，1） B．（，）C．（，）D．（，）【分析】先画草图，帮助理解，取BC上的点P1为中点，则P4和中点P0重合，tanθ=，用排除法解答．【解答】解：考虑由P0射到BC的中点上，这样依次反射最终回到P0，此时容易求出tanθ=，由题设条件知，1＜x4＜2，则tanθ≠，排除A．B．D，故选C．【点评】由于是选择题，因而可以特殊值方法解答：排除验证法，也可以用动态观点判定答案．12．（5分）（2003•全国）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．3D．6π【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，可求出内接该四面体的正方体棱长为1，又因为正方体的对角线即为球的直径，即球的半径R=，代入球的表面积公式，S球=4πR2，即可得到答案．【解答】解：借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四面体；（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的体对角线就是球的直径．则球的半径R=，∴球的表面积为3π，故答案选A．【点评】棱长为a的正方体，内接正四面体的棱长为a，外接球直径等于长方体的对角线长a．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2003•全国）不等式的解集是（2，4] ．【分析】此题要注意4x﹣x2≥0，先对不等式两边平方，然后再移项、系数化为1，求出不等式的解集；【解答】解：∵x＞≥0，∴x＞0，∵不等式，两边平方得，4x﹣x2＜x2，∴2x2﹣4x＞0，解得，x＞2，x＜0（舍去），∵4x﹣x2≥0，∴0≤x≤4，∴综上得：不等式的解集为：（2，4]，故答案为（2，4]．【点评】此题要注意根号有意义的条件，很多学生忽略了这一点，从而导致出错．14．（4分）（2003•全国）在的展开式中，x3的系数是﹣（用数字作答）【分析】首先根据题意，写出的二项展开式，可得9﹣2r=3，解可得r=3，将其代入二项展开式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，对于，有Tr+1=C99﹣r•x9﹣r•（﹣）r=（﹣）r•C99﹣r•x9﹣2r，令9﹣2r=3，可得r=3，当r=3时，有T4=﹣x3，故答案﹣．【点评】本题考查二项式定理的应用，注意系数与二项式系数的区别．15．（4分）（2003•天津）在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2 ．”【分析】从平面图形到空间图形的类比【解答】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：S△ABC2+S△ACD2+S △ADB2=S△BCD2．故答案为：S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2．【点评】本题主要考查学生的知识量和知识的迁移类比等基本能力．16．（4分）（2003•全国）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有72 种．（以数字作答）【分析】分类型，选3种颜色时，就是②④同色，③⑤同色；4种颜色全用，只能②④或③⑤用一种颜色，其它不相同，求解即可．【解答】解：由题意，选用3种颜色时：涂色方法C43•A33=24种4色全用时涂色方法：C21•A44=48种所以不同的着色方法共有72种．故答案为：72【点评】本题考查组合及组合数公式，考查分类讨论思想，避免重复和遗漏情况，是中档题．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2003•天津）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离．【分析】（1）欲证明EF为BD1与CC1的公垂线，只须证明EF分别与为BD1与CC1垂直即可，可由四边形EFMC是矩形→EF⊥CC1．由EF⊥面DBD1→EF⊥BD1．（2）欲求点D1到面BDE的距离，将距离看成是三棱锥的高，利用等体积法：VE﹣DBD1=VD1﹣DBE．求解即得．【解答】解：（1）取BD中点M．连接MC，FM．∵F为BD1中点，∴FM∥D1D且FM=D1D．又EC CC1且EC⊥MC，∴四边形EFMC是矩形∴EF⊥CC1．又FM⊥面DBD1．∴EF⊥面DBD1．∵BD1⊂面DBD1．∴EF⊥BD1．故EF为BD1与CC1的公垂线．（Ⅱ）解：连接ED1，有VE﹣DBD1=VD1﹣DBE．由（Ⅰ）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d．则．∵AA1=2，AB=1．∴，，∴．∴故点D1到平面DBE的距离为．【点评】本小题主要考查线面关系和四棱柱等基础知识，考查空间想象能力和推理能力．18．（12分）（2003•全国）已知复数z的辐角为60°，且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项．求|z|．【分析】本题考查的复数的基本概念及等比数列的性质，由复数z的辐角为60°，我们可以使用待定系数法设出复数Z，然后根据|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项，结合等比数列的性质构造方程，解方程求出待定的系数，即可得到Z值，进而求出复数的模．【解答】解：设z=（rcos60°+rsin60°i），则复数z的实部为．由题设|z﹣1|2=|z|•|z﹣2|，即：（z﹣1）（﹣1）=|z|∴r2﹣r+1=r，整理得r2+2r﹣1=0．解得r=﹣1，r=﹣﹣1（舍去）．即|z|=﹣1．【点评】解决复数问题时，我们多使用待定系数法，即设出复数的值，然后根据题目中的其它条件，列出方程，解方程求出系数，即可得到未知复数的值．19．（12分）（2003•全国）已知c＞0，设P：函数y=cx在R上单调递减，Q：不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围．【分析】函数y=cx在R上单调递减，推出c的范围，不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R，推出x+|x﹣2c|的最小值大于1，P和Q有且仅有一个正确，然后求出c的取值范围．【解答】解：函数y=cx在R上单调递减⇔0＜c＜1．不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R⇔函数y=x+|x﹣2c|在R上恒大于1．∵x+|x﹣2c|=∴函数y=x+|x﹣2c|在R上的最小值为2c．∴不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R⇔2c＞1⇔c＞．如果P正确，且Q不正确，则0＜c≤．如果P不正确，且Q正确，则c＞1．∴c的取值范围为（0，]∪（1，+∞）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，指数函数单调性的应用，是中档题．20．（12分）（2003•全国）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？【分析】建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向．设在时刻：t（h）台风中心P（x，y）的坐标进而可知此时台风侵袭的区域，根据题意可知其中r（t）=10t+60，若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有（0﹣x）2+（0﹣y）2≤（10t+60）2，进而可得关于t的一元二次不等式，求得t的范围，答案可得．【解答】解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向．在时刻：t（h）台风中心P（x，y）的坐标为令（x′，y′）是台风边缘线上一点，则此时台风侵袭的区域是（x′﹣x）2+（y′﹣y）2≤[r（t）]2，其中r（t）=10t+60，若在t时，该城市受到台风的侵袭，则有（0﹣x）2+（0﹣y）2≤（10t+60）2，即，即t2﹣36t+288≤0，解得12≤t≤24．答：12小时后该城市开始受到台风侵袭．【点评】本题主要考查了圆的方程的综合运用．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．21．（12分）（2003•全国）已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．【分析】建立坐标系，按题意写出A，B，C，D四点的坐标，进而根据解出E，F，G三点的坐标参数表示，求出OF与GE两条直线的方程，两者联立即可求出点P的坐标满足的参数方程，消去参数，得到点P的轨迹方程．由于参数a的取值范围影响曲线的形状故按参数a的范围来对曲线进行分类．【解答】解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到定点距离的和为定值．按题意有A（﹣2，0），B（2，0），C（2，4a），D（﹣2，4a）设=k（0≤k≤1），由此有E（2，4ak），F（2﹣4k，4a），G（﹣2，4a﹣4ak）．直线OF的方程为：2ax+（2k﹣1）y=0，①直线GE的方程为：﹣a（2k﹣1）x+y﹣2a=0．②从①，②消去参数k，得点P（x，y）坐标满足方程2a2x2+y2﹣2ay=0，整理得．当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点；当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长；当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值；当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值2a．【点评】考查解析法求点的轨迹方程，本题在做题时引入了参数k，故得到的轨迹方程为参数方程，需要消去参数得到轨迹方程，又当字母的取值范围对曲线的形状有影响时，要对其范围进行讨论以确定轨迹的具体性状．考查分类讨论的数学思想．22．（14分）（2003•天津）设an为常数，且an=3n﹣1﹣2an﹣1（n∈N*）．（1）证明对任意n≥1，有；（2）假设对任意n≥1有an＞an﹣1，求a0的取值范围．【分析】（1）选择利用数学归纳法为妥，需要注意的是有归纳假设ak到ak+1的变形，利用归纳假设，注意目标的形式就能得到结果；另外可以利用递推数列来求得通项公式，当然需要对递推数列的an+1=pan+f（n）这种形式的处理要合适；这种形式的一般处理方法是：两边同时除以pn+1或者是构造一个等比数列，构造法有一定的技巧，如本题可设an﹣a3n=﹣2（an﹣1﹣a3n﹣1），（2）由（1）的结论可作差an﹣an﹣1＞0并代入运算，由于含有（﹣1）n的形式要注意对n=2k﹣1和n=2k进行讨论，只需取k=1，2时得到a0的取值范围即可，另外一个思路是只需取n=1，2时得到a0的范围，然后分n=2k﹣1和n=2k进行证明an﹣an﹣1＞0．具体解法参见参考答案．【解答】解：（1）证法一：（i）当n=1时，由已知a1=1﹣2a0，等式成立；（ii）假设当n=k（k≥1）等式成立，则，那么=．也就是说，当n=k+1时，等式也成立．根据（i）和（ii），可知等式对任何n∈N，成立．证法二：如果设an﹣a3n=﹣2（an﹣1﹣a3n﹣1），用an=3n﹣1﹣2an﹣1代入，可解出．所以是公比为﹣2，首项为的等比数列．∴．即．（2）解法一：由an通项公式．∴an＞an﹣1（n∈N）等价于．①（i）当n=2k﹣1，k=1，2，时，①式即为即为．②式对k=1，2，都成立，有．（ii）当n=2k，k=1，2时，①式即为．即为．③式对k=1，2都成立，有．综上，①式对任意n∈N*，成立，有．故a0的取值范围为．解法二：如果an＞an﹣1（n∈N*）成立，特别取n=1，2有a1﹣a0=1﹣3a0＞0．a2﹣a1=6a0＞0．因此．下面证明当．时，对任意n∈N*，an﹣an﹣1＞0．由an的通项公式5（an﹣an﹣1）=2×3n﹣1+（﹣1）n﹣13×2n﹣1+（﹣1）n5×3×2n﹣1a0．（i）当n=2k﹣1，k=1，2时，5（an﹣an﹣1）=2×3n﹣1+3×2n﹣1﹣5×3×2n﹣1a0＞2×2n﹣1+3×2n﹣1﹣5×3×2n﹣1=0（ii）当n=2k，k=1，2时，5（an﹣an﹣1）=2×3n﹣1﹣3×2n﹣1+5×3×2n﹣1a0＞2×3n﹣1﹣3×2n﹣1≥0．故a0的取值范围为．【点评】本题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．对递推数列的an+1=pan+f（n）这种形式的考查是一个难点，同时除以pn+1得到，然后用累加法得到的等式可得结果，或者是构造一个等比数列an+1+kf（n）=p（an+kf（n））（不具有普适性）．参与本试卷答题和审题的老师有：涨停；zhwsd；xiaolizi；jj2008；wsj1012；minqi5；qiss；wdnah；geyanli；zhiyuan；danbo7801；wodeqing；yhx01248；豫汝王世崇；xintrl；于其才（排名不分先后）菁优网2017年5月28日。
2003年广东高考数学试题（附答案）
2003年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数 学一、选择题：每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．暂缺．暂缺2． 已知==−∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（ ）A ．247B ．－247C ．724D ．－7243．圆锥曲线的准线方程是θθρ2cos sin 8=（ ）A ．2cos −=θρB ．2cos =θρC ．2sin −=θρD ．2sin =θρ4．等差数列}{n a 中，已知33,4,31521==+=n a a a a ，则n 为（ ）A ．48 B．49 C．50 D．51 5．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率为°，则双曲线的离心率为 （ ）A ．3B ．26 C ．36 D ．335．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤−=−0,0,12)(,21x xx x f x若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是的取值范围是（ ）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）∞）C ．（－∞，－2）∪（0，+∞）∞）D ．（－∞，－1）∪（1，+∞）∞）7．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ）A ．21+B ．12−C ．2D ．2 8．已知圆截得被当直线及直线C l y x l a x a x C .03:)0(4)2()(:22=+−>=−+−的弦长为32时，则a = （ ）A ．2B ．22−C ．12−D ．12+9．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）A ．22R πB ．249R π C ．238R π D ．223r π10．函数=∈=−)(]23,2[,sin )(1x f x x x f 的反函数ππ（ ）A ．]1,1[,arcsin −∈−x xB ．]1,1[,arcsin −∈−−x x πC ．]1,1[,arcsin −∈+−x x πD ．]1,1[,arcsin −∈−x x π11．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1）.一质点从AB 的中点P 0沿与AB夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2，P 3和P 4（入射角等于反射角）. 设P 4的坐标为（x 4，0），若214<<x ，则θtan 的取值范围是的取值范围是（ ）A ．（31，1）B ．）32,31( C ．)21,52(D ．)32,52(12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）A ．3πB ．4πC ．π33D ．6π二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上 13．不等式x x x <−24的解集是的解集是14．9)12(2x x −展开式中9x 的系数是的系数是15．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可 以得出的正确结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂两两相互垂 直，则直，则16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可种颜色可供选择，则不同的着色方法共有供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）（以数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）分）已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，AB=1，AA 1=2，点E 为CC1中点，点F 为BD 1中点.（1）证明EF 为BD 1与CC 1的公垂线；的公垂线； （2）求点D 1到面BDE 的距离.18．（本小题满分12分）分）已知复数z 的辐角为60°，且|1|−z 是||z 和|2|−z 的等比中项. 求||z .19．（本小题满分12分）已知c>0，设P：函数xc y =在R 上单调递减Q：不等式x+|x-2c|>1的解集为R.如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围20．（本小题满分12分）分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南)102arccos(=θθ方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h 的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21．（本小题满分14分）分）已知常数,0>a 在矩形ABCD 中，AB=4，BC=4a ，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA上移动，且DADGCD CF BC BE ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.22．（本小题满分14分）分） 设na为常数，且)(2311N n a a n n n∈−=+−（1）证明对任意n nn n n n n a a n 2)1(]2)1(3[51,11⋅−+⋅−+=≥−；（2）假设对任意1≥n 有1−>n n a a ，求n a 的取值范围.2003年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学试题参考答案一、选择题：一、选择题：1.D2.D3.C4.C5.B6.D7.A8.C9.B 10.D 11.C 12.A 二、填空题：二、填空题：13．]4,2( 14． 221− 15．S2△ABC+S2△ACD+S2△ADB=2S △BCD 三、解答题：三、解答题：（I ）证明：取BD 中点M ，连结MC ，FM ，∵F 为BD 1中点，中点， ∴FM ∥D 1D 且FM=21D 1D 又EC=21CC 1，且EC ⊥MC ， ∴四边形EFMC 是矩形是矩形 ∴EF ⊥CC 1 又CM ⊥面DBD 1 ∴EF ⊥面DBD 1 ∵BD 1⊂面DBD 1，∴EF ⊥BD 1 故EF 为BD 1与CC 1的公垂线. （II ）解：连结ED 1，有DBE D DBD E V V−−=11由（I ）知EF ⊥面DBD 1，设点D 1到面BDE 的 距离为d ，则S △DBC ·d=S △DBD 1·EF.………………9分∵AA 1=2·AB=1.22,2====∴EF ED BE BD23)2(2321,2222121=⋅⋅==⋅⋅=∴ΔΔDBC DBD S S 33223222=×=∴d故点D 1到平面BDE 的距离为332. 18． 解：设)60sin 60cos οοr r z +=，则复数.2rz 的实部为2,rz z r z z ==−由题设由题设.12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222−=−−=−==−++−=+−∴−−=−−−⋅=−z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即 19．20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧×+×−=×−×=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤−+− 其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有受到台风的侵袭，则有.)6010()()(222+≤−+−t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ×+×−+×−×2412,028836,)6010(22≤≤≤+−+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值.按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设)10(≤≤==k DADC CD CF BC BE由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）直线OF 的方程为：0)12(2=−+y k ax ①直线GE 的方程为：02)12(=−+−−a y x ka ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=−+ay y x a整理得1)(21222=−+aa y x 当212=a时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长 当212<a 时，点P 到椭圆两个焦点（),21(),,2122a a a a −−−的距离之和为定值2)21,0(),2122−+−a a a [⎬))23(.51)23(5132+<−k .3151)23(511=+×<−)23(.51)23(5122+×−51)23(51212=+×−.31<).3,.31<.31<>02352322111=××−×+×−−−n n n（ii ）当n=2k ，k=1，2…时，011112352332)(5a a a n n n n n −−−−××+×−×=−>0233211≥×−×−−n n 故a 0的取值范围为).31,0(。
2003年高考.全国卷.理科数学试题及答案
20．（本小题满分 12 分） 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前
台 风 中 心 位 于 城 市 O（ 如 图 ） 的 东 偏 南
2 ） 方 向 300km 的 海 面 P 处 ， 并 以 ( arccos 10
20km/h 的速度向西偏北 45 方向移动，台风侵袭的范
图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，
现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法
共有
种 （以数字作答）
3
奎奎奎奎奎
16．下列 5 个正方体图形中， l 是正方体的一条
对角线，点 M、N、P 分别为其所在棱的中点，能得出 l
（写出所有符合要求的图形序号）
2
1
5
4 面 MNP 的图形的序号是
P M
N l
参考公式：
三角函数的积化和差公式：
正棱台、圆台的侧面积公式
sin cos 12 [sin(
) sin(
)]
S台侧 1 (c c)l 其中 c 、 c 分别表示
2
cos sin 12 [sin(
) sin(
)] 上、下底面周长， 表示斜高或母线长.
l
cos cos
1 2
[cos(
) cos(
)]
球体的体积公式：V球 4 R3 ，其中 R 3
三角形， ACB 90 ，侧棱 AA1 2 ，D、E 分别是 CC1 A
C B
D
与 A1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD的重心 G
GC K
（I）求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小（结果用反三
A
F
B
2003高考数学全国卷及答案理
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示 )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球 ，其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0），54co s =x ，则2tg x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ） （A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） （A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ）（A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （ ） （A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （ ）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ） （A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （ ）（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ） （A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．92)21(xx -的展开式中9x 系数是14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）16．下列5个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出⊥l 面MNP 的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）① ② ③ ④ ⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分） 已知复数z 的辐角为︒60，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项，求||z18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（I ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） （II ）求点1A 到平面AED 的距离 19．（本小题满分12分） 已知0>c ，设P ：函数x c y =在R 上单调递减 Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R 如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围D E KBC 1A 1B 1AFCG20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南102arccos (=θθ）方向300km 的海面P处，并以20km/h 的速度向西偏北︒45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？东O21．（本小题满分14分）已知常数0>a ，在矩形ABCD 中，4=AB ，a BC 4=，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BE CF DG BC CD DA ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由22．（本小题满分12分，附加题4 分）（I ）设}{n a 是集合|22{ts + t s <≤0且Z t s ∈,}中所有的数从小到大排列成的数列，即31=a ，52=a ，63=a ，94=a ，105=a ，126=a ，…将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 6 9 10 12 — — — —…………⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；⑵求100a（II ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）设}{n b 是集合t s r t s r <<≤++0|222{，且},,Z t s r ∈中所有的数从小到大排列成的数列，已知1160=k b ，求k .2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. 13．221-14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17． 解：设)60sin 60cosr r z +=，则复数.2rz 的实部为2,r z z r z z ==-由题设 .12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即 18．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角.设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，.32arcsin.323136sin .3,32,22,2.36321,2)4(.3,1,31.,,,,,,112211所成的角是与平面于是分中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABD B A EB EG EBG EB B A AB CD FC EG ED FD EF FD FD FG EF EFD DF G ADB G DE CDEF ABC DC B A CC E D ∴=⋅==∠∴===∴===⨯===∴==⋅=∈∴∆∴⊥（Ⅱ）解：,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又.36236232222,.,.,.,.,111111*********的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AED A AB B A A A K A AB A AED A K A AED K A K AE K A AE AB A AED AB A AED AED ED AB A ED ∴=⨯=⋅=∆⊥∴⊥=⋂⊥∴⊂⊥∴19．解：函数x c y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+22,2,|2|2,2,|2|2.1|2|121.21,,0.21,, 1.(0,][1,).2x c x c x x c c x c y x x c R c x x c R c c P Q c P Q c c -≥⎧+-=⎨<⎩∴=+-∴+->⇔>⇔><≤≥⋃+∞函数在上的最小值为不等式的解集为如果正确且不正确则如果不正确且正确则所以的取值范围为（以上方法在新疆考区无一人使用，大都是用解不等式的方法，个别使用的图象法） 20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+-其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有 .)6010()0()0(222+≤-+-t 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值. 按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设(01)BE CF DGk k BC CD DA===≤≤ 由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ） 直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ① 直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x k a ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a整理得1)(21222=-+a a y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a 时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长当212<a 时，点P 到椭圆两个焦点（),21(),,2122a a a a ---的距离之和为定值当212>a 时，点P 到椭圆两个焦点（0，)21,0(),2122-+--a a a a 的距离之和为定值2a .22．（本小题满分12分，附加题4分） （Ⅰ）解：用(t,s)表示22t s+，下表的规律为3（(0,1)=0122+）5(0,2) 6(1,2)9(0,3) 10(1,3) 12(2,3)— — — —…………（i ）第四行17(0,4) 18(1,4) 20(2,4) 24(3,4)第五行 33(0,5) 34(1,5) 36(2,5) 40(3,5) 48(4,5)（i i ）解法一：因为100＝（1+2+3+4+……+13）+9，所以100a =(8,14)＝81422+＝16640解法二：设0022100t s a +=，只须确定正整数.,00t s数列}{n a 中小于02t 的项构成的子集为 },0|2{20t t t s s <<≤+ 其元素个数为.1002)1(,2)1(000020<--=t t t t C t 依题意满足等式的最大整数0t 为14，所以取.140=t因为100－.1664022,8s ,181410000214=+=∴=+=a s C 由此解得（Ⅱ）解：,22211603710++==k b令}0|22{2B ,(}1160|{r t s r C B c M t s <<≤++=<∈=其中因}.22222|{}222|{}2|{37107107101010++<<+∈⋃+<<∈⋃<∈=c B c c B c c B c M 现在求M 的元素个数：},100|222{}2|{10<<<≤++=<∈t s r c B c t s r其元素个数为310C ： }.70|222{}222|{1071010<<≤++=+<<∈s r c B c r s某元素个数为}30|222{}22222|{:710371071027<≤++=++<<+∈r c B c C r某元素个数为.1451:2327310710=+++=C C C k C另法：规定222r t s ++=（r,t,s ），10731160222k b ==++＝（3,7,10）则0121222b =++＝ （0,1,2） 22C依次为 （0,1,3） （0,2,3） （1,2,3） 23C（0,1,4） （0,2,4）（1,2,4）（0,3,4） （1,3,4）（2,3,4） 24C…………（0,1,9） （0,2,9）………… （ 6,8,9 ）（7,8,9） 29C（0,1,10）（0,2,10）………（0,7,10）（ 1,7,10）（2,7,10）（3,7,10）…… 27C +422222397()4145.k C C C C =+++++=。
2003年高考.广东卷.数学试题及答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数 学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．在同一坐标系中，表示直线ax y =与a x y +=正确的是（ ）2． 已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（ ）A ．247 B ．－247 C ．724D ．－7243．圆锥曲线的准线方程是θθρ2cos sin 8=（ ）A ．2cos -=θρB ．2cos =θρC ．2sin -=θρD ．2sin =θρ4．等差数列}{n a 中，已知33,4,31521==+=n a a a a ，则n 为 （ ）A ．48B ．49C ．50D ．515．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率为 （ ）A ．3B ．26C ．36 D ．33 5．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(,21x xx x f x 若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是（ ）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．（－∞，－2）∪（0，+∞）D ．（－∞，－1）∪（1，+∞）7．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为（ ）A ．21+B ．12-C ．2D ．28．已知圆截得被当直线及直线C l y x l a y a x C .03:)0(4)2()(:22=+->=-+-的弦长为32时，则a =（ ）A ．2B ．22-C ．12-D ．12+9．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）A ．22R πB ．249R πC ．238R πD ．223r π 10．函数=∈=-)(]23,2[,sin )(1x f x x x f 的反函数ππ（ ）A ．]1,1[,arcsin -∈-x xB ．]1,1[,arcsin -∈--x x πC ．]1,1[,arcsin -∈+-x x πD ．]1,1[,arcsin -∈-x x π11．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1）.一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2，P 3和P 4（入射角等于反射角）. 设P 4的坐标为（x 4，0），若214<<x ， 则θtan 的取值范围是（ ）A ．（31，1） B ．）32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）A ．3πB ．4πC ．π33D ．6π二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上 13．不等式x x x <-24的解集是14．9)12(2x x -展开式中9x 的系数是15．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可 以得出的正确结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂 直，则 16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得 使用同一颜色，现有4种颜色可 供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，AB=1，AA 1=2，点E 为CC 1中点，点F 为BD 1中点.（1）证明EF 为BD 1与CC 1的公垂线； （2）求点D 1到面BDE 的距离. 18．（本小题满分12分）已知复数z 的辐角为60°，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项. 求||z .19．（本小题满分12分）已知c>0，设P ：函数xc y =在R 上单调递减Q ：不等式x+|x-2c|>1的解集为R.如果P和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围 20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南)102arccos(=θθ方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h 的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21．（本小题满分14分）已知常数,0>a 在矩形ABCD 中，AB=4，BC=4a ，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且DADGCD CF BC BE ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由. 22．（本小题满分14分） 设0a 为常数，且)(2311N n a a n n n ∈-=+-（1）证明对任意012)1(]2)1(3[51,1a a n n n n n nn ⋅-+⋅-+=≥-； （2）假设对任意1≥n 有1->n n a a ，求0a 的取值范围.2003年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学试题参考答案一、选择题：1.D2.D3.C4.C5.B6.D7.A8.C9.B 10.D 11.C 12.A 二、填空题： 13．]4,2( 14．221-15．S2△ABC+S2△ACD+S2△ADB=2S △BCD 16．72三、解答题：（I ）证明：取BD 中点M ，连结MC ，FM ，∵F 为BD 1中点， ∴FM ∥D 1D 且FM=21D 1D 又EC=21CC 1，且EC ⊥MC ， ∴四边形EFMC 是矩形 ∴EF ⊥CC 1 又CM ⊥面DBD 1 ∴EF ⊥面DBD 1 ∵BD 1⊂面DBD 1，∴EF ⊥BD 1 故EF 为BD 1与CC 1的公垂线. （II ）解：连结ED 1，有DBE D DBD E V V --=11由（I ）知EF ⊥面DBD 1，设点D 1到面BDE 的 距离为d ，则S △DBC ·d=S △DBD 1·EF.………………9分 ∵AA 1=2·AB=1.22,2====∴EF ED BE BD23)2(2321,2222121=⋅⋅==⋅⋅=∴∆∆DBC DBD S S 33223222=⨯=∴d故点D 1到平面BDE 的距离为332. 18． 解：设)60sin 60cos r r z+=，则复数.2rz 的实部为2,r z z r z z ==-由题设.12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即19．函数x c y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+22,2,|2|2,2,|2|2.1|2|121.21,,0.21,, 1.(0,][1,).2x c x c x x c c x c y x x c R c x x c R c c P Q c P Q c c -≥⎧+-=⎨<⎩∴=+-∴+->⇔>⇔><≤≥⋃+∞函数在上的最小值为不等式的解集为如果正确且不正确则如果不正确且正确则所以的取值范围为20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+- 其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭. 21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值.按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设)10(≤≤==k DADCCD CF BC BE 由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ①直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x k a ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a整理得1)(21222=-+a a y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长 当212<a时，点P 到椭圆两个焦点（),21(),,2122a a a a ---的距离之和为定值2当212>a时，点P 到椭圆两个焦点（0，)21,0(),2122-+--a a a a 的距离之和为定值2a .22．本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.（1）证法一：（i ）当n=1时，由已知a 1=1－2a 0，等式成立； （ii ）假设当n=k （k ≥1）等式成立，则,2)1(]2)1(3[5101a a k k k k k ---+=- 那么01112)1(]2)1(3[52323a a a k k k k k k k k k +-+---+-=-=.2)1(]2)1(3[5101111a k k k k k ++++-+-+=也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i ）和（ii ），可知等式对任何n ∈N ，成立. 证法二：如果设),3(23111-----=n n n na a a 用1123---=n n n a a 代入，可解出51=a . 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-53n n a 是公比为－2，首项为531-a 的等比数列. ).()2)(5321(5310N n a a n n n ∈---=-∴- 即.2)1(52)1(301a a n n nn n n -+-+=-（2）解法一：由n a 通项公式 .23)1(523)1(32011111a a a n n n n n n n -----⨯-+⨯-+⨯=-)(1N n a a n n ∈>∴-等价于 ).()23()15()1(201N n a n n ∈<----……①（i ）当n=2k －1，k=1，2，…时，①式即为 32022)23()15()1(--<--k k a即为 .51)23(51320+<-k a ……②②式对k=1，2，…都成立，有 .3151)23(5110=+⨯<-a（ii ）当n=2k ，k=1，2，…时，①式即为.)23()15()1(22012--<--k k a即为.51)23(51220+⨯->-k a ……③ ③式对k=1，2，…都成立，有.051)23(512120=+⨯->-⨯a 综上，①式对任意n ∈N *，成立，有.3100<<a故a 0的取值范围为).31,0(解法二：如果1->n na a （n ∈N *）成立，特别取n=1，2有 .031001>-=-a a a.06012>=-a a a 因此 .3100<<a 下面证明当.3100<<a 时，对任意n ∈N *，.01>--n n a a 由a n 的通项公式 .235)1(23)1(32)(5011111a a a n n n n n n n -----⨯⨯-+⨯-+⨯=-（i ）当n=2k －1，k=1，2…时， 011112352332)(5a a a n n n n n ----⨯⨯-⨯+⨯=->023********=⨯⨯-⨯+⨯---n n n（ii ）当n=2k ，k=1，2…时，011112352332)(5a a a n n n n n ----⨯⨯+⨯-⨯=->.0233211≥⨯-⨯--n n故a 0的取值范围为).31,0(。
2003年高考试题——数学理(全国卷)及答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理工农医类)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π（ ）A ．247 B ．247-C ．724 D ．724- 2．圆锥曲线的准线方程是θθρ2cos sin 8=（ ）A ．2cos -=θρB ．2cos =θρC ．2sin -=θρD ．2sin =θρ3．设函数的取值范围是则若0021,1)(,.0,,0,12)(x x f x x x x f x >⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=- （ ）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．),0()2,(+∞⋃--∞D ．),1()1,(+∞⋃--∞4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ）A ．21+B ．12-C ．2D ．25．已知圆截得被当直线及直线C l y x l a x a x C .03:)0(4)2()(:22=+->=-+-的弦长为32时，则a =A ．2B ．22-C ．12-D ．12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）A ．22R πB ．249R πC ．238R πD ．223r π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成的一个首项为41的等差数列，则=-||n m （ ）A ．1B ．43 C ．21 D ．83 8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为与其相交于直线1),0,7(-=x y F M 、N 两点，MN 中点的横坐标为,32-则此双曲线的方程是 （ ）A ．14322=-y x B ．13422=-y x C ．12522=-y xD ．15222=-y x 9．函数=∈=-)(]23,2[,sin )(1x f x x x f 的反函数ππ（ ）A ．]1,1[,arcsin -∈-x xB ．]1,1[,arcsin -∈--x x πC ．]1,1[,arcsin -∈+-x x πD ．]1,1[,arcsin -∈-x x π10．已知长方形的四个项点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射解等于反射角），设P 4坐标为（θtg ,2x 1),0,44则若<<x 的取值范围是（ ）A ．)1,31(B ．)32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C ΛΛ（ ）A ．3B ．31C ．61 D ．612．一个四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）A ．3πB ．4πC ．3π3D ．6π二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13．92)21(xx -展开式中9x 的系数是 . 14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是 .15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区 域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）16．下列五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为具所在棱的中点，能得出l ⊥面MNP的图形的序号是 .（写出所有符合要求的图形序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知复数z 的辐角为60°，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项. 求||z .18．(本小题满分12分) 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G. （Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离. 19．（本小题满分12分）已知.0>c 设P ：函数xc y =在R 上单调递减.Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围. 20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南)102arccos(=θθ方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h 的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 21．（本小题满分14分）已知常数,0>a 在矩形ABCD 中，AB=4，BC=4a ，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且DADGCD CF BC BE ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由. 22．（本小题满分12分，附加题4分）（Ⅰ）设Z}t s,,0|2{2}{t ∈<≤+且是集合t s a sn 中所有的数从小到大排列成的数列，即.,12,10,9,6,5,3654321Λ======a a a a a a将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表： 35 69 10 12— — — —— — — — — （i ）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数； （i i ）求100a .（Ⅱ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）设Z}t s,r,,0|22{2}{r ∈<<≤++且是集合t s r b st n 中所有的数都是从小到大排列成的数列，已知k.,1160求=k b2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理工农医类)答案一、选择题1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题 13．221-14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题： 17． 解：设)60sin 60cos οοr r z+=，则复数.2rz 的实部为2,r z z r z z ==-由题设.12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即 18．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，112211,,,,,,.1,1, 3.(4)31262,.2,22,23, 3.3622sin .arcsin .3D E CC A B DC ABC CDEF DE G ADB G DF EFD EF FG FD FD EF FD ED EG FC CD AB A B EB EG EBG A B ABD EB ⊥∴∆∴∈=⋅==∴=⨯=====∴===∴∠==⋅=∴Q Q L L Q 分别是的中点又平面为矩形连结是的重心在直角三角形中分于是与平面所成的角是（Ⅱ）解：,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又Θ.36236232222,.,.,.,.,111111*********的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AED A AB B A A A K A AB A AED A K A AED K A K AE K A AE AB A AED AB A AED AED ED AB A ED ∴=⨯=⋅=∆⊥∴⊥=⋂⊥∴⊂⊥∴19．解：函数x c y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+).,1[]21,0(.1,,.210,,.21121|2|.2|2|,2,2,2,22|2|+∞⋃≥≤<>⇔>⇔>-+∴-+=∴⎩⎨⎧<≥-=-+的取值范围为所以则正确且不正确如果则不正确且正确如果的解集为不等式上的最小值为在函数c c Q P c Q P c c R c x x c R c x x y c x c c x c x c x x Θ20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+- 其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值.按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设)10(≤≤==k DADCCD CF BC BE 由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ①直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x ka ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a整理得1)(21222=-+a a y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长。
2003年高考数学试题及答案(全国卷)
实用文档2003年全国高等学校招生考试数学理科试卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1．已知2(π-∈x ，0），54cos =x ，则=tgx（ ）（A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724- 2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是（ ）（A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ）（A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+）4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ）实用文档（A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l被C 截得的弦长为32时，则a （ ）（A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π 7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m（ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）83 8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ）实用文档（A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （ ）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1]（C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是（ ）（A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32） 11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nn n C C C C n C C C C （ ）（A ）3 （B ）31 （C ）61 （D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面实用文档积为（ ）（A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π6二、填空题：13．92)21(xx -的展开式中9x 系数是 14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种。
2003年高考试题——数学理(全国卷)及答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理工农医类)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π( ）A ．247 B ．247-C ．724 D ．724- 2．圆锥曲线的准线方程是θθρ2cos sin 8=( ）A ．2cos -=θρB ．2cos =θρC ．2sin -=θρD ．2sin =θρ3．设函数的取值范围是则若0021,1)(,.0,,0,12)(x x f x x x x f x >⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=- （ ）A ．（－1，1)B ．（－1,+∞）C ．),0()2,(+∞⋃--∞D ．),1()1,(+∞⋃--∞4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 ( ）A ．21+B ．12-C ．2D ．25．已知圆截得被当直线及直线C l y x l a x a x C .03:)0(4)2()(:22=+->=-+-的弦长为32时，则a =A ．2B ．22-C ．12-D ．12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中,全面积的最大值是( ）A ．22R πB ．249R πC ．238R πD ．223r π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成的一个首项为41的等差数列，则=-||n m （ )A ．1B ．43 C ．21 D ．83 8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为与其相交于直线1),0,7(-=x y F M 、N 两点，MN 中点的横坐标为,32-则此双曲线的方程是 ( ）A ．14322=-y x B ．13422=-y x C ．12522=-y xD ．15222=-y x 9．函数=∈=-)(]23,2[,sin )(1x f x x x f 的反函数ππ（ ）A ．]1,1[,arcsin -∈-x xB ．]1,1[,arcsin -∈--x x πC ．]1,1[,arcsin -∈+-x x πD ．]1,1[,arcsin -∈-x x π10．已知长方形的四个项点A(0，0），B （2，0),C （2，1）和D(0,1），一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后,依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射解等于反射角）,设P 4坐标为（θtg ,2x 1),0,44则若<<x 的取值范围是（ ）A ．)1,31(B ．)32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C( ）A ．3B ．31C ．61 D ．612．一个四面体的所有棱长都为2,四个项点在同一球面上,则此球的表面积为 （ ）A ．3πB ．4πC ．3π3D ．6π二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
2003高考数学全国卷及答案理
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球 ，其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0），54cos =x ，则2tg x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ） （A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） （A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+）4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ） （A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （ ） （A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （ ）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ） （A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （ ）（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ） （A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．92)21(xx -的展开式中9x 系数是14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）16．下列5个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出⊥l 面MNP 的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）① ② ③ ④ ⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知复数z 的辐角为︒60，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项，求||z18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（I ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） （II ）求点1A 到平面AED 的距离 19．（本小题满分12分） 已知0>c ，设D E KBC 1A 1B 1AFCGP：函数x cy=在R上单调递减Q：不等式1|2|>-+cxx的解集为R如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东东O偏南102arccos (=θθ）方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北︒45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 21．（本小题满分14分）已知常数0>a ，在矩形ABCD 中，4=AB ，a BC 4=，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BE CF DG BC CD DA ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由 22．（本小题满分12分，附加题4 分）（I ）设}{n a 是集合|22{ts + t s <≤0且Z t s ∈,}中所有的数从小到大排列成的数列，即31=a ，52=a ，63=a ，94=a ，105=a ，126=a ，…将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 6 9 10 12 — — — —…………⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；⑵求100a（II ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）设}{n b 是集合t s r t s r <<≤++0|222{，且},,Z t s r ∈中所有的数从小到大排列成的数列，已知1160=k b ，求k .2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.13．221-14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17． 解：设)60sin 60cosr r z +=，则复数.2r z 的实部为2,r z z r z z ==-由题设 .12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即 18．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，.32arcsin.323136sin .3,32,22,2.36321,2)4(.3,1,31.,,,,,,112211所成的角是与平面于是分中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABD B A EB EG EBG EB B A AB CD FC EG ED FD EF FD FD FG EF EFD DF G ADB G DE CDEF ABC DC B A CC E D ∴=⋅==∠∴===∴===⨯===∴==⋅=∈∴∆∴⊥（Ⅱ）解：,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又.36236232222,.,.,.,.,111111*********的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AED A AB B A A A K A AB A AED A K A AED K A K AE K A AE AB A AED AB A AED AED ED AB A ED ∴=⨯=⋅=∆⊥∴⊥=⋂⊥∴⊂⊥∴19．解：函数xc y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+22,2,|2|2,2,|2|2.1|2|121.21,,0.21,, 1.(0,][1,).2x c x c x x c c x c y x x c R c x x c R c c P Q c P Q c c -≥⎧+-=⎨<⎩∴=+-∴+->⇔>⇔><≤≥⋃+∞函数在上的最小值为不等式的解集为如果正确且不正确则如果不正确且正确则所以的取值范围为（以上方法在新疆考区无一人使用，大都是用解不等式的方法，个别使用的图象法） 20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+-其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值. 按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设(01)BE CF DG k k BC CD DA===≤≤ 由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ） 直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ① 直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x k a ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a整理得1)(21222=-+aa y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a 时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长 当212<a 时，点P 到椭圆两个焦点（),21(),,2122a a a a ---的距离之和为定值2 当212>a 时，点P 到椭圆两个焦点（0，)21,0(),2122-+--a a a a 的距离之和为定值2a .22．（本小题满分12分，附加题4分）（Ⅰ）解：用(t,s)表示22t s +，下表的规律为3（(0,1)=0122+）5(0,2) 6(1,2)9(0,3) 10(1,3) 12(2,3)— — — —…………（i ）第四行17(0,4) 18(1,4) 20(2,4) 24(3,4)第五行 33(0,5) 34(1,5) 36(2,5) 40(3,5) 48(4,5)（i i ）解法一：因为100＝（1+2+3+4+……+13）+9，所以100a =(8,14)＝81422+＝16640解法二：设0022100t s a +=，只须确定正整数.,00t s 数列}{n a 中小于02t 的项构成的子集为 },0|2{20t t t s s <<≤+ 其元素个数为.1002)1(,2)1(000020<--=t t t t C t 依题意满足等式的最大整数0t 为14，所以取.140=t因为100－.1664022,8s ,181410000214=+=∴=+=a s C 由此解得（Ⅱ）解：,22211603710++==k b令}0|22{2B ,(}1160|{r t s r C B c M t s <<≤++=<∈=其中因}.22222|{}222|{}2|{37107107101010++<<+∈⋃+<<∈⋃<∈=c B c c B c c B c M 现在求M 的元素个数：},100|222{}2|{10<<<≤++=<∈t s r c B c t s r其元素个数为310C ： }.70|222{}222|{1071010<<≤++=+<<∈s r c B c r s某元素个数为}30|222{}22222|{:710371071027<≤++=++<<+∈r c B c C r某元素个数为.1451:2327310710=+++=C C C k C另法：规定222r t s++=（r,t,s ），10731160222k b ==++＝（3,7,10）则0121222b =++＝ （0,1,2） 22C 依次为 （0,1,3） （0,2,3） （1,2,3） 23C（0,1,4） （0,2,4）（1,2,4）（0,3,4） （1,3,4）（2,3,4） 24C…………（0,1,9） （0,2,9）………… （ 6,8,9 ）（7,8,9） 29C（0,1,10）（0,2,10）………（0,7,10）（ 1,7,10）（2,7,10）（3,7,10）…… 27C +422222397()4145.k C C C C =+++++=。
2003年高考数学广东卷(理科)-带答案
2003年高考数学广东卷（理科）一、选择题：每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．暂缺2． 已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（ ）A ．247 B ．－247 C ．724D ．－7243．圆锥曲线的准线方程是θθρ2cos sin 8=（ ）A ．2cos -=θρB ．2cos =θρC ．2sin -=θρD ．2sin =θρ4．等差数列}{n a 中，已知33,4,31521==+=n a a a a ，则n 为 （ ）A ．48B ．49C ．50D ．515．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率为 （ ）A ．3B ．26C ．36D ．335．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(,21x xx x f x若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是（ ）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．（－∞，－2）∪（0，+∞）D ．（－∞，－1）∪（1，+∞）7．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ）A ．21+B ．12-C ．2D ．28．已知圆截得被当直线及直线C l y x l a x a x C .03:)0(4)2()(:22=+->=-+-的弦长为32时，则a =（ ）A ．2B ．22-C ．12-D ．12+9．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）A ．22R πB ．249R πC ．238R πD ．223r π 10．函数=∈=-)(]23,2[,sin )(1x f x x x f 的反函数ππ（ ）A ．]1,1[,arcsin -∈-x xB ．]1,1[,arcsin -∈--x x πC ．]1,1[,arcsin -∈+-x x πD ．]1,1[,arcsin -∈-x x π11．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1）.一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2，P 3和P 4（入射角等于反射角）. 设P 4的坐标为（x 4，0），若214<<x ， 则θtan 的取值范围是（ ）A ．（31，1） B ．）32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）A ．3πB ．4πC ．π33D ．6π二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上 13．不等式x x x <-24的解集是14．9)12(2x x -展开式中9x 的系数是15．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可 以得出的正确结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂 直，则16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可[来源:] 供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知正四棱柱A BCD —A 1B 1C 1D 1，AB=1，AA 1=2，点E 为CC 1中点，点F 为BD 1中点.（1）证明EF 为BD 1与CC 1的公垂线； （2）求点D 1到面BDE 的距离.18．（本小题满分12分）已知复数z 的辐角为60°，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项. 求||z .19．（本小题满分12分）已知c>0，设P ：函数x c y =在R 上单调递减Q ：不等式x+|x-2c|>1的解集为R.如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围 20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南)102arccos(=θθ方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h 的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 21．（本小题满分14分）已知常数,0>a 在矩形ABCD 中，AB=4，BC=4a ，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、D A 上移动，且DADGCD CF BC BE ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由. 22．（本小题满分14分） 设n a 为常数，且)(2311N n a a n n n ∈-=+- （1）证明对任意n n n n n nn a a n 2)1(]2)1(3[51,11⋅-+⋅-+=≥-； （2）假设对任意1≥n 有1->n n a a ，求n a 的取值范围.参考答案一、选择题：[来源:]1.D2.D3.C4.C5.B6.D7.A8.C9.B 10.D 11.C 12.A 二、填空题：13．]4,2( 14． 221-15．S2△ABC+S2△ACD+S2△ADB=2S △BCD 三、解答题：（I ）证明：取BD 中点M ，连结MC ，FM ，∵F 为BD 1中点， ∴FM ∥D 1D 且FM=21D 1D又EC=21CC 1，且EC ⊥MC ，∴四边形EFMC 是矩形 ∴EF ⊥CC 1 又CM ⊥面DBD 1 ∴EF ⊥面DBD 1 ∵BD 1⊂面DBD 1，∴EF ⊥BD 1 故EF 为BD 1与CC 1的公垂线. （II ）解：连结ED 1，有D BE D D BDE V V --=11由（I ）知EF ⊥面DBD 1，设点D 1到面BDE 的[来源:] 距离为d ，则S △DBC ·d=S △DBD 1·EF.………………9分∵AA 1=2·AB=1.22,2====∴EF ED BE BD23)2(2321,2222121=⋅⋅==⋅⋅=∴∆∆DBC DBD S S 33223222=⨯=∴d故点D 1到平面BDE 的距离为332.[来源:] 18． 解：设)60sin 60cos r r z +=，则复数.2r z 的实部为2,r z z r z z ==-由题设.12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即19．20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y x ≤-+-其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭. 21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值.按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设)10(≤≤==k DADCCD CF BC BE [来源:]由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）直线OF 的方程为：0)12(2=-+y kax ①直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x k a ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a整理得1)(2222=-+a a y x 当212=a时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长当212<a时，点P 到椭圆两个焦点（),21(),,2122a a a a ---当212>a时，点P 到椭圆两个焦点（0，)21,0(),2122-+--a a a a 的距离之和为定值2a . 22．本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.（1）证法一：（i ）当n=1时，由已知a 1=1－2a 0，等式成立； （ii ）假设当n=k （k ≥1）等式成立，则,2)1(]2)1(3[5101a a k k k k k ---+=- 那么01112)1(]2)1(3[52323a a a k k k k k k k k k +-+---+-=-=.2)1(]2)1(3[5101111a k k k k k ++++-+-+=也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i ）和（ii ），可知等式对任何n ∈N ，成立. 证法二：如果设),3(23111-----=n n n na a a 用1123---=n n n a a 代入，可解出51=a . 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-53n n a 是公比为－2，首项为531-a 的等比数列. ).()2)(5321(5310N n a a n n n ∈---=-∴- 即.2)1(52)1(301a a n n n n n n -+-+=-（2）解法一：由n a 通项公式 .23)1(523)1(32011111a a a n n n n n n n -----⨯-+⨯-+⨯=-)(1N n a a n n ∈>∴-等价于 ).()23()15()1(201N n a n n ∈<----……①（i ）当n=2k －1，k=1，2，…时，①式即为 32022)23()15()1(--<--k k a即为 .51)23(51320+<-k a ……② ②式对k=1，2，…都成立，有 .3151)23(5110=+⨯<-a [来源: （ii ）当n=2k ，k=1，2，…时，①式即为.)23()15()1(22012--<--k k a即为.51)23(51220+⨯->-k a ……③ ③式对k=1，2，…都成立，有.051)23(512120=+⨯->-⨯a 综上，①式对任意n ∈N *，成立，有.3100<<a故a 0的取值范围为).31,0(解法二：如果1->n na a （n ∈N *）成立，特别取n=1，2有 .031001>-=-a a a.06012>=-a a a因此.3100<<a下面证明当.3100<<a 时，对任意n ∈N *，[来源:].01>--n n a a 由a n 的通项公式 .235)1(23)1(32)(5011111a a a n n n n n n n -----⨯⨯-+⨯-+⨯=-（i ）当n=2k －1，k=1，2…时， 011112352332)(5a a a n n n n n ----⨯⨯-⨯+⨯=->023********=⨯⨯-⨯+⨯---n n n（ii ）当n=2k ，k=1，2…时，011112352332)(5a a a n n n n n ----⨯⨯+⨯-⨯=->.0233211≥⨯-⨯--n n 故a 0的取值范围为).31,0(。
2003年高考试题——数学理(全国卷)及答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理工农医类）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π（ )A ．247 B ．247-C ．724 D ．724- 2．圆锥曲线的准线方程是θθρ2cos sin 8=（ ）A ．2cos -=θρB ．2cos =θρC ．2sin -=θρD ．2sin =θρ3．设函数的取值范围是则若0021,1)(,.0,,0,12)(x x f x x x x f x >⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=- （ ）A ．（－1,1）B ．（－1,+∞）C ．),0()2,(+∞⋃--∞D ．),1()1,(+∞⋃--∞4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ )A ．21+B ．12-C ．2D ．25．已知圆截得被当直线及直线C l y x l a x a x C .03:)0(4)2()(:22=+->=-+-的弦长为32时，则a =A ．2B ．22-C ．12-D ．12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ )A ．22R πB ．249R πC ．238R πD ．223r π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成的一个首项为41的等差数列，则=-||n m ( ）A ．1B ．43 C ．21 D ．83 8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为与其相交于直线1),0,7(-=x y F M 、N 两点，MN 中点的横坐标为,32-则此双曲线的方程是 ( )A ．14322=-y x B ．13422=-y x C ．12522=-y xD ．15222=-y x 9．函数=∈=-)(]23,2[,sin )(1x f x x x f 的反函数ππ（ ）A ．]1,1[,arcsin -∈-x xB ．]1,1[,arcsin -∈--x x πC ．]1,1[,arcsin -∈+-x x πD ．]1,1[,arcsin -∈-x x π10．已知长方形的四个项点A （0,0），B （2，0)，C （2,1）和D(0，1），一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4(入射解等于反射角),设P 4坐标为（θtg ,2x 1),0,44则若<<x 的取值范围是( ）A ．)1,31(B ．)32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C（ ）A ．3B ．31C ．61 D ．612．一个四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上,则此球的表面积为 （ )A ．3πB ．4πC ．3π3D ．6π二、填空题：本大题共4小题，每小题4分,共16分，把答案填在题中横线上。
2003年高考试题——数学理(全国卷)及答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理工农医类)一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π( )A ．247 B ．247-C ．724 D ．724- 2．圆锥曲线的准线方程是θθρ2cos sin 8=（ ）A ．2cos -=θρB ．2cos =θρC ．2sin -=θρD ．2sin =θρ3．设函数的取值范围是则若0021,1)(,.0,,0,12)(x x f x x x x f x >⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=- （ ）A ．（－1,1）B ．（－1，+∞）C ．),0()2,(+∞⋃--∞D ．),1()1,(+∞⋃--∞4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ）A ．21+B ．12-C ．2D ．25．已知圆截得被当直线及直线C l y x l a x a x C .03:)0(4)2()(:22=+->=-+-的弦长为32时，则a =A ．2B ．22-C ．12-D ．12+6．已知圆锥的底面半径为R,高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）A ．22R πB ．249R πC ．238R πD ．223r π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成的一个首项为41的等差数列，则=-||n m ( ）A ．1B ．43 C ．21 D ．83 8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为与其相交于直线1),0,7(-=x y F M 、N 两点，MN 中点的横坐标为,32-则此双曲线的方程是 ( ）A ．14322=-y x B ．13422=-y x C ．12522=-y xD ．15222=-y x 9．函数=∈=-)(]23,2[,sin )(1x f x x x f 的反函数ππ（ ）A ．]1,1[,arcsin -∈-x xB ．]1,1[,arcsin -∈--x x πC ．]1,1[,arcsin -∈+-x x πD ．]1,1[,arcsin -∈-x x π10．已知长方形的四个项点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1)，一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射解等于反射角)，设P 4坐标为（θtg ,2x 1),0,44则若<<x 的取值范围是( ）A ．)1,31(B ．)32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C（ ）A ．3B ．31C ．61 D ．612．一个四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上,则此球的表面积为 ( )A ．3πB ．4πC ．3π3D ．6π二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分,把答案填在题中横线上. 13．92)21(xx -展开式中9x 的系数是 . 14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是 .15．如图,一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区 域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种.（以数字作答)16．下列五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为具所在棱的中点，能得出l ⊥面MNP的图形的序号是 。
2003年高考试题——数学理(全国卷)及答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理工农医类）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π（ ）A ．247 B ．247-C ．724 D ．724- 2．圆锥曲线的准线方程是θθρ2cos sin 8=（ )A ．2cos -=θρB ．2cos =θρC ．2sin -=θρD ．2sin =θρ3．设函数的取值范围是则若0021,1)(,.0,,0,12)(x x f x x x x f x >⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=- ( ）A ．（－1，1)B ．（－1，+∞）C ．),0()2,(+∞⋃--∞D ．),1()1,(+∞⋃--∞4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 ( ）A ．21+B ．12-C ．2D ．25．已知圆截得被当直线及直线C l y x l a x a x C .03:)0(4)2()(:22=+->=-+-的弦长为32时，则a =A ．2B ．22-C ．12-D ．12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中,全面积的最大值是（ )A ．22R πB ．249R πC ．238R πD ．223r π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成的一个首项为41的等差数列,则=-||n m （ )A ．1B ．43 C ．21 D ．83 8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为与其相交于直线1),0,7(-=x y F M 、N 两点,MN 中点的横坐标为,32-则此双曲线的方程是 （ ）A ．14322=-y x B ．13422=-y x C ．12522=-y xD ．15222=-y x 9．函数=∈=-)(]23,2[,sin )(1x f x x x f 的反函数ππ( ）A ．]1,1[,arcsin -∈-x xB ．]1,1[,arcsin -∈--x x πC ．]1,1[,arcsin -∈+-x x πD ．]1,1[,arcsin -∈-x x π10．已知长方形的四个项点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0,1），一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后,依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4(入射解等于反射角），设P 4坐标为（θtg ,2x 1),0,44则若<<x 的取值范围是( ）A ．)1,31(B ．)32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C（ ）A ．3B ．31C ．61 D ．612．一个四面体的所有棱长都为2,四个项点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）A ．3πB ．4πC ．3π3D ．6π二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
2003年高考试题——数学理(全国卷)及答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理工农医类)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π（ ）A ．247 B ．247-C ．724 D ．724- 2．圆锥曲线的准线方程是θθρ2cos sin 8=（ ）A ．2cos -=θρB ．2cos =θρC ．2sin -=θρD ．2sin =θρ3．设函数的取值范围是则若0021,1)(,.0,,0,12)(x x f x x x x f x >⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=- （ ）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．),0()2,(+∞⋃--∞D ．),1()1,(+∞⋃--∞4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ）A ．21+B ．12-C ．2D ．25．已知圆截得被当直线及直线C l y x l a x a x C .03:)0(4)2()(:22=+->=-+-的弦长为32时，则a =A ．2B ．22-C ．12-D ．12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）A ．22R πB ．249R πC ．238R πD ．223r π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成的一个首项为41的等差数列，则=-||n m （ ）A ．1B ．43 C ．21 D ．83 8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为与其相交于直线1),0,7(-=x y F M 、N 两点，MN 中点的横坐标为,32-则此双曲线的方程是 （ ）A ．14322=-y x B ．13422=-y x C ．12522=-y xD ．15222=-y x 9．函数=∈=-)(]23,2[,sin )(1x f x x x f 的反函数ππ（ ）A ．]1,1[,arcsin -∈-x xB ．]1,1[,arcsin -∈--x x πC ．]1,1[,arcsin -∈+-x x πD ．]1,1[,arcsin -∈-x x π210．已知长方形的四个项点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射解等于反射角），设P 4坐标为（θtg ,2x 1),0,44则若<<x 的取值范围是（ ）A ．)1,31(B ．)32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C（ ）A ．3B ．31C ．61 D ．612．一个四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）A ．3πB ．4πC ．3π3D ．6π二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13．92)21(xx -展开式中9x 的系数是 . 14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是 .15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区 域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）16．下列五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为具所在棱的中点，能得出l ⊥面MNP的图形的序号是.（写出所有符合要求的图形序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知复数z 的辐角为60°，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项. 求||z .18．(本小题满分12分) 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G. （Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离. 19．（本小题满分12分）已知.0>c 设P ：函数xc y =在R 上单调递减.Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围. 20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南)102arccos(=θθ方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h 的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 21．（本小题满分14分）已知常数,0>a 在矩形ABCD 中，AB=4，BC=4a ，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且DADGCD CF BC BE ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由. 22．（本小题满分12分，附加题4分）（Ⅰ）设Z}t s,,0|2{2}{t ∈<≤+且是集合t s a s n 中所有的数从小到大排列成的数列，即.,12,10,9,6,5,3654321 ======a a a a a a将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表： 35 69 10 12— — — —— — — — — （i ）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数； （i i ）求100a .（Ⅱ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）设Z}t s,r,,0|22{2}{r∈<<≤++且是集合t s r b stn 中所有的数都是从小到大排列成的数列，已知k.,1160求=k b2003年普通高等学校招生全国统一考试4数 学(理工农医类)答案一、选择题1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题 13．221-14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题： 17． 解：设)60sin 60cos r r z+=，则复数.2r z 的实部为2,r z z r z z ==-由题设.12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即 18．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，112211,,,,,,.1,1, 3.(4)3sin D E CC A B DC ABC CDEF DE G ADB G DF EFD EF FG FD FD EF FD ED EG FC CD AB A B EB EG EBG A B ABD EB ⊥∴∆∴∈=⋅==∴======∴∠==∴分别是的中点又平面为矩形连结是的重心在直角三角形中分于是与平面所成的角是（Ⅱ）解：,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又.36236232222,.,.,.,.,111111*********的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AED A AB B A A A K A AB A AED A K A AED K A K AE K A AE AB A AED AB A AED AED ED AB A ED ∴=⨯=⋅=∆⊥∴⊥=⋂⊥∴⊂⊥∴19．解：函数x c y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+).,1[]21,0(.1,,.210,,.21121|2|.2|2|,2,2,2,22|2|+∞⋃≥≤<>⇔>⇔>-+∴-+=∴⎩⎨⎧<≥-=-+的取值范围为所以则正确且不正确如果则不正确且正确如果的解集为不等式上的最小值为在函数c c Q P c Q P c c R c x x c R c x x y c x c c x c x c x x20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y x ≤-+- 其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值.按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设)10(≤≤==k DADCCD CF BC BE 由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ①直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x ka ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a整理得1)(2222=-+a a y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长。
2003年高考试题——数学理(全国卷)及答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理工农医类)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π（ ）A ．247 B ．247-C ．724 D ．724- 2．圆锥曲线的准线方程是θθρ2cos sin 8=（ ）A ．2cos -=θρB ．2cos =θρC ．2sin -=θρD ．2sin =θρ3．设函数的取值范围是则若0021,1)(,.0,,0,12)(x x f x x x x f x >⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=- （ ）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．),0()2,(+∞⋃--∞D ．),1()1,(+∞⋃--∞4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ）A ．21+B ．12-C ．2D ．25．已知圆截得被当直线及直线C l y x l a x a x C .03:)0(4)2()(:22=+->=-+-的弦长为32时，则a =A ．2B ．22-C ．12-D ．12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）A ．22R πB ．249R πC ．238R πD ．223r π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成的一个首项为41的等差数列，则=-||n m （ ）A ．1B ．43 C ．21 D ．83 8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为与其相交于直线1),0,7(-=x y F M 、N 两点，MN 中点的横坐标为,32-则此双曲线的方程是 （ ）A ．14322=-y x B ．13422=-y x C ．12522=-y xD ．15222=-y x 9．函数=∈=-)(]23,2[,sin )(1x f x x x f 的反函数ππ（ ）A ．]1,1[,arcsin -∈-x xB ．]1,1[,arcsin -∈--x x πC ．]1,1[,arcsin -∈+-x x πD ．]1,1[,arcsin -∈-x x π210．已知长方形的四个项点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射解等于反射角），设P 4坐标为（θtg ,2x 1),0,44则若<<x 的取值范围是（ ）A ．)1,31(B ．)32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C（ ）A ．3B ．31C ．61 D ．612．一个四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）A ．3πB ．4πC ．3π3D ．6π二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13．92)21(xx -展开式中9x 的系数是 . 14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是 .15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区 域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）16．下列五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为具所在棱的中点，能得出l ⊥面MNP的图形的序号是.（写出所有符合要求的图形序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知复数z 的辐角为60°，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项. 求||z .18．(本小题满分12分) 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G. （Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离. 19．（本小题满分12分）已知.0>c 设P ：函数xc y =在R 上单调递减.Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围. 20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南)102arccos(=θθ方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h 的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 21．（本小题满分14分）已知常数,0>a 在矩形ABCD 中，AB=4，BC=4a ，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且DADGCD CF BC BE ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由. 22．（本小题满分12分，附加题4分）（Ⅰ）设Z}t s,,0|2{2}{t ∈<≤+且是集合t s a s n 中所有的数从小到大排列成的数列，即.,12,10,9,6,5,3654321 ======a a a a a a将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表： 35 69 10 12— — — —— — — — — （i ）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数； （i i ）求100a .（Ⅱ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）设Z}t s,r,,0|22{2}{r∈<<≤++且是集合t s r b stn 中所有的数都是从小到大排列成的数列，已知k.,1160求=k b2003年普通高等学校招生全国统一考试4数 学(理工农医类)答案一、选择题1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题 13．221-14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题： 17． 解：设)60sin 60cos r r z+=，则复数.2r z 的实部为2,r z z r z z ==-由题设.12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即 18．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，112211,,,,,,.1,1, 3.(4)3sin D E CC A B DC ABC CDEF DE G ADB G DF EFD EF FG FD FD EF FD ED EG FC CD AB A B EB EG EBG A B ABD EB ⊥∴∆∴∈=⋅==∴======∴∠==∴分别是的中点又平面为矩形连结是的重心在直角三角形中分于是与平面所成的角是（Ⅱ）解：,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又.36236232222,.,.,.,.,111111*********的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AED A AB B A A A K A AB A AED A K A AED K A K AE K A AE AB A AED AB A AED AED ED AB A ED ∴=⨯=⋅=∆⊥∴⊥=⋂⊥∴⊂⊥∴19．解：函数x c y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+).,1[]21,0(.1,,.210,,.21121|2|.2|2|,2,2,2,22|2|+∞⋃≥≤<>⇔>⇔>-+∴-+=∴⎩⎨⎧<≥-=-+的取值范围为所以则正确且不正确如果则不正确且正确如果的解集为不等式上的最小值为在函数c c Q P c Q P c c R c x x c R c x x y c x c c x c x c x x20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y x ≤-+- 其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值.按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设)10(≤≤==k DADCCD CF BC BE 由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ①直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x ka ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a整理得1)(2222=-+a a y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长。
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2003年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数 学一、选择题：每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．暂缺 2． 已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（ ）A ．247 B ．－247 C ．724D ．－7243．圆锥曲线的准线方程是θθρ2cos sin 8=（ ）A ．2cos -=θρB ．2cos =θρC ．2sin -=θρD ．2sin =θρ4．等差数列}{n a 中，已知33,4,31521==+=n a a a a ，则n 为 （ ）A ．48B ．49C ．50D ．515．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率为 （ ）A ．3B ．26C ．36 D ．33 5．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(,21x xx x f x 若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是（ ）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．（－∞，－2）∪（0，+∞）D ．（－∞，－1）∪（1，+∞）7．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ）A ．21+B ．12-C ．2D ．28．已知圆截得被当直线及直线C l y x l a x a x C .03:)0(4)2()(:22=+->=-+-的弦长为32时，则a =（ ）A ．2B ．22-C ．12-D ．12+9．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）A ．22R πB ．249R πC ．238R πD ．223r π 10．函数=∈=-)(]23,2[,sin )(1x f x x x f 的反函数ππ（ ）A ．]1,1[,arcsin -∈-x xB ．]1,1[,arcsin -∈--x x πC ．]1,1[,arcsin -∈+-x x πD ．]1,1[,arcsin -∈-x x π11．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1）.一质点从AB 的中点P 0沿与AB夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2，P 3和P 4（入射角等于反射角）. 设P 4的坐标为（x 4，0），若214<<x ， 则θtan 的取值范围是（ ）A ．（31，1） B ．）32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）A ．3πB ．4πC ．π33D ．6π二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上 13．不等式x x x <-24的解集是14．9)12(2x x -展开式中9x 的系数是15．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可 以得出的正确结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂 直，则16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，AB=1，AA 1=2，点E 为CC 1中点，点F 为BD 1中点.（1）证明EF 为BD 1与CC 1的公垂线； （2）求点D 1到面BDE 的距离. 18．（本小题满分12分）已知复数z 的辐角为60°，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项. 求||z .19．（本小题满分12分）已知c>0，设P ：函数xc y =在R 上单调递减Q ：不等式x+|x-2c|>1的解集为R.如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围 20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南)102arccos(=θθ方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h 的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 21．（本小题满分14分）已知常数,0>a 在矩形ABCD 中，AB=4，BC=4a ，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA上移动，且DADGCD CF BC BE ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由. 22．（本小题满分14分）设n a 为常数，且)(2311N n a a n n n ∈-=+-（1）证明对任意n n n n n nn a a n 2)1(]2)1(3[51,11⋅-+⋅-+=≥-； （2）假设对任意1≥n 有1->n n a a ，求n a 的取值范围.2003年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学试题参考答案一、选择题：1.D2.D3.C4.C5.B6.D7.A8.C9.B 10.D 11.C 12.A 二、填空题：13．]4,2( 14． 221-15．S2△ABC+S2△ACD+S2△ADB=2S △BCD 三、解答题：（I ）证明：取BD 中点M ，连结MC ，FM ，∵F 为BD 1中点， ∴FM ∥D 1D 且FM=21D 1D 又EC=21CC 1，且EC ⊥MC ， ∴四边形EFMC 是矩形 ∴EF ⊥CC 1 又CM ⊥面DBD 1 ∴EF ⊥面DBD 1 ∵BD 1⊂面DBD 1，∴EF ⊥BD 1 故EF 为BD 1与CC 1的公垂线. （II ）解：连结ED 1，有DBE D DBD E V V --=11由（I ）知EF ⊥面DBD 1，设点D 1到面BDE 的 距离为d ，则S △DBC ·d=S △DBD 1·EF.………………9分 ∵AA 1=2·AB=1.22,2====∴EF ED BE BD23)2(2321,2222121=⋅⋅==⋅⋅=∴∆∆DBC DBD S S 33223222=⨯=∴d故点D 1到平面BDE 的距离为332. 18． 解：设)60sin 60cos r r z+=，则复数.2rz 的实部为2,r z z r z z ==-由题设.12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即19．20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+- 其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值.按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设)10(≤≤==k DADCCD CF BC BE 由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ①直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x ka ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a整理得1)(21222=-+a a y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长 当212<a时，点P 到椭圆两个焦点（),21(),,2122a a a a ---的距离之和为定值2当212>a时，点P 到椭圆两个焦点（0，)21,0(),2122-+--a a a a 的距离之和为定值2a .22．本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.（1）证法一：（i ）当n=1时，由已知a 1=1－2a 0，等式成立； （ii ）假设当n=k （k ≥1）等式成立，则,2)1(]2)1(3[5101a a k k k k k ---+=- 那么01112)1(]2)1(3[52323a a a k k k k k k k k k +-+---+-=-=.2)1(]2)1(3[5101111a k k k k k ++++-+-+=也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i ）和（ii ），可知等式对任何n ∈N ，成立. 证法二：如果设),3(23111-----=n n n na a a 用1123---=n n n a a 代入，可解出51=a . 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-53n n a 是公比为－2，首项为531-a 的等比数列. ).()2)(5321(5310N n a a n n n ∈---=-∴- 即.2)1(52)1(301a a n n n n n n -+-+=-（2）解法一：由n a 通项公式 .23)1(523)1(32011111a a a n n n n n n n -----⨯-+⨯-+⨯=-)(1N n a a n n ∈>∴-等价于 ).()23()15()1(201N n a n n ∈<----……①（i ）当n=2k －1，k=1，2，…时，①式即为 32022)23()15()1(--<--k k a即为 .51)23(51320+<-k a ……②②式对k=1，2，…都成立，有 .3151)23(5110=+⨯<-a（ii ）当n=2k ，k=1，2，…时，①式即为.)23()15()1(22012--<--k k a即为.51)23(51220+⨯->-k a ……③ ③式对k=1，2，…都成立，有.051)23(512120=+⨯->-⨯a 综上，①式对任意n ∈N *，成立，有.3100<<a故a 0的取值范围为).31,0(解法二：如果1->n na a （n ∈N *）成立，特别取n=1，2有 .031001>-=-a a a.06012>=-a a a 因此 .3100<<a 下面证明当.3100<<a 时，对任意n ∈N *，.01>--n n a a 由a n 的通项公式 .235)1(23)1(32)(5011111a a a n n n n n n n -----⨯⨯-+⨯-+⨯=-（i ）当n=2k －1，k=1，2…时， 011112352332)(5a a a n n n n n ----⨯⨯-⨯+⨯=->023********=⨯⨯-⨯+⨯---n n n（ii ）当n=2k ，k=1，2…时，011112352332)(5a a a n n n n n ----⨯⨯+⨯-⨯=->.0233211≥⨯-⨯--n n 故a 0的取值范围为).31,0(。