人教版九年级上册数学知识点总结
(完整word版)人教版数学九年级上册知识点整理
知识点五:与圆有关的位置关系
5.点与圆
的位置关系
设点到圆心的距离为d.
⑴d<r?点在OO内;(2)d=r?点在OO上;(3)d>r?点在OO夕卜.
6.直线和 圆的位
m¥方
宀护¥方位置大糸
相离
相切
相交
图形
l®1
[GDI
公共点个数
0个
1个
2个
数量关系
d>r
d=r
dvr
知识点六:切线的性质与判定
解•
(2 )因式分解法:可化为(ax+m)(bx+ n)=0的方程,用因式分解法求
解•
(3 )公式法:一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式为x=
2.一元二次方
b曲4ac(b2-4ac>0).2a
程的解法
(4)配方法:当元二次方程的二次项糸数为1, 次项糸数为偶数时,
也可以考虑用配方法.
先
先用其他,再用公式
(3)弧:圆上任意两点间的部分叫做弧,小于半圆的 弧叫做劣弧,大于半圆的弧叫做优弧.
(4)圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角
(5)圆周角:顶点在圆上,并且两边都与圆还有一个 交点的角叫做圆周角.
(6)弦心距:圆心到弦的距离.
知识点二:垂径定理及其推论
2.垂径定
理及其推
论
定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
知识点三:二次函数的平移
4.平移与
解析式
的关系
x/_ov2向左(h<0)或向右(h>0)2向上(k>0)或向下(kv0)2
常”>y=a(x-h)—、y=a(x—h)2+k
人教版九年级上册数学知识点汇总
一、一元二次方程1. 定义•等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。
一般形式为:ax² + bx + c = 0(a ≠ 0)。
2. 解法•配方法:通过配成完全平方形式来解一元二次方程。
步骤包括:移项、除二次项系数、配方、开平方。
•公式法:利用一元二次方程的求根公式x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)(当b² - 4ac ≥ 0时)求解。
•因式分解法:将方程的一边化为0,另一边分解为两个一次因式的积,从而转化为求解两个一元一次方程。
3. 根与系数的关系•若一元二次方程x² + px + q = 0的两个根为x₁和x₂,则有:x₁ + x₂ = -p,x₁x₂ = q。
二、实际问题与一元二次方程1. 应用步骤•审:读懂题目,弄清题意,明确已知量和未知量以及它们之间的等量关系。
•设:设出未知数。
•列:列出方程,这是关键步骤,需找出能够表达应用题全部含义的相等关系,并列出含有未知数的等式。
•解:解方程,求出未知数的值。
•验:检验方程的解是否保证实际问题有意义,符合题意。
•答:写出答案。
2. 常见类型•数字问题:如三个连续整数、连续偶数(奇数)的表示。
•增长率问题:设初始量为a,终止量为b,平均增长率或降低率为x,则经过两次的增长或降低后的等量关系为a(1±x)² = b。
•利润问题:常用关系式有总利润=总销售价-总成本,或总利润=单位利润×总销售量,或利润=成本×利润率。
•图形的面积问题:根据图形的面积与图形的边等高等相关元素的关系,将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来,建立一元二次方程。
三、二次函数1. 定义•一般地,形如y = ax² + bx + c(a, b, c是常数,a ≠ 0)的函数,叫做二次函数。
2. 性质•抛物线的开口方向由a的符号决定:a > 0时,开口向上;a < 0时,开口向下。
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一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的求根公式: x b b2 4ac (b2 4ac 0)
2a
有括号的先算括号里的(或先去括号)。
4、因式分解法
我去人也就有人!为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意因式调分解剖法沙就是龙利用课因反式分倒解的是手龙段,卷求出风方前程的一解的天方我法,分这种页方符法简Z单N易BX吃噶十 行,是解一元二次方程最常用的方法。
开方数 a 必须是非负数。
ax2 bx c 0(a 0) ,它的特征是:等式左边十一个关于未知数 x 的二次多
2、最简二次根式 若二次根式满足:被开方数的因数是整数,因式是整式;被开方数中不含能开
项式,等式右边是零,其中 ax2 叫做二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,
得尽方的因数或因式,这样的二次根式叫做最简二次根式。
弧也相等。
三、垂径定理及其推论
推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。
推论 1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
推论 3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三
尽方的因数或因式开出来。 3、同类二次根式
直接开平方法适用于解形如 (x a)2 b 的一元二次方程。根据平方根的定义可知,
几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫 做同类二次根式。
x a 是 b 的平方根,当 b 0 时, x a b , x a b ,当 b<0 时,方程没有
b 叫做一次项系数;c 叫做常数项。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤:
新人教版九年级数学上册知识点归纳
新人教版九年级数学上册知识点归纳
一. 整式的加减法和乘法
- 整式的加减法
- 同类项的加减法原则
- 不同类项的加减法原则
- 整式的乘法
- 单项式乘法
- 多项式乘法
二. 因式分解与整式的乘法
- 因式分解
- 公因式提取法
- 平方差公式
- 立方差公式
- 和差化积公式
- 整式的乘法
- 定积分法
- 化简法
三. 一次函数与二次函数
- 一次函数
- 函数的概念和表示方法
- 函数的图象
- 函数的性质和应用
- 二次函数
- 函数的概念和表示方法
- 函数的图象
- 函数的性质和应用
四. 几何图形的认识
- 点、线和面的基本概念
- 几何图形的分类
- 几何图形的性质和判定方法
五. 平面坐标系
- 平面直角坐标系
- 平面直角坐标系中的点及其坐标- 平面直角坐标系中的线段及其长度- 平面直角坐标系中的图形
六. 相交与平行线
- 直线的概念和表示方法
- 直线的性质和判定方法
- 直线间的位置关系
- 平行线判定的方法
七. 形状与变换
- 图形的相似关系和判定方法
- 图形的全等关系和判定方法
- 图形的对称关系和判定方法
- 图形的平移、旋转和翻转
八. 数据的收集和处理
- 数据的收集和整理方法
- 数据的图表表示
- 数据的统计分析
以上是新人教版九年级数学上册的知识点归纳,包括整式的加减法和乘法、因式分解与整式的乘法、一次函数与二次函数、几何
图形的认识、平面坐标系、相交与平行线、形状与变换,以及数据的收集和处理。
人教版数学九年级上册知识点整理
位置关系
相离
相切
相交
图形
公共点个数
0个
1个
2个
数量关系
d>r
d=r
d<r
知识点六:切线的性质与判定
7.切线
的判定
(1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线(定义法).
(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
(3)经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
8.切线
的性质
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.
延伸
根据圆的对称性,如图所示,在以下五条结论中:
1弧AC=弧BC;
②弧AD=弧BD;
③AE=BE;
④AB⊥CD;⑤CD是直径.
只要满足其中两个,另外三个结论一定成立,即推二知三
.关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合,解题时往往需要添加辅助线,一般过圆心作弦的垂线,构造直角三角形.
(1)切线与圆只有一个公共点.
(2)切线到圆心的距离等于圆的半径.
(3)切线垂直于经过切点的半径.
*9.切线长
(1)定义:从圆外一点作圆的切线,这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
(2)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,两切线长相等,圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
知识点七:三角形与圆
第二十一章 一元二次方程
知识点一:一元二次方程及其解法
1.一元二次方程的相关概念
(1)定义:只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程.
(2)一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项,a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项.
(精)最新版人教版九年级数学上册全册知识点
最新版人教版九年级数学全册知识点第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程在一个等式中,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是 2 次的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程有四个特点:(1)只含有一个未知数;(2) 且未知数次数最高次数是2;(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为2的形式,ax +bx+c=0(a≠0)则这个方程就为一元二次方程.( 4)将方程化为一般形式:ax 2+bx+c=0 时,应满足( a≠0)21.2降次——解一元二次方程解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法:1、直接开平方法:用直接开平方法解形如(x- m)2=n (n ≥0) 的方程,其解为x=± m.直接开平方法就是平方的逆运算. 通常用根号表示其运算结果.2、配方法通过配成完全平方式的方法,得到一元二次方程的根的方法。
这种解一元二次方程的方法称为配方法,配方的依据是完全平方公式。
1.转化:将此一元二次方程化为 ax^2+bx+c=0 的形式 ( 即一元二次方程的一般形式)2.系数化 1:将二次项系数化为 13.移项:将常数项移到等号右侧4.配方:等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5.变形:将等号左边的代数式写成完全平方形式6.开方:左右同时开平方7.求解:整理即可得到原方程的根3、公式法公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△的值代入求根公式x=(b2- 4ac≥0) 就可得到方程的根。
=b2-4ac的值,当b2- 4ac≥0时,把各项系数a, b, c因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
人教版九年级数学上册知识点整理完整版
人教版九年级数学上册知识点整理完整版一、代数与函数1.代数简介①常数:数值不变的量。
②变量:数量可能改变的量。
③代数式:由数、字母、加减乘除号、括号等符号组成的式子。
④同类项:指含有相同字母并且指数相同的项。
⑤合并同类项:指将同类项合并成一个项。
⑥因式分解:将代数式表示成幂或较简单的代数式,叫做因式分解。
⑦方程式&方程:一个代数式与另一个代数式在等号两边,称为方程式,且方程式构成了等式。
2.一次函数①函数:将自变量的某个取值代入函数中得到唯一的因变量的值,称为函数。
②自变量:输入的值③函数表达式:用代数式表示函数的式子称为函数表达式④一次函数:函数表达式中,最高次项是一次幂的函数叫一次函数,也叫线性函数。
⑤斜率:函数: y = kx + b ,函数图象的斜率 k,即为直线的斜率。
3.二次函数①二次函数:函数表达式中,最高次项是二次幂的函数,叫做二次函数。
②二次函数的一般式:f(x) = ax² + bx + c(a≠0)③二次函数的顶点:二次函数图象的转折点,称为顶点。
④二次函数的对称轴:图象关于 x = -b/ 2a 对称的直线,称为二次函数的对称轴。
⑤二次函数的最小值/最大值:二次函数)的顶点纵坐标所对应的函数值,是二次函数的最小值或最大值。
4.函数的研究①函数图象的基本性质:函数的零点、函数值的正负、单调性、奇偶性、周期性、对称性、渐近线等。
②函数的零点:函数 f(x) = 0 的解叫做函数的零点。
即 f(x) = 0 时 x 的解。
③函数类型:函数分类标准通常有函数的定义域和值域、图象、函数表达式等。
二、图形的认识1.图形的一些概念①线段:由两个端点所组成的线段,叫做线段。
②射线:在一个端点处向一个方向上延伸的线段,叫做射线。
③直线:没有端点,在一个方向上延伸的线段,称为直线。
④平行线:永远不会相交的两条直线叫做平行线。
⑤垂直平分线:在一条直线上,垂直于该线段、且等分该线段的线,称为垂直平分线。
人教版九年级数学上册知识点
人教版九年级数学上册知识点九年级数学上册知识点人教版九年级数学上册是中学九年级学生的数学教材,该教材涵盖了许多重要的数学知识点。
本文将介绍九年级数学上册中的一些重要知识点,以帮助同学们更好地学习和掌握数学。
第一章:有理数有理数是指整数和分数的集合,包括正数、负数和零。
在这一章中,同学们将学习有理数的加减乘除法运算规则,以及有理数的大小比较。
此外,还会介绍有理数的分数表示和小数表示。
第二章:整式与分式整式是由常数、变量和运算符号组成的代数表达式,分式是指两个整式相除的形式。
同学们将学习整式的加减乘除法,以及分式的加减乘除法。
此外,还会学习如何将分式化简和扩展。
第三章:一元一次方程与不等式一元一次方程是指一个变量的一次方程,不等式是指两个数或表达式的大小关系。
在这一章中,同学们将学习解一元一次方程和不等式的方法,包括等式的加减乘除法、解方程的步骤,以及不等式的图像表示。
第四章:图形的性质图形的性质是指各种几何图形的特点和关系。
同学们将学习直线、角、三角形、四边形等几何图形的性质,包括各种角的定义和性质,以及各种图形的分类和特点。
第五章:平面直角坐标系平面直角坐标系是由两条相互垂直的数轴组成的坐标系,用于描述平面上的点的位置。
同学们将学习如何利用平面直角坐标系表示和计算点的坐标,以及如何利用坐标计算线段的长度和中点的坐标。
第六章:函数与图像函数是一种特殊的关系,将一个集合中的每个元素对应到另一个集合中的唯一元素。
同学们将学习函数的概念、函数的表示和函数图像的绘制。
此外,还会学习一次函数和反比例函数的性质和图像特点。
第七章:平面几何体的视图平面几何体的视图是指从不同方向观察平面几何体时所看到的形状。
同学们将学习如何根据平面几何体的标准视图绘制其真实形状,以及如何根据平面几何体的真实形状绘制其标准视图。
第八章:统计图与折线图统计图是用来展示数据分布和变化趋势的图表,包括直方图、折线图等。
同学们将学习如何根据给定的数据绘制统计图和折线图,以及如何根据统计图和折线图分析数据的特点和趋势。
人教版数学九年级上册知识点归纳
人教版数学九年级上册知识点归纳1.二次根式二次根式是指含有二次根号“√”且被开方数a必须是非负数的式子。
最简二次根式是指被开方数的因数和因式都是整数和整式,且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。
化简二次根式的方法和步骤包括:将被开方数是分数或分式的式子先写成分式形式,再利用分母有理化进行化简;将被开方数是整数或整式的式子先分解因数或因式,再将能开得尽方的因数或因式开出来。
同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后,它们的被开方数相同。
2.一元二次方程一元二次方程是指含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程。
一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(其中a≠0),其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。
解一元二次方程的方法有直接开平方法、配方法和公式法。
直接开平方法适用于解形如(x+a)2=b的一元二次方程,利用平方根的定义直接开平方求解。
配方法是利用完全平方公式将一元二次方程转化为(x±b)2的形式,再求解。
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法,求根公式为x=(-b±√(b2-4ac))/(2a)。
关于y轴对称的点的特征:当两个点关于y轴对称时,它们的坐标中,y相等,x的符号相反。
即点P(x,y)关于y 轴的对称点为P’(-x,y)。
第四单元圆:一、圆的相关概念1、圆的定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径。
2、圆的几何表示:以点O为圆心的圆记作“⊙O”,读作“圆O”。
二、弦、弧等与圆有关的定义1、弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦(如图中的AB)。
2、直径:经过圆心的弦叫做直径(如图中的CD),直径等于半径的2倍。
3、半圆:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆。
人教版九年级数学上册知识点整理(完整版)
−n± p m人教版九年级数学上册知识点整理(完整版)第二十一章 一元二次方程一、一元二次方程的有关概念(一)一元二次方程:等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是 2(二次)的方程,叫做一元二次方程。
(二)一元二次方程的一般形式:ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)其中:二次项为ax 2;二次项系数为 a ;一次项为 bx ,一次项系数为 b ;常数项为 c 。
特殊形式:(三)一元二次方程中“未知数的最高次数是 2,二次项系数 a≠0”是针对整理合并的方程而言的。
(四)一元二次方程的解(根)1、概念:使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解 也叫做一元二次方程的根。
2、判断一个数是否是一元二次方程的根将这个数代入一元二次方程的左右两边,看是否相等,若相等,则该数是这个方程的根;若不 相等,则该数不是这个方程的根。
3、关于一元二次方程根的三个重要结论(1)a+b+c =0⇔一元二次方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)有一个根为 x =1。
(2)a-b+c =0⇔一元二次方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)有一个根为 x =﹣1。
(3)c=0⇔一元二次方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)有一个根为 x =0。
二、解一元二次方程(一)直接开平方法解一元二次方程1、直接开平方法∶利用平方根的意义直接开平方,求一元二次方程的解的方法叫做直接开平 方法。
2、方程x 2 = p 的根(1) 当 p>0 时,根据平方根的意义,方程x 2 = p 有两个不相等的实数根x 1 = p ,x 2 =− p 。
(2) 当 p=0 时,方程x 2 = p 有两个相等的实数根x 1 = x 2 =0。
(3) 当 p<0 时,因为对任意实数 x ,都有x 2≥0,所以方程x 2 = p 无实数根。
人教版九年级数学全册各单元知识点总结
人教版九年级数学全册各单元知识点总结第一单元:有理数与小数- 数的分类:自然数、整数、有理数、小数、实数- 有理数的表示和比较大小- 有理数的加减法和乘除法- 小数的加减法和乘除法- 小数与分数的转化和比较大小第二单元:代数式与方程式- 代数式的基本概念和运算法则- 代数式化简与展开- 方程式的基本概念和解法- 一元一次方程式的解法和应用- 一元一次方程组的解法和应用第三单元:图形的初步研究- 平面图形的基本概念和性质- 直线、射线、线段、角的基本概念和性质- 同位角、对顶角、内错角、同旁内角的性质和关系- 平行线和平行四边形的性质- 三角形的内角和外角的性质第四单元:一次函数与一元一次不等式- 函数的基本概念和表示方法- 一次函数的性质和图像- 一元一次不等式的解法和应用第五单元:数列的基本概念- 数列的基本概念和表示方法- 等差数列和等差数列的求和公式- 等比数列和等比数列的求和公式- 数列的应用第六单元:几何变换- 平移、旋转和翻转的基本概念和性质- 平移、旋转和翻转的变换规律- 对称和中心对称的性质和判断- 三角形的位似判断和证明第七单元:数据的收集和统计- 调查和数据收集的方法和技巧- 数据的整理、处理和分析- 平均数、中位数和众数的计算和应用- 直方图、折线图和饼图的表示和解读第八单元:概率与统计- 事件和概率的基本概念和性质- 概率计算的方法和技巧- 列举和计数的方法和应用- 两个事件的关系和概率以上是人教版九年级数学全册各单元的知识点总结。
希望对你的学习有所帮助!。
九年级数学人教版知识点总结
九年级上册数学知识点归纳抛物线顶点坐标公式y=ax2+bx+c(a=?0)的顶点坐标公式是(-b/2a,(4ac-b2)/4a)y=ax2+bx的顶点坐标是(-b/2a,-b2/4a)相关结论过抛物线y^2=2px(p>0)焦点F作倾斜角为θ的直线L,L与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2),有①x1.x2=p^2/4,y1.y2=—P^2,要在直线过焦点时才能成立;②焦点弦长:|AB|=x1+x2+P=2P/[(sinθ)^2];③(1/|FA|)+(1/|FB|)=2/P;④若OA垂直OB则AB过定点M(2P,0);⑤焦半径:|FP|=x+p/2(抛物线上一点P到焦点F距离等于到准线L距离);⑥弦长公式:AB=√(1+k^2).│x2-x1│;⑦△=b^2-4ac;⑧由抛物线焦点到其切线的垂线距离,是焦点到切点的距离,与到顶点距离的比例中项;⑨标准形式的抛物线在x0,y0点的切线就是:yy0=p(x+x0)。
⑴△=b^2-4ac>0有两个实数根;⑵△=b^2-4ac=0有两个一样的实数根;⑶△=b^2-4ac<0没实数根。
初三数学知识点【三角形中位线的定理】三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.【平行四边形的性质】①平行四边形的对边相等;②平行四边形的对角相等;③平行四边形的对角线互相平分.【矩形的性质】①矩形具有平行四边形的一切性质;②矩形的四个角都是直角;③矩形的对角线相等.正方形的判定与性质1.判定方法:(1)邻边相等的矩形;(2)邻边垂直的菱形;(3)对角线垂直的矩形;(4)对角线相等的菱形;2.性质:(1)边:四边相等,对边平行;(2)角:四个角都相等都是直角,邻角互补;(3)对角线互相平分、垂直、相等,且每长对角线平分一组内角。
等腰三角形的判定定理【等腰三角形的判定方法】1.有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2.判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形(简称:等角对等边)。
数学9年级上册人教版课程
数学9年级上册人教版课程由于您没有具体说明关于九年级上册人教版数学课程哪方面的内容(例如知识点总结、题型归纳、复习资料等),以下为您提供一份较为全面的人教版九年级上册数学知识点总结:一、一元二次方程。
1. 定义。
- 只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。
- 一般形式:ax^2+bx + c = 0(a≠0),其中ax^2是二次项,a是二次项系数;bx 是一次项,b是一次项系数;c是常数项。
2. 解法。
- 直接开平方法。
- 对于方程x^2=p(p≥0),则x = ±√(p)。
- 对于方程(mx + n)^2=p(p≥0),则mx + n=±√(p),进而解得x=(-n±√(p))/(m)。
- 配方法。
- 步骤:- 把方程化为一般形式ax^2+bx + c = 0(a≠0)。
- 移项:把常数项移到方程右边,即ax^2+bx=-c。
- 二次项系数化为1:方程两边同时除以a,得到x^2+(b)/(a)x =-(c)/(a)。
- 配方:在方程两边加上一次项系数一半的平方,即x^2+(b)/(a)x+((b)/(2a))^2=-(c)/(a)+((b)/(2a))^2,然后化为(x +(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}。
- 开方求解。
- 公式法。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0),其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}(b^2-4ac≥0)。
- 因式分解法。
- 把方程化为一般形式后,如果方程左边能分解因式,即ax^2+bx + c=(mx + p)(nx+q),那么方程可化为(mx + p)(nx + q)=0,则mx + p = 0或nx+q = 0,进而求解。
3. 根的判别式。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0),其判别式Δ=b^2-4ac。
人教版九年级数学上册知识点整理(完整版)
人教版九年级数学上册知识点整理(完整版)人教版九年级数学上册知识点整理一、有理数有理数是整数和分数的集合。
有理数的数轴上,0的左侧是负有理数,右侧是正有理数。
加、减、乘、除有理数的运算规则。
二、立方根如果一个数的立方等于另一个数,那么这个数叫做另一个数的立方根。
三、代数式由数、变量及运算符号组成的式子叫做代数式。
其中数叫做常数项,变量叫做一次项。
四、图形的基本要素和运动绿色的箭头表示平移,红色的箭头表示旋转,蓝色的箭头表示对称。
五、全等三角形若两个三角形的三边和三角形的三个角分别相等,则称这两个三角形全等。
六、相似三角形若两个三角形的三个角分别相等,则称这两个三角形相似。
七、平移与旋转1、平移:用平移将一个点沿一个方向移动到另一个位置,移动的距离及方向相同,不改变点的属性。
2、旋转:以一个点为中心旋转某个图形的每个点,旋转的角度相同,不改变图形的形状和大小。
八、直线和角两条不共线的直线分别与一条直线相交所形成的两个相邻角互为补角。
九、相反数两个数互为相反数,当且仅当它们的和为0。
十、分数的意义和性质1、通分:将几个分数化成分母相同的分数。
2、分数的约分、化分;十一、用比例表示实际问题利用比例,确定两个量之间的等比关系,以解决实际问题。
十二、扇形和弧1、扇形是由两条半径及其所夹的圆周构成。
2、弧是圆上任意两点之间的弧。
3、圆心角,切线和弦的关系。
十三、比例和类比1、比例含义:比例是两个量之间的等比关系。
2、异比例的解决方法:设比例系数为k,则两个量之间的关系为y=kx或xy=k。
十四、平行四边形和直角梯形1、平行四边形的性质:对角线互相平分;一个角的补角等于它的邻角。
2、直角梯形:有两条平行的底和两个底的夹角为90°的四边形。
十五、直角三角形1、勾股定理:直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和。
2、定比分点定理:在一条线段上,任意三点A、B、C,如果AC:CB=k:1,则称B为AC上的k:1分点。
人教版九年级数学上册重点知识点总结
人教版九年级数学上册重点知识点总结一、实数1.有理数1.1 定义:整数和分数统称为有理数。
1.2 分类:正有理数、负有理数和零。
1.3 性质:有理数加减乘除遵循交换律、结合律和分配律。
1.4 相反数、绝对值:一个数的相反数是与它的数值相等,但符号相反的数;一个数的绝对值是它与零的距离。
2.无理数2.1 定义:不能表示为两个整数比的数称为无理数。
2.2 性质:无理数不能精确表示,只能近似计算。
2.3 常见无理数:π、√2、√3等。
3.实数3.1 定义:有理数和无理数的集合称为实数。
3.2 性质:实数加减乘除遵循交换律、结合律和分配律。
二、代数式1.代数式的概念1.1 代数式是由数字、字母和运算符组成的表达式。
1.2 代数式的分类:单项式、多项式、函数等。
2.单项式2.1 定义:只有一个项的代数式称为单项式。
2.2 项的系数:单项式中字母的系数是该字母前的数字。
3.多项式3.1 定义:有两个或以上项的代数式称为多项式。
3.2 多项式的度:多项式中最高次项的次数称为该多项式的度。
4.函数4.1 定义:对于每个输入值,都有唯一输出值的代数式称为函数。
4.2 函数的表示方法:解析式、表格、图象等。
三、方程(含方程组)1.一元一次方程1.1 定义:只有一个未知数,且未知数的最高次数为1的方程称为一元一次方程。
1.2 解法:移项、合并同类项、化简等。
2.二元一次方程2.1 定义:有两个未知数,且未知数的最高次数为1的方程称为二元一次方程。
2.2 解法:代入法、消元法等。
3.方程组3.1 定义:由两个或以上方程组成的解集称为方程组。
3.2 解法:代入法、消元法、图解法等。
四、不等式(含不等式组)1.不等式1.1 定义:用“>”、“<”、“≥”、“≤”等不等号表示两个数之间大小关系的式子称为不等式。
1.2 解法:同方向不等式可以相加减,异方向不等式需要变号。
2.不等式组2.1 定义:由两个或以上不等式组成的解集称为不等式组。
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人教版九年级上册数学知识点总结一元二次方程易错点: a≠0 和a=0 方程两个根的取舍知识点一:一元二次方程的定义:等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。
注意一下几点:①只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③是整式方程。
知识点二:一元二次方程的一般形式: 一般形式:ax2 + bx + c = 0(a ≠0).其中,ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。
知识点三:一元二次方程的根:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。
方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
[降次——解一元二次方程配方法知识点一:直接开平方法解一元二次方程(1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。
一般.地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a(2)直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程,如果p≥0,就可以利用直接开平方法。
(3)用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
(4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是:①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程,求出原方程的根。
知识点二:配方法解一元二次方程"通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为:一移、二除、三配、四开。
(1)把常数项移到等号的右边;(2)方程两边都除以二次项系数;(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式;(4)若等号右边为非负数,直接开平方求出方程的解。
公式法知识点一:公式法解一元二次方程(1)】(2)一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果b2-4ac≥0,那么方程的两个根为x=aacbb 242-±-,这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式,我们可以由一元二方程的系数a,b,c 的值直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法。
(3) 一元二次方程求根公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的过程。
(4) 公式法解一元二次方程的具体步骤:① 方程化为一般形式:ax 2+bx+c=0(a ≠0),一般a 化为正值 ② 确定公式中a,b,c 的值,注意符号; ③ 求出b2-4ac 的值;④ 若b2-4ac ≥0,则把a,b,c 和b-4ac 的值代入公式即可求解,若b2-4ac <0,则方程无实数根(有虚数根-- 高中学)。
知识点二 :一元二次方程根的判别式 }式子b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)根的判别式,通常用希腊字母△表示它, 即△=b 2-4ac.△>0,方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有两个不相等的实数根△=0,方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有两个相等的实数根】△<0,方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)无实数根.3 因式分解法知识点一 :因式分解法解一元二次方程(1) 把一元二次方程的一边化为0,而另一边分解成两个一次因式的积,进而转化为求两个求一元一次方程的解,这种解方程的方法叫做因式分解法。
(2) 因式分解法的详细步骤:① 移项,将所有的项都移到左边,右边化为0; ② [ ③ 把方程的左边分解成两个因式的积,可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式; ④ 令每一个因式分别为零,得到一元一次方程; ⑤ 解一元一次方程即可得到原方程的解。
根的判别式:一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程x 2+px+q=0的两个根为x 1,x 2,则有x 1+x 2=-p,x 1x 2=q. 若一元二次方程a 2x+bx+c=0(a ≠0)有两个实数根x 1,x 2,则有x 1+x 2=,a b -,x 1x 2=ac :实际问题与一元二次方程知识点一 :列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1) 审:是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间的等量关系。
(2) 设:是指设元,也就是设出未知数。
(3) 列:就是列方程,这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义,然后列代数式表示这个相等关系中的各个量,就得到含有未知数的等式,即方程。
(4) 解:就是解方程,求出未知数的值。
(5) 验:是指检验方程的解是否保证实际问题有意义,符合题意。
(6) 答:写出答案。
—知识点二 :列一元二次方程解应用题的几种常见类型 (1) 数字问题三个连续整数:若设中间的一个数为x ,则另两个数分别为x-1,x+1。
三个连续偶数(奇数):若中间的一个数为x ,则另两个数分别为x-2,x+2。
三位数的表示方法:设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c ,则这个三位数是100a+10b+c. (2) 增长率问题设初始量为a ,终止量为b ,平均增长率或平均降低率为x ,则经过两次的增长或降低 后的等量关系为a (1x ±)2=b 。
)(3)利润问题利润问题常用的相等关系式有:①总利润=总销售价-总成本;②总利润=单位利润×总销 售量;③利润=成本×利润率 (4)图形的面积问题根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系,将图形的面积用含有未知数的代数 式表示出来,建立一元二次方程。
22. :二次函数知识点归纳一、相关概念及定义 }1、二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。
这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征:(1)等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2.(2)a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数各种形式之间的变换1、二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成:()k h x a y +-=2的形式,其中ab ac k a b h 4422-=-=,.2、二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①2ax y =;②k ax y +=2;③()2h x a y -=;④()k h x a y +-=2;⑤c bx ax y ++=2.三、二次函数解析式的表示方法 ~1、一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠);2、顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);3、两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标).4、注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法1、五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ,、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).2、画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 五、二次函数2ax y =的性质[|六、二次函数2y ax c =+的性质>:七、二次函数()2y a x h =-的性质:八、二次函数()2y a x h k =-+的性质九、抛物线y ax bx c =++的三要素:开口方向、对称轴、顶点.1、 a 的符号决定抛物线的开口方向:当0>a 时,开口向上;当0<a 时,开口向下;a 相等,抛物线的开口大小、形状相同. 2、对称轴:平行于y 轴(或重合)的直线记作2bx a=-.特别地,y 轴记作直线0=x . 3、顶点坐标:),(ab ac a b 4422--"4、顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.十、抛物线c bx ax y ++=2中,c b a ,,与函数图像的关系1 、二次项系数a :二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠.⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大; ⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大.总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小.2、一次项系数b :在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在0a >的前提下,\当0b >时,02ba -<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧; 当0b =时,02ba -=,即抛物线的对称轴就是y 轴;当0b <时,02ba->,即抛物线对称轴在y 轴的右侧.⑵ 在0a <的前提下,结论刚好与上述相反,即当0b >时,02ba ->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧;当0b =时,02ba -=,即抛物线的对称轴就是y 轴;当0b <时,02ba-<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧.总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置. }3、常数项c⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0; ⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负. 总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置. 总之,只要a b c ,,都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的. 十一、求抛物线的顶点、对称轴的方法1、公式法:a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=,∴顶点是),(a b ac a b 4422--,对称轴是直线a b x 2-=.`2、配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式,得到顶点为(h ,k ),对称轴是直线h x =.3、运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. 十二、用待定系数法求二次函数的解析式1一般式:c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值,通常选择一般式.2顶点式:()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.3交点式:已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ,通常选用交点式:()()21x x x x a y --=. 十三、直线与抛物线的交点 '1、y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).2、与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).3、抛物线与x 轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ,是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交;②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切; ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. 4、平行于x 轴的直线与抛物线的交点可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k ,则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.)5、 一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点,由方程组 2y kx ny ax bx c =+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点;③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.6、抛物线与x 轴两交点之间的距离:若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021,,,x B x A ,由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根,故acx x a b x x =⋅-=+2121,十四、二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1、关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---;()2y a x h k =-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =---; 2、关于y 轴对称 *2y ax bx c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+;()2y a x h k =-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =++; 3、关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-;()2y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =-+-; 4、关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后,得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-;()2y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =--+.?5、关于点()m n ,对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ,对称后,得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-总结:根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式. 十五、二次函数图象的平移 1.平移步骤:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,;⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下:【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位/2平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.概括成八个字 “左加右减,上加下减”.十六、根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。