《极坐标系》导学案
高中数学《极坐标系》导学案 (2)
§1.2极坐标系1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；2. 会用图形说明空间向量加法、减法及它们的运算律；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．【重点、难点】\教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．二、学习过程【情景创设】1.平面直角坐标系中的点与其直角坐标(x，y)之间是一一对应的，那么极坐标系中的点与其极坐标(ρ，θ)之间是一一对应的吗？提示：不是一一对应的.若已知点的极坐标(ρ，θ)，则点是确定的，反之，若已知点，则其极坐标不确定.2．在极坐标系中，点批的位置是否是确定的?提示：是确定的.点M的位置位于∠xOM的终边上，其中∠xOM= ，|OM|=3(O为极点).3.在极坐标系中，极轴上一点P距离极点的距离为1，那么点P的极坐标惟一吗？提示：不惟一.点P的极坐标为无数个有序数对(1，2kπ)，k∈Z.【导入新课】1.极坐标系的建立1)取极点：平面内取一个______.(2)作极轴：自极点引一条射线Ox.(3)定单位：选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向).2.点的极坐标(1)定义：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为__________.(2)意义：ρ______，即极点O与点M的距离(ρ≥0).θ=______，即以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角.三 、典例分析1，在极坐标系中，求点 (2,)3P π 到极轴的距离.2.在极坐标系中，极轴的反向延长线上一点M 与极点的距离为2，则点M 的极坐标的下列表示：①(2，0)；②(2，π)；③(2，-π)；④(2，2k π)(k ∈Z).其中，正确表示的序号为------------------------.3，在极坐标系中，点O 为极点，已知点 (6,)3A π，2(6,)3B π 求|AB|的值.【变式拓展】在极坐标系中，若△ABC 的三个顶点为 5(5,)2A π,5(8,)6B π,7(3,)6C π 判断三角形的形状.四、总结反思确定点的极坐标的方法点P 的极坐标的一般形式为(ρ，θ+2k π)，k ∈Z ，则(1)ρ为点P 到极点的距离，是个定值.(2)极角为满足θ+2k π，k ∈Z 的任意角，不惟一，其中θ是始边在极轴上，终边过OP 的任意一个角，一般取绝对值较小的角.五、随堂检测1，已知在极坐标系中，O 为极点， (3,)6A π, B(ρ，θ)，OA ⊥OB ，|AB|=5，ρ≥0，θ∈[0，2π)，求点B 的极坐标.,2，在极坐标系中，已知点A （4，1）， (3,1)2B π+ 则线段AB 的长度是()A.1 C.7 D.5。
极坐标系的概念(学案)444
选修4-4《1.2极坐标系》导学案引导老师：高朝孟学习目标：1.学会建立极坐标系。
2.掌握极坐标系中坐标与点的对应关系。
学习过程：一、问题情境，导入新课：情境1：钓鱼岛问题：中国海监船如何确定日本渔船？二、讲解新课：1、合作探究，概念形成。
（1）读教材P8-P10页，归纳极坐标系的建立。
定义新知1：极坐标的概念1、如右图，在平面内取一个定点O，叫做, 自极点O引一条射线Ox，叫做；再选定一个，一个（通常取）及其（通常取方向），这样就建立了一个。
极坐标系中点该如何表示M到极点的距离记做，以OX为始边，OM为终边所成的角叫极角。
有序数对叫做点M的，记作。
2、思考：建立极坐标系有几要素？),(θρM●ρθOx3、典型例题例1 写出下图中各点的极坐标A （ ）B （ ）C （ ）D （ ）E （ ）F （ ）G （ ）变式训练.在极坐标系里描出下列各点(3,0),(6,2),4(3,)(5,),235(3,),(4,)65(6,)3A B C D E F G ππππππ合作探究1：点M 的极坐标是什么？惟一吗？这些极坐标之间有何异同？点M 的极坐标统一表达式是什么？答：合作探究2:怎样使得平面内的点和极坐标一一对应呢？答：探究3:一个极坐标是否对应惟一的一点呢？答：课堂练习已知极坐标M （5，34π),下列所给出的不能表示点M 的坐标的是( ))38,5(,)3,5(),32,5(),310,5(ππππ--- D C B A三、课堂小结通过这节课的学习，我们有哪些收获？四、分层作业，发展深化：必做题：12P 习题1.2第1、2题选做题：1，已知)3,2(πQ ，分别按下列条件求出点P 的极坐标。
（1） P 是点Q 关于极点O 的对称点；（2） P 是点Q 关于直线2πθ=的对称点；（3） P 是点Q 关于极轴的对称点。
广东省广州市番禺区石碁中学高二数学《极坐标系》导学案
一、学习目标：1、可以把点的直角坐标转化为极坐标；2、可以把点的极坐标转化为直角坐标；二、学习内容：【预习案】教材助读：阅读选修4-4第9页完成：1、建立一个极坐标系（画图，标名称）2、有序数对(,)ρθ叫做点的极坐标，其中ρ叫做 ，表示θ叫做 ，表示 阅读选修4-4第11页完成：3、把极坐标(,)ρθ化为直角坐标用公式：4、把直角坐标(,)x y 化为极坐标用公式：【探究案】例1：（1）点33，π⎛⎝ ⎫⎭⎪的直角坐标为（2）点()22-，的极坐标为例2：若A 33，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-64π，，则|AB|=___________，S AOB ∆=___________。
（其中O 是极点）【训练案】教材第12页：3,4,5作业：1、已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。
2、已知点的直角坐标, 求它们的极坐标.石碁中学高二年级数学科“以学定教、分层渗透”导学稿极坐标系（二）一、学习目标： 1、可以把直线和圆的极坐标方程转化为直角坐标方程；2、可以把直线和圆的直角坐标方程转化为极坐标方程。
二、学习内容：(3,)6A π(2,)2B π(1,)2C π-3(,)24D π3(2,)4Eπ(3,A(1B (5,0)C (0,2)D -【探究案】例1：把极坐标方程()cos sin 2ρθθ+=化为直角坐标方程例2：求圆心为C 36，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，半径为3的圆的极坐标方程。
小结：把极坐标方程化为直角坐标方程用公式：把直角坐标方程化为极坐标方程用公式：【训练案】1、在极坐标系中，点()1,0到直线()cos sin 2ρθθ+=的距离为2、把极坐标方程cos()16πρθ-=化为直角坐标方程是6、在极坐标系中，过点)6,4(π，并且和极轴平行的直线的极坐标方程是___________________. 7、在极坐标系中，圆心在)4A(1,π，半径为1的圆的极坐标方程是_______________________.。
高中高三数学《极坐标系》教案、教学设计
3.教师巡回指导，针对每个小组的讨论情况进行点评，引导学生深入思考。
（四）课堂练习
1.设计具有代表性的练习题，涵盖本节课的知识点，让学生在练习中巩固所学。
2.分层次布置练习题，使每个学生都能在适合自己的练习中提高。
3.及时批改反馈，针对学生存在的问题，给予个性化指导。
高中高三数学《极坐标系》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解极坐标系的概念，掌握极坐标与直角坐标之间的转换方法，能够熟练运用互化公式进行坐标变换。
2.掌握极坐标系下点的表示方法，能够准确地绘制极坐标图形，并解决相关几何问题。
3.熟练运用极坐标系解决实际问题，如极坐标下的直线、圆等图形的方程求解，以及极坐标系在物理学、工程学中的应用。
1.基础题：完成课本第十五章的习题1、2、3，要求学生熟练掌握极坐标系的基本概念和转换方法。
2.提高题：解答课本第十五章习题4、5，培养学生运用极坐标系解决几何问题的能力。
3.应用题：结合实际案例，设计一道与极坐标系相关的应用题，要求学生运用所学知识分析问题、解决问题。
4.研究性学习：分组进行课题研究，选择与极坐标系相关的科学问题或实际应用场景，深入探讨并撰写研究报告。
作业布置要求：
1.学生在完成作业时，要认真思考，独立完成，切勿抄袭。
2.对于基础题，要求学生掌握基本概念，注意运算过程的准确性。
3.提高题和应用题旨在培养学生的解题策略和实际应用能力，鼓励学生多角度思考问题。
4.研究性学习要注重团队合作，充分发挥每个成员的作用，提高学生的综合素质。
5.教师在批改作业时，要关注学生的解题思路和过程，给予针对性的评价和建议。
导学案1：极坐标系
4.1.2 极坐标系学习目标：复习直角坐标系；理解极坐标系的建立及相关概念，掌握点的极坐标表示方法及点的直角坐标与极坐标的互相转化。
一、极坐标系实例引入：凸轮控制机器的传动；军舰在海面上如何确定目标的位置；例1中，各顶点如何用距离和方向来确定。
1.极坐标系的建立2.坐标系，极点，极轴，极径，极角的概念。
由极径的意义可知0≥ρ。
当极角的取值 范围是[)π2,0时，平面上的点（除去极点）就与及坐标()()0,≠ρθρ建立了一一对应的关系。
约定：极点的极坐标是极径0=ρ，极角可取任意角。
例1 写出图中各点的极坐标为了研究方便，在极坐标系中，极径允许取负值，极角也可以取任意的正角或负角。
当0<ρ时，点),(θρM 位于极角终边的反向延长线上，且ρ=OM 。
一般地，如果),(θρ是点M 的极坐标，那么))()12(,()2,(Z k k k ∈++-+πθρπθρ或都可以作为点M 的坐标。
但这样建立的极坐标系，平面上的点与它的极坐标之间的关系就不是一一对应关系。
例2在极坐标系中，（1）已知两点),4,1(),45,5(ππQ P 求线段PQ 的长度；（2）已知M 点的极坐标为),(θρ，且,,3R ∈=ρπθ说明满足上述条件的点M 的位置。
例3已知点),(θρQ ，分别按下列要求求出点P 的坐标。
（1）点P 是Q 关于极点O 的对称点；（2）P 是点Q 关于直线2πθ=的对称点。
3.点的直角坐标与极坐标的相互转化（1）转化的意义；（2）转化的公式例4、（1）把点M 的极坐标)32,8(π化为直角坐标；（2）把点P 的直角坐标)2,6(-化为极坐标。
《极坐标系》导学案
第2课时极坐标系1.通过实例了解极坐标系的建立,会用极坐标表示极坐标系内的点,掌握极坐标的应用.2.理解极坐标与直角坐标间的相互转化,掌握转化公式,并运用公式实现极坐标与直角坐标间的相互转化.李先生是个外地人,他想到市教育局去,却不知道该怎么去.于是他向路人询问去市教育局如何走?路人说市教育局就在我们现在的位置东南方3公里处.请问路人的回答,能让李先生找到目的地吗?“在我们现在的位置东南方3公里处”是一个确定的位置吗?问题1:极坐标系的建立在平面内取一个定点O,叫作极点;自极点O引一条射线Ox,叫作;再选定一个长度单位和角的正方向(通常取方向),这样就建立了一个平面极坐标系,简称为.问题2:对于平面内任意一点M,用ρ表示点M到极点O的距离,用θ表示以Ox为始边,以OM为终边的角度,其中ρ叫作,θ叫作,有序数对(ρ,θ)就叫作点M 的,记为.问题3:将点M的极坐标(ρ,θ)化为直角坐标(x,y)的关系式为.问题4:将点M的直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的关系式为.1.在极坐标系中,点M(-2,π)的位置,可按如下规则确定( ).6,再在射线OP上取点M,使|OM|=2A.作射线OP,使∠xOP=π6,再在射线OP上取点M,使|OM|=2B.作射线OP,使∠xOP=7π6,再在射线OP的反向延长线上取点M,使|OM|=2C.作射线OP,使∠xOP=7π6D.作射线OP,使∠xOP=-π6,再在射线OP上取点M,使|OM|=22.若ρ1+ρ2=0,θ1+θ2=π,则点M1(ρ1,θ1)与点M2(ρ2,θ2)的位置关系是( ).A.关于极轴所在的直线对称B.关于极点对称C.关于过极点且垂直于极轴的直线对称D.关于过极点且与极轴成π4的直线对称3.点P的直角坐标为(-√2,√2),那么它的极坐标可表示为.4.在极坐标系中作下列各点,并说明每组中各点的位置关系.(1)A(2,0)、B(2,π6)、C(2,π4)、D(2,π2)、E(2,3π2)、F(2,5π4)、G(2,11π6);(2)A(0,π4)、B(1,π4)、C(2,5π4)、D(3,5π4)、E(3,π4).化极坐标为直角坐标分别把下列点的极坐标化为直角坐标.(1)(2,π6);(2)(3,π2);(3)(4,2π3);(4)(4,-π12).极坐标的概念已知极坐标系中点A(2,π2),B(√2,3π4),O(0,0),则△AOB为( ).A.等边三角形B.顶角为钝角的等腰三角形C.顶角为锐角的等腰三角形D.等腰直角三角形极坐标与直角坐标间的互化在极坐标系中,点P(2,π3)和点Q(4,5π6)之间的距离为.把下列各点的极坐标化为直角坐标,并判断所表示的点在第几象限.(1)(2,4π3);(2)(2,2π3);(3)(2,-π3);(4)(2,-2).在极坐标系中,已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A(2,π3),B(2,π),C(2,5π3).(1)判断△ABC的形状;(2)求△ABC的面积.极坐标平面内两点P(4,3π2)、Q(ρ,-π4)之间的距离为√10,则ρ= .1.在极坐标系中,若点A、B的坐标分别是(2,π3)、(3,-π6),则△AOB为( ).A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形2.将极坐标(6,4π3)化为直角坐标为( ).A.(-3√3,3)B.(-3√3,-3)C.(-3,-3√3)D.(-3,3√3)3.在极坐标系中,已知两点A、B的极坐标分别为(3,π3)、(4,π6),则△AOB(其中O为极点)的面积为.4.在极坐标系中,已知三点M(2,5π3),N(2,0),P(2√3,π6).(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标;(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上.在极坐标系中,已知两点A(2,π4),B(2,5π4),且△ABC为等腰直角三角形,求直角顶点C的极坐标与该三角形的面积.考题变式(我来改编):第2课时 极 坐 标 系知识体系梳理问题1:极轴 逆时针 极坐标系 问题2:极径 极角 极坐标 M(ρ,θ) 问题3:{x =ρcosθ,y =ρsinθ问题4:{ρ2=x 2+y 2,tanθ=yx(x ≠0)基础学习交流1.B 当ρ<0时,点M(ρ,θ)的位置按下列规定确定:作射线OP,使∠xOP=θ,在OP 的反向延长线上取|OM|=|ρ|,则点M 就是坐标(ρ,θ)的点,故选B.2.A 因为点(ρ,θ)关于极轴所在的直线对称的点为(-ρ,π-θ),由点M 1(ρ1,θ1)和M 2(ρ2,θ2)满足ρ1+ρ2=0,θ1+θ2=π,可知点M 1与M 2关于极轴所在的直线对称.3.(2,3π4)(答案不唯一) 直接利用极坐标与直角坐标的互化公式求解,即ρ=√(-√2)2+(√2)2=2,tan θ=-1.因为点P 在第二象限,所以可取一个极角为3π4.4.解:(1)所有点都在以极点为圆心,半径为2的圆上.点B 、G 关于极轴对称,点D 、E 关于极轴对称,点C 、F 关于极点对称.(2)所有点都在倾斜角为π4,且过极点的直线上.点D 、E 关于极点对称.重点难点探究探究一:【解析】(1)∵x=ρcos θ=2cos π6=√3,y=ρsinθ=2sin π6=1.∴点(2,π6)的直角坐标为(√3,1).(2)∵x=ρcos θ=3cos π2=0,y=ρsin θ=3sin π2=3.∴点(3,π2)的直角坐标为(0,3).(3)∵x=ρcos θ=4cos 2π3=-2,y=ρsin θ=4sin 2π3=2√3.∴点(4,2π3)的直角坐标为(-2,2√3).(4)∵cos π12=√1+cos π62=√1+√322=√6+√24,sin π12=√1-cos π62=√1-√322=√6-√24,∴x=ρcos θ=4cos(-π12)=4cosπ12=√6+√2,y=ρsin θ=4sin(-π12)=-4sin π12=√-√6.∴点(4,-π12)的直角坐标为(√+√6,√-√6).【小结】严格按照{x =ρcosθ,y =ρsinθ进行转化,注意准确计算.探究二:【解析】显然OA=2,OB=√,∠AOB=π4,由余弦定理得AB=√OA 2+OB 2-2OA·OB·cos∠AOB =√2,故OB=AB,∠ABO=π2,即△AOB为等腰直角三角形.【答案】D【小结】极坐标中的ρ和θ分别表示到极点的距离和极轴逆时针转过的角度.探究三:【解析】(法一)由公式{x =ρcosθ,y =ρsinθ ,得点P(2,π3)和点Q(4,5π6)的直角坐标分别为P(1,√3)和Q(-2√3,2),由两点间的距离公式得|PQ|=√(1+2√3)2+(√3-2)2=2√5.(法二)在极坐标系中,已知点P(2,π3)和点Q(4,5π6),故∠POQ=π2,所以|PQ|=2+42√5.【答案】2√【小结】如果极坐标系中的两点确定,那么它们之间的距离也确定,可以把各点极坐标转化为直角坐标,在平面直角坐标系中计算,也可以利用极径、极角的定义和余弦定理在三角形中计算. 思维拓展应用应用一:(1)由题意知x=2cos4π3=2×(-12)=-1,y=2sin4π3=2×(-√32)=-√3,即点(2,4π3)的直角坐标为(-1,-√3),是第三象限内的点. (2)由题意知x=2cos 2π3=-1,y=2sin 2π3=√3,即点(2,2π3)的直角坐标为(-1,√3),是第二象限内的点.(3)由题意知x=2cos(-π3)=1,y=2sin(-π3)=-√3,即点(2,-π3)的直角坐标为(1,-√3),是第四象限内的点.(4)由题意知x=2cos(-2)=2cos 2<0(π2<2<π),y=2sin(-2)=-2sin2<0,即点(2,-2)的直角坐标为(2cos 2,-2sin 2),是第三象限点. 应用二:(1)画图可知,A 、B 、C 三点都在以极点为圆心,2为半径的圆上,且所对的圆心角均为23π,∴|AB|=|AC|=|BC|,∴△ABC 为正三角形.(2)由(1)知12|AB|=2sin π3,∴|AB|=2√3,∴△ABC 的面积为S=12×2√3×2√3×√32=3√3.应用三:√2或3√2 根据x=ρcos θ,y=ρsin θ,得P 、Q 的直角坐标分别为P(0,-4)、Q(√22ρ,-√22ρ).∴|PQ|=√(0-√22ρ)2+(-4+√22ρ)2=√10,解得ρ=√2或ρ=3√2. 基础智能检测1.B 由题意知∠AOB=π3-(-π6)=π2,故选B.2.C 由公式{x =ρcosθ,y =ρsinθ,得{x =6×(-12)=-3,y =6×(-√32)=-3√3,所以直角坐标为(-3,-3√3),选择C.3.3 结合图形,△AOB 的面积S=12OA ·OB ·sin(π3-π6)=3.4.解:(1)将三点坐标代入公式{x =ρcosθ,y =ρsinθ,可知点M 的直角坐标为(1,-√3),点N 的直角坐标为(2,0),点P 的直角坐标为(3,√3). (2)∵k MN =√32-1=√3,k NP =√3-03-2=√3,∴k MN =k NP ,∴M 、N 、P 三点在同一条直线上. 全新视角拓展(法一)利用坐标转化.点A(2,π4)的直角坐标为(√2,√2),点B(2,5π4)的直角坐标为(-√2,-√2),设点C 的直角坐标为(x,y).由题意得AC ⊥BC,|AC|=|BC|.∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,|AC|2=|BC|2,于是(x-√2,y-√2)·(x+√2,y+√2)=0,即x 2+y 2=4. ①(x-√2+(y-√)2=(x+√)2+(y+√2,即y=-x. ② 将②代入①得x 2=2,解得x=±√2,∴{x =√2,y =-√2或{x =-√2,y =√2,∴点C 的直角坐标为(√√)或(-√,√).∴ρ=√2+2=2,tan θ=-1,θ=7π4或3π4,∴点C 的极坐标为(2,3π4)或(2,7π4).S △ABC =12|AC|·|BC|=12|AC|2=12×8=4.(法二)设点C 的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0,0≤θ<2π),∵|AB|=2|OA|=4,∠C=π2,|AC|=|BC|,∴|A C|=|BC|=2√根据余弦定理可得{ρ2+22-2×2ρcos(θ-π4)=8, ①ρ2+22-2×2ρcos(θ-5π4)=8, ②①+②化简得ρ2=4,由ρ>0得ρ=2,代入①得cos(θ-π4)=0,∴θ-π4=π2+kπ,k∈Z,即θ=3π4+kπ,k∈Z,又∵0≤θ<2π,令k=0,1,得θ=3π4或7π4,∴点C的极坐标为(2,3π4)或(2,7π4),S△ABC=12|AC|·|BC|=12|AC|2=12×8=4.精品文档。
河北省承德市平泉县蒙古族高级中学高中数学极坐标系导学案1(无答案)新人教A版选修4_4
（1）P是点Q关于极点O的对称点；
（2）P是点Q关于直线 的对称点；
（3）P是点Q关于极轴的对称点。
变式训练
1.在极坐标系中,与点 关于极点对称的点的一个坐标是( )
2．已知点M的极坐标为 ，下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标的是（）
【课堂小结】本节课的主要内容是：
你还学会了哪些思想ABC的两个顶点是 、 ，那么顶点C的坐标可能是（）
2．在极坐标系内，点 关于直线 的对称点坐标为（）
A（3，0）
3．若 是极坐标系中的一点， 四点中与P重合的点有（）A．1个B 2个C 3个D 4个
M（，）也可以表示为
【探究应用】
探究一极坐标系中点的坐标
例1写出下图中各点的极坐标
A（4，0）B（2）C（）D（）
E（）F（）G（）
思考：
1平面上一点的极坐标是否唯一？
2若不唯一，那有多少种表示方法？
③坐标不唯一是由谁引起的？
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式
约定：极点的极坐标是 =0， 可以取任意角。
特别强调：由极径 的意义可知0;当极角的取值范围是[0, 2 )时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（，）建立一一对应的关系.们约定,极点的极坐标是极径=0,极角是任意角.
3、负极径的规定
在极坐标系中，极径允许取负值，极角也可以去任意的正角或负角
当＜0时，点M（ ，）位于极角终边的反向延长线上，且OM= 。
课题
极坐标系(1)
课型
新授课
学习目标
1.认识极坐标系
2.能够在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和直角坐标系中刻画点的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。
数学4-4(极坐标系)导学案
数学4-4(极坐标系)导学案本卷须知1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3、请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
课题：极坐标系〔两课时〕【一】三维目标知识与技能：认识极坐标，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；体会极坐标系与平面直角坐标系的区别，能进行极坐标和直角坐标间的互化。
过程与方法：通过生活中的实例，让学生认识到学习极坐标系的必要性，从而引出极坐标系与极坐标的概念；根据极坐标与直角坐标的特点和三角函数的概念，实现极坐标和直角坐标间的互化情感态度价值观：通过学习，体会数学知识的产生与发展源于生活又服务于生活，体会数学的应用价值，激发学生的学习数学的热情。
【二】教学重难点重点：理解并能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化。
难点：理解用极坐标刻画点的位置的基本思想；点与极坐标之间的对应关系的认识。
【三】学法指导：认真阅读教材P8—10，结合实例，理解极坐标的建立、点与极坐标的对应；结合任意角的三角函数的定义，理解极坐标和直角坐标间的互化。
【四】知识链接：1、回顾自己在为人指路时常用的方法2举一个生活中用“距离”和“角度”刻画位置的例子【五】学习过程：【一】极坐标系的概念1、引入：阅读课本P9页的“思考”，并回答提出的问题答1〕：答2〕：2、你是否注意到在以上问题中，用“距离”和“角度”刻画位置时，总是先固定一个位置作为，并以某个方向作为参照。
3极坐标系的概念：1〕在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线OX，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位〔通常用弧度〕及其正方向〔通常取逆时针方向〕，这样就建立了一个极坐标系.ρ；2〕如图：设M是平面内一点，极点O与点M的距离｜OM｜叫做点M的极径，记为以极轴OX为始边，射线OM为终边的角XOM叫做点M的极角，记为θ；有序实数对〔,ρθ〕叫做点M 的极坐标，记为(,)M ρθ；注：一般地，不做特殊说明时，我们认为0,ρθ≥∈R4例题例1.如图，在极坐标系中，写出点A ，B ，C的极坐标，并标出点D 〔2，6π〕，E 〔4，34π〕，F〔3.5，53π〕所在的位置。
选讲44极坐标系导学案(全).pdf
以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的________,记为 。则 有序数对 (, ) 叫做点 M 的__________,记为___________.
【注】①.一般地，不作说明时， 0, 取任意实数。
②.极坐标 (, ) 与 (, + 2k )(k Z) 表示同一个点。
4.在直角坐标系 xOy 中，圆 C1 : x2 + y 2 = 4 ，圆 C2 : (x − 2)2 + y 2 = 4 ，求出圆
C1,C2 的焦点坐标（用极坐标表示）
1
3
3
2.已知点的极坐标分别为 (3, ), (2, 2 ), (4, ), ( 3 , ) ，求他们的直角坐标。 4 3 22
3. 已知点的直角坐标分别为（ 3, 3 ），（ 0,− 5 ），求它们的极坐标。 3
（三 ）达标检测
1.写出图中 A,B,C,D,E,F,G 各点的极坐标（ 0,0 2 ）。
在平面内取一个定点 O ，叫做________；以 O 为端点作射线 Ox ，叫做_______；
再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（逆时针方向），这 样就建立了一个__________.
(2)极坐标
个性笔 记
设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离 OM 叫做点 M 的_______,记为 ；
边位置），以便正确地求出[0,2 ) 内的角 。
D(2, ) , E(4, 3 ) , F (3.5, 5 ) 所在的位置。
6
4
3
2.将点 M 的极坐标 (5, 2 ) 化成直角坐标。 3
3. 将点 M 的直角坐标 (− 3,−1) 化成极坐标。
选讲44极坐标系导学案(全)(2020年整理).pdf
再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（逆时针方向），这 样就建立了一个__________.
个性笔 记
则
x
y
= =
cos sin
或
2 = tan
x2 + y = y (x
姓名：
3
课题：极坐标系 总课时： 2 课型： 新授
富源县第三中学高二数学导学案
上课时间：
主备人：万亚琳
审核人：章应高
班级：
小组：
姓名：
1.2 极坐标系
教学内容
【学习目标】 1． 使学生认识极坐标系； 2． 能进行极坐标与直角坐标的互化。 【教学重难点】 重点：认识极坐标系的重要性，能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐 标的互化。 难点：认识点与极坐标之间的对应关系。 【学习过程】 （一） 预习学案 1.极坐标系的概念 （1）极坐标系
上课时间：
主备人：万亚琳
审核人：章应高
班级：
小组：
2. 写出 1 题中 A,B,C,D,E,F,G 各点的直角坐标。
姓名：
3. 已知点的直角坐标分别为（ 3, 3 ），（ 0,− 5 ），求它们的极坐标。 3
（三 ）达标检测
1.写出图中 A,B,C,D,E,F,G 各点的极坐标（ 0,0 2 ）。
（二 ）课堂学案
1.在极坐标系中，已知两点 A(3,− ) ， B(1, 2 ) ,求 A,B 两点间的距离。
3
3
1
课题：极坐标系 总课时： 2 课型： 新授
2.已知点的极坐标分别为 (3, ), (2, 2 ), (4, ), ( 3 , ) ，求他们的直角坐标。 4 3 22
河北省承德市平泉县蒙古族高级中学高中数学 极坐标系导学案2(无答案)新人教A版选修4-4
极坐标系(2)
课型
新授课
学习目标
1.认识极坐标系
2.能够在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和直角坐标系中刻画点的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。
重点难点
认识极坐标系的重要性，能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化。
导学过程
备注
【自主导学】
1.极坐标系和点的极坐标
极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。
规定：当点M在极点时，它的极坐标 可以取任意值。
2.平面直角坐标与极坐标的区别
在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x，y）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽然一个有序实数对 只能与一个点P对应，但一个点P却可以与个有序实数对对应 ，极坐标系中的点与有序实数对极坐标 不是一一对应的。
3.极坐标系中，点M 的极坐标统一表达式 。
例3化下列方程为直角坐标方程,并说明表示的曲线.
(1) ,(
(2)
【课堂检测】
1．极坐标方程 表示的曲线是（）
A余弦曲线B两条相交直线C一条射线D两条射线
2．极坐标系中，点A的极坐标是 ，则（1）点A关于极轴对称的点是_______.
(2)点A关于极点对称的点的极坐标是___.
(3)点A关于直线 的对称点的极坐标是________.(规定:
3．点 ，则它的极坐标是（）A． B． C． D．
4．极坐标方程 表示的曲线是（）A．双曲线B．椭圆C．抛物线D．圆
5．圆 的圆心坐标是（）A． B． C． D．
6．在坐标系中，与圆 相切的一条直线方程为（）
A． B． C． D．
7、已知点 则 为（）
A、正三角形B、直角三角形C、锐角等腰三角形D、直角等腰三角形
吉林省长市实验中学高中数学《极坐标系》导学案 新人教A版选修44
吉林省长春市实验中学高中数学《极坐标系》导学案 【学习目标】 1、理解极坐标的概念；2、能在极坐标系中刻画极坐标的位置，体会极坐标与平面直角坐标刻画点位置的区别。
【重点难点】重点：理解极坐标的概念难点：能在极坐标中找到点的位置【自主学习】阅读教材108P P -，将重点内容画在书上，并回答下面的问题1、 如何建立极坐标2、 如何在极坐标下确定点得坐标阅读教材11P ，将重点内容在书中画下来，【合作释疑】例1、 写出下图中各点的极坐标A （4，0）B （2 ）C （ ）D （ ）E （ ）F （ ）G （ ）① 平面上一点的极坐标是否唯一？② 若不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是由谁引起的？④不同的极坐标是否可以写出统一的表达式？例2、在极坐标系中，（1）已知两点P （5，45π），Q )4,1(π，求线段PQ 的长度； （2）已知M 的极坐标为（ρ，θ）且θ=3π，ρR ∈，说明满足上述条件的点M 的位置。
例3、 已知Q （ρ，θ），分别按下列条件求出点P 的极坐标。
（1） P 是点Q 关于极点O 的对称点；（2） P 是点Q 关于直线2πθ=的对称点； （3） P 是点Q 关于极轴的对称点。
【巩固训练，整理提高】1、．已知5,3M π⎛⎫ ⎪⎝⎭，下列所给出的能表示该点的坐标的是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,5π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,5π D ．55,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 2、在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是( )A 、),(θρB 、),(θρ-C 、),(πθρ+D 、),(θπρ-3、设点P 对应的复数为-3+3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ） A.(23，π43) B. (32，π45) C. (3，π45) D. (3，π43) 4、求极坐标系中,与点)6,8(π-关于极点对称的点的一个坐标？5、在极坐标系中，如果等边ABC ∆的两个顶点是),45,2(),4,2(B A π求第三个顶点C 的坐标。
极坐标系导学案
第2课时极坐标系1.通过实例了解极坐标系的建立,会用极坐标表示极坐标系的点,掌握极坐标的应用.2.理解极坐标与直角坐标间的相互转化,掌握转化公式,并运用公式实现极坐标与直角坐标间的相互转化.先生是个外地人,他想到市教育局去,却不知道该怎么去.于是他向路人询问去市教育局如何走?路人说市教育局就在我们现在的位置东南方3公里处.请问路人的答复,能让先生找到目的地吗?“在我们现在的位置东南方3公里处〞是一个确定的位置吗?问题1:极坐标系的建立在平面取一个定点O,叫作极点;自极点O引一条射线Ox,叫作;再选定一个长度单位和角的正方向(通常取方向),这样就建立了一个平面极坐标系,简称为.问题2:对于平面任意一点M,用ρ表示点M到极点O的距离,用θ表示以Ox为始边,以OM为终边的角度,其中ρ叫作,θ叫作,有序数对(ρ,θ)就叫作点M的,记为.问题3:将点M的极坐标(ρ,θ)化为直角坐标(x,y)的关系式为.问题4:将点M的直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的关系式为.1.在极坐标系中,点M(-2,)的位置,可按如下规那么确定( ).A.作射线OP,使∠xOP=,再在射线OP上取点M,使|OM|=2B.作射线OP,使∠xOP=,再在射线OP上取点M,使|OM|=2C.作射线OP,使∠xOP=,再在射线OP的反向延长线上取点M,使|OM|=2D.作射线OP,使∠xOP=-,再在射线OP上取点M,使|OM|=22.假设ρ1+ρ2=0,θ1+θ2=π,那么点M1(ρ1,θ1)与点M2(ρ2,θ2)的位置关系是( ).A.关于极轴所在的直线对称B.关于极点对称C.关于过极点且垂直于极轴的直线对称D.关于过极点且与极轴成的直线对称3.点P的直角坐标为(-,),那么它的极坐标可表示为.4.在极坐标系中作以下各点,并说明每组中各点的位置关系.(1)A(2,0)、B(2,)、C(2,)、D(2,)、E(2,)、F(2,)、G(2,);(2)A(0,)、B(1,)、C(2,)、D(3,)、E(3,).化极坐标为直角坐标分别把以下点的极坐标化为直角坐标.(1)(2,);(2)(3,);(3)(4,);(4)(4,-).极坐标的概念极坐标系中点A(2,),B(,),O(0,0),那么△AOB为( ).A.等边三角形B.顶角为钝角的等腰三角形C.顶角为锐角的等腰三角形D.等腰直角三角形极坐标与直角坐标间的互化在极坐标系中,点P(2,)和点Q(4,)之间的距离为.把以下各点的极坐标化为直角坐标,并判断所表示的点在第几象限. (1)(2,);(2)(2,);(3)(2,-);(4)(2,-2).在极坐标系中,△ABC的三个顶点的极坐标分别为A(2,),B(2,π),C(2,).(1)判断△ABC的形状;(2)求△ABC的面积.极坐标平面两点P(4,)、Q(ρ,-)之间的距离为,那么ρ=.1.在极坐标系中,假设点A、B的坐标分别是(2,)、(3,-),那么△AOB为( ).A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形2.将极坐标(6,)化为直角坐标为( ).A.(-3,3)B.(-3,-3)C.(-3,-3)D.(-3,3)3.在极坐标系中,两点A、B的极坐标分别为(3,)、(4,),那么△AOB(其中O为极点)的面积为.4.在极坐标系中,三点M(2,),N(2,0),P(2,).(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标;(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上.在极坐标系中,两点A(2,),B(2,),且△ABC为等腰直角三角形,求直角顶点C的极坐标与该三角形的面积.考题变式(我来改编):第2课时极坐标系知识体系梳理问题1:极轴逆时针极坐标系问题2:极径极角极坐标M(ρ,θ)问题3:问题4:根底学习交流1.B 当ρ<0时,点M(ρ,θ)的位置按以下规定确定:作射线OP,使∠xOP=θ,在OP的反向延长线上取|OM|=|ρ|,那么点M就是坐标(ρ,θ)的点,应选B.2.A 因为点(ρ,θ)关于极轴所在的直线对称的点为(-ρ,π-θ),由点M1(ρ1,θ1)和M2(ρ2,θ2)满足ρ1+ρ2=0,θ1+θ2=π,可知点M1与M2关于极轴所在的直线对称.3.(2,)(答案不唯一) 直接利用极坐标与直角坐标的互化公式求解,即ρ==2,tan θ=-1.因为点P在第二象限,所以可取一个极角为.4.解:(1)所有点都在以极点为圆心,半径为2的圆上.点B、G关于极轴对称,点D、E关于极轴对称,点C、F关于极点对称.(2)所有点都在倾斜角为,且过极点的直线上.点D、E关于极点对称. 重点难点探究探究一:【解析】(1)∵x=ρcos θ=2cos=,y=ρsin θ=2sin=1.∴点(2,)的直角坐标为(,1).(2)∵x=ρcos θ=3cos=0,y=ρsin θ=3sin=3.∴点(3,)的直角坐标为(0,3).(3)∵x=ρcos θ=4cos=-2,y=ρsin θ=4sin=2.∴点(4,)的直角坐标为(-2,2).(4)∵cos===,sin===,∴x=ρcos θ=4cos(-)=4cos=+,y=ρsin θ=4sin(-)=-4sin=-.∴点(4,-)的直角坐标为(+,-).【小结】严格按照进展转化,注意准确计算.探究二:【解析】显然OA=2,OB=,∠AOB=,由余弦定理得AB==,故OB=AB,∠ABO=,即△AOB 为等腰直角三角形.【答案】D【小结】极坐标中的ρ和θ分别表示到极点的距离和极轴逆时针转过的角度.探究三:【解析】(法一)由公式得点P(2,)和点Q(4,)的直角坐标分别为P(1,)和Q(-2,2),由两点间的距离公式得|PQ|==2.(法二)在极坐标系中,点P(2,)和点Q(4,),故∠POQ=,所以|PQ|==2.【答案】2【小结】如果极坐标系中的两点确定,那么它们之间的距离也确定,可以把各点极坐标转化为直角坐标,在平面直角坐标系中计算,也可以利用极径、极角的定义和余弦定理在三角形中计算.思维拓展应用应用一:(1)由题意知x=2cos=2×(-)=-1,y=2sin=2×(-)=-,即点(2,)的直角坐标为(-1,-),是第三象限的点.(2)由题意知x=2cos =-1,y=2sin =,即点(2,)的直角坐标为(-1,),是第二象限的点.(3)由题意知x=2cos(-)=1,y=2sin(-)=-,即点(2,-)的直角坐标为(1,-),是第四象限的点.(4)由题意知x=2cos(-2)=2cos 2<0(<2<π),y=2sin(-2)=-2sin 2<0,即点(2,-2)的直角坐标为(2cos 2,-2sin 2),是第三象限点.应用二:(1)画图可知,A、B、C三点都在以极点为圆心,2为半径的圆上,且所对的圆心角均为π,∴|AB|=|AC|=|BC|,∴△ABC为正三角形.(2)由(1)知|AB|=2sin ,∴|AB|=2,∴△ABC的面积为S=×2×2×=3.应用三:或3根据x=ρcos θ,y=ρsin θ,得P、Q的直角坐标分别为P(0,-4)、Q(ρ,-ρ).∴|PQ|==,解得ρ=或ρ=3.根底智能检测1.B 由题意知∠AOB=-(-)=,应选B.2.C 由公式得所以直角坐标为(-3,-3),选择C.3.3 结合图形,△AOB的面积S=OA·OB·sin(-)=3.4.解:(1)将三点坐标代入公式可知点M的直角坐标为(1,-),点N的直角坐标为(2,0),点P的直角坐标为(3,).(2)∵k MN==,k NP==,∴k MN=k NP,∴M、N、P三点在同一条直线上.全新视角拓展(法一)利用坐标转化.点A(2,)的直角坐标为(,),点B(2,)的直角坐标为(-,-),设点C的直角坐标为(x,y).由题意得AC⊥BC,|AC|=|BC|.∴·=0,|AC|2=|BC|2,于是(x-,y-)·(x+,y+)=0,即x2+y2=4. ①(x-)2+(y-)2=(x+)2+(y+)2,即y=-x. ②将②代入①得x2=2,解得x=±,∴或∴点C的直角坐标为(,-)或(-,).∴ρ==2,tan θ=-1,θ=或,∴点C的极坐标为(2,)或(2,).S△ABC=|AC|·|BC|=|AC|2=×8=4.(法二)设点C的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0,0≤θ<2π),∵|AB|=2|OA|=4,∠C=,|AC|=|BC|,∴|AC|=|BC|=2, 根据余弦定理可得①+②化简得ρ2=4,由ρ>0得ρ=2,代入①得cos(θ-)=0,∴θ-=+kπ,k∈Z,即θ=+kπ,k∈Z,又∵0≤θ<2π,令k=0,1,得θ=或,∴点C的极坐标为(2,)或(2,),S△ABC=|AC|·|BC|=|AC|2=×8=4.。
高中数学选修4-4极坐标系导学案.doc
极坐标系导学案心学习目标1、能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置。
2、体会在极坐标系和平面直角坐标系屮刻画点的位置的区别。
3、掌握直角坐标与极坐标的相互转化。
一、极坐标的概念（预习教材，找出疑惑之处）情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。
（1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置唯一-确定吗?（2）如呆有人打听体冇馆和办公楼的位置，他应如何描述？问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？问题2：如何刻1師这些点的位置？定义新知1：极坐标的概念1＞如右图，在平面内取一个定点O,叫做____________ ;自极点O引一条射线Ox ,叫做_____________ ;再选定_个___________ , _个 __________ （通常取）及其_______ （通常取 _________ 方向），这样就建立了一个__________ O2、设M是平而内一点，极点0与M的距离I0MI叫做点M的 ____________ ,记为____ ;以极轴Or为始边，射线0M为终边的角xOM叫做点M的________ ,记为 _____ 有序数对_______ 叫做点M的________ ,记作________________ o3、思考：直角坐标系与极坐标系有何异同?♦应用示例例题1：⑴写出图中A, B, C, D, E, F, G 各点的极坐标（°〉0,05&<2兀）.（2）：思考下列问题，给出解答。
① 平面上一点的极坐标是否唯一？ ② 若不唯一，那有多少种表示方法？③ 坐标不唯一是由谁引起的？④ 不同的极处标是否可以写出统一表达式?⑤ 本题点G 的极坐标统一表达式。
二、与直角坐标的转化直角坐标系的原点0为极点，兀轴的正半轴为极轴，月•在两 坐标系中取相同的t 度单位。
《极坐标系》导学案
《极坐标系》导学案【基础知识导学】1．极坐标系和点的极坐标极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。
规定：当点M 在极点时，它的极坐标θρ,0=可以取任意值。
2．平面直角坐标与极坐标的区别在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x ，y ）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽然一个有序实数对),(θρ只能与一个点P 对应，但一个点P 却可以与无数多个有序实数对对应),(θρ，极坐标系中的点与有序实数对极坐标 ),(θρ不是一一对应的。
3．极坐标系中，点M ),(θρ的极坐标统一表达式Z k k ∈+),2,(θπρ。
4．如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示，同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
5．极坐标与直角坐标的互化（1） 互化的前提：①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与X 轴的正方向重合；③两种坐标系中取相同的长度单位。
（2） 互化公式⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=0,tan 222x x y y x θρ。
【知识迷航指南】【例1】 在极坐标系中，描出点)3,2(πM ，并写出点M 的统一极坐标。
X【点评】点)3,2(πM 的统一极坐标表示式为)32,2(ππ+k ，如果允许0<ρ，还可以表示为)3)12(,2(ππ++-k 。
【例2】已知两点的极坐标)6,3(),2,3(ππB A ，则|AB|=______,AB 与极轴正方向所成的角为________.解:根据极坐标的定义可得|AO|=|BO|=3,∠AOB=600,即∆AOB 为等边三角形,所以|AB|=|AO|=|BO|=3, ∠ACX=65π 【点评】在极坐标系中我们没有定义两点间的距离,我们只要画出图形便可以得到结果.【例3】化下列方程为直角坐标方程,并说明表示的曲线. (1)43πθ=,()R ∈ρ (2)θθρcos 2sin +=【解】(1)根据极坐标的定义,因为x y xy -==即,43tan π,所以方程表示直线. (2)因为方程给定的ρ不恒为0,用ρ同乘方程的两边得:θρθρρcos 2sin 2+=化为直角坐标方程为,222x y y x +=+即45)21()1(22=-+-y x ,这是以(1,21)为圆心,半径为25的圆.ρ这一条件,则方程表示一条射线.【点评】①若没有R∈②极坐标方程化为直角坐标方程,方程两边同乘ρ,使之出现ρ2是常用的方法.。
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第2课时极坐标系1.通过实例了解极坐标系的建立,会用极坐标表示极坐标系内的点,掌握极坐标的应用.2.理解极坐标与直角坐标间的相互转化,掌握转化公式,并运用公式实现极坐标与直角坐标间的相互转化.李先生是个外地人,他想到市教育局去,却不知道该怎么去.于是他向路人询问去市教育局如何走?路人说市教育局就在我们现在的位置东南方3公里处.请问路人的回答,能让李先生找到目的地吗?“在我们现在的位置东南方3公里处”是一个确定的位置吗?问题1:极坐标系的建立在平面内取一个定点O,叫作极点;自极点O引一条射线Ox,叫作;再选定一个长度单位和角的正方向(通常取方向),这样就建立了一个平面极坐标系,简称为.问题2:对于平面内任意一点M,用ρ表示点M到极点O的距离,用θ表示以Ox为始边,以OM为终边的角度,其中ρ叫作,θ叫作,有序数对(ρ,θ)就叫作点M 的,记为.问题3:将点M的极坐标(ρ,θ)化为直角坐标(x,y)的关系式为.问题4:将点M的直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的关系式为.1.在极坐标系中,点M(-2,π6)的位置,可按如下规则确定().A.作射线OP,使∠xOP=π6,再在射线OP上取点M,使|OM|=2B.作射线OP,使∠xOP=7π6,再在射线OP上取点M,使|OM|=2C.作射线OP,使∠xOP=7π6,再在射线OP的反向延长线上取点M,使|OM|=2D.作射线OP,使∠xOP=-π6,再在射线OP上取点M,使|OM|=22.若ρ1+ρ2=0,θ1+θ2=π,则点M1(ρ1,θ1)与点M2(ρ2,θ2)的位置关系是().A.关于极轴所在的直线对称B.关于极点对称C.关于过极点且垂直于极轴的直线对称D.关于过极点且与极轴成π4的直线对称3.点P的直角坐标为(-√2,√2),那么它的极坐标可表示为.4.在极坐标系中作下列各点,并说明每组中各点的位置关系.(1)A(2,0)、B(2,π6)、C(2,π4)、D(2,π2)、E(2,3π2)、F(2,5π4)、G(2,11π6);(2)A(0,π4)、B(1,π4)、C(2,5π4)、D(3,5π4)、E(3,π4).化极坐标为直角坐标分别把下列点的极坐标化为直角坐标.(1)(2,π6);(2)(3,π2);(3)(4,2π3);(4)(4,-π12).极坐标的概念已知极坐标系中点A(2,π2),B(√2,3π4),O(0,0),则△AOB为().A.等边三角形B.顶角为钝角的等腰三角形C.顶角为锐角的等腰三角形D.等腰直角三角形极坐标与直角坐标间的互化在极坐标系中,点P(2,π3)和点Q(4,5π6)之间的距离为.把下列各点的极坐标化为直角坐标,并判断所表示的点在第几象限.(1)(2,4π3);(2)(2,2π3);(3)(2,-π3);(4)(2,-2).在极坐标系中,已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A(2,π3),B(2,π),C(2,5π3).(1)判断△ABC的形状;(2)求△ABC的面积.极坐标平面内两点P(4,3π2)、Q(ρ,-π4)之间的距离为√10,则ρ=.1.在极坐标系中,若点A、B的坐标分别是(2,π3)、(3,-π6),则△AOB为().A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形2.将极坐标(6,4π3)化为直角坐标为().A.(-3√3,3)B.(-3√3,-3)C.(-3,-3√3)D.(-3,3√3)3.在极坐标系中,已知两点A、B的极坐标分别为(3,π3)、(4,π6),则△AOB(其中O为极点)的面积为.4.在极坐标系中,已知三点M(2,5π3),N(2,0),P(2√3,π6).(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标;(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上.在极坐标系中,已知两点A(2,π4),B(2,5π4),且△ABC为等腰直角三角形,求直角顶点C的极坐标与该三角形的面积.考题变式(我来改编):第2课时 极 坐 标 系知识体系梳理问题1:极轴 逆时针 极坐标系 问题2:极径 极角 极坐标 M(ρ,θ) 问题3:{x =ρcosθ,y =ρsinθ问题4:{ρ2=x 2+y 2,tanθ=yx(x ≠0)基础学习交流1.B 当ρ<0时,点M(ρ,θ)的位置按下列规定确定:作射线OP,使∠xOP=θ,在OP 的反向延长线上取|OM|=|ρ|,则点M 就是坐标(ρ,θ)的点,故选B.2.A 因为点(ρ,θ)关于极轴所在的直线对称的点为(-ρ,π-θ),由点M 1(ρ1,θ1)和M 2(ρ2,θ2)满足ρ1+ρ2=0,θ1+θ2=π,可知点M 1与M 2关于极轴所在的直线对称.3.(2,3π4)(答案不唯一) 直接利用极坐标与直角坐标的互化公式求解,即ρ=√(-√2)2+(√2)2=2,tan θ=-1.因为点P 在第二象限,所以可取一个极角为3π4.4.解:(1)所有点都在以极点为圆心,半径为2的圆上.点B 、G 关于极轴对称,点D 、E 关于极轴对称,点C 、F 关于极点对称.(2)所有点都在倾斜角为π4,且过极点的直线上.点D 、E 关于极点对称.重点难点探究探究一:【解析】(1)∵x=ρcos θ=2cos π6=√3,y=ρsinθ=2sin π6=1.∴点(2,π6)的直角坐标为(√3,1).(2)∵x=ρcos θ=3cos π2=0,y=ρsin θ=3sin π2=3.∴点(3,π2)的直角坐标为(0,3).(3)∵x=ρcos θ=4cos 2π3=-2,y=ρsin θ=4sin 2π3=2√3.∴点(4,2π3)的直角坐标为(-2,2√3).(4)∵cos π12=√1+cos π62=√1+√322=√6+√24,sin π12=√1-cos π62=√1-√322=√6-√24,∴x=ρcos θ=4cos(-π12)=4cosπ12=√6+√2,y=ρsin θ=4sin(-π12)=-4sin π12=√2-√6.∴点(4,-π12)的直角坐标为(√2+√6,√2-√6).【小结】严格按照{x =ρcosθ,y =ρsinθ进行转化,注意准确计算.探究二:【解析】显然OA=2,OB=√2,∠AOB=π4,由余弦定理得AB=√OA 2+OB 2-2OA ·OB ·cos∠AOB =√2,故OB=AB,∠ABO=π2,即△AOB 为等腰直角三角形.【答案】D【小结】极坐标中的ρ和θ分别表示到极点的距离和极轴逆时针转过的角度.探究三:【解析】(法一)由公式{x =ρcosθ,y =ρsinθ ,得点P(2,π3)和点Q(4,5π6)的直角坐标分别为P(1,√3)和Q(-2√3,2),由两点间的距离公式得|PQ|=√(1+2√3)2+(√3-2)2=2√5.(法二)在极坐标系中,已知点P(2,π3)和点Q(4,5π6),故∠POQ=π2,所以|PQ|=√22+42=2√5.【答案】2√5【小结】如果极坐标系中的两点确定,那么它们之间的距离也确定,可以把各点极坐标转化为直角坐标,在平面直角坐标系中计算,也可以利用极径、极角的定义和余弦定理在三角形中计算. 思维拓展应用应用一:(1)由题意知x=2cos4π3=2×(-12)=-1,y=2sin4π3=2×(-√32)=-√3,即点(2,4π3)的直角坐标为(-1,-√3),是第三象限内的点. (2)由题意知x=2cos 2π3=-1,y=2sin 2π3=√3,即点(2,2π3)的直角坐标为(-1,√3),是第二象限内的点.(3)由题意知x=2cos(-π3)=1,y=2sin(-π3)=-√3,即点(2,-π3)的直角坐标为(1,-√3),是第四象限内的点.(4)由题意知x=2cos(-2)=2cos 2<0(π2<2<π),y=2sin(-2)=-2sin2<0,即点(2,-2)的直角坐标为(2cos 2,-2sin 2),是第三象限点. 应用二:(1)画图可知,A 、B 、C 三点都在以极点为圆心,2为半径的圆上,且所对的圆心角均为23π,∴|AB|=|AC|=|BC|,∴△ABC 为正三角形.(2)由(1)知12|AB|=2sin π3,∴|AB|=2√3,∴△ABC 的面积为S=12×2√3×2√3×√32=3√3.应用三:√2或3√2 根据x=ρcos θ,y=ρsin θ,得P 、Q 的直角坐标分别为P(0,-4)、Q(√22ρ,-√22ρ).∴|PQ|=√(0-√22ρ)2+(-4+√22ρ)2=√10,解得ρ=√2或ρ=3√2. 基础智能检测1.B 由题意知∠AOB=π3-(-π6)=π2,故选B.2.C 由公式{x =ρcosθ,y =ρsinθ,得{x =6×(-12)=-3,y =6×(-√32)=-3√3,所以直角坐标为(-3,-3√3),选择C.3.3 结合图形,△AOB 的面积S=12OA·OB·sin(π3-π6)=3.4.解:(1)将三点坐标代入公式{x =ρcosθ,y =ρsinθ,可知点M 的直角坐标为(1,-√3),点N 的直角坐标为(2,0),点P 的直角坐标为(3,√3). (2)∵k MN =√32-1=√3,k NP =√3-03-2=√3,∴k MN =k NP ,∴M、N 、P 三点在同一条直线上.全新视角拓展(法一)利用坐标转化.点A(2,π4)的直角坐标为(√2,√2),点B(2,5π4)的直角坐标为(-√2,-√2),设点C 的直角坐标为(x,y).由题意得AC⊥BC,|AC|=|BC|.∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,|AC|2=|BC|2,于是(x-√2,y-√2)·(x+√2,y+√2)=0,即x 2+y 2=4. ①(x-√2)2+(y-√2)2=(x+√2)2+(y+√2)2,即y=-x. ② 将②代入①得x 2=2,解得x=±√2,∴{x =√2,y =-√2或{x =-√2,y =√2,∴点C 的直角坐标为(√2,-√2)或(-√2,√2).∴ρ=√2+2=2,tan θ=-1,θ=7π4或3π4,∴点C 的极坐标为(2,3π4)或(2,7π4).S △ABC =12|AC|·|BC|=12|AC|2=12×8=4.(法二)设点C 的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0,0≤θ<2π),∵|AB|=2|OA|=4,∠C=π2,|AC|=|BC|,∴|A C|=|BC|=2√2,根据余弦定理可得{ρ2+22-2×2ρcos (θ-π4)=8, ①ρ2+22-2×2ρcos (θ-5π4)=8, ② ①+②化简得ρ2=4,由ρ>0得ρ=2,代入①得cos(θ-π4)=0,∴θ-π4=π2+kπ,k∈Z,即θ=3π4+kπ,k∈Z,又∵0≤θ<2π,令k=0,1,得θ=3π4或7π4,∴点C 的极坐标为(2,3π4)或(2,7π4),S △ABC =12|AC|·|BC|=12|AC|2=12×8=4.。