余弦定理及其应用-21页精选文档
正余弦定理的实际应用共22页文档
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
END
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
余弦定理及其应用
技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山
脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即
线段BC的张角），最后通过计算求出山脚的长度BC。
已测的：ＡＢ＝１千米，
AＣ＝
3 2
千米
角Ａ＝６０Ｏ
求山脚ＢＣ的长度．
解：BC2 | AB |2 | AC |2 2 | AB | AC | cos A
隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工 程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A 到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚 BC（即线段BC）的张角，最后通过计算求出山脚 的长度BC。
已知：AB、 AC、角Ａ (两条边、一个夹角)
2
余弦定理及其应用
3
看一看想一想
直角三角形中的边a、
b不变，角C进行变动
算一算试试！ 5
证明
解析法
y
证明：以CB所在的直线为x轴，过C点
垂直于CB的直线为y轴，建立如图所
示的坐标系，则A、B、C三点的坐标
分别为：
x
C(0, 0) B(a, 0) A(bcosC,bsin C)
AB 2 (b cosC a)2 (b sin C 0)2
b2 cos2 C 2abcosC a2 b2 sin 2 C
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提炼：设a是最长的边，则
△ABC是钝角三角形 a 2 b2 c 2
△ABC是锐角三角形 a 2 b2 c 2
△ABC是直角三角形 a 2 b2 c 2
例4、 △ABC中，a 3, b 7, c 2 求B，并判断 △ABC的形状。
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正弦定理可解决的几类问题 : (1)已知两角和任一边,解三角形; AAS,ASA (2)已知两边和其中一边对角, 解三角形.
正余弦定理及应用
所以所给条件化为：
a^3*(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=b^3*(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
两边约分并化简可得：a^2(a^2+c^2-b^2)=b^2(b^2+c^2-a^2)
a^2=a+2b+c
又a+2b=2c-3
∴a^2=2c-3+c
=3c-3
sinA：sinC=a：c=4:√13
a^2:c^2=16:13
3(c-1)/c^2=16/13
16c^2=39c-39
16c^2-39c+39=0
解c 取正值！
然后求a
再求b
再根据大边对大角 就知道啦！
注：a^2；b^2；c^2就是a的2次方、b的2次方、c的2次方；a*b、a*c就是a乘b、a乘c 。
1、在△ABC中,角ABC所对的边分别是abc,若b平方+c平方-bc=a平方,且a/b=根号3,则∠C的值为？
根据余弦定理得：
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc......................1
联立得：BC=2，x=3^(1/2)
于是得到CosA＝13*2^(1/2)/24，然后计算SinA即可
10、在△ABC中，角A，B，C所对的边是a，b，c，已知a^2-a=2(b+c),a+2b=2c-3
(1)若sinA:sinC=4:√13，求a，b，c
（2）求△ABC的最大角
a^2-a=2b+c
余弦定理的应用
AC CD 3. 在BCD中，CBD 180 45 75 60 由正弦定理可得，
BC
3 sin750 sin 600
2 2
6
余弦定理的应用
【典型例题】
在ABC中，由余弦定理，可得 AB2 AC2BC22ACBCCOSACB
AB2 ( 3)2( 2 6)222 3 2 6cos755
余弦定理的应用
【典型例题】
分析：根据题意作出平面示意图，设在D处追上走 私船，由图知，要求追截方向和时间即求∠DCB及 CD长度，先用余弦定理求BC及∠CBA，从而求出 ∠ABD，列出关于追截时间的方程，求出时间，再 用余弦定理求出∠DCB.
余弦定理的应用
【典型例题】
解 析 ： 设 在 D处 追 上 走 私 船 ， 所 需 时 间 为 t小 时 ， 则 C D 10 3t， B D 10t 在 ABC中 ， B A C 75 45 120， A B 3 1， B C 2， 由余弦定理得 BC 2 22 ( 3 1)2 2 ( 3 1)cos2 120 6, AB2 BC 2 AC 2 cos CBA 2AB BC ( 6 )2 ( 3 1)2 2 2 2 6 ( 3 1) 2
余弦定理的应用
【典型例题】
又 0 CBA ，则CBA 45，则BC为正东西方向，
在中BCD，CBD 120，由余弦定理得，s CBD，
即(10 3t)2 (10t )2 ( 6)2 210t 6 cos120，
BC＝ 6 n mile ，
且 sinABC＝ AC ·sinBAC＝ 2
3＝
2 .
BC
余弦定理在生活中的应用
余弦定理在生活中的应用一、余弦定理内容回顾1. 对于三角形ABC，设a、b、c分别为角A、B、C所对的边，则余弦定理有以下三种形式：- a^2=b^2+c^2-2bccos A- b^2=a^2+c^2-2accos B- c^2=a^2+b^2-2abcos C2. 余弦定理的作用- 已知三角形的两边及其夹角，可以求出第三边。
- 已知三角形的三边，可以求出三角形的三个角。
二、在测量中的应用1. 测量不可到达两点间的距离- 例：A、B两点被一个池塘隔开，无法直接测量它们之间的距离。
我们可以在池塘外选一点C，测得AC = m米，BC=n米，∠ ACB=θ。
- 根据余弦定理AB^2=AC^2+BC^2-2AC· BC·cos∠ ACB，即AB=√(m^2)+n^{2-2mncosθ}。
这样就可以计算出A、B两点间的距离。
2. 测量建筑物的高度- 假设要测量一座大楼的高度h。
在大楼底部的水平地面上选一点A，在距离A 点d米的地方再选一点B，然后测量出∠ BAC=α，∠ ABC = β。
- 设大楼高度h对应的边为BC，根据三角形内角和为180^∘，可得∠ACB=180^∘-α-β。
- 在 ABC中，已知AB = d，根据正弦定理(AB)/(sin∠ ACB)=(BC)/(sin∠BAC)，可求出BC的长度。
再根据h = BCsinβ求出大楼的高度。
这里正弦定理求出BC的过程中，若先求出sin∠ ACB=sin(α + β)，在计算BC时可能会涉及到较为复杂的三角函数运算。
如果我们用余弦定理，先根据AC^2=AB^2+BC^2-2AB· BC·cos∠ABC，设AC = x，则x^2=d^2+BC^2-2d· BC·cosβ，再结合(h)/(x)=tanα，联立方程求解h，有时会更简便。
三、在导航中的应用1. 飞机航线规划- 飞机从机场A飞往机场B，由于风向等因素，飞机实际飞行的路线是一个三角形的路径。
正、余弦定理及其应用
正、余弦定理及其应用正、余弦定理及其应用一、正弦定理和余弦定理1、正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容变形形式①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;②sinA=,sinB=,sinC=;③a:b:c=sinA:sinB:sinC;④ 解决的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角。
已知三边，求各角；已知两角和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
注：在ΔABC 中，sinA>sinB是A>B的充要条件。
（∵sinA>sinBa>bA>B）二、应用举例1、实际问题中的常用角（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。
仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）①北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；②北偏本即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；③南偏本等其他方向角类似。
（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，为坡比）2、ΔABC的面积公式（1）；（2）；（3）。
【基本训练】1．在△ABC中，“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S=（a2+b2－c2），则∠C的度数是_______．3．在△ABC中，为的中点，且，则.4．在中，若，，，则考点集结考点一：正弦定理、余弦定理的简单应用〖例1〗a=，b=，B=45°，求A,C及边c．2)在中，角所对的边分.若，则（）A．B．C．-1D．11.在△ABC中以知A=30°a、b分别为角A、B对边，且a=4=b解此三角形考点二：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的性状及求取值范围〖例2〗若△的三个内角满足则△A．一定是锐角三角形.B．一定是直角三角形.C．一定是钝角三角形.D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于______，AC的取值范围为________．cos的最小值为。
余弦定理(55张PPT)
2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余 弦定理，也可以用正弦定理，两种方案有什么利弊呢？
提示：用余弦定理求角时，运算量较大，但角与余弦 值是一一对应的，无须讨论；而用正弦定理求角时，运算 量较小，但由于在区间(0，π)上角与正弦值不是一一对应 的，一般情况下一个正弦值可对应两个角，往往要依据角 的范围讨论解的情况．
新知初探
1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减 去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
2．余弦定理的推论 余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的 关系，它的另一种表达形式是 b2＋c2－a2 cosA＝_____________ ， 2bc
a2＋c2－b2 2ac cosB＝_____________ ， a2＋b2－c2 2ab cosC＝_____________.
类型二 [例2]
判断三角形的形状 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc且
sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状． [分析] 首先根据条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，利
用余弦定理求出一个角，再利用另一个条件，得到另外两 个角的关系，即可判断．
[解]
∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定
2 2 2 a > b ＋ c 理的特例．角A为钝角⇔_____________，角A为直角⇔ 2 2 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c a < b ＋ c ____________，角A为锐角⇔____________.
3．利用余弦定理可解决的两类问题 余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们 分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入 等式，便可求出第四个量来． 利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：
三角形的余弦定理应用
三角形的余弦定理应用三角形是几何学中的基本概念之一，而余弦定理是解决三角形问题中常用的工具。
余弦定理可以帮助我们计算三角形的边长或角度，使得在解决实际问题中更加方便和准确。
本文将对余弦定理的应用进行论述。
1. 余弦定理的表述余弦定理描述了三角形的边长与角度之间的关系。
对于一个三角形ABC，其边长分别为a、b、c，而夹角为∠ABC（或简记为∠C）。
余弦定理的表述可以写为：c² = a² + b² - 2abcosC其中，c为三角形的第三边的边长，a和b为另外两条边的边长，C 为夹角∠ABC的度数。
2. 应用一：计算缺失的边长余弦定理可以用于计算缺失的边长。
如果我们已知一个三角形的两条边长a和b，以及夹角C的度数，可以通过余弦定理计算出第三边c 的长度。
例如，已知一个三角形的两条边长为5和8，夹角C为60度，我们可以使用余弦定理计算第三边c的长度：c² = 5² + 8² - 2 * 5 * 8 * cos60°c² = 25 + 64 - 80 * 0.5c² = 89 - 40c² = 49c = √49c = 7因此，该三角形第三边的长度为7。
3. 应用二：计算缺失的夹角余弦定理还可用于计算缺失的夹角。
如果我们已知一个三角形的边长a、b和c，可以通过余弦定理计算出夹角C的度数。
例如，已知一个三角形的边长分别为3、4和5，我们可以使用余弦定理计算夹角C的度数：cosC = (3² + 4² - 5²) / (2 * 3 * 4)cosC = (9 + 16 - 25) / 24cosC = 0 / 24cosC = 0由于余弦值为0，在0到180度的范围内，夹角C只能是90度。
因此，该三角形的夹角C为90度。
4. 应用三：判断三角形类型余弦定理还可以用于判断三角形的类型。
余弦定理在三角形中的应用
余弦定理在三角形中的应用余弦定理是解决三角形中边长和角度之间关系的一种数学定理。
它可以用于计算三角形内各边的长度、角度的大小，以及三角形的面积等问题。
在本文中，我们将探讨余弦定理在三角形中的应用。
一、余弦定理的表达式余弦定理可以用下面的公式来表示：c² = a² + b² - 2ab*cosC其中，a、b、c分别表示三角形的三边的长度，C表示a和b所夹的角的大小。
二、根据已知条件求解未知量余弦定理可以帮助我们根据已知条件求解未知量。
例如，已知三角形的两边a和b的长度，以及这两边所夹的角C的大小，我们可以利用余弦定理来计算第三边c的长度。
具体的计算步骤如下：1. 根据已知条件，将已知的数值代入公式中：c² = a² + b² - 2ab*cosC2. 利用已知条件计算cosC的值，然后代入公式中。
3. 计算等式右边的数值。
4. 对等式右边进行开方运算，得到第三边c的长度。
通过这种方式，我们可以解决在三角形中已知两边和它们之间夹角的情况下，求解第三边的问题。
三、解决三角形的面积问题除了求解三角形的边长之外，余弦定理还可以应用于计算三角形的面积。
我们知道，三角形的面积可以根据两边和它们之间夹角的正弦值来计算。
利用余弦定理，我们可以将夹角C表示为a、b、c之间的函数，并进一步计算三角形的面积。
具体的计算步骤如下：1. 根据已知条件，利用余弦定理将夹角C表示为a、b、c之间的函数：cosC = (a² + b² - c²) / (2ab)2. 将cosC的值代入三角形面积的计算公式中：面积 = 1/2 * a * b * sinC3. 利用已知的a、b的数值和cosC的值计算三角形的面积。
通过这种方式，我们可以利用余弦定理解决包含三角形的面积计算的问题。
四、判断三角形的形状除了计算三角形的边长和面积之外，余弦定理还可以帮助我们判断三角形的形状。
三角形的余弦定理认识余弦定理的应用
三角形的余弦定理认识余弦定理的应用三角形是几何学中一个重要的概念，而在解决三角形相关问题的过程中，余弦定理是一个十分有效且广泛应用的工具。
本文将介绍余弦定理的定义及其应用，并通过实例进行详细解析。
余弦定理是一种关于三角形边长和角度之间的定量关系。
对于一个任意三角形ABC，假设它的三个边分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C，则余弦定理可以表示为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)其中，c为斜边长度，a和b分别是其它两个边长，C为斜边对应的内角。
应用余弦定理，我们可以解决一些涉及三角形边长和角度的问题。
下面通过实例来详细说明余弦定理的应用。
实例一：已知三角形两边长及夹角，求第三边长假设三角形ABC中，边AB长度为10cm，边AC长度为7cm，内角B为60度。
我们需要求出边BC的长度。
根据余弦定理，我们可以利用以下公式进行计算：BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(B)将已知条件带入计算，得到：BC^2 = 10^2 + 7^2 - 2 * 10 * 7 * cos(60°)BC^2 = 100 + 49 - 140 * 0.5BC^2 = 100 + 49 - 70 = 79因此，边BC的长度约为8.89cm。
实例二：已知三角形两边长及一个角度，求另外两个角度假设三角形DEF中，边DE长度为5cm，边DF长度为6cm，内角D为90度。
我们需要求出角度E和角度F的大小。
根据余弦定理，我们可以利用以下公式进行计算两个角的余弦值：cos(E) = (DE^2 + EF^2 - DF^2) / (2 * DE * EF)cos(F) = (DF^2 + DE^2 - EF^2) / (2 * DF * DE)将已知条件带入计算，得到：cos(E) = (5^2 + 6^2 - 6^2) / (2 * 5 * 6)cos(E) = 25 / 60 = 0.4167E = arccos(0.4167) ≈ 65.78°cos(F) = (6^2 + 5^2 - 6^2) / (2 * 6 * 5)cos(F) = 25 / 60 = 0.4167F = arccos(0.4167) ≈ 114.22°因此，角度E约为65.78度，角度F约为114.22度。
余弦定理 课件
(2)法一：由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B， 得 32＝a2＋(3 3)2－2a×3 3×cos 30°， ∴a2－9a＋18＝0，得 a＝3 或 6. 当 a＝3 时，A＝30°， ∴C＝120°. 当 a＝6 时，由正弦定理得 sin A＝asibn B＝6×3 12＝1. ∴A＝90°， ∴C＝60°.
cos
C＝
a2＋b2－c2 2ab
.
对余弦定理的理解 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构特征：“平方”、“夹角”、“余弦”． (3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与 其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形 中边与角的一种数量关系． (4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中 边角关系的互化．
[例 2] 在△ABC 中， (1)若 a＝2 3，b＝2 2，c＝ 6＋ 2，求 A，B，C； (2)若 b＝3，c＝3 3，B＝30°，求 A，C 和 a.
[思路点拨] 解答(1)可先利用余弦定理推论求得其中两 个角的余弦值，从而得出这两个角的大小，然后根据三 角形内角和定理可得第三个角；解答(2)可先由正弦定 理求出角C，然后再求其他的边和角，也可以由余弦定 理列出关于边长a的方程，首先求出边长a，再由正弦定 理求角A、角C.
(4 分)
即 b2＋c2＝[a2＋b2－c2＋4a2a2＋c2－b2]2. ∴b2＋c2＝a2 ∴△ABC 为直角三角形．
(8 分) (12 分)
法二：由正弦定理sina A＝sinb B＝sinc C＝2R，
R 为△ABC 外接圆的半径，将原式化为 R2sin2Bsin2C＝
R2sin Bsin Ccos Bcos C．
[精解详析] 根据正弦定理，由 sin C＝2 3sin B 可得 c＝2 3b，把它代入 a2－b2＝ 3bc 得 a2－b2＝6b2 即 a2＝7b2，结合余弦定理得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝b2＋2b1·22b2－3b7b2＝ 23， 又∵0°<A<180°，∴A＝30°.
余弦定理的变式及其应用举例
余弦定理的变式及其应用举例
余弦定理是几何学中最有名的定理之一，它定义了一个三角形三边之间的关系。
它可以定义为：在一个任意三角形ABC中，有c2=a2+b2-2*a*b*cos（C），其中
cos（C）表示C角的余弦，a和b分别表示A,B角的邻边长，c表示AB的边长。
余弦定理的变式和其应用有：
（1）余切定理：如果一个任意三角形中，tanC=a/b，则有b2=a2+c2-
2ac*tanC。
（2）余幂函数定理：任意三角形ABC中，有A=c2(a2+b2-c2)/4ab，其中A是
三角形ABC的面积。
（3）变形余弦定理：任意三角形ABC中，有2ab*cos C=a2+b2-c2。
余弦定理的应用非常广泛，比如在航海学、结构力学等领域，都能发挥其重要
作用。
例如：在航海学中，可以运用余弦定理解决“三角游览”的问题，即求出两个由给定的海拔和方位角确定的位置点之间的距离。
同样，余弦定理还可以用来求解在机械结构中外力施加的作用力大小和方向；以及用来估算在航海测量中所未测出的边长。
以上是余弦定理的变式及其应用举例。
总之，余弦定理是几何学中重要的定理，它有着广泛的应用，它不仅可以用来求解三角形的边长，还可以用来求解航海、力学等问题。
余弦定理-精品文档
余弦定理在其他数学问题中的运用
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总结词：实际应用
详细描述：余弦定理在解决实际问题中具有广泛的应用，如测量、定位、航海等问题。例如，通过测量两个物体之间的夹角和距离，可以利用余弦定理来计算物体的位置和距离。
余弦定理在解决实际问题中的运用
总结词
其他数学应用
详细描述
余弦定理在解决其他数学问题中也发挥了重要作用，如极坐标系、球面三角学等领域。例如，极坐标系中的余弦定理可以用来描述点的位置和方向，而在球面三角学中，余弦定理可以用来解决球面三角形的问题。
余弦定理在空间直线中的运用
证明平面与直线垂直
若平面$\alpha$内任一条直线$l$与平面$\beta$内的直线$m$垂直，则平面$\alpha$与平面$\b求两平面的夹角
设两平面的法向量分别为$\overset{\longrightarrow}{n_1}$与$\overset{\longrightarrow}{n_2}$，则夹角$\theta = \arccos\frac{\overset{\
运用余弦定理求解三角形角度大小时，需要注意使用合理的数据类型，如直角三角形可以使用勾股定理求解角度大小。
利用余弦定理求解三角形的角度大小
根据余弦定理，可以判断三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形。
在使用余弦定理判断三角形形状时，需要注意三角形中是否存在非零的边长，以及是否存在直角三角形或等腰三角形等特殊情况。
余弦定理的定义
1
余弦定理的发现和证明
2
3
余弦定理最早出现在中国古代的数学著作《九章算术》中，但未有证明。
18世纪初，欧拉和拉格朗日分别给出了余弦定理的证明，其中拉格朗日的证明最为著名，使用了三角函数和代数方法。
余弦定理及其应用
余弦定理及其应用余弦定理是初中数学中较为重要的一个定理，它通常用于求解三角形中某一个角的大小或者某一条边的长度。
本文将分别讲述余弦定理的公式及其推导过程，以及在实际应用中的一些案例。
一、余弦定理的公式余弦定理是在三角形中的任意一条边上，作高，将三角形分成两个直角三角形，然后利用勾股定理及几何证明，得到的著名公式。
其公式为：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$其中，$c$是三角形中的一条边，$a$和$b$是剩下的两条边，$C$是余弦定理中夹角$c$的对面角。
值得注意的是，当$C=90^\circ$时，余弦定理变为了勾股定理。
当$C$小于$90^\circ$时，$\cos C$为正数；当$C$大于$90^\circ$时，$\cos C$为负数。
这也意味着，当角度较小时，三角形中较长的一条边越长；当角度较大时，三角形中较长的一条边反而越短。
二、余弦定理的推导过程余弦定理的推导过程相对较为复杂，但从中可以体会数学证明的思路和方法。
下面简述一下余弦定理的推导过程。
（1）首先，我们将三角形分成两个直角三角形，并用勾股定理推导出$AC$的长度：$AC^2=AB^2-BC^2$（2）接着，我们利用勾股定理，求出$BD$的长度：$BD^2=AB^2-AE^2$（3）我们可以发现，$BD$与$AC$构成一个平行四边形，因此有$BD=AC$。
（4）从而得到：$BD^2=AC^2-AE^2$代入（2）式，可得：$AB^2-AE^2=AC^2-BC^2$化简后即为余弦定理：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$三、余弦定理在实际应用中的一些案例1.求解三角形中的某一个角余弦定理可用于求解三角形中的某一个角的大小。
如图所示，在$\triangle ABC$中，已知$c=7$，$a=4$，$b=6$，求$\angle C$的大小。
根据余弦定理，我们有：$7^2=4^2+6^2-2\times 4\times 6\cos C$化简后得：$\cos C=-\frac{1}{12}$根据余弦函数的定义，可知：$\cos C=\frac{\mathrm{adj}}{\mathrm{hyp}}=\frac{AB}{AC}$代入$\cos C=-\frac{1}{12}$即可得到$\angle C$的大小。
《正余弦定理的应用》课件
目录
Contents
• 正余弦定理的基本概念 • 正余弦定理的应用场景 • 正余弦定理的实际应用案例 • 正余弦定理的扩展应用 • 总结与展望
01 正余弦定理的基本概念
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形边长和对应角正弦值之间 的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其对应的角的正弦值的比等于其他两 边的比，即 a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R，其中a、b、c分别代表三角形的三 边，A、B、C分别代表与三边对应的角，R代表三角形的外接圆半径。
余弦定理的定义
总结词
余弦定理是三角形中另一个重要的定 理，它描述了三角形边长的平方和与 对应角的余弦值之间的关系。
详细描述
余弦定理是指在一个三角形中，任意 一边的平方和等于其他两边平方和减 去2倍的这两边与它们夹角的余弦的乘 积，即 a² = b² + c² - 2bc cosA。
正余弦定理的相互关系
总结词
正弦定理和余弦定理是相互关联的，它们可以互相推导。
详细描述
根据正弦定理，我们可以推导出余弦定理。例如，在△ABC中，由正弦定理可知 a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R ，则 a² = (2RsinA)² = 4R²sin²A，同理 b² = 4R²sin²B，c² = 4R²sin²C。将这三个等式代入余弦定理的公式中， 即可得到余弦定理的证明。反之亦然，也可以由余弦定理推导出正弦定理。
02 正余弦定理的应用场景
三角形的边角关系问题
总结词
解决三角形边角关系问题时，正余弦定理可以提供重要的数 学工具。
正弦定理、余弦定理的综合应用 课件
规律技巧 将复杂图形，分解为三角形，通过解三角形 解决问题，当三角形中的条件不够用时，要探索与其他三角 形的联系，当条件够用时，注意选择正弦定理，还是余弦定 理，必要时也可以列出方程(组)求解．
解 在△ABD中，由余弦定理，得 AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB， 设BD＝x，则142＝x2＋102－2×10xcos60°， 即x2－10x－96＝0. ∴x1＝16，x2＝－6(舍去)，即BD＝16. 在△BCD中，由正弦定理，得 sin∠BCCDB＝sin∠BDBCD. ∴BC＝BDsi·ns∠in∠BCCDDB＝1s6i·ns1in3350°°＝8 2.
解法2：由sin2A＝sin2B＋sin2C，利用正弦定理，得a2＝ b2＋c2，∴△ABC是直角三角形．又由sinA＝2sinBcosC，得
a＝2b·a2＋2ba2b－c2，即a2＝a2＋b2－c2. 即b2＝c2，∴b＝c，故△ABC是等腰三角形． 综上知，△ABC为等腰直角三角形．
规律技巧 判定三角形形状时，如果条件中给出了边和 角的关系式，转化等式时一般有以下两个思路：①先化为角 的关系式，再化简求值；②先化为边的关系式，再化简求值.
正弦定理、余弦定理的综合应用
解三角形问题的几种类型．
在三角形的六个元素中，要知道三个(其中至少有一个为
边)才能解该三角形．据此可按已知条件分以下几种情况
已知条件
应用定理
一般解法
一边和两角 (如a，B，C)
正弦定理
由A＋B＋C＝180°，求角 A；由正弦定理求出b与c， 在有解时只有一解
已知条件 应用定理
解 解法1：由sin2A＝sin2B＋sin2C，利用正弦定理，得 a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形，且A＝90°，∴B＋C＝ 90°，B＝90°－C，∴sinB＝cosC.由sinA＝2sinB·cosC，可得1 ＝2sin2B，∴sin2B＝12.∵B为锐角，∴sinB＝ 22.从而B＝45°， ∴C＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形．
余弦定理在生活中的应用
第1页，共22页。
余弦定理的着推导过程
1、向量的数量积：
a b a b cos
2、勾股定理：
A
a2 b2 c2
b
证明： AB AC CB
C
AB AB (AC CB)(AC CB)
c
B a
AC AC 2AC CB CB CB
2
2
2
AB AC CB
c 2 a 2 b2 2ab cos C
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余弦定理的推导过程
定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减
去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
a 2 b2 c 2 2bc cos A b2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b2 2ab cos C
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• （2）根据题意画出图形； • （3）将要求解的问题归结到一个或几个
三角形中，通过合理运用正弦定理、余 弦定理等有关知识建立数学模型，然后 正确求解，演算过程要简练，计算要准 确，最后作答.
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1.测量中余弦定理的应用
• 例1 某观测站在目标南偏西方向，从出发有一条南偏东走向 的公路，在处测得公路上与相距31千米的处有一人正沿此公路 向走去，走20千米到达，此时测得距离为千米，求此人所在处 距还有多少千米？
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• 综上，通过对以上例题的分析，要能正 确解答实际问题需：
（1）准确理解有关问题的陈述材料和应 用的背景；
（2）能够综合地，灵活地应用所学知识 去分析和解决带有实际意义的与生产、 生活、科学实验相结合的数学问题.
第20页，共22页。
小结：
定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减
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a2b22ac bo Cs
∴ c 2=a 2+b 2-2 a b c o s C
5
C 证明
几何法
余弦定理作为勾股定理
b
a
的推广，考虑借助勾股定
理来证明余弦定理。
Ac
B
当角C为锐角时
A
b
c
C
aD
B
当角C为钝角时
AB
6
证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和 BC=a, 作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosA
12(3)221317
2
22 4
BC 7 2
9
剖析 剖 析 定 理
已知a、b、c（三边），可以求什么？
a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB
b2 c2 a2 coAs
2bc coBs a2c2b2
2ac
c2=a2+b2-2abcosC coCsa2b2c2 2ab A 90 0a 2 b 2 c 2
A 9 0 0 a 2 b 2 c 2 A 9 0 0a 2 b 2 c 2
10
剖析 剖 析 定 理
能否把式子
a2b2c22bcco As
转化为角的关系式？
分析： 由 正 : 弦 a定 b理 c 2 R siA nsiB nsiC n
得:a2RsinA b2RsiB nc2RsiC n
应用：已知两边和一个夹角，求第三边．
8
隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程
技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山
脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即
线段BC的张角），最后通过计算求出山脚的长度BC。
已测的：ＡＢ＝１千米，
AＣ＝
3 2
千米
角Ａ＝６０Ｏ
求山脚ＢＣ的长度．
解：B2 C |A|2B |A|2 C 2 |A|A B|C cA os
sin2 600 3
11
4
剖析 剖 析 定 理
余弦定理在解三角形中的作用是什么？
（1）已知三边求三个 角；
（2）已知两边和它
cosA = b2 +c2 -a2 2bc
cosB= a2 +c2 -b2 2ac
cosC= a2 +b2 -c2 2ab
们的夹角，求第三 a2=b2+c2-2bccosA
b不变，角C进行变动
AAA AA AA
A
ccccc cbc bbb bb c b
B a CB a C
c2 = a2+b2 c2 ＞ a2+b2 c2 ＜ a2+b2
勾股定理仍成立吗？ 3
联想 是寻找解题思路的最佳途径
A
c b
c=∣AB∣
B aC
c2=
AB= AC+ CB
=AB AB
AB AB= (AC+CB) (AC+CB)
SSA?
余弦定理可解决的几类问题: (1)已知两边和它们的夹,解角三角形; SAS (2)已知三,边 解三角.形SSS
15
小结： 余弦定理
a2b2c22 bcco As coA s b2 c2 a2
2bc
b2a2c22acco Bs
coB s c2 a2 b2 2ac
c2a2b22 acbo Cs coC sa2 b2 c2
代a入 2b2c22bcoAs并化:简得
s2 i A n s2 B i n s2 C i n 2 sB i sn C i c n A os
练 习 : 求 s i n 2 7 0 0 s i n 2 5 0 0 s i n 7 0 0 s i n 5 0 0 的 值 .
解 : 原 式 s i n 2 7 0 0 s i n 2 5 0 0 2 s i n 7 0 0 s i n 5 0 0 c o s 6 0 0
2ab
应用： １、已知两条边和一个夹角，求第三条边。 ２、已知三条边，求三个角。判断三角形的形状。
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练习；（1）在 ABC中，已知 b= 4 3 ，c= 2 3 ， A=1200 ，求 a.
（2）在 ABC中，已知 a= 2 6 ，b= 2 2 ， c= 6 2 ，求 A、B、C 的值。
17
解：（1） a 2 = b 2 + c 2 －2 b c ·cos A=84
边和其他两个角.
b2=a2+c2-2accosB
c2=a2+b2-2abcosC
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例1、在△ABC中，已知 a 6,b2,c 31
求角A、Ｂ、Ｃ。
例２、在△ABC中，已知 a23,c62,B4O 5 求b及Ａ
例３、在△ABC中，a2 b2c2 ，那么Ａ是（ ）
Ａ、钝角
Ｂ、直角
Ｃ、锐角
Ｄ、不能确定
b A
C
a 2 C D 2 B D 2
(b sinA )2 (c b co sA )2
a b 2 s in 2 A c 2 b 2 c o s 2 A 2 b c c o s A
c
b 2 c2 2 b cco sA
D
B 同理有：b 2 a 2 c 2 2 a c c o sB
问题：
隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工 程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A 到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚 BC（即线段BC）的张角，最后通过计算求出山脚 的长度BC。
已知：AB、 AC、角Ａ (两条边、一个夹角)
1
余弦定理及其应用
2
看一看想一想
直角三角形中的边a、
c 2 a 2 b 2 2 a b c o s C
当然，对于钝角三角形来说，证明 类似，课后 自己完成。
7
由此可得：余弦定理
a2b2c22 bcco As b2a2c22acco Bs c2a2b22 acbo Cs
三角形任一边的平方等于其他两边平方的和 减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
那a2 b2c2呢?
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提炼：设a是最长的边，则
△ABC是钝角三角形 a2b2c2 △ABC是锐角三角形 a2b2c2
△ABC是直角三角形 a2b2c2
例4、 △ABC中，a3,b 7,c2 求B，并判断 △ABC的形状。
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正弦定理可解决的几类问题: (1)已知两角和任,一 解边 三角;形AAS,ASA (2)已知两边和其中一角 边,解 对三角形 .
算一算试试！ 4
证明
解析法
y
证明：以CB所在的直线为x轴，过C点
垂直于CB的直线为y轴，建立如图所
示的坐标系，则A、B、C三点的坐标
分别为：
x
C (0, 0) B (a , 0) A(bcosC,bsinC)
A 2 B ( b cC o a s )2 ( b sC i n 0 )2
b 2 c2 C o 2 a s cb C o a 2 s b 2 s2 i C n