余弦定理在实际生活中的应用

正、余弦定理在实际生活中的应用

江苏 李洪洋

正、余弦定理在测量、航海、物理、几何、天体运行等方面的应用十分广泛，解这类应用题需要我们吃透题意，对专业名词、术语要能正确理解，能将实际问题归结为数学问题.求解此类问题的大概步骤为：（1）准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、视角、象限角、方位角等；（2）根据题意画出图形；（3）将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后作答.

1.测量中正、余弦定理的应用

例1 某观测站C 在目标A 南偏西25︒方向，从A 出发有一条南偏东35︒走向的公路，在C 处测得公路上与C 相距31千米的B 处有一人正沿此公路向A 走去，走20千米到达D ，此时测得CD 距离为21千米，求此人所在D 处距A 还有多少千米？

分析：根据已知作出示意图，分析已知及所求，解CBD ∆，求角B .再解ABC ∆，求出AC ，再求出AB ，从而求出AD （即为所求）.

解：由图知，60CAD ∠=︒. 22222231202123cos 22312031BD BC CD B BC BD +-+-===⋅⨯⨯，

sin B =. 在ABC ∆中，sin 24sin BC B AC A ⋅==. 由余弦定理，得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅⋅.

即2223124224cos60AB AB =+-⋅⋅⋅︒.

整理，得2243850AB AB --=，解得35AB =或11AB =-（舍）.

故15AD AB BD =-=（千米）.

答：此人所在D 处距A 还有15千米.

评注：正、余弦定理的应用中，示意图起着关键的作用，“形”可为“数”指引方向，因此，只有正确作出示意图，方能合理应用正、余弦定理.

2.航海中正、余弦定理的应用

例2 在海岸A 处，发现北偏东45︒方向，距A 1海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75︒方向，距A 为2海里的C 处的缉私船奉命以/小时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30︒方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间？

分析：注意到最快追上走私船，且两船所用时间相

等，可画出示意图，需求CD 的方位角及由C 到D 所需

的航行时间.

解：设缉私船追上走私船所需时间为t 小时，则有CD =，10BD t =.

在ABC △中，∵1AB =，2AC =，

4575120BAC ∠=︒+︒=︒， A C D 31 21 20 35︒ 25︒ 东 北 45︒

75︒ 30︒ A C

D

B

根据余弦定理可得BC==.

根据正弦定理可得

2

sin120

sin

2

AC

ABC

BC

⨯

︒

∠===.

∴45

ABC

∠=︒，易知CB方向与正北方向垂直，从而9030120

CBD

∠=︒+︒=︒.

在BCD

△

中，根据正弦定理可得：

sin1

sin

2

BD CBD

BCD

CD

∠

∠===，∴30

BCD=︒

△，30

BDC

∠=︒

，∴BD BC

==

则有10t=

0.245

t==小时14.7

=分钟.

所以缉私船沿北偏东0

60方向，需14.7分钟才能追上走私船.

评注：认真分析问题的构成，三角形中边角关系的分析，可为解题的方向提供依据.明确方位角是应用的前提，此题边角关系较复杂要注意正余弦定理的联用.

3.航测中正、余弦定理的应用

例3飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔20250m，速度为180km/h，飞行员先看到山顶的俯角为'

1830

︒，经过120秒后又看到山顶的俯角为81︒，求山顶的海拔高度（精确到1m）.

分析：首先根据题意画出图形，如图，这样可在ABM

∆和Rt BMD

∆中解出山顶到航线的距离，然后再根据航线的海拔高度求得山顶的海拔高度.

解：设飞行员的两次观测点依次为A和B，山顶

为M，山顶到直线的距离为MD.

如图，在ABM

△中，由已知，得

1830'

A

∠=︒，99

ABM

∠=︒，

6230'

AMB

∠=︒.

又

120

1806

6060

AB=⨯=

⨯

（km）,

根据正弦定理，可得

6sin1830'

sin6230'

BM

︒

=

︒

，

进而求得

6sin1830'sin81

sin6230'

MD

︒︒

=

︒

，∴2120

MD≈（m）,

可得山顶的海拔高度为20250212018130

-=（m）.

评注：解题中要认真分析与问题有关的三角形，正确运用正、余弦定理有序地解相关的三角形，从而得到问题的答案.

4.炮兵观测中正、余弦定理的应用

例4 我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知6000

CD=

米，45

ACD

∠=︒，75

ADC

∠=︒，目标出现于地面点B处时，测得30

BCD

∠=︒，15

BDC

∠=︒（如图），求炮兵阵地到目标的距离（结果保留根号）.

A B D

M