几何基本图形与结论八年级(上)

八年级（上）几何基本图形及结论
基本图形一、蝶形（对顶三角形）
如图1，AB 、CD 交于O ，则：∠A+∠C=∠B+∠D ； 若∠A=∠D ，则∠C=∠B
基本图形二、
如图2，△ABC 中，AD 为高，AE 为角平分线， 则∠DAE =
1
2
（∠B-∠C ） 基本图形三、
(1)如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线相交于P 点，则∠P=_____________.
(2)如图，在△ABC 中，∠B 、∠ACB 的外角平分线相交于P 点，则∠P=_____________.
(3) 如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的外角平分线相交于P 点，则∠P=_____________.
基本图形四、“垂直且相等” （1）如图①、②，AC ⊥BC ，且AC=BC ，AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ，则ＡＤ－ＢＥ＝ＤＥ或
ＡＤ＋ＢＥ＝ＤＥ；
图1 图2
（2）如图③、④，AC ⊥BC ，且AC=BC ，BP ⊥MN 于P ，CQ ⊥MN 于Q ，过C 点向BP 作CD ⊥BP 于D ，则AP-BP=2PQ 或AP+BP=2PQ 。

图3 图4
O
B
D
A
P
(2)D C P B
A (1)P C
B
A
M
基本图形五、角平分线、垂直平分线
（1）AD 平分∠BAC ，OE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，则AD 垂直平分EF 。

（2）AE 平分∠BAC ，BF 平分∠ABC ，则CO 平分∠ACB 。

（3）三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心），这点到三角形三个顶点的距离相等。

（4）如图，CD 垂直平分AB ，则AC=BC ，进一步∠A=∠B ，即“垂直平分线” 得“等腰三角形”得“等边对等角”。

（5）如图，AC=BC ，CD ⊥A Ｂ，则AD=BD ，CD 平分∠ACB （三线合一）
（6）如图，AC ⊥BC ，AC=BC ，CD ⊥AB ，则AD=CD=BD 。

C
（1）如图，AC=BC ，∠ACB=90°，O 为斜边AB 的中点，D 为AC 上任一点，DO ⊥OE ，则 ①OD=OE ，②AD+BE=AC ，③△DOE 为等腰直角三角形；④S 四边形CDEO =
1
2
S △ACB
（2）如图，AC=BC ，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AG ⊥CE 于G ，则DF=DE ，若E 为AB 延长线
上一点，结论仍成立。

基本图形七、垂线段、距离、面积：
（1）如图，等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和等于腰上的高；（面积法）
（2）底边延长线上一点到两腰的距离之差等于一腰上的高。

（面积法）
基本图形八、Rt △、斜三角形中的特殊边角关系
（1）如图，∠ACB=90°，∠B=30°，CD ⊥AB 于D ，则AB=4AD ，BD=3AD ；
（2）等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则底角为__________________。

B
B
C
（1）△ABC 为等边三角形，AD=CE ，BF ⊥AE 于F ，则OF=
1
2
OB ；若OC ⊥BD ，则OB=2OA
（2）如图，B 、C 、D 三点共线，△ABC 、△ECD 均为等边三角形，连AD 、BE ，则 ①AD=BE ；②∠EOD=60°；③MN ∥BD ；④△MCN 为等边三角形；⑤OC 平分∠BOD ；
⑥OA+OC=OB ；⑦OE+OC=OD 。

基本图形十、平行线+角平分线构等腰三角形：
（1）如图，OB 平分∠ABC ，OC 平分∠ACB ，过O 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，则
①DE=BD+CE ；②△ADE 的周长=ＡＢ＋ＡＣ。

（２）如图，①OB 平分∠ABC ，②OC 平分∠AC Ｆ，③DE ∥BC ，将其中两个作为条件，可以推出第三个论断。

（3）如图，AD ∥ＢＣ，E 在CD 上，①AE 平分∠BAD ；②BE 平分∠ABC ；③AE ⊥BE ；
④E 为CD 中点；⑤AD+BC=AB ；以上任意两个作为条件可以推出其它三个结论。

（4）四边形AOBC 中，CM ⊥OA 于M ，现有：①∠1=∠2；②CA=CB ；③∠3+∠4=180°；
④OA+OB=2OM ，⑤OA-OB=2AM 其中任意两个作为条件，都可以得出另两个结论。

基本图形十一、平行线构造线段的倍分关系： （1）如图，AB=AC ，BD=CE ，DH ⊥BC 于H ，则①DF=EF ；②HF=
1
2
BC ；
（2）如图，AD 平分∠BAC ，M 为BC 中点，FM ∥AD ，则①CE=BF ；②AB+AC=2CE （倍长中线）
基本图形十二、平面直角坐标系中点P （a ，a ）的几何意义： 如图，在坐标系中，P （a ，a ），PB ⊥PA ，则OA+OB=________；OA-OB=__________.
A
三角形）
（1）正方形ABGE 中，∠DAC=45°，则CD=DE+BC ；反之，若CD=DE+BC ，则∠DAC=45°。

（2）如图，正方形ABGE 中，∠DAC=45°，则CD 、DE 、BC 间的关系为____________________.
（3）如图等边△ABC 中，AD=CE ，则BD=DE （平行+等腰 得等腰 构全等）
（4）D 为等边△ABC 中BC 边上一点，∠ADE=60°，CE 平分∠ACB 的外角，则AD=DE 。

（5）等边△ABD ，∠BCD=120°，则①AC 平分∠BCD ；②BC+CD=_______.
（6）如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，Ｄ为BC 中点，CE ⊥AD 交AB 于E ，则：
①∠ADC=∠EDB ；②DE+CE=AD 。

基本图形十四、轴对称的应用：
G
①泵站问题（AC+BC 最短） ②△ ③放马问题（最短路径）
基本图形十五、与中点、中线有关的问题：
（1）
如图，直角△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为中线，则CD=AD=BD （倍长中线）“直角三
角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”。

（2）如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AE 是△ABC 平分线，CD 是高，FG ∥AB 交BC 于G ，则： CE=CF=BG 。

基本图形十六、角平分线+垂线：
（1）已知AC=BC ，AC ⊥BC ，BD 为∠B 的平分线，AE ⊥BD 垂足为E 点，
求证BD=2AE.
（
2）如图，△ACB 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC ，
AE
B
PP'P''周长最短问题
E B
平分∠BAC ，BD ⊥AE ，垂足为D 点. （1）求证：CD=BD ； （2）求∠CDA 的大小.
（3）如图，△ACB 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC ，AE 平分∠BAC ，∠CDA=45°. 求证：AD ⊥BD.
基本图形十七、45°角构等腰直角三角形的方法：
1．如图，△ACB 为等腰直角三角形，AC ⊥BC ，AE ∥BC ，AF=AC ，AM 平分∠EAF ， （1）求证：∠AMC=45°；
（2）求证：AM ⊥MB 。

2．用一副三角板拼成如图所示的图形，其中∠BAD=90°，AB=AD ，∠DBE=30°, ∠DEB=90°
（1） 连接AE ，求∠AEB 的度数；
（2） 如图2，若将另一等腰直角三角板的45°角的顶点放在A 处，并绕A 点旋转，两
边分别交BE 于M ，BD 于N ，若BD=8，
EMN 的周长。

图1 图2
基本图形十九、——角平分线+线段垂直平分线
如图，点A为∠MON的角平分线上一点，过A任作一直线与∠MON的两边交于B、C。

P为BC 的中点，过P作BC的垂线交OA于D。

(1)∠MON=900，如图1，则∠BDC= ；
(2)∠MON=600，如图2，则∠BDC= ；
(3)∠MON=θ，如图3，则∠BDC= ，
图1
图2
图3。