第四章 环境规划与管理的数学基础
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5
总平均值 南方城市平均值 北方城市平均值
2003年水质状况
七大水系407个重点监测断面中，38.1％的断面满足Ⅰ ～
Ⅲ类水质要求，32.2％的断面属Ⅳ、Ⅴ类水质，29.7％的
断面属劣Ⅴ类水质。其中七大水系干流的118个国控断面 中，Ⅰ～Ⅲ类水质断面占 53.4 ％，Ⅳ、Ⅴ类水质断面占
37.3％，劣Ⅴ类水质断面占 9.3％。各水系干流水质好于
32
[例4-2]假设一个地区的 TSP来源于当地的三个工厂。若工厂 1 和工厂 2 燃煤的 TSP 排放因子为 95kg/t( 煤 ) ，工厂 3 的 TSP 排 放因子为85 kg/t(产品)。工厂3产量为250 000t(产品)/a，工厂 1和工厂2的燃煤量分别为400000t/a和300000t/a，为满足环境 质量要求，TSP最大允许排放量为17600000 t/a，试以最小的 治理费用达到环境目标。
29
(1) 线性规划的描述
用一组未知量(决策变量)表示规划的待定方案——每组未知 量的确定值代表了一个具体方案
对于规划的对象，存在若干限制条件——以未知量的线性等 式和不等式表示；
存在一个目标要求，由未知量的线性函数表示(目标函数)； 根据决策规则不同，要求目标函数实现最大值或最小值。
(2)函数表达式
28
线性规划
求代表决策问题的线性函数在线性不等式或等式 约束下达到最小(或最大)值的问题。是最基本也 是最重要的最优化技术。
常用来解决两类优化问题：
一是如何优化资源配置使产值最大或利润最高， 二是如何统筹安排以便消耗最少的资源或排放最少的污 染物。
线性规划问题的求解，最常用的算法是单纯形法。
158.4 105.8
15.6 12.4
辽河
太湖 滇池 巢湖 黄河 松花江 珠江
31.4
3.7 0.3 1.3 79.5 55.6 57.8
0.54
0.36 0.02 0.09 1.07 0.54 0.98
4473
8192 106 444 4842 3903 13193
498
177 5.5 4.9 707 1492 4723
23.3
31.6 2.4 3.7 25.6 16.3 87
58.3
49.15 4.4 7.4 111.2 66.1 211.8
6.65
13 1.09 2.37 15.84 9.3 28.6
三峡库区及 其上游
南水北调 合计
79.0
1.54
5300
4314
47.3
29.2
145.6
50.99 918.2
1992
0.063 0.055 0.519
1993
0.060 0.058 0.372
1994
0.047 0.040 0.368
1995
0.060 0.056 0.418
1996
0.066 0.053 0.316
1997
0.09 0.054 0.384
降水pH值
酸雨频率
6.6
8.5
6.6
8.8
6.9
4.1
例：单目标——规划区空气质量规划目标最优化
(1)决策变量X1、X2、X3、X4分别代表SO2、TSP、CO、NO 的浓度 (2)目标函数 SO2、TSP、CO、NO的权重分别为0.4，0.3，0.1，0.2
SO2、TSP、CO、NO的执行标准分别为B1，B2，B3，B4
构造目标函数：minZ=0.4X1/B1+0.3X2/B2+0.1X3/B3+0.2X4/B4 (3)约束条件 X1≤B1; X2≤B2; X3≤B3; X4≤B4; X≥0
1 n
（4-3）
(4)调和平均数
xH
n 1 1 1 L x1 x2 xn
n 1 i 1 x1
n
（4-4）
12
(5)中位数
样本数据依次排列(从大到小或者从小到大)居中间
位置的数即为中位数。
若数据个数为偶数，则中位数为正中两个数的平
均值。
只有当数据的分布呈正态分布时，中位数才代表
然误差还是系统误差造成的问题。
若是人为因素的偶然误差就应剔除，如果
没有足够的理由证实是偶然过失造成的时候， 应对数据进行统计处理，采用一定的检验方法 来决定取舍。 拉依达准则 格拉布斯准则
1.2.1、拉依达准则
1 s xk x n 1 k i
n
2
若可疑数据xp与样本数据之算术平均值的偏差的绝对值 大于3倍（2倍）的标准偏差，即：
a. 将一组数据由小 到大排列
b. 计算
x
、s 和统计量
xp x s
（4-13）
c. 根据给定的显著性水平和测定次数查λ的临界值 d. 对照判断： λ ≤ λ 应保留； λ ＞ λ
(α,n)
可疑值为正常值，
(α,n)可疑值为离群数据，应舍去 .
表4.1 格拉布斯检验临界值（Ta）表
例：10个实验室分析同一个样品，各实验室5 次的平均值分别为4.41、4.49、4.50、4.51、 4.64、4.75、4.81、4.95、5.01、5.39，检验 5.39是否离群数据。 （T9,0.05=2.110;T9,0.01=2.332;T10,0.05=2.176; T10,0.01=2.410) 经计算：T=2.11，查表得临界值T0.05=2.176 T=2.11＜T0.05=2.176 故5.39应保留。
n
14
样本方差
1 s xk x n 1 k i
2
n
n
2
（4-7）
样本标准差
1 s xk x n 1 k i
2
（4-8）
(3)变异系数
s C x
（4-9）
上述参数中，方差、标准差及变异系数都是以均值 x 为中心 的离散特征参数，尤其以方差的计算与应用最为普遍。
d p x p x 3s或2s
（4-12）
则应将xp从该组数据中剔除，至于选择3s还是
2s与显著性水平α有关，显著性水平α表示的是检验
出错的几率为α，或检验的可置信度为1－α。3s相 当于显著水平＝0.01，2s相当于显著水平＝0.05。
1.2. 2 、格拉布斯准则
格拉布斯(Grubbs)检验法具体方法：
支流水质。
6
7
1996—2003年我国耕地变化情况
亿亩 20.0 19.0 18.0 17.0 16.0 15.0
19.51 19.49 19.45
19.38
19.24 19.14
18.89 18.51
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
年
（二）数据特征
数据特征是对环境总体状况进行估计判断的基
50
4.36 154.9
373.6
8.01
57158
13207.4
335.3
全国比例
39%
63%
66%
48%
76%
68%
84%
图示法
城市二氧化硫年均值变化图
0.12 0.1
毫克/立方米
0.08 0.06 0.04 0.02 0 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999
15
3.分布形态特征数
(1)偏态系数：描述数据频率分布对称特征，反映数据 是对称分布或偏向某方向。 n
Cs
n 1 n 2
n
x
k 1
k
x
3
s3
（4-10）
(2)峰态系数：描述数据分布陡峭程度。
xk x n 2 2n 3 C gk 1 4 s n 1 n 2 (n 3)
（4-14） 算术平均误差
n
( x x)
i 1 i
2
（4-15） 标准误差
n
随机误差
系统误差
过失误差
25
四、数据的标准化处理
环境规划与管理中，常采用下面的公式进行标准化处理：
uij
xij x i si
（4-16）
xij i=1，2，3，…， 式中：uij—— xij标准化后对应的数据，（
第四章 环境规划与管理的
数学基础
1
主要内容
第一节 环境数据处理方法 第二节 最优化分析方法
第三节 常用决策分析方法
第四节 环境数学模型
2
第一节 环境数据处理方法
一、数据的表示方法和数据特征 （一）数据的表示方法
列表法
项目
SO2 Nox TSP
表1 某城市环境空气质量年平均值
1991
0.083 0.059 0.564
物理判别法
统计判别法
物理判别法就是根据人们对客观事物已有的认识，
判别由于外界干扰、人为误差等原因造成实测数据 偏离正常结果，在实验过程中随时判断，随时剔除。 统计判别法是给定一个置信概率，并确定一个置 信限，凡超过此限的误差，就认为它不属于随机误 差范围，将其视为异常数据剔除。
剔除异常数据实质上是区别异常数据由偶
w1 x1 w2 x2 L wn xn xw w1 w2 L wn
w x
i 1 n
i i
w
i 1
（4-2）
i
式中： wi—— 个体数据出现频数，或是因该个体对样 本贡献不同而取的不同的数值。
11
(3)几何平均数
xG
x1 x2 L xn x1 x2 L xn
础，是认识数据理论特性的基本出发点。
通常可分为：位置特征数、离散特征数和分布 形态特征数三类。
9
1.位置特征数 (1)算术平均数
x1 x2 L xn x n
样本个数，下同。
x
i 1
n
百度文库
i
n
（4-1）
• 式中：x1，x2，…，xn——样本个体数据，n为
10
(2)加权平均数
如果样本个体数据x1，x2，…，xn取值因频数不同或对 总体重要性有所差别, 则常采取加权平均方法。加权平 均数定义为： n
这组数据的中心趋向，近似于真值。
13
2.离散特征数
(1)级差(全距)
R max xk min xk
i k n i k n
（4-5）
(2)差方和、样本方差和样本标准差
差方和
2
s xk x
2 k i
n
x k n k） i 2 （4-6 xk n k i
目标函数：Max /Min Z = f (x)
约束变量：G (x) ≥ B （4—17） （4—18）
非负条件
x ≥ 0
其数学模型如下，其中式 (4-17) 称为目标函数；式 (4-18)称为约束条件。
max(min)Z c1 x1 c2 x2 L cn xn
a11 x1 a12 x2 L c1n xn 或 b1 a12 x1 a22 x2 L c2 n xn 或 b2 LLL a x a x L c x 或 b m mn n m1 1 m 2 2 x1 , x2 ,L , xn 0
n n
4
2 xk x 3(2n 3) g k 1 n n 1 n 2 (n 3) s4
2
（4-11）
式中：s——样本标准差
16
二、异常数据的剔除
判断和剔除异常数据是数据处理中的一项重
要任务，如果把这些数据简单地剔除，又可能忽略
了重要的实验信息。
在一些给定条件（约束条件）下，求所考察函数（目标函 数）在某种意义下的极值（极小或极大）问题——数学规
划法最优化。
27
和经典数学中的极值问题不同，因为环境规划问 题来源于实际，一般变量很多，目标函数十分复 杂。 目前，用于环境规划中的数学规划决策分析方法 主要有：
线性规划 非线性规划 动态规划
（4—19）
（4—20）
该模型使优化决策分析过程转化为在约束条件下使目标函数 Z取最大 值或最小值，即求极值的线性规划过程。 式 (4-16)右端的 b1， b2， …， bm是优化决策分析的约束条件，一般 是常数，满足约束条件的 x1，x2，…，xn 的任何组合，都是数学模 型的可行解，使目标函数Z最大或最小的可行解是模型的最优解。 31
m ； j=1 ， 2 ， 3 ， … ， n）为一批数据中第 i 个因子的第 j 个 数据，si、 x i 分别为第i个因子标准差和平均值。
26
第二节 最优化分析方法
在环境规划与管理中，常常需要采用最优化分析方法。
根据环境规划对象的具体特征和规划目标要求将决策问题 用一个目标函数和若干个约束条件来表示，求该函数的极 值。
6.6
8.6
6.9
3.2
6.3
16.9
5.6
28.8
3
各流域特征属性表
流域名称 流域面积 （平方公里） 人口 （亿） GDP （亿元） 水资源量 （亿吨） 废水量 （亿吨） COD排放量 （万吨） 氨氮排放量 （万吨）
海河 淮河
32.0 33.0
1.22 1.65
9674 7031
370 916
56.9 41.2
以上准则是以数据按正态分布为前提的， 当偏离正态分布, 特别是测量次数很少时，则 判断的可靠性就差。因此，对粗大误差除用剔
除准则外，更重要的是要提高工作人员的技术
水平和工作责任心。另外, 要保证测量条件稳
定，防止因环境条件剧烈变化而产生的突变影
响。
三、数据的误差分析
x
x
i 1
n
n
i
x
总平均值 南方城市平均值 北方城市平均值
2003年水质状况
七大水系407个重点监测断面中，38.1％的断面满足Ⅰ ～
Ⅲ类水质要求，32.2％的断面属Ⅳ、Ⅴ类水质，29.7％的
断面属劣Ⅴ类水质。其中七大水系干流的118个国控断面 中，Ⅰ～Ⅲ类水质断面占 53.4 ％，Ⅳ、Ⅴ类水质断面占
37.3％，劣Ⅴ类水质断面占 9.3％。各水系干流水质好于
32
[例4-2]假设一个地区的 TSP来源于当地的三个工厂。若工厂 1 和工厂 2 燃煤的 TSP 排放因子为 95kg/t( 煤 ) ，工厂 3 的 TSP 排 放因子为85 kg/t(产品)。工厂3产量为250 000t(产品)/a，工厂 1和工厂2的燃煤量分别为400000t/a和300000t/a，为满足环境 质量要求，TSP最大允许排放量为17600000 t/a，试以最小的 治理费用达到环境目标。
29
(1) 线性规划的描述
用一组未知量(决策变量)表示规划的待定方案——每组未知 量的确定值代表了一个具体方案
对于规划的对象，存在若干限制条件——以未知量的线性等 式和不等式表示；
存在一个目标要求，由未知量的线性函数表示(目标函数)； 根据决策规则不同，要求目标函数实现最大值或最小值。
(2)函数表达式
28
线性规划
求代表决策问题的线性函数在线性不等式或等式 约束下达到最小(或最大)值的问题。是最基本也 是最重要的最优化技术。
常用来解决两类优化问题：
一是如何优化资源配置使产值最大或利润最高， 二是如何统筹安排以便消耗最少的资源或排放最少的污 染物。
线性规划问题的求解，最常用的算法是单纯形法。
158.4 105.8
15.6 12.4
辽河
太湖 滇池 巢湖 黄河 松花江 珠江
31.4
3.7 0.3 1.3 79.5 55.6 57.8
0.54
0.36 0.02 0.09 1.07 0.54 0.98
4473
8192 106 444 4842 3903 13193
498
177 5.5 4.9 707 1492 4723
23.3
31.6 2.4 3.7 25.6 16.3 87
58.3
49.15 4.4 7.4 111.2 66.1 211.8
6.65
13 1.09 2.37 15.84 9.3 28.6
三峡库区及 其上游
南水北调 合计
79.0
1.54
5300
4314
47.3
29.2
145.6
50.99 918.2
1992
0.063 0.055 0.519
1993
0.060 0.058 0.372
1994
0.047 0.040 0.368
1995
0.060 0.056 0.418
1996
0.066 0.053 0.316
1997
0.09 0.054 0.384
降水pH值
酸雨频率
6.6
8.5
6.6
8.8
6.9
4.1
例：单目标——规划区空气质量规划目标最优化
(1)决策变量X1、X2、X3、X4分别代表SO2、TSP、CO、NO 的浓度 (2)目标函数 SO2、TSP、CO、NO的权重分别为0.4，0.3，0.1，0.2
SO2、TSP、CO、NO的执行标准分别为B1，B2，B3，B4
构造目标函数：minZ=0.4X1/B1+0.3X2/B2+0.1X3/B3+0.2X4/B4 (3)约束条件 X1≤B1; X2≤B2; X3≤B3; X4≤B4; X≥0
1 n
（4-3）
(4)调和平均数
xH
n 1 1 1 L x1 x2 xn
n 1 i 1 x1
n
（4-4）
12
(5)中位数
样本数据依次排列(从大到小或者从小到大)居中间
位置的数即为中位数。
若数据个数为偶数，则中位数为正中两个数的平
均值。
只有当数据的分布呈正态分布时，中位数才代表
然误差还是系统误差造成的问题。
若是人为因素的偶然误差就应剔除，如果
没有足够的理由证实是偶然过失造成的时候， 应对数据进行统计处理，采用一定的检验方法 来决定取舍。 拉依达准则 格拉布斯准则
1.2.1、拉依达准则
1 s xk x n 1 k i
n
2
若可疑数据xp与样本数据之算术平均值的偏差的绝对值 大于3倍（2倍）的标准偏差，即：
a. 将一组数据由小 到大排列
b. 计算
x
、s 和统计量
xp x s
（4-13）
c. 根据给定的显著性水平和测定次数查λ的临界值 d. 对照判断： λ ≤ λ 应保留； λ ＞ λ
(α,n)
可疑值为正常值，
(α,n)可疑值为离群数据，应舍去 .
表4.1 格拉布斯检验临界值（Ta）表
例：10个实验室分析同一个样品，各实验室5 次的平均值分别为4.41、4.49、4.50、4.51、 4.64、4.75、4.81、4.95、5.01、5.39，检验 5.39是否离群数据。 （T9,0.05=2.110;T9,0.01=2.332;T10,0.05=2.176; T10,0.01=2.410) 经计算：T=2.11，查表得临界值T0.05=2.176 T=2.11＜T0.05=2.176 故5.39应保留。
n
14
样本方差
1 s xk x n 1 k i
2
n
n
2
（4-7）
样本标准差
1 s xk x n 1 k i
2
（4-8）
(3)变异系数
s C x
（4-9）
上述参数中，方差、标准差及变异系数都是以均值 x 为中心 的离散特征参数，尤其以方差的计算与应用最为普遍。
d p x p x 3s或2s
（4-12）
则应将xp从该组数据中剔除，至于选择3s还是
2s与显著性水平α有关，显著性水平α表示的是检验
出错的几率为α，或检验的可置信度为1－α。3s相 当于显著水平＝0.01，2s相当于显著水平＝0.05。
1.2. 2 、格拉布斯准则
格拉布斯(Grubbs)检验法具体方法：
支流水质。
6
7
1996—2003年我国耕地变化情况
亿亩 20.0 19.0 18.0 17.0 16.0 15.0
19.51 19.49 19.45
19.38
19.24 19.14
18.89 18.51
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
年
（二）数据特征
数据特征是对环境总体状况进行估计判断的基
50
4.36 154.9
373.6
8.01
57158
13207.4
335.3
全国比例
39%
63%
66%
48%
76%
68%
84%
图示法
城市二氧化硫年均值变化图
0.12 0.1
毫克/立方米
0.08 0.06 0.04 0.02 0 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999
15
3.分布形态特征数
(1)偏态系数：描述数据频率分布对称特征，反映数据 是对称分布或偏向某方向。 n
Cs
n 1 n 2
n
x
k 1
k
x
3
s3
（4-10）
(2)峰态系数：描述数据分布陡峭程度。
xk x n 2 2n 3 C gk 1 4 s n 1 n 2 (n 3)
（4-14） 算术平均误差
n
( x x)
i 1 i
2
（4-15） 标准误差
n
随机误差
系统误差
过失误差
25
四、数据的标准化处理
环境规划与管理中，常采用下面的公式进行标准化处理：
uij
xij x i si
（4-16）
xij i=1，2，3，…， 式中：uij—— xij标准化后对应的数据，（
第四章 环境规划与管理的
数学基础
1
主要内容
第一节 环境数据处理方法 第二节 最优化分析方法
第三节 常用决策分析方法
第四节 环境数学模型
2
第一节 环境数据处理方法
一、数据的表示方法和数据特征 （一）数据的表示方法
列表法
项目
SO2 Nox TSP
表1 某城市环境空气质量年平均值
1991
0.083 0.059 0.564
物理判别法
统计判别法
物理判别法就是根据人们对客观事物已有的认识，
判别由于外界干扰、人为误差等原因造成实测数据 偏离正常结果，在实验过程中随时判断，随时剔除。 统计判别法是给定一个置信概率，并确定一个置 信限，凡超过此限的误差，就认为它不属于随机误 差范围，将其视为异常数据剔除。
剔除异常数据实质上是区别异常数据由偶
w1 x1 w2 x2 L wn xn xw w1 w2 L wn
w x
i 1 n
i i
w
i 1
（4-2）
i
式中： wi—— 个体数据出现频数，或是因该个体对样 本贡献不同而取的不同的数值。
11
(3)几何平均数
xG
x1 x2 L xn x1 x2 L xn
础，是认识数据理论特性的基本出发点。
通常可分为：位置特征数、离散特征数和分布 形态特征数三类。
9
1.位置特征数 (1)算术平均数
x1 x2 L xn x n
样本个数，下同。
x
i 1
n
百度文库
i
n
（4-1）
• 式中：x1，x2，…，xn——样本个体数据，n为
10
(2)加权平均数
如果样本个体数据x1，x2，…，xn取值因频数不同或对 总体重要性有所差别, 则常采取加权平均方法。加权平 均数定义为： n
这组数据的中心趋向，近似于真值。
13
2.离散特征数
(1)级差(全距)
R max xk min xk
i k n i k n
（4-5）
(2)差方和、样本方差和样本标准差
差方和
2
s xk x
2 k i
n
x k n k） i 2 （4-6 xk n k i
目标函数：Max /Min Z = f (x)
约束变量：G (x) ≥ B （4—17） （4—18）
非负条件
x ≥ 0
其数学模型如下，其中式 (4-17) 称为目标函数；式 (4-18)称为约束条件。
max(min)Z c1 x1 c2 x2 L cn xn
a11 x1 a12 x2 L c1n xn 或 b1 a12 x1 a22 x2 L c2 n xn 或 b2 LLL a x a x L c x 或 b m mn n m1 1 m 2 2 x1 , x2 ,L , xn 0
n n
4
2 xk x 3(2n 3) g k 1 n n 1 n 2 (n 3) s4
2
（4-11）
式中：s——样本标准差
16
二、异常数据的剔除
判断和剔除异常数据是数据处理中的一项重
要任务，如果把这些数据简单地剔除，又可能忽略
了重要的实验信息。
在一些给定条件（约束条件）下，求所考察函数（目标函 数）在某种意义下的极值（极小或极大）问题——数学规
划法最优化。
27
和经典数学中的极值问题不同，因为环境规划问 题来源于实际，一般变量很多，目标函数十分复 杂。 目前，用于环境规划中的数学规划决策分析方法 主要有：
线性规划 非线性规划 动态规划
（4—19）
（4—20）
该模型使优化决策分析过程转化为在约束条件下使目标函数 Z取最大 值或最小值，即求极值的线性规划过程。 式 (4-16)右端的 b1， b2， …， bm是优化决策分析的约束条件，一般 是常数，满足约束条件的 x1，x2，…，xn 的任何组合，都是数学模 型的可行解，使目标函数Z最大或最小的可行解是模型的最优解。 31
m ； j=1 ， 2 ， 3 ， … ， n）为一批数据中第 i 个因子的第 j 个 数据，si、 x i 分别为第i个因子标准差和平均值。
26
第二节 最优化分析方法
在环境规划与管理中，常常需要采用最优化分析方法。
根据环境规划对象的具体特征和规划目标要求将决策问题 用一个目标函数和若干个约束条件来表示，求该函数的极 值。
6.6
8.6
6.9
3.2
6.3
16.9
5.6
28.8
3
各流域特征属性表
流域名称 流域面积 （平方公里） 人口 （亿） GDP （亿元） 水资源量 （亿吨） 废水量 （亿吨） COD排放量 （万吨） 氨氮排放量 （万吨）
海河 淮河
32.0 33.0
1.22 1.65
9674 7031
370 916
56.9 41.2
以上准则是以数据按正态分布为前提的， 当偏离正态分布, 特别是测量次数很少时，则 判断的可靠性就差。因此，对粗大误差除用剔
除准则外，更重要的是要提高工作人员的技术
水平和工作责任心。另外, 要保证测量条件稳
定，防止因环境条件剧烈变化而产生的突变影
响。
三、数据的误差分析
x
x
i 1
n
n
i
x