磁单极子存在时的Maxwell方程组的初边值问题_王治蓉

（ 2）
（ 7）
（ 3） （ 4）
方程组（ 1） 中第三与第四式在磁荷存在时仍然成立． 因此， 磁单极子存在时， 得到一组新的 Maxwell 方程组为
收稿日期： 2012 － 10 － 28
( ) ( )
( (
) )
基金项目： 国家自然科学基金（ 61173121 ） 、 高校博士点基金（ 20095134110001 ） 和四川教育厅重点项目（ 12ZA136 ） 资助项目 * 通信作者简介： 杨丕文（ 1951 —） ， E － mail： ypwen1@ sina． com 男， 教授， 主要从事函数论与偏微分方程的研究，
3
1
（ 11 ）
x） = 记 ω（ t ，
f i （ t， x） e i ， 并称其为向量函数． ∑ i =1
x） | | x | ＜ 1 － t， 0 ＜ t ＜ 1｝ ， 记 Ω = ｛ （ t， 即 Ω 是空 4 0， 0， 0） ， 间 Ｒ 中的一个顶点在 （ 1 ， 而底在超平面 t = 0 上的单位球 B3 的锥形区域． 考虑方程 （ 11 ） 的 以下边值问题． 问题 F 求方程（ 11 ） 在区域 Ω 上的解 ψ + iΦ， 使 ψ， Φ ∈ C（ 珚 Ω） ， x ） = f2 e0 + i f3 e1 ， （ φ2 e 0 + i φ3 e 1 ） （ 0 ， （ φ e + i φ3 e 1 ） （ 0 ， x ） = g2 e0 + i g3 e1 ， （ 12 ） t 2 0 0， x2 ， x3 ） = f1 （ x2 ， x3 ） ， φ1 （ 0 ， 0， x2 ， x3 ） = g1 （ x2 ， x3 ） ， （ 13 ） φ （ 0， t 1 x ） = τ（ x ） ， x ∈ B3 ， （ 14 ） ψ1 （ 0 ， κ Ｒe（ x2 e0 － ix3 e1 ） ［ 0， x2 ， x3 ） e0 + ψ2 （ 0 ， iψ3 （ 0 ， 0， x2 ， x3 ） e1］ = r（ x2 ， x3 ） e0 ，
1］ 方程组（ 1 ） 的 4 个方程表示的物理意义在文献［ 中有详细的解释． 此方程组表明自然界中存在着作 为场源的电荷和电流， 不存在磁荷与磁流， 即磁单 ． 极子不存在 理论和实验却说明磁单极子存在， 国 内外都有一些关于磁单极子的研究
［2 － 9 ］
（ 6）
．
如果磁单极子存在， 设磁荷密度为 g0 ， 磁流密 K ， ， 度为 与处理电荷的方法类似 磁流密度 K 与磁 荷密度 g0 满足连续性方程 g0 = 0． ·K + t 方程组（ 1 ） 中的第一与第二式可改写为 ·B = g0 ， × E + B = － K． t
2 － △ ） （ ψ + i Φ） = t
f2 ， f3 ∈ C 4 （ B 3 ） ， g2 ， g3 ∈ C3 （ B3 ） ， f1 ∈ C 3 （ B 2 ） ， 数， g1 ∈ C2 （ B2 ） ， r （ x2 ， x3 ） ∈ C α （ Γ ） ， 0 τ ∈ C （ B3 ） ， ＜ α ＜ 1， κ 是一个整数． κ 称为问题 F 的指标． e + ） （ ψ + iΦ） = 0 在 t 0 上述问题 F 中的初边值条件下的解 1 ） 当 κ ≥ 0 时，
i =1
∫
g1 （ x' x' 2， 3） t2 － η2 槡
dV －
η≤ t
∫ dξ ×
0
20
2 2
四川师范大学学报（ 自然科学版）
第 37 卷
－2κ －1
（
∫
0， x' x' φ + φ ） （ t － ξ， 2， 3） x1 x2 2 x1 x3 3
2 2 ξ －η 槡
（ x2 e0 － i x3 e1 ） dV］ ，
η≤ξ 2
∫
B2
x' ω （ 0， 2 + ix' 3） ） x1 1 1 dV + × e0 － （ x' πi 2 e0 + ix' 3 e1 ） （ x2 e0 － i x3 e1 ） （
2 3 2 0
η = （ x' 2 － x2 ） x） = － ψ（ t， i T3 （ 其中
第1 期
王治蓉， 等： 磁单极子存在时的 Maxwell 方程组的初边值问题
19
2 2 e2 1 = e2 = e3 = e0 ， e1 e2 = － e2 e1 = － ie3 ， e2 e3 = － e3 e2 = － ie1 ， e3 e1 = － e1 e3 = － ie2 ． e1 ， e2 ， e3 为基元生成的实线性空间 Q = ｛ q 称以 e0 ， = te0 + x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 | t， x1 ， x2 ， x3 ∈ Ｒ｝ 为拟四 2 2 记 | q | = （ | t | +| x1 | + 元数空间． 若 q ∈ Q，
2014 年 1 月 第 37 卷 第 1 期
四川师范大学学报（ 自然科学版） Journal of Sichuan Normal University（ Natural Science）
Jan． ， 2014 Vol． 37 ， No． 1
磁单极子存在时的 Maxwell 方程组的初边值问题
1 1* 2 王治蓉 ， 杨丕文 ， 李又超 （ 1． 四川师范大学 数学与软件科学学院 ，四川 成都 610066 ； 2． 东方电气集团 东方电机有限公司，四川 德阳 618000 ）
义在 G 上的已知向量函数和数量函数． 方程（ 10 ） 等 价于下面的方程组 ·Ψ = 0 ， + × = － K， t ψ Φ ·Φ = ρ， t Φ － × ψ = － J．
| x2 | 2 +| x3 | 2 ） 2 ． 将 Ｒ4 中的元简记为（ t， x） ， 其中， 4 x = （ x1 ， x2 ， x3 ） ． 称 f： Ｒ → Q， f（ t， x ） = f0 （ t ， x ） e0 + f1 （ t ， x ） e1 + f2 （ t ， x ） e2 + f3 （ t ， x） e3 为拟四元数函数，
2 x3 ） ∈ Г = ｛ x2 （ 15 ） （ x2 ， 2 + x3 = 1 ｝ ， fi ， gi （ i = 1， 2， 3） ， r （ x2 ， x3 ） 均为实值函 其中， τ（ x） ，
引入一阶微分算子 D = e0 + e + e + e = e0 + ， t x1 1 x2 2 x3 3 t 珚 D = e0 － e － e － e = e0 － ． t x1 1 x2 2 x3 3 t 2 2 2 2 2 D珚 D = （ 2 － 2 － 2 － 显然， 2 ） e0 = （ 2 － t x1 x2 x3 t △3 ） e 0 ， 而 和 △3 分别为三维梯度算子和 Laplace ． 算子 12］ 在文献［ 中讨论了某些一阶双曲方程组的 13］ 初边值问题， 用类似的方法， 在文献［ 中讨论了 Maxwell 方程组 （ 6 ） 的初边值问题， 12］ 而在文献［ Maxwell 方程组 （ 6 ） 可表 中引入了拟四元数空间后， 示为 D（ ψ + iΦ） = if2 ， （ 8） 而方程组（ 7 ） 可表示为 D（ ψ + iΦ） = f1 + if2 ， （ 9） 而方程组 （ 7 ） 是磁单极子存在时的 Maxwell 方 程 下面就讨论此方程组的初边值问题． 为了简化 组， 计算， 先讨论方程 （ e0 + ） （ ψ + iΦ） = － K + i（ ρ － J） t 的初边值问题， 再讨论方程（ e0 + ） （ ψ + iΦ） = t g0 － K + i（ ρ － J） 的初边值问题．
Maxwell 方程组是电磁理论的核心， 描述了宏 观电磁现象， 方程组的微分形式为 ·B = 0 ， B + × E = 0， t ·D = ρ， D － × H = － J， t
（ 1）
·B = g0 ， t B + × E = － K， （ 5） ·D = ρ， t D － × H = － J． E = Φ， H = Ψ， Maxwell 方程组 设 C = 1， ε0 = μ0 = 1 ， （ 1 ） 与方程组（ 5 ） 即可简化为［10 － 11］ ·ψ = 0 ， + × = 0， t ψ Φ ·Φ = ρ， t Φ － × ψ = － J； ·ψ = g0 ， t ψ + × Φ = － K， ·Φ = ρ， t Φ － × ψ = － J． ［12 ］ 引入拟四元数空间 ， 即记二阶矩阵 1 0 1 0 e0 = ， e1 = ， 0 1 0 －1 0 1 0 i e2 = ， e3 = ， 1 0 －i 0 则有
［13 ］ 引理 1
方程（
3
x） = 有解 ψ + iΦ， Φ（ t， φi = 1 t 1 1 ［ 4 π t t
i
φi e i ， 其中 ∑ i =1
2 方程 （
e + ） （ ψ + iΦ） = － K + i（ ρ － t 0 J） 的初边值问题
x） φ1 （ t，
∫
| ζ －x| = t
2
Φ（ 0 ， ζ ） ） + ω（ x ） ， t T3 （
e － ） 得 t 0
（ Φ（ 0 ， ζ） ） = t 1 1 － ） （ Φ（ 0 ， （ ζ ζ） ） dV ζ ， 4π Ω r（ ζ， x） t ω（ x） = ω1 + （ ω2 e0 + iω3 e1 ） e2 ， （
（ e0 + ） （ ψ + iΦ） = － K + i（ ρ － J） ，（ 10 ） t
3 3
C（ t， x2 ， x3 ） =
1 ［ 2 π t
∫
f1 （ x' x' 2， 3） t2 － η2 槡
t
dV +
η≤ t
K = 其中，
J = ∑ ki ei ，
i =1
x） 分别是定 ∑ j i e i 和 ρ（ t，
摘要： 磁单极子的概念被狄拉克提出后 ， 就一直被关注， 但一直都没有发现其存在的证据 ， 最近， 一些物 Maxwell 方程就会发生变 理学家在动量空间及自旋冰材料中找到其存在的确切证据 ． 当磁单极子存在时， 化． 用复分析与四元数分析的方法 ， 研究了磁单极子存在时的 Maxwell 方程组的初边值问题， 获得了不同情 况下问题的可解条件和通解 ． 进一步完善用复分析与四元数分析的方法研究双曲型方程的边值问题的理 论， 并且对物理学中磁单极子存在时的电磁研究有一定的应用价值 ． 关键词： 拟四元数代数； 磁单极子； Maxwell 方程组； 初边值问题 中图分类号： O175． 2 文献标志码： A 文章编号： 1001 － 8395 （ 2014 ） 01 － 0018 － 07 doi： 10． 3969 / j． issn． 1001 － 8395． 2014． 01． 004
f i （ ζ） dS +
4 设 G 是 Ｒ 中的一个区域， 考虑 G 上关于 （ ψ + iΦ） 的方程
， i = 2， 3； ∫ g （ ζ） dS］ =－ ∫ （ x， x ）， φ + φ ） dx + C（ t， x x
| ζ －x| = t x1 0 2 3 1 2 3 2 3
t 0
2
+ （ x' 3 －来自百度文库x3 ） ，
2
（ x' e ∫ r' （ x' － ix' ） / ［
Γ
+ ix' 3 e1 ）
－κ
［ （ x' 2 e0 + （ 19 ）
x） dξ － ∫ （ × Φ） （ ξ，
ix' ］ dζ． 3 e 1 ） － （ x 2 e 0 － i x 3 e 1） ］ 对方程（ 10 ） 两边作运算 （