求变力做功的六种方法

求变力做功的六种方法

都匀市民族中学：王方喜

在高中阶段求变力做功问题，既是学生学习和掌握的难点，也是教师教学的难点。本文举例说明了在高中阶段求变力做功的常用方法，比如微元累积（求和）法、平均力等效法、功率的表达式Pt

W 、F-x图像、用动能定理、等效代换法等来求变力做功。

一、运用微元积累(求和)法求变力做功

求変力做功还可以用微元累积法，把整个过程分成极短的很多段，在极短的每一段里，力可以看成是恒力，则可用功的公式求每一段元功，再求每一小段上做的元功的代数和。由此可知，求摩擦力和阻力做功，我们可以用力乘以路程来计算。用微元累积法的关键是如何选择恰当的微元，如何对微元作恰当的物理和数学处理，微元累积法对数学知识的要求比较高。

例1

如图1-1所示，某人用力Ｆ转动半径为Ｒ的转盘，力Ｆ的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周该力做多少功．

图1-1

【分析与解答】在转动转盘一周过程中，力Ｆ的方向时刻变化，但每一瞬时力Ｆ总是与该瞬时的速度同向（切线方向），即Ｆ在每瞬时与转盘转过的极小位移Δｓ同向．这样，无数瞬时的极小位移Δｓ１，Δｓ２，Δｓ３…Δｓｎ都与当时的Ｆ方向同向．因而在转动一周过程中，力Ｆ做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和．即

Ｗ＝ＦΔｓ１＋ＦΔｓ２＋…ＦΔｓｎ

＝Ｆ（Δｓ１＋Δｓ２＋Δｓ３＋…Δｓｎ）

＝Ｆ2πＲ

【总结】

变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时，可把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用Ｗ＝ＦLcosθ计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和。

【检测题1-1】

如图1-2所示，有一台小型石磨，某人用大小恒为F、方向始终与磨杆垂直

的力推磨，设施力点到固定转轴的距离为L，在使磨转动一周的过程中，推力

做了多少功

图1-2【检测题1-2】

小明将篮球以10 m/s的初速度，与水平方向成30°角斜向上抛出，被篮球场内对面的小虎接到，小明的抛球点和小虎的接球点离地面的高度都为1.8 m．由于空气阻力的存在，篮球被小虎接到时的速度是6 m/s.已知篮球的质量m＝0.6 kg，g取10 m/s2.求：

(1)全过程中篮球克服空气阻力做的功；

(2)如果空气阻力恒为5 N，篮球在空中飞行的路程．

二、运用平均力等效法求变力做功

当力的方向不变，而大小随位移线性．．

变化时(即Ｆ＝ｋx ＋ｂ)，可先求出力的算术平均值2

2

1

F F F +=，再把平均值当成恒力，用功的计算式求解。用平均值求变力做功的关键是先判断変力F 与位移x 是否成线性关系。

例2.

要把长为l 的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E 0，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k 。问此钉子全部进入木板需要打击几次 【分析和解答】

在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度

成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功。

钉子在整个过程中受到的平均阻力为：

F kl kl

=

+=022

钉子克服阻力做的功为：

W Fl kl F ==

12

2

设全过程共打击n 次，则给予钉子的总能量：

E nE kl 总==

0212

所以n kl E =2

2

【检测题2】

某人用竖直向上的力匀速提起长为Ｌ、质量为ｍ的置于地面上的铁链，求将铁链从提起到刚提离地面时，提力所做的功．如图2所示．

图2

【分析与解答】

铁链被提升过程中所需提力方向不变，大小随离地高度均匀地从0增大到ｍｇ．平均提力＝0＋ｍｇ／2＝（1／2）ｍｇ，提力通过的位移为Ｌ，因此，提力所做的功为

Ｗ＝·L ＝mgL/2．

【说明】

此题也可将铁链质量集中于其重心，从提起到刚离开地面，铁链重心上升L/2，运用功能原理求解． 特点：变力与位移成线性关系时，才可用平均力等效变力用公式Ｗ＝ＦLcos θ计算功．

三、运用Pt W =求变力做功

涉及到机车的启动、吊车吊物体等问题，如果在某个过程中保持功率P 恒定，随着机车或物体速度的改变，牵引力也改变，要求该过程中牵引力的功，可以通过Pt W =求変力做功。

例3

质量为5000kg 的汽车，在平直公路上以60kW 的恒定功率从静止开始启动，速度达到24m/s 的最大速度后，立即关闭发动机，汽车从启动到最后停下通过的总位移为1200m.运动过程中汽车所受的阻力不变.求汽车加速运动的时间.

【分析和解答】

牵引力是変力，该过程中保持功率P 恒定，牵引力的功可以通过Pt W =来求。汽车加速运动的时间为t ，由动能定理得： P t +(– F f · s ) = 0 汽车达到最大速度时，牵引力和阻力大小相等，则m f m

v F Fv P ⋅== 即m

f v P

F =

可求得汽车加速运动的时间为s s v s P

s F t m f 5024

1200

1===⋅=

【检测题3】

【题目】

质量为4000kg 的汽车，由静止开始以恒定的功率前进，它经100/3 s 的时间前进425m ，这时候它达到最大速度15m/s 。假设汽车在前进中所受阻力不变，求阻力为多大。

【分析和解答】

汽车在运动过程中功率恒定，速度增加，所以牵引力不断减小，当减小到与阻力相等时速度达到最大值。汽车所受的阻力不变，牵引力是变力，牵引力所做的功不能用功的公式直接计算。由于汽车的功率恒定，汽车功率可用P=F v 求，速度最大时牵引力和阻力相等，故P=F v m =f v m ，所以汽车的牵引力做的功为W 汽车=Pt=f v m t 根据动能定理有：

W 汽车 + (-fs) = m v m 2

/2，即fv m t － fs = m v m 2

/2 代入数值解得： f=6000N 。

【总结】

变力做功的问题是一教学难点，在上述实例中，从不同的角度、用不同的方法阐述了求解变力做功的问题．在教学中，通过对变力做功问题的归类讨论，有利于提高学生灵活运用所学知识解决实际问题的能力，有利于培养学生的创造性思维，开阔学生解题的思路．

四、运用F -x 图像中的面积求变力做功

某些求変力做功的问题，如果能够画出変力F 与位移x 的图像，则F-x 图像中与x 轴所围的面积表示该过程中変力F 做的功。运用F-x 图像中的面积求变力做功的关键是先表示出変力F 与位移x 的函数

关系，再在画出F-x 图像。

例4：

用铁锤将一铁钉击入木块，设阻力与钉子进入木板的深度成正比， 每次击钉时锤子对钉子做的功相同，已知第一次击后钉子进入木板1cm ，则第二次击钉子进入木板的深度为多少

【分析和解答】

铁锤每次做功都是用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，F=kx ，以F 为纵坐标，F 方向上的位移x 为横坐标，作出F －x 图象，如图4-1，函数线与x 轴所夹阴影部分面积的值等于F 对铁钉做的功.由于两次做功相等，故有：S 1=S 2(面积) 即：

21kx 12=2

1

k(x 2+x 1)(x 2－x 1) 得 cm x 22=

所以第二次击钉子进入木板的深度为：

cm x x x )12(12-=-=∆

【检测题4】

放在地面上的木块与一劲度系数k N m =200/的轻弹簧相连。现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动x m 102=.时，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了x m 204=.的位移，求上述过程中拉力所做的功。 【分析和解答】

由题意作出F x -图象如图4-2所示，在木块运动之前，弹簧弹力随弹簧伸长量的变化是线性关系，木块缓慢移动时弹簧弹力不变，图线与横轴所围梯形面积即为拉力所做的功。即

图4-1

1

2

kx kx