高中必修第二册数学《10.2 事件的相互独立性》获奖说课教案教学设计
【新教材教案】10.2 事件的相互独立性 教学设计(2)-人教A版高中数学必修第二册
【新教材】10.2 事件的相互独立性教学设计（人教A版）事件的相互独立性是在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，及对应的概率的计算.课程目标1．理解两个事件相互独立的概念．2．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．3. 通过对实例的分析，会进行简单的应用.数学学科素养1.数学抽象：两个事件相互独立的概念．2.数学运算：与事件独立有关的概念的计算.重点：独立事件同时发生的概率．难点：有关独立事件发生的概率计算教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学有放回地抽取，事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“最后一名同学抽到中将奖券”.事件A的发生会影响事件B发生的概率吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本246-249页，思考并完成以下问题1. 满足什么条件两个事件是相互独立的？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究事件A 与B 相互独立对任意两个事件A 与B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )成立，则称事件A 与事件B 相互独立(mutually independent)，简称为独立．注意（1）事件A 与B 是相互独立的，那么A 与B̅， A 与B ， A 与B ̅也是否相互独立. （2）相互独立事件同时发生的概率：P (AB )＝P (A )P (B ).四、典例分析、举一反三题型一 相互独立事件的判断例1一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A =“第一次摸出球的标号小于3”，事件B =“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A 与事件B 是否相互独立？【答案】不独立【解析】 因为样本空间(){}{},,1,2,3,4,m n m n m n Ω=∈≠且()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4A =()()()()()(){}1,2,2,1,3,1,3,2,4,1,4,2B =所以()()61122P A P B ===,()21126P AB == 此时()()()P AB P A P B ≠⋅因此,事件A 与事件B 不独立.解题技巧（独立事件的判断）对于事件A ，B ，在一次试验中，A ，B 如果不能同时发生，则称A ，B 互斥，一次试验中，如果A ，B 两个事件互斥且A ，B 中必然有一个发生，则称A ，B 对立，显然A ∪A 为一个必然事件．A ，B 互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．跟踪训练一1. 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设A ＝“抽到K”，B ＝“抽到红牌”，C ＝“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？(1)A 与B ；(2)C 与A .【答案】见解析.【解析】 (1)由于事件A 为“抽到K”，事件B 为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃K 或方块K ，即有可能抽到K ，故事件A ，B 有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事件．以下考虑它们是否为相互独立事件：抽到K 的概率为P (A )＝452＝113抽到红牌的概率为P (B )＝2652＝12，故P (A )P (B )＝113×12＝126， 事件AB 为“既抽到K 又抽到红牌”，即“抽到红桃K 或方块K”，故P (AB )＝252＝126，从而有P (A )P (B )＝P (AB )，因此A 与B 是相互独立事件．(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张．抽到K 就不可能抽到J ，抽到J 就不可能抽到K ，故事件C 与事件A 不可能同时发生，A 与C 互斥．由于P (A )＝113≠0.P (C )＝113≠0，而P (AC )＝0，所以A 与C 不是相互独立事件，又抽不到K 不一定抽到J ，故A 与C 并非对立事件.题型二 相互独立事件同时发生的概率例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：（1）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶；（4）至少有一人中靶.【答案】（1）0.72 （2）0.26 （3）0.02 （4）0.98【解析】 设A =“甲中靶”, B =“乙中靶”,则A =“甲脱靶”,B =“乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A 与B 相互独立,A 与B ,A 与B ,A 与B 都相互独立由已知可得,()()()()0.8,0.9,0.2,0.1P A P B P A P B ====.（1）AB = “两人都中靶”,由事件独立性的定义得()()()0.80.90.72P AB P A P B =⋅=⨯=（2）“恰好有一人中靶” AB AB =,且AB 与AB 互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义,得()()()P AB AB P AB P AB =+()()()()P A P B P A P B =⋅+⋅ 0.80.10.20.90.26=⨯+⨯= （3）事件“两人都脱靶”AB =, 所以()()()P AB P A P B =⋅ ()()10.810.90.02=-⨯-=（4）方法1：事件“至少有一人中靶”ABAB AB =,且AB ,AB 与AB 两两互斥, 所以()P AB AB AB ()()()P AB P AB P AB =++()()P AB P AB AB =+ 0.720.260.98=+=方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为()110.020.98P AB -=-=解题技巧 (相互独立事件同时发生的概率)解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．跟踪训练二1. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．【答案】(1) 516．(2) 516． 【解析】甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1－14－12＝14.1－12－14＝14. (1)租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况．租车费都为0元的概率为p 1＝14×12＝18，租车费都为2元的概率为p 2＝12×14＝18，租车费都为4元的概率为p 3＝14×14＝116. 所以甲、乙所付租车费用相同的概率为p ＝p 1＋p 2＋p 3＝516. (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则“ξ＝4”表示“两人的租车费用之和为4元”，其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元．所以可得P (ξ＝4)＝14×14＋12×14＋14×12＝516，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为516. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本249页练习，250页习题10.2.两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般地，两个事件不可能即互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的.。
【新教材教案】10.2 事件的相互独立性 教学设计(1)-人教A版高中数学必修第二册
10.2 事件的相互独立性本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第十章《10.2 事件的相互独立性》，本节课主要事在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，相互独立性是另一种重要的事件关系，注意对概率思想方法的理解。
发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
课程目标学科素养A.理解两个事件相互独立的概念．B．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．C. 通过对实例的分析，会进行简单的应用.1.数学建模：相互独立事件的判定2.逻辑推理：相互独立事件与互斥事件的关系3.数学运算：相互独立事件概率的计算4.数据抽象：相互独立事件的概念1.教学重点：理解两个事件相互独立的概念2.教学难点：事件独立有关的概念的计算多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、探究新知前面我们研究过互斥事件，对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法，对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？我们知道积事件AB就是事件A与事件B同时发生，因此，积由知识回顾，提()A A B B AB AB()()()P A P AB P AB[]()()()(()1()P AB P A P AB P P A P B P ∴=-==-=AB根据概率的加法公式和事件独立性定义,得)AB AB)()P B P⋅++⨯0.10.2AB AB+AB P ABAB AB)()()+0.72P AB AB=：由于事件“至少有一人中靶根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶=0.020.98甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，与B 独立,进而.独立CABAB ，()1()P C P C1()()1[1()][1()]P A P B P A P B 1(10.6)(10.5)0.8三、达标检测1.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为23和34,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12 B.512C.14D.16答案:B解析:恰有一个一等品即有一个是一等品、一个不是一等品,故所求概率为23×1-34+1-23×34=23×14+13×34=212+312=512,故选B . 2.甲、乙两人各进行1次射击,如果两人击中目标的概率都是0.7,则其中恰有1人击中目标的概率是( ) A.0.49 B.0.42C.0.7D.0.91解析:记甲击中目标为事件A ,乙击中目标为事件B ,且A ,B 相互独立.则恰有1人击中目标为A B 或A B ,所以只有1人击中目标的概率P=P (A B )+P (A B )=0.7×0.3+0.3×0.7=0.42. 答案:B3.一件产品要经过2道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a ,第二道工序的次品率为b ,则产品的正品率为( ) A.1-a-b B.1-ab C.(1-a )(1-b ) D.1-(1-a )(1-b )答案:C解析:设A 表示“第一道工序的产品为正品”,B 表示“第二道工序的产品为正品”,且P (AB )=P (A )P (B )=(1-a )(1-b ).4.已知A ,B 相互独立,且P (A )=14,P (B )=23,则P (A B )= . 答案:112解析:根据题意得,P (A B )=P (A )P (B )=P (A )(1-P (B ))=14×1-23=112. 5.某天上午,李明要参加“青年文明号”活动.为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是 . 答案:0.98解析:至少有一个准时响的概率为1-(1-0.90)×(1-0.80)=1-0.10×0.20=0.98.6.已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？ 略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为1()10.50.550.60.835P A B C -⋅⋅=-⨯⨯=0.8()P D >=所以，合三个臭皮匠之力就解出的概率大过诸葛亮.()()AB AB AB AB “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码可以用表示。
10.2事件的相互独立性教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
课堂教学设计学科：数学姓名：课题：10.2事件的相互独立性课型：新授课课程标准分析本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第十章《10.2 事件的相互独立性》，事件的相互独立性是事件之间一种重要关系，本节结合具体的随机试验（古典概型），根据实际问题背景，先直观判断两个实际是否独立，进而给出两个实际相互独立的一般定义，另外，在解决实际问题时，我们通常是直观判断事件的独立性，然后利用P(AB)=P(A)P(B)来求积事件AB的概率，本节内容所涉及的主要核心素养有：数学抽象、数学运算、发展学生的直观想象、逻辑推理、的核心素养。
.教学背景分析（一）课题及教学内容分析本节的主要内容是事件相互独立性的直观认识、两个事件独立性的定义、利用独立性简化概率的计算，连个事件的独立性石事件之间的一种特殊的关系，直观意义是两个事件发生与否互相不受影响，本质上是两个积事件的概率等于这两个事件概率的积，由于还没有条件概率的概念，教科书从事件的关系和运算的角度研究概率的基本性质出发，结合问题“两个事件的积的概率与这两个事件的概率有什么关系”，通过具体例子引入事件的独立性的概念，是符合知识发展的逻辑性的。
教材结合具体的随机试验（古典概型），根据实际问题背景，先直观判断两个实际是否独立，进而给出两个实际相互独立的一般定义，本节通过两个实验：分别抛掷两枚质地均匀的硬币和从一个袋子中标号分别为1、2、3、4的4个球中，采用有放回方式的随机试验，根据两个试验的共同特征，归纳出事件的相互独立性特征。
（二）学生情况分析通过前面的学习，对抛掷两枚质地均匀硬币的试验及有放回方式的随机试验的相关问题都比较熟悉了，同时也有了会求古典概型概率的学习为奠定基础，对于每一种试验的样本空间都能很熟练地写出，为学生直观判断给定的两个事件是否独立打下了良好的基础，学生还可以进行计算验证，这样既突出了重点，又能有效克服难点，更有利于本节的学习。
教学目标1、结合有限样本空间，了解两个随机事件相互独立的含义2.结合古典概型，利用独立性计算积事件的概率教学重点和难点重点：两个事件相互独立的直观意义及定义，利用事件的独立性解决实际问题难点：在实际问题情境中判断事件的独立性教学资源和教学方法教学资源：多媒体教学教学方法：讲授法、体验学习教学法。
10.2事件的相互独立性教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
10.2事件的相互独立性一、内容解析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第十章第2节的内容．独立性是概率论的基本概念，与计算积事件的概率有关，可以简化计算，在选择性必修的独立性检验中、利用事件的独立性假定构造检验统计量，独立性的直观意义是“在随机试验中，事件A(或B)发生与否不影响事件B(或A)发生的概率"，本质是P(AB)=P(A)P(B)，教科书先通过实例呈现独立性的直观意义，在此基础上分析计算P(AB)与P(A)，P(B)的关系，再抽象出两个事件相互独立的定义.互斥事件与相互独立的事件的内涵是不同的.事件A与B五斥是指事件A与B不能在任一随机试验中同时发生，其实质为AB=∅、P(AB)=0.因此，当事件A和B的概率都大于0时，如果事件A和B互斥，则Ａ和B一定不相互独立：反之，如果事件A和B相互独立，则A和B一定不互斥.不可能事件∅和必然事件Ω是互斥事件，同时它们也是相互独立的事件，并且不可能事件∅、必然事件Ω与任何事件A是相互独立的.二、目标和目标解析目标：（1）结合有限样本空间，了解两个随机事件相互独立的含义.（2）结合古典概型、利用事件的独立性计算概率.目标解析：（1）两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，不仅要直观感受到两个事件互不影响，还要能够用解析式来说明．因此，在归纳概括事件的相互独立的过程中，一定要用好具体的实例模型．（2）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在事件的相互独立性的教学中，从具体的实例中归纳概括相互独立事件的概念是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用事件的独立性解决具体的实际问题，也是进行数学建模教学的好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：了解两个事件相互独立的含义，利用事件的独立性解决有关概率计算问题.三、教学问题诊断分析1．教学问题一：对两个事件的包含、相等、互斥、互相对立意义的描述，均不涉及事件的概率.而两个事件的相互独立性，需要借助事件的概率来刻画.大多数学生一般倾向于认为连续发生的事件总是有联系的，不仅如此，他们在决策时通常会受到之前发生的事件的结果的影响.例如，对于问题“连续抛掷一枚均匀的硬币，如果前4次的结果都是‘反面朝上’，那么第5次最可能的结果是什么?”一些学生会回答“最有可能是正面”(或者回答“最有可能是反面”).学生的决策可能受到“代表性启发式”(当应用这种策略解决不确定情境的问题时，倾向于预测那些最能体现证据代表性的结果)错误概念的影响，这种错误概念会导致忽视事件之间的独立性.教学中，在给出独立性的数学形式定义之前，教师应首先选择符合独立性直观意义的例子，促进学生直观地认识，并结合实例使学生进一步明晰随机试验的意义．2．教学问题二：学生的另一个错误的认知是，相互独立的事件不能同时发生，这导致他们经常把独立事件与互斥事件混淆.事件的独立性与互斥性是两对不同属性的概念，事件A与B相互独立是从概率的角度来下的定义，其本质是P(AB)=P(A)P(B)，强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率大小没有影响，而事件A与B互斥是从事件运算的角度来下的定义，其内涵是AB=∅.强调的是两个事件不能在任一随机试验中同时发生．基于上述情况，本节课的教学难点定为：有关独立事件发生的概率计算．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到两个事件相互独立，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中使用具体的实例，既可以帮助学生理解概念也可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视事件相互独立的判断，让学生体会判断事件相互独立的基本方法，同时，应用事件的对立性解决问题其实就是数学模型的建立与应用的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．教学环节问题或任务师生活动设计意图创设情境，引入新知[问题1]分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？教师1：提出问题1．学生1：学生思考，不影响．教师2：提出问题2．学生2：用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},包含4个等可能的样本点.而A={(1,1),(1,0)},B={(1,0),(0,0)},通过具体实例，引入本节新课。
10.2 事件的相互独立性 复习课 教案 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
10.2 事件的相互独立性 复习课 教案 高一下学期数学人教A 版（2019）必修第二册教学目标：1.进一步理解事件相互独立的概念，能应用解决相互独立事件的概率求解;2.能进行一些相互独立事件概率的计算;3.正难则反的思想和团队协作的精神.教学重点：读懂题意，相互独立事件同时发生的判断和概率计算教学难点：能准确地将复杂的概率问题转化为基本概率模型教学过程：一．引入（启动思维）在一次有关“三国演义”的知识竞赛中，三个“臭皮匠”能答对该题目的概率分别为50%,45%,40%，“诸葛亮”能答对该题目的概率为80%，如果将“三个臭皮匠”组成一组与“诸葛亮”进行比赛，各选手独立答题，不得商量，团队中只要有一人答出即为该组获胜．问：哪方获胜的可能性大？分析：团队中只要有一人答出即为该组获胜，正面情况有七种，反面只有一种，用正难则反的思想求出 三个“臭皮匠”中至少有一人解出的概率。
结果验证了俗语：三个臭皮匠抵个诸葛亮，体现了团队协作合作共赢的思想二．知识回顾1．相互独立的概念(1)事件A 与事件B 相互独立，即事件A(或B)是否发生，对事件B(或A)发生的概率________．(2)设A ，B 为两个事件，如果P(AB)＝ ________，则称事件A 与事件B 相互独立．2．相互独立的性质(1)若事件A 与B 相互独立，那么 ________，_______， ________也都相互独立．(2)两个相互独立事件A ，B 同时发生，即事件AB 发生的概率为____________________．这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率等于________________________________．因为是复习课了，知识点同学们已经知道，强调一下就是了，不展开讲三．典例导航例1.某雪滑场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时． (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)求甲、乙两人所付的滑雪费用之和为80元的概率.“表”明题意：让同学们以简表的形式列出题上的信息和数据，引导同学们读懂题意思路探索： (1)甲乙两人付费相同则付费为0元，40元，80元，分别求概率再相加；(2)特别注意：80=40+40=0+80=80+0.例2. 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束.(1)求(2)P X =；(2)求事件“4X =且甲获胜”的概率.思考：（1）第二问改为求P （X=4）如何解？（2）X 可能等于3吗？四 ．课时小结求相互独立事件概率的关键是读懂题意，对于较复杂的题可以通过列简表理清题意：(1) 求相互独立事件同时发生的概率的步骤是：①首先确定各事件之间是相互独立的； ②确定这些事件可以同时发生；③求出每个事件的概率，再求积．(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件——各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．五． 自主练习1．从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为13，视力合格的概率为16，其他几项标准合格的概率为15.若从中任选一名学生，则该生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)( )A.49B.59C.45D.1902. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.12B.35C.23D.343．从甲袋中摸出1个红球的概率是13，从乙袋中摸出1个红球的概率是12，从两袋中各摸出1球，则(1)两个球都是红球的概率是________； (2)两个球都不是红球的概率是________；(3)两个球不都是红球的概率是________； (4)两个球至少有1个红球的概率是________．4．甲、乙2人各进行1次射击，如果2人击中目标的概率都是0.6，计算：(1)2人都击中目标的概率；(2)其中恰有1人击中目标的概率；(3)至少有1人击中目标的概率．5.某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s 内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100 m 跑的成绩进行一次检测，则(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率； (3)出现几人合格的概率最大．。
10.2事件的相互独立性教学设计(2)-人教A版高中数学必修第二册
【新教材】10.2 事件的相互独立性教学设计（人教A版）事件的相互独立性是在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，及对应的概率的计算.课程目标1．理解两个事件相互独立的概念．2．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．3. 通过对实例的分析，会进行简单的应用.数学学科素养1.数学抽象：两个事件相互独立的概念．2.数学运算：与事件独立有关的概念的计算.重点：独立事件同时发生的概率．难点：有关独立事件发生的概率计算教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
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一、情景导入三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学有放回地抽取，事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“最后一名同学抽到中将奖券”.事件A的发生会影响事件B发生的概率吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本246-249页，思考并完成以下问题1. 满足什么条件两个事件是相互独立的？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究事件A与B相互独立对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立(mutually independent)，简称为独立．注意（1）事件A与B是相互独立的，那么A与B̅，A与B，A与B̅也是否相互独立.（2）相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B).四、典例分析、举一反三题型一相互独立事件的判断例1一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B 是否相互独立？【答案】不独立【解析】 因为样本空间(){}{},,1,2,3,4,m n m n m n Ω=∈≠且()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4A =()()()()()(){}1,2,2,1,3,1,3,2,4,1,4,2B =所以()()61122P A P B ===,()21126P AB == 此时()()()P AB P A P B ≠⋅因此,事件A 与事件B 不独立.解题技巧（独立事件的判断）对于事件A ，B ，在一次试验中，A ，B 如果不能同时发生，则称A ，B 互斥，一次试验中，如果A ，B 两个事件互斥且A ，B 中必然有一个发生，则称A ，B 对立，显然A ∪A 为一个必然事件．A ，B 互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．跟踪训练一1. 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设A ＝“抽到K”，B ＝“抽到红牌”，C ＝“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？(1)A 与B ；(2)C 与A .【答案】见解析.【解析】 (1)由于事件A 为“抽到K”，事件B 为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃K 或方块K ，即有可能抽到K ，故事件A ，B 有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事件．以下考虑它们是否为相互独立事件：抽到K 的概率为P (A )＝452＝113抽到红牌的概率为P (B )＝2652＝12，故P (A )P (B )＝113×12＝126， 事件AB 为“既抽到K 又抽到红牌”，即“抽到红桃K 或方块K”，故P (AB )＝252＝126，从而有P (A )P (B )＝P (AB )，因此A 与B 是相互独立事件．(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张．抽到K 就不可能抽到J ，抽到J 就不可能抽到K ，故事件C 与事件A 不可能同时发生，A 与C 互斥．由于P (A )＝113≠0.P (C )＝113≠0，而P (AC )＝0，所以A 与C 不是相互独立事件，又抽不到K 不一定抽到J ，故A 与C 并非对立事件.题型二 相互独立事件同时发生的概率例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：（1）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶；（4）至少有一人中靶.【答案】（1）0.72 （2）0.26 （3）0.02 （4）0.98【解析】 设A =“甲中靶”, B =“乙中靶”,则A =“甲脱靶”,B =“乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A 与B 相互独立,A 与B ,A 与B ,A 与B 都相互独立由已知可得,()()()()0.8,0.9,0.2,0.1P A P B P A P B ====.（1）AB = “两人都中靶”,由事件独立性的定义得()()()0.80.90.72P AB P A P B =⋅=⨯=（2）“恰好有一人中靶” AB AB =,且AB 与AB 互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义,得 ()()()P AB AB P AB P AB =+()()()()P A P B P A P B =⋅+⋅ 0.80.10.20.90.26=⨯+⨯= （3）事件“两人都脱靶”AB =, 所以()()()P AB P A P B =⋅ ()()10.810.90.02=-⨯-=（4）方法1：事件“至少有一人中靶”ABAB AB =,且AB ,AB 与AB 两两互斥, 所以()P AB AB AB ()()()P AB P AB P AB =++()()P AB P AB AB =+ 0.720.260.98=+=方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为()110.020.98P AB -=-=解题技巧 (相互独立事件同时发生的概率)解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．跟踪训练二1. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．【答案】(1) 516．(2) 516． 【解析】甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1－14－12＝14.1－12－14＝14. (1)租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况．租车费都为0元的概率为p 1＝14×12＝18，租车费都为2元的概率为p 2＝12×14＝18，租车费都为4元的概率为p 3＝14×14＝116. 所以甲、乙所付租车费用相同的概率为p ＝p 1＋p 2＋p 3＝516. (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则“ξ＝4”表示“两人的租车费用之和为4元”，其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元．所以可得P (ξ＝4)＝14×14＋12×14＋14×12＝516，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为516. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本249页练习，250页习题10.2.两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般地，两个事件不可能即互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的.。
10.2事件的相互独立性教学设计2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册+
必修二 10.2 事件的相互独立性教学设计（一）课时教学内容概率——事件的相互独立性（二）课时教学目标1.通过经历有放回摸球的具体实例，直观感知两个随机事件独立的含义，利用有限样本空间和古典概型的认识，通过归纳类比，数学运算得出事件独立性的含义，在此过程中发展学生的抽象能力和逻辑推理素养。
2.能利用独立性定义及性质计算古典概型中积事件的概率或一些复杂事件的概率。
（三）教学重点与难点“重点”：了解两个事件相互独立的含义，利用事件的独立性解决有关概率计算问题。
“难点”：在实际问题情境中判断事件的独立性．让学生经历用直观与定义两种方式判断给定的两个事件是否独立，促进学生对独立性的理解.（四）教学过程设计一、引入引例：周易中有“兄弟同心，其利断金.”本节课我们将在一个具体情境中求证这句话。
对于一个问题，已知甲独自解出问题的概率为0.8，兄弟二人，老大、老二独自解出问题的概率分别为0.6，0.5，设两个人中至少有一个人解出问题的概率为P,比较P与0.8的大小?引导语：积事件AB就是事件A与事件B同时发生.积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关系.这种关系会是怎样的呢? 本节课，我们来讨论积事件的概率计算有关的问题。
师生活动：教师提出引例问题，学生进行思考，在经历对基本情况的探究后，学生较容易得到P(B∪C)=P(B)+P(C)−P(BC)或P(B∪C)=1−−P(B̅C)及P(B∪C)=P(BC∪BC∪B̅C)=P(BC)+P(BC)+P(B̅C)。
设计意图：通过一个具体实例，引出本节课需要解决的问题。
二、事件的独立性探究一：事件的相互独立性的含义1.具体试验的分析一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设事件A=“第一次摸到球的标号小于3”，事件B=“第二次摸到球的标号小于3”.问题1：你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？师生活动：教师提出问题，学生进行思考后回答，教师关注学生如何解释自己的思考过程。
10.2事件的相互独立性教案-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
10.2事件的相互独立性教学目标：1.通过阅读课本理解两个事件相互独立的概念．2．通过实例的学习能进行一些与事件独立有关的概念的计算．3. 通过对实例的分析，会进行简单的应用.教学重点：理解两个事件相互独立的概念，利用事件的独立性解决实际问题．教学难点：在实际问题情境中判断事件的独立性．教学过程：一、导入新课，板书课题前面我们研究过互斥事件，对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法，对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？我们知道积事件AB就是事件A与事件B同时发生，因此，积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关系，那么这种关系会是怎样的呢？【板书：事件的相互独立性】二、出示目标，明确任务1.理解两个事件相互独立的概念．2．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．3. 会进行简单的应用.三、学生自学，独立思考学生看书，教师巡视，督促学生认真看书（4min）下面，阅读课本P246--P249练习以上内容，思考如下问题：1.找出阅读内容中的知识点。
2.找出阅读内容中的重点。
3.找出阅读内容中的困惑点，疑难点。
四、自学指导，紧扣教材1.自学指导1（7min）阅读课本246-249页，思考并完成以下问题（1）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？分别计算P(A),P(B),P(AB),看看它们之间有什么关系？（2）试验2中事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？分别计算P(A),P(B),P(AB),看看它们之间有什么关系？（3）什么是相互独立事件？（4）考虑必然事件与任意一个随机事件是否相互独立？不可能事件与任意一个随机事件是否相互独立？为什么？（5）试验2的有放回摸球试验中，事件A与B，事件A与B，事件A与B是否独立？为什么？2.自学指导2（5min）（1）按照五步法认真阅读例1，思考例1中的样本空间有哪些？（2）按照五步法认真阅读例2，思考各个事件如何用集合语言表示随机事件？（3）按照五步法认真阅读例3，思考如何利用事件的互斥关系的性质与事件独立性计算两个事件积AB的概率？五、自学展示，精讲点拨1.学生口头回答自学指导问题，教师点拨并板书（答案见PPT）精讲点拨：点拨1.互斥事件和相互独立事件是两个不同概念:点拨2.两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生;点拨3.两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。
10.2事件的相互独立性(教案)【新教材】人教A版(2019)高中数学必修二
第十章概率10.2事件的相互独立性一、教学目标1.理解两个事件相互独立的概念；2.能进行一些与事件独立有关的概念的计算；3.通过对实例的分析，会进行简单的应用；4.通过对事件的相互独立性的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。
二、教学重难点1.独立事件同时发生的概率．2.有关独立事件发生的概率计算三、教学过程：（1）创设情景抛掷一枚质地均匀的硬币两次。
问：在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？（2）新知探究问题1:第一次出现正面向上发生与否会影响第二次出现正面向上发生的概率吗？学生回答，老师点拨并提出本节课所学内容（3）新知建构相互独立事件的定义:设A,B两个事件,如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响(即P(AB)=P(A)P(B)), 则称事件A与事件B相互独立.简称独立.注意：（1）事件A与B是相互独立的，那么A与B，A与B，A与B也是否相互独立.（2）相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B).（4）数学运用例1.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为（）A．互斥B．相互对立C．相互独立D．相等【答案】C【解析】根据题意，事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，两个事件可以同时发生，也可以都不发生，A事件发生与否对B事件没有影响，是相互独立事件，故选：C．变式训练1:一个口袋中装有3个白球和3个黑球，独立事件是（）A．第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球B．摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球C ．摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球D ．一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球【答案】C【解析】一个口袋中装有3个白球和3个黑球，对于A ：第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球，是随机事件，对于B ：摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，第二次受第一次的影响，不是独立事件，对于C ：摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，两者不受影响，是独立事件，对于D ：一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球，有影响，不是独立事件，故选：C ．变式训练2:（多选）下列各对事件中,为相互独立事件的是（ ）A ．掷一枚骰子一次,事件M “出现偶数点”;事件N “出现3点或6点”B ．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球,依次有放回地摸两球,事件M “第一次摸到白球”,事件N “第二次摸到白球”C ．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球,依次不放同地摸两球,事件M “第一次摸到白球”,事件N “第二次摸到黑球”D ．甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲､乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,事件M “从甲组中选出1名男生”,事件N “从乙组中选出1名女生”【答案】ABD【解析】在A 中，样本空间{}1,2,3,4,5,6Ω=，事件{}2,4,6M =，事件{}3,6N =，事件{6}MN =， ∴31()62P M ==，21()63P N ==，111()236P MN =⨯=， 即()()()P MN P M P N =，故事件M 与N 相互独立，故A 正确.在B 中，根据事件的特点易知，事件M 是否发生对事件发生的概率没有影响，故M 与N 是相互独立事件，故B 正确；在C 中，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，故C 错误；在D 中，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独立事件，故D 正确. 故选：ABD.例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：（1）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶；（4）至少有一人中靶.【答案】（1）0.72 （2）0.26 （3）0.02 （4）0.98【解析】设A =“甲中靶”, B =“乙中靶”,则A =“甲脱靶”,B =“乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A 与B 相互独立,A 与B ,A 与B,A 与B 都相互独立 由已知可得,()()()()0.8,0.9,0.2,0.1P A P B P A P B ====.（1）AB = “两人都中靶”,由事件独立性的定义得()()()0.80.90.72P AB P A P B =⋅=⨯=（2）“恰好有一人中靶” AB AB =,且AB 与AB 互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义,得 ()()()P AB AB P AB P AB =+()()()()P A P B P A P B =⋅+⋅0.80.10.20.90.26=⨯+⨯=（3）事件“两人都脱靶”AB =, 所以()()()P AB P A P B =⋅ ()()10.810.90.02=-⨯-=（4）方法1：事件“至少有一人中靶”ABAB AB =,且AB,AB 与AB 两两互斥, 所以()P AB AB AB()()()P AB P AB P AB =++()()P AB P AB AB =+ 0.720.260.98=+=方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为()110.020.98P AB -=-=变式训练:为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为35，34；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为23，25.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. （1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.【答案】（1）派甲参赛获胜的概率更大；（2）2950. 【解析】（1）设1A =“甲在第一轮比赛中胜出”，2A =“甲在第二轮比赛中胜出”，1B =“乙在第一轮比赛中胜出”，2B =“乙在第二轮比赛中胜出”，则12A A =“甲赢得比赛”，()()()1212322535P A A P A P A ==⨯=. 12B B =“乙赢得比赛”，()()()12123234510P B B P B P B ==⨯=. 因为23510>，所以派甲参赛获胜的概率更大. （2）由（1）知，设C =“甲赢得比赛”，D“乙贏得比赛”， 则()1223()1155P C P A A =-=-=； ()1237()111010P D P B B =-=-=. 于是C D =“两人中至少有一人赢得比赛”3729()1()1()()151050P CD P CD P C P D =-=-=-⨯=.例3:小王某天乘坐火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率；（3）这三列火车恰有一列火车正点到达的概率.【答案】（1）0.398；（2）0.994；（3）0.092【解析】用A ，B ，C 分别表示这三列火车正点到达，则()0.8P A =，()0.7P B =，()0.9P C =，所以()0.2P A =，()0.3P B =，()0.1P C =.且A ，B ，C 相互独立.（1）由题意得，恰好有两列火车正点到达的概率为()()()()()()()()()()()()P ABC P ABC P ABC P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++=⋅++⋅0.20.70.90.80.30.90.80.70.10.398=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.（2）由题意得，三列火车至少有一列正点到达的概率为1()1()()()10.20.30.10.994P ABC P A P B P C -=-=-⨯⨯=.（3）由题意得，恰有一列火车正点到达的概率为()()()()()()()()()()()()P ABC P ABC P ABC P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++=++ 0.80.30.10.20.70.10.20.30.90.092=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.变式训练:甲、乙两名运动员各投篮一次，甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.9，求下列事件的概率：（Ⅰ）两人都投中；（Ⅱ）恰好有一人投中；（Ⅲ）至少有一人投中.【答案】（Ⅰ）0.72；（Ⅱ）0.26；（Ⅲ）0.98.【解析】设A =“甲投中”，B =“乙投中”，则A =“甲没投中”，B =“乙没投中”， 由于两个人投篮的结果互不影响，所以A 与B 相互独立，A 与B ，A 与B ，A 与B 都相互独立，由己知可得()0.8P A =，()0.9P B =，则()0.2P A =，()0.1P B =；（Ⅰ）AB =“两人都投中”，则()()()0.80.90.72P AB P A P B ==⨯=；（Ⅱ）AB AB =“恰好有一人投中”，且AB 与AB 互斥， 则()()()()()()()P AB AB P AB P AB P A P B P A P B ⋃=+=+0.80.10.20.90.26=⨯+⨯=； （Ⅲ）AB AB AB =“至少有一人投中”，且AB 、AB 、AB 两两互斥， 所以(()()())P AB AB AB P AB P AB P AB =++)0.720.260.9()(8P AB P ABAB =+==+. 四、小结：相互独立事件的定义:设A,B 两个事件,如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即P(AB)=P(A)P(B)), 则称事件A 与事件B 相互独立.简称独立. 注意：（1）事件A 与B 是相互独立的，那么A 与B ， A 与B ， A 与B 也是否相互独立.（2）相互独立事件同时发生的概率：P (AB )＝P (A )P (B ).五、作业：习题10.2。
【教案】事件的相互独立性+教案高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
教学设计【课题】10．2事件的相互独立性【教学目标与核心素养】学习目标：1.理解两个事件相互独立的直观意义与数学定义．2.结合古典概型，利用事件的独立性计算概率素养目标：1.体会特殊到一般、化归与转化、分类讨论等数学思想2.渗透直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养【教学重点】两个事件相互独立的直观意义及定义，利用事件的独立性解决实际问题【教学难点】在实际问题情境中判断事件的独立性【教学设计】（1）由互斥（对立）事件引入知识，认识学习的必要性；（2）由情境与问题归纳总结出事件的相互独立性定义；（3）借助独立性定义探究事件的相互独立性的性质；（4）在练习——讨论中深化、巩固知识，培养能力；（5）拓展应用，提升逻辑推理、数学运算等技能．【教法】启发式、讲授法【学法】自主、合作与探究【教学备品】教学课件【课时安排】1课时(40分钟)【教学过程】引言：前面我们研究过互斥事件、对立事件的概率性质，本节课，我们来讨论与积事件的概率计算有关的问题.一、两个事件相互独立的定义以及求解相互独立事件同时发生的概率方法的探索发现、创造过程情境与问题1下面两个随机试验，各定义了一对随机事件A和B.试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝“第1枚硬币正面朝上”，B=“第2枚硬币反面朝上”.试验2：一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.是A=“第1次摸到球的标号小于3”，B=“第2次摸到球的标号小于3”.探究1你认为两个随机试验中事件A和B是什么关系，是互斥事件吗？若不是，你认为这两个事件的关系用什么“词语”表达比较好呢？你能给你认为的事件A和B的关系下一个定义吗？答：不是互斥事件，因为事件A和B互斥是指事件A和B在一次试验中不能同时发生，而这里的这两个事件可以同时发生.用“独立”词语表达两个事件A和B关系比较合适.显然，对于试验1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率.对于试验2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.相互独立事件的定义1：事件A（或B）发生与否不影响事件B（或A）发生的概率，则称事件A和B是相互独立事件.判断题：下列事件哪些是相互独立的？师生活动：，教师提出问题，学生进行思考后回答问题.教师关注学生如何解释自己的思考过程.设计意图：选择两个符合独立性直观意义的试验，促进学生感悟事件的独立性.给出事件的相互独立性的定义1并渗透事件的相互独立性的性质.探究2我们前面的研究知道两个互斥事件和的概率等于这两个事件的概率之和.即P(A+B)=P(A)+P(B)，那么你能否猜测相互独立事件A与B同时发生的概率公式呢？答：猜测相互独立事件A与B同时发生的概率公式为：P(AB)=P(A)P(B).在试验1中用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω={(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}，包含4个等可能的样本点.A={(1,1)，(1,0)}，B={(1,0)，(0,0)}，所以AB={(1,0)}.用古典概型概率计算公式，得P(A)=P(B)=12P(AB)=14.于是P(AB)=P(A)P(B)积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.在试验2中样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}，而A={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)}B={(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}AB={(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}所以P(A)=P(B)=12P(AB)=14.于是也有P(AB)=P(A)P(B)积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.这两个随机试验都满足：事件A和B同时发生的概率是它们各自发生概率的乘积.对上述两个试验的共同属性进一步抽象概括，我们对具有这种概率关系的两个事件称为“相互独立”.相互独立事件的定义2：对任意两个事件A和B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.小结：以上，我们给出了相互独立事件的两个定义，定义1是指两个事件相互独立的直观意义，是定性地对两个事件独立性作出判断，这就是所谓的凭直觉判断.定义2是两个事件相互独立的数学定义，是定量地对两个事件独立性作出判断，这就是所谓的推理判断.在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义2判断，而是根据实际意义来加以判断的，根据实际背景判断事件的独立性往往并不困难.譬如，必然事件Ω与任意事件是否相互独立？用定义1 因为必然事件Ω总会发生，不会受任何事件是否发生的影响，当然，也不影响其他事件是否发生.所以，必然事件Ω与任意事件是相互独立.用定义2设A为任意事件，P(Ω)=1，P(ΩA)=P(Ω)P(A)＝P(A)，即必然事件Ω与任意事件独立.同样，不可能事件ϕ总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响.当然，它们也不影响其他事件是否发生.所以，不可能事件ϕ与任意事件相互独立.师生活动：学生独立思考解决问题，教师，注意观察学生如何计算P(A)，P(B)，P(AB)，关注学生是否能用集合语言正确描述样本空间以及不同的随机事件，并给予个别指导.选择学生代表表达与交流思维过程.设计意图：让学生探索两个试验中事件A，B之间的共同数学本质属性P(AB)=P(A)P(B)，在此基础上，教师给出两个事件相互独立的数学定义.根据定义判断事件的相互独立性，进一步讨论特殊事件与任意一个随机事件之间的相互独立性，以使知识完整化、系统化.练习1 证明：若事件A和B是相互独立事件。
10.2事件的相互独立性教案-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
10.2 事件的相互独立性一、教学目标1.理解两个事件相互独立的概念.2.能进行一些与事件独立有关的概率的计算.3.学会利用事件的相互独立性解决实际问题. 二、教学重难点 1、教学重点 事件的相互独立性. 2、教学难点事件相互独立性的应用. 三、教学过程 1、新课导入前面我们研究过互斥事件、对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法，对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？我们知道，积事件AB 就是事件A 与事件B 同时发生. 因此，积事件AB 发生的概率一定与事件A ，B 发生的概率有关.那么，这种关系会是怎样的呢？这节课我们就来学习一下事件的相互独立性. 2、探索新知1.相互独立事件的定义对任意两个事件A 与B ，如果()P AB =()()P A P B 成立，则称事件A 与事件B 相互独立，简称为独立.2.相互独立事件的性质当事件A 与事件B 相互独立时，则事件A 与B 相互独立，事件A 与B 相互独立，事件A 与B 相互独立.3.推广（1）对于n 个事件1A ，2A ，…，n A ，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称事件1A ，2A ，…，n A 相互独立.（2）如果事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =.4.互斥事件与相互独立事件的区别相互独立事件互斥事件判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 两个事件不可能同时发生，即A B =∅. 概率公式事件A 与B 相互独立，则事件A 与B 互斥，则()()()P AB P A P B =. (()())P A B P A P B =+.放回方式从中任意摸球两次. 设事件A =“第一次摸出球的标号小于3”，事件B =“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A 与事件B 是否相互独立？解：因为样本空间Ω{(,)|,{1,2,3,4},m n m n =∈且}m n ≠， {(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}A =， {(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}B =，所以61()()122P A P B ===，21()126P AB ==. 此时()()()P AB P A P B ≠，因此，事件A 与事件B 不独立.例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9.求下列事件的概率：（1）两人都中靶； （2）恰好有一人中靶； （3）两人都脱靶； （4）至少有一人中靶.分析：设A =“甲中靶”，B =“乙中靶”，从要求的概率可知，需要先分别求A ，B 的对立事件A ，B 的概率，并利用A ，B ，A ，B 构建相应的事件.解：设A =“甲中靶”，B =“乙中靶”，则A =“甲脱靶”，B =“乙脱靶”， 由于两个人射击的结果互不影响，所以A 与B 相互独立，A 与B ，A 与B ，A 与B 都相互独立.由已知可得，()0.8P A =，()0.9P B =，()0.2P A =，()0.1P B =， （1）AB =“两人都中靶”，由事件独立性的定义得()()()0.80.90.72P AB P A P B ==⨯=. （2）“恰好有一人中靶”ABAB =，且AB 与AB 互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得()()()P AB AB P AB P AB =+()()()()P A P B P A P B =+0.80.10.20.90.26=⨯+⨯=.（3）事件“两人都脱靶”AB =，所以()()()(10.8)(10.9)0.02P AB P A P B ==-⨯-=. （4）方法1：事件“至少有一人中靶”AB AB AB =，且AB ，AB 与AB 两两互斥，所以()()()()P ABABAB P AB P AB P AB =++()()P AB P ABAB =+0.720.260.98=+=.方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”，根据对立事件的性质，得事件“至少有一人中靶”的概率为1()10.020.98P AB -=-=.例3 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为34，乙每轮猜对的概率为23.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.解：设1A ，2A 分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，1B ，2B 分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件.根据独立性假定，得()13132448P A =⨯⨯=，()2239416P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭.()12142339P B =⨯⨯=，()222439P B ⎛⎫== ⎪⎝⎭.设A =“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则1221A A B A B =，且12A B 与21A B 互斥，1A 与2B ，2A 与1B 分别相互独立， 所以12112212(())()(())()()P A P A B P A B P A P B P A P B =+=+349458916912=⨯+⨯=.因此“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是512. 3、课堂练习1.出租车司机老王从饭店到火车站途中经过六个交通岗，已知各交通岗信号灯相互独立.假设老王在各交通岗遇到红灯的概率都是13，则他遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为( ) A.124B.724C.79D.127答案：B解析：因为司机老王在第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯之间是相互独立的，且遇到红灯的概率都是13，所以未遇到红灯的概率都是12133-=，所以遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为221433327⨯⨯=.故选B.2.某次战役中，狙击手A 受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A 每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2，0.4，0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立.若A 至多射击2次，则他能击落敌机的概率为( ) A.0.23B.0.2C.0.16D.0.1答案：A解析：A 每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2，0.4，0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立.若A 射击1次就击落敌机，则他击中了敌机的机尾，概率为0.1；若A 射击2次就击落敌机，则他2次都击中了敌机的机首，概率为0.20.20.04⨯=或者第1次没有击中机尾且第2次击中了机尾，概率为0.90.10.09⨯=，因此若A 至多射击2次，则他能击落敌机的概率为0.10.040.090.23++=.故选A. 3.已知事件A ，B ，C 相互独立，若1()6P AB =，1()8P BC =，1()8P ABC =，则()P B =_________，()P AB =________. 答案：12；13解析：11()()()()68P ABC P AB P C P C ===，3()4P C ∴=，即1()4P C =.又1()()()8P BC P B P C ==，1()2P B ∴=，1()2P B =.则1()3P A =，111()()()1323P AB P A P B ⎛⎫∴==-⨯= ⎪⎝⎭.4、小结作业小结：本节课学习了事件的相互独立性及其应用. 作业：完成本节课课后习题. 四、板书设计10.2 事件的相互独立性1.相互独立事件的定义：对任意两个事件A 与B ，如果()P AB =()()P A P B 成立，则称事件A 与事件B 相互独立，简称为独立.2.相互独立事件的性质：当事件A 与事件B 相互独立时，则事件A 与B 相互独立，事件A 与B 相互独立，事件A 与B 相互独立.3.（1）对于n 个事件1A ，2A ，…，n A ，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称事件1A ，2A ，…，n A 相互独立.（2）如果事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =.4.互斥事件与相互独立事件的区别：相互独立事件互斥事件判断方法一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.两个事件不可能同时发生，即A B =∅.事件A与B相互独立，则()()()P AB P A P B=.事件A与B互斥，则(()())P A B P A P B=+.概率公式。
10.2 事件的相互独立性学案(人教A版必修第二册)
10.2事件的相互独立性学案【素养目标】一．相互独立事件的定义对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.二．相互独立事件的性质当事件A，B相互独立时，则事件与事件相互独立，事件与事件相互独立，事件与事件相互独立.三．相互独立事件与互斥事件的概率计算思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)不可能事件与任何一个事件相互独立．()(2)必然事件与任何一个事件相互独立．()(3)“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件．()(4)若两个事件互斥，则这两个事件相互独立．()【例题解析】题型一相互独立事件的判断提示：两种方法判断两事件是否具有独立性(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响.(2)公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立.例1 判断下列各对事件是否是相互独立事件．(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．【跟踪训练】1 坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，则A1与A2是()A．互斥事件B．相互独立事件C．对立事件D．不相互独立事件题型二相互独立事件的概率计算提示：用相互独立事件的乘法公式解题的步骤1.用恰当的字母表示题中有关事件,2. 分析事件间的关系，明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义；3.将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和；4.利用乘法公式计算概率.例2 在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为13，甲胜丙的概率为14，乙胜丙的概率为13.(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；(2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率．【及时检测】2 一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为12，且是相互独立的，则灯亮的概率是()A.164 B.5564 C.18 D.116题型三相互独立事件概率的综合应用例 3 某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和，求P(ξ＝4)和P(ξ＝6)的值．【及时检测】3 三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为12，34，34，将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，它们是否正常工作相互独立.在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率是多少？【目标检测】1.下列事件A，B是相互独立事件的是()A．一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子，A表示“出现点数为奇数”，B表示“出现点数为偶数”D．A表示“一个灯泡能用1 000小时”，B表示“一个灯泡能用2 000小时”2.甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为()A．0.42 B．0.12 C．0.18 D．0.283.甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是()A．524B．512C．124D．384.在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为45和34.在同一时间内，求：(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率为________；(2)至少有一个气象台预报准确的概率为________．5.已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝12，P(B)＝23，则P(A B－)＝________；P(A－B－)＝________．6.小宁某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．【课堂小结】1.相互独立事件与互斥事件的区别2.(1)正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P(A)＋P(A－)＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．(2)化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式转化为相互独立事件)．。
10.2事件的相互独立性(教学设计)-2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必
《10.2事件的相互独立性》教学设计本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第十章《概率》，以下是本章的课时安排本节课是研究事件的相互独立性，是在上一节课学习概率的基本性质的基础上进行学习的，通过复习相关知识与方法，巩固已学内容，为本节课的学习奠定基础。
1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念，培养学生数学抽象的核心素养；2、能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题，培养学生数学运算、数学建模的核心素养。
1.重点：相互独立事件的判断、同时发生的概率。
2.难点：有关独立事件发生的概率计算。
（一）新知导入3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取.事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B 为“第三名同学抽到中奖奖券”.【问题】 上述问题中事件A 的发生是否会影响B 发生的概率？事件A 和事件B 相互独立吗？ 【提示】 因为抽取是有放回的，所以A 的发生不会影响B 发生的概率，事件A 和事件B 相互独立.（二）相互独立事件知识点一 相互独立的概念设A ，B 为两个事件，若P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． 知识点二 相互独立的性质若事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －也都相互独立． 【思考1】不可能事件与任何一个事件相互独立吗？【提示】 事件的分类是相对于条件来讲的，在条件变化时，必然事件、随机事件、不可能事件可以相互转化.【思考2】必然事件与任何一个事件相互独立吗？【提示】相互独立.必然事件的发生与任何一个事件的发生没有影响. 【拓展】互斥事件与相互独立事件是不同的概念：两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两个事件独立是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生没有影响.【辩一辩】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不可能事件与任何一个事件相互独立．( ) (2)必然事件与任何一个事件相互独立．( )(3)“P (AB )＝P (A )·P (B )”是“事件A ，B 相互独立”的充要条件．( ) 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√【做一做】甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为________． 【答案】0.56（三）典型例题 1.相互独立事件的判断例1. 假定一个家庭中有两个或三个小孩，生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝“一个家庭中既有男孩又有女孩”，B ＝“一个家庭中最多有一个女孩”．对下述两种情形，判断A 与B 的独立性：(1)家庭中有两个小孩． (2)家庭中有三个小孩．【解】(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个样本点，由等可能性知概率都为14.这时A ＝{(男，女)，(女，男)}，B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB ＝{(男，女)，(女，男)}，于是P (A )＝12，P (B )＝34，P (AB )＝12.此时P (AB )≠P (A )P (B )，所以事件A 与事件B 不独立．(2)有三个小孩的家庭，男孩、女孩的所有可能情形Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知这8个样本点的概率均为18，这时A 中含有6个样本点，B 中含有4个样本点，AB 中含有3个样本点．于是P (A )＝68＝34，P (B )＝48＝12，P (AB )＝38，显然有P (AB )＝38＝P (A )P (B )成立．从而事件A 与事件B 相互独立．【类题通法】两种方法判断两事件是否具有独立性(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响. (2)公式法：检验P (AB )＝P (A )P (B )是否成立.【巩固练习1】掷一枚正方体骰子一次，设事件A ：“出现偶数点”，事件B ：“出现3点或6点”，则事件A ，B 的关系是( )A.互斥但不相互独立B.相互独立但不互斥C.互斥且相互独立D.既不相互独立也不互斥【解析】事件A ＝{2，4，6}，事件B ＝{3，6}，事件AB ＝{6}，样本点空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}. 所以P (A )＝36＝12，P (B )＝26＝13，P (AB )＝16＝12×13，即P (AB )＝P (A )P (B )，因此，事件A 与B 相互独立.当“出现6点”时，事件A ，B 同时发生，所以A ，B 不是互斥事件. 【答案】B2.相互独立事件同时发生的概率例2.王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率； (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率． 【解】用A ，B ，C 分别表示这三列火车正点到达的事件．则P (A )＝0.8，P (B )＝0.7，P (C )＝0.9， 所以P (A －)＝0.2，P (B －)＝0.3，P (C －)＝0.1.(1)由题意得A ，B ，C 之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为 P 1＝P (A －BC )＋P (A B －C )＋P (AB C －)＝P (A －)P (B )P (C )＋P (A )P (B －)P (C )＋P (A )P (B )P (C －)＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398. (2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P 2＝1－P (A －B －C －)＝1－P (A －)P (B －)P (C －)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.【类题通法】1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤(1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积． 2．概率问题中的数学思想：(1)正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P (A )＋P (A －)＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法． (2)化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式转化为相互独立事件)． (3)方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．【巩固练习2】甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率； (2)2人中恰有1人射中目标的概率； (3)2人至少有1人射中目标的概率； (4)2人至多有1人射中目标的概率.【解】设“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，A －与B ，A与B －，A －与B －为相互独立事件.(1)2人都射中目标的概率为P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.8×0.9＝0.72.(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件AB －发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件A －B 发生).根据题意，事件AB －与A －B 互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为P (AB －)＋P (A －B )＝P (A )·P (B －)＋P (A －)·P (B )＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9 ＝0.08＋0.18＝0.26.(3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”两种情况，其概率为p ＝P (AB )＋[P (AB －)＋P (A －B )]＝0.72＋0.26＝0.98.(4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况，故所求概率为p ＝P (A － B －)＋P (AB －)＋P (A －B )＝P (A －)·P (B －)＋P (A )·P (B －)＋P (A －)·P (B )＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.（四）操作演练 素养提升1.下列事件A,B 是相互独立事件的是 ( )A.一枚硬币掷两次,A 表示“第一次为正面”,B 表示“第二次为反面”B.袋中有2个白球,2个黑球,不放回地摸球两次,每次摸一球,A表示“第一次摸到白球”,B表示“第二次摸到白球”C.掷一枚骰子,A表示“出现点数为奇数”,B表示“出现点数为偶数”D.A表示“一个灯泡能用1 000小时”,B表示“一个灯泡能用2 000小时”2.甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6，0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为（）A．0.42B．0.28C．0.18D．0.123.某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，则问题由乙答对的概率为( )A．0.2 B．0.8 C．0.4 D．0.34.甲，乙，丙三人独立破译同一份密码．已知甲乙丙各自独立破译出密码的概率分别为111234，，，且他们是否破译出密码互不影响，则至少有1人破译出密码的概率是．【答案】1.A 2.D 3.D 4.3 4【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
10.2 事件的相互独立性 (课件)超好用的优秀公开课获奖课件高一下学期数学(人教A版2019 必修
的概率近似为 =0.65.
01
导入新课
总结
做整数随机模拟试验时应注意的相关事项
做整数随机模拟试验时，首先要确定随机数的范围，明确哪个数字代表哪个试验结果．
①当试验的基本结果的可能性相等时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表
一个基本事件．
②当研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及范围．
表示蓝球。这样不算产生1—5之间的整数随机数，相当于不断
地做从袋中摸球的试验。
01
导入新课
下表是用电子表格软件模拟上述摸球试验的结果，其中n为实验
次数， 为摸到红球的频数， 为摸到红球的频率。
画出频率折线图，从图中可以看出：随着试验次数的增加，摸到
红球的频率稳定与概率0.4.
利用随机模拟解决问题的方法
了决赛，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，
利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率。
解析： 奥运会羽毛球比赛规则是3局2胜制，甲获得冠军的结果可能是2:0
或2:1.显然，甲连胜2局或在前2局中赢一局输一局，并赢得第三局的概率，与
打满3局，甲胜2局或3局的概率相同。每局比赛甲可能胜，也可能负，3局比赛
得到6个数代表6个人的月份，这就完成了一次模拟试验。如果这6个数中至少有
2个相同，表示事件A发生了。重复以上模拟试验20次就可以统计出事件A发生的
频率。
02
教学过程
例1 从你所在的班级任意选出6名同学，调查他们的出生月份，
假设出生在一月，二月……十二月是等可能的。设事件A=“至少
有两人出生月份相同”，设计一种试验方法，模拟20次，估计
把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中，充分搅拌后摇
高二数学《事件的相互独立性》教案
事件的相互独立性一、教材分析概率论是研究和揭示随机现象规律性的数学分支．它的理论和方法渗透到现实世界的各个领域，应用极为广泛．而在概率论中，独立性是极其重要的概念，它的主要作用是简化概率计算．相互独立事件同时发生的概率与前面学习的等可能性事件、互斥事件有一个发生的概率，是三类典型的概率模型．将复杂问题分解为这三种基本形式，是处理概率问题的基本方法．二、学情分析本节内容的学习，既是对前面所学知识的深化与拓展，又是提高学生解决现实问题能力的一种途径，更是加强学生应用意识的良好素材．在本节中引入独立性的概念主要是为了介绍二项分布的产生背景，为下一节起铺垫作用．三、教学目标1、知识目标1）理解两个事件相互独立的概念。
．2、能力目标1）能进行一些与事件独立有关的概率的计算。
3、情感目标1）承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
四、教学重点难点重点：独立事件同时发生的概率.（B、C类目标）难点: 有关独立事件发生的概率计算（A类目标）五、教学过程（一）、复习引入1. 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件.2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率mn总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作()P A．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4．概率的性质：必然事件的概率为.，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 .5.基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件.6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件. 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()m P A n =. 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法.9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的.10. 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥.11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么12()n P A A A +++＝12()()()n P A P A P A +++ .（二）、新课讲授1．相互独立事件的定义：设A, B 为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A 与事件B 相互独立（mutually independent ) .事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立.2．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅问题2中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作A B ⋅．（简称积事件）从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果.于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有54⨯种等可能的结果.同时摸出白球的结果有32⨯种.所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率323()5410P A B ⨯⋅==⨯． 另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率3()5P A =，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率2()4P B =．显然()()()P A B P A P B ⋅=⋅． 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积.一般地，如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅．3．对于事件A 与B 及它们的和事件与积事件有下面的关系：)()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+.三、例题讲解例 1.某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．解： (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB ．由于两次抽奖结果互不影响，因此A 与B 相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025.(2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（A B ）U （A B ）表示．由于事件A B 与A B 互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P (A B ）十P （A B ）=P （A ）P （B ）+ P （A ）P （B )= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB ) U ( A B ）U （A B ）表示．由于事件 AB , A B 和A B 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P ( AB ) + P （A B ）+ P （A B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.例2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人都射中目标的概率；（2）2人中恰有1人射中目标的概率；（3）2人至少有1人射中目标的概率；（4）2人至多有1人射中目标的概率？解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 为相互独立事件，（1）2人都射中的概率为：()()()0.80.90.72P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=，∴2人都射中目标的概率是0.72．（2）“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件A B ⋅发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件A B ⋅发生）根据题意，事件A B ⋅与A B ⋅互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：()()()()()()P A B P A B P A P B P A P B ⋅+⋅=⋅+⋅0.8(10.9)(10.8)0.90.080.180.26=⨯-+-⨯=+=∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26．（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为()[()()]0.720.260.98P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅=+=．（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，2个都未击中目标的概率是()()()(10.8)(10.9)0.02P A B P A P B ⋅=⋅=--=， ∴“两人至少有1人击中目标”的概率为1()10.020.98P P A B =-⋅=-=．（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”， 故所求概率为：()()()P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅()()()()()()P A P B P A P B P A P B =⋅+⋅+⋅0.020.080.180.28=++=．（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，故所求概率为1()1()()10.720.28P P A B P A P B =-⋅=-⋅=-=六、课堂小结：两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.一般地，两个事件不可能即互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的.相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的.七、课时作业1．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( )()A 320()B15()C25()D9202．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，从两个口袋内各摸出1个球，那么56等于（）()A2个球都是白球的概率()B2个球都不是白球的概率()C2个球不都是白球的概率()D2个球中恰好有1个是白球的概率3．电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是（）()A0.128 ()B0.096 ()C0.104 ()D0.3844．某道路的A、B、C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是（）()A35192()B25192()C35576()D651925．（1）将一个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是；（2）甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是0.8与0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是．6．棉籽的发芽率为0.9，发育为壮苗的概率为0.6，（1）每穴播两粒，此穴缺苗的概率为；此穴无壮苗的概率为．（2）每穴播三粒，此穴有苗的概率为；此穴有壮苗的概率为．7．一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第1台是0.79，第2台是0.79，第3台是0.80，第4台是0.81，且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响，计算在这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率.答案：1. C 2. C 3. B 4. A 5.(1) 132(2) 0.566.(1) 0.01 , 0.16 (2) 0.999,0.9367. P=220.790.810.404⨯≈八、板书设计事件的相互独立性 1、知识回顾 3、典型例题（事件的定义） （把握相互独立事件的性质） （随机事件） （公式的应用和理解）（必然事件） （不可能事件） 4、课时练习2、新课引入（ 相互独立事件的定义）（公式表示） 5、课堂小结。
事件的相互独立性 说课稿 教案 教学设计
2．2.2事件的相互独立性(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)理解相互独立事件的定义及意义．(2)掌握相互独立事件概率的乘法公式．2．过程与方法通过进行一些与事件独立有关的概率的计算，掌握相互独立事件概率问题．3．情感、态度与价值观通过实例的分析，学会进行简单的应用，提高数学的学习兴趣．●重点、难点重点：相互独立事件的概率．难点：利用相互独立事件同时发生的概率公式求概率．教学时引导学生结合学习过的互斥事件、对立事件，不断比较、分析理解相互独立事件．再通过例题与练习进一步理解P(AB)＝P(A)P(B)．(教师用书独具)●教学建议在概率论中，独立性是极其重要的概念，它的主要作用是简化概率计算．本节中引入独立性的概念主要是为了介绍二项分布的产生背景，两个事件相互独立与两个事件互斥这两个概念，初学者容易混淆，建议教师在教学中要让学生对这两个概念进行比较，让学生在比较中得到提高．●教学流程创设问题情境，提出问题．⇒引导学生回答问题，理解相互独立事件的概率．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握事件独立性的判断．⇒通过例2及互动探究，使学生掌握求相互独立事件同时发生的概率．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握相互独立事件的实际应用．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．课标解读1.理解相互独立事件的定义及意义．2．理解概率的乘法公式．3．掌握综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题.相互独立事件的概念与性质甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球．从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A ＝“从甲箱里摸出白球”，B ＝“从乙箱里摸出白球”．(1)事件A 发生会影响事件B 发生的概率吗？ (2)试求P (A )，P (B )，P (AB )． (3)P (B |A )与P (B )相等吗？ (4)P (AB )与P (A )P (B )相等吗？ 【提示】 (1)不影响；(2)P (A )＝35，P (B )＝12，P (AB )＝3×25×4＝310；(3)∵P (B |A )＝P (AB )P (A )＝31035＝12，∴P (B |A )＝P (B )；(4)∵P (B |A )＝P (AB )P (A )＝P (B )，∴P (AB )＝P (A )P (B )． 1．相互独立的概念设A 、B 为两个事件，若P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立．2．相互独立的性质若事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也相互独立．事件独立性的判断判断下列各对事件是否是相互独立事件：(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”． 【思路探究】 利用相互独立事件的定义判断．【自主解答】 (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．(3)记A ：出现偶数点，B ：出现3点或6点，则A ＝{2,4,6}，B ＝{3,6}，AB ＝{6}， ∴P (A )＝36＝12，P (B )＝26＝13，P (AB )＝16.∴P (AB )＝P (A )·P (B )， ∴事件A 与B 相互独立．1．利用相互独立事件的定义(即P (AB )＝P (A )·P (B ))可以准确地判定两个事件是否相互独立，这是用定量计算方法，较准确，因此我们必须熟练掌握．2．判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，即看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事件．一个袋子中有4个小球，其中2个白球，2个红球，讨论下列A ，B 事件的相互独立性与互斥性．(1)A ：取一个球为红球，B ：取出的红球放回后，再从中取一球为白球；(2)从袋中取2个球，A ：取出的两球为一白球一红球；B ：取出的两球中至少一个白球． 【解】 (1)由于取出的红球放回，故事件A 与B 的发生互不影响，∴A 与B 相互独立，A ，B 能同时发生，不是互斥事件．(2)设2个白球为a ，b ，两个红球为1,2，则从袋中取2个球的所有取法为{a ，b }，{a,1}，{a,2}，{b,1}，{b,2}，{1,2}，则P (A )＝46＝23，P (B )＝56，P (AB )＝23，∴P (AB )≠P (A )·P (B )．∴事件A ，B 不是相互独立事件，事件A ，B 能同时发生，∴A ，B 不是互斥事件．相互独立事件发生的概率C 三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是15、14、13.求：(1)他们都研制出疫苗的概率； (2)他们都失败的概率； (3)他们能够研制出疫苗的概率．【思路探究】 明确已知事件的概率及其关系→把待求事件的概率表示成已知事件的概率→选择公式计算求值【自主解答】 令事件A 、B 、C 分别表示A 、B 、C 三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A 、B 、C 相互独立，且P (A )＝15，P (B )＝14，P (C )＝13.(1)他们都研制出疫苗，即事件ABC 发生，故 P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝15×14×13＝160.(2)他们都失败即事件A B C 同时发生．故P (A B C )＝P (A )P (B )P (C ) ＝(1－P (A ))(1－P (B ))(1－P (C )) ＝(1－15)(1－14)(1－13)＝45×34×23＝25. (3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率P ＝1－P (A B C )＝1－25＝35.在求事件概率时，要明确事件中的“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰有一个发生”、“都发生”、“都不发生”、“不都发生”等词语的意义，已知两个事件A 、B ，它们的概率分别为P (A )、P (B )，那么：A 、B 中至少有一个发生的事件为A ∪B ； A 、B 都发生的事件为AB ； A 、B 都不发生的事件为A B ； A 、B 恰有一个发生的事件为A B ∪A B ；A 、B 中至多有一个发生的事件为A B ∪A B ∪A B .在例中条件不变，求：(1)只有一个机构研制出疫苗的概率； (2)至多有一个机构研制出疫苗的概率．【解】 (1)只有一个机构研制出疫苗，该事件为(A B C ∪ A B C ∪A B C )，故所求事件的概率为P ＝P (A B C ∪A B C ∪A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝(1－P (A ))(1－P (B ))P (C )＋(1－P (A ))·P (B )(1－P (C ))＋P (A )(1－P (B ))(1－P (C )) ＝(1－15)×(1－14)×13＋(1－15)×14×(1－13)＋15×(1－14)(1－13)＝45×34×13＋45×14×23＋15×34×23＝15＋215＋110＝1330. (2)至多有一机构研制出该疫苗，即事件(A B C ∪A B C ∪A B C ∪A B C )发生，故所求事件的概率为 P (A B C ∪A B C ∪A B C ∪A B C )＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C ) ＝45×34×23＋15×34×23＋45×14×23＋45×34×13＝25＋110＋215＋15＝56.相互独立事件的实际应用B 、丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．求：(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率； (2)求红队至少两名队员获胜的概率．【思路探究】 弄清事件“红队有且只有一名队员获胜”与事件“红队至少两名队员获胜”是由哪些基本事件组成的，及这些事件间的关系，然后选择相应概率公式求值．【自主解答】 设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ， 则D ，E ，F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件． 因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5.(1)红队有且只有一名队员获胜的事件有D E F ，D E F ，D E F ，以上3个事件彼此互斥且独立．∴红队有且只有一名队员获胜的概率P 1＝P (D E F ＋D E F ＋D E F )＝P (D E F )＋P (D E F )＋P (D E F )＝0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.35.(2)法一：红队至少两人获胜的事件有：DE F ，D E F ，D EF ，DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DE F)＋P(D E F)＋P(D EF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.法二：“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事件，而红队都不获胜为事件D E F，且P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＝0.1.∴红队至少两人获胜的概率为P2＝1－P1－P(D E F)＝1－0.35－0.1＝0.55.1．本题(2)中用到直接法和间接法．当遇到“至少”“至多”问题可以考虑间接法．2．求复杂事件的概率一般可分三步进行：(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；(2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．有三种产品，合格率分别是0.90,0.95和0.95，从中各抽取一件进行检验，求恰有一件不合格的概率．【解】设从三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C.P(A)＝0.90，P(B)＝P(C)＝0.95,则P(A)＝0.10，P(B)＝P(C)＝0.05.因为事件A、B、C相互独立，所以恰有一件不合格的概率为P(AB C)＋P(A B C)＋P(A BC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝2×0.90×0.95×0.05＋0.10×0.95×0.95≈0.176.故恰有一件不合格的概率为0.176.间接法在相互独立事件概率中的应用(12分)(2012·成都高二检测)甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．【思路点拨】 本题可以从反面：甲、乙两人考试均不合格来考虑． 【规范解答】 设甲、乙两人考试合格的事件分别为A ，B ，则P (A )＝C 26C 14＋C 36C 310＝60＋20120＝23，P (B )＝C 28C 12＋C 38C 310＝56＋56120＝1415，6分且事件A ，B 相互独立．甲、乙两人考试均不合格的概率为P (A ·B )＝P (A )·P (B )＝(1－23)(1－1415)＝145.9分故甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P ＝1－P (A ·B )＝1－145＝4445.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445.12分求解此类问题的思路一般有两种：1．直接法，即求解时先把待求事件分解成彼此互斥的事件的和事件，在此基础上求相应事件的概率，采用的是“各个击破”的方针．2．间接法，利用对立事件的知识求解，采用的是“正难则反”的解题原则．1．“相互独立事件”与“互斥事件”的区别相互独立事件互斥事件判断方法一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响两个事件不可能同时发生，即AB＝∅概率公式A与B相互独立等价于P(AB)＝P(A)·P(B)若A与B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，反之不成立生的概率等于每个事件发生的概率的积．1．若事件A与B相互独立，则下列不相互独立的事件为()A．A与B B.A与BC．B与B D．B与A【解析】由相互独立性质知A与B，A与B，B与A也相互独立．【答案】 C2．若事件E、F相互独立，且P(E)＝P(F)＝14，则P(EF)＝()A ．0 B.116 C.14 D.12【解析】 ∵E 、F 相互独立，∴P (EF )＝P (E )·P (F )＝116.【答案】 B3．在同一时间内，两个气象台预报天气准确的概率分别为910，45，两个气象台预报准确的概率互不影响，则在同一时间内，至少有一个气象台预报准确的概率为________．【解析】 P ＝1－(1－910)(1－45)＝4950.【答案】49504．制造一种零件，甲机床的正品率是0.96，乙机床的正品率是0.95，从它们制造的产品中任取两件．(1)两件都是正品的概率是多少？ (2)恰有一件是正品的概率是多少？【解】 分别用A 、B 表示从甲、乙机床的产品中抽得正品，C 表示抽取的两件产品中恰有一件是正品，则C ＝A B ＋A B .由题意知，A 、B 是相互独立事件，A B 、A B 是互斥事件． (1)P (A ·B )＝P (A )·P (B )＝0.96×0.95＝0.912. (2)P (C )＝P (A B ＋A B )＝P (A B )＋P (A B ) ＝0.96×(1－0.95)＋(1－0.96)×0.95 ＝0.086.一、选择题1．一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，用A 1表示第一次摸得白球，A 2表示第二次摸得白球，则事件A 1与A 2是( )A ．相互独立事件B ．不相互独立事件C ．互斥事件D ．对立事件【解析】 由题意知A 2表示“第二次摸到的不是白球”，即A 2表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A 1与A 2是相互独立事件．【答案】 A2．(2012·鄂州高二检测)甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是13，乙解决这个问题的概率是14，那么其中至少有一人解决这个问题的概率是( )A.712B.112C.1112D.12【解析】 “甲解决问题”记为事件A ，“乙解决问题”记为事件B ，且A 、B 相互独立，∴P ＝1－P (A B )＝1－P (A )P (B )＝1－(1－13)(1－14)＝12.【答案】 D3．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A.12B.512C.14D.16【解析】 设“两个零件中恰有一个一等品”为事件A ，因事件相互独立，所以P (A )＝23×14＋13×34＝512. 【答案】 B4．如图2－2－1所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )图2－2－1A.49B.29C.23D.13【解析】 左边转盘指针落在奇数区域的概率为46＝23，右边转盘指针落在奇数区域的概率为23，∴两个指针同时落在奇数区域的概率为23×23＝49.【答案】 A5．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为12和13，两人同时参加测试，其中有且只有一人通过的概率是( )A.13B.23C.12D ．1 【解析】 设事件A 表示“甲通过听力测试”，事件B 表示“乙通过听力测试”．依题意知事件A 和B 相互独立，且P (A )＝12，P (B )＝13.记“有且只有一个人通过听力测试”为事件C ，则C ＝A B ∪A B ，且A B 和A B 互斥，故P (C )＝P (A B ∪A B )＝P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝12×(1－13)＋(1－12)×13＝12.【答案】 C 二、填空题6．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________．【解析】 设“从甲袋中取白球”为事件A ， 则P (A )＝812＝23.设“从乙袋中取白球”为事件B ，则P (B )＝612＝12.取得同色球为AB ＋A B .P (AB ＋A B )＝P (AB )＋P (A B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＝23×12＋13×12＝12.【答案】 127．某机械零件加工由2道工序组成，第1道工序的废品率为a ，第2道工序的废品率为b ，假定这2道工序是否出废品彼此无关，那么产品的合格率是________．【解析】 产品合格要求两道工序都成为正品，则产品合格率为(1－a )(1－b )＝ab －a －b ＋1.【答案】 ab －a －b ＋18．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是________．【解析】 法一：用间接法考虑，事件A 、B 一个都不发生的概率为P (A B )＝P (A )·P (B )＝12×C 45C 16＝512，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率＝1－P (A B )＝712.法二：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝P (A )＋P (B )－P (A )P (B )＝12＋16－12×16＝712，或P (A ＋B )＝1－P (A ＋B )＝1－(1－12)(1－16)＝712.【答案】712三、解答题9．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为45、56、23，且三个项目是否成功互相独立．(1)求恰有两个项目成功的概率； (2)求至少有一个项目成功的概率．【解】 (1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为 45×56×(1－23)＝29， 只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为 45×(1－56)×23＝445， 只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为 (1－45)×56×23＝19，∴恰有两个项目成功的概率为 29＋445＋19＝1945. (2)三个项目全部失败的概率为 (1－45)×(1－56)×(1－23)＝190，∴至少有一个项目成功的概率为1－190＝8990.10．(2012·石家庄高二检测)某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案： 方案一：考三门课程至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为0.5,0.6,0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．(1)求该应聘者用方案一通过的概率； (2)求该应聘者用方案二通过的概率．【解】 记“应聘者对三门考试及格的事件”分别为A ，B ，C .P (A )＝0.5，P (B )＝0.6，P (C )＝0.9.(1)该应聘者用方案一通过的概率是P 1＝P (AB C )＋P (A BC )＋P (A B C )＋P (ABC ) ＝0.5×0.6×0.1＋0.5×0.6×0.9＋0.5×0.4×0.9＋0.5×0.6×0.9 ＝0.03＋0.27＋0.18＋0.27＝0.75.(2)应聘者用方案二通过的概率P 2＝13P (AB )＋13P (BC )＋13P (AC )＝13(0.5×0.6＋0.6×0.9＋0.5×0.9) ＝13×1.29＝0.43. 11．(2013·重庆高考)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率； (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列．【解】 设A i (i ＝0,1,2,3)表示摸到i 个红球，B j (j ＝0,1)表示摸到j 个蓝球，则A i 与B j 独立．(1)恰好摸到1个红球的概率为P (A 1)＝C 13C 24C 37＝1835.(2)X 的所有可能值为：0,10,50,200，且 P (X ＝200)＝P (A 3B 1)＝P (A 3)P (B 1)＝C 33C 37·13＝1105，P (X ＝50)＝P (A 3B 0)＝P (A 3)P (B 0)＝C 33C 37·23＝2105，P (X ＝10)＝P (A 2B 1)＝P (A 2)P (B 1)＝C 23C 14C 37·13＝12105＝435，P (X ＝0)＝1－1105－2105－435＝67.综上可知，获奖金额X 的分布列为X 0 10 50 200 P6743521051105(教师用书独具)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．(1)求三位同学都没有中奖的概率；(2)求三位同学中至少有两位没有中奖的概率．【思路探究】 本题考查相互独立事件、互斥事件等概率的计算，考查运用所学知识解决实际问题的能力．(1)直接利用相互独立事件的概率公式求解；(2)利用互斥事件的概率求解，可直接求，也可先求对立事件的概率．【自主解答】 (1)记甲、乙、丙中奖的事件分别为A 、B 、C ，则P (A )＝P (B )＝P (C )＝16.P (A ·B ·C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝(56)3＝125216.所以三位同学都没有中奖的概率为125216.(2)法一：1－P (A ·B ·C ＋A ·B ·C ＋A ·B ·C ＋A ·B ·C )＝1－3×(16)2×56－(16)3＝2527.法二：P (A ·B ·C ＋A ·B ·C ＋A ·B ·C ＋A ·B ·C )＝(56)3＋3×16×(56)2＝2527.所以三位同学中至少有两位没有中奖的概率为2527.甲、乙两人破一密码，他们能破译的概率分别为13和14.求：(1)两人都能破译的概率； (2)两人都不能破译的概率．【解】 设“甲能破译”为事件A ，“乙能破译”为事件B ，则A 、B 相互独立，从而A 与B 、A 与B 、A 与B 均相互独立．(1)“两个都能破译”为事件AB ，则 P (AB )＝P (A )·P (B )＝13×14＝112.(2)“两人都不能破译”为事件A B ，则 P (A B )＝P (A )·P (B )＝[1－P (A )]·[1－P (B )] ＝(1－13)×(1－14)＝12.。
事件的相互独立性 高中数学教案10-2
§10.2事件的相互独立性学习目标1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．知识点一相互独立事件的概念对任意两个事件A 与B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )成立，则称事件A 与事件B 相互独立，简称独立．知识点二相互独立事件的性质如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．1．不可能事件与任何一个事件相互独立．(√)2．必然事件与任何一个事件相互独立．(√)3．“P (AB )＝P (A )·P (B )”是“事件A ，B 相互独立”的充要条件．(√)4．如果两个事件相互独立，则它们的对立事件也是相互独立的．(√)一、事件独立性的判断例1判断下列事件是否为相互独立事件．(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”．(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．解(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．反思感悟两个事件是否相互独立的判断(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．(2)公式法：若P(AB)＝P(A)·P(B)，则事件A，B为相互独立事件．跟踪训练1分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的是________．(填序号)①A，B；②A，C；③B，C.答案①②③解析根据事件相互独立性的定义判断，只要P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)成立即可．利用古典概型概率公式计算可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25.可以验证P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)．所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C 相互独立．二、相互独立事件概率的计算例2根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立．(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率．解记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A与B，A与B，A与B，B与A都是相互独立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6.(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，则C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.5×0.6＝0.3.(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则D＝A B，所以P(D)＝P(A B)＝P(A)·P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3.延伸探究本例中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少？解记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”，方法一则事件E包括A B，A B，AB，且它们彼此为互斥事件．所以P(E)＝P(A B＋A B＋AB)＝P(A B)＋P(A B)＋P(AB)＝0.5×0.6＋0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.8.方法二事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件．所以P (E )＝1－P (A B )＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8.反思感悟(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤①首先确定各事件之间是相互独立的．②求出每个事件的概率，再求积．(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的．跟踪训练2甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为13和14，两人能否破译密码相互独立，求两人破译时，以下事件发生的概率：(1)两人都能破译的概率；(2)恰有一人能破译的概率；(3)至多有一人能破译的概率．解记事件A 为“甲独立地破译出密码”，事件B 为“乙独立地破译出密码”．(1)两个人都破译出密码的概率为P (AB )＝P (A )P (B )＝13×14＝112.(2)恰有一人破译出密码分为两类：甲破译出乙破译不出，乙破译出甲破译不出，即A B ＋A B ，∴P (A B ＋A B )＝P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝13××14＝512.(3)至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，∴其概率为1－P (AB )＝1－112＝1112.三、相互独立事件概率的综合应用例3计算机考试分理论考试与实际操作两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为12，23，56，所有考试是否合格相互之间没有影响．(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率．解(1)记“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C ，则P (A )＝45×12＝25，P (B )＝34×23＝12，P (C )＝23×56＝59.因为P (C )>P (B )>P (A )，所以丙获得合格证书的可能性最大．(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D ，由题易知三人是否获得合格证书相互独立，则P (D )＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝25×12×49＋25×12×59＋35×12×59＝1130.反思感悟求较复杂事件的概率的一般步骤如下(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示．(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式．(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算．(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．跟踪训练3三个元件T 1，T 2，T 3正常工作的概率分别为12，34，34，将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，它们是否正常工作相互独立．在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率是多少？解记T 1正常工作为事件A ，T 2正常工作为事件B ，T 3正常工作为事件C ，则P (A )＝12，P (B )＝P (C )＝34，电路不发生故障，即T 1正常工作且T 2，T 3至少有一个正常工作，T 2，T 3至少有一个正常工作的概率P 1＝1＝1516，所以整个电路不发生故障的概率为P ＝P (A )×P 1＝12×1516＝1532.方程思想在相互独立事件概率中的应用典例甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29，分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率．解记事件A ，B ，C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品．P (A )·[1－P (B )]＝14，P (B )·[1－P (C )]＝112，P (A )·P (C )＝29，解方程组并舍去不合题意的根，得P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝23.即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13，14，23.[素养提升]对于相互独立事件中的概率问题，可先从问题的数量关系入手，根据概率的定义、公式等构造方程(组)，通过解方程(组)解决问题，提升数学抽象素养．1．坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A 1表示第1次摸到白球，A 2表示第2次摸到白球，则A 1与A 2()A ．是互斥事件B ．是相互独立事件C ．是对立事件D ．不是相互独立事件答案D解析互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件，故选项A ，C 错．而事件A 1的发生对事件A 2发生的概率有影响，故两者不是相互独立事件．2．一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为()A ．1B ．0.629C ．0D ．0.74或0.85答案B解析设“甲保险丝熔断”为事件A ，“乙保险丝熔断”为事件B ，则P (A )＝0.85，P (B )＝0.74，由事件A 与B 相互独立，得“两根保险丝都熔断”为事件AB ，∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.85×0.74＝0.629.3．(多选)下列各对事件中，不是相互独立事件的有()A ．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”B ．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”C ．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”D ．甲、乙两运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”答案ACD解析在A 中，甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件，不独立；在B 中，甲、乙各射击一次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是相互独立事件；在C 中，甲、乙各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件，不独立；在D 中，设“至少有1人射中目标”为事件A ，“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B ，则AB ＝B ，因此当P (A )≠1时，P (AB )≠P (A )·P (B )，故A ，B 不独立．故选A ，C ，D.4．已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0.8，0.85，且3人是否击中目标相互独立．若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的概率为________．答案0.009解析3人向目标各发1枪，由相互独立事件的概率计算公式，得目标没有被击中的概率P＝(1－0.7)×(1－0.8)×(1－0.85)＝0.3×0.2×0.15＝0.009.5．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170，169，168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．答案370解析＝6770，因此加工出来的零件的次品率为1－6770＝370.1．知识清单：(1)相互独立事件的判断．(2)相互独立事件概率的计算．2．方法归纳：构造方程(组)、通过解方程(组)求概率，正难则反思想求概率．3．常见误区：相互独立事件与互斥事件易混淆．1．掷一枚骰子一次，设事件A：“掷出偶数点”，事件B：“掷出3点或6点”，则事件A，B的关系是()A．互斥但不相互独立B．相互独立但不互斥C．互斥且相互独立D．既不相互独立也不互斥答案B解析事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}，样本空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}，所以P(A)＝36＝12，P(B)＝26＝13，P(AB)＝16＝12×13，即P(AB)＝P(A)P(B)，因此事件A与B相互独立．当“掷出6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件．2．某射击运动员每次射击命中目标的概率都为0.9，则他连续射击两次都命中的概率是() A．0.64B．0.56C．0.81D．0.99答案C解析A i表示“第i次击中目标”，i＝1,2，则P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝0.9×0.9＝0.81.3．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为()A．0.12B．0.42C．0.46D．0.88答案D解析设“甲被录取”记为事件A，“乙被录取”记为事件B，则两人至少有一人被录取的概率P＝1－P(A B)＝1－[1－P(A)][1－P(B)]＝1－0.4×0.3＝0.88.4．从甲袋中摸出1个红球的概率是13，从乙袋中摸出1个红球的概率是12，从两袋中各摸出1个球，则23可能是()A．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有1个红球的概率D ．2个球中恰有1个红球的概率答案C解析记4个选项中的事件分别为A ，B ，C ，D ，则：P (A )＝1－13×12＝56，P (B )＝13×12＝16，P (C )＝1＝23，P (D )＝13××12＝12.5．(多选)下列各对事件中，M ，N 是相互独立事件的有()A ．掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M ＝“出现的点数为奇数”，事件N ＝“出现的点数为偶数”B ．袋中有5个白球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M ＝“第1次摸到白球”，事件N ＝“第2次摸到白球”C ．分别抛掷2枚相同的硬币，事件M ＝“第1枚为正面”，事件N ＝“两枚结果相同”D ．一枚硬币掷两次，事件M ＝“第一次为正面”，事件N ＝“第二次为反面”答案CD解析在A 中，M ，N 是互斥事件，不相互独立；在B 中，M ，N 不是相互独立事件；在C中，P (M )＝12，P (N )＝12，P (MN )＝14，P (MN )＝P (M )P (N )，因此M ，N 是相互独立事件；在D中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此M ，N 是相互独立事件．故选C ，D.6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________．答案35解析设此队员每次罚球的命中率为P ，则1－P 2＝1625，所以P ＝35.7．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A 型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A 型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A 型螺栓的概率为________．答案35解析从甲盒内取一个A型螺杆记为事件M，从乙盒内取一个A型螺母记为事件N，因为事件M，N相互独立，所以能配成A型螺栓(即一个A型螺杆与一个A型螺母)的概率为P(MN)＝P(M)P(N)＝160200×180240＝35.8．两人打靶，甲中靶的概率为0.8，乙中靶的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是________，它们都不中靶的概率为________．答案0.560.06解析设A＝“甲中靶”，B＝“乙中靶”，A与B相互独立，利用P(AB)＝P(A)P(B)得P(AB)＝0.8×0.7＝0.56，P(A B)＝P(A)P(B)＝(1－0.8)(1－0.7)＝0.06.9．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．求：(1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率；(2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(3)进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率．解记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P(A)＝0.5；记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P(B)＝0.6；记C表示事件“进入商场的1位顾客甲、乙两种商品都购买”；记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”；记E表示事件“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”．(1)易知C＝AB，则P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.(2)易知D＝(A B)∪(A B)，则P(D)＝P(A B)＋P(A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.(3)易知E＝A B，则P(E)＝P(A B)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2.故P(E)＝1－P(E)＝0.8.10．为应对金融危机，刺激消费，某市给市民发放面额为100元的旅游消费券，由抽样调查预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其概率如下表：200元300元400元500元老年0.40.30.20.1中年0.30.40.20.1青年0.30.30.20.2某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到该旅游景点．(1)求这三人恰有两人的消费额不少于300元的概率；(2)求这三人的消费总额大于或等于1300元的概率．解(1)设三人中恰有两人的消费额不少于300元的概率为P 1，则P 1＝(0.7)2×0.4＋2×0.3×0.7×0.6＝0.448.(2)消费总额为1500元的概率是0.1×0.1×0.2＝0.002，消费总额为1400元的概率是(0.1)2×0.2＋2×(0.2)2×0.1＝0.010，消费总额为1300元的概率是(0.1)2×0.3＋0.3×0.1×0.2＋0.1×0.4×0.2＋0.23＋2×0.22×0.1＝0.033，所以消费总额大于或等于1300元的概率是0.045.11.同时转动如图所示的两个质地均匀的转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y (若指针停在边界上则重新转)，x ，y 构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中，满足xy ＝4的概率为()A.116B.18C.316D.14答案C解析满足xy ＝4的所有可能如下：x ＝1，y ＝4；x ＝2，y ＝2；x ＝4，y ＝1.∴所求事件的概率为P ＝P (x ＝1，y ＝4)＋P (x ＝2，y ＝2)＋P (x ＝4，y ＝1)＝14×14＋14×14＋14×14＝316.12．设两个相互独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )等于()A.29B.118C.13D.23答案D解析由题意知，P (A )·P (B )＝19，P (A )·P (B )＝P (A )·P (B )．设P (A )＝x ，P (B )＝y ，－x )(1－y )＝19，－x )y ＝x (1－y )，－x －y ＋xy ＝19，＝y .∴x 2－2x ＋1＝19，∴x －1＝－13，或x －1＝13(舍去)，∴x ＝23.13.如图，已知电路中4个开关每个闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为()A.316B.34C.1316D.14答案C 解析灯不亮包括四个开关都断开，或下边的2个都断开且上边的2个中有一个断开，这两种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，∴灯不亮的概率为12×12×12×12＋12×12×12×12＋12×12×12×12＝316.∵灯亮与不亮是对立事件，∴灯亮的概率是1－316＝1316.14．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．答案0.128解析由已知条件知，第2个问题答错，第3,4个问题答对，记“问题回答正确”事件为A ，则P (A )＝0.8，故P ＝P [(A ＋A )A AA ]＝[1－P (A )]·P (A )·P (A )＝0.128.15．(多选)如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A ，B ，C ，D ，E .箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是()A ．A ，B 两个盒子串联后畅通的概率为13B ．D ，E 两个盒子并联后畅通的概率为130C ．A ，B ，C 三个盒子混联后畅通的概率为56D ．当开关合上时，整个电路畅通的概率为2936答案ACD 解析由题意知，P (A )＝12，P (B )＝13，P (C )＝14，P (D )＝15，P (E )＝16，所以A ，B 两个盒子畅通的概率为12×23＝13，因此A 正确；D ，E 两个盒子并联后畅通的概率为1－15×16＝1－130＝2930，因此B 错误；A ，B ，C 三个盒子混联后畅通的概率为1－23×14＝1－16＝56，C 正确；当开关合上时，电路畅通的概率为2930×56＝2936，D 正确．故选A ，C ，D.16．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．解甲、乙两人租车时间超过三小时不超过四小时的概率分别为1－14－12＝14，1－12－14＝14.(1)租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况．都付0元的概率为P 1＝14×12＝18；都付2元的概率为P 2＝12×14＝18；都付4元的概率为P 3＝14×14＝116.所以，甲、乙两人所付租车费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝5 16 .(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则ξ＝4表示两人的租车费用之和为4元，其可能的情况是甲、乙的租车费用分别为①0元，4元；②2元，2元；③4元，0元．所以可得P(ξ＝4)＝14×14＋12×14＋14×12＝516，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为516 .。
10.2事件的相互独立性-教案-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
10.2 事件的相互独立性一、教学目标1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义。
2.结合古典概型，利用独立性计算概率，并能解决一些简单问题。
二、教学重难点1.教学重点相互独立事件的概念及概率的计算。
2.教学难点独立性的应用。
三、教学过程1.新课导入前面我们研究过互斥事件、对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法.对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时发生.因此，积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关.那么，这种关系会是怎样的呢？下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题.2.探索新知学习P246-247两个随机试验，从上述两个试验的共性中得到启发，我们引入这种事件关系的一般定义：对任意两个事件A与B，如果)APP=成立，则称事件AABP(B)()(与事件B相互独立，简称为独立.由两个事件相互独立的定义，容易验证必然事件Ω、不可能事件∅都与任意事件相互独立.这是因为必然事件Ω总会发生，不会受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件∅总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响，当然，它们也不影响其他事件是否发生.对于A与B，因为B=，而且AB与BAABAA互斥，所以ABABPP=AB=P+A((P)))(A(B)BP=，所以AP+AP())(B()BAPPPPBAA=-=.-P=PBAAPP1)())()()((()))(B(()由事件的独立性定义，A与B相互独立.类似地，可以证明事件A与B，A与B也都相互独立.3.课堂练习1．下列事件A，B是相互独立事件的是()A．一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子，A表示“出现点数为奇数”，B表示“出现点数为偶数”D．A表示“一个灯泡能用1 000小时”，B表示“一个灯泡能用2 000小时”答案：A解析：把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A 事件与B事件不相互独立；对于C，其结果具有唯一性，A，B应为互斥事件；D中事件B受事件A的影响．2．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是() A．互斥事件B．相互独立事件C．对立事件D．不相互独立事件答案：D解析：根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A 与B不是相互独立事件．3．甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为()A．0.42 B．0.28C．0.18 D．0.12答案：D解析：∵甲、乙考试相互独立，∴甲、乙两人都未达到优秀的概率为P＝(1－0.6)×(1－0.7)＝0.12.4.小结作业小结：本节课学习了相互独立事件的概念及概率的计算。
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两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生;
两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。
相互独立事件的判断方法
1.定义法：P(AB)=P(A)P(B)
2.直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响。
例1.一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异，采用不放回方式从中任意摸球两次，设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？
分别计算P(A),P(B),P(AB),看看它们之间有什么关系？
样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}包含16个等可能的样本点.
而A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)},
B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}, AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},
解：因为样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4},且m≠n},共有12个样本点A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)},
B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},
AB={(1,2),(2,1)}
所以此时P(AB)≠P(A)P(B),因此，事件A与事件B不独立.
例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8,
乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率：
于是也有P(AB)=P(A)P(B).积事件AB的概率P(AB)也等于P(A),P(B)的乘积.
相互独立事件的定义:
设A,B两个事件,如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响(即P(AB)=P(A)P(B)),则称事件A与事件B相互独立.简称独立.
显然:(1)必然事件及不可能事件与任何事件A相互独立.
10.2事件的相互独立性
本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第十章《10.2事件的相互独立性》，本节课主要事在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，相互独立性是另一种重要的事件关系，注意对概率思想方法的理解。发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
课程目标
学科素养
③袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球.
事件A：第一次从中任取一个球是白球.
事件B：第二次从中任取一个球是白球.
是;是;不是
2.下列事件中，A，B是相互独立事件的是()
A．一枚硬币掷两次，A＝{第一次为正面}，B＝{第二次为反面}
B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝{第一次摸到白球}，B＝{第二次摸到白球}
A.理解两个事件相互独立的概念．
B．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．
C.通过对实例的分析，会进行简单的应用.
1.数学建模：相互独立事件的判定
2.逻辑推理：相互独立事件与互斥事件的关系ຫໍສະໝຸດ 3.数学运算：相互独立事件概率的计算
4.数据抽象：相互独立事件的概念
1.教学重点：理解两个事件相互独立的概念
2.教学难点：事件独立有关的概念的计算
而A={(1,1),(1,0)},B={(1,0),(0,0)},
所以AB={(1,0)}.
由古典概型概率计算公式，得P(A)=P(B)=0.5, P(AB)=0.25.
于是P(AB)=P(A)P(B).
积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.
分析：因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率
(2)若事件A与B相互独立,则以下三对事件也相互独立:
① ② ③
例如证①
1.判断下列事件是否为相互独立事件.
①篮球比赛的“罚球两次”中，
事件A：第一次罚球，球进了.
事件B：第二次罚球，球进了.
②袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球.
事件A：第一次从中任取一个球是白球.
事件B：第二次从中任取一个球是白球.
思考2:一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”.事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？
分析：对于试验2,因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.
下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题。
思考1:分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？
分别计算P(A),P(B),P(AB),看看它们之间有什么关系？
用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，
则样本空间为Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},包含4个等可能的样本点.
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教学设计意图
核心素养目标
一、探究新知
前面我们研究过互斥事件，对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法，对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？
我们知道积事件AB就是事件A与事件B同时发生，因此，积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关系，那么这种关系会是怎样的呢？
C．掷一枚骰子，A＝{出现点数为奇数}，B＝{出现点数为偶数}
D．A＝{人能活到20岁}，B＝{人能活到50岁}
答案：A
解析：把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是独立事件；
B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；
对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；
D是条件概率，事件B受事件A的影响．
3.抛掷一枚均匀的骰子一次,记事件A=“出现偶数点”,B=“出现3点或6点”,则事件A与B的关系是()
A.互斥B.相互独立
C.既相互互斥又相互独立事件
D.既不互斥又不相互独立事件
答案:B
解析:因为A={2,4,6},B={3,6},A∩B={6},
所以P(A)= ,P(B)= ,P(AB)= ,所以A与B相互独立.