第四章 Lebesgue积分的知识要点与复习自测
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分复习小结
x
1
2
例3、如图所示，已知曲线 C1
2
x t 0 t 1 与曲线 C1 、 2 C 分别相交于点 D 、B ，连结 OD, DA , AB 。写出曲边四边形 ABOD （阴影部分）的面积 S 与 的函数关 系式 S f t 。
直线 C2 : y x 2ax a 1 交于点 O 、A ，
四）、课堂练习：课本P95页复习题四A组 1、2
（
（五）、作业布置：课本P95页复习题四A 组4（1）、（8），5、10、11
五、教后反思：
a
奇函数，
a
f x dx
。
（二）、方法点拨： 1、求由两条曲线围城的平面图形的面积的解题 步骤：（1）、画出图形；（2）确定图形的范 围，通过解方程组求出交点的横坐标，为定积 分的上下界；（3）确定被积函数函数，特别分 清被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形 面积的定积分表达式；（5）运用微积分公式求 出定积分。
0
2
2
1 3 2 2 S f t t at a t 0 t 1 6
例4、物体A以速度
v 3t 1
2
在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同 时，物体B在物体A的正前方5m处以 v 10t 的速度与A同向运动，问两物体何时相遇？相 遇时物体A的走过的路程是多少？（时间单位 为：s，速度单位为：m/s）
b
a
它叫做微积分基本定理，也称牛顿—莱布尼茨 公式，F x 是 f x 的 。 b 7、计算定积分 f x dx F b F a a = = 。
8、若 f x 在 a, a上连续，且是偶函数，则有
Lebesgue积分与Lebesgue测度
Lebesgue积分与Lebesgue测度Lebesgue积分是数学分析中的一种积分方法，它是由法国数学家亨利·勒贝格(Henri Lebesgue)在20世纪初提出的。
与传统的黎曼积分相比，Lebesgue积分在理论上更加严密，也更加广泛地适用于各种函数类。
为了介绍Lebesgue积分，首先需要了解Lebesgue测度。
Lebesgue测度是由Lebesgue在衡量集合的大小时提出的一种新的测度方法。
在传统的黎曼积分中，我们通过将函数分解为若干小区间上的近似和来进行积分。
而Lebesgue积分则通过将函数关注的点和其取值联系起来，基于集合的度量来定义积分。
Lebesgue测度的定义从开区间扩展到一般的集合上，通过定义集合的外测度、内测度和可测性来确定集合的Lebesgue测度。
其中，外测度是通过向置换集合中的开区间进行测量所得到的上估计，而内测度则是通过向置换集合的闭区间进行测量所得到的下估计。
如果对于任意给定的正实数ε，可以找到一个开区间覆盖集合，使得这些开区间的总长度与集合的外测度之差小于ε，则称该集合是可测的，且定义其外测度为集合的Lebesgue测度。
Lebesgue积分的定义基于Lebesgue测度，它通过将积分的定义扩展到更广泛的函数类上。
传统的黎曼积分只适用于可积函数，即函数在有限闭区间上有界且有有限个间断点的函数。
而Lebesgue积分则可以对更一般的函数进行积分，包括不可积函数、无界函数和带有无穷间断点的函数。
它的优势在于，在定义和计算上更加简洁和自然。
Lebesgue积分的定义通过将函数的取值和其关注的点联系起来，将函数视为一个整体来进行积分。
对于一个非负的可测函数，Lebesgue积分被定义为函数图像下方的小矩形与x轴之间的面积之和，即以函数图像作为被积函数，Lebesgue测度作为积分定义的测度，进行积分运算。
Lebesgue积分的性质与黎曼积分相类似，包括线性性、有界性、可加性、保序性等。
高中数学 第四章 定积分 4.2 微积分基本定理自我小测 北师大版选修2-2(2021年最新整理)
编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第四章定积分4.2 微积分基本定理自我小测北师大版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第四章定积分4.2 微积分基本定理自我小测北师大版选修2-2的全部内容。
—21。
10⎰x 2dx ＝( ）． A ．0B ．13C ．213xD ．2x2．下列值等于1的积分是（ ）． A ．1⎰xdxB ．10⎰ (x ＋1）dxC ．1⎰1dxD ． 10⎰12dx3．下列式子正确的是（ )． A ．b a ⎰f (x )dx ＝f (b )－f (a ） B ．b a ⎰f ′（x ）dx ＝f （b )－f (a ）C ．b a ⎰f （x )dx ＝f (x ）D ．()d ba f x x '⎡⎤⎰⎣⎦＝f (x )4. ππ-⎰ (sin x ＋cos x )dx ＝( ）． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．25．设f （x )＝2,[0,1),2,[1,2],x x x x ⎧∈⎨-∈⎩则20⎰f (x )dx ＝（ )．A ．34B ．45C ．56D ．656．若0k⎰（2x －3x 2)dx ＝0,则k 的值为( ）．A ．0B ．1C ．0或1D ．以上都不对7．（2012江西高考，理11)计算定积分11-⎰ （x 2＋sin x ）dx ＝__________。
8．m ＝10⎰e xdx 与n ＝1e ⎰错误!dx 的大小关系是m ______n （填“＞"“＜”或“＝”）．9．计算下列定积分：(1)50⎰4dx ； （2）21⎰(x －1)dx ；(3）2112x x⎛⎫⎰- ⎪⎝⎭dx ； (4)0π-⎰－πsin xdx 。
第4章_第一节 Lesbesgue积分的定义及性质
0
1
定理4.1 设ϕ ( x )和ψ ( x )为可测集E上的非负简单函数,则有
(2) ∫ cϕ ( x )dx = c ∫ ϕ ( x )dx (c为非负实数);
E E
(1) 0 ≤ ∫ ϕ ( x )dx ≤ ∞;
E
(3) ∫ (ϕ ( x ) + ψ ( x )) dx = ∫ ϕ ( x )dx + ∫ ψ ( x )dx;
n →∞
limψ n ( x) = f ( x) ≥ ϕ m ( x), ∀m
n →∞
由引理 4.1可得
n →∞
lim ∫ ϕn ( x)dx ≥ ∫ ψ l ( x)dx, ∀l
n →∞ E E
lim ∫ ψ n ( x)dx ≥ ∫ ϕm ( x)dx, ∀m
再对 l , m分别取极限可得 lim ∫ ϕn ( x)dx = lim ∫ ψ n ( x)dx.
令 Ak = { x ∈ Ei | ψ k ( x) ≥ ci − ε } (ε > 0, k = 1, 2, ),
Байду номын сангаасEi
k →∞
Ei
由于{Ak }是递增的可测集列及 limψ k ( x) ≥ ϕ ( x) > ci − ε ( x ∈ Ei ).
k →∞ ∞
则有 mEi =m(∪ Ak )=m( lim Ak )= lim mAk ,
⒉ 一般可测函数积分的性质
⑴零测集上的任何函数的积分为0. ⑵ f(x)可积当且仅当|f(x)|可积（f(x)是可测函数）, 且 | ∫E f ( x )dx |≤ ∫E | f ( x ) |dx
f (x) = f
+
(x) − f
高中数学 第四章 定积分 4.2 微积分基本定理自我小测 北师大版选修22
高中数学 第四章 定积分 4.2 微积分基本定理自我小测 北师大版选修2-21.10⎰x 2dx ＝( )． A ．0B ．13C ．213x D ．2x2．下列值等于1的积分是( )． A ．10⎰xdxB ．10⎰ (x ＋1)dxC ．10⎰1dxD ． 10⎰12dx3．下列式子正确的是( )． A ．ba ⎰f (x )dx ＝f (b )－f (a ) B ．ba ⎰f ′(x )dx ＝f (b )－f (a ) C ．b a ⎰f (x )dx ＝f (x )D ．()d b a f x x '⎡⎤⎰⎣⎦＝f (x )4. ππ-⎰ (sin x ＋cos x )dx ＝( )． A ．－1B ．0C ．1D ．25．设f (x )＝2,[0,1),2,[1,2],x x x x ⎧∈⎨-∈⎩则20⎰f (x )dx ＝( )．A ．34B ．45C ．56D ．656．若0k⎰(2x －3x 2)dx ＝0，则k 的值为( )． A ．0B ．1C ．0或1D ．以上都不对7．(2012江西高考，理11)计算定积分11-⎰ (x 2＋sin x )dx ＝__________.8．m ＝10⎰e x dx 与n ＝1e ⎰1xdx 的大小关系是m ______n (填“＞”“＜”或“＝”)．9．计算下列定积分：(1)50⎰4dx ； (2)21⎰(x －1)dx ； (3)2112x x ⎛⎫⎰-⎪⎝⎭dx ； (4)0π-⎰－πsin xdx . 10．已知f (a )＝10⎰(2ax 2－a 2x )dx ，求f (a )的最大值．参考答案1.答案：B 解析：123100111d |0333x x x ⎰==-=. 2.答案：B 解析：1210011d |22x x x ⎰==， 10⎰(x ＋1)dx ＝21013|22x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，10⎰1dx ＝10|x ＝1，112⎰dx ＝1011|22x =. 3.答案：B 解析：ba ⎰f ′(x )dx ＝f (x )|ba ＝f (b )－f (a )．4.答案：B 解析：ππ-⎰(sin x ＋cos x )dx ＝ππ-⎰sin xdx ＋ππ-⎰cos xdx ＝(－cos x )ππ|-＋sin x ππ|-＝0.5.答案：B 解析：20⎰f (x )dx ＝10⎰x 2dx ＋21⎰(2－x )dx ＝312201115|2|326x x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 6.答案：B 解析：∵0k ⎰(2x －3x 2)dx ＝0， ∴(x 2－x 3)0|k＝0， ∴k 2－k 3＝0， ∴k ＝0(舍)或k ＝1. 7.答案：23 解析：11-⎰(x 2＋sin x )dx ＝31112cos |33x x -⎛⎫-= ⎪⎝⎭.8.答案：＞ 解析：m ＝1⎰e xdx ＝e x 10|＝e －1，n ＝e11x⎰dx ＝ln x e 1|＝1. ∴m ＞n .9.答案：解：(1)50⎰4dx ＝4x 50|＝4×5－4×0＝20. (2)21⎰(x －1)dx ＝22211111|2212222x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯---=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (3)2112x x ⎛⎫⎰-⎪⎝⎭dx ＝(x 2－ln x )21|＝(4－ln 2)－(1－0)＝3－ln 2.(4)0π-⎰sin xdx ＝(－cos x )0π|-＝－cos 0＋cos(－π)＝－1＋(－1)＝－2. 10.解：由题知f (a )＝10⎰(2ax 2－a 2x )dx ＝3221202121|3232ax a x a a ⎛⎫-=-⎪⎝⎭.∴f (a )＝222112232239a a a ⎛⎫-=--+ ⎪⎝⎭.∴当a ＝23时，f (a )max ＝29.。
非负简单函数的Lebesgue积分
Lebesgue 积分引 言有100张各种面值的纸币,求总币值. )(x f :]100,0[,)(x f 的值有10种(略去1,2,5分)1.01=y ,2.02=y ,5.03=y ,14=y ,25=y ,56=y ,107=y ,208=y ,509=y ,10010=y . )(x f 在),1[k k -上取kn y ,100,,2,1 =k . 两种方法:(i)从左到右累加=S )]1()[(1001--∑=k k f k k ξk n k y 1001=∑=(按人民币的次序分类)(ii)按币值分类再相加对每一s ,101≤≤s ,把所有取s y 的区间相加.s s y S 101=∑={}的区间长度之和所有取值为s y ⋅如:对⎩⎨⎧=01)(x D 上无理数为上有理数为]1,0[]1,0[x x Riemann 不可积.而对Lebesgue:)(0)(1Ω⋅+⋅m Q m ,即)(Q m 个1加上)(Ωm 个0结果为0.所以0)(10=⎰dx x D .对于前述有限张人民币,取有限个值,相当于简单函数.所以介绍Lebesgue 积分,我们从最简单开始.§3.1非负简单函数的Lebesgue 积分设D 是可测集,{}k E 是有限个或可数个两两不相交的D 的可测子集,使得D E k = ,则{}k E 称为D 的一个分割.(与数学分析一样,只不过此处k E 不一定是区间,是一般集合)设f 是可测集D 上的非负简单函数.此时f 可以表示为)()(1x a x f i E i si λ=∑=其中{}s i i E ≤≤1是D 的一个分割,i a 都是非负实数, 此时f在D 上Lebesgue 积分定义为:⎰D dx x f )()(1i i s i E m a ⋅∑==并且当⎰D dx x f )(∞<时,称f 在 D 上L 可积.(此时,未必D 测度有限,因∞=)(i E m 时,可能......10012......100y s0=i a ).如:Dirichlet 函数就是一个简单函数.以下介绍L 积分的基本性质.定理 3.1.1 设f 和g 是可测集D 上的两个非负简单函数,而且)()(x g x f = a.e.D,则它们在D 上的积分相等.(如:⎩⎨⎧=01)(x D 无理数有理数x x 与0)(≡x f 就是a.e.相等)证明:设)(x f )(1x a iE i Si λ=∑= D x ∈,其中{}S i i E ≤≤1是D 的一个分割,i a 都是非负实数;)(x g )(1x b jF j Tj λ=∑= D x ∈,其中{}T j j F ≤≤1是D 的一个分割,i a 都是非负实数.此时只要j i F E 不是零测集(f 在其上为i a ,g 在其上为j b ),就有j i b a =.这样不管j i F E 是否为零测集,都有)(j i i F E m a ⋅)(j i j F E m b ⋅= 于是⎰Ddx x f )()(1i i S i E m a =∑=)]([11j i Tj i S i F E m a ==∑=)(11j i Tj i S i F E m a ==∑∑=(D F j = ,i F ,j F 两两不交))(11j i i T j Si F E m a ==∑∑=)(11j i j Tj Si F E m b ==∑∑=)(11j i Si j Tj F E m b ==∑∑= )]([11j i Si j Tj F E m b ==∑=)(1j j Tj F m b =∑=⎰=Ddx x g )(可见,L 积分与R 积分的差别是L 积分不计较零测集. 定理3.1.2 设f 和g 都是可测集D 上的非负简单函数. (i)若)()(x g x f ≤ a.e.D 则dx x g dx x f D D ⎰⎰≤)()(; (ii))()(max D m x f fdx D ⋅≤⎰,特别0)(=D m 时, 0=⎰Dfdx ;(iii)若λ和μ是两个非负实数,则⎰+Ddx g f )(μλ⎰⎰+=DDgdx fdx μλ(iv)若A 和B 是D 的两个不相交的可测子集,则⎰B A fdx ⎰⎰+=B A fdx fdx证明:(i)与定理3.1.1证明类似,只需注意当j i F E 不是零测集时j i b a ≤. (ii))(1i i S i DE m a fdx =∑=⎰{})()(max 11i Si S i E m x f ⋅∑≤≤≤={})()(max 1i Si E m x f =∑⋅={})()(max D m x f ⋅=(iii)由于{}T j S i j i F E ≤≤≤≤1,1 是D 的一个分割,并且)()(x g x f μλ+)()(11x b a jiF E j i Tj S i χμλ+∑∑===从而⎰+D dx g f )(μλ)()(11j i j i Tj S i F E m b a ⋅+∑∑===μλ)(11j i i Tj Si F E m a ⋅∑∑===λ)(11j i j Tj S i F E m b ⋅∑∑+==μ)(1i i S i E m a ⋅∑==λ)(1j j Tj F m b ⋅∑+=μ⎰⎰+=DDgdx fdx μλ(iv)⎰BA fdx ))((1B A E m a i i S i =∑=)(1A E m a i i S i =∑=)(1B E m a i i Si =∑+⎰⎰+=BAfdx fdx以上为简单函数的L 积分,若)(x f 只在D 非负可测,?=⎰D f 由前面,有非负简单函数列)()(x f x n ↑ϕ,则⎰⎰∞→=D n n D x f )(lim ϕ.有无问题?若又有)()(x f x n ↑ψ,则⎰⎰∞←=Dn n D x f )(lim ψ.二者等吗? 引理3.1.1 设g 和n f 都是D 上非负简单函数,若满足 (i)对几乎所有D x ∈,{}1)(≥n n x f 单增;(ii))(lim )(0x f x g n n ∞→≤≤ a.e.D 则⎰⎰∞→≤Dn n Dx f gdx )(lim .证明:令{})(),(min )(x f x g x h n n = ,2,1=n ,则)(x h n 是非负简单函数,且{}↑≥1)(n n x h 在D 上几乎处处收敛于)(x g .情形1.∞<)(D m由Egoroff 定理,对任何0>ε,有D 的可测子集1D ,使ε<-)(1D D m ,而且在1D 上,)(x h n 一致收敛于)(x g ,从而有N ,使ε<-)()(x g x h n 1D x ∈∀ N n >∀即 )()()(x f x h x g n n +≤+<εε 1D x ∈∀ N n >∀ 由定理3.1.2⎰⎰⎰+≤+≤111)()(D n d n D f h g εε⎰1D g ⎰+⋅≤1)(1D n h D m ε⎰+⋅≤1)(1D n f D m ε⎰+⋅≤D n f D m )(ε从而⎰1D g ⎰∞→+⋅≤D n n f D m lim )(ε另一方面⎰-1D D g {})()(max 1D D m x g -⋅≤{})(max x g ⋅≤ε这样⎰D g ⎰⎰+=-11D D D g g {}[]⎰∞→++≤Dn n f x g D m lim )(max )(ε 而∞<)(D m ,{})(max x g 也有限,ε任意,所以⎰D g ⎰∞→≤Dn n f lim 情形2.∞=)(D m此时对每一1≥k ,令],[k k D D k -= ,则∞<)(k D m .由已证,有⎰kD gdx ⎰∞→≤kD n n dx f lim ⎰∞→≤D n n dx f lim ………………(*)而⎰kD gdx )(1k j j Tj D F m b ⋅∑== (因)()(1x b x g jF j T j χ⋅∑==,)(1j j Tj D F m b g ⋅∑==⎰) 又D D k ↑,所以()j k j F D F ↑ ,于是⎰∞→kD k g lim ()k j n j Tj D F m b ∞→=⋅∑=lim 1)](lim [1k j n j Tj D F m b ∞→=⋅∑=(单增时,测度和极限符号交换序))(1j j Tj F m b ⋅∑==⎰=Dg(*)式中令∞→k ,得 ⎰⎰∞→≤Dn n D f g lim 定理3.1.3 设{}n f 和{}n g 是可测集D 上两列非负简单函数,而且对几乎所有的D x ∈,{}1)(≥n n x f ,{}1)(≥n n x g 都单增收敛于相同的极限,则⎰∞→D n n dx f lim ⎰∞→=D n n dx g lim 证明:任意固定1≥n ,则对几乎所有的D x ∈,有)(lim )(lim )(0x f x g x g k k k k n ∞→∞→=≤≤ a.e.D 由引理3.1.1⎰⎰∞→≤Dk k D n dx f dx g lim令∞→n (与k 无关) ⎰⎰∞→∞→≤D k k D n n dx f dx g lim lim 类似⎰⎰∞→∞→≥D k k D n n dx f dx g lim lim所以⎰⎰∞→∞→=Dn n D n n g f lim lim。
测度论的知识要点与复习自测
测度论的知识要点与复习自测第二章测度论的知识要点与复习自测一、Lebesgue外测度的知识要点：熟练掌握Lebesgue外测度的定义和外测度的基本性质（包括基本性质：非负性、单调性、次可数可加性；Lebesgue外测度的特有性质：距离分离性）;会用定义或性质求一些典型集合的外测度（例如：R n中至多可数集，区间，Cantor （三分）集，黎曼可积函数（特别是连续函数）图象等的外测度）；特别注意零测集的含义和性质【如R n中的任何集合并上零测集或减去零测集外侧度不变；零测集的子集仍为零测集；至多可数个零测集的并集仍为零测集】。
自测题：1、叙述只“中Lebesgue外侧度的定义及性质，并用定义和性质解决如下问题：（1）设Q n R n为有理点集，计算m*Q n0 ；（2）设E R n为至多可数集，计算m*E 0 ；3）设E, F R n，m*E 0，贝U m* F E m*F m* F E。
2、据理说明下面的结论是否成立：设 E R n，（1）若E为有界集，则m*E ；2）若m*E ，则E为有界集；（3）若m*E ，则E为无界集；4）若E为无界集，则m*E 。
3、设I R n为区间，证明：m*l I，其中I表示I的体积（注意I分有界和无界两种情况来证明）；并利用此结论和外侧度的性质再解决如下问题：（1）设P [0,1] R1为三分Can tor集，则m*P 0 ；（注意三分Ca ntor集的构造）（2）设f（x）为定义在[a,b] R1上的黎曼可积函数，G p（f）（x,y） y f（x）,x [a,b] R2，f （x）在[a,b]的图像，贝9 m*G p（f） 0 ;（注意黎曼可积的充要条件的使用）（3）设E R n有内点，贝V m*E 0 ；（4）（外侧度的介值性）设E R1为有界集，m*E 0，则对任意0 c m*E，存在E1 E，使得，口*巳c ;（注意构造适当的连续函数，利用连续函数的介值性）（5）（外侧度的介值性的一般形式）设E R1,m*E 0,则对任意0 c m*E，存在E1 E，使得，m*E1 c。
4.1：非负简单可测函数的Lebesgue积分
4.1：非负简单可测函数的Lebesgue积分实变函数第四章 Lebesgue积分4.1:非负简单可测函数的Lebesgue积分首先我们说一点，如果你粗略的看就会发现，我这80%就是抄书，emm怎么说呢，这是事实，其实你从课堂上也可以看出，由于实变的课时不多，所以我们上课过程很紧凑，基本就是定义-定理-证明-例子。
所以你的笔记从某种程度上就是抄书，但是为什么我还要花功夫用Latex打出来呢？其实主要还是对我自己有帮助，因为在整理的过程中，我不知不觉就会把自己带入老师的角色，想要把一个定理讲清楚，讲明白为什么要这么做（虽然大多数时候是讲不清楚的），所以其实是对在重构和加固我的知识框架，因此你就要怀着辩证的眼光来看我的这份笔记了!参考资料：1.实变函数-周性伟2.实变函数论-周民强3.实变函数解题指南-周民强4.上课笔记Remark：由简单可测函数定义我们知道这里的一定是有限的.且当我们称，函数是Lebesgue可积的，在不做特别声明时，我们所说的可积均为Lebesgue可积.现在我们通过一个例子可以直接看出Lebesgue积分和Riemann 积分的区别：证明：首先我们针对，我们对有两个划分：，有如下断言：在上，如果那么：,于是有：该证明方法对非负简单可测函数具有一般性，下边我们再用到这种方法时就直接略去不证了！证明：(1)的证明完全可以搬抄定理3的证明，我们略去不证(只需将等于号换为小于号即可.)(2)的证明则根据定义直接可以得到；(3)的证明直接套用定义即可得到；(4):我们仅对(4)给出详细的证明：此时由定义,case 1:当时，定义.故有：.根据：Egroff定理可知：存在，使,使在上一致收敛于,且我们知道这种收敛是单增收敛的；那么对任意的,存在,使：故有：且因为是简单可测函数，所以一定是有界的，故：综上所述：由的任意性，再对取极限即得所证 .case 2:考虑测度为无穷时：.这时我们令：,那么有：同时我们有：故：.由case 2的证明过程中我们可以得到这样一个推论：当然我们知道，我们想要的当然不仅仅是非负简单可测函数的Lebesgue 积分，我们更想要的是非负可测函数的积分，甚至是一般可测函数的积分，有了之前的简单函数逼近定理，我们自然会想到可以用逼近的简单函数的lebesgue积分来定义非负可测函数的lebesgue积分.这样的想法是很好的，问题就来了，我选择不同的简单函数来单增逼近一个非负可测函数，他们的lebesgue积分值会不会不同，如果积分值是不同说明我们的定义不是一个合理定义，下边一个定理就是来说明逼近函数的选取不影响最终的积分值，由此打开非负可测函数的lebesgue积分的大门！Music time：好听ying !。
lebesgue测度总结
Lebesgue测度总结什么是Lebesgue测度？Lebesgue测度是由法国数学家亨利·勒贝格于20世纪初引入的一种测度理论。
它是现代实分析的基础，广泛应用于测度论、概率论、积分论以及函数论等领域。
Lebesgue测度的定义可测集在介绍Lebesgue测度之前，我们首先需要定义可测集。
定义1：对于给定的测度空间X，称集合E⊆X是可测的，如果对于任意给定的实数a∈R，有{ x∈E: x<a }也是可测的。
根据定义可知，可测集是对测度理论的一个关键概念，它具有很多良好的性质。
外测度接下来，我们定义外测度。
定义2：对于一个给定的非空集合X，对于任意的E⊆X，定义E的外测度为：(E) = inf {∑∞ i=1 |Ii| : E ⊆ ∪i∈N Ii}其中，{Ii}是X的一个开覆盖，|Ii|表示Ii的长度，inf表示下确界。
外测度是一种用于度量任意子集的长度的度量方法，它满足下述性质：•若E1 ⊆ E2，那么m(E1) ≤ m(E2)•对于任意的集合E，有m*(E) ≥ 0•对于任意的可列集合{Ei}，有m([∪i∪N Ei]) ≤ ∑i∪N m(Ei) Lebesgue测度最后，我们引入Lebesgue测度的定义。
定义3：对于一个给定的测度空间X，如果存在一个函数m*：P(X)→[0, +∞]，其中P(X)是X的幂集，满足以下条件：•对于任意的E⊆X，有m*(E) ≥ 0•对于任意的可列集合{Ei}，有m([∪i∪N Ei]) ≤ ∑i∪N m(Ei)•对于任意的集合X中的开区间(a,b)，有m*((a,b)) = b - a则称函数m*是X上的Lebesgue测度，集合E是Lebesgue可测的，其测度记为m(E)。
Lebesgue测度的性质Lebesgue测度具有很多重要的性质，下面我们列举其中一些。
1.可测集的性质–可测集的任意子集也是可测的。
–可测集的并、交以及差集也是可测的。
§4.4 Lebesgue积分与Riemann积分
(L) ∫
f dx = lim(L) ∫
n→∞ n←∞∞
f n dx = lim (L) ∫
n→∞
f dx
(5)
= lim (R) ∫
f dx = (R) ∫
+∞ a
f dx.
故(4)成立. 因此 f 在 [a, + ∞) 上 Lebesgue 可积当且仅当广义 Riemann 积分 (R) 对收敛.. 当 (R)
I − I ≤ S ( f , Pn0 ) − s ( f , Pn0 ) < ε .
由于 ε > 0 是任意的,故必有 I = I . 即 f 在 [a, b] 上是 Riemann 可积的.■ Riemann 可积的充要条件与两种积分的关系 定理 2 设 f 是定义在 [a, b] 上的有界实值函数. 则
b
0 ≤ (R) ∫ fdx − s ( f , Pn ) ≤ S ( f , Pn ) − s( f , Pn ) → 0.
a
因此 lim s ( f , Pn ) = (R)
n→∞
∫
a
b a
fdx. 再结合(2)我们有
b b a n→∞ a
(L) ∫ fdx =(L) ∫ gdx = lim s ( f , Pn ) = (R) ∫ fdx.
(L) ∫ hdx = lim (L) ∫ hn dx = lim S ( f , Pn ).
a n→∞ a n←∞
b
b
由于 lim( S ( f , Pn ) − s ( f , Pn )) = 0, 结合(2)与(3)得到
n→∞
(L) ∫ (h − g )dx = 0.
第四章 Lebesgue积分的知识要点与复习自测
第四章 Lebesgue积分的知识要点与复习自测一、非负简单函数与非负可测函数L积分的知识要点：◇体会非负简单函数、非负可测函数L积分的定义，理解为什么它们的L积分总是存在的，并且为什么它们的L积分都可用下方图形的测度来表示；◇能正确地区分非负简单函数L积分存在与L可积的差异；非负可测函数L积分存在与L可积的差异；◇熟练掌握非负简单函数与非负可测函数L积分的常用基本运算性质【数乘性、加法性、不等式性质、集合的可加性和完全（可数）可加性、集合的单调性和唯一性（即几乎处处相等的非负简单函数或非负可测函数的L积分必相等）】，并能熟练地运用这些性质进行积分的运算。
◇熟练掌握并能正确地叙述非负可测函数列L积分的两个重要的极限定理（Levi 定理和Fatou引理）；能正确地区分这两个定理各自的适用范围（Levi定理只适合于单调递增的非负可测函数列，而Fatou引理对任意的非负可测函数列都适合）；会用Levi 定理证明非负可测函数项级数的逐项积分性（Lebesgue基本定理），会用Lebesgue基本定理证明非负可测函数L积分的集合的完全可加性；会用Levi定理证明非负可测函数L可积的重要性质—积分的绝对连续性。
◇注意体会将非负可测函数根据集合的可数不交的可测分解，借助集合的示性函数转化为非负可测函数项级数的方法；注意体会将非负可测函数通过截断函数转化为单调递增非负可测函数列的极限的方法。
◇会用积分的几何意义简洁地证明：非负可测函数的L积分与表示它的单调递增非负简单函数列的选取无关；以及Levi定理。
◇ 掌握并会证明有关非负可测函数L 积分的以下几个重要的结论：① 设()f x 为可测集E 上的非负可测函数，则()d 0Ef x x =⎰⇔()0..f x a e =于E （称为非负可测函数积分值为零的特征）；② 设()f x 为可测集E 上的非负可测函数，则()()f x L E ∈⇒()f x 在E 上几乎处处有限（称为非负可测函数L 可积的有限性，注意L 积分存在不具有这个性质）；③ mE <+∞，()f x 为E 上几乎处处有限的非负可测函数，{}n y 满足：ny ，lim n n y →∞=+∞，00y =，1n n y y δ+-<，则()()f x L E ∈⇔10[()]n n n n y mE x y f x y ∞+=≤<<+∞∑；④（非负可测函数L 可积的积分绝对连续性）设()f x 为可测集E 上的非负可测函数，若()()f x L E ∈，则A E ∀⊂，A 为可测集，总有lim ()d 0mA Af x x →=⎰，即0ε∀>，0δ∃>，使得A E ∀⊂，A 为可测集，当mA δ<时，总有0()d Af x x ε≤<⎰。
Lebesgue积分的定义及初等性质
f
)
≤
S(DA,
f
)
≤
A
f
( x)dx
+
ε 2
，
∫ ∫ B
f
( x)dx
−
ε 2
≤
s(DB ,
f
)
≤
S (DB ,
f
)
≤
B
f
( x)dx
+
ε 2
.
81
令 DE = DA ∪ DB ，则 DE 是 E 的分划，将上两式相加得
∫ ∫ f (x)dx + A
B
f (x)dx − ε
≤ s(DA, f ) + s(DB , f )
∫ ∫ 共同值为 f (x) 是 E 上的（L）积分，记为 E f (x)dx 或 E f (x)dm .
以上是 Rq 中测度有限可测集上有界函数的（L）积分定义.我们看到它在形式上同 R 积
77
分完全类似.除了“积分区域”更一般之外，主要不同之处在于采用的测度和分划的不同.
定理 5. 2. 2 设 f (x) 是 E ∈ Lq (mE < ∞) 上的有界函数，则 f (x) ∈ L(E) ⇔ 对
由 ε > 0 的任意性，故
−
∫ E f (x)dx − ∫ E f (x)dx = 0 −
−
∫ ∫ “ ⇒ ”设 E f (x)dx = E f (x)dx ，由上、下积分的定义，∀ ε > 0. ∃分划 D1 ，D2 使 −
∫ ∫ S(D1,
f
)
−
−
E
f
( x)dx
<
ε 2
，
−
E
实变函数第四章第一节
E[ E[
f >a]
= ∪ E
n =1 ∞
∞
1 [ f ≥a+ ] n
E[
f ≥a]
= ( ∪ E [a≤
n =1
∞
f <a+n]
) ∪ E[
f <b]
f = +∞ ]
f ≥a]
= ∩ E
n =1
证明：首先 上可测， 证明：首先f2(x)在E上可测，因为对任意 ∈R 在 上可测 因为对任意a∈
E[ f 2 >a] = {
E E[ f >
a]
∪E[ f <−
a]
a<0 a≥0
再利用f(x)g(x) ={(f(x)+g(x))2 - (f(x) -g(x))2}/4即可 再利用 即可
作业： 上的可测函数,则 作业：若f(x),g(x)是E上的可测函数 则f(x) -g(x) ,f(x)/g(x) 是 上的可测函数 为E上的可测函数 上的可测函数
r∈Q
从而 E[ f > a − g ] = ∪ ( E[ f > r ] ∩ E[ g > a − r ] )可测
r∈Q
类似可证： 上可测函数， 为可测集。 类似可证：设f(x),g(x)是E上可测函数，则 E[ f > g ] 为可测集 是 上可测函数
若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x) g(x)仍为E上的可测函数。 f(x),g(x)是 上的可测函数, g(x)仍为 仍为E
n =1 n =1
∞
( a-1/n
实变函数第四章答案
实变函数第四章▉▉第4章 Lebesgue （习题及参考解答）E E A 1．设是)(x f 上的可积函数，如果对于上的任意可测子集，有()0Af x dx =∫，试证：=0，)(x f ].[.E e a }1)(|{}0)(|{1kx f x E x f x E k ≥=≠∞=∪k ∀∈ 证明 因为，，而}1)(|{kx f x E ≥}1)(|{}1)(|{k x f x E k x f x E −≤≥=∪，由已知，有111{||()|}{|()}{|()}()()()E x f x E x f x E x f x kkkf x dx f x dx f x dx ≥≥≤−=+∫∫∫000=+=.又因为11{|(){|()}1110(){|()}E x f x E x f x kkf x dx dx mE x f x k k k≥≥0=≥=≥∫∫≥ 并且11{|()}{|()1110(){|()E x f x E x f x kkf x dx dx mE x f x k k k ≥−≥−⎛⎞=≤−−≤⎜⎟⎝⎠∫∫}0−≤ 所以，0}1)(|{}1)(|{=−≤=≥kx f x mE k x f x mE .故,0}1)(|{}1)(|{}1|)(|{=−≤+≥=≥kx f x mE k x f x mE k x f x mE因此，11{|()0}[{|()|}k mE x f x m E x f x k∞=≠=≥∪111{|()|}00k k mE x f x k ∞∞==≤≥==∑∑0)(=x f .从而，，.].[.E e a2. 设，f g 都是E 上的非负可测函数，并且对任意常数，都有a })(|{})(|{a x g x mE a x f x mE ≥=≥)()(x g x f =，试证：，从而，()Ef x dx =∫()Eg x dx ∫.证明 我们证与f g 是同一个简单函数序列的极限函数. ∞=1){m m ψ对于及，令m ∀∈ 12,,1,0−=mm k }21)(2|{,m m k m k x f k x E E +≤≤= })(|{2,m x f x E E mm m ≥=并且再令，则是互不相交的可测集，并且. 定义简单函数k m E ,k m m k E E m ,21==∪∑==mk m m k E m m x kx 20)(2)(,χψ. E x ∈)()(lim x f x m m =∞→ψ.下面证明：，m ∀∈ m m m E x 2,0∈E x ∈∀0+∞=)(0x f , 若. 事实上，，则，有)()(0∞→∞→=m m x m ψ)()(lim 00x f x m n =∞→ψ. 即, .所以, +∞<)(0x f 若，则可取正整数，当)(00x f m >0m m ≥∀时, 有}21)(2|{})(0|{1210mm m k k x f k x E m x f x E x m +<≤=<≤∈−=∪ 故，存在使得)120(−≤≤mm k k }21)(2|{0mm k x f k x E x +<≤∈ mm k x f k 21)(20+<≤. 因此, 即，m m k E m m kx k x mk m 2)(2)(20,==∑=χψ. 故000|()()|()()m m 0f x x f x x ψψ−=− 011()02222m m m m k k k f x +−<−=→=)()(lim 00x f x m n =∞→ψ.从而，实变函数第四章▉▉同理，对m ∀∈ ，定义简单函数列∑==mkm m k E m m x kx 20)(2)(*,χψ，其中：}21)(2|{*,mm k m k x g k x E E +<≤=，. 12,,1,0−=mm k 并且.})(|{*,m x g x E E k m ≥=E x ∈)()(lim 0x g x m n =∞→ψ.，同上一样，我们可以证明：因，有a ∀∈ })(|{})(|{a x g x mE a x f x mE ≥=≥，则，a ∀∈ })(|{b x f a x mE <≤})(|{b x g a x mE <≤=.从而，，有)120(−≤≤∀m m k k,1{|()}22m k m mk k mE mE x f x +=≤< *,1{|()}22m k m m k k mE x g x mE +=≤<=并且.即，，mm m m m m mEm x g x mE m x f x mE mE 2,*2,})(|{})(|{=≥=≥=N m ∈∀=)(x m ψ)(x m ϕ.)()(lim )(lim )(x g x x x f m m m m ===∞→∞→ϕψ.因此，⎪⎩⎪⎨⎧=为有理数，当为无理数，当x x x x x f 31)(3. 若，计算.∫1,0[)(dx x f x x E |]1,0[{0∈=01]1,0[E E −=为有理数}，解 设，则∫]1,0[)(dx x f +=∫∫1)()(]1,0[E dx x f dx x f∫∫∫+==0111E EE dx xdx xdx x10E E E ==+∫∫∫ 2]2[11101]1,0[====∫∫x dx xdx x .4. 设是中n 个可测集，若内每一点至少属于个集中的个集，证明：中至少有一个测度不小于n 1,,n E E ]1,0[]1,0[nq 1,,q n E E . 证明 令，其中：∑==ni E x x f i1)()(χi E χ为上的特征函数并且，有i E ]1,0[∈∀x q x x f ni E i≥=∑=1)()(χ所以，. 又因为q qdx dx x f =≥∫∫]1,0]1,0[)(1[0,1][0,1]()()inE i q f x dx x χ=≤=∑∫∫dx1n.1110,1()()i i nnnE E i i i i E i x dx x dx mE χχ=======∑∑∑∑∫∫nqmE i <，则 如果每个∑∑===⋅=>ni n i i q nq n n qmE 11nqmE i ≥这与矛盾. 从而，存在∑=≤ni i mE q 1(1)i i n ≤≤. 使得5. 设与都是f g E 上的可积函数，试证明：22g f +E 也是上可积函数.E 证明：（1）先证：设与都是)(x f )(xF 0()f x ≤上的可测函数并且E E ()F x ≤ ，若在].[.E e a )(x F 可积，则在)(x f 可积.N m l ∈∀,)()(0x F x f ≤≤ ，故].[.E e a ，因为事实上，l l x F x f )}({)}({0≤≤.因此，+∞<≤≤≤∫∫∫EE llE ldx x f dx x F dx x F dx x f mm)()}({)}({)}({，其中：m m S E E ∩=，}||||{∞<=x x S m . 从而，是∞=∫1})}({{l l E dx x F m实变函数第四章▉▉单调递增有上界的数列，故∫Edx x F )(∫∫∫≤=∞→EE ll E dx x F dx x f dx x f mm)()}({lim )(.又因单调递增有上界，所以存在，并且∫∞=mE m dx x f 1})({∫∞→mE l dx x f )(lim∫∫∫+∞<≤=∞→EE ll Edx x F dx x f dx x f m)()}({lim )(即. 所以，在+∞<≤∫dx x f E)(∫∞→∞→mE l l m dx x f )}({lim lim E )(x f 可积.E （2上可积.在E E 事实上，因为与在f g 上都可积. 所以, 与在||f ||g 上可积. 从而, +在E ||f ||g 上可积.||||f g ≤+E ，由（1）上可积.在6. 设+∞<mE ，是)(x f E 上的非负可测函数，，∞+<∫Edx x f )(})(|{k x f x E E k >=0lim =⋅∞→dx mE k k l .，试证明：k ∀∈ 证明 ，因为+∞<≤≤≤∫∫EE k dx x f dx x f kmE k)()(0所以)(0)(10∞→→≤≤∫k dx x f k mE Ek lim 0k k mE →∞=.故，又因为，由积分的绝对连续性（即，P85，定理4）, 对于∫+∞<Edx x f )(δ<mA 0>∀ε0>∃δE A ⊂,,使得对于任何可测集，恒有，∫Adx x f |)(|∫<=Adx x f ε)(.0>δN k ∈0对于，根据，存在0lim =∞→k k mE ，0k k ≥∀时，δ<k mE ，有ε<≤⋅≤∫dx x f mE k kE k )(0.0lim =⋅∞→k k mE k .从而, +∞<mE E E 7. 设为可测集，并且，为)(x f 上的非负可测函数，，试证:在}1)(|{+<≤=∧k x f k x E E k E )(x f 上可积当且仅当级数收敛.∧∞=∑kk Ekm 1证明 设，k }1)(|{+<≤=∧k x f k x E E k ∈ )(⇒，因为在)(x f E 可积，故111()()kkk k k k EE E f x dx f x dx k dx k mE ∞∞∞====≥=∑∑∑∫∫∫⋅即，级数收敛.∑∞=∧⋅1k kEm k k ∀∈ )(⇐, 因为，则}1)(|{+<≤=k x f k x E E k k E k k E mE kmE mE k dx k dx x f kk+=+=+≤∫∫)1()1()(.又因并且，根据Lebesgue 基本定理，有∑∞==1)()()(k E x x f x f k χdx x x f dx x f m kE EE )()()(χ∫∫=1()()()kE k EE f x dx f x x dx χ∞==∑∫∫11()()kk k k k E f x dx kmE mE ∞∞===≤+∑∑∫+∞<+=+=∑∑∑∞=∞=∞=k k k k k k k mE kmE mE kmE 111.E 从而，在)(x f 上可积.8. 设是 上的可积函数，证明：.∫=−+→],[00|)()(|limb a k dx x f b x f f实变函数第四章▉▉R ′0>∀ε)(x ϕ证明 （1）先证：，使得，存在时直线上的连续函数∫<−+→],[0|)()(|limb a k dx x f b x f ε.对于，记：N ∀∈ ⎪⎩⎪⎨⎧−<−>≤=N x f N N x f N N x f x f x f n )(,)(,|)(|,)()]([],[b a E x =∈，其中则0,|()|()[()](),()(),()N f x N f x f x f x N f x N f x N f x N≤⎧⎪−=−>⎨⎪+<−⎩因此，[,]|()[()]|N a b f x f x d −∫x=+dx x f x f N f E n|)]([)(|)|(|∫≤−dx x f x f N f E n|)]([)(|)|(|∫>−(||)|()[()]|N E f N f x f x d >−∫x =dx N x f N f E |)(|)|(|∫>+≤dx x f N f E |)(|)|(|∫>≤.0>∀ε0>∃δ因为在上是Lebesgue 可积的，故对于)(x f ],[b a ，，使∀δ<mA E A ⊂，恒有：Adx x f Aε<∫|)(|又因是单调的集列并且，则)|(|)|(|1+∞==>∞=f E n f E n ∩∞=1|)}(|{n f E =>=>∞→∞→)]|(|lim [)|(|lim n f E m n f mE n n 0)|(|=+∞=f mE .4|)(|)|(|ε<∫>dx x f N f E 0>δN ∃∈ .所以，对于，使得现在对于，取04>=NεηN x f )]([，由连续扩张定理，存在闭集F [,]a b ⊂)(x ϕ以及 上的连续函数，使得F F N x x f |)(|)]([ϕ=（A ）； NF E m 4)(ε<−（B ）；N x ≤|)(|ϕ（C ）. 因此，[,][]||[]|N N a b E Ff dx f dx ϕϕ−−=−∫∫([]||)|2()242N E Ff dx N m E F N Nεεϕ−≤+≤⋅−<⋅∫=从而，[,][,]()()||()[()]||[]()|N N a b a b f x x dx f x f x dx f x dx ϕϕ−≤−+−∫∫εεεϕ=+⋅≤−+≤∫∫>242|)(][||)(|2],[)|(|dx x f dx x f b a N N f E （2）再证：.0|)()(lim],[0=−+∫→dx x f b x f b a h 0>∀ε)(x ϕ，由（1）知，存在上的连续函数 使得对于3|)()(]1,1[εϕ<−∫+−dx x x f b a .)(x ϕ因为在上一致连续，则]1,1[+−b a )1(0<>∃δδ使得，当],[b a x ∈∀)1(||<<δh 时，恒有)(3|)()(|a b x h x −<−+εϕϕ.又因为[,]|()()|a b f x h f x dx +−≤∫[,]|()()|a b f x h x h dx ϕ+−+∫++dx x h x b a |)()(|],[∫−+ϕϕdx x f x b a |)()(|],[∫−ϕ],[b a x ∈(||1)h h δ∀<<(1,1x h a b )+∈−+，故并且对于，，有3|)()(|]1,1[εϕ<−≤∫+−dx x x f b a dx h x h x f b a |)()(|],[∫+−+ϕ所以，实变函数第四章▉▉≤−+∫dx x f h x f b a |)()(|],[[1,1]|()()|a b f x x d ϕ−+−∫xεεεε=++<333dx x x f dx x h x b a b a |)()(||)()(|],[],[∫∫−+−+ϕϕϕ+.从而，.0|)()(|lim],[0=−+∫→dx x f h x f b a h9. 设是f E 上的非负可积函数，是任意常数，满足c ∫≤≤Edx x f c )(0试证：存在，使得.c dx x f E =∫1)(E E ⊂1证明：设常数，合于，当时，存在，使得. 不妨设.∫≤≤Edx x f c )(0∫=Edx x f c )(c ∫≤≤Edx x f c )(0c dx x f E =∫1)(E E =1我们先证：在∫−=Et t dx x f t F ∩],[)()(),0[0+∞∈∀t),0[+∞上连续，，事事实上，对于0t t >∀，因为000[,][,]0()()()()t t Et t EF t F t f x dx f x dx −−≤−=−∫∫∩∩00[,][,]()()t t Et t Ef x dx f x dx −−=+∫∫∩∩δ<mA 0>∃δE A ⊂∀由积分的绝对连续性（p.85，定理4），，有，，2)(|)(|ε<=∫∫AAdx x f dx x f .δ<−≤∀00:t t t δ<−≤−00)),([t t E t t m ∩，故故，对于，因为εεε=+=+=−≤∫∫−−22)()()()(0],[],[000Ety t Et t dx x f dx x f t F t F ∩∩.)()(lim 00t F t F t t =+→. 所以，),0[0+∞∈∀t 同理，对，用上述完全类似方法可得.故，在)()(lim 00t F t F t t =−→)(t F ),0[+∞上连续.又因为（根据p.89的定义4）, 则，使得c dx x f dx x f EEt t t >=∫∫−+∞→)()(lim],[∩00>∃t c dx x f t F Et t >=∫−∩],[0)()(.)()0(0t F c F <<.故由于在闭区间上连续，由连续函数的介值定理，∃],0[0t 1t ∈)(t F E E t t E ⊂−=∩],[1110(0,)t ，有，使得c t F dx x f dx x f Et t E ===∫∫−)()()(1],[01∩.E 10. 设是g 上的可测函数，是大于1的数，是的共轭数，即p q p 111=+qp . 如果对任意，都有)(E L f P ∈1()fg L E ∈，试证：. )(E L g q∈11． 试证：1)1(1lim),0(1=+∫+∞∞→dt tkt kk k （i ）.dx x e dx x n x x n k ∫∫+∞−+∞−∞→=−),0(),0(11(lim αα(ii) .2≥∀k 证明：（i ）时，（寻找控制函数） )10(≤<t t 时，因为当tttttktt f kkk k 4111)1(1)(2111≤=≤≤+=；而当时，1>t 112111()(1)1((1)()2!k k k kk f t t k k t t k t t k k k=≤=−+⋅+++实变函数第四章▉▉224)211(2t t =−≤令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞≤<≤<=t t t tt F 1,410,4)(2从而，),0(+∞∈∀t ，并且在)()(t F t f k ≤)(t F ),0(+∞是R-可积的，故在)(t F ),0(+∞是L-可积的. 又因为tt kk tt kk kk k k k e etkt t ktt f −∞→∞→∞→∞→==⋅+=+=11lim])1[(1lim)1(1lim)(lim 11则由Lebesgue 控制收敛定理，∫∫∫∞∞→∞∞→∞∞→==+),0(),0(),0(1)(lim )(lim)1(1limdt t fdt t fdt tkt kk kk kk k10==∫+∞−dt e t ∫∞−=),0(dt et.(ii), 定义n ∀∈ 1(1),(0,]()0,(n n x ,)xx n f x nx n α−⎧−∈⎪=⎨⎪∈+∞⎩， 并且，1)(−−=αx ex F x),0(+∞∈x ),0(+∞∈∀x ， 则对于,有)(1(lim )(lim 11x F x e x nxx f x n n n n ==−=−−−∞→∞→αα. N n ∈∀，.)()(1x f x f n n +≤下面证明：ttx t G )1()(−=),0(+∞∈∀x ),1[+∞∈t ，取 事实上，，令，1ln()(ln txt t G −=，则▉▉第四章习题参考解答x t xt x t x t x t txt G t G −+−=−+−=′)1ln(11)1ln()()(2. x t xt x t h −+−=′)1ln()(，又因 又记222)()()(11)(x t xx t t x x t x t x tx t h −−−=−−−=′0)()()(222<−−=−−−=x t t x x t t tx x t x .xt xt x t G t G t h −+−=′=)1ln()()()(所以，关于单调递减并且故，t 0)(lim =∞→t h t ),1[+∞∈∀t ，有. 因此，0)(>t h 0)()()(>⋅=′t h t G t G .即, 在)(t G ),1[+∞n ∀∈ 单调增加. 从而，,)1(11()1()(1+=+−<−=+n G n x n x n G n n .所以,)()11()1()(1111x f x n x x n x x f n n n n +−+−=+−<−=αα.因此, ，n ∀∈ 1)()(|)(|−−=≤=αx e x F x f x f x n n ),0(+∞∈x，因为在1)(−−=αx e x F x ),0(+∞上可积，由Lebesgue 控制收敛定理，有∫∫∫+∞−−+∞∞→−∞→===−),0(1),0(),0(1)(lim )1(limdx x e dx x f dx x n x x n n n n n αα.+∞<mE 12. 设，试证明：在E 上当且仅当0⇒k f 0||1||lim =+∫∞→dx f f Ek k k . k ∀∈ 0>∀σ)(⇒，因为证明 ，实变函数第四章▉▉)1|(|]||1||[σσσ−≥=≥+k k k f E f f E 并且（在0⇒k f E 上），则我们有01|(|lim )||1||{lim =−≥=≥+∞→∞→σσσk k k k k f mE f f mE .0||1||⇒+k k f f E .故在上，1||1||≤+k k f f k ∀∈ +∞<mE ，由Lebesgue又因为对于，并且有界收敛定理，有00||1||lim ==+∫∫∞→E E k k k dx dx f f .0>∀σ)(⇐，因为对于(||)0(||)11kk E f EmE f dx σσσσσσ≥≤≥=++∫ ∫≥+Ef E k k k dx f f )|(|||1||σ≤)(0∞→→k . 则有0)|(|lim 10≤≥−≤∞→δσσk k f mE . 从而，0)|(|lim =≥∞→δk k f mE . 即.0⇒k f。
测度论的知识要点与复习自测
测度论的知识要点与复习自测测度论（Measure theory）是数学分析中的一个重要分支，它研究的是如何用一种衡量的方法来度量集合的大小。
测度论的基本概念是测度（Measure），它是一个函数，将一些集合映射到实数，并满足一定的性质，可以用来度量集合的大小或者说容量。
1.集合理论基础：测度论的起点是集合理论的基础知识，包括集合的包含关系、交、并、补、差等运算。
此外，还需要了解基本的记号和符号，如A∪B代表集合A和集合B的并集，A∩B代表集合A和集合B的交集，A\B代表集合A和集合B的差集等。
2.可测集与测度：在测度论中，我们关注的是可测集。
可测集的定义是指它满足一定的性质，使得我们可以为其赋予一个测度值。
测度是一个函数，将一些集合映射到实数，并满足一定的性质。
常见的测度有长度、面积、体积等。
3.测度的性质与运算：测度具有一些基本的性质和运算规则。
比如，互不相交的可测集的并的测度等于它们各自测度的和；任意一个可测集可以表示为一个有限个或可列个互不相交的可测集的并。
此外，测度还满足可列可加性、单调性等性质。
4.测度空间与可测函数：通过引入测度的概念，我们可以定义测度空间。
测度空间是一个包含一个可测集类的集合，其中的每个可测集都与一个测度相对应。
可测函数是一个定义在测度空间上的函数，它可以在其中一种意义上保持测度的性质。
5. Lebesgue测度与Lebesgue积分：Lebesgue测度是测度论中的一个重要概念，它扩展了传统的长度、面积、体积等概念，并能够应用于更广泛的情况。
Lebesgue积分是一种基于Lebesgue测度的积分方法，相较于传统的黎曼积分，Lebesgue积分具有更广泛的适用性和更强的理论基础。
除了以上的知识要点，复习时还可以通过做一些相关的习题来深化理解和掌握测度论的知识。
以下是一些复习自测题目，供参考：1.证明测度的次可列可加性。
（提示：可以通过构造互不相交的可测集序列来证明次可列可加性。
1.4 Lebsgue测度(讲义)
1.4 Lebsgue 测度1.4.1 环0R 上的测度m定义1.4.1 设P 是直线1R 上左开右闭有限区间的全体所成的集类，0R 是直线1R 上左开右闭有限区间所成的环（即：0()=R P R ）.在P 上定义测度：对(,]E a b =∈P ，令()m E b a =-，m 就表示区间的长度。
0R 中的元可以写成P 中有限个两两不相交的元的并，称这种把0R 中的元E 分解成P中有限个两两不相交的元的并的过程为初等分解。
（显然，这种分解是不惟一的。
）对于0E ∈R ，设1nii E E ==是E 的一个初等分解，(,],1,2,,i i iE a b i n =∈= P ，且()i j E E i j =∅≠ ，令1()()ni i i m E b a ==-∑.引理1.4.1 1()()niii m E ba ==-∑的值只与E 有关，而与E 的初等分解的具体形式无关。
引理1.4.2 上面作出的环0R 上的集函数m 有下列性质：(1) 集函数m 有有限可加性；(2) 若00(1,2,),i E i E ∈=∈ R R ，且()i j E E i j =∅≠ ，1nii EE =⊂ ，则1()()nii m E m E =≤∑；(3) 集函数m 有(有限)次可加性：若00(1,2,),i E i E ∈=∈ R R ，且1ni i E E =⊂,则1()()ni i m E m E =≤∑.定理1.4.1 0R 上的集函数m 是0R 上的测度。
证明 显然，只要证明m 在0R 上具有可列可加性。
设0(1,2,)i E i ∈= R ，()i j E E i j =∅≠ ，且01i i E E ∞==∈ R . 由引理1.4.2(2)知：对任何自然数n ，都有1n i i E E =⊂ ，且1()()ni i m E m E =≤∑. 令n →∞，即得1()().ii m E m E ∞=≤∑下面证明：1()().i i m E m E ∞=≥∑设E 的一个初等分解是1(,]jjj E a b ==，每个iE 也有初等分解（分解成有限个两两不交的左开右闭的小区间之和），因为(1,2,)i E i = 是可列的，所以所有i E 分解所得的小区间也是可列个，设为(,](1,2,)n n n αβ= ，由引理2(1)知：11()()i n n i n m E βα∞∞===-∑∑.对0ε∀>，（不妨要求()j j b a ε<- ）作闭区间,(1,2,,)j j a b j ε⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦. 又作区间,(1,2,)2n n n n εαβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，则这列开区间,1,2,2n n n n εαβ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭覆盖了E ，因此也覆盖了每个闭区间,j j a b ε⎡⎤+⎢⎥⎣⎦. 由Borel 有限覆盖定理知：可以选出有限个开区间覆盖住这些闭区间。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四章 Lebesgue积分的知识要点与复习自测一、非负简单函数与非负可测函数L积分的知识要点：◇体会非负简单函数、非负可测函数L积分的定义，理解为什么它们的L积分总是存在的，并且为什么它们的L积分都可用下方图形的测度来表示；◇能正确地区分非负简单函数L积分存在与L可积的差异；非负可测函数L积分存在与L可积的差异；◇熟练掌握非负简单函数与非负可测函数L积分的常用基本运算性质【数乘性、加法性、不等式性质、集合的可加性和完全（可数）可加性、集合的单调性和唯一性（即几乎处处相等的非负简单函数或非负可测函数的L积分必相等）】，并能熟练地运用这些性质进行积分的运算。
◇熟练掌握并能正确地叙述非负可测函数列L积分的两个重要的极限定理（Levi 定理和Fatou引理）；能正确地区分这两个定理各自的适用范围（Levi定理只适合于单调递增的非负可测函数列，而Fatou引理对任意的非负可测函数列都适合）；会用Levi 定理证明非负可测函数项级数的逐项积分性（Lebesgue基本定理），会用Lebesgue基本定理证明非负可测函数L积分的集合的完全可加性；会用Levi定理证明非负可测函数L可积的重要性质—积分的绝对连续性。
◇注意体会将非负可测函数根据集合的可数不交的可测分解，借助集合的示性函数转化为非负可测函数项级数的方法；注意体会将非负可测函数通过截断函数转化为单调递增非负可测函数列的极限的方法。
◇会用积分的几何意义简洁地证明：非负可测函数的L积分与表示它的单调递增非负简单函数列的选取无关；以及Levi定理。
◇ 掌握并会证明有关非负可测函数L 积分的以下几个重要的结论：① 设()f x 为可测集E 上的非负可测函数，则()d 0Ef x x =⎰⇔()0..f x a e =于E （称为非负可测函数积分值为零的特征）；② 设()f x 为可测集E 上的非负可测函数，则()()f x L E ∈⇒()f x 在E 上几乎处处有限（称为非负可测函数L 可积的有限性，注意L 积分存在不具有这个性质）；③ mE <+∞，()f x 为E 上几乎处处有限的非负可测函数，{}n y 满足：ny ，lim n n y →∞=+∞，00y =，1n n y y δ+-<，则()()f x L E ∈⇔10[()]n n n n y mE x y f x y ∞+=≤<<+∞∑；④（非负可测函数L 可积的积分绝对连续性）设()f x 为可测集E 上的非负可测函数，若()()f x L E ∈，则A E ∀⊂，A 为可测集，总有lim()d 0mA Af x x →=⎰，即0ε∀>，0δ∃>，使得A E ∀⊂，A 为可测集，当mA δ<时，总有0()d Af x x ε≤<⎰。
⑤ ④的另一种表示：若0()()f x L E ≤∈，可测集n e E ⊂，且lim 0n n me →∞=，则lim ()d 0nn e f x x →∞=⎰。
◇ 将非负可测函数()f x 表示成单调递增非负可测函数列的极限的几种方法： ① 对任意自然数m ，先将2101[0,][0,)[,][,)[,]22m m m m k k k m m m -=++∞=⋃+∞=⋃⋃+∞， 再利用逆象集的保持集合的运算性得212,001[0()][()][()]22m mm m m k m m k k k k E E x f x E x f x E x f x m E -∆==+=≤≤+∞=⋃≤<⋃≥=⋃，作非负简单函数列1,[()],0,1,,21222(),[()]m m m m m k k k x E xf x k m x m x E x f x m ϕ⎧+∈≤<=-⎪=⎨⎪∈≥⎩,则()m x ϕ，且lim ()()m m x f x ϕ→∞=（将非负可测函数表示成单调递增非负简单函数列的极限的方法）。
② 对任意自然数n ，取(),()()min{,()},()n f x f x n f x n f x n f x n≤⎧==⎨>⎩——称为n 截断函数，则()n f x ，且lim ()()n n f x f x →∞=。
（将非负可测函数表示成单调递增非负可测函数列的极限的截断函数法）③ 若0()..f x a e ≤<+∞于E ，取(),()[()]0,()n f x f x n f x f x n≤⎧=⎨>⎩，则()n f x ，且lim ()()n n f x f x →∞=..a e 于E 。
④ 若()f x 在可测集E 上非负可测，记(0,)n E E B n =⋂（显然nE ，且n E 收敛于E ），()()()n n E f x f x x χ=⋅，其中()n E x χ为n E 的特征函数，则 ()n f x ，且lim ()()n n f x f x →∞=。
二、一般可测函数L 积分的知识要点：◇ 掌握一般可测函数L 积分的定义，理解为什么并非可测集上的任何可测函数都有L 积分，并知道一般可测函数L 可积的含义，以及与L 积分存在的区别；◇ 熟练掌握L 可积函数的常用性质【绝对可积性、有限性、唯一性、线性性、不等式性、集合的完全可加性、积分的绝对连续性】。
◇ 熟习积分绝对连续性的三种表现形式：① ()()f x L E ∈⇒0ε∀>，0δ∃>，使得A E ∀⊂，A 为可测集，当mA δ<时，总有()d Af x x ε<⎰；② ()()f x L E ∈⇒A E ∀⊂，A 为可测集，总有0lim()d 0mA Af x x →=⎰；③ ()()f x L E ∈⇒n e E ∀⊂，n e 为可测集，只要lim 0n n me →∞=，总有，lim ()d 0nn e f x x →∞=⎰。
◇ 熟练掌握L 积分的控制收敛定理的两种形式：几乎处处收敛意义下的Lebesgue 控制收敛定理：依测度收敛意义下的Lebesgue 控制收敛定理：以及在mE <+∞下的有界控制收敛定理。
并能利用控制收敛定理解决一些简单的问题（如：求某些由积分定义的数列的极限，证明一般可测函数L —积分的逐项积分性（P 112第37题）等。
◇ 通过几乎处处收敛意义下的Lebesgue 控制收敛定理的证明仔细体会Fatou 引理在讨论可测函数列L 积分与极限可交换性问题中的作用，进而明白并掌握合理利用Fatou 引理讨论积分与极限可交换性问题的方法。
◇ 通过依测度收敛意义下的Lebesgue 控制收敛定理的证明仔细体会反证法和F.Riesz 定理的联合试使用在讨论可测函数列L 积分与极限可交换性问题中的作用，进而明白并掌握合理利用反证法和F.Riesz 定理讨论积分与极限可交换性问题的方法。
三、R —积分与L —积分的关系的知识要点：◇ 掌握R —正常积分与L —积分的关系；在一定条件下的R —反常积分与L —积分的关系；并能利用这些关系来求某些函数的L —积分的值（注意：在求值时，往往需要先利用积分的惟一性将所求积分转化为某R —可积函数的L —积分，然后再利用关系），判断某些函数的L —可积性。
◇ 理解函数R —可积与函数连续的关系，并能利用这种关系判断某些函数R —不可积。
四、Fubini 定理的知识要点：◇ 能正确理解并掌握Fubini 定理的条件，正确叙述Fubini 定理（包括非负可测函数的情形与一般可测函数的情形），并了解利用Fubini 定理解决概率论中的一些简单的问题的方法（如：卷积不等式，利用分布函数将重积分转化为单积分），并会用Fubini 定理证明一些累次积分的可交换性。
五、几种常用的转换方法：◇ 将可测子集上的积分转化为n R 上的积分的方法：设()f x 是n R 上的可测函数，n E R ⊂是可测集，()d nR f x x ⎰存在，记(),()()()0,E f x x EF x f x x x E χ∈⎧=⋅=⎨∉⎩，则()()d n E R f x dx F x x =⎰⎰（将子集上的积分转化为n R 上的积分的方法）；◇ 将可测函数表示成一列可测函数列的极限的几种有效方法： ③ 设()f x 为可测集E 上的可测函数，① 记(0,)n E E B n =⋂，()()()n n E f x f x x χ=⋅，其中()n E x χ为n E 的特征函数，则lim ()(),n n f x f x x E →∞=∈一般地，任取ny +∞，记(0,)n n E E B y =⋂，()()()n n E f x f x x χ=⋅，其中()n E x χ为n E 的特征函数，则lim ()(),n n f x f x x E →∞=∈② 设()f x 是可测集E 上的可测函数，{n E }是E 的一列收敛于E 的可测子集，记()()()n n E f x f x x χ=⋅（x E ∈），其中()n E x χ为n E 的特征函数，则lim ()(),n n f x f x x E →∞=∈。
③ 设()(1,2,)n f x n =，()f x 都是可测集E 上的可测函数，1n n E E ∞==，n E 单调递增 ，n E 为E 的一列可测子集，且lim ()(),n n f x f x x E →∞=∈，记()()()n n E n f x f x x χ=⋅（x E ∈）， 其中()n E x χ为n E 的特征函数，则仍有lim ()(),n n f x f x x E →∞=∈。
④ 设()f x 是可测集E 上的可测函数，{n E }是E 的一列收敛于E 的可测子集，且lim ()(),n n f x f x x E →∞=∈，记()()()n n E n f x f x x χ=⋅（x E ∈），其中()n E x χ为n E 的特征函数，则仍有lim ()(),n n f x f x x E →∞=∈。
⑤ 由lim ()()d 0n En f x f x x →∞-=⎰可以推出()()0n f x f x -⇒于E ，进而推出()()n f x f x ⇒于E 。
复习自测题：1、据理说明下面所列的结论是否成立：（1）设nE R ⊂为可测集，()f x 为E 上的非负简单函数或非负可测函数，则()f x 为E 上的Lebesgue 可积函数；（2）设n E R ⊂为可测集，()f x 为E 上的可测函数，则()f x 为E 上的Lebesgue 可积函数； （3）设n E R ⊂为零测集，()f x 为E 上的可测函数，则()f x 为E 上的Lebesgue 可积函数； （3）设n E R ⊂为可测集，且mE <+∞，()f x 为E 上的可测函数，则()f x 为E 上的Lebesgue 可积函数；（4）设n E R ⊂为可测集，且mE <+∞，若()f x 为E 上的有界可测函数，则()f x 为E 上的Lebesgue 可积函数；（5）设nE R ⊂为可测集，()k f x ，1,2,k =为E 上的一列非负可测函数，则1()()kk f x fx ∞==∑为E 上的Lebesgue 可积函数；（6）设n E R ⊂为可测集，()k f x ，1,2,k =为E 上的一列非负可测函数，且lim ()()k k f x f x →∞=，则()f x 为E 上的Lebesgue 可积函数；（7）设n E R ⊂为可测集，()k f x （1,2,k =）为E 上的一列非负可测函数，则lim ()k k f x →∞和lim ()k k f x →∞为E 上的Lebesgue 可积函数；（8）设n E R ⊂为可测集，()f x 为E 上的非负可测函数，则()f x 在E 上几乎处处有限；2、利用积分的绝对连续性解决下面的问题：① 设n E R ⊂为可测集，()()f x L E ∈，记[()]k E E x f x k =≥，1,2,k =，则（1）lim 0k k mE →∞=，lim 0k k kmE →∞=，lim()d 0kE k f x x →∞=⎰；（2）0()f x ≤<+∞..a e 于E 。