上海市七年级上学期因式分解总复习

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12.2因式分解的方法(运用完全平方公式因式分解)(课件)-七年级数学上册(沪教版2024)

2
即( x －3 y ) ＝0.∴ x －3 y ＝0.∴ x ＝3 y .∴ ＝3.

16. 将下列各式进行因式分解.
(1)简便计算： 8002－1 600×798＋7982；
【解】原式＝8002－2×800×798＋7982＝(800－798)2
＝4.
(2) b2－4 a2－1＋4 a ；
【解】原式＝ b2－(4 a2－4 a ＋1)＝ b2－(2 a －1)2
的大小关系为( B
)
A. M ＞ N
B. M ≥ N
C. M ≤ N
D. 不能确定
4. [2023太原期末]已知一个圆的面积为9π a2＋6π ab ＋π b2( a ＞0， b
＞0)，则该圆的半径是(
A )
A. 3 a ＋ b
B. 9 a ＋ b
C. 3 ab
D. 3π a ＋π b
5. 将多项式4 x2＋1加上一项，使它能化成( a ＋ b )2的形式，
= 8 + 2 .
2
2 −
2
− 10 2 − + 25.
解： 2 − 2 − 10 2 − + 25
= 2 − 2 − 2 • 2 − • 5 + 52
= 2 − − 5 2 .
分层练习-基础
1.下列可以用完全平方公式因式分解的是(
C )
A. 4 a2－4 a －1
课堂练习
课堂练习12.2 3
1. 口答下列整式能用完全平方公式因式分解吗？为什么？
1
2 + 4 + 16;
解：不能.
3
9 2 − 24 + 16;
解：能.

上海七年级上学期因式分解精炼

上海七年级上学期因式分解精炼上海市七年级数学因式分解精炼一、用提公因式法把多项式进行因式分解1、. -a2x'n+2 + abx m^一acx m - OXg2、. a{a - b)i +2a1(b-a)2- 2ab(b - a)IX + y = 3 3、•不解方程俎仁•,求代数式(2x + y)(2x - 3y) + 3x(2λ∙ + y)的值。

5x _ 3y = _24「证明：对于任意自然数n, 3川一2⑷+3“ 一2”一定是10的倍敖。

5、・巳知：X2+bx + c (b、C为整数)是X4 +6X2 +25及3χ4+4x'+ 28x+ 5的公因式，求b、C的值。

课堂小练1.分解因式：(1) -4//?2/?3+∖2nrn2 -2Inn(2) a2x n^2 +abx,l^] -acx n -adx i^ (n为正整数)(3) a(a-b)i +2cr(b-a)1 -2ab(b-a)2 (4) 3x(x - 2) - (2 - x) (6) 4g(l - +2(〃一1)'2.计算：(-2)11 +(-2)10的结果是_______________3.巳知％y都是正整数，且X(X — y)-y(y—兀)=12 ,求x、*4.证明：817 -279 -915能被45整除。

2、迓用公式法进行因式分X巳知多项式Ix3-X1 +m有一个因式是2x + 1,求加的值。

2.巳知a、b、C⅛ AABC的三条边，且满足Cr +h1 +c2-ab-hc-ac = 0 ,试判断AABC的形状。

3.两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。

4.巳知：a = -nι+ 1, b =—7/7 + 2, C = —m + 3 ,求Cr +2ab + h2 -2ac + c1 -2bc的值。

2 2 25..若x' + y3 = 27, X2 -x)→y2 = 9 ,求x，+ y2的值。

6、分解因式(1) (α + 2),—(3G-IF (2 ) x y (X - 2y) + x2 (Iy - Λ)(3) 2x3y + Sx2y2 +Sxy y(4)6/2+2a -h2 -2Z?I O 4 17.・巳知：X H - - —3 ,求X 4 T-的值。

上海初中七上因式分解260题(学生版)

【因式分解方法总览】版块一基本方法因式分解的四种基本方法：一提二代三组四叉1. 【提】提公因式法：一次提净，注意符号确定公因式的方法：系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂. 2. 【代】公式法因式分解中常用的公式：⑴平方差公式：22()()a b a b a b −=+− ⑵完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±⑶三元平方公式：2222222()a b c ab ac bc a b c +++++=++ ⑷三次方公式：①3322()()a b a b a ab b +=+−+；3322()()a b a b a ab b −=−++ ②3223333()a a b ab b a b +++=+；3223333()a a b ab b a b −+−=− ③()()3332223a b c abc a b c a b c ab bc ca ++−=++++−−− ⑸n 次方公式：①()()12321n n n n n n n a b a b a a b a b ab b −−−−−−=−+++++（n 为正整数） ②()()12321n n n n n n n a b a b a a b a b ab b −−−−−−=+−+−+−（n 为正偶数） ③()()12321n n n n n n n a b a b a a b a b ab b −−−−−+=+−+−−+（n 为正奇数）3. 【组】分组分解法分组分解法：通过分组，各组内可以用提公因式法或者公式法进行因式分解. 4. 【叉】十字相乘法与双十字相乘法⑴十字相乘法：适用范围：形如2ax bx c ++的二次三项式设()()21122ax bx c a x c a x c ++=++，则：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=；写成十字交叉的形式，即：12a x a x 12c c ；口诀：降幂排列，首尾分解，交叉相乘，求和凑中.【注】若24b ac −不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解.⑵双十字相乘法适用范围：形如22Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++的二次多项式条件：①12A a a =，12C c c =，12F f f =②1221a c a c B +=，1221c f c f E +=，1221a f a f D += 即： 1a x 1c y 1f2a x 2c y 2f则()()22111222Ax Bxy Cy Dx Ey F a x c y f a x c f +++++=++++步骤：①用十字相乘法分解二次三项式()()221122Ax Bxy Cy a x c y a x c y ++=++，用十字交叉线表示（共两列）；②用十字相乘法分解二次三项式()()21122Cy Ey F c y f c y f ++=++，继续用十字交叉线表示，即把常数项F 分解成两个因式填在第三列上；③用十字相乘法分解二次三项式2Ax Dx F ++，检验是否等于()()1122a x f a x f ++，若相等，则双十字相乘法分解因式成功.应用情况：⑴二元二次式（22Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++）；⑵三元二次齐次式（222Ax Bxy Cy Dxz Eyz Fz +++++）； ⑶四次五项式（43243210a x a x a x a x a ++++）.版块二拓展方法因式分解的六种拓展方法：拆添项与配方、主元、换元、试根、待定系数、轮换对称式 1. 拆添项与配方法⑴拆、添项⇒分组⇒提、代； ⑵配方法⇒配完全平方式⇒平方差公式 2. 主元法步骤：选（二次三项式）→排（降幂排列）→叉（十字相乘法） 3. 换元法整体思想：化繁为简，本质不变4. 因式定理与试根法⑴余数定理：x c −除()f x ，余数为()f c ；⑵因式定理：若()0f c =，则x c −为()f x 的因式；若x c −为()f x 的因式，则()0f c =；⑶试根法：设()1110n n n n f x a x a x a x a −−=++++为整系数多项式若存在有理数c 满足()0f c =，则pc q=；其中：p 为0a 的因数，q 为n a 的因数；()f x 含有因式()qx p −；特别地，当1n a =时，c p =为整数.【注】常见技巧：若多项式各项系数和为0，则1一定为根. 5. 待定系数法步骤：设（待定系数）→（展）→等（对应项系数相等）【注】待定系数法往往会有多种情况，需逐一验证. 6. 轮换对称式⑴判定多项式是否为轮换对称式；⑵试根：选定一个字母为主元，利用因式定理确定因式，并写出相关同型式对于关于x ，y ，z 的轮换对称式，最常见的试根情况有：常见的齐次轮换对称式：【基础篇】1. 分解因式：22462x xy y +−2. 分解因式：242ab a b a bm an −++3. 分解因式：26312m mn mn −−4. 分解因式：()()32226a b c a c b −−−5. 分解因式：22223a b abc ab c −+−6. 分解因式：44332232722436x y z x y z x y z +−7. 分解因式：()()23262x a b xy a b +−+8. 分解因式：()()221n n x a b y b a +−+−9. 解方程：()()()()45303315453033160x x x x ++−++=11. 分解因式：()()()()22x y x y x y x y +−++−12. 分解因式：23361412abc a b a b −−+13. 分解因式：32461512a a a −+−14. 分解因式：4325286x y z x y −15. 分解因式：322618m m m −+−16. 分解因式：22224()x a x a x +−−17. 分解因式：2316()56()m m n n m −+−18. 分解因式：3223224612x y x y x y −+−20. 分解因式：(23)(2)(32)(2)a b a b a b b a +−−+−21. 分解因式：()()()213223x x x −−+− 22. 分解因式：2121()()m m p q q p +−−+−23. 分解因式：429ax ay −24. 分解因式：322x x x ++25. 分解因式：()2m p q p q −−+26. 分解因式：()()229m n m n +−−27. 分解因式：2229166824a b c ab ac bc ++−+−28. 分解因式：322333x x y xy y +++29. 分解因式：()222224a b a b +−30. 计算：2221999100033⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31. 计算：()22221052100595−⨯−+32. 计算：22221111111123410⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−−− ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭33. 分解因式：()()()33x y x y xy y x −−−−−34. 已知5a b +=，3ab =，求代数式32232a b a b ab −+的值.35. 分解因式：()()22924a b a b +−−36. 分解因式：53182a a −+37. 分解因式：()()22229a a b x y +−+38. 分解因式：8881a b −39. 分解因式：322206045x x y xy −+−40. 分解因式：()2222224x y z x y +−−41. 分解因式：338a b +42. 分解因式：75()()a b b a −+−43. 分解因式：2243()27()x x y y x −−−44. 分解因式：22(5)2(5)(3)(3)m n n m n m n m +−+−+−45. 分解因式：44244()4p q p q +−46. 分解因式：222()4()4x x x x +−++47. 分解因式：22(23)9(1)x x +−−48. 分解因式：22223(2)27a a b a b +−49. 分解因式：222222(35)(53)a b a b −−+−50. 分解因式：22222(91)36a b a b +−−51. 分解因式：1xy x y −+−52. 分解因式：2ma mb m mn na nb −+++−53. 分解因式：434164a a a +−−54. 分解因式：26432xy yz x xz −+−55. 分解因式：322288a a b b a −+−56. 分解因式：3223636x x y x z xyz +−−57. 分解因式：ax by bx ay −−+58. 分解因式：32acx bcx adx bd +++59. 分解因式：42244a x ax a −+−60. 分解因式：()()22ax by bx ay ++−61. 分解因式：()()2221ab x x a b +++62.分解因式：()()()211y y m m −−−+63.分解因式：32232x x xy y y −+−−64.分解因式：3254222x x x x x −−++−65. 分解因式：()()2222ab x y xy a b −+−66. 已知3210x x x +++=，求20082000199625x x x ++的值.67. 分解因式：()()22114m n mn −−+68. 分解因式：()()()222222a b b c c a a b c +++++−−−69. 分解因式：22(1)12a b b b −−+−70. 分解因式：(1)(2)6x x x −−−72. 分解因式：241194n n m x x y +−+73. 分解因式：5544()x y x y xy +−+74. 分解因式：2222()()()()a b a c c d b d +++−+−+75. 分解因式：325153x x x −−+76. 分解因式：2226923ax a xy xy ay −+−77. 分解因式：222221x y z x z y z −−+78. 分解因式：22221a b a b −−+79. 分解因式：251539a m am abm bm −+−81. 分解因式：2910x x −−82. 分解因式：()238x x −−83. 分解因式：2367928x x −+84. 分解因式：21166x x −−+85. 分解因式：()()222211224x x x x −−−+86. 分解因式：2222360x y xyz z −+87. 分解因式：222536x y xyz z −−89. 分解因式：22310x xy y +−90. 分解因式：2672x x −+91. 分解因式：2121115x x −−92. 分解因式：256x x −++93. 分解因式：26136x x −+94. 分解因式：2273x x ++95. 分解因式：2253x x −+96. 分解因式：222064xy y x −++98. 分解因式：2273320x x −−99. 分解因式：2612x x −+−100. 分解因式：2214425x y xy +−101. 分解因式：22672x xy y −+102. 分解因式：22121115x xy y −−103. 分解因式：2358x x +−104. 分解因式：2212197x xy y −+105. 分解因式：2212()11()()2()x y x y x y x y +++−+−107. 分解因式：2(2)8(2)12a b a b −−−+108. 分解因式：222()14()24x x x x +−++109. 分解因式：()233x m n x mn +++110. 分解因式：2()()x a b c x a b c +++++【提高篇】1. 分解因式：321246n n n y y y +++−+−2. 分解因式：222232284163915a b x a x a b −−3. 分解因式：()()()()2223326a b x y b c a b x y b c ++−++4.分解因式：()()()()56m x y a b c n y x b a c −−++−−−5.分解因式：()()()()()()22322132212123x x x x x x x −+−−+++−6.计算：20.1737 2.017530201.7⨯+⨯+7.分解因式：()()()()()21222n n n x y x z x y y x y z +−−−−+−−8. 分解因式：8684279a a −9. 分解因式：32233111248x y x y x y −+−10. 分解因式：()()2232p p q p p q +−+11. 分解因式：()()()()322522322n n x y x y −−−−−12. 分解因式：()()()1232n n n a x y b y x c y x ++−−−+−13. 分解因式：()()13122n n n x x x x +−−−14. 分解因式：23229632x y x y xy ++15.分解因式：3222524261352xy z xy z x y z −++16.分解因式：212146n m n m a b a b ++−−(m 、n 为大于1的自然数)17.分解因式：23423232545224()20()8()x y z a b x y z a b x y z a b −−−+−18.分解因式：()()2121510n n a a b ab b a +−−−（n 为正整数）19.分解因式：2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +−−−−+−−（n 为正整数）20. 分解因式：322()()()()()x x y z y z a x z z x y x y z x y x z a +−+−+−−+−−−−21. 分解因式：229312554a ab b −+22. 分解因式：2222()4()4()m n m n m n +−−+−23. 分解因式：()()()24c a b c a b −−−−24. 分解因式：()()24422a a b c b c −+++25. 分解因式：()()222122x x x x −++−26. 分解因式：()()24222222x a b x a b −++−27. 分解因式：77x y xy −28. 分解因式：5131214242n n n n n n x y x y x y −−+−+−+−29. 分解因式：3333a b c abc ++−30. 分解因式：3223332x x y xy y +++31. 分解因式：()()()()333333ax by ay bx a b x y +++−++32. 分解因式：()()2222224c b d a ab cd −+−−−33. 已知2471−可被40到50之间的两个整数整除，求这两个数.34. 求证：22823x xy y −−是两个整系数多项式的平方差.35. 分解因式：222139x xy y −+−36. 分解因式：444222222222a b c a b b c c a ++−−−37. 分解因式：81644x −38. 计算：()12351721n −⨯⨯⨯+39.分解因式：44()()a x a x +−−40.分解因式：2224244a b c ab ac bc +++−−41.分解因式：()()()()ab c d c d cd a b a b +−++−42.分解因式：()()3211x y xy x y ++−−−43.分解因式：2222x yz axyz yz xy xz az ++−−−44. 分解因式：()()222x b c d y d b c c d b +−−−−−+−45. 分解因式：322222422x x z x y xyz xy y z −−++−46. 分解因式：()()3322332a b a b a b ++++++47. 分解因式：432234a a a b ab b b ++++−48. 分解因式：()()()bc b c ca c a ab a b ++−++49. 分解因式：()222231b a x ab x +−−50. 分解因式：224632x xy ax a x y +−+−−51. 分解因式：222221x y z xy z +−−−−52. 分解因式：()222223691x y x y −+−53.分解因式：2222224x y x z y z z −−+54.分解因式：232232a b abc d ab cd c d −+−55.分解因式：22224946a b c d ac bd −+−++56.分解因式：221x ax x ax a +++−−57.分解因式：222332154810ac cx ax c +−−58.分解因式：22abx bxy axy y +−−59.分解因式：()()x x z y y z +−+60. 分解因式：333333()()()a b b c c a a b c ++++++++61.分解因式：3322()()ax y b by bx a y +++62.分解因式：2231()b a x abx +−−63.分解因式：22(3)(43)x ab x a b −+−64.分解因式：2222()()ab c d a b cd −−−65.分解因式：3254222x x x x x −−++−66.分解因式：222(1)()ab x x a b +++67.分解因式：222222()()ax by ay bx c x c y ++−++68.分解因式：()()()bc b c ca c a ab a b ++−−+69. 分解因式：()222124m x mx m −−−+70.分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++71.分解因式：2222()abcx a b c x abc +++72.分解因式：2222(4)8(4)15x x x x x x ++++++73.分解因式：2222222(61)5(61)(1)2(1)x x x x x x ++++++++74.分解因式：2()2a b x ax a b −+++75.分解因式：2222()3103x a b x a ab b ++−+−76.分解因式：()221999199911999x x −−−77.分解因式：22276212x xy y x y −++−−78.分解因式：22121021152x xy y x y −++−+79.分解因式：22534x y x y −+++80.分解因式：226731385x xy y x y −−++−81.分解因式：224434103x xy y x y −−−+−82.分解因式：22344883x xy y x y +−+−−83.分解因式：2265622320x xy y x y −−++−84.分解因式：226136222320x xy y x y −++−+85.分解因式：22223345a b c ab ac bc +++++86.分解因式：222311642x xy y xz yz z −+−−−87.分解因式：222695156x xy y xz yz z −+−++88.分解因式：2222372x y z xy yz xz −−+++89.分解因式：22265622320x xy y xz yz z −−−−−90.分解因式：222695156x xy y xz yz z −+−++91.分解因式：332x x ++92.分解因式：3234x x +−93.分解因式：9633x x x ++−94.分解因式：432433x x x x ++++95. 分解因式：432234232a a b a b ab b ++++96. 分解因式：444a b +97. 分解因式：44x +98. 分解因式：12631x x −+99. 分解因式：841x x ++100. 分解因式：422411x x y y −+101. 分解因式：4224(1)(1)(1)x x x ++−+−102. 分解因式：22(1)(1)4m n mn −−+103. 分解因式：412323x x −+104. 分解因式：42511x x −+105. 分解因式：444m n +106. 分解因式：422241x x ax a −++−107. 分解因式：2284025a ax xy y −−−108. 分解因式：22a ax xy y ++−109. 分解因式：2232x mx mx x −+−+110. 分解因式：()2232x a x a b b −−+−111. 分解因式：()()()2212121a a b a a b −−+−−112. 分解因式：22226x ax bx a ab b +−−−+113. 分解因式：4222x ax x a a −++−114. 分解因式：()32322x x a x a −++−115. 分解因式：222232x y x y xy xy x y ++++++116. 分解因式：22222a b ab ab a b ++−−−117. 分解因式：3222222x x y x z xz xyz y z yz −+−−++118. 分解因式：()()()2222abc a b c b c a c a b ++++++119. 分解因式：32539x x x ++−120. 分解因式：32256x x x +−−121. 分解因式：32694x x x −+−122. 分解因式：3210x x x +−−123. 分解因式：3487x x −−124. 分解因式：432262x x x x −−−+125. 分解因式：343115x x −+126. 分解因式：3292624x x x +++127. 分解因式：32252x x x −−−128. 分解因式：22(1)(2)12x x x x ++++−129. 分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++130. 分解因式：222(231)22331x x x x −+−+−131. 分解因式：2(2)(3)(4)(6)42x x x x x ++++−132. 分解因式：4(1)(21)(31)(41)6x x x x x ++−−+133. 分解因式：()()22216112a a a a a ++−++134. 分解因式：()()2254272x x x x −+−−−135. 分解因式：2244661124864x y x y x y −+−136. 分解因式：168243528x x y y −−137. 分解因式：()()222224x xy y xy x y ++−+138. 求证：(2016)(2017)(2018)(2019)1n n n n +++++是一个完全平方数.139. 计算：(472)(692)(8112)...(199419972)(362)(582)(7102) (199319962)⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+140. 计算：44444444(1064)(1864)(2664)(3464)(664)(1464)(2264)(3064)++++++++141. 分解因式：432227447x x x x −−−+142. 分解因式：435159x x x ++−143. 多项式32226x x x k +−+有一个因式是21x +，求k 的值.144. 若()()x a x b k −−−中含有因式x b +，求用a 、b 表示k 的式子.145. 21y x −+是2244xy x y k −−−的一个因式，求k 的值.146. 设多项式324715ax bx x +−−含有因式31x +、23x −，试试将此多项式因式分解.147. 已知关于x 、y 的二次式22754324x xy my x y ++−+−可分解为两个一次因式的乘积，求m 的值.148. 多项式2256x axy by x y ++−++的一个因式是2x y +−，试确定a b +的值.149. 已知225x x ++是42x ax b ++的一个因式，求a b +的值.150. 若多项式432511x x x mx n −+++能被2(1)x −整除，求m n +的值.。

沪教版 (上海)七年级第一学期《因式分解之公式法与十字相乘》知识点与练习(有答案)

一、公式法进阶. 乘法公式进阶版，现将其反向使用.(a +b )(a 2-ab +b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b 2)；(a -b )(a 2+ab +b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b )(a 2+ab +b 2)．a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca =(a +b +c )2；a 3+b 3+c 3-3abc =(a +b +c )(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca )；【例1】分解下列因式：（1）44827x y xy - （2）523972x x y -（3）()()33x y x y x y -+-（4）66x y + （5）66x y -因式分解进阶例题讲解模块一：公式法进阶【例2】（1）已知3330,0a b c a b c ++=++=，求151515a b c ++的值。

（2）若正数a ，b ，c 为三角形的三边，且满足444222222a b c a b b c c a ++=++，试确定三角形的形状.二、十字相乘法（1）第一类十字相乘：二次项系数为1【口诀：尾项分拆，凑中间项】形如： 2()x p q x pq +++（其中p 、q 为常数）可以因式分解为()()x p x q ++（2）第二类十字相乘：二次项系数不为1【口诀：首尾分拆，十字相乘，凑中间项】形如： 2kx mx n ++（其中k 、m 、n 为常数），若k ac =，n bd =且ac bd m +=时，原式可以转化为：2()()()acx ad bc x bd ax b cx d +++=++【例3】因式分解：（1）256x x ++ （2）256x x +-模块二：十字相乘法例题讲解（3）2109x x ++ （4）2310x x --【例4】因式分解：（1）2212x xy y --（2）22712x y xy -+（3）42536x x -- （4）2214425x y xy +-（5）分解因式：()()25______4x x x x ++=++（6）若()()2431x x x a x ++=-+，则___a =。

【最新】七年级数学因式分解复习课课件沪科版课件

=3x2y2(y2-9x2) =3x2y2(y-3x)(y+3x) 例如：分解因式x4-y4 =(x2+y2 )(x2-y2 )对吗？
如何分解？【最新】七年级数学因式分解复习课课件沪科版课件
本节课你有什么收获呢？
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因式分解的步骤： 1、首先考虑提取公因式法； 2、第二考虑公式法。 3、因式分解要分解到不能再分解为止。因式分解的规律： 1、首先考虑提取公因式法； 2、两项的在考虑提公因后多数考虑平方差公式。 3、三项的在考虑提公因后考虑完全平方公式。 4、多于三项的在考虑提公因后，考虑分组分解。 5、分解后得到的因式，次数高于二次的必须再考虑是否能继续分解，确保分解到不能再分解为止。
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拓展提高：已知多项式2x3-x2-13x+k分解因式后有一个因式为2x+1。求k的值。提示：因为多项式2x3-x2-13x+k有一个因式是2x+1，所以
当2x+1＝0时，多项式2x3-x2-13x+k＝0，
即：当x＝ 1 时，多项式2x3-x2-13x+k＝0。
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提取公因式法
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。
练习：
1、把多项式m2(a－2)+m(2－a)分解因式等于（ C ） A．(a－2)(m2+m) B．(a－2)(m2－m) C．m(a－2)(m－1) D．m(a－2)(m+1)
2、把下列多项式分解因式
(1) a2x2yax2y

沪教版(上海)初中数学七年级第一学期 9.16 因式分解复习课件

变试训练：
(1)x2 2xy 3y2 (2)(x 4 y)2 2(x 4 y) 3
你看懂了吗？请仿照上面的方法，编制出其它不同类型的因式分解的题目，并将它分解因式。
作业
1.复习 2.练习卷
例2 : 若2a b 0,则4a2 b2 1的值。
尝试练习：
1.已知a b 3, 其中x, y互为倒数，求a2xy 2abxy b2xy的值。
2.已知a b 3, ab 2,求（1）a2 b2的值; （2）a4 b4的值。
六、探究与活动
因式分解：x(x 2) 3
解 x(x 2) 3 x2 2x 3 (x 3)(x 1)
（口答）因式分解
(1)4a 2b
(2)4ab 2b
(3)a(b 1) (b 1)
因式分解的基本方法:运用公式法
平方差公式 a2 b2 (a b)(a b)
(口答) 因式分解 (1) a2 4b2 (2) 16a2 4b2
因式分解的基本方法:运用公式法
完全平方公式
a2
2
2ab b
2.下列多项式哪些能用乘法公式分解因式?
(1) x2 4 (2) x2 4xy y2 (3) (m n)2 6(m n)(m n) 9(m n)2
二、辨一辨
3.下列用十字相乘法分解因式是否正确？
(1) x2 6xy 5y2 (x 5)(x 1) (2) x2 15xy 16y2 (x 16y)(x y)
因式分解的步骤：
第一步：提取公因式法 (首选)
第二步：二项式三项式
因式分解的平方差公式因式分解的完全平方公式十字相乘法
四项式或四项以上
分组分解法 (2+2或3+1)

沪教版七年级(上)数学秋季课程第8讲因式分解综合(解析版)

本节课的内容，主要是对因式分解的四种方法——提取公因式法，公式法，十字相乘，分组分解法进行综合练习．通过本节课的学习，可以帮助同学们在做题目时，更加快速准确地找准分解因式的方法．并且可以用因式分解的思想去解决实际问题．【例1】下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）．A ．()x a b ax bx -=-B ．2221(1)(1)x y x x y -+=-++C ．21(1)(1)x x x -=+-D ．()ax bx c x a b c ++=++【答案】C【解析】因式分解是将一个多项式分解成因式乘积的形式．【总结】考察因式分解的定义．因式分解综合内容分析知识结构例题解析【例2】如果一个多项式因式分解的结果是()()2222b b +-，那么这个多项式是（）．A ．44b -B ．44b -C ．44b +D ．44b -【答案】B【解析】()()()()2222422224b b b b b +-=+-=-．【总结】考察平方差公式的运用．【例3】下列各式中，是完全平方式的是（）．A ．214y y -+ B ．21m +C ．1a ab ++D ．221x x +-【答案】A 【解析】2211(42y y y -+=-．【总结】考察用完全平方公式的运用．【例4】如果2x mx n ++是一个完全平方式，则m n 、的关系是___________．【答案】24m n =．【解析】22()42mn m n ==，．【总结】考察对完全平方式的理解及运用．【例5】利用因式分解计算：（1）2299101-；（2）212114411121441691213⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭．【答案】（1）-400；（2） 287．【解析】（1）2299101-(99101)(99101)200(2)400=+-=⨯-=- （2）令11121213a b ==，，原式可化为2222()()()()a ba b a b a b a b a b a b+-÷-=-+-÷-=--，将a 、b 代入上式，得原式221112111312121328712111213111312+⨯+===-⨯-．【总结】考察因式分解在简便运算中的应用．【例6】已知a b c 、、是ABC ∆的三边，且222a b c ab ac bc ++=++，那么ABC ∆的形状是（）．A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【答案】C【解析】由222a b c ab ac bc ++=++，得：2222()2()0a b c ab ac bc ++-++=，即222()()()0a b b c a c -+-+-=，a b b c a c ===所以，，．即ABC ∆为等边三角形．【总结】本题一方面考察完全平方式的运用，另一方面考查几个非负数的和为零的基本模型．【例7】如果多项式216x kx ++可分解成两个一次因式的积，且k 为整数，那么k 不可能是（）．A ．10B ．17-C ．15-D ．8【答案】C【解析】1616116(1)444(4)282(8)=⨯=-⨯-=⨯=-⨯-=⨯=-⨯-，所以17810k =±±±或或，故选C ．【总结】考察对十字相乘法的理解及运用．【例8】分解因式：（1）()229(2)252______________x y x y +--=；（2）2101_________n -=；（3）222__________x y y -=；（4）2363__________a a -+=；（5）2111__________216a a ++=；（6）26__________x x --=；（7）4278___________x x +-=；（8）231110__________y y ++=．【答案】（1）8(2)(8)x y x y ---；（2）(101)(101)n n +-；（3）2(1)(1)y x x +-；（4） 23(1)a -；（5） 21(1)4a +；（6）(3)(2)x x -+；（7）2(1)(1)(8)x x x +-+；（8）(35)(2)y y ++．【解析】（1）（2）（3）用平方差公式分解；（4）（5）用完全平方公式法分解；（6）（7）（8）用十字相乘法分解．【总结】本题主要考察利用适当的方法对多项式进行因式分解，注意分解一定要彻底．【例9】已知一矩形面积()()22545635S n n n n =++++=，求此矩形的周长．【答案】24．【解析】由题意，可得：222(5)10(5)110n n n n +++-=，分解因式，得：22(511)(51)0n n n n +++-=，则2511n n +=-或251n n +=．因为矩形边长为正整数，所以251n n +=，所以一组邻边长为5和7，所以此矩形的周长为：()57224+⨯=．【总结】本题一方面考查因式分解在实际问题中的应用，另一方面考查整体思想的运用．【例10】已知3a b +=，2ab =-，利用因式分解求解()()22a a b b a b +++的值．【答案】39．【解析】()()22a a b b a b +++222()()()[()2]3(94)39a b a b a b a b ab =++=++-=⨯+=．【总结】考察因式分解的运用，利用已知条件求值．【例11】已知222224470x y z x y z ++-+++=，则________xyz =．【答案】2．【解析】因为222224470x y z x y z ++-+++=，所以222(1)(2)2(1)0x y z -++++=．即121x y z ==-=-，，，所以2xyz =．【总结】考察完全平方式的运用，将原式转化为几个非负数的和为零的基本模型．【例12】已知2222220a b c d ab cd +++--=，求ac ad bc bd --+的值．【答案】0．【解析】由题意，得22()()0a b c d -+-=，所以a b c d ==，．所以()()0ac ad bc bd a c d b c d --+=---=．【总结】考察完全平方式的运用，将原式转化为几个非负数的和为零的基本模型．【例13】已知代数式422269264x x y y x y +++++的值为7，求代数式422269261x x y y x y ++---的值．【答案】-2或14．【解析】由题意，得：4222692630x x y y x y ++++-=，因式分解，得：22(31)(33)0x y x y +-++=，则223133x y x y +=+=-或．因为422222269261(3)2(3)1x x y y x y x y x y ++---=+-+-，所以当23=1x y +时，原式2=-；当233x y +=-时，原式14=．【总结】考察根据已知条件求值，本题关键在于将已知条件的等式因式分解．【例14】分解因式：()()22221x y ab x y a b +-+-+．【答案】(1)(1)x y ab x y ab +--+-+．【解析】本题先采用一三分组，再利用公式法进行因式分解．【总结】考察较复杂的多项式的因式分解的方法．【例15】分解因式：()()22238320x x x x +-+-．【答案】(5)(2)(1)(2)x x x x +-++．【解析】()()22238320x x x x +-+-22(310)(32)x x x x =+-++(5)(2)(1)(2)x x x x =+-++．【总结】本题主要考查利用十字相乘法进行因式分解，注意分解要彻底．【例16】分解因式：()()22114x y xy --+．【答案】(1)(1)xy x y xy x y ++-+-+．【解析】原式222222221421(2)y x x y xy x y xy x xy y =--++=++--+22(1)()(1)(1)xy x y xy x y xy x y =+--=++-+-+．【总结】考察利用分组分解法分解因式，本题需要先展开后再分组．【例17】分解因式：222946124x y z xy yz xz ++--+．【答案】2(32)x y z -+．【解析】222946124x y z xy yz xz ++--+222(3)4(3)4(32)x y z x y z x y z =-+-+=-+．【总结】本题先利用分组分解法，然后再用完全平方公式进行因式分解，注意观察每一项的特征．【例18】分解因式：()()222222ax by ay bx c x c y ++-++．【答案】22222()()x y a b c +++．【解析】原式22222222222222a x abxy b y a y abxy b x c x c y =+++-+++ 222222222()()()a x y b x y c x y =+++++22222()()x y a b c =+++．【总结】考察利用分组分解法分解因式，本题需要先将小括号展开后再分组．【例19】分解因式：()()()12340x x x x -++-．【答案】2(4)(2)(25)x x x x +-++．【解析】原式22222(23)(2)40(2)3(2)40x x x x x x x x =+-+-=+-+- 222(28)(25)(4)(2)(25)x x x x x x x x =+-++=+-++．【总结】本题综合性较强，主要是观察前面几个因式的特征之后，通过合理的分组，然后利用整体思想进行因式分解，注意分解要彻底．【例20】分解因式：()444x y x y +++（拆项添项）．【答案】2222()x y xy ++．【解析】原式()444222222x y x y x y x y =++++--322y-yxx ()42222222222222222222222222222()()()[()][()]()()(3)()()(222)2()x y x y x y x y x y xy x y xy x y xy x y xy x y xy x y xy x y xy x y xy x y xy x y xy x y xy =+-++-=+++-++++-=+++-+++++=++++=++【总结】本题综合性较强，主要考查通过添项，构造完全平方式，然后再利用平方差公式进行分解，注意分解要彻底．【例21】分解因式：22276x xy y x y +--+-（双十字相乘法）．【答案】(2)(23)x y x y -++-．【解析】【总结】考察用双十字相乘法分解因式的方法．【例22】利用乘法分配律可知：()()22______________a b a ab b +-+=； ()()22____________a b a ab b -++=．由整式乘法与因式分解的关系，我们又可以得到因式分解中的另两个公式：33______________a b +=；33____________a b -=．请利用新的公式对下列各题进行因式分解．（1）338x y +；（2）66x y -．【答案】33a b +；33a b -；()()3322a b a b a ab b +=+-+；()()22a b a ab b -++．（1）22(2)(24)x y x xy y +-+；（2）2222()()()()x y x xy y x y x xy y +-+-++．【解析】（1） 33338(2)x y x y +=+=22(2)(24)x y x xy y +-+；（2）6633332222()()()()()()x y x y x y x y x xy y x y x xy y -=+-=+-+-++．【总结】考察用新的公式进行因式分解．【例23】已知a b c 、、满足1a b c ++=，2222a b c ++=，3333a b c ++=，求444a b c ++的值．【答案】256．【解析】因为2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++，即122()ab bc ac =+++，所以12ab bc ac ++=-．因为3332223()()a b c abc a b c a b c ab ac bc ++-=++++---，即13322abc -=+，所以16abc =．因为333444()()7()()a b c a b c a b c ab ac bc abc a b c ++++=+++++-++，即4441137()126a b c =+++⨯--⨯，所以444256a b c ++=．【总结】本题综合性较强，主要考察整式乘法与因式分解的综合运用以及整体思想的运用．【例24】若230x x +-=，则32199119871990_______x x x +++=．【答案】7960【解析】令a =1990，原式可化为： 32(1)(3)x a x a x a +++-+322223(3)(1)x ax x ax x a x x x a x x =+++-+=+-+++4a =，将1990a =代入，得：原式419907960=⨯=．【总结】考察利用因式分解的思想进行根据已知条件求值，本题用a 代换较大的数1990，便于计算．【例25】计算：32322012220122010201220122013-⨯-+-．【答案】20102013．【解析】令2012a =，原式可化为：32322323222(2)22(1)(2)231(1)1(1)(1)11a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -----+---====-+-++---+++，将2012a =代入，得：原式332010112012120132013=-=-=+．【总结】考察利用因式分解的思想进行化简求值，本题用a 代换较大的数2012，便于化简．②【习题1】下列各式中，是完全平方式的是（）．①2242a ab b ++；②2212x x+-；③2296m mn n --；④2214x xy y ++；⑤43222a a b a b -+；⑥24212x x x++． A ．①②③B ．②④⑤C ．③④⑤⑥D ．①②⑤⑥【答案】B【解析】②④⑤是，①③⑥不是．【总结】考察完全平方式的意义．【习题2】已知正方形的面积是2296x xy y ++（00x y >>，），利用因式分解，写出表示该正方形的边长的代数式是____________．【答案】3x y +．【解析】22296(3)x xy y x y ++=+．【总结】考察用完全平方式分解因式．【习题3】已知2a b +=，2ab =，则322311___________22a b a b ab ++=．【答案】4．【解析】322322111(2)222a b a b ab ab a ab b ++=++211()24422ab a b =+=⨯⨯=．【总结】考察用完全平方式分解因式，然后利用整体代入进行求值．【习题4】甲、乙两个同学分解因式2x ax b ++时，甲看错了b ，分解结果为()()24x x ++；乙看错了a ，分解结果为()()19x x ++，则______a b +=．【答案】15．【解析】甲看错了b ，所以一次项系数正确，为2+4=6；乙看错了a ，所以常数项正确，为199⨯=，所以6915a b +=+=．【总结】考察用十字相乘法分解因式的方法．随堂检测【习题5】如果二次三项式28x ax --（a 为整数）在整数范围内可分解因式，那么a 的取值可以是_____________．【答案】72±±或．【解析】因为881182442-=-⨯=-⨯=-⨯=-⨯，所以72a =±±或．【总结】考察用十字相乘法分解因式的方法．【习题6】分解因式：（1）3223121824a b c a b c ac -+；（2）()()()a a b c b c a b c b a c --+-++-+；（3）2221632n n n a a a +--+-；（4）43221a a a a ++++．【答案】（1） 2236(234)ac a b ab -+；（2）2()a b c --；（3）2222(2)(2)n a a a --+-；（4）22(1)(1)a a a +++．【解析】（1）（2）提取公因式法；（3）先提取公因式再用公式法；（4）拆项分组法．【总结】本题主要考查利用合适的方法进行因式分解．【习题7】分解因式：()()()24b c a b c a ----．【答案】2(2)a b c --．【解析】()()()24b c a b c a ----22224()b bc c ac a bc ab =-+---+222224444(2)b bc c ac a bc ab a b c =-+-++-=--．【总结】本题直接无法因式分解，因此要先把每一项都拆开，然后重新分组进行因式分解．【习题8】分解因式：2210256308x xy y x y -+-++．【答案】(54)(52)x y x y ----．【解析】原式2(5)6(5)8(52)(54)x y x y x y x y =---+=----．-21y-2y x x 【总结】本题主要是先利用分组分解法进行分组，然后再利用十字相乘法进行因式分解．【习题9】分解因式：22252x xy y x y ---+-．【答案】(21)(2)x y x y -++-．【解析】【总结】考察较复杂分解因式的方法，本题用双十字相乘法比较简单．【习题10】设23x z y +=，试判断222944x y z xz -++的值是不是定值，如果是定值，求出它的值；否则，请说明理由．【答案】是定值，0．【解析】222944x y z xz -++22(2)9(23)(23)600x z y x z y x z y y =+-=+++-=⋅=．【总结】考察先因式分解，再根据已知条件求值．【习题11】试讨论对于哪些m 值，24x xy x my +++能分解成两个一次因式的积．【答案】4【解析】24(4)()x xy x my x x y x m +++=+++所以当4m =时，上式才可以继续因式分解成(4)()x x y ++．【总结】考察分组分解法可以继续分解的条件．【习题12】已知()()200019981999a a --=，求()()2220001998a a -+-的值．【答案】4002．【解析】因为()()200019981999a a --=，所以()()200019981999a a --=-．()()()()()()22220001998[20001998]22000199842(1999)4002a a a a a a -+-=-+----=-⨯-=【总结】考察完全平方公式的变形，再根据已知条件求值．班秋季级年七12 / 16【习题13】分解因式：432262x x x x ---+（拆添项）．【答案】22(232)(1)x x x ++-．【解析】原式4332222333322x x x x x x x =+----++322(1)3(1)3(1)2(1)x x x x x x x =+-+-+++32(1)(2332)x x x x =+--+322(1)(225522)x x x x x x =++--++2(1)[2(1)5(1)2(1)]x x x x x x =++-+++22(1)(252)x x x =+-+ 2(1)(21)(2)x x x =+--．【总结】本题综合性较强，通过拆添项，找到公因式，从而进行因式分解，注意分解要彻底．【习题14】分解因式：()()()222241211y x y x y +-++-（拆项添项）．【答案】(1)(1)(1)(1)x x y xy x x y xy +++-----．【解析】()()()222241211y x y x y +-++- ()()()()()22222[11]21121y x y y x y x y =++--+⋅--+()()22222[11]2(11)y x y x y y =++---++()()222[11]4y x y x =++--()()()()22[112][112]y x y x y x y x =++-+++--2222[(1)(1)][(1)(1)]x y x x y x =++--+-(1)(1)(1)(1)x x y xy x x y xy =+++-----．【总结】本题综合性较强，通过拆添项，找到公因式，从而进行因式分解，注意分解要彻底．课后作业【作业1】已知多项式22x bx c ++分解因式为()()231x x -+，则b c 、的值为（）．A ．3b =，1c =-B ．6b =-，2c =C ．6b =-，4c =-D ．4b =-，6c =-【答案】D 【解析】根据常数项2(3)16c =⨯-⨯=-，即可知选D ．【总结】考察十字相乘法的逆用．【作业2】下列分解因式错误的是（）．A ．()()25623a a a a -+=--B ．()2214212m m m -+=-C ．224(2)(2)x y x y x y -+=-+-D ．2221139342ab a b ab ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭ 【答案】B 【解析】22142(421)m m m m -+=---不可因式分解．【总结】考察因式分解的方法，本题B 中需要先提取负号，小括号内已不可分解．【作业3】已知210x y +=，22420x y -=，则______xy =．【答案】12【解析】因为210x y +=，由224(2)(2)20x y x y x y -=+-=可得：22x y -=，联立方程组可解得34x y ==，，故12xy =．【总结】考察根据已知条件求值．【作业4】分解因式：2221xy x y +--．【答案】(1)(1)x y x y +--+．【解析】2221xy x y +--222(2)1()1(1)(1)x xy y x y x y x y =--++=--+=+--+．【总结】考察用公式法分解因式的方法．【作业5】已知()212a a a b -=--，求222a b ab +-的值．【答案】2【解析】由()212a a a b -=--，得：2a b -=，所以222222()422222a b a b ab a b ab ++---====．【总结】考察利用因式分解根据已知条件求值．【作业6】已知3210x x x +++=，那么20082000199625x x x ++的值为__________．【答案】8【解析】因为3210x x x +++=，所以2(1)(1)0x x x +++=，即2(1)(1)0x x ++=，所以1x =-，将1x =-代入，得：200820001996251258x x x ++=++=．【总结】考察根据已知条件求值．【作业7】分解因式：（1）()()311111b a a b -+-；（2）11232639m n m n x y x y ++-+-；（3）()()2222224x x x y +-+；（4）4422127x y x y +-；（5）()()225()6x y a y x ab b x y -+-+-．【答案】（1）1()(11)(11)11b a b a b a --+--；（2） 213213(23)m n x y x y -+-；（3）22(44)(2)(2)x x y x y x y +++-；（4）22(3)(2)(2)x y x y x y -+-；（5）()(3)(2)x y a b a b ---．【解析】（1）（2）（5）提取公因式法；（3）平方差公式法；（4）十字相乘法．【总结】考察利用适当的方法进行因式分解．-21-y 3y 3x2x 【作业8】已知关于x y 、的二次六项式226372x axy y x y +----能分解为一次式 2x by c ++与2dx ey +-的积，求a b c d e ++++的值．【答案】13．【解析】由二次项系数和常数项可得31d c ==，，利用双十字相乘可得如下图交叉式：所以31b e ==-，，927a =-=，所以13a b c d e ++++=．【总结】考察双十字相乘法的应用．【作业9】已知2x y +=，4xy a =+，3326x y +=，求a 的值．【答案】-7．【解析】由题意有：33222()()()[()3]x y x y x y xy x y x y xy +=++-=++-，即262[43(4)]a =-+，解得：7a =-．【总结】考察立方和公式的应用．【作业10】计算：()2222002200120032002200220012001-⋅-⋅+．【答案】2003．【解析】令2002a =，则原式可化为：22222[(1)](1)(1)(1)1(1)(1)1a a a a a a a a a a a a a --+-++==+--+--+， =2003．【总结】本题综合性较强，主要考察利用因式分解先化简再计算，令2002a =可使计算简单．【作业11】已知3x y z ++=，22229x y z ++=，33345x y z ++=，求xyz 的值．【答案】-24．【解析】因为2222()2()x y z x y z xy yz xz ++=+++++，即9292()xy yz xz =+++，所以10xy yz xz ++=-，因为3332223()()x y z xyz x y z x y z xy xz yz ++-=++++---，即4533(2910)xyz -=+，所以24xyz =-．【总结】考察整式乘法与因式分解的综合练习，综合性较强，注意观察每一项的特征．。

沪教版(上海)七年级第一学期9.5《因式分解》知识点与练习

一．因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

⑴因式分解与整式乘法互为逆变形：（乘积形式）()m a b c ma mb mc −−−−→++++←−−−−整式乘法因式分解（和差形式）式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式⑵因式分解的常用方法：___________________________________________________。

⑶分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式；如果遇到二次三项式，则多考虑十字相乘法分解；如果项数大于等于4项，则尝试分组分解法；如果以上都搞不定，则采用添项与拆项，或者其他方法。

【注意】① 若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内．．．．．．不能再分解为止； ② 结果一定是乘积的形式；③ 每一个因式都是整式；④ 相同的因式的积要写成幂的形式。

(4)在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解； ③单项式因式写在多项式因式的前面；第二讲因式分解Ⅰ 模块一：提取公因式法④每个因式第一项系数一般不为负数；二．提取公因式法：公因式：几个单项式中相同因式最低次幂的积叫做这几个单项式的公因式。

系数——取多项式的各项系数的最大公约数；字母——取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂；且一般公因式的符号与多项式第一项的符号相同（即保证因式的第一项系数为正数）【例1】下列等式从左到右的变形是因式分解的有（）。

① ()a x y ax ay +=+； ② ()24444x x x x -+=-+；③ ()2105521x x x x -=-； ④ ()()2163443x x x x x x -+=+-+；⑤ ()()2224a a a +-=-； ⑥ ()ax ay az a x y z -+=-+； ⑦； ⑧ 。

串讲03 因式分解(9个常考点 5种重难点题型 2个易错)七年级数学上学期期中考点(沪教版2024)

＝ m ( a ＋ b )＋ n ( a ＋ b )＝( a ＋ b )( m ＋ n ).
请你选择一种方法因式分解：
mx － my ＋ nx － ny ；
【解】 mx － my ＋ nx － ny ＝( mx － my )＋( nx － ny )
＝ m ( x － y )＋ n ( x － y )＝( x － y )( m ＋ n ).
(1)3.2×202.4＋4.7×202.4＋2.1×202.4；
【解】原式＝202.4×(3.2＋4.7＋2.1)
＝202.4×10＝2 024.
(2)36.8×

＋20.2×
【解】原式＝
＝

×55＝13.

－2×来自.×(36.8＋20.2－2)
题型二：变形后利用提公因式法分解因式计算
B. 都是乘法运算
C. ①是因式分解，②是乘法运算
D. ①是乘法运算，②是因式分解
考点2 公因式的定义
4. [2023·永州]2 a2与4 ab 的公因式为
2a
5. 8 xmyn－1－12 x3 myn 各项的公因式是( D
A. xmyn
B. xmyn－1
C. 4 xmyn
D. 4 xmyn－1
⁠
2x3–2x2y+8y–8x
解
6k2+9km – 6mn–4kn
=2(x3–x2y+4y–4x)
=(6k2+9km) – (6mn+4kn)
=2[(x3–x2y) +(4y–4x)]
=3k(2k+3m) –2n (3m+2k)
=2[x2(x-y)-4(x-y)]

沪教新版七年级上册《第12章_因式分解》2024年同步练习卷+答案解析

沪教新版七年级上册《第12章因式分解》2024年同步练习卷一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为()A. B.C. D.2.如果一个多项式因式分解的结果是，那么这个多项式是()A. B. C. D.3.下列各式中，是完全平方式的是()A. B. C. D.4.把多项式分解因式的结果是()A. B.C. D.5.已知a，b，c是的三边长，且，则的形状为()A.钝角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形二、单选题：本题共1小题，每小题5分，共5分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

6.若能在整数范围内因式分解，则k可取的整数值有()A.2个B.3个C.4个D.6个三、填空题：本题共14小题，每小题3分，共42分。

7.多项式中各项的公因式是______.8.分解因式：______.9.分解因式：______.10.如果多项式，那么m的值为______.11.如果，且，则n的值是______.12.已知，，则______.13.已知，则的值是__________.14.若长方形的面积是，且其中一边长为，则长方形的另一边长是______.15.已知正方形的面积是，利用分解因式写出表示该正方形的边长的代数式______.16.已知，，则的值为______.17.分解因式，甲看错了a值，分解的结果是，乙看错了b值，分解的结果是，那么分解因式正确的结果应该是______.18.已知是一个完全平方式，则______.19.已知，则______.20.如果二次三项式为整数在整数范围内可分解因式，那么a的取值可以是______.四、解答题：本题共10小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

21.本小题8分分解因式：22.本小题8分分解因式：计算：23.本小题8分分解因式：24.本小题8分分解因式：25.本小题8分分解因式：26.本小题8分因式分解：27.本小题8分因式分解：；已知：x、y为正整数，、且，求x、y的值.28.本小题8分阅读下面解题过程：分解因式：解：然后按照上述解题思路，完成下列因式分解：29.本小题8分利用乘法分配律可知：______；______.由整式乘法与因式分解的关系，我们又可以得到因式分解中的另两个公式：______；______.请利用新的公式对下列各题进行因式分解.；30.本小题8分先阅读下面例题的解法，然后解答后面的问题.例：若多项式分解因式的结果中有因式，求实数m的值.解：设为整式，若，则或由得左式为零，所以是方程的解，所以，所以问题：若多项式分解因式的结果中有因式，则实数p是多少？答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、是整式的乘法运算，故选项错误；B、右边不是整式乘积的形式，故选项错误；C、，正确；D、右边不是整式乘积的形式，故选项错误．故选：根据因式分解的定义作答．因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，熟练地掌握因式分解的定义是解题关键．2.【答案】B【解析】解：故选：根据平方差公式得，进而解决此题．本题主要考查平方差公式以及因式分解的定义，熟练掌握平方差公式以及因式分解的定义是解决本题的关键．3.【答案】A【解析】解：，属于完全平方式；B.不属于完全平方式；C.不属于完全平方式；D.不属于完全平方式；故选：完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方；另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4.【答案】C【解析】解：原式故选：先分两组，前面一组利用完全平方公式分解，然后利用平方差公式因式分解即可．本题考查了因式分解-分组分解：分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．5.【答案】B【解析】解：，，，即，，，，，的形状为等边三角形．故选：欲判断三角形的形状，不妨试着从边的关系出发，求出a、b、c之间的关系；给等式两边同时乘以2，再利用完全平方公式进行配方，可得到；接下来根据非负数的性质可得答案．考查学生综合运用数学知识的能力．此题是一道把等边三角形的判定、因式分解和非负数的性质结合求解的综合题．6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查因式分解的意义和十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键，属于拔高题．根据十字相乘法的分解方法和特点可知：k的值应该是20的两个因数的和，从而得出k的值．【解答】解：，，，，，，则k的值可能为：，，，，，，故整数k可以取的值有6个，故选：7.【答案】【解析】解：，所以多项式中各项的公因式是故答案为：先变形得出，再找出多项式的公因式即可．本题考查了公因式，能熟记找公因式的方法①系数找各项系数的最大公因数，②相同字母找最低次幂是解此题的关键．8.【答案】【解析】解：，故答案为：先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．9.【答案】【解析】解：，，故答案为：先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．10.【答案】【解析】解：，故答案为：把等式右边利用完全平方公式展开，然后根据对应项系数相等解答．本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的公式结构是解题的关键．11.【答案】【解析】解：，，，，故答案为：先根据两平方项确定出这两个数，即可确定n的值．本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．12.【答案】【解析】解：，即，且①，②，①+②，得：，解得，故答案为：由，即得出，结合，将两式相加消去b即可得．本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握平方差公式和等式的性质．13.【答案】7【解析】解：，，故答案为：把已知条件两边分别平方，然后整理即可求解．完全平方公式：本题主要考查了完全平方公式，利用公式把已知条件两边平方是解题的关键．14.【答案】【解析】解：矩形的长为，故答案为：由题意得矩形的长为，然后利用多项式除以单项式的法则即可求出结果．本题考查多项式除以单项式运算．多项式除以单项式，先把多项式的每一项都分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加．15.【答案】【解析】解：，正方形的边长的代数式是因为正方形的面积是，可以分解为，又有正方形的面积等于边长的平方可得，正方形的边长的代数式是此题考查对完全平方公式再实际中的应用，应熟练识记完全平方公式：16.【答案】4【解析】解：原式，当，时，原式故答案是：首先对所求的式子提公因式，然后利用完全平方公式分解，最后把，代入求值．本题考查了分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．17.【答案】【解析】解：分解因式，甲看错了a值，分解的结果是，，，乙看错了b值，分解的结果是，，，故答案为：根据已知分解因式，甲看错了a值，分解的结果是，可得出b的值，再根据乙看错了b值，分解的结果是，可求出a的值，进而因式分解即可．此题主要考查了因式分解的意义，根据已知分别得出a，b的值是解决问题的关键．18.【答案】或2【解析】解：由于，则，或故答案为：或这里首末两项是x和5这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和5的积的2倍，故，再解k即可．此题主要考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．19.【答案】6【解析】解：已知等式变形得：，，，，，，，，解得：，，，则故答案为：已知等式左边14分为，结合后利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出x，y与z的值，代入原式计算即可求出值．此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．20.【答案】或【解析】解：8可以分解为和，当8可以分解为时，根据十字相乘因式分解，，则；8可以分解为时，根据十字相乘因式分解，，则；故答案是或根据因式分解十字相乘，将8分解为和，再按照十字相乘进行因式分解即可．本题考查的是因式分解，用十字相乘的方法时，要注意数字的符号不能出现差错．21.【答案】解：【解析】将前两项分组后两项分组，进而提取公因式再利用平方差公式分解因式．此题主要考查了分组分解法因式分解，正确进行分组是解题关键．22.【答案】解：；【解析】先进行变形，再运用提公因式法进行因式分解；先运用平方差公式进行运算，再计算单项式乘以多项式．此题考查了整式乘法和因式分解的能力，关键是能准确运用对应法则和方法进行求解．23.【答案】解：【解析】先分组，分成，再运用完全平方公式分解．本题考查了因式分解．分解因式的一般步骤是：一提公因式，二套用公式，三分组，解本题的关键在于运用分组分解法进行因式分解，注意因式分解要彻底，一定要分解到每个因式都不能再分解为止．24.【答案】解：【解析】先将拆分为，再分组，利用完全平方公式及平方差公式求解即可．本题考查了分组分解法，分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．25.【答案】解：【解析】先利用完全平方公式和多项式乘以多项式展开，重新组合即可得出结论．此题主要考查了因式分解，完全平方公式，多项式乘以多项式，重新分组是解本题的关键．26.【答案】解：原式【解析】根据完全平方公式，可得答案．本题考查了因式分解，利用了完全平方公式分解因式．27.【答案】解：；，，，、y为正整数，，与也是整数，，，或，【解析】根据分组分解法分解因式即可；根据结论整体代入即可得到结论．本题考查了因式分解-分组分解法，熟练掌握分解因式的方法解题的关键．28.【答案】解：【解析】直接利用例题进行补项，进而分解因式得出答案．此题主要考查了分组分解法分解因式，正确补项是解题关键．29.【答案】【解析】解：；；；；；；故答案为：，，；根据多项式乘多项式的法则计算即可，再根据推导的公式进行因式分解．本题考查了因式分解和多项式乘多项式的逆向应用能力30.【答案】解：设为整式，若，则或由得左式为零，所以是方程的解，所以，所以【解析】仿照题例，先设，再求一次方程的值，代入计算得结果．本题考查了解一元一次方程、高次方程，理解题例，掌握题例的步骤是解决本题的关键．。

沪教版(上海)初中数学七年级第一学期4因式分解—公式法-完全平方公式课件

1、必须是三项式
特征结构
2、有两个“项”的平方
3、有这两“项”的2倍或-2 倍
完全平方式：a2±2 a b ＋b2
直观模式：▲2±2 ▲ ●+ ●2 首2±2×首×末+末2
练习1:判断下列是不是完全平方式，为什么？
（1) x2＋xy＋y2
否
（2) x2+6x＋9
是
（3) 16a2+1
否
（4)－2xy＋x2+y2
1、计算 1002－2×100×99+992 的结果是_______
2、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值
为为完全平方式：
X4+4x2+______
六、学后感想、畅所欲言
本节课你学会了什么？
1.完全平方式 a2±2ab＋b2
2.用完全平方公式因式分解 a2±2ab＋b2＝（a±b）2
是
（5) a2-6ab＋b2
否
（6) 25x4-10x2+1
是
（7) x2＋x＋1/4
是
（8) 1-m＋m2/4
是
练习2:请补上一项，使下列多项
式成为完全平方式
1 x2 __2_x_y___ y2
2 4a2 9b2 __1_2_a_b__
3 x2 __4_x_y__ 4 y2
ab 4 a2 _______ 1 b2 4
用公式法分解因式要注意些什么？
七、分层作业
1、基础训练：教材P48 练习8.14(2)。
2、拓展训练：
多项式:(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2
能用完全平方公式分解吗?
请各位老师指正

上海七年级-数学-因式分解专题讲解

上海七年级数学因式分解专题讲解一、提取公因式1、因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积得形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.例1、下列各式从左边右边的变形，哪些是因式分解？那些不是因式分解？（1）1)32(1322+-=+-a a a a ; （2）)11(1xy xy xy -=-；（3）1)1)(1(2-=-+a a a ；（5）22)21(412+=++x x x ;例2、指出下列各式中的公因式：（1）222343284b a b a a 、、- （2））（、、b a b a b a +++9-)(6)(332 （3）m m a a 1832、-2、提取公因式的注意事项（1）、如果多项式的首项是负数时，一般应先提出“—"号，是括号内的第一项系数是正数，然后再对括号内的多项式进行提取公因式。

例：)23(4)812(8122222b a ab ab b a ab b a +-=+-=--（2）利用提取公因式法分解因式时，一定要“提干净”。

也就是说当一个多项式提出公因式后,剩下的另一个因式中应该已经没有可以提取的公因式了；若发现还有公因式必须要再次提取,否则因式分解就不彻底，没有完成。

（3）注意避免出现分解因式的漏项问题，一般提取公因式后,括号里的多项式项数应与原多项式的项数一致。

例：)132(22642++=++y x x x xy x ，不能写成)32(22642y x x x xy x +=++（4）多项式的公因式可以是数字、字母，也可以是单项式，还可以是多项式,当把多项式作为公因式提出来时，要特别注意同一字母的排列序，要设法结合相关知识进行转化，使之成为完全相同的因式时再提取公因式，否则容易出现负号上的错误。

例：)()()()()()(22323n mb ma b a b a n b a m a b n b a m ---=---=--- 例3、分解因式：=-+-422231869y x y x y x例4、将下列各组中的整式写成他们的公因式与另一公因式相乘的形式：（1）a a 463-、；（2）32394278xy y x -、；（3）322)(51)(3b a x b a x ++、； (4）)(3)(2m a x a m --、；例5、已知关于x 的二次三项式n mx x ++22因式分解的结果是)41)(12(+-x x ，求n m 、的值？例6、在物理电学中，求串联电路的总电压是有公式321IR IR IR U ++=，当5.2,9.35,4.32,7.31321====I R R R 时,求电压U 的值?3、整式乘法与因式分解有什么关系？整式乘法是一种求几个因式的积的运算，它的最后结果是和或差的形式，是一个多项式.而因式分解则是把多项式化为几个整式的积的形式。

上海市七年级上学期因式分解总复习

11月12日七年级数学讲义一、用提公因式法把多项式进行因式分解1、.-+--+++a x abx acx ax m m m m 22132、.a a b a b a ab b a ()()()-+---322223、.不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。

4、.证明：对于任意自然数n ，323222n n n n ++-+-一定是10的倍数。

5、. 已知：x bx c 2++（b 、c 为整数）是x x 42625++及3428542x x x +++的公因式，求b 、c 的值。

课堂小练1. 分解因式：（1）-+-41222332mn m n mn （2）a x abx acx adx n n n n 2211++-+--（n 为正整数）（3）a a b a b a ab b a ()()()-+---322222 （4）322x x x ()()--- （6）412132q p p ()()-+-2. 计算：()()-+-221110的结果是______________3.已知x 、y 都是正整数，且x x y y y x ()()---=12，求x 、y 。

4. 证明：812797913--能被45整除。

2、运用公式法进行因式分1、已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。

2、已知a b c 、、是∆ABC 的三条边，且满足a b c ab bc ac 2220++---=，试判断∆ABC 的形状。

3、两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。

4、已知：a m b m c m =+=+=+121122123，，，求a ab b ac c bc 222222++-+-的值。

5、. 若x y x xy y 3322279+=-+=，，求x y 22+的值。

6、分解因式（1）()()a a +--23122 （2 ）x x y x y x 5222()()-+-（3）3223288x y x y xy ++ (4)a a b b 2222+--7、. 已知：x x +=-13，求x x 441+的值。

因式分解知识归纳与题型突破(12类题型清单)(原卷版)—2024-2025学年七年级数学上册沪教版

因式分解知识归纳与题型突破（12类题型）知识点一、公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.知识点二、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即.m m 01 思维导图02 知识速记（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.知识点三、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.知识点四、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.知识点五、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在，则特别说明：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则()()22a b a b a b -=+-a b a b ()2222a ab b a b ++=+()2222a ab b a b -+=-222a ab b ++222a ab b -+a b a b 2x bx c ++pq c p q b=ìí+=î()()2x bx c x p x q ++=++2x bx c ++c 0c >p q、同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.知识点六、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项.知识点七、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点二项、二项①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组四项三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式分组分解法六项三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式0c <p q 、b p q 、2x bx c ++b c 、c b 2ax bx c ++a a 12a a a =c 12c c c =1212a a c c ，，，1221a c a c +2ax bx c ++b 1221a c a c b +=11a x c +22a x c +()()21122ax bx c a x c a x c ++=++a三项、二项、一项可化为二次三项式知识点八：添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.知识点九：因式分解的解题步骤因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.特别说明：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，一次一次又一次.题型一　判断是否是因式分解1．下列各式从左到右的变形中，不是因式分解的是（）A ．21(1)(1)a a a -=+-B ．222()ab ac a b c +=+C ．2269(3)x x x -+=-D ．241(2)(2)1m m m m -+=+-+2．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A ．()22244a c ab ac b --=--B ．()a x y ax ay +=+C ．()()22339x y x y x y+-=-D ．()222963a ab b a b ++=+3．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A ．()()24313x x x x -+=--03 题型归纳B ．()27373x x x x +--=+C ．()()2339x x x +-=+D ．()()213113x x x x x +=+-+-巩固训练1．下列变形是因式分解的是（）A ．()()243223a a a a a-+=-++B ．2244(2)x x x ++=+C ．111x x x æö+=+ç÷èøD ．2(1)(1)1x x x +-=-2．给出下列六个多项式：①x 2＋y 2；②－x 2＋y 2；③x 2＋2xy ＋y 2；④x 4－1；⑤x(x ＋1)－2(x ＋1)；⑥m 2－mn ＋14n 2.其中，能因式分解的是(填序号)．3．下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？(1)2(1)(2)2x x x x +-=--；(2)2223(1)2x x x ++=++；(3)2)39631)(2(xy xy x x y y -+=--；(4)2224129()23x xy y x y ++=+ 题型二　已知因式分解的结果求参数4．若多项式2x x b ++因式分解的结果为(3)(2)x x +-，则b 的值是（）A ．5B ．5-C ．6D ．6-5．若()2242x mx x ++=-，则下列结论正确的是（）A ．等式从左到右的变形是乘法公式，4m =B ．等式从左到右的变形是因式分解，4m =C ．等式从左到右的变形是乘法公式，4m =-D ．等式从左到右的变形是因式分解，4m =-6．把多项式232x ax +-分解因式，结果是()()31x x b ++，则a ，b 的值为（）A ．72a b ==，B ．52a b ==，C ．72a b =-=-，D ．52a b =-=-，巩固训练1．因式分解()()2122x mx x x n +-=++，其中m 、n 都为整数，则m 的值是（）A ．6-B ．5-C ．4-D ．42．已知二次三项式24x x m -+有一个因式是3x +，则m 的值为 .3．仔细阅读下面例题，解答问题：已知二次三项式24x x m -+有一个因式是3x +，求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为()x n +，得24(3)()x x m x x n -+=++则224(3)3x x m x n x n-+=+++343n m n+=-ì\í=î解得：7,21n m =-=-．∴另一个因式为(7)x -，m 的值为21-．问题：仿照以上方法解答下面问题：(1)已知二次三项式23x x k -+有一个因式是(2)x +，求另一个因式以及k 的值．(2)已知二次三项式223x x k +-有一个因式是(25)x -，则另一个因式为，k 的值为．(3)已知二次三项式2341x ax ++有一个因式是()x a +，a 是正整数，则另一个因式为，a 的值为．题型三　提公因式法分解因式7．如图，长方形的长和宽分别是x ，y ，它的周长为14，面积为10．则22x y xy +的值为（）A ．140B ．70C ．14D ．108．若4a b +=，2ab =，则22a b ab +的值为（）A ．4B ．8C ．12D ．169．已知23a b -=，2ab =，则222a b ab -的值为（）A ．5-B ．6C ．6-D ．5巩固训练1．把多项式()()2262a x a -+-分解因式，结果是（）A ．()()226a x -+B ．()()226a x --C ．()()2213a x -+D ．()()2213a x --2．多项式229363x y xy xy -+-提公因式3xy -后的另一个因式为．3．分解因式：(1)²²a x ax-(2)214749abc ab ab c--+题型四　公因式10．把22mn mn +分解因式，应提取的公因式是（）A ．2mB ．mnC ．2mnD ．2mn 11．用提公因式法因式分解多项式： 232812a b a b c -，其中的公因式是（）A ．28a bB ．3212a b cC ．4abD ．24a b12．多项式2210mx nx -的公因式是（）A ．2B ．xC ．2xD ．2mn巩固训练1．把多项式3123ab ab +分解因式，应提的公因式是（）A ．12abB ．4abC ．3abD ．33ab 2．多项式323612a m a m am -+的公因式是．3．已知：2312A x =-，233510B x y xy =+，(1)(3)1C x x =+++．问多项式A ，B ，C 是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由．题型五　平方差公式分解因式13．下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（）A ．222x y --B ．21x -+C ．21x +D ．244x x ++14．下列各式能用平方差公式进行分解因式的是（）A ．21x +B ．21x -+C ．22x y --D ．244x x ++15．已知4821-可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数分别是（）A ．61，62B ．61，63C ．63，65D ．65，67巩固训练1．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（）A ．22a b +B ．22a b -C ．224a b --D ．229a b -+2．小明抄在作业本上的式子29x y Å-（“Å”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x 的指数，他只知道该数为小于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果：．3．小明遇到下面一个问题：计算．()()()248(21)212121++++．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：()()()248(21)212121++++()()()()()2482121212121=-++++()()()()224821212121=-+++()()()448212121=-++()()882121=-+1621=-．请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：(1)()()()()24816(21)21212121+++++(2)()()()()24816(31)31313131+++++(3)2222211111111112344950æöæöæöæöæö-´-´-´´--ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèøL 题型六　完全平方公式分解因式16．下列各式中，不能用完全平方公式因式分解的是（）A ．222x y xy ++B ．222x y xy -++C ．222x y xy--+D ．222x y xy---17．下列多项式（1）22a b +；（2）22a ab b -+；（3）()22222x y x y +-；（4）29x -；（5）22288x xy y ++．其中能用公式法分解因式的个数有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个18．无论a 、b 为任何实数，代数式224613a b a b +-++的值总是（）A ．非正数B ．非负数C ．0D ．正数巩固训练1．若223894613M x xy y x y =-+-++，则M 的值一定是（）A ．0B ．负数C ．正数D ．非负数2．已知实数x ，y 满足22145x xy y y -+-=-，则2x y +=．3．若2025,2026,2027202720272027m m ma b c =+=+=+，求222a b c ab bc ca ++---的值．题型七　综合运用公式法分解因式19．下列因式分解不正确的是（）A ．﹣x 2﹣2x ﹣1＝﹣（x +1）2B ．2x 2﹣4xy ﹣2y 2＝2（x ﹣y ）2C ．4x 2﹣16y 2＝4（x +2y ）（x ﹣2y ）D ．x 2+4x ＝x （x +4）20．下列因式分解正确的是（）A ．x 2﹣9＝（x ﹣3）2B ．x 2﹣2x ﹣1＝x （x ﹣2）﹣1C ．4y 2﹣8y ＋4＝（2y ﹣2）2D ．x （x ﹣2）﹣（2﹣x ）＝（x ﹣2）（x ＋1）21．在把多项式2223m mn n --因式分解时，虽然它不符合完全平方公式，但经过变形，可以利用完全平方公式进行分解：原式()()()222222443m mn n n m n n m n m n =-+-=--=+-，像这样构造完全平方式的方法称之为“配方法”．用这种方法把多项式2265a ab b +-因式分解的结果是（）A ．()()5a b a b ++B ．()()5a b a b -+C ．()()5a b a b +-D ．()()5a b a b --巩固训练1．对于：①()2242x x -=-；②()()2111x x x -+=+-；③()23242x x x +-=+；④22111142x x x æö-+=-ç÷èø．其中因式分解正确的是（）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④2．在实数范围内因式分解：2236x x --= ．3．因式分解：(1)3269x y x y xy-+(2)()222416x x +-题型八　综合提公因式和公式法分解因式22．代数式()()3327x y x y +-+分解因式的结果正确的是（）A ．()()()333x y x y x y ++++-B ．()()239x y x y éù++-ëûC ．()()233x y x y +++D ．()()233x y x y ++-23．规定新运算：32a b a b Å=-，其中22a x xy =+，236b xy y =+，则把a b Å因式分解的结果是（）A ．3(2)(2)x y x y +-B ．23(2)x y -C ．223(4)x y -D ．3(4)(4)x y x y +-24．多项式2m m -与多项式2242m m -+的公因式是（）A ．1m -B ．1m +C ．21m -D ．2(1)m -巩固训练1．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（）A ．()22369a a a +=++B ．()24444a a a a -+=-+C ．()()22222ax ay a x y x y -=+-D ．()()21234a a a a --=-+2．分解因式：32242x x x ++= ．3．把下列各式因式分解．(1)261215x y xy y --+；(2)()()322n m n m -+-；(3)()()()22221211x y x y y -++--；(4)()()131x x --+．题型九　因式分解在有理数简算中的应用25．若3m n +=，则222425m mn n ++-的值为（）A ．13B ．18C ．5D ．126．若a +b =1，则222a b b -+的值为（）A ．4B ．3C ．2D ．127．已知ab ＝4，b ﹣a ＝7，则a 2b ﹣ab 2的值是（）A ．11B ．28C ．﹣11D ．﹣28巩固训练1．计算22222111111111123456æöæöæöæöæö-´-´-´-´-ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèø的值为（）．A ．512B ．12C ．712D ．11302．计算：2222211111111112345n æöæöæöæöæö----×××-=ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèø ．3．如图，从边长为a 的正方形纸片中剪掉一个边长为b 的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．(1)上述操作能验证的等式是．(2)利用你从（1）中得出的等式，计算：①已知22412x y -=，24x y +=求2x y -的值．②计算：222211111111234100æöæöæöæö-´-´-´×××´-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø．题型十　十字相乘法28．若多项式212x ax -+可分解为()()3x x b -+，则a b +的值为（）A ．11-B ．3-C ．3D ．1129．将2352x x -+在实数范围内因式分解，正确的结果是（）A ．2(1)()3x x ++B ．2(1)()3x x --C ．23(1)()3x x -+D ．(32)(1)x x --30．若多项式212x ax -+可分解为()()3x x b -+，则a b +的值为（）A ．11-B ．3-C ．3D ．7巩固训练1．若二次三项式27x x n -+可分解成(3)()x x m -+，则m n -的值是（）A ．﹣16B ．﹣8C ．8D ．162．人教版八年级上册121页的教材呈现：分解因式232x x ++的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样，我们也可以得到()()23212x x x x ++=++．请用“十字相乘法”分解因式：2253x x --= ．3．提出问题：你能把多项式256x x ++因式分解吗？探究问题：如图1所示，设a ，b 为常数，由面积相等可得：22()()()x a x b x ax bx ab x a b x ab ++=+++=+++，将该式从右到左使用，就可以对形如2()x a b x ab +++的多项式进行进行因式分解即2()()()x a b x ab x a x b +++=++．观察多项式2()x a b x ab +++的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．解决问题：2256(23)23(3)(2)x x x x x x ++=+++´=++运用结论：(1)基础运用：把多项式进行因式分解．①2524x x --；②2812x x ++；③212x x --．(2)知识迁移：对于多项式24415x x --进行因式分解还可以这样思考：将二次项24x 分解成图2中的两个2x 的积，再将常数项15-分解成5-与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为4x -，就是24415x x --的一次项，所以有24415(25)(23)x x x x --=-+．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解：231914x x --题型十一　分组分解法31．已知3a b +=，1ab =，则多项式22a b ab a b +--的值为（）A ．1-B ．0C ．3D ．632．已知3a b -=，4b c -=-，则代数式()2a ac b a c ---的值为（）A ．4B ．4-C ．12-D ．3-33．若实数x 满足x 2-2x-1=0，则2x 3-7x 2+4x-2019的值为（）A ．-2019B ．-2020C ．-2022D ．-2021巩固训练1．用分组分解法将222x xy y x --+分解因式，下列分组不恰当的是（）A ．()()222x x y xy --+B ．()()222x xy y x --+C ．()()222x y xy x ++--D ．()()222x x xy y ---2．因式分解222a x ax x xb -+-= ．3．阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“222m mn m n -+-，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式．然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为()()()()()()22222222m mn m n m mn n m m n m n m n m -+-=-+=-+-=-+．“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：(1)分解因式：32339a a a -+-；(2)已知7m n +=，1m n -=，求2222m n m n -+-的值．题型十二　因式分解的应用34．已知3xy =-，2x y -=，则代数式22xy x y -的值是（）A ．6-B ．6C ．5-D ．1-35．若4a b +=，1a b -=，则()()2211+--a b 的值为（）A ．12B ．4C ．6D ．12-36．多项式26x ax +-分解因式为()()x m x n ++，其中a ，m ，n 为整数，则a 的取值有（）A ．2个B ．4个C ．6个D ．无数个巩固训练1．已知a 、b 、c 为正整数，且22219a b c ab bc ac ++---=，那么a b c ++的最小值等于（）A ．11B ．10C ．8D ．62．如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如： 222222831,1653,2475=-=-=-，因此8，16，24都是“正巧数”． m 、n 为正整数，且m n >，若 ()()2772m m n mn -++-是“正巧数”，则m n -的值为．3．教科书中这样写道：“我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式．原式()()()()()()22222321412121231x x x x x x x x x =+-=++=+-=+++-=+--；例如：求代数式2246x x +-的最小值．原式()()222246223218x x x x x =+-=-=+-+．可知当1x =-时，2246x x +-有最小值，最小值是－8．(1)分解因式：223a a --=______．(2)试说明：x 、y 取任何实数时，多项式22426x y x y +-++的值总为正数．(3)当m ，n 为何值时，多项式22224425m mn n m n -+--+有最小值，并求出这个最小值．。

沪教版七年级上册-因式分解的复习

注：提取的公因式应是各项系数的最大公因数（系数都是整数时）与都含有的相同字母，的最低次幂的积。
2.公式法：
平方差公式：
完全平方公式：
*立方和（差）公式：
附：；
3.十字相乘法
一般地，可以用十字交叉线表示为：
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法
4.分组分解法
定义：有的多项式各项既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的结合成为一组，利用分组可以静下多项式的局部分解，然后综合起来，再从总体上用提取公因式和公式法或十字相乘法继续分解，直到分解出最后结果，这种分解因式的方法叫做分组分解法
式分解因式的有（）
A、1个B、2个C、3个D、4个
4、计算的值是（）
A、 B、 C、 D、
三、解答题
1、把下列各式因式分解。
(1) (2)3 －6y2＋3y
(5)25m2－10mn＋n2(6)12a2b(x－y)－4ab(y－x)
(7)x2－11x＋24 (8)y2－12y－28
（9）（10）
（11） (12)
C.若是四项的，可以拆成两项和两项（第一步分别提供因式或平方差，第二步一定是提供因式，然后化成几个整式的乘积的过程，如果没有公因式的话，再重新拆成两两结合）或者三项和一项（第一步三项必定是满足完全平方公式，一项必定是一个式子的平方形式，且他们符号相反，第二步平方差公式；若不满足，这拆项错误，重新结合）
二、选择题
7、多项式的公因式是( )
A、 B、 C、 D、
8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( )
A、 B、
C、 D、
10.下列多项式能分解因式的是（）
(A)x2-y (B)x2+1 (C)x2+y+y2(D)x2-4x+4

沪教版七年级上册因式分解,带答案

因式分解课时目标1. 正确理解因式分解的意义，了解因式分解与整式乘法的区别.2. 理解多项式的公因式的概念，掌握用提取公因式法分解因式.3. 理解整式乘法公式在因式分解中的作用.4. 掌握运用公式法分解因式.知识精要1. 因式分解的意义：把一个多项式化为______________，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.2. 多项式的公因式（1）意义：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的_______.（2）找公因式的方法公因式的系数应取各项系数的__________，字母取各项中都含有的相同的字母，而且各个相同字母的指数取次数_______.3. 提取公因式法如果一个多项式的各项有公因式，可以把公因式提到括号外面，将公因式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做______________.4. 公式法（1）意义逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做_______.（2）因式分解公式平方差公式：22__________a b -=完全平方公式：=++222b ab a _________________=+-222b ab a _________________33_____________a b +=，33_____________a b -=.5. 十字相乘法一般地，))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++十字相乘法的关键：把常数项分解成两个数的乘积，并且满足这两个数相加等于一次项系数；（口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中）6. 分组分解法利用分组来分解因式的方法叫做__________.7. 因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式（2）如果多项式的各项无公因式，那么可以尝试运用公式法或十字相乘法来分解.一般地，若是二项式，则考虑平方差公式；若是三项式，则考虑用完全平方公式或十字相乘法.（3）如果上述方法不能分解，那么应考虑分组分解法.（4）分解因式，必须进行到每一个因式都不能分解为止.热身练习1.从下列从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？（1）()a m n am an +=+ ；（2）2221(2)(1)(1)a ab b a a b b b ++-=+++-；（3）211()x x x x+=+；（4）4(4)ax x x a -=-；（5）22()()a b a b a b -=+-；2.多项式32215()10()a b a b c a b a b +++的公因式是_____________.3. 分解因式（1）232322x y x y x y z --+；（2）26()12()a x y a y x -+-；（3） 6(2)(2)x x x ++--；（4）3223()9()m x y m y x ---；精解名题将下列各式分解因式（1）4116x -；（2）2225()4()a b c a b c -+-+-；(3) 22222()4x y x y +-;(4) 22()4()4a b c c a b c c ++-+++；（5）2215x x --；(6) 2()4()12x y x y +-+-;(7) 2x bx a ab --+;备选例题1.配凑法分解因式（1）444x y +；（2）3253x x --；（3）在实数范围内分解因式4323231x x x x ++++（4）2222x ax b ab --+（5）51a a ++2. 用待定系数法分解因式（1） 22282143x xy y x y +-++-（2）224434103x xy y x y +----3. 换元法分解因式（1）22(23)(224)90x x x x +-+-+（2）432653856x x x x +-++方法提炼因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：1、首项有负常提负，2、各项有“公”先提“公”，3、某项提出莫漏1，4、括号里面分到“底”.巩固练习1.分解因式（1） 1xy x y -+- （2）222a ab -（3） 2221a b a --+ （4）33222ax y axy ax y +-（5）328m m - （6）am an bm bn +++2.计算：2222211111(1)(1)(1)(1)(1)234910-----．3.（勾股定理）已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足224224c a b c b a +=+，试判断△ABC 的形状.当堂总结多项式因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.自我测试一、选择题1.下列各式从左到右的变形属于分解因式的是（）A ．(2)(3)(3)(2)m m m m --=--B ．21(1)(1)a a a -=+-C ．2(1)(1)1x x x +-=-D ．2223(1)2a a a -+=-+2.下列各式的公因式是a 的是（）A ．5ax ay ++B ．246ma ma +C ．2510a ab +D ．24a a ma -+3.一次数学课上，老师出了下面一道因式分解的题目：41x -，请问正确的结果为（）A ．22(1)(1)x x -+B ．22(1)(1)x x +-C ．2(1)(1)(1)x x x -++D ．3(1)(1)x x -+4.多项式2244x xy y -+-分解因式的结果是（）A ．2(2)x y -B ．2(2)x y --C ．2(2)x y --D ．2()x y + 5. 222516a kab a ++是一个完全平方式，那么k 之值为（）A ．40B ．40±C ．20D ．20±6、若E p q p q q p ⋅-=---232)()()(，则E 是（）A.p q --1B.p q -C.q p -+1D.p q -+17、若)5)(3(+-x x 是q px x ++2的因式，则p 为（）A.－15B.－2C.8D.28、一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，你认为小敏做得不够完整的一题是（）A.32(1)x x x x -=- C.2222()x xy y x y -+=-B.22()x y xy xy x y -=-D.22()()x y x y x y -=-+ 9、一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+，那么这个多项式是（）A.46-bB.64b -C.46+bD.46--b10、下列多项式的分解因式，正确的是（）A 、)34(391222xyz xyz y x xyz -=-B 、)2(363322+-=+-a a y y ay y aC 、)(22z y x x xz xy x -+-=-+-D 、)5(522a a b b ab b a +=-+11、下列各式不能．．继续因式分解的是 ( ) A 、41x - B 、22x y - C 、2()x y - D 、22a a +二、填空题12、要在二次三项式x 2+□x -6的□中填上一个整数，然后按x 2＋（a ＋b ）x ＋a b 型分解为（x ＋a ）（x ＋b ）的形式，那么这个数是___________.13、如果=+=+-==+2222,3,5y x xy y x xy y x ，则.14、如果2a +3b =1,那么3-4a -6b = ．15、若＝，，则b a b b a ==+-+-01222.16、若A y x y x y x ⋅-=+--)(22，则A =___________.17、若a 2+2a +b 2-6b +10=0，则a = ，b = .18、把3222x x y xy -+分解因式，结果是___________.19、因式分解：224a a -=___________.（x +3）2 - (x +3) =___________.20、已知正方形的面积是9x 2+6xy +y 2平方单位，则正方形的边长是___________.三、计算题21、因式分解（1）22105m mn + （2）222120x x ++（3）x x x 2718323+- （4）()()3224x y y x ---（5）()222164x x -+ （6）122222++--+a b ab b a（7）()()()()14321+++++x x x x （8）()()ab b a 41122---22、先分解因式，再求值：21,34,412922-==++y x y xy x 其中.23、先分解因式，再求值：已知22==+ab b a ，，求32232121ab b a b a ++的值。

上海市七年级数学第一学期第7讲：因式分解(二)-教师版

上海市七年级数学第一学期因式分解（二）内容分析本节课继续学习因式分解的另外两种方法——十字相乘法和分组分解法．理解十字相乘法和分组分解法的概念，掌握十字相乘法分解二次项系数为1 的二次三项式，能够用分组分解法分解含有四项以上的多项式．重点能够灵活运用十字相乘法与分组分解方法进行分解因式，能够与前两种的方法相结合．难点能够总结归纳这两种方法所针对的多项式，可以在分解因式的时候快速确定方法．知识结构模块一：十字相乘法知识精讲1、二次三项式：多项式ax2 +bx +c ，称为字母x 的二次三项式，其中ax2 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．2、十字相乘法的依据利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用多项式的乘法法则．如在多项式乘法中有：(x +a)(x +b) =x2 + (a +b)x +ab ，反过来可得：x2 + (a +b)x +ab3、十字交叉法的定义一般地，x2 +px +q =x2 + (a +b)x +ab = (x +a)(x +b) 可以用十字交叉线表示为：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法．4、用十字相乘法分解的多项式的特征（1）必须是一个二次三项式；（2）二次三项式的系数为1 时，常数项能分解成两个因数a 和b 的积，且这两个因数的和a +b 正好等于一次项系数，这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”；（3）对于二次项系数不是1 的二次三项式，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．5、用十字相乘法因式分解的符号规律（1）当常数项是“+”号时，分解的两个一次二项式中间同号；（2）当常数项是“ -”号时，分解的两个一次二项式的因式中间是异号；（3）当二次项系数为负数是，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项．【例1】下列各式不能用十字相乘法分解因式的是（）．A ．x2 - 2x -3【难度】★【答案】BB ．x2 -x + 2C ．x2 -x - 2D ．x2 - 3x + 2【解析】2 可以分解成1⨯ 2 和-1⨯ (-2) ，但两种情况相加均不为-1 ．【总结】考察十字相乘法的方法．【例2】因式分解5x2 -14xy + 8y2 正确的是（）．A ．(5x -y)(x - 8y)C ．(5x - 2y)(x - 4y)B ．(5x - 8y)(x -y)D ．(5x - 4y)(x - 2y)【难度】★【答案】C例题解析【解析】5x2 -14xy + 8y2 可以用十字交叉线表示为：5x -4yx -2y【总结】考察十字相乘法的方法．【例3】分解因式：（1）x2 -5x + 6 = ；（2）x2 -x - 6 = ；（3）2x2 - 3x +1 = ；（4）3a2 - 2a -1 = ．【难度】★【答案】(1) (x - 3)(x - 2) ；(2) (x - 3)(x + 2) ；(3) (2x -1)(x -1) ；(4) (3a +1)(a -1) ．【解析】(1)(2)直接“拆常数项，凑一次项”；(3)(4)需要画十字交叉线．【总结】考察十字相乘法的方法．【例4】分解因式：（1）(a-b)2-10(a-b)-24=；（2）a2 x2 -5a2 xy - 66a2 y2 = ．【难度】★【答案】(1) (a -b -12)(a -b +2) ；(2)a2 (x -11y)(x + 6y) ．【解析】(1) 中可将a -b 看成一整体；(2) 中需要先提取公因式．【总结】考察十字相乘法的方法．【例5】对于一切x ，等式x2 -px +q = ( x +1)(x - 2) 均成立，则p2 - 4q 的值为_ _______．【难度】★【答案】9．【解析】x2 -px +q = (x +1)(x - 2) =x2 -x - 2 ，所以p = 1，q =-2 ，p2 - 4q = 9 ．【总结】考察求代数式的值，本题中需先根据等式成立条件求出p、q．七年级秋季班【例6】若二次三项式x2 -ax +15 在整数范围内可以分解因式，那么整数a 的值为．【难度】★★【答案】8，-8，16，-16．【解析】15 =1⨯15 =-1⨯ (-15) = 3⨯ 5 =-3⨯ (-5) ，所以 a 的值有四种情况．【总结】考察二次三项式的系数为 1 时，常数项能分解成两个因数的积的几种情况．【例7】分解因式：（1）x2-3x +1；（2）-a2-1a +1；4 8 6 6（3）(a-b)2-5c(a-b)+6c2；（4）x4-10x2y2+9y4；（5）(x2 +x)2 -8(x2 +x)+12．【难度】★★【答案】(1)(x -1)(x -1) ；(2)2 4-(a +1)(a -1) ；(3) (a -b - 3c)(a -b - 2c) ；2 3(4) (x +y)(x -y)(x + 3y)(x -3y) ；(5) (x -1)(x - 2)(x + 2)(x + 3) ．【解析】(1)直接用十字相乘法分解；(2) 先提取符号在因式分解；(3)(5)先将小括号里看成一整体再分解；(4)中x4 = (x2 )2 , y4 = ( y2 )2 ．【总结】考察十字相乘法分解因式的方法，注意分解因式要彻底，如(5)．【例8】分解因式：（1）-20x2 -9x + 20 ；（2）9x5 - 82x3 + 9x ；（3）(x2 -3)2 -4x2 ；（4）(x2 +4x)2 +7(x2 +4x)+12；（5）(x2 -3x)2 -2(x2 -3x+4)．【难度】★★【答案】(1) -(4x +5)(5x - 4) ；(2)(3) (x +1)(x -1)(x +3)(x -3) ；(4)x(x + 3)(x - 3)(3x +1)(3x -1) ；(x +1)(x + 2)2 (x + 3) ；(5) (x -1)(x +1)(x - 4)(x - 2) ．【解析】(1) 先提取负号；(2) 先提取公因式x；(3) 先将小括号看成一整体，利用平方差公式分解；(4)(5)将小括号里的代数式看成一整体，(5)需先将常数项放在括号外面来．班秋季级年七【总结】考察十字相乘法分解因式的方法，注意分解因式要彻底．七年级秋季班【例9】用简便方法计算：9982 + 9980 +16 ．【难度】★★【答案】1006000．【解析】9982 + 9980 +16 = 9982 + 998⨯10 +16= (998 + 8)(998 + 2)= 1006⨯1000= 1006000 ．【总结】考察利用十字相乘法进行简便计算．【例10】已知(x2+y2)(x2+3+y2)-54=0，试求x2 +y2 的值．【难度】★★【答案】6【解析】令x2 +y2 =a，则a>0．原式可化为a (a + 3)- 54 = 0 ，所以a2 + 3a - 54 = (a + 9)(a - 6) = 0 ，所以a=6，即x2 +y2 = 6 ．【总结】考察利用十字相乘法求代数式的值，本题中注意x2 +y2 的符号．【例11】试判断：当k 为大于等于3 的正整数时，k5 - 5k3 + 4k 一定能被120 整除．【难度】★★★【答案】成立．【解析】k5 - 5k3 + 4k =k(k4 - 5k2 + 4) =k(k2 - 4)(k2 -1)= (k - 2)(k -1)k(k +1)(k + 2) 为5 个连续自然数的乘积．5 个连续自然数中，至少有一个能被3 整除，至少有一个能被5 整除，至少有一个能被 4 整除，另外( 除了能被 4 整除的这个) 还至少有一个能被 2 整除，3⨯ 5⨯ 4⨯ 2 = 12 ，所以 5 个连续自然数的乘积一定能被120 整除，即k 为大于等于 3 的正整数时，k5 - 5k3 + 4k 一定能被120 整除．【总结】考察代数式的因式分解，及被某数整除的条件．班秋季级年七【例12】分解因式：（1）(x2+3x-2)(x2+3x+4)-16；（2）(x-3)(x-1)(x+2)(x+4)+24；（3）(1-y2)x2-4yx-(1-y2)．【难度】★★★【答案】(1)(x2 + 3x + 6)(x + 4)(x -1) ；(2)(x + 3)(x - 2)(x2 +x - 8) ；(3) (x -y +xy +1)(x -y -xy -1) ．【解析】(1) (x2+3x-2)(x2+3x+4)-16= (x2 + 3x)2 + 2(x2 + 3x) - 24= (x2 + 3x + 6)(x2 + 3x - 4)= (x2 + 3x + 6)(x + 4)(x -1) ；(2) (x - 3)(x -1)(x + 2)(x + 4)+ 24= (x2 +x -12)(x2 +x - 2) + 24= (x2 +x - 2)2 -10(x2 +x - 2) + 24= (x2 +x - 2 - 4)(x2 +x - 2 - 6)= (x + 3)(x - 2)(x2 +x - 8) ；(3) (1-y2)x2-4yx-(1-y2)=x2 -x2 y2 - 4xy -1+y2= (x2 - 2xy +y2 ) - (x2 y2 + 2xy +1)= (x -y)2 - (xy +1)2= (x -y +xy +1)(x -y -xy -1) ．【总结】考察较复杂的代数式因式分解的方法．七年级秋季班【例13】分解因式：（1）x2 -3xy -10y2 +x + 9y - 2 ；（2）2x2 +xy -y2 - 4x + 5y - 6 ．【难度】★★★【答案】(1) (x + 2y -1)(x - 5y + 2) ；(2) (2x -y + 2)(x +y - 3) ．【解析】(1)x2 - 3xy -10y2 +x + 9y - 2= (x - 5y)(x + 2y) + 2x + 4y -x + 5y - 2= (x - 5y)(x + 2y) + 2(x + 2y) - (x - 5y + 2)= (x - 5y + 2)(x + 2y) - (x - 5y + 2)= (x - 5y + 2)(x + 2y -1) ；(2) 2x2 +xy -y2 - 4x + 5y - 6= (2x -y)(x +y) - 6x + 3y + 2x + 2y - 6= (2x -y)(x +y) - 3(2x -y) + 2(x +y) - 6= (2x -y)(x +y - 3) + 2(x +y - 3)= (2x -y + 2)(x +y - 3) ．【总结】考察较复杂代数式因式分解的方法，本题还可以用双十字相乘法．模块二：分组分解法知识精讲1、分组原则：（1）分组后能直接提取公因式；（2）分组后能直接运用公式．2、分组分解法分解因式的几点注意（1）分组分解法主要应用于四项以上（包括四项）的多项式的因式分解；（2）解题时仍应首先考虑公因式的提取，公式法的应用，其次才考虑分组；（3）分组方法的不同，仅仅是因为分解的手段不同，各种手段的目的都是把原多项式进行因式分解；（4）五项式一般采用三项、两项分组；（5）六项式采用三、三分组，或三、二、一分组，或二、二、二分组；（6班秋季级年七【例14】把多项式4x2 - 2x -y2 -y 用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是（）．A．(4x2-y)-(2x+y2) C ．4x2 - (2x +y2 +y)B．(4x2 -y2 )-(2x+y) D ．(4x2-2x)-(y2+y)【难度】★【答案】B【解析】B 中分组之后还可以继续分解，其余不行．【总结】考察分组的原则．【例15】把多项式2xy -x2 -y2 +1分解因式（）．A ．(x -y +1)(y-x +1) C ．(x -y -1)(x -y +1)B ．(x -y -1)(y-x +1) D ．(x -y +1)(x -y +1)【难度】★【答案】A【解析】2xy -x2 -y2 +1 = 1- (x2 - 2xy +y2 )= 1- (x -y)2= (1+x -y)(1-x +y) ．【总结】考察分组的方法．【例16】将多项式a2 -ab +ac -bc 分解因式，分组的方法共有种．【难度】★【答案】2【解析】一二分组或一三分组．【总结】考察分组的方法．例题解析【例17】（1）若a3 -a2b -ab2 +b3 有因式(a -b)，则另外的因式是．（2）若多项式x3 + 3x2 - 3x +m 有一个因式为(x + 3)，则m 的值为．【难度】★★【答案】(1) (a +b)(a -b) ；(2) -9．【解析】(1) a3 -a2b -ab2 +b3 =a2 (a -b) -b2 (a -b) = (a -b)(a2 -b2 ) = (a +b)(a -b)2 ；(2) x3+ 3x2- 3x +m =x2 (x + 3) - 3(x -m) ，由题意，-m = 3，m =-9 ．3 3【总结】考察分组的方法．【例18】分解因式：（1）1- 4x2 - 4y2 +8xy ；（2）a2 x2 - 4 +a2 y 2 -2a2 xy ；（3）x2 + 4x3 - 4 -16x ；（4）x3 +x2 y -xy2 -y3 ．【难度】★★【答案】(1) (1+ 2x - 2y)(1- 2x + 2y) ；(2) (ax -ay + 2)(ax -ay - 2) ；(3) (1+ 4x)(x + 2)(x - 2) ；(4) (x +y)2 (x -y) ．【解析】(1) 后三项一组提取公因式4；(2) 一三四一组提取a2；(3)一二、三四分组；(4) 一二、三四分组．【总结】考察分组的方法，注意分解因式要彻底．【例19】分解因式：（1）ax -ay -x2 + 2xy -y2 ；（2）2x2 - 2x -xy + 2y -y2 ．【难度】★★【答案】(1) (x -y)(a -x +y) ；(2) (x -y)(2x +y - 2) ．【解析】(1) 一二、三四五分组；(2) 2x2 - 2x -xy + 2y -y2 =x2 - 2x -xy + 2y +x2 -y2 ，然后按顺序两两分组．【总结】考察分组的方法，注意分解因式要彻底．【例20】分解因式：（1）x5 +x4 +x3 +x2 +x +1 ；（2）x2 -y2 -z2 - 2yz +1- 2x ．【难度】★★【答案】(1)(x +1)(x2 +x +1)(x2 -x +1) ；(2) (x +y +z -1)(x -y -z -1) ．【解析】(1) x5 +x4 +x3 +x2 +x +1=x3 (x2 +x +1) + (x2 +x +1)= (x2 +x +1)(x3 +1)= (x2 +x +1)(x +1)(x2 -x +1) ；(2) x2 -y2 -z2 - 2yz +1- 2x= (x2 - 2x +1) - ( y2 +z2 + 2yz)= (x -1)2 - ( y +z)2= (x +y +z -1)(x -y -z -1) ．【总结】考察分组的方法，注意分解因式要彻底．【例21】分解因式：（1）4x2 + 3y -x(3y + 4) ；（2）ab(c2 +d 2 ) +cd(a2 +b2 ) ．【难度】★★【答案】(1) (x -1)(4x - 3y) ；(2) (ac +bd)(bc +ad) ．【解析】(1) 小括号展开后一四、二三分组；(2) 小括号展开后一四、二三分组；或者一三、二四分组．【总结】考察分组的方法．【例22】请将下列多项式因式分解，并求值：（1）1- 4x2 +12xy - 9y2 ，其中x =1 ，y =8 ；2 3（2）x2 - 4xy + 4y2 - 6x +12y + 5 ，其中x = 2y + 8 ．【难度】★★【答案】(1) (1+ 2x - 3y)(1- 2x + 3y) ，-48；(2) (x - 2y -1)(x - 2y - 5) ，21．【解析】(1)1- 4x2 +12xy - 9y2= 1- (2x - 3y)2= (1+ 2x - 3y)(1- 2x + 3y) ，把x =1，y =8代入上式得值为-48；2 3(2) x2 - 4xy + 4y2 - 6x +12y + 5= (x - 2y)2 - 6(x - 2y) + 5= (x - 2y -1)(x - 2y - 5) ，把x = 2y + 8 代入上式得值为21．【总结】考察先因式分解再求值，注意方法的合理选择及运用．【例23】当 a +c = 2b 时，求式子a2 -c2 - 4b2 + 4bc 的值．【难度】★★【答案】0．【解析】a2 -c2 - 4b2 + 4bc=a2 - (c2 - 4bc + 4b2 ) =a2 - (c - 2b)2= (a +c - 2b)(a -c + 2b)当 a +c = 2b 时，代入上式第二个因式为0，所以原式值为0．【总结】考察先因式分解再求值．【例24】用因式分解的方法说明当n 为任意正整数时，代数式3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n 的值一定是10 的整数倍．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n = 3n (32 +1) - 2n (22 +1)= 10 ⨯ 3n - 5⨯ 2n = 10(3n - 2n-1 ) ．当n 为任意正整数时，3n -2n-1 必为整数，所以代数式3n+2 -2n+2 +3n -2n 的值一定是10 的整数倍．【总结】考察分组分解法分解因式及倍数的概念．【例25】求证：无论x、y 为何值，4x2 -12x + 9y2 + 30y + 35 的值恒为正．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】4x2 -12x + 9y2 + 30y + 35= 4x2 -12x + 9 + 9y2 + 30y + 25 +1= (2x - 3)2 + (3y + 5)2 +1 >0所以：无论x、y 为何值，4x2 -12x + 9y2 + 30y + 35 的值恒为正．【总结】考察将代数式化成完全平方的形式．【例26】如果多项式kx2 -2xy -3y2 +3x -5y +2 能分解成两个一次因式乘积，求k2 + 5k + 0.25 的值．【难度】★★★【答案】-3.75 ．【解析】kx2 - 2xy - 3y2 + 3x - 5y + 2=kx2 + (3 - 2y)x - (3y2 + 5y - 2)=kx2 + (3 - 2y)x - (3y -1)( y + 2)⎩ ⎩⎩ ⎩因为接下来再用十字相乘法分解时，常数项可分为3y -1 和 -( y + 2) ，两者之和正好为 3 - 2 y ，所以k = -1．所以k 2 + 5k + 0.25 = 1- 5 + 0.25 = -3.75 ．【总结】本题综合性较强，主要考察将复杂代数式分解因式的方法．【例27】对于多项式 x 3 - 5x 2 + x +10 ,我们把 x = 2 代入多项式，发现 x = 2 能使多项式x 3 - 5x 2 + x +10 的值为0 ，由此可以断定多项式 x 3 - 5x 2 + x +10 中有因式(x - 2)．［注：把 x = a 代入多项式，能使多项式的值为 0 ，则多项式一定含有因式(x - a ) ］，于是我们可以把多项式写成： x 3 - 5x + x +10 = (x - 2)(x 2 + mx + n ) ，分别求出m 、n 后再代入 x 3 - 5x + x +10 = (x - 2)(x 2 + mx + n )，就可以把多项式 x 3 - 5x 2 + x +10 因式分解．（1）求式子中 m 、n 的值．（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项 x 3 + 5x 2 + 8x + 4 ．【难度】★★★【答案】(1) m = -3，n = -5 ；(2) x 3 + 5x 2 + 8x + 4 = (x +1)(x + 2)2 ．【解析】(1) x 3 - 5x 2 + x +10 = (x - 2)(x 2 + mx + n )= x 3 + (m - 2)x 2 + (n - 2m )x - 2n根据系数对应相等得：⎧m - 2 = -5，解得：⎧m = -3．⎨-2n = 10 ⎨n = -5 (2) x 3 + 5x 2 + 8x + 4 = (x +1)(x 2 + mx + n )(根据试根法可得多项式含因式 x +1)= x 3 + (m +1)x 2 + (m + n )x + n根据系数对应相等得：⎧m + 1 = 5，解得：⎧m = 4．⎨n = 4 ⎨n = 4所以 x 3 + 5x 2 + 8x + 4 = (x +1)(x 2 + 4x + 4)= (x +1)(x + 2)2随堂检测【习题1】下列多项式不能用十字相乘法分解因式的是（）．A ．x2 +x - 2B ．3x2 -10x2 + 3xC ．x2 -3x + 2D ．x2 - 6xy - 7 y2【难度】★【答案】B【解析】B 中合并同类项之后变成两项，而十字相乘法分解因式的形式为二次三项式．【总结】考察能用十字相乘法分解因式的条件．【习题2】下列因式分解错误的是（）．A ．a2 -bc +ac -ab =(a -b)(a +c)B ．ab - 5a + 3b -15 = (b - 5)(a + 3)C ．x2 - 6xy -1+ 9y2 = (x + 3y +1)(x + 3y -1)D ．x2 + 3xy - 2x - 6y = (x + 3y)(x - 2)【难度】★【答案】C【解析】C 中正确答案应为x2 - 6xy -1+ 9y2 = (x - 3y +1)(x - 3y -1) ．【总结】考察分解因式的方法，注意符号问题．【习题3】分解因式：x2 +5x + = (x + )(x + 4) ．【难度】★【答案】4，1．【解析】由一次项系数可得后面小括号填1，那么常数项为4．【总结】考察二次项系数为 1 的二次三项式十字相乘法分解的方法．【习题4】若(x - 2)(x + 3)是二次三项式x2 -mx +n 的因式分解的结果，则m 的值是．【难度】★【答案】-1 ．【解析】(x - 2)(x + 3)=x2 +x - 6 = x2 -mx +n ，利用系数对应相等可得m =-1．【总结】考察二次项系数为 1 的二次三项式十字相乘法分解的逆运算．【习题5】若x2 -kx -15 =(x +a)(x +b)，则a +b 的值不可能是（）．A ．14B ．16C ．2D ．-14【难度】★★【答案】B【解析】ab =-15 ，-15 =-1⨯15 =-15⨯1 =-3⨯5 =-5⨯3 ，所以a +b 的值可能是14，-14，2，-2 四种．【总结】考察二次项系数为 1 的二次三项式十字相乘法分解的方法．【习题6】分解因式：（1）-3ab + 2a - 4 + 6b = ；（2）a2bx -a2cx -bx +cx = ；（3）a2 - 2a - 4b2 + 4b = ．【难度】★★【答案】(1) (2 - 3b)(a - 2) ；(2)x(b -c)(a +1)(a -1) ；(3) (a - 2b)(a + 2b - 2) ．【解析】(1) 一二、三四分组；(2) 一二、三四分组；(3) 一三、二四分组．【总结】考察分组分解法分解因式．（1）x2 +10 - 24 ；（2）-x2 - 4x + 21；（3）3x2 +8xy -3y2 ；（4）x4 -10x2 + 9 ．【难度】★★【答案】(1) (x +12)(x - 2) ；(2)-(x + 7)(x - 3) ；(3) (3x -y)(x +3y) ；(4) (x +1)(x -1)(x + 3)(x -3) ．【解析】(1)(3)直接十字相乘法分解；(2) 先提取负号；(4)先将x4 = (x2 )2 ，注意分解彻底．【总结】考察用十字相乘法分解因式的方法．【习题8】分解因式：（1）36-5(m+n)-(m+n)2；（2）(a+b)2-9(ac+bc)+20c2．【难度】★★【答案】(1)【解析】(1)-(m +n + 9)(m +n - 4) ；(2) (a +b - 4c)(a +b - 5c) ．36 - 5(m +n) - (m +n)2=-[(m +n)2 + 5(m +n) - 36]=-[(m +n) + 9][(m +n) - 4]=-(m +n + 9)(m +n - 4) ；(2) (a+b)2-9(ac+bc)+20c2=(a+b)2-9(a+b)c+20c2= (a +b - 4c)(a +b - 5c) ．【总结】考察用十字相乘法分解因式的方法，本题在于将小括号里的因式看成一整体．（1）4a2 - 4 - 4ab +b2 ；（2）x3 -x2 y +xy -y2 +x -y ；（3）x2 - 4xy + 4y2 - 6x +12y + 9 ；（4）x2n+x n-1 y2+1 ．9 4【难度】★★【答案】(1) (2a -b + 2)(2a -b -2) ；(2)(x -y)(x2 +y +1) ；(3)(x - 2 y-3)2 ；(4)(x n+1+1y)(x n+1-1y) ．2 3 2 3【解析】(1) 一三四分组；(2) 两两顺次分组；(3)一二三、四五、六分组；(4) 一二四分组．【总结】考察分组的方法．【习题10】若一个长方形的周长为32 ，长为x ，宽为y ，且满足x3 +x2 y -xy2 -y3 =0 ．求这个长方形的面积．【难度】★★【答案】64．【解析】 x3 +x2 y -xy2 -y3=x2 (x +y) -y2 (x +y)= (x +y)(x2 -y2 )= (x +y)2 (x -y) = 0 ，由题意只有x =y ，又4x = 32，所以x = 8，所以x2=64 ．即这个长方形的面积为64．【总结】考察多项式的因式分解及实际问题中值为0 的条件．【习题11】用两种不同的分组方法分解因式：x5 +x4 -x3 -x2 -x -1．【难度】★★【答案】(x +1)(x4 -x2 -1) ．【解析】法一：x5 +x4 -x3 -x2 -x -1=x4 (x +1) -x2 (x +1) - (x +1)= (x +1)(x4 -x2 -1) ；法二：x5 +x4 -x3 -x2 -x -1= (x5 -x3 -x) + (x4 -x2 -1)=x(x4 -x2 -1) + (x4 -x2 -1)= (x +1)(x4 -x2 -1) ．【总结】考察分组的方法．【习题12】已知x2+ 3x +a2+a +5= 0 ，求x + 3a 的值．2【难度】★★【答案】-3．【解析】 x2+ 3x +a2+a +5=x2+ 3x +9+a2+a +1= (x +3)2+ (a +1)2= 0 ，2 4 4 2 2所以x =-3，a =-1，则x + 3a =-3 ．2 2【总结】考察根据代数式求值的方法．【习题13】已知a、b、c、d 是整数，且a +b = 7 ， c +d = 7 ，判断ad -bc 的值能否被7 整除，并简要说明理由．【难度】★★★【答案】能，见解析【解析】因为a +b = 7 ，所以(a +b)d =7d ①；因为c +d = 7 ，所以b(c +d) = 7b ②．两式相减得ad -bc = 7d - 7b = 7(d -b) ，因为a、b、c、d 是整数，所以d -b 也为整数，所以7(d -b) 能被7 整除，即原题成立．【总结】考察能被7 整除的条件．七年级秋季班【习题14】分解因式：（1）3x2 + 5xy - 2y2 +x + 9y - 4 ；（2）x2 + 3xy + 2y2 + 4x + 5y + 3 ．【难度】★★★【答案】(1) (3x -y + 4)(x + 2y -1) ；(2) (x + 2y + 3)(x +y +1) ．【解析】(1)3x2 + 5xy - 2y2 +x + 9y - 4= 3x2 + (5y +1)x - (2y2 - 9y + 4)= 3x2 + (5y +1)x - (2y -1)( y - 4)= (3x -y + 4)(x + 2y -1) ；(2) x2 + 3xy + 2y2 + 4x + 5y + 3=x2 + (3y + 4)x + (2y2 + 5y + 3)=x2 + (3y + 4)x + (2y + 3)( y +1)= (x + 2y + 3)(x +y +1) ．【总结】考察较复杂代数式分解因式的方法，本题可用双十字相乘法分解．【习题15】分解因式：（1）(x2+x-6)(x2+x-8)-24；（2）(x +1)(x - 2)(x - 3)(x - 6) + 20 ．【难度】★★★(x2 - 5x - 4)(x -1)(x - 4)【答案】(1) (x + 4)(x -3)(x + 2)(x -1) ；(2)【解析】(1) (x2+x-6)(x2+x-8)-24= (x2 +x - 6)2 - 2(x2 +x - 6) - 24= (x2 +x - 6 - 6)(x2 +x - 6 + 4)= (x + 4)(x - 3)(x + 2)(x -1) ；班秋季级年七(2) (x +1)(x - 2)(x - 3)(x - 6) + 20= (x2 - 5x - 6)(x2 - 5x + 6) + 20= (x2 - 5x - 6)2 +12(x2 - 5x - 6) + 20= (x2 - 5x - 6 + 2)(x2 - 5x - 6 +10)= (x2 - 5x - 4)(x -1)(x - 4) ．【总结】考察较复杂代数式分解因式的方法，本题主要考察整体思想．课后作业【作业1】分解因式：（1）x2 -5xy - 24y2 = ；（2）x2 + 2ax + 3bx + 6ab = ；（3）9x2 + 9x -y2 -3y = ．【难度】★【答案】(1) (x - 8y)(x + 3y) ；(2) (x + 2a)(x + 3b) ；(3) (3x -y)(3x +y + 3) ．【解析】(1) 直接用十字相乘法分解；(2)一二、三四分组；(3)一三、二四分组．【总结】考察较简单的因式分解的方法．【作业2】分解因式：（1）x2 +12x + 20 ；（2）x +12 -x2 ；（3）12x2 -11x -15 ．【难度】★【答案】(1) (x + 2)(x +10) ；(2) -(x - 4)(x + 3) ；(3) (4x + 3)(3x - 5) ．【解析】(1)(3) 直接用十字相乘法分解；(2)先提取负号再用十字相乘法分解．【总结】考察用十字相乘法分解因式．七年级秋季班【作业3】把下列各式因式分解：（1）2x2 + 4x + 2 - 2y2 ；（2）ax2 +bx2 -ax -bx +a +b ．【难度】★【答案】(1) 2(x +y +1)(x -y +1) ；(2)(a +b)(x2 -x +1) ．【解析】(1) 先提取公因式2，然后一二三、四分组；(2) 按顺序两两分组．【总结】考察用分组分解法分解因式．【作业4】请将下列多项式因式分解，并求值： a -b + 3a2b - 3ab2 ，其中a =8 ， b = 2 ．3【难度】★【答案】(a -b)(1+ 3ab) ，34．3【解析】a -b + 3a2b - 3ab2= (a -b) + 3ab(a -b)= (a -b)(1+ 3ab) ，把 a =8， b = 2 代入，得上式值为34．3 3【总结】考察先分解因式后求值．【作业5】已知15x2 - 47xy + 28y2 = 0 ，求x的值．y【难度】★★【答案】7或4．3 5【解析】因为15x2 - 47xy + 28y2 = (3x - 7 y)(5x - 4 y) = 0 ，所以有3x = 7 y或5x = 4y ，所以x=7或4．y 3 5【总结】考察十字相乘法因式分解．班秋季级年七【作业6】在因式分解多项式 x 2 + ax + b 时，小明看错了一次项系数后，分解得(x + 5)(x + 3) ，小华看错了常数项后，分解得(x - 4)(x + 2) ，求原多项式以及正确的因式分解的结果．【难度】★★【答案】 x 2 - 2x +15 = (x - 5)(x + 3) ．【解析】小明的常数项正确，为5⨯ 3 = 15 ；小华的一次项系数正确，为-4 + 2 = -2 ，所以原多项式为 x 2 - 2x +15 ．【总结】考察十字相乘法因式分解的方法和逆用．【作业7】已知多项式 x 2 - xy -12y 2 ．（1）将此多项式因式分解；（2）若多项式 x 2 - xy -12y 2 的值等于-6 ，且 x 、y 都是正整数，求满足条件的 x 、y 的值．【难度】★★【答案】(1) x 2 - xy -12y 2 = (x - 4y )(x + 3y ) ；(2) x = 3，y = 1．【解析】-6 = -1⨯ 6 = -6⨯1 = 2⨯ (-3) = -2⨯ 3 ，因为 x 、y 都是正整数，所以 x + 3y ≥ 4 ，⎧x + 3y = 6 ⎧x = 3 所以只有⎨x - 4 y = -1 符合，解得： ⎨ y = 1 ． ⎩ ⎩【总结】考察十字相乘法因式分解及根据已知条件求值．【作业8】分解因式：（1） (a + b )2 + (a + c )2 - (c + d )2 - (b + d )2 ；（2）x 4 - 2(a 2 + b 2 )x 2 + (a 2 - b 2 )2 ．【难度】★★ 【答案】(1) 2(a + b + c + d )(a - d ) ；(2) (x + a - b )(x - a + b )(x + a + b )(x - a - b ) ．【解析】(1)原式= (a + b )2- (b + d )2 + (a + c )2 - (c + d )2= (a + 2b + d )(a - d ) + (a + 2c + d )(a - d )= (a - d )(2a + 2b + 2c + 2d )= 2(a - d )(a + b + c +七年级秋季班(2) 原式= x4 - 2(a2 +b2 )x2 + (a2 +b2 )2 - 4a2b2= (x2 - (a2 +b2 ))2 - (2ab)2= (x2 - (a2 +b2 ) + 2ab)(x2 - (a2 +b2 ) - 2ab)= (x2 - (a -b)2 )(x2 - (a +b)2 )= (x +a -b)(x -a +b)(x +a +b)(x -a -b) ．【总结】考察复杂多项式的因式分解，注意分解要彻底．【作业9】分解因式：（1）x2 -y2 + 2x + 6y -8 ；（2）x4 +x3 + 4x2 + 3x + 3．【难度】★★★【答案】（1）(x+y-2)(x-y+4)；（2）(x2+x+1)(x2+3)．【解析】（1）原式= x2 + 2x +1- ( y2 - 6y + 9) = (x +1)2 - ( y - 3)2 = (x +y - 2)(x -y + 4) ；（2）原式= (x4 +x3 +x2 ) + (3x2 + 3x + 3) = x2 (x2 +x +1) + 3(x2 +x +1)= (x2 +x +1)(x2 + 3) ．【总结】考察复杂多项式的因式分解．【作业10】分解因式：（1）(x2 +x)2 -14(x2 +x)+24；（2）(a+b)2(ab-1)+1；（3）(xy +1)(x +1)( y +1) +xy ；（4）(1-x2 )(1-y2 )+ 4xy ．【难度】★★★【答案】（1）(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)；（2）(a2+ab-1)(b2+ab-1)；班秋季级年七（3）(xy +1+x)(xy +1+y) ；（4）(xy +x -y +1)(xy -x +y +1)七年级秋季班⎨ ⎩【解析】（1）原式= (x 2 + x - 2)(x 2 + x -12) = (x -1)(x + 2)(x - 3)(x + 4) ；（2）原式= (a 2 + b 2 + 2ab )(ab -1) +1 = a 2 (ab -1) + b 2 (ab -1) + 2ab (ab -1) +1= a 2b 2 + (a 2 + b 2 )(ab -1) + (a 2b 2 - 2ab +1) = a 2b 2 + (a 2 + b 2 )(ab -1) + (ab -1)2= (a 2 + ab -1)(b 2 + ab -1) ；（3）原式= (xy +1)(xy +1+ x + y ) + xy = (xy +1)2 + (xy +1)(x + y ) + xy= (xy +1+ x )(xy +1+ y ) ；（4）原式=1- x 2 - y 2 + x 2 y 2 + 4xy = x 2 y 2 + 2xy +1- (x 2 - 2xy + y 2 ) ．= (xy +1)2 - (x - y )2 = (xy + x - y +1)(xy - x + y +1) ．【总结】考察复杂多项式的因式分解，注意方法的合理选择．⎧a + b 2 + 2ac = 29 【作业11】已知正有理数a 、b 、c 满足方程组⎪b + c 2 + 2ab = 17 ，求a + b + c 的值． ⎪c + a 2 + 2bc = 26 【难度】★★★【答案】8．【解析】三个方程相加可得(a + b + c ) + (a + b + c )2 - 72 = 0 ，分解因式，得： (a + b + c - 8)(a + b + c + 9) = 0 ，所以a + b + c =8 或者-9 (舍)．【总结】考察根据已知条件求值，本题运用了(a + b + c )2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac 公式的逆用．。

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