二次函数知识小结教案

二次函数中考复习专题教学重点◆二次函数的三种解析式形式◆二次函数的图像与性质教学难点◆二次函数与其他函数共存问题◆根据二次函数图像，确定解析式系数符号◆根据二次函数图像的对称性、增减性解决相对应的综合问题教学过程一、数学知识及要求层次二、近年二次函数考题及分值分布情况纵观近两年调考，样卷及中考试卷，能够发现中考中二次函数的题型有如下一些特点：1、综合性强。

初中阶段所有的知识点几乎都能够与二次函数联系起来，特别是与一元二次方程，几何图形、实际问题的联系更紧密些。

2、分值较重。

从07年到08年，二次函数的分值逐年增大。

3、覆盖面广。

二次函数的图象性质在调考、样题、中考中都出现了。

三、二次函数知识点1. 二次函数的定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x的二次函数. 例：如果函数y=(m －2)x 42-+m m是二次函数, 求常数m 的值.【思路点拨】该函数是二次函数, 那么m 2+m －4=2, 且m －2≠0 解： ∵y=(m －2)x 42-+m m是二次函数∴m 2+m －4=2, 即m 2+m －6=0解这个一元二次方程, 得m 1=－3, m 2＝2 当m=－3时, m －2=－5≠0, 符合题意 当m=2时, m －2＝0, 不合题意. ∴常数m 的值为－3.同类练习：已知：函数x m x m y m m )1()1(232-++=--（m 是常数）. m 为何值时，它是二次函数？2. 二次函数的解析式三种形式一般式 ： y=ax 2 +bx+c(a ≠0) 顶点坐标（24,24b ac b a a--） 顶点式 ： 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式（a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=），其中ab ac k a b h 4422-=-=，.()k h x a y +-=2顶点坐标（h, k ）224()24b ac b y a x a a-=-+交点式 12()()y a x x x x =-- 对称轴122x x x +=例：1.将二次函数y ＝x 2－2x ＋3，化为y ＝(x －h )2＋k 的形式，结果为（ ）A ．y ＝(x ＋1)2＋4 B ．y ＝(x －1)2＋4 C ．y ＝(x ＋1)2＋2D ． y ＝(x －1)2＋22．若二次函数52++=bx x y 配方后为k x y +-=2)2(则b 、k 的值分别为（ ） A 、0.5 B 、0.1 C 、—4.5 D 、—4.1 3. 二次函数图像与性质（1）抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用1）a 决定抛物线的开口方向：-1 y x5 x =22 O 当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置：对称轴：2bx a=-a 与b 同号（即ab ＞0） 对称轴在y 轴左侧 a 与b 异号（即ab ＜0） 对称轴在y 轴右侧3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0，c )： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.总结：以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<a b .（中考非常喜欢考查根据图像判断a 、b 、c 的符号或者反过来根据a 、b 、c 符号来判断图像。

） 例1：已知=次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图．则下列5个代数式：ac ，a+b+c ，4a －2b+c ， 2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为（ ）A ．2B 3C 、4D 、5 点拨：本题考查二次函数图像性质，a 的符号由开口方向确定，b 的符号由对称轴和a 共同决定，c 看其与y 轴的交点坐标，a+b+c ，4a －2b+c 看x 取某个特殊值时y 的值可从图像中直观发现 例2：（2009湖北省荆门市）函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）点拨：本题考查函数图象与性质，当0a >时，直线从左向右是上升的，抛物线开口向上，D 是错的，函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象必过（0，1），所以C 是准确的，故选C ．课堂练习：1、已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图像如图所示， 那么下列判断不准确的是（ ） A ．ac <0 B ．a －b +c >0C ．b = -4aD ．关于x 的方程ax 2+bx +c =0的根是x 1=－1,x 2=5B ．C ．D ．1111xo yyo x yo xxoyy xO2、如图，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac －b 2=4a ；④a+b+c ＜0.其中准确的个数是（ ）A. 1B. 2 C . 3 D. 43. 二次函数y=ax 2+bx+c 与一次函数y=ax+c 在同一坐标系中的图象大致是 （ ）（2）抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.1）a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.2）求抛物线的顶点、对称轴的方法：1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. 2)配方法：使用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.3)使用抛物线的对称性：当横坐标为x 1, x 2 ，其对应的纵坐标相等，那么对称轴122x x x += 例1：.二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是（ ） A ．（-1，8） B.（1，8） C （-1，2） D （1，-4） 点拨：本题主要考察二次函数的顶点坐标公式例2：二次函数9)2(32+--=x y 图像的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ） A ． 开口向下、对称轴为2-=x 、顶点坐标（2，9） B ．开口向下、对称轴为2=x ，顶点坐标（2，9）C ．开口向上，对称轴为2-=x ，顶点坐标（－2，9）D ．开口向上，对称轴为2=x ，顶点坐标（－2，－9）例3：已知抛物线c x ax y ++=22与x 轴的交点都在原点右侧，则点M （c a ,）在第 象限．例4：二次函数c bx x y ++=2的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ）A ．x ＝4 B. x ＝3 C. x ＝－5 D. x ＝－1。

例5：(2007佛山中考题)已知二次函数2y ax bx c =++（a b c ，，是常数），x 与y 的部分对应值如下表，则当x 满足的条件是 时，0y =；当x 满足的条件是 时，0y >。

（当x=4时，y= ）（3）增减性，最大或最小值当a>0时，在对称轴左侧（当2bx a<-时），y 随着x 的增大而减少；在对称轴右侧（当2bx a<-时），y 随着x 的增大而增大； 当a<0时，在对称轴左侧（当2bx a<-时），y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧（当2bx a <-时），y 随着x 的增大而减少； 当a>0时，函数有最小值，并且当x=a b2-，2min 44ac b y a -=；当a<0时，函数有最大值，并且当x=a b 2-，2max 44ac b y a-=；例1： 已知二次函数y=21x 2+2x+1. (1) 写出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标; (2) 当x 为何值时, y 随x 的增大而减小? 当x 为何值时, y 随x 的增大而增大? (3) 该函数是有最大值还是最小值? 此时x 的值为多少?【思路点拨】利用公式法求顶点坐标和对称轴. 解： (1) ∵21＞0, ∴函数图像开口向上. ∵－2122⨯＝－2, 214212142⨯-⨯⨯＝22-＝－1. ∴函数图象的对称轴是直线x=－2, 顶点坐标是(－2, －1).(2) 由(1) 可知： 当x ＜－2时, y 随x 的增大而减小; 当x ＞－2时, y 随x 的增大而增大. (3) 由21＞0知, 该函数有最小值. 由(1)可知当x ＝－2时, 函数有最小值－1. 【方法点评】(1) 求二次函数图象的对称轴、顶点坐标可用配方法和公式法两种方法, 本例使用公式法. (2) 讨论二次函数的性质时, 可先求出其图象对称轴和顶点坐标, 并明确图明的开口方向. 再画出草图, 然后根据草图说明性质, 也可不画草图, 直接说明.例2：阅读下列材料, 探究问题.已知正方形的周长为4a, 面积为S. (1) 求S 与a 的函数关系式; (2) 画出它的图象, 求出S ＝6cm 2时, 正方形的周长; (4) 根据函数图象, 求出a 取何值时, S ≥41. 解： (1) ∵正方形的周长为4a, ∴其边长为a.∴正方形的面积为S ＝a 2. a －3－2－10 1 2 3 … S9 4 1 0149…画出图象如图所示(3) 当S=6cm 2时, a=±6cm,故正方形的周长为46cm. (4) ∵当a=±21cm 时, S=41cm 2, 且此函数在其取值范围内, S 随a 的增大而增大. ∴当a ≥21或a ≤－21时, S ≥41. 请你就上述材料谈谈你的感受, 并与同伴交流从中获利的启迪【思路点拨】上述问题是二次函数y=x 2的实际应用题. 在解题过程中, 因为忽视了对自变量a 的取值范围的讨论, 致使整个过程发生错误. 作为几何量, 边长a 应是个正数, 即a ＞0, 所以图象仅仅抛物线S=a 2的一部分, 且不包括最低点(0, 0).准确解法如下：(1) ∵正方形的周长为4a, ∴其边长为a.∴正方形的面积S ＝a 2(a ＞0). a 1 2 3 … S149…画出图象如图所示.(3) 当S ＝6cm 2, a=6cm(a ＝－6cm 不合题意, 舍去). 故正方形的周长为46cm. (4) ∵当a=21cm 时, S=41cm 2, 且函数在取值范围内S 随a 的增大而增大, ∴当a ≥21cm 时, S ＝41cm 2. 【方法点评】上述问题是一个实际应用题, 所以注意自变量a 的取值范围, 使用图象来解决问题.例3：若二次函数24y ax bx =+-的图像开口向上，与x 轴的交点为（4，0），（-2，0）知，c+此抛物线的对称轴为直线x=1，此时121,2x x =-=时，对应的y 1 与y 2的大小关系是（ ） A ．y 1 <y 2 B. y 1 =y 2 C. y 1 >y 2 D.不确定 点拨：本题可用两种解法 解法1：利用二次函数的对称性以及抛物线上函数值y 随x 的变化规律确定：a>0时，抛物线上越远离对称轴的点对应的函数值越大；a<0时，抛物线上越靠近对称轴的点对应的函数值越大解法2：求值法：将已知两点代入函数解析式，求出a ，b 的值 再把横坐标值代入求出y 1 与y 2 的值，进而比较它们的大小变式1：已知12(2,),(3,)q q 二次函数22y x x m =-++上两点，试比较12q q 与的大小 变式2：已知12(0,),(3,)q q 二次函数22y x x m =-++上两点，试比较12q q 与的大小 变式3：已知二次函数2y ax bx m =++的图像与22y x x m =-++的图像关于y 轴对称，12(2,),(3,)q q --是前者图像上的两点，试比较12q q 与的大小练习：1.如图，已知二次函数c bx x y ++=2的图象经过点（－1，0），（1，－2），当y 随x的增大而增大时，x 的取值范围是 ．2. 已知二次函数y=x 2－2x －3, 则函数值y ＜0时, 对应x 是 .3. 二次函数522-+=x x y 有（ ）A ． 最大值5-B ． 最小值5-C ． 最大值6-D ． 最小值6-4. 求二次函数y=3x 2+12x-29的最小值。