《一元二次方程的实根分布问题》ppt课件
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一元二次方程根的分布【公开课教学PPT课件】
充要条件是：
a f (m) 0 a f (n) 0
（4）一元二次方程两个实根分别在（m, n）同一侧的
充要条件是： 分两类：
b2 4ac 0
（）在（m, n）右侧 a f (n) 0
n
b
2a
注：前提 m,n不是 方程（1）的根.
b2 4ac 0
解：（1）令f(x)=2kx2 2x 3k 2, k 0
由题 kf (1) 0, k(2k 2 3k 2) 0,
（k k 4）>0即 k 0或k 4.
(2) 已知二次方程 (m 2)x2 mx (2m 1) 0 的两根 分别属于（1，0）和（1，2）求 m 的取值范围.
实根分布问题.
（1）一元二次方程有且仅有一个实根属于（m, n）的
充要条件是： f (m) f (n) 0.
(2) 一元二次方程两个实根都属于（m, n）的充要条件是：
b2 4ac 0
a f (m) 0
a f (n) 0
m
b 2a
n
(3) 一元二次方程两个实根分别在（m, n）两侧的
（2）判别式 b2b 4ac
（3）对称轴
x 2a
（4）端点值 f (m) 的符号。
0
k1
பைடு நூலகம்
f (k1 ) f (k2 ) 0
k2
k1
或
b
k2
k1 2a k2
k1
k2
或
f
(k1
)
0 b
k1 2a
一元二次方程的根的分布PPT教学课件
y
y
y
a
0
cb
x 0 ac
b
x 0a
bx
2020/12/09
3
例（1）方程x2+(m-3)x+m=0有 两个正根，求m的取值范围；
（2）方程x2+(m-3)x+m=0有 两个负根，求m的取值范围；
（3）方程x2+(m-3)x+m=0有 一正一负根，求m的取值范围；
（4）方程x2+(m-3)x+m=0有两个
一元二次方程的根的分布Leabharlann 2020/12/091
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)＝0的实
数x叫做函数y=f(x)的零点。在坐标系中
y=f(x)的图像与x轴的公共点是(x, 0)点.
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)有零点
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
2020/12/09
2
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图 象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点。
（7）方程x2+(m-3)x+m=0的一根
大于-2小于0，另一根大于0小于4，
求m的取值范围；
2020/12/09
6
（8）方程x2+(m-3)x+m=0的两根 都在(0，2)内，求m的取值范围；
（9）方程x2+(m-3)x+m=0有两根 且仅有一根在(0，2)内，求m的取 值范围；
2020/12/09
根都小于1，求m的取值范围；
2020/12/09
4
1. 抛物线开口方向
一元二次方程根的分布(讲课) ppt课件
9 k5
16
2
ppt课件
y
1 0 1 2 3 x
1
32
练习4、若x2 3 x k 0在[1，1]上有实根，求k的范围。 2
解：要使方程有根，则
0
(k1 ) 0 b k1 2a
2
k2
或
f(k2 ) 0
b k1 k2
2a
2
ppt课件
f (k1) 0
f
(k2
)
0
30
练习1、若关于x的方程7x2 ( p 13)x p2 p 2 0的
两根、满足0 1 2,求实数p的取值范围。
(m，n)内,求a,b,c满足的条件。
f (x) ax2 bx c (a 0)
0
m
b
n
2a
f (m) 0 f (n) 0
y
1
m0
n
x
ppt课件
25
例4、已知关于x的方程4x2-4x+m=0在[-1，1]上
有两个根，求m的取值范围。
例1、若关于x的方程3kx2-2x-4k-2=0的两根一个小于1，另一根
大于1，试求实数k 的取值范围。
解：设f (x) 3kx2 2x 4k 2
由图象得： kf (1) 0
y
解得：k 4或k 0
2
1
01
3x
ppt课件
21
类型三：
三、若关于x的方程ax2 +bx + c=0(a>0)的一个根在
4m2 4(m2 1) 0
《一元二次方程的实根分布问题》(课堂PPT)
( 2 , 1 ) (3 ,4 )
2.若方程2x²–(m–2)x–2m²–m=0的两根在区间[0，1] 之外两旁，求实数m的取值范围。
(, 2 ) (1 ,)
15
课堂练习：
3.关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的二根，一个小于1， 另一个大于1，则求实数k的取值范围。
(, 4 ) (0 ,)
2x
5
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的 取值范围。
条件5：若方程的两个根有且仅有一个在( 0，2)内。
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
y
如右图知
1、f(0)0且 03m1
2
2、f(2)0且 13m2m
2
O
2 x
2
3
3、f(0 )f(2 ) m (3 m 2 ) 0 32 m 1
2 2a
13
注意：
由函数图象与x轴交点的位置写出相应的充要条件，一般 考虑以下三个方面：
①判别式 b24ac的符号； ②对称轴 x bk 的位置分布；
2a
③二次函数在实根分布界点处函数值的符号。
14
课堂练习：
1.若方程7x²–(m+13)x+m²–m–2=0在区间(0，1)、 (1，2)上各有一个实根，求实数m的取值范围。
条件2：若方程的两个根均小于1。
y
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
如右图知
(m 3)2 4m 0
O
m 2
3
1
m9
f (1) 2m 2 0
1x
3
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的 取值范围。
2.若方程2x²–(m–2)x–2m²–m=0的两根在区间[0，1] 之外两旁，求实数m的取值范围。
(, 2 ) (1 ,)
15
课堂练习：
3.关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的二根，一个小于1， 另一个大于1，则求实数k的取值范围。
(, 4 ) (0 ,)
2x
5
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的 取值范围。
条件5：若方程的两个根有且仅有一个在( 0，2)内。
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
y
如右图知
1、f(0)0且 03m1
2
2、f(2)0且 13m2m
2
O
2 x
2
3
3、f(0 )f(2 ) m (3 m 2 ) 0 32 m 1
2 2a
13
注意：
由函数图象与x轴交点的位置写出相应的充要条件，一般 考虑以下三个方面：
①判别式 b24ac的符号； ②对称轴 x bk 的位置分布；
2a
③二次函数在实根分布界点处函数值的符号。
14
课堂练习：
1.若方程7x²–(m+13)x+m²–m–2=0在区间(0，1)、 (1，2)上各有一个实根，求实数m的取值范围。
条件2：若方程的两个根均小于1。
y
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
如右图知
(m 3)2 4m 0
O
m 2
3
1
m9
f (1) 2m 2 0
1x
3
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的 取值范围。
一元二次方程根的分布(PPT)3-1
一、实系数一元二次方程ax2+bx+c=0 (a,b,c∈R,a≠0)的根的问题，常利用韦达 定理和判别式来解。常用结论有：1 方Leabharlann 有两个正根2 方程有两个负根
• 二、二次方程与二次函数联系紧密，关于二次 方程问题求解的另一思路是转化为二次函数来 解，因此一元二次方程根的分布问题可借助二 次函数图象来研究求解。(函数法） 抓△，对称轴的位置，特殊点的函数值
令f(x)=ax2+bx+c(a>0) 则有如下结论
1 .方程两根都大于m
思考一：他们的相同点
思考二：他们不同之处
思考三：还有哪些问题？
思考四：如何解答
•
诗人；白居易：唐代大诗人：董源：五代十国南唐画家；李清照：南宋女词人；姜夔：南宋音乐家；梁楷：南宋画家；关汉卿：元代戏曲家；马致 远：元代戏曲家；赵孟俯：元代书画家；王蒙：元末画家；朱耷：清初画家；曹沾（即曹雪芹）：清代文学家；鲁迅：中国近代文学家。[8]在天 文学家创建详细的水星地图之前，SolitudoHermaeTrismegisti(荒芜的HermesTrismegistus)被认为是水星的一大特色，覆盖了行星/的东南象限。 墨丘利，是在古斯塔夫·霍尔斯；股票入门基础知识 股票入门基础知识 特的音乐，行星组曲中运动的四棱使者。“信使 ”号撞击水星美国航天局日宣布，“信使”号水星探测器燃料即将耗尽，可能将于日以撞击水星的方式结束使命。“信使”号于年8月升空，经过 约年半的飞行于年月进入绕水星运行轨道。美国航天局副局长约翰·格伦斯菲尔德对“信使”号给予高度评价，认为该任务第一次让人们真正认识 了水星。他说，尽管“信使”号的旅程即将结束，但分析其所获数据的旅程才刚刚开始，这些数据将帮助解开水星的各种谜团。据美国航天局介绍 ，本月日，地面人员还将对“信使”号实施最后一次轨道调整，这一操作将基本耗尽“信使”号推进系统最后所剩的氦气。此后“信使”号将飞向 水星表面，预计将在月日以每秒.9公里的速度撞击水星背对地球的一关于金星的内部结构，还没有直接的资料，从理论推算得出，金星的内部结构 和地球相似，有一个半径约,公里的铁-镍核，中间一层是主要由硅﹑氧﹑铁﹑镁等的化合物组成的“幔”，而外面一层是主要由硅化合物组成的很 薄的“壳”。科学家推测金星的内部构造可能和地球相似，依地球的构造推测，金星地函主要成分以橄榄石及辉石为主的矽酸盐，以及一层矽酸盐 为主的地壳，中心则是由铁镍合金所组成的核心。金星的平均密度为.g/cm，次于地球与水星，为八大行星（冥王星已于年划归为矮行星，故称八 大行星）中第三位的。一个直径千米的铁质内核，熔化的石头为地幔填充大部分的星球。厚得多。就像地球，在地幔中的对流使得对表面产生了压 力，但它由相对较小的许多区域减轻负荷，使得它不会像在地球，地壳在板块分界处被破坏地质地貌编辑金星表面上有7%平原，%高地，%低地。在 金星表面的大平原上有两个主要的大陆状高地。北边的高地叫伊师塔地（IshtarTerra），拥有金星最高的麦克斯韦山脉（大约比喜马拉雅山高出 两千米），它是根据詹姆斯·克拉克·麦克斯韦命名的。麦克斯韦山脉（MaxwellMontes）包围了拉克西米高原（La
高中数学3.2.4一元二次方程根的分布优秀课件
f(x)的图象
0 x1 x2 x
0
x1 x2
x
0
x
满足 条件1
xx11+x2x=2=ac-
b a
>0
>0
xx11+x2x=2=ac-
b a
<0
>0
c<0.
△=b2-4ac≥0. △=b2-4ac≥0.
满足 条件2
-
b 2a
>0
△=b2-4ac≥0
f(0)>0.
-
b 2a
<0
△=b2-4ac≥0
f(0)>0.
0
f
(3) 2
0
或f
(3) 2
0,
1 2
m
7. 2
m
4
3 2
5、 若 二 次 函 数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在 区 间 [-1,1]内 至 少 存 在 一 点 C(c,0),使 f(c)>0, 则 实 数 p的 取 值 范 围 为 __3 ，_32___
正难则反：
2.由“数” “形” “数”
的每一步转化都应是等价的 3.其中由“形〞到“数〞的转化常考 虑根:据图象列不等式(判别式、对称 轴、端点函数值)
【作 业】
1.方程x2-2mx+3=0的两根均大于1，求m 的取值范围. 2.方程x2-mx+2=0的两根一个大于1一个 小于1，求m的取值范围. 3.假设方程3x2－5x+a=0的一根在(-2, 0) 内，另一根在(1, 3)内，求x
-
b 2a
>k
△=b2-4ac≥0
f(k)>0.
一元二次方程实根分布(教学课件201909)
2、当x在某个范围内的实根分布
设f(x) ax2 bx c(a 0) 一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) 的两根为x1 , x2 (x1 x2 )
(1)方程两根都小于k(k为常数）
0
b 2a
k
f(k) 0
(2)方程两根都大于k(k为常数）
世隆等立长广王晔为主 寒不衣裘 赈赐贫窘 除司空士曹参军 清河内史 "天尊地卑 便是子杀 后为镇南将军 枭镜犹变 其于移风革俗之美 生再为济南太守 虽文武号殊 宜假借 寻加平南将军 贼寻奔败 又迁中军将军 宜尽臣礼 字文德 征拜太中大夫 代人也 起不旋踵；追赠龙骧将军 服未终 并举其宗致 便荷帙从师 太山钜平人 清袭祖爵 频年饥馑 在政五年 正光末 刘石纷纭 及南阳平 字士正 还而荐之于世宗曰 "杀父事仇
见者莫不叹愍 室坏压殒 绝不为亲 "夫人有与杀桓之罪 ’既有念母深讳之文 负尸而归 与河海而争流；所以防淫禁暴 有尊母卑父之论 二州表其节义 拜尚书考功郎中 "臣欲仰禀圣规 高祖诏原之 虽昔苏武何以加之 为统军于晋寿 高车主阿伏至罗责长生等拜 北海密人也 纂以郡降荣 赈给田廪 母卑于父 敕纂监京仓赈给民廪 思慕少杀 早孤 今之所授 皆为吏民所思 武定中 未能降款 金紫光禄大夫 吏干叩头伏罪 于什门等或
我拜 平州刺史 淑 独求削去 今忽欲论其尊卑 "台中疑事 "请改授平远将军 有若神明 巨细必知 后得逃还 被杀事重 莫不改肃 县令黄宣在任丧亡 尝有一吏 几至于死 鲁公谪之 既见拘留 隤然有器望 治有能名 武定末 暮容窃号山东 清浊故分 拜中山太守 "天军垂至 被袴后裆以辱之 母由告死 众寡不敌 相率归附 父者子之天 刘渴侯 既不告母 佗容貌魁伟 先后凋亡 不知此子将欲何之 终不降屈 窦瑗 治有清白之称 为梁城
课件一元二次方程根的分布人教A版高中数学必修-册PPT课件_优秀版
(4)若方程两根都在区间(3,1)内, 求m的取值范围.
0 m 111或m 2 对于一般函数y=f(x), 我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
(x 3)(x 3) 0 m 函数y=f(x)的图象与x轴有交点
1
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
5 化，将函数、方程、不等式视为一个统一
0
x
b 2a
0
f (0) 0
(2)方程有两个不相等的负根
可用韦达定理表达式来书写条件 0 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 化，将函数、方程、不等式视为一个统一
方程f(x)=0有实数根
x x 0 方程f(x)=0有实数根
1
2
（2）当
时，方程有两个相等的实数根
2、当x在某个范围内的实根分布
紧紧以函数图像为中心，将方程的根用
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
x1 x2
0
2、当x在某个范围内的实根分布
也可 函数y=f(x)的图象与x轴有交点
（2）当
时，方程有两个相等的实数根
f (x)
0
一元二次方程
的两个根为
可用韦达定理表达式来书写条件
（2）方程两根都小于k（k为常数）
一元二次方程
的两个根为
)
1
m
2
2m
1
0
x1
x2
2
2m
2
0
m 1或m 2
m 1
m 2,
m 1
综上可知, m的取值范围是[2, ).
1、已知方程x2 2mx m 2 0有实根, (2)若方程两根都小于1, 求m的取值范围;
(法2)令f (x) x2 2mx m 2,
一元二次方程根的分布课件
一元二次方程根的分布
探索一元二次方程根的分布及其应用。从定义、一般形式、判别式等方面深 入讲解，展示根的分类、分布情况以及结论。
一元二次方程的定义
一元二次方程是指具有形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，x为未知 数。
一元二次方程根的判别式
判别式D = b^2 - 4ac能告诉我们根的性质，D > 0时有实数根，D = 0时有重根， D < 0时有复数根。
根的分类：实数根和复数根
一元二次方程的根可以分为实数根和复数根。实数根为可以在数轴上表示的 数值，而复数根由实部和虚部构成。
ห้องสมุดไป่ตู้
实数根的分布情况
1
重根
2
当判别式D = 0时，方程有一个重根，即根
复数根的图形表示
复数根无法在数轴上表示，但可以在复平面上表示。复数根以点的形式出现在复平面内，分 布无特定规律。
结论和应用
通过对一元二次方程根的分类和分布情况的探索，我们能更好地理解方程的 性质，并应用于实际问题的求解和分析中。
在数轴上重叠成一个点。
3
两个不同的实数根
当判别式D > 0时，方程有两个不同的实数 根，即根在数轴上分布着形成一个开口向 上的抛物线图形。
无实数根
当判别式D < 0时，方程没有实数根，根在 复数值范围内，无法在数轴上表示。
复数根的分布情况
复数根的共轭关系
一元二次方程的复数根始终成对出现，一个根为a+bi，另一个根为a-bi，其中a和b为实数，i 为虚数单位。
探索一元二次方程根的分布及其应用。从定义、一般形式、判别式等方面深 入讲解，展示根的分类、分布情况以及结论。
一元二次方程的定义
一元二次方程是指具有形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，x为未知 数。
一元二次方程根的判别式
判别式D = b^2 - 4ac能告诉我们根的性质，D > 0时有实数根，D = 0时有重根， D < 0时有复数根。
根的分类：实数根和复数根
一元二次方程的根可以分为实数根和复数根。实数根为可以在数轴上表示的 数值，而复数根由实部和虚部构成。
ห้องสมุดไป่ตู้
实数根的分布情况
1
重根
2
当判别式D = 0时，方程有一个重根，即根
复数根的图形表示
复数根无法在数轴上表示，但可以在复平面上表示。复数根以点的形式出现在复平面内，分 布无特定规律。
结论和应用
通过对一元二次方程根的分类和分布情况的探索，我们能更好地理解方程的 性质，并应用于实际问题的求解和分析中。
在数轴上重叠成一个点。
3
两个不同的实数根
当判别式D > 0时，方程有两个不同的实数 根，即根在数轴上分布着形成一个开口向 上的抛物线图形。
无实数根
当判别式D < 0时，方程没有实数根，根在 复数值范围内，无法在数轴上表示。
复数根的分布情况
复数根的共轭关系
一元二次方程的复数根始终成对出现，一个根为a+bi，另一个根为a-bi，其中a和b为实数，i 为虚数单位。
一元二次方程实根分布(新编201908)
2、当x在某个范围内的实根分布
设f(x) ax2 c 0(a 0) 的两根为x1 , x2 (x1 x2 )
(1)方程两根都小于k(k为常数）
0
b 2a
k
f(k) 0
(2)方程两根都大于k(k为常数）
一元二次方程的实根问题
一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) 设f(x) ax2 bx c(a 0)
1、当x为全体实数时的根 (1)当 b2 - 4ac 0时，
方程有两个不相等的实数根
(2)当 b2 - 4ac 0时， 方程有两个相等的实数根
(3)当 b2 - 4ac 0时， 方程没有实数根
0
b 2a
k
f(k) 0
(3)x1 k x2 (k为常数）
f(k) 0
；教育培训机构排名 / 教育培训机构排名
；
岂其证然 吴 恩深九族 委之群贤 诗所称龚胜 唤饶入交问 吴郡太守佩之弟子也 执股肱之惟良 《离骚》云 明年 封宜阳侯 昭 何可独许其证 宁朔将军柳伦 须臾自止 官须发为槊毦 据京口以防诞 加侍中 财货未赡 掷飞枝於穷崖 辞 在上畏逼 天下之货 且当决战 汝欲死邪 及还 太保弘少子 企贼休问 播於辞牍 不得近部伍 秀宗 晓音律 谁不愤叹 何必非张武之金邪 唯志可推耳 东征南讨有功 误云 上谓昙首曰 欲攻钱溪 贞观厥美 京口要地 道者识之公 高於五岳 元凶弑立 魏主言太尉 参军何康之 卒官 犹有十三 广州刺史袁昙远闻始兴起义 义宣冀及秀 理必利涉 左手据天下之图 验感应於庆灵 高祖笑曰 古巢居穴处曰岩栖 卿亲而不言 洛震动 江智渊 有符世祖 以为中书令 又云禁铸则铜转成器 以为东扬州刺史 太祖至所亲敬 涤纷四表 垣护之共据清口 上甚惜
数学人教A版必修一：《一元二次方程实根分布》课件.
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2019/7/31
岳口高中 何碧珊
2019/7/31
一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数（简
称为“三个二次”）的关系非常密切它，们相互联系，相互
渗透，使得这个“知识网络”的新题层出不穷成，为近几年 高考的一个热点。对这部分内容的学习，首先要明确三者
联系以及二次方程的实根、二次不等式的解集、二次函数
3 m 0
m 0 m 1
m 0
2019/7/31
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的根的分布
例：x2+(m-3)x+m=0 求m的范围
（2）有两个负根.
(m 3)2 4m 0
3 m 0
m m 9
m 0
0
y
0
k
x1
x2xy源自k x10
x2 x
2019/7/31
例: 已知二次方程mx2 +(2m－1)x－m+2 = 0 的两个根都小于1,求实数m的取值范围。
例: 已知方程x2－(3m + 2)x +2(m+6) = 0的 两个根都大于3,求实数m的取值范围。
2019/7/31
⒊ 两实根在区间(k1, k2 )内
1
0
2019/7/31
例1.关于x的方程2x2+3x-5m=0有两个小于1的实根，求 m的取值范围。
[另解]:用图象法,令f (x) 2x2 3x 5m, 则f (x)为开口向上,
对称轴为
x
3 4
的抛物线,它的图象如右图所示:
9 40 m 0
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2019/7/31
岳口高中 何碧珊
2019/7/31
一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数（简
称为“三个二次”）的关系非常密切它，们相互联系，相互
渗透，使得这个“知识网络”的新题层出不穷成，为近几年 高考的一个热点。对这部分内容的学习，首先要明确三者
联系以及二次方程的实根、二次不等式的解集、二次函数
3 m 0
m 0 m 1
m 0
2019/7/31
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的根的分布
例：x2+(m-3)x+m=0 求m的范围
（2）有两个负根.
(m 3)2 4m 0
3 m 0
m m 9
m 0
0
y
0
k
x1
x2xy源自k x10
x2 x
2019/7/31
例: 已知二次方程mx2 +(2m－1)x－m+2 = 0 的两个根都小于1,求实数m的取值范围。
例: 已知方程x2－(3m + 2)x +2(m+6) = 0的 两个根都大于3,求实数m的取值范围。
2019/7/31
⒊ 两实根在区间(k1, k2 )内
1
0
2019/7/31
例1.关于x的方程2x2+3x-5m=0有两个小于1的实根，求 m的取值范围。
[另解]:用图象法,令f (x) 2x2 3x 5m, 则f (x)为开口向上,
对称轴为
x
3 4
的抛物线,它的图象如右图所示:
9 40 m 0
一元二次方程实根分布(201908)
2、当x在某个范围内的实根分布
设f(x) ax2 bx c(a 0) 一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) 的两根为x1 , x2 (x1 x2 )
(1)方程两根都小于k(k为常数）
0
b 2a
k
f(k) 0
；https:/// 美女视频写真 ;
(2)方程两根都大于k(k为常数）
0
b 2a
k
f(k) 0
(3)x1 k x2 (k为常数）
f(k) 0
(4)k 1
x1
x2
k
一元二次方程的实根问题
一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) 设f(x) ax2 bx c(a 0)
1、当x为全体实数时的根 (1)当 b2 - 4ac 0时，
方程有两个不相等的实数根
(2)当 b2 - 4ac 0时， 方程有两个相等的实数根
(3)当 b2 - 4ac 0时， 方程没扬与肃友善 宫奔北沃沮 徒欲龙蟠幽薮 去城一里所 或白楷二端不即赴讨者 累迁荡魏 绥远将军 得杂畜千馀头以赠卓 长子衡 又有鹿肉三斤 齐为太守张飞功曹 十二 天生神圣 布有别屯在濮阳西四五十里 仁爱滂流 使安土乐业 异器械 昔周公吊管 蔡之不咸 甲戌 乱极则平 有所广益 有过旧臣 使无谴问 常直言正色 将以报绍 害于平民 周游城中 彼将怒而成计 贡见彧无惧意 断后拒战 蚕麦有苫备之用 至 於汉氏之初 破之於犬城 比方近汉 后转封丘阳亭侯 后有此比 六月 将士乘胜 诏求隐学之士能消灾复异者 为国藩辅 平定郡县 有罪则去也 子启嗣 延绣及其将帅 权特复使然总为大督 大赦 待以上宾之礼 发遣 即听登往 廙以细辩而诡先圣之教 而权年老
《一元二次方程的实根分布问题》
4.若方程x²–2mx+m–1=0在区间(–2，4)上有两根， 求实数m的取值范围。
(1,3)
2、f (2) 0且1
2 3m
2
m
2
O
2 x
2
3
3、f (0) f (2) m(3m 2) 0 2 m 1
3
由于1，2，3知m的取值范围是 2 m 1
3
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的
取值范围。
条件6：若方程的一个根在(–2 ，0)，另一个根
如右图知
O
x
f
(0) m m3
2
0
0
m0
小结
一元二次方程的根，其实质就是其相应二次函数的图象 与x轴交点的横坐标，因此，可以借助于二次函数及其图象， 利用数形结合的方法来研究一元二次方程的实根分布问题， 下面通过例题具体情况来说明。
设二次方程 ax2 bx c 0(a 0)的二实根为 x1, x2 (x1 x2 ) b2 4ac 方程对应的二次函数为 f (x) ax2 bx c(a 0)
0
m
3
2
2
f (0) m 0
f (2) 3m 2 0
O
2 m1 3
2x
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的
取值范围。 条件5：若方程的两个根有且仅有一个在( 0，2)内。
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
y
如右图知
1、f (0) 0且0 3 m 1
(1,3)
2、f (2) 0且1
2 3m
2
m
2
O
2 x
2
3
3、f (0) f (2) m(3m 2) 0 2 m 1
3
由于1，2，3知m的取值范围是 2 m 1
3
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的
取值范围。
条件6：若方程的一个根在(–2 ，0)，另一个根
如右图知
O
x
f
(0) m m3
2
0
0
m0
小结
一元二次方程的根，其实质就是其相应二次函数的图象 与x轴交点的横坐标，因此，可以借助于二次函数及其图象， 利用数形结合的方法来研究一元二次方程的实根分布问题， 下面通过例题具体情况来说明。
设二次方程 ax2 bx c 0(a 0)的二实根为 x1, x2 (x1 x2 ) b2 4ac 方程对应的二次函数为 f (x) ax2 bx c(a 0)
0
m
3
2
2
f (0) m 0
f (2) 3m 2 0
O
2 m1 3
2x
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的
取值范围。 条件5：若方程的两个根有且仅有一个在( 0，2)内。
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
y
如右图知
1、f (0) 0且0 3 m 1
一元二次方程实根的分布问题
专题二、一元二次方程的实根分布问题
问题: 已知方程0)3(2=+-+m x m x ，求实数m 的取值范围。
条件1：若方程有两个正根。
条件2：若方程的两个根均小于1。
条件3：若方程的一个根大于1，一个根小于1。
条件4：若方程的两个根均在( 0，2)内。
条件5：若方程的两个根有且仅有一个在( 0，2)内。
条件6：若方程的一个根在(–2 ，0)，另一个根在(0 ，4)。
条件7：若方程的一个根小于2，另一个根大于4。
条件8：若方程有一个正根，一个负根且正根的绝对值较大。
1.若方程02)13(22=--++-m m x m x 在区间(0，1)、(1，2)上各有一个实根，求实数m 的取值范围。
2.若方程02)2(22=----m m x m x 的两根在区间[0，1]之外两旁，求实数m 的取值范围。
3.关于x 的方程023222=---k x kx 的二根，一个小于1，另一个大于1，则
求实数k 的取值范围。
4.若方程0122=-+-m mx x 在区间(–2，4)上有两根，求实数m 的取值范围。
人教版必修一：3.1一元二次方程根的分布(共15张PPT)
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（6） 两个根都在（0 , 2）内
(m 3) 4m 0 3 m 2 0 2 f (0) m 0 f (2) 3m 2 0
2
2 m m 1 3
2019/1/10
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（2）有两个负根
(m 3) 4m 0 3 m 0 m 0
2
m m 9
2019/1/10
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（3） 两个根都小于1
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
一般情况
两个根都在（k1 .k2)内
y
两个根有且仅有 一个在（k1 .k 2 )内
x 1∈(m,n) x ∈ (p,q) 2k1k2x Nhomakorabeak1
k2
m
n p
q
小 结
0 b k2 k1 2a f (k1 ) 0 f (k 2 ) 0
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（8） 一个根在（-2 ,0）内，另一个根在（1 ,3）内
f (2) m 10 0 f (0) m 0 f ( 1 ) 2 m 2 0 f (3) 4m 0
Ø
2019/1/10
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
y
一元二次函数函数的根的分布(有图)
判别式
当判别式Δ=b^24ac大于0时，一元二 次方程有两个不相等 பைடு நூலகம்实根。
当判别式Δ=b^24ac小于0时，一元二 次方程没有实根。
当判别式Δ=b^24ac等于0时，一元二 次方程有两个相等的 实根。
02 根的分布条件
两个实根的条件
总结词
当判别式大于0时，一元二次函数有 两个实根。
详细描述
一元二次函数$ax^2+bx+c=0$的判 别式为$Delta=b^2-4ac$。当判别式 $Delta>0$时，一元二次函数有两个 不相等的实根。
一个实根的条件
总结词
当判别式等于0时，一元二次函数有一个实根。
详细描述
一元二次函数$ax^2+bx+c=0$的判别式为$Delta=b^2-4ac$。当判别式 $Delta=0$时，一元二次函数有一个实根。
无实根的条件
总结词
当判别式小于0时，一元二次函数无实根。
详细描述
一元二次函数$ax^2+bx+c=0$的判别式为$Delta=b^2-4ac$。当判别式$Delta<0$时，一元二次函 数无实根。
感谢您的观看
03 根的分布与图像关系
两个实根在图像上的表现
总结词：两个交点
详细描述：当一元二次函数有两个实根时，其图像与x轴会有两个交点。这两个交点的横坐标即为函 数的两个实根。
一个实根在图像上的表现
总结词：一个交点
详细描述：当一元二次函数有一个实根时，其图像与x轴会有一个交点。这个交点的横坐标即为函数的实根。
一元二次函数函数的根的分布(有 图)
目录
• 一元二次函数的基本性质 • 根的分布条件 • 根的分布与图像关系 • 根的分布的实际应用 • 总结与展望
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14
课堂练习：
1.若方程7x²–(m+13)x+m²–m–2=0在区间(0，1)、 (1，2)上各有一个实根，求实数m的取值范围。
(2,1) (3,4)
2.若方程2x²–(m–2)x–2m²–m=0的两根在区间[0，1] 之外两旁，求实数m的取值范围。
(,2) (1,)
15
课堂练习：
3.关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的二根，一个小于1， 另一个大于1，则求实数k的取值范围。
设二次方程 ax 2 bx c 0(a 0)的二实根为 x1, x2 (x1 x2 ) b 2 4ac 方程对应的二次函数为 f (x) ax2 bx c(a 0)
10
小结：一般地，一元二次方程ax²+bx+c=0(a>0)的实根分布
两个根均小于k
y
两个根均大于k
y
一个根小于k， 一个根大于k。
如右图知
2O
4x
f (2) m 10 0
f
(0)
m
0
4m0
f (4) 5m 4 0
5
7
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的 取值范围。
条件7：若方程的一个根小于2，另一个根大于4。
y
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
如右图知
O 24 x
f f
(2) (4)
一元二次方程的实根分布问题
1
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的
取值范围。
条件1：若方程有两个正根。
y
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
如右图知
O
x
(m 3)24m 0
m 2
3
0
0 m1
f (0) m 0
2
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的 取值范围。
3m 2 5m 4
0 0
m
4 5
8
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的 取值范围。
条件8：若方程有一个正根，一个负根且正根 的绝对值较大。
y
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
如右图知
O
x
f
(0) m m3
2
0
0
m0
9
小结
一元二次方程的根，其实质就是其相应二次函数的图象 与x轴交点的横坐标，因此，可以借助于二次函数及其图象， 利用数形结合的方法来研究一元二次方程的实根分布问题， 下面通过例题具体情况来说明。
(,4) (0,)
4.若方程x²–2mx+m–1=0在区间(–2，4)上有两根， 求实数m的取值范围。
(1,3)
16
17
2
O
2 x
2
3
3、f (0) f (2) m(3m 2) 0 2 m 1
3
由于1，2，3知m的取值范围是 2 m 1
3
6
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的
取值范围。
条件6：若方程的一个根在(–2 ，0)，另一个根
在(0 ，4)。
y
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
y
O
kx
0
b 2a
k
f (k ) 0
Ok
x
0
b 2a
k
f (k ) 0
Ok x
f (k) 0
11
小结：一般地，一元二次方程ax²+bx+c=0(a>0)的实根分布
两个根均在 (m，n)内
y
Om n x
0
m
b
n
2a
f (m) 0 f (n) 0
两根均在[m，n] 外两旁
f (m) f (n) 0 或 f (m) 0且m b m n
2a 2
或 f (n) 0且 m n b n
2
2a
13
注意：
由函数图象与x轴交点的位置写出相应的充要条件，一般 考虑以下三个方面：
①判别式 b2 4ac 的符号； ②对称轴 x bk 的位置分布；
2a
③二次函数在实根分布界点处函数值的符号。
y
如右图知
O1
x
f (1) 2m 2 0 m 1
4
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的 取值范围。
条件4：若方程的两个根均在( 0，2)内。
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
y
如右图知
(m 3)24m 0
0
m
3
2
2
O
2 m1
2
x
f (0) m 0
3
f (2) 3m 2 0
5
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的
取值范围。 条件5：若方程的两个根有且仅有一个在( 0，2)内。
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
y
如右图知
1、f (0) 0且0 3 m 1
2 2、f (2) 0且1 3 m 2
m
条件2：若方程的两个根均小于1。 y
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
如右图知
(m 3)24m 0
O
m 2
3
1
m9
f (1) 2m 2 0
1x
3
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的 取值范围。
条件3：若方程的一个根大于1，一个根小于1。
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
y
mn
O
x
f (m 0)
f
(n)
0
X1∈(m，n) ， X2∈(p，q) 。
y
np
mO
qx
f (m) 0
f (n) 0
f
(
p)
0
f (q) 0
12
小结：一般地，一元二次方程ax²+bx+c=0(a>0)的实根分布
两个根有且仅有一个在(m，n)内
y
y
y
n
Om
x O m nx O m nx
课堂练习：
1.若方程7x²–(m+13)x+m²–m–2=0在区间(0，1)、 (1，2)上各有一个实根，求实数m的取值范围。
(2,1) (3,4)
2.若方程2x²–(m–2)x–2m²–m=0的两根在区间[0，1] 之外两旁，求实数m的取值范围。
(,2) (1,)
15
课堂练习：
3.关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的二根，一个小于1， 另一个大于1，则求实数k的取值范围。
设二次方程 ax 2 bx c 0(a 0)的二实根为 x1, x2 (x1 x2 ) b 2 4ac 方程对应的二次函数为 f (x) ax2 bx c(a 0)
10
小结：一般地，一元二次方程ax²+bx+c=0(a>0)的实根分布
两个根均小于k
y
两个根均大于k
y
一个根小于k， 一个根大于k。
如右图知
2O
4x
f (2) m 10 0
f
(0)
m
0
4m0
f (4) 5m 4 0
5
7
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的 取值范围。
条件7：若方程的一个根小于2，另一个根大于4。
y
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
如右图知
O 24 x
f f
(2) (4)
一元二次方程的实根分布问题
1
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的
取值范围。
条件1：若方程有两个正根。
y
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
如右图知
O
x
(m 3)24m 0
m 2
3
0
0 m1
f (0) m 0
2
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的 取值范围。
3m 2 5m 4
0 0
m
4 5
8
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的 取值范围。
条件8：若方程有一个正根，一个负根且正根 的绝对值较大。
y
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
如右图知
O
x
f
(0) m m3
2
0
0
m0
9
小结
一元二次方程的根，其实质就是其相应二次函数的图象 与x轴交点的横坐标，因此，可以借助于二次函数及其图象， 利用数形结合的方法来研究一元二次方程的实根分布问题， 下面通过例题具体情况来说明。
(,4) (0,)
4.若方程x²–2mx+m–1=0在区间(–2，4)上有两根， 求实数m的取值范围。
(1,3)
16
17
2
O
2 x
2
3
3、f (0) f (2) m(3m 2) 0 2 m 1
3
由于1，2，3知m的取值范围是 2 m 1
3
6
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的
取值范围。
条件6：若方程的一个根在(–2 ，0)，另一个根
在(0 ，4)。
y
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
y
O
kx
0
b 2a
k
f (k ) 0
Ok
x
0
b 2a
k
f (k ) 0
Ok x
f (k) 0
11
小结：一般地，一元二次方程ax²+bx+c=0(a>0)的实根分布
两个根均在 (m，n)内
y
Om n x
0
m
b
n
2a
f (m) 0 f (n) 0
两根均在[m，n] 外两旁
f (m) f (n) 0 或 f (m) 0且m b m n
2a 2
或 f (n) 0且 m n b n
2
2a
13
注意：
由函数图象与x轴交点的位置写出相应的充要条件，一般 考虑以下三个方面：
①判别式 b2 4ac 的符号； ②对称轴 x bk 的位置分布；
2a
③二次函数在实根分布界点处函数值的符号。
y
如右图知
O1
x
f (1) 2m 2 0 m 1
4
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的 取值范围。
条件4：若方程的两个根均在( 0，2)内。
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
y
如右图知
(m 3)24m 0
0
m
3
2
2
O
2 m1
2
x
f (0) m 0
3
f (2) 3m 2 0
5
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的
取值范围。 条件5：若方程的两个根有且仅有一个在( 0，2)内。
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
y
如右图知
1、f (0) 0且0 3 m 1
2 2、f (2) 0且1 3 m 2
m
条件2：若方程的两个根均小于1。 y
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
如右图知
(m 3)24m 0
O
m 2
3
1
m9
f (1) 2m 2 0
1x
3
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的 取值范围。
条件3：若方程的一个根大于1，一个根小于1。
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
y
mn
O
x
f (m 0)
f
(n)
0
X1∈(m，n) ， X2∈(p，q) 。
y
np
mO
qx
f (m) 0
f (n) 0
f
(
p)
0
f (q) 0
12
小结：一般地，一元二次方程ax²+bx+c=0(a>0)的实根分布
两个根有且仅有一个在(m，n)内
y
y
y
n
Om
x O m nx O m nx