2012年函数与导数(文科)教师版

B 函数与导数

B1 函数及其表示

1．B1[2012·天津卷] 已知函数y ＝|x 2－1|x －1

的图象与函数y ＝kx 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是______． 1．(0,1)∪(1,2) [解析] y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧－＋，－1≤x<1，x ＋1，x<－1或x>1， 在同一坐标系内画出y ＝kx 与y ＝|x 2－1|x －1的图象如图，

结合图象当直线y ＝kx 斜率从0增到1时，与y ＝|x x －1

在x 轴下方的图象有两公共点；当斜率从1增到2时，与y ＝|x 2－1|x －1的图象在x 轴上、下方各有一个公共点． 2．B1[2012·陕西卷] 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x≥0，

⎝⎛⎭

⎫12x ，x ＜0，则f(f(－4))＝________. 2．4 [解析] 由题目所给的是一分段函数，而f(－4)＝16，所以f(16)＝4，故答案为4. 3．B1[2012·山东卷] 函数f(x)＝1＋

＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2,0)∪(0,2] B ．(－1,0)∪(0,2] C ．[－2,2] D ．(－1,2]

3．B [解析] 要使函数f(x)＝1＋＋4－x 2有意义，须有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，＋，4－x 2≥0，

解之得－1

，x>1，则f(f(3))＝( ) A.15 B ．3 C.23 D.139

4．D [解析] f(x)＝23，f(f(3))＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139

，故选D. 5．B1[2012·江苏卷] 函数f(x)＝1－2 log 6x 的定义域为________．

5．(0，6] [解析] 解题突破口为寻找使函数解析式有意义的限制条件．由⎩⎪⎨⎪⎧

x>0，1－2log 6x≥0，解得0

的定义域为________． 6．{x|x ≥－1且x≠0} [解析] 本题考查函数的定义域，函数有意义，满足：⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋1≥0，x≠0.解得{x|x ≥－1且x≠0}． 7．B1[2012·福建卷] 设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ＞0，0，x ＝0，

－1，x ＜0，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧

1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f(g(π))的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．π

7．B [解析] 解题的关键是求分段函数的值时，一定要认真分析自变量所在的区间，因为各段上的解析式是不相同的．∵π是无理数，∴g(π)＝0，f(g(π))＝f(0)＝0，所以选择B.

8．B1[2012·四川卷] 函数f(x)＝11－2x

的定义域是________．(用区间表示)

8.⎝⎛⎭⎫－∞，12 [解析] 由⎩⎨⎧

1－2x ≠0，1－2x≥0，

解得x ＜12，即函数f(x)的定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，12. B2 反函数

9．B2[2012·全国卷] 函数y ＝x ＋1(x≥－1)的反函数为( )

A ．y ＝x 2－1(x≥0)

B ．y ＝x 2－1(x≥1)

C ．y ＝x 2＋1(x≥0)

D ．y ＝x 2＋1(x≥1)

9．A [解析]解题的突破口为原函数与反函数定义域与值域的关系和反解x 的表达式．由y ＝x ＋1得y 2＝x ＋1，即x ＝y 2－1，交换x 和y 得y ＝x 2－1，又原函数的值域为y≥0，所以反函数的定义域为x≥0，故选A. B3 函数的单调性与最值

10．B3[2012·课标全国卷] 设函数f(x)＝＋2＋sinx x 2＋1

的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________. 10．[答案] 2[解析] 因为f(x)＝＋2＋sinx x 2＋1＝1＋2x ＋sinx x 2＋1，令g(x)＝2x ＋sinx x 2＋1，则f(x)＝g(x)＋1.由g(－x)＝－2x －sinx x 2＋1

＝－g(x)及函数g(x)的定义域为R ，得函数g(x)是奇函数，故g(x)max 与g(x)min 互为相反数．故g(x)max ＋g(x)min ＝0.易知M ＝g(x)max ＋1，m ＝g(x)min ＋1，所以M ＋m ＝g(x)max ＋1＋g(x)min ＋1＝0＋2＝2.

11．B3[2012·安徽卷] 若函数f(x)＝|2x ＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.

11．－6 [解析] 容易作出函数f(x)的图像(图略)，可知函数f(x)在⎝⎛⎦⎤－∞，－a 2上单调递减，在⎣⎡⎭⎫－a 2，＋∞单调递增．又已知函数f(x)的单调递增区间是[3，＋∞)，所以－a 2

＝3，解得a ＝－6. 12．B2、D2[2012·四川卷] 设函数f(x)＝(x －3)3＋x －1，{a n }是公差不为0的等差数列，f(a 1)＋f(a 2)＋…＋f(a 7)＝14，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝( )

A ．0

B ．7

C ．14

D ．21

12．D [解析] 记公差为d ，则f(a 1)＋f(a 2)＋…＋f(a 7)＝(a 1－3)3＋(a 2－3)3＋…＋(a 7－3)3＋(a 1＋a 2＋…＋a 7)－7 ＝(a 4－3d －3)3＋(a 4－2d －3)3＋…＋(a 4＋2d －3)3＋(a 4＋3d －3)3＋7a 4－7＝7(a 4－3)3＋7×3(a 4－3)＋7a 4－7.

由已知，7(a 4－3)3＋7×3(a 4－3)＋7a 4－7＝14，即7(a 4－3)3＋7×3(a 4－3)＋7(a 4－3)＝0，∴(a 4－3)3＋4(a 4－3)＝0.

因为f(x)＝x 3＋4x 在R 上为增函数，且f(0)＝0，故a 4－3＝0，即a 4＝3，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝7×3＝21.

13．B3、B4[2012·陕西卷] 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )

A ．y ＝x ＋1

B ．y ＝－x 3

C ．y ＝1x

D ．y ＝x|x| 13．D [解析] 本小题主要考查函数的单调性、奇偶性，解题的突破口为单调性的定义、奇偶性的定义与函数图像的对应关系．若函数为单调增函数，其图像为从左向右依次上升；若函数为奇函数，其图像关于原点对称．经分析，A 选项函数的图像不关于原点对称，不是奇函数，排除；B 选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；C 选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；故选D.其实对于选项D ，我们也可利用x>0、x ＝0、x<0讨论其解析式，然后画出图像，经判断符合要求，故选D.

14．B3、B10[2012·北京卷] 某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图1－6所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为( )

A ．5

B ．7

C ．9

D ．11

14．C [解析] 本题考查利用函数图像识别函数值的变化趋势，也就是函数增减速度的快慢．法一：因为随着n 的

增大，S n 在增大，要使S n n 取得最大值，只要让随着n 的增大S n ＋1－S n 的值超过S n ＋1－S 1n

(平均变化)的加入即可，S n ＋1－S n 的值不超过S n ＋1－S 1n

(平均变化)的舍去，由图像可知，6,7,8,9这几年的改变量较大，所以应该加入，到第10,11年的时候，改变量明显变小，所以不应该加入，故答案为 C.法二：假设S m m 是S n n 取的最大值，所以只要S m m >S m ＋1m ＋1

即可，也就是S m －0m －0>S m ＋1－0＋－0

，即可以看作点Q m (m ，S m )与O(0,0)连线的斜率大于点Q m ＋1(m ＋1，S m ＋1)与O(0,0)连