1.2任意角测试题
《1.2 任意角的三角函数(3)》测试题
《1.2 任意角的三角函数（3）》测试题
一、选择题
1.已知，则的值是( ).
A. B. C. D.或
考查目的：考查同角的三角函数的平方关系和商数关系.
答案：B.
解析：∵，∴，∴.
2.若，则的值为( ).
A. B. C. D. 1
考查目的：考查同角的三角函数基本关系式.
答案：C.
解析：∵，∴，∴.
3.若，则( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查同角的三角函数的基本关系.
答案：C.
解析：∵，∴，又∵，，∴，解
得，由得，.
二、填空题
4.已知，则 .
考查目的：考查同角的三角函数的基本关系.
答案：.
解析：∵，∴，∴.
5.已知，则 .
考查目的：考查同角的三角函数基本关系式的灵活应用.
答案：.
解析：∵，∴，∴，∴.
6.若满足，则的值为 .
考查目的：考查同角的三角函数基本关系式的灵活应用.
答案：.
解析：由得，∴，而，∴，∴.
三、解答题
7.已知，计算的值.
考查目的：考查同角的三角函数关系式的灵活应用.
答案：.
解析：对分子、分母同时除以得，
.
8.已知，.
⑴求的值；
⑵求的值.
考查目的：考查同角的三角函数关系的综合应用能力.
答案：⑴；⑵.
解析：⑴∵，∴，∴.⑵.。
任意角的概念练习题
任意角的概念练习题任意角的概念练习题在几何学中，角是一个基本的概念。
我们可以通过角的度数来描述它的大小。
而任意角则是指度数可以是任意值的角。
在这篇文章中，我们将通过一些练习题来巩固和加深对任意角概念的理解。
1. 问题一：给定一个角的度数为60°，请问这个角是锐角、直角还是钝角？解答一：根据角的定义，锐角是指度数小于90°的角，直角是指度数等于90°的角，钝角是指度数大于90°的角。
因此，这个角是一个锐角。
2. 问题二：给定一个角的度数为180°，请问这个角是锐角、直角还是钝角？解答二：根据角的定义，锐角是指度数小于90°的角，直角是指度数等于90°的角，钝角是指度数大于90°的角。
因此，这个角是一个钝角。
3. 问题三：给定一个角的度数为90°，请问这个角是锐角、直角还是钝角？解答三：根据角的定义，锐角是指度数小于90°的角，直角是指度数等于90°的角，钝角是指度数大于90°的角。
因此，这个角是一个直角。
通过以上几个问题，我们可以看出，任意角可以是锐角、直角或钝角，取决于其度数的大小。
这也是任意角的特点之一。
在几何学中，我们还可以通过角的顶点和两条边的位置关系来描述角的类型。
例如，我们可以将角分为内角和外角。
内角是指两条边在角的内部相交的角，而外角是指一条边在角的外部与另一条边相交的角。
4. 问题四：给定一个内角的度数为120°，请问这个角是锐角、直角还是钝角？解答四：根据角的定义，锐角是指度数小于90°的角，直角是指度数等于90°的角，钝角是指度数大于90°的角。
因此，这个角是一个钝角。
5. 问题五：给定一个外角的度数为45°，请问这个角是锐角、直角还是钝角？解答五：根据角的定义，锐角是指度数小于90°的角，直角是指度数等于90°的角，钝角是指度数大于90°的角。
1.2角的概念推广基础练习题
1.2角的概念推广基础练习题一、单选题1．1000︒是以下哪个象限的角（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列各角中，与27︒角终边相同的是（ ） A ．63︒B ．153︒C ．207︒D ．387︒3．若角α为第二象限角，则角2α为（ ）象限角A ．第一B ．第一或第二C ．第二D ．第一或第三 4．下列说法正确的是（ ） A ．第一象限角一定小于90︒ B ．终边在x 轴正半轴的角是零角C ．若360k αβ+=⋅︒（k Z ∈），则α与β终边相同D ．钝角一定是第二象限角5．若角α与角β的终边关于y 轴对称，则必有（ ） A ．90αβ︒+=B ．36090()k k Z αβ︒︒+=⋅+∈C ．360()k k Z αβ︒+=⋅∈D ．(21)180()k k Z αβ︒+=+⋅∈6．下列各角中，与角330°的终边相同的是( ) A ．150°B ．－390°C ．510°D ．－150°7．已知集合A ＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}，则A ∩B ＝( ) A ．{α|α为锐角} B ．{α|α小于90°} C ．{α|α为第一象限角}D ．以上都不对8．与角2021︒终边相同的角是（ ） A ．221°B ．2021-︒C ．221-︒D ．139︒9．若α是第四象限角，则180°＋α一定是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角二、填空题 10．若角2θ的终边与4π的终边重合，且3θ∈[0,2)π，则4θ=_______________.11．2020是第______象限角.12．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么α∈________.13．终边在x 轴上的角α的集合是______.14．已知：①1240︒，②300-︒，③420︒，④1420-︒，其中是第一象限角的为_________(填序号).15．在0°到360°范围内与角380°终边相同的角α为________．三、解答题16．若角α是第二象限角，试确定2,2αα的终边所在位置．17．写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．18．如图，分别写出适合下列条件的角的集合．（1）终边落在射线OB 上； （2）终边落在直线OA 上；（3）终边落在阴影区域内（含边界）．参考答案1．D 【分析】首先写出终边相同的角的集合，再判断 【详解】10002360280=⨯+，280角的终边在第四象限，所以1000角的终边也是第四象限.故选：D 2．D 【分析】写出与27︒终边相同角的集合，取k 值得答案. 【详解】与27︒角终边相同的角的集合为{}27360,k k Z αα=︒+⋅︒∈， 取1k =，可得387α=︒. ∴与27︒角终边相同的是387︒. 故选：D 【点睛】本小题主要考查终边相同的角，属于基础题. 3．D 【分析】根据α的范围，求出2α的范围即可. 【详解】因为角α为第二象限角， 所以()22,2k x k k Z ππππ+<<+∈， 所以(),422x k k k Z ππππ+<<+∈，当2k n =()n Z ∈时，()22,422x n n n Z ππππ+<<+∈，此时2α是第一象限角；当21k n =+()n Z ∈时，()5322,422x n n n Z ππππ+<<+∈，此时2α是第三象限角； 所以2α是第一或第三象限角，【点睛】本题主要考查了象限角的范围，属于基础题. 4．D 【分析】分别由钝角、终边相同的角及象限角的概念逐一判断四个命题得答案． 【详解】A.第一象限角范围是2k πx 2k π,2k z π<<+,所以不一定小于90°.所以A 错误.B. 终边在x 轴正半轴的角α2k π,k z =.不一定是零角 . .所以B 错误C.若360,k αβ+=⋅︒则360,?k k z αβ=⋅︒-. 则α应与β-终边相同. .所以C 错误D.因为钝角的取值范围为,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，所以钝角一定是第二象限角. .所以D 正确. 故答案为D. 【点睛】本题考查了任意角的概念，象限角，是基础的概念题． 5．D 【分析】根据角α与角β的终边关于y 轴对称，有12129036090360,,k k k k Z αβ，即可得解.【详解】角α与角β的终边关于y 轴对称， 所以12129036090360,,k k k k Z αβ，21129036090360360180k k k k αβ，12,k k Z ∈即360180(21)180,kkkZ αβ，故选：D 【点睛】此题考查根据两个角的终边的对称关系求解角的关系，关键在于准确将对称关系转化成代数6．B 【解析】分析：由终边相同的角的公式，表示出与角330的终边相同的角，再进行验证即可. 详解：与角330的终边相同的角为()360330k k Z α=⋅+∈， 令2k =-，可得390α=-，故选B.点睛：本题主要考查终边相同的角，考查了终边相同的角的表示方法，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题. 7．D 【分析】先根据题意得出A ∩B ，再比较A ∩B 与小于90°的角、锐角和第一象限角的关系，这种问题可以通过列举出特殊角来得到结论． 【详解】解：∵A ＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}， ∴A ∩B ＝{小于90°且在第一象限的角}，对于A ：小于90°的角不一定是第一象限的，不正确，比如﹣30°；对于B ：小于90°的角且在第一象限的角不一定是0°～90°的角，不正确，例如﹣300°； 对于C ：第一象限的角不一定是小于90°的角且在第一象限的角，不正确，例如380°， 故选D ． 【点睛】此题考查了象限角、任意角的概念，交集及其运算，熟练掌握基本概念是解本题的关键． 8．A 【分析】根据终边相同的角相差360的整数倍，逐个判断即可. 【详解】2021360=5︒÷余221，故A 正确，B 、 C 、 D 中的角均不与角2021︒终边相同.故选：A . 【点睛】本题考查了终边相同角的概念，考查了简单的计算，属于概念题，本题属于基础题. 9．B 【分析】通过α是第四象限角，写出其对应角的集合，然后求出180°+α对应角的集合即可得到答案． 【详解】∵α是第四象限角，∴k ·360°－90°<α<k ·360°.∴k ·360°＋90°<180°＋α<k ·360°＋180°. ∴180°＋α在第二象限， 故选B. 【点睛】本题考查了象限角和轴线角，基本知识的考查，深刻理解基本概念是解题的关键． 10．24π或38π 【分析】由终边相同角的关系得出4,363k k Z θππ=+∈，再由3θ的范围确定θ，进而得出4θ.【详解】 由题意可知，2,24k k Z θππ=+∈，则4,363k k Z θππ=+∈ 3θ∈[0,2)π，6πθ=或32πθ=则348θπ=或424θπ= 故答案为：24π或38π【点睛】本题主要考查了终边相同的角性质的应用，属于基础题. 11．三 【分析】把2020︒写成360k α+︒,)0,360,k Z α⎡∈∈⎣，然后判断α所在的象限，则答案可求． 【详解】20205360220︒=⨯︒+︒，2020∴︒与220︒角的终边相同，为第三象限角．故答案为三． 【点睛】本题考查了象限角，考查了终边相同的角，是基础题． 12．{}|180********,n n n αα⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈Z . 【分析】 首先确定0360范围内角α的范围，根据终边相同角的定义可求得满足题意的角α的范围. 【详解】 在0360范围内，终边落在阴影内的角α满足：30150α<<或210330α<<∴满足题意的角α为：{}{}30360150360210360330360k k k k αααα+⋅<<+⋅⋃+⋅<<+⋅{}{}302180150218021021803302180k k k k αααα=+⋅<<+⋅⋃+⋅<<+⋅ {}()(){}3021801502180302118015021180k k k k αααα=+⋅<<+⋅⋃++⋅<<++⋅{}30180150180n n αα=+⋅<<+⋅，k Z ∈，n Z ∈本题正确结果：{}30180150180,n n n Z αα+⋅<<+⋅∈ 【点睛】本题考查根据终边位置确定角所处的范围，重点考查了终边相同的角的定义，属于基础题. 13．{}|,k k Z ααπ=∈ 【分析】直接利用终边相同角的概念得到答案. 【详解】解：终边在x 轴上的角α的集合是{}|,k k Z ααπ=∈，故答案为：{}|,k k Z ααπ=∈ 【点睛】本题考查了角的终边，属于简单题. 14．②③④ 【分析】利用终边相同的角转化到0360︒︒判断.【详解】因为12401080160︒=︒+︒，30036060-︒=-︒+︒，42036060︒=︒+︒，1420436020-=-⨯+︒︒︒.所以②300-︒，③420︒，④1420-︒是第一象限角， 故答案为：②③④ 【点睛】本题主要考查象限角以及终边相同的角的应用，属于基础题 15．20° 【详解】与角380°终边相同的角α为380360,()k k Z α=+⋅∈， 又α在0°到360°，所以1,20.k α=-= 【点睛】1.若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为)22()(0k k Z πααπ+≤<∈的形式，然后再根据α所在的象限予以判断．2．利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角． 16．角2α的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上,2α的终边在第一象限或第三象限. 【分析】写出第二象限角的集合，然后利用不等式的基本性质得到2α，2α．【详解】 ∵角是第二象限角，∴ 22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，（1）4242,k k k Z ππαππ+<<+∈，∴ 角2α的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上． （2）,422k k k Z παπππ+<<+∈，当2,k n n Z =∈时， ∴ 22,422n n n Z παπππ+<<+∈，∴2α的终边在第一象限． 当21,k n n Z =+∈时， ∴5322,422n n n Z παπππ+<<+∈， ∴2α的终边在第三象限． 综上所述，2α的终边在第一象限或第三象限．【点睛】本题考查了象限角和轴线角，关键是写出第二象限角的集合，是基础题 17．{β|β＝k ·360°－1 910°，k ∈Z }；元素β见解析 【分析】把α＝－1 910°加上360k ⋅︒可得与α＝－1 910°终边相同的角的集合，分别取k ＝4，5，6，求得适合不等式－720°≤β＜360°的元素β. 【详解】与α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k ·360°－1910°，k ∈Z }． ∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k ·360°－1 910°＜360°(k ∈Z )，∴1111363636k ≤< (k ∈Z )，故取k ＝4,5,6.k ＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°； k ＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°； k ＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°. 【点睛】该题考查的是有关角的概念的问题，涉及到的知识点有终边相同的角的集合，终边确定，落在某个范围内的角的大小的确定，属于简单题目.18．（1）{}160360,S k k Z αα==+⋅∈；（2）{}230180,S k k Z αα==+⋅∈；（3）{}33018060180,S k k k Z αα=+⋅≤≤+⋅∈【分析】（1）可得出终边落在射线OB 上的一个角为60，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线OB 上的角的集合；（2）可得出终边落在射线OB 上的一个角为30，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线OB 上的角的集合；（3）分别写出第一象限和第三象限中阴影部分区域所表示的角的集合，然后将两个集合取并集可得出结果. 【详解】（1）终边落在射线OB 上的角的集合为{}160360,S k k Z αα==+⋅∈； （2）终边落在直线OA 上的角的集合为{}230180,S k k Z αα==+⋅∈； （3）终边落在第一象限中的阴影部分区域的角的集合为{}3036060360,k k k Z αα+⋅≤≤+⋅∈，终边落在第三象限中的阴影部分区域的角的集合为{}210360240360,k k k Z αα+⋅≤≤+⋅∈{}3018036060180360,k k k Z αα=++⋅≤≤++⋅∈()(){}30211806021180,k k k Z αα=++⋅≤≤++⋅∈，因此，终边落在阴影区域内的角的集合为{}33036060360,S k k k Z αα=+⋅≤≤+⋅∈⋃()(){}30211806021180,k k k Z αα++⋅≤≤++⋅∈ {}3018060180,k k k Z αα=+⋅≤≤+⋅∈.【点睛】本题考查角的集合的表示，解题的关键就是要找出阴影部分区域边界线对应的角的集合，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.答案第9页，总9页。
高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数(1)课时提升作业1新人教A版必修4
任意角的三角函数(一）(15分钟30分）一、选择题（每小题4分，共12分)1。
求值sin750°=( ）A。
- B. — C.D。
【解析】选C.sin 750°= sin（2×360°+ 30°)=sin 30°=。
2.(2015·晋江高一检测）如果角θ的终边经过点(，-1），那么cosθ的值是( ）A.—B。
- C. D.【解析】选C。
点（，-1）到原点的距离r==2，所以cosθ=.【延伸探究】将本题中点的坐标改为(—1，），求sinθ-cosθ。
【解析】点（-1,）到原点的距离r==2，所以sinθ=，cosθ=-,所以sinθ-cosθ=—=。
3.(2015·北京高一检测）已知α∈（0,2π)，且sinα<0，cosα〉0,则角α的取值范围是( ）A。
B.C. D.【解析】选D。
因为sinα〈0，cosα〉0，所以角α是第四象限角，又α∈(0，2π），所以α∈.二、填空题（每小题4分，共8分)4。
求值：cosπ+tan=______【解析】cosπ=cos=cos=,tan=tan=tan=，所以cosπ+tan=+.答案：+5.(2015·南通高一检测)若角135°的终边上有一点(—4，a），则a的值是________.【解析】因为角135°的终边与单位圆交点的坐标为，所以tan 135°==-1，又因为点(—4，a)在角135°的终边上，所以tan 135°=,所以=-1,所以a=4.答案：4【补偿训练】如果角α的终边过点P(2sin 30°，—2cos 30°）,则cosα的值等于________。
【解析】2sin 30°=1,—2cos 30°=—，所以r=2，所以cosα=.答案：三、解答题6.（10分)判断下列各式的符号.（1)sinα·cosα（其中α是第二象限角）。
高中数学第一章三角函数1.2任意角作业含解析北师大版第二册
二任意角(15分钟30分)1。
-361°角的终边落在（)A。
第一象限B。
第二象限C。
第三象限 D.第四象限【解析】选D。
因为-361°角的终边和-1°角的终边相同，所以它的终边落在第四象限.2.设A={小于90°的角｝,B={锐角},C={第一象限角},D={小于90°而不小于0°的角｝，那么有（）A.B∩C=AB.B=A∩CC.D=A∩CD.C∩D=B【解析】选D。
锐角、小于90°而不小于0°的角、小于90°的角及第一象限角的范围,如表所示.角集合表示锐角B=｛α｜0°〈α〈90°}小于90°而D=｛α｜0°≤α<90°｝不小于0°的角小于90°的角A=｛α｜α<90°｝第一象限角C={α｜k·360°〈α〈k·360°+90°,k∈Z}3.若α是第四象限角,则180°—α是（）A.第一象限角B。
第二象限角C。
第三象限角 D.第四象限角【解析】选C。
可以给α赋一特殊值-60°，则180°—α=240°，故180°—α是第三象限角.4。
已知角α=-3 000°,则与角α终边相同的最小正角是________. 【解析】因为—3 000°=-9×360°+240°,所以与—3 000°角终边相同的最小正角为240°.答案：240°5。
在-180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角是________. 【解析】因为2 000°=200°+5×360°,2 000°=-160°+6×360°，所以在-180°~360°范围内与2 000°角终边相同的角有-160°,200°两个。
1.2.1任意角的三角函数题型全归纳
1.2.1任意角的三角函数题型全归纳题型一、三角函数的定义及应用【例1】 (1)若角α的终边经过点P (5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________， tan α＝________.(2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．(3)已知角α的终边过点(,2)m m ,0m ≠,求角α的的正弦值、余弦值.【类题通法】利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． 法二：注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a ，b )，则对应角的正弦值sin α＝b a 2＋b 2，余弦值cos α＝a a 2＋b2，正切值tan α＝ba . (2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 变式1：已知角α的终边过点P (12，a )，且tan α＝512，求sin α＋cos α的值．变式2：已知点1)2P -在角θ的终边上，且[0,2)θπ∈，则θ的值为 （ ） A ．56π B.23π C.116π D ．53π题型二、三角函数值符号的运用【例2】 (1)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角(2)点P (tanα,cosα)在第三象限,则角α的终边在第 象限. (3)判断下列各式的符号：①sin 105°·cos 230°； ②cos 3·tan ⎝⎛⎭⎫－2π3. 【类题通法】三角函数值的符号规律(1)当角θ为第一象限角时，sin θ>0，cos θ>0或sin θ>0，tan θ>0或cos θ>0，tan θ>0，反之也成立； (2)当角θ为第二象限角时，sin θ>0，cos θ<0或sin θ>0，tan θ<0或cos θ<0，tan θ<0，反之也成立； (3)当角θ为第三象限角时，sin θ<0，cos θ<0或sin θ<0，tan θ>0或cos θ<0，tan θ>0，反之也成立； (4)当角θ为第四象限角时，sin θ<0，cos θ>0或sin θ<0，tan θ<0或cos θ>0，tan θ<0，反之也成立． 变式3：若sin 2α＞0，且cos α＜0，试确定α终边所在的象限．变式4：在△ABC 中，若sin A ·cos B ·tan C ＜0，则△ABC 的形状是 ( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不能确定变式5：函数sin cos tan |sin ||cos ||tan |x x xy x x x =++的值域题型三、诱导公式一的应用【例3】 计算下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π.【类题通法】诱导公式一的应用策略应用诱导公式一时，先将角转化到0～2π范围内的角，再求值．对于特殊角的三角函数值一定要熟记． 变式6：求下列各式的值： (1)sin25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°. （3）sin ⎝⎛⎭⎫－196π＝________. 变式7：化简下列各式： (1)a cos 180°＋b sin 90°＋c tan 0°； (2)p 2cos 360°＋q 2sin 450°－2pq cos 0°； (3)a 2sin π2－b 2cos π＋ab sin 2π－ab cos 3π2.题型四 角的对称问题例4.已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32B.32 C ．－12 D.12变式8：．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．题型五、三角函数线的作法【例5】 作出3π4的正弦线、余弦线和正切线．【类题通法】三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．(2)作正切线时，应从A (1,0)点引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T ，即可得到正切线AT .变式9：作出－9π4的正弦线、余弦线和正切线．题型六、利用三角函数线比较大小【例6】 分别比较sin 2π3与sin 4π5；cos 2π3与cos 4π5；tan 2π3与tan 4π5的大小．【类题通法】利用三角函数线比较大小的步骤利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．变式10：设π4<α<π2，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果π2<α<3π4，上述长度关系又如何？题型七、利用三角函数线解不等式【例7】 利用三角函数线，求满足下列条件的α的范围． (1)sin α<－12；(2)cos α>32.【类题通法】利用三角函数线解三角不等式的方法利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点，一般来说，对于sin x ≥b ，cos x ≥a (或sin x ≤b ，cos x ≤a )，只需作直线y ＝b ，x ＝a 与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x 的范围；对于tan x ≥c (或tan x ≤c )，则取点(1，c )，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图像可得． 变式11：利用三角函数线求满足tan α≥33的角α的范围．变式12：求函数f (x )＝lg(3－4sin 2x )＋1＋2cos x 的定义域．题型八 利用三角函数线进行证明例8.用单位圆证明角α的正弦绝对值与余弦绝对值之和不小于1，即已知0≤α＜2π， 求证：|sin α|＋|cos α|≥1.变式13：求证：当α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，sin α<α<tan α.1.2.1任意角的三角函数题型全归纳参考答案【例1】 (1)[答案] －1213 513 －125(2)[解] 直线3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，3)，则r ＝ －1 2＋ 3 2＝2，所以sin α＝32，cos α＝－12，tan α＝－3； 在第四象限取直线上的点(1，－3)，则r ＝12＋ －3 2＝2，所以sin α＝－32，cos α＝12，tan α＝－ 3.（3）当0m <时，,sin r αα===当0m >时，,sin r αα===变式1：1713. 变式2：【答案】C 【例2】(1)[答案] C (2) 【答案】二（3）①sin 105°·cos 230°<0. ②cos 3·tan ⎝⎛⎭⎫－2π3<0. 变式3：解：因为sin 2α＞0，所以2k π＜2α＜2k π＋π(k ∈Z )，所以k π＜α＜k π＋π2(k ∈Z )．当k 为偶数时，α是第一象限角；当k 为奇数时，α为第三象限角．所以α为第一或第三象限角． 又因为cos α＜0，所以α为第三象限角．变式4：【答案】 B 变式5：{3，-1} 【例3】(1)＝1＋64. (2) 12.变式6：(1)32＋1； (2) 1；（3）12变式7：(1)－a ＋b ；(2)(p －q )2；(3)a 2＋b 2.例4.【答案】 D 【解析】因为角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )，又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.变式8：【答案】(－1，3)【例5】 [解] 角3π4的终边(如图)与单位圆的交点为P .作PM 垂直于x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线AT ，与3π4的终边的反向延长线交于点T ，则3π4的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT .变式9：解：如图所示，－9π4的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT . 【例6】 [解] 在直角坐标系中作单位圆如图所示．以x 轴非负半轴为始边作2π3的终边与单位圆交于P 点，作PM ⊥Ox ，垂足为M .由单位圆与Ox 正方向的交点A 作Ox 的垂线与OP 的反向延长线交于T 点，则sin 2π3＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π3＝AT .同理，可作出4π5的正弦线、余弦线和正切线，sin 4π5＝M ′P ′，cos 4π5＝OM ′，tan 4π5＝AT ′.由图形可知，MP >M ′P ′，符号相同，则sin 2π3>sin 4π5；OM >OM ′，符号相同，则cos 2π3>cos 4π5；AT <AT ′，符号相同，则tan 2π3<tan 4π5.变式10：解：如图所示，当π4<α<π2时，角α的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT ，显然在长度上，AT >MP >OM ；当π2<α<3π4时，角α的正弦线为M ′P ′，余弦线为OM ′，正切线为AT ′，显然在长度上，AT ′>M ′P ′>OM ′.【例7】(1)如图①，过点⎝⎛⎭⎫0，－12作x 轴的平行线交单位圆于P ，P ′两点，则sin ∠xOP ＝sin ∠xOP ′＝－12，∠xOP ＝11π6，∠xOP ′＝7π6， 故α的范围是⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫7π6＋2k π<α<11π6＋2k π，k ∈Z .(2)如图②，过点⎝⎛⎭⎫32，0作x 轴的垂线与单位圆交于P ，P ′两点，则cos ∠xOP ＝cos ∠xOP ′＝32，∠xOP ＝π6，∠xOP ′＝－π6，故α的范围是⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫－π6＋2k π<α<π6＋2k π，k ∈Z . 变式11：解：如图，过点A (1,0)作单位圆O 的切线，在切线上沿y 轴正方向取一点T ，使AT ＝33，过点O ，T 作直线，则当角α的终边落在阴影区域内(包含所作直线，不包含y 轴)时，tan α≥33.由三角函数线可知，在[0°，360°)内，tan α≥33，有30°≤α<90°或210°≤α<270°，故满足tan α≥33，有k ·180°＋30°≤α<k ·180°＋90°，k ∈Z .变式12：【解析】要使函数有意义，应有⎩⎪⎨⎪⎧3－4sin 2x >0，1＋2cos x ≥0，由3－4sin 2x >0得，sin 2x <34，∴－32<sin x <32.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图(1)阴影部分所示)，∴x ∈(k π－π3，k π＋π3)(k ∈Z )．由1＋2cos x ≥0得，cos x ≥－12，利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围如图(2)．∴x ∈[2k π－2π3，2k π＋2π3]，k ∈Z . 综上知，x ∈(2k π－π3，2k π＋π3)，k ∈Z .例8.证明：作平面直角坐标系xOy 和单位圆．(1)当角α的终边落在坐标轴上时，不妨设为Ox 轴，设它交单位圆于A 点，如图1，显然sin α＝0，cos α＝OA ＝1，所以|sin α|＋|cos α|＝1.图1图2变式13：证明：如图所示，设角α的终边与单位圆相交于点P ，单位圆与x 轴正半轴的交点为A ，过点A 作圆的切线交OP 的延长线于T ，过P 作PM ⊥OA 于M ，连接AP ，则在Rt △POM 中，sin α＝MP ，在Rt △AOT 中，tan α＝AT ，又根据弧度制的定义，有AP ︵＝α·OP ＝α，易知S △P O A <S 扇形P O A <S △A O T ，即12OA ·MP <12AP ︵·OA <12OA ·AT ，即sin α<α<tan α.。
1.2任意角的三角函数
1.2 任意角的三角函数例题1.有下列命题：（1）终边相同的角的同名三角函数的值相等；（2）终边不同的角的同名三角函数的值不等；（3）若sin α＞0，则α是第一、二象限的角；（4）若α是第二象限的角，且P （x ，y ）是其终边上一点，则cos α=22y x x+-。
其中正确的命题个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4例题2.已知角α的终边上一点P （15-，7），求角α的正弦、余弦和正切值例题3.已知角α的终边过点P （－3a ，4a ）（a ≠0），则2sin α+cos α的值为________例题4.求下列函数的定义域：（1）y=sinx+tanx （2）x xx y tan cos sin +=例题5.判断下列各式的符号：（1）tan1910－cos1910 （2）sin2cos3tan4例题6.若角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在（ ）A 、y 轴上B 、x 轴上C 、直线y=x 上D 、直线y=－x 上例题7.利用三角函数线比较下列各组数的大小（1）32sin π与54sin π（2）32tan π与54tan π（3）32cos π与54cos π例题8.在单位圆中画出满足sin α=0.5的角α的终边。
例题9.（1）计算ππ512cos )611sin(+-·π4tan （2）确定tan （－6720）的符号例题10.如果sin α=54，且α是第二象限角，那么tan α的值等于（ ）A 、34- B 、43C 、43±D 、34±例题11.化简：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---+∙⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+ααααααααcos 1cos 1cos 1cos 1sin 1sin 1sin 1－sin 1（2）ααααααcos sin 2cot cos tan sin 22++例题12.已知角α的终边上一点P （m ，3），且cos α=410，求sin α，tan α的值例题13.求sin （－12000）·cos12900+cos （－10200）·sin （－10500）+tan9450的值例题14.化简下列各式：（1）a 2sin （－13500）+b 2tan4050－2abcos （－10800）；（2）πππ4tan 512cos 611sin ∙+⎪⎭⎫ ⎝⎛-例题15.化简下列各式：（1）02400sin 1-；（2）0200010sin 110sin 10cos 10sin 21---例题16.化简：ααααααcos sin 1cos sin 2cos sin 1+++++例题17.求证：x xx x cos sin 1sin 1cos +=-例题18.已知tan 2α=2tan 2β+1，求证：sin 2β=2sin 2α－1例题19.已知11tan tan -=-αα，求下列各式的值。
人教版高中数学必修四第一章三角函数1.2任意角的三角函数(教师版)【个性化辅导含答案】
任意角的三角函数__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系； 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法||。
3.牢固掌握同角三角函数的两个关系式||，并能灵活运用于解题. （一）任意角的三角函数： 任意点到原点的距离公式：22y x r +=1.三角函数定义：在直角坐标系中||，设α是一个任意角||，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ||，它与原点的距离为(0)r r ==>||，那么（1）比值y r 叫做α的正弦||，记作sin α||，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦||，记作cos α||，即cos xr α=；（3）比值y x 叫做α的正切||，记作tan α||，即tan yxα=；（4）比值x y 叫做α的余切||，记作cot α||，即cot x yα=； 2.说明：（1）α的始边与x 轴的非负半轴重合||，α的终边没有表明α一定是正角或负角||，以及α的大小||，只表明与α的终边相同的角所在的位置；（2）根据相似三角形的知识||，对于确定的角α||，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； （3）当()2k k Z παπ=+∈时||，α的终边在y 轴上||，终边上任意一点的横坐标x 都等于0||，所以tan yxα=无意义；同理当()k k Z απ=∈时||，y x =αcot 无意义；（4）除以上两种情况外||，对于确定的值α||，比值y r 、x r 、y x、xy 分别是一个确定的实数||。
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任 意 角
一、选择题：
1. 下列命题中正确的是( )
A ．终边在y 轴非负半轴上的角是直角
B ．第二象限角一定是钝角
C ．第四象限角一定是负角
D.若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同
2．下列角中终边与330°相同的角是（ ）
Α.30° B.-30° C.630° D.-630°
3．在［360°，1440°］中与－21°16′终边相同的角有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．与120°角终边相同的角是( )
A ．－600°＋k ·360°，ｋ∈Ｚ
B ．－120°＋k ·360°，ｋ∈Ｚ
C ．120°＋(2k ＋1）·180°，ｋ∈Ｚ
D ．660°＋k ·360°，ｋ∈Ｚ
5．终边落在X 轴上的角的集合是（ ）
Α.{ α|α=k ·360°,K ∈Z } B.{ α|α=(2k+1)·180°,K ∈Z }
C.{ α|α=k ·180°,K ∈Z }
D.{ α|α=k ·180°+90°,K ∈Z }
6.若α是第四象限角，则180°－α一定是（ ）
Α.第一象限角 B. 第二象限角
C.第三象限角
D. 第四象限角
7. 今天是星期一，100天后的那一天是（ ）
Α. 星期二 B. 星期三 C. 星期四 D. 星期一
8．若α是第二象限角，则3
α一定不是（ ） Ａ．第一象限角 Ｂ．第二象限角
Ｃ．第三象限角 Ｄ．第四象限角
9．角α＝45°＋ｋ·180°，ｋ∈Ｚ的终边落在 ( )
A ．第一或第三象限
B ．第一或第二象限
C ．第二或第四象限
D ．第三或第四象限
10．设o {90A =小于的角｝，{B =锐角｝，{C ＝第一象限的角｝
，00{900}D =小于而不小于的角 ，那么有（ ）．
A ．
B
C A B ．B A C C ．
D (A C ) D ．C D =B
二、填空题： 11．与1840°终边相同的最小正角为 ，与－1840°终边相同的最小正角是 ．
12．钟表经过4小时，时针与分针各转了 (填度)．
13．若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________．
14．若角α、β的终边互为反向延长线，则α与β之间的关系是__________________．
15．第二象限角的集合可表示为 ．
三、解答题：
16．写出与370°23′终边相同角的集合S ，并把S 中在－720°～360°间的角写出来．
参考答案
一、选择题：
1．D 2．Ｂ 3．Ｃ ４．Ａ ５．Ｃ ６．Ｃ ７．Ｂ ８．Ｃ ９．Ａ 10．Ｄ
二、填空题：
11．40° 320° 12．－120°－1440° 13．{α|α=k ·360°+135°,k ∈z }
14．α-β=(2k+1).180°,k ∈z,两者相关180°的奇数倍。
15．｛α｜90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°，k ∈Z ｝
三、解答题：
16．Ｓ＝｛α｜α＝10°23′＋k ·360°，k ∈Z ｝
在－720°～360°之间的角分别是10°23′ －349°37′ －709°37′
17．(1)｛α｜45°＋k ·180°＜α＜90°＋k ·180°，k ∈Z }
(2)｛α｜－150°＋k ·360°＜α＜150°＋k ·360°，k ∈Z }
18．(1)∵00000
660360300236060=+=⨯-
∴与0660终边相同的最小正角是0300，最大负角是060-，它是第四象限的角；
（2）∵000095008'336012952'236023008'-=-⨯+=-⨯-0 ∴与95008'-0角终边相同的最小正角是012952'，最大负角是023008'-，它是第二象限角．。