2.1.2《空间中直线与直线之间的位置关系》课件
直线与直线之间的位置关系 ppt课件
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3、两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则 直线a，b的位置关系是（D） （A）一定是异面直线（B）一定是相交直线 （C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线 4、一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它 和另一条的位置关系是( D)
（A）平行（B）相交（C）异面（D）相交或异面
观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, … 之间有何关系？
a
b
c
d
e
a∥ b ∥ c ∥ d ∥ e ∥ …
公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行． ———平行线的传递性
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二、空间直线的平行关系
1、平行关系的传递性
公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相
B
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(3) 直线 AB, BC , CD, DA, AB, A BC , C D, DA 与直线 AA都垂直.
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课堂练习1
如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求 (1)BE与CG所成的角？ (2)FO与BD所成的角？ 解: (1)如图: ∵BF∥CG，∴∠EBF(或其补角)为异面直线 BE与CG所成的角，
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巩固： 1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为： ⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.
b
a ⑴
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巩固： 1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为： ⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.
b
a ⑴
b
a ⑵
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系(交点)
+3 x+
= 1 2
0
重合
2x - 6 y = 0
(3)
y
=1 3x源自+1 2平行
5
例1、求经过原点及两条直线L1:x-2y+2=0, L2:2x-y-2=0的交点的直线的方程.
6
例2 当 k 为何值时，直线 y = kx + 3
过直线 2x - y + 1 = 0 与 y = x + 5 的交点?
§7.3.3直线与直线的位置关系 （交点）
主讲：南平高级中学 胡敬衡
1
解下列方程组
3x + 4 y - 2 = 0
(1)
2
x
+
y
+
2
=
0
2x - 6 y = 0
(3)
y
=
1 3
x
+
1 2
2x - 6 y + 3 = 0
(2)
y = 1 x+ 1 32
2
由直线方程的概念，我们知道，直线上的一点一定与二元一次 方程的一组解对应，那么，如果现在有两条直线相交于一点， 那么这一点与两条直线的方程又有何关系?如果我们想要在已 知两直线方程的前提下求出交点，又应如何?这一交点是否与 两直线方程有着一定的关系呢?
-1= 0 -2=0
(2)
l1 : (
3-
2)x + y = 7
l2 : x + ( 3 + 2) y - 6 = 0
(3)
l1l:23:x4+x
5y + 3y
1= 0 =5
12
7
例3、已知两直线 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0， 问当m为何值时，直线l1与l2： ① 相交，② 平行，③ 重合，④ 垂直
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
目 录/contents
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问 题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
2.1.2 空间中直线与直线之间 的位置关系
立交桥
六角螺母
C A
D B
两条直线 既不平行 也不相交
1.理解空间两直线的位置关系，并掌握异面直线的 定义.（重点）
2.掌握平行公理、等角定理及其推论，并会应用它们 去解决简单问题.（重点）
3.理解异面直线所成角的定义，并会求两异面直线所 成的角. （难点）
（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，
那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.（ √ ）
2.填空： (1) 空间两条不重合的直线的位置关系有 平行 、
相交 、异面 三种. (2)没有公共点的两条直线可能是 平行 直线，也有 可能是异面直线. (3)和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条 的位置关系是 相交、异面 . (4)过已知直线上一点可以作 无数 条直线与已 知直线垂直.
∠ADC与∠A′D′C′相等， ∠ABC与∠A′B′C′相等.
3. 等角定理 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么
这两个角相等或互
F
E
定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线
分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
三、两条异面直线所成的角
如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点 O，过O点分别作 a、b的平行线 a′和 b′， 则这两 条线所成的锐角θ（或直角），称为异面直线a，b所 成的角.
2.1.2_空间中直线与直线之间的位置关系_课件
奎屯 新疆
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复习引入： 1、同一平面内不重合两条直线有几种位置 关系？
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(1)、相交：有且仅有一个公共点。 (2)、平行：在同一平面内没有公共点。
2、在同一平面内，同平行于一条直线的两 条直线有什么位置关系？ 互相平行 提出问题：空间中的两条直线呢？
C G H E
A
D B
三对 AB与CD
AB与GH
EF与GH
F 3. l1 , l2 , 则l1 , l2一定是异面直线吗？
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空间中两条直线的位置关系
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空间两条直线的位置关系有且只有三种
平行直线 共面直线 相交直线 异面直线
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3. 等角定理
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定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补。
A B D E F
C
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3. 等角定理
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定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补。
3
1.空间中两条直线的位置关系 观察： 观察教室内的日光灯管所在直线与黑 板的左右两侧所在的直线,想一想:它 们相交吗?平行吗?共面吗? 观察上方体的棱所在 直线,回答类似的问题.
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思考：我们把具有上述特征的两条 直线取个怎样的名字才好呢？
分析： 欲证EFGH是一个平行四边形 只需证EH∥FG且EH＝FG E A H D G
连结BD,只需证： 1 EH ∥BD且EH ＝ BD
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系知识点一 空间两直线的位置关系思考 在同一平面内，两条直线有几种位置关系？观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？答案 平行与相交．教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线AB 与CD . 梳理 异面直线的概念(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线． (2)异面直线的画法(衬托平面法)如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．(3)判断两直线为异面直线的方法 ①定义法；②两直线既不平行也不相交． (4)空间两条直线的三种位置关系 ①从是否有公共点的角度来分：⎩⎨⎧没有公共点⎩⎪⎨⎪⎧平行异面有且仅有一个公共点——相交②从是否共面的角度来分：⎩⎨⎧在同一平面内⎩⎪⎨⎪⎧平行相交不同在任何一个平面内——异面知识点二 平行公理(公理4)思考 在平面内，直线a ，b ，c ，若a ∥b ，b ∥c 则a ∥c .该结论在空间中是否成立？ 答案 成立．梳理平行公理的内容(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．(2)符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a∥bb∥c⇒a∥c.知识点三等角定理思考观察图，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠D′A′B′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？答案从图中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠D′A′B′＝180°.梳理空间中如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补．知识点四异面直线所成的角思考在长方体A1B1C1D1—ABCD中，BC1∥AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？答案相等．梳理定义前提两条异面直线a，b作法经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b结论我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90°.特殊情况当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.类型一异面直线的判断例1如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS是异面直线的是()答案 C解析本题容易错选A或B或D.不能严格根据异面直线的定义对两直线的位置关系作出正确判断，仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择．A，B中，PQ∥RS，D中，PQ和RS 相交．故选C.反思与感悟判断两直线是否为异面直线，只需判断它们是否相交、平行．只要既不相交，也不平行，就是异面直线．跟踪训练1如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH 这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？解还原的正方体如图所示，是异面直线的共三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.类型二公理4及等角定理的应用例2已知E，E′分别是正方体ABCD－A′B′C′D′的棱AD，A′D′的中点．(1)求证：四边形BB′E′E为平行四边形；(2)求证：∠BEC＝∠B′E′C′.证明(1)如图所示，因为E，E′分别是AD，A′D′的中点，所以AE∥A′E′，且AE＝A′E′.所以四边形AEE′A′是平行四边形．所以AA′∥EE′，且AA′＝EE′.又因为AA′∥BB′，且AA′＝BB′，所以EE′∥BB′，且EE′＝BB′.所以四边形BEE ′B ′是平行四边形．(2)由(1)知，四边形BB ′E ′E 为平行四边形，所以BE ∥B ′E ′. 同理可证CE ∥ C ′E ′.又∠BEC 与∠B ′E ′C ′的两边方向相同， 所以∠BEC ＝∠B ′E ′C ′. 引申探究本例2中取C ′D ′的中点G ′，求证四边形ACG ′E ′为梯形． 证明 连接A ′C ′.∵E ′，G ′分别为A ′D ′，C ′D ′的中点， ∴E ′G ′綊12A ′C ′.∵AA ′綊CC ′，∴四边形ACC ′A ′是平行四边形， ∴A ′C ′綊AC ，∴E ′G ′綊12AC ，∴四边形ACG ′E ′是梯形． 反思与感悟 (1)公理4的作用公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法． (2)剖析“等角定理”①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等． ②如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补．③如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相反，那么这两个角相等． 跟踪训练2 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是AB ，BB 1，BC 的中点．求证：△EFG ∽△C 1DA 1.证明 如图，连接B 1C .因为G ，F 分别为BC ，BB 1的中点， 所以GF 綊12B 1C .又ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体， 所以CD 綊AB ，A 1B 1綊AB ， 由公理4知CD 綊A 1B 1，所以四边形A 1B 1CD 为平行四边形， 所以A 1D 綊B 1C .又B 1C ∥FG ， 由公理4知A 1D ∥FG .同理可证：A 1C 1∥EG ，DC 1∥EF .又∠DA 1C 1与∠EGF ，∠A 1DC 1与∠EFG ，∠DC 1A 1与∠GEF 的两边分别对应平行且均为锐角，所以∠DA 1C 1＝∠EGF ，∠A 1DC 1＝∠EFG ，∠DC 1A 1＝∠GEF . 所以△EFG ∽△C 1DA 1. 类型三 求异面直线所成的角例3 空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，且AB 与CD 所成锐角为30°，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 与AB 所成角的大小．解 如图所示，取AC 的中点G ，连接EG ，FG ，则EG 綊12AB ，GF 綊12CD ，由AB ＝CD 知EG ＝FG ，从而可知∠GEF 为EF 与AB 所成角，∠EGF 或其补角为AB 与CD 所成角． ∵AB 与CD 所成角为30°， ∴∠EGF ＝30°或150°，由EG ＝FG 知△EFG 为等腰三角形， 当∠EGF ＝30°时，∠GEF ＝75°， 当∠EGF ＝150°时，∠GEF ＝15°，故EF 与AB 所成角的大小为15°或75°.反思与感悟 求两条异面直线所成的角的一般步骤(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角． (2)计算角：求角度，常利用三角形．(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．跟踪训练3 在空间四边形ABCD 中，两条对边AB ＝CD ＝3，E ，F 分别是另外两条对边AD ，BC 上的点，且AE ED ＝BF FC ＝12，EF ＝5，求AB 和CD 所成角的大小．解 如图，连接BD ，过点E 作AB 的平行线交BD 于O ，连接OF .因为EO ∥AB ， 所以BO OD ＝AE ED ＝12，EO AB ＝DE DA ＝23. 又因为AB ＝3，所以EO ＝2. 又BF FC ＝12，所以BO OD ＝BF FC， 所以OF ∥DC ，所以OE 与OF 所成的角即为AB 和CD 的成的角，OF DC ＝BF BC ＝13.因为DC ＝3，所以OF ＝1.在△OEF 中，OE 2＋OF 2＝5，EF 2＝(5)2＝5， 所以OE 2＋OF 2＝EF 2，∠EOF ＝90°， 所以AB 和CD 所成的角为90°.1．空间两条互相平行的直线指的是( ) A ．在空间没有公共点的两条直线 B ．分别在两个平面内的两条直线C ．在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线D ．在同一平面内且没有公共点的两条直线 答案 D解析 由平行直线的定义可得．2．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′为()A．130°B．50°C．130°或50°D．不能确定答案 C解析根据定理，∠A′O′B′与∠AOB相等或互补，即∠A′O′B′＝130°或∠A′O′B′＝50°.3．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面答案 D解析画出图形，得到结论．如图(1)，分别与异面直线a，b平行的两条直线c和d是相交关系．如图(2)，分别与异面直线a，b平行的两条直线c和d是异面关系．综上可知，应选D.4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．答案(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面解析(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1綊BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C.(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．5．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．解(1)如图所示，连接AC，AB1.由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形，∴AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成的角为60°.(2)如图所示，连接BD.由(1)知AC∥A1C1，∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1C1，即A1C1与EF所成的角为90°.1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．作异面直线所成的角．可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．课时作业一、选择题1．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A．异面或平行B．异面或相交C．异面D．相交、平行或异面答案 D解析异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明，a、b异面，直线c的位置可如图所示．2．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形()A．全等B．不相似C．仅有一个角相等D．相似答案 D解析由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D.3．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行答案 C解析若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b异面矛盾，故选C.4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A．空间四边形B．矩形C．菱形D．正方形答案 B解析如图，易证四边形EFGH为平行四边形．又∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC.又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．5．如图是无盖正方体纸盒的平面展开图，则直线AB，CD在原正方体中的位置关系是()A．平行B．相交且垂直C．异面D．相交成60°角答案 D解析如图，连接AC，得正三角形ABC，∴AB，CD在原正方体中相交成60°角．6.如图所示，已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定正确的是()A．l与AD平行B．l与AB异面C．l与CD所成角为30°D．l与BD垂直答案 B解析由l与AB既不平行也不相交，故l与AB一定互为异面直线．7．下列四个结论中假命题的个数是()①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．④如图甲，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面；当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．8．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案 C解析如图，连接BC1，A1C1.∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角．在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°.故异面直线A1B与AD1所成的角为60°.9.如图，在三棱锥D—ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF 和AC 所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 B解析 如图所示，取BC 的中点G ，连接FG ，EG .∵E ，F 分别是为CD ，AB 的中点， ∴FG ∥AC ，EG ∥BD ， 且FG ＝12AC ，EG ＝12BD .又∵AC ＝BD ，∴FG ＝EG ，∴∠EFG 为EF 与AC 所成的角或其补角． ∵AC ⊥BD ，∴FG ⊥EG ，∴∠FGE ＝90°， ∴△EFG 为等腰直角三角形，∴∠EFG ＝45°，即EF 与AC 所成的角为45°. 二、填空题10．如图所示，在三棱锥P －ABC 的六条棱所在的直线中，异面直线共有______对．答案 3解析 P A 与BC ，PB 与AC ，PC 与AB 互为异面直线．∴共3对．11．如图，G ，H ，M ，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有________．答案 ②④解析 (1)中HG ∥MN ，(3)中GM ∥HN 且GM ≠HN ，所以直线HG 与MN 必相交． 12．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， (1)AC 与DD 1所成的角为________； (2)AC 与D 1C 1所成的角为________．答案 (1)90° (2)45°解析 (1)DD 1和AC 是异面直线，因为AA 1∥DD 1，所以∠A 1AC 为DD 1和AC 所成的角．因为AA 1⊥AC ，所以∠A 1AC ＝90°，所以DD 1和AC 所成的角是90°.(2)因为DC ∥D 1C 1，所以∠ACD 是AC 和D 1C 1所成的角．又∠ACD ＝45°，所以AC 和D 1C 1所成的角是45°. 三、解答题13．如图，在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，EF ＝3，求AD 与BC 所成角的大小．解 如图，取BD 的中点G ，连接GE ，GF .因为BE ＝EA ，BG ＝GD ， 所以GE ∥AD ，GE ＝12AD ＝1.因为DF ＝FC ，DG ＝GB ， 所以GF ∥BC ，GF ＝12BC ＝1.所以∠EGF (或其补角)是异面直线AD 与BC 所成的角． 在△GEF 中，GE ＝1，GF ＝1，EF ＝3(如图)，取EF 的中点O ，连接GO ， 则GO ⊥EF ，EO ＝12EF ＝32.所以sin ∠EGO ＝EO EG ＝32，所以∠EGO ＝60°，所以∠EGF ＝2∠EGO ＝120°，所以异面直线AD 与BC 所成的角是180°－120°＝60°. 四、探究与拓展14．在如图所示的正方体中，M ，N 分别为棱BC 和CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．90°D ．60° 答案 D解析 连接AD 1，D 1C ，BC 1.因为M ，N 分别为BC 和CC 1的中点，所以C 1B ∥MN ，又C 1B ∥AD 1，所以AD 1∥MN ，所以∠D 1AC 即为异面直线AC 和MN 所成的角．又△D 1AC 是等边三角形，所以∠D 1AC ＝60°，即异面直线AC 和MN 所成的角为60°.15.如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC 綊12AD ，BE綊12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)判断C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ (1)证明 由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解 由BE 綊12AF ，G 为F A 的中点知，BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面． 又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面。
空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系一、空间两直线的位置关系 1．异面直线（1）异面直线的定义：我们把不同在 的两条直线叫做异面直线. 即若a ,b 是异面直线，则不存在平面α，使a ⊂α且b ⊂α.（2）异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点,通常用一个或两个平面衬托,如图：2．空间两直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行和异面. （1） ——同一平面内,有且只有一个公共点； （2） ——同一平面内,没有公共点；学！科网 （3） ——不同在任何一个平面内，没有公共点. 3． 空间中两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式： （1）从有无公共点的角度分类：⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎨两条直线有且仅有一个公共点：相交直线平行直线两条直线无公共点：异面直线直线 （2）从是否共面的角度分类：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线共面直线直线平行直线不共面直线：异面直线二、公理4与等角定理 1．公理4（1）自然语言：平行于同一条直线的两条直线互相 .（2）符号语言：a ,b ,c 是三条不同的直线, a ∥b ，b ∥c . （3）作用：判断或证明空间中两条直线平行. 公理4表述的性质也通常叫做空间平行线的传递性.用公理4证明空间两条直线,a c 平行的步骤（1）找到直线b ； （2）证明∥a b ，∥b c ； （3）得到∥a c .2．等角定理（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 . （2）符号语言：如图（1）（2）所示，在∠AOB 与∠A ′O ′B ′中，OA ∥O ′A ′,OB ∥O ′ B ′，则∠AOB =∠A ′O ′B ′或∠AOB +∠A ′O ′B ′=180°.图（1） 图（2）三、异面直线所成的角1．两条异面直线所成的角的定义如图,已知两异面直线a ,b ,经过空间任一点O ,分别作直线a ′∥a ,b ′∥b ,相交直线a ′，b ′所成的 叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）.（1）在定义中,空间一点O 是任取的,根据等角定理,可以判定a ′，b ′所成的角的大小与点O 的位置无关.为了简便，点O 常取在两条异面直线中的一条上.（2）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路.2．异面直线所成的角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角α的取值范围为 . 3．两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是 ，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a ,b ,记作a ⊥b .4．构造异面直线所成角的方法（1）过其中一条直线上的已知点（往往是特殊点）作另一条直线的平行线；（2）当异面直线依附于某几何体，且直接平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点；（3）构造辅助平面、辅助几何体来平移直线.注意，若求得的角为钝角，则两异面直线所成的角应为其补角.学科*网5．求两条异面直线所成的角的步骤（1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线； （2）证明：证明作出的角就是要求的角； （3）计算：求角度（常利用三角形的有关知识）；（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．K 知识参考答案：一、1．（1）任何一个平面内2．（1）相交直线 （2）平行直线 （3）异面直线 二、1．（1）平行 （2）a ∥c 2．（1）相等或互补 三、1．锐角（或直角） 2．090α<≤ 3．直角K—重点掌握公理4及等角定理，异面直线及其所成的角K—难点理解两异面直线所成角的定义，并会求两异面直线所成的角K—易错忽略异面直线所成的角的范围致误1．空间两直线的位置关系的判断空间两直线的位置关系有平行、相交、异面三种情形，因此对于空间两直线位置关系的判断，应由题意认真分析，进而确定它们的位置关系.【例1】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM 与DD1是异面直线．其中正确的结论为A．③④B．①②C．①③D．②④【答案】A【解析】∵A、M、C、C1四点不共面，∴直线AM与CC1是异面直线，故①错误；同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误．同理，直线BN与MB1是异面直线，故③正确；同理，直线AM与DD1是异面直线，故④正确.故选A．【方法技巧】判定或证明两直线异面的常用方法：1.定义法：不同在任何一个平面内的两条直线.2.定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.3.推论法：一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线.4.反证法：证明立体几何问题的一种重要方法. 证明步骤有三步：第一步是提出与结论相反的假设；第二步是由此假设推出与已知条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；第三步是推翻假设，从而原命题成立. 2．公理4的应用证明两条直线平行的方法： （1）平行线的定义；（2）利用平面几何的知识，如三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等； （3）利用公理4.【例2】如图,△ABC 的各边对应平行于111△A B C 的各边,点E ,F 分别在边AB ,AC 上,且1,3AE AB AF ==13AC ,试判断EF 与的位置关系,并说明理由.【解析】平行.理由如下： ∵11,33AE AB AF AC ==,∴∥EF BC . 又11∥B C BC ,∴11∥B C EF . 3.等角定理利用等角定理解题的关键是不要漏掉两个角互补的这种情况. 【例3】空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β为 A ．60° B ．120° C ．30°D ．60°或120°【答案】D【解析】∵空间两个角α，β的两边对应平行，∴这两个角相等或互补，∵α=60°，∴β=60°或120°．故选D ． 【名师点睛】根据公理4知道当空间两个角α与β的两边对应平行时，得到这两个角相等或互补，根据所给的角的度数，即可得到β的度数．【例4】如图所示，已知棱长为a 的正方体中，M ，N 分别是棱的中点.（1）求证：四边形是梯形； （2）求证：（2）由（1）知MN ∥A 1C 1，又∵ND ∥A 1D 1，∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补，而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角，∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. 4．两异面直线所成的角通过平移直线至相交位置求两条异面直线所成的角，是数学中转化思想的运用，也是立体几何问题的一个难点.【例5】如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=，2BC AD =，PAB △和PAD △都是等边三角形，则异面直线CD 和PB 所成角的大小为A．90B．75C．60D．45【答案】A【方法点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及空间中异面直线所成角的求解，其中根据空间几，放置在三角形中，利用何体的结构特征，把空间中异面直线CD和PB所成的角转化为平面角AEF解三角形的知识求解是解答本题的关键，着重考查了转化与化归思想和学生的推理、运算能力，试题属于基础题.5.忽略异面直线所成的角的范围致误【例6】如图，已知空间四边形ABCD中，AD=BC，M,N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角.【错因分析】在未判断出∠MEN 是锐角或直角还是钝角之前，不能断定它就是两异面直线所成的角，因为异面直线所成的角α的取值范围是090α<≤，如果∠MEN 为钝角，那么它的补角才是异面直线所成的角. 学#科网【正解】以上同错解，求得∠MEN =120°,即BC 与AD 所成的角为60°.【误区警示】求异面直线所成的角的时候，要注意异面直线所成的角α的取值范围是090α<≤.1．若,a b 为异面直线，直线c a ∥，则c 与b 的位置关系是 A ．相交 B ．异面 C ．平行 D ．异面或相交 2．已知∥AB PQ ，∥BC QR ，∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于 A ．30° B ．30°或150° C ．150° D ．以上结论都不对 3．已知异面直线,a b 分别在平面,αβ内，且c αβ=，那么直线c 一定A ．与a b ，都相交B ．只能与a b ，中的一条相交C ．至少与a b ，中的一条相交D ．与a b ，都平行 4．如图所示，在三棱锥P ABC -的六条棱所在的直线中，异面直线共有A ．2对B ．3对C ．4对D ．6对5．如图，四面体ABCD 中，AD BC =，且AD BC ⊥，E F 、分别是AB CD 、的中点，则EF 与BC 所成的角为A ．30B ．45C ．60D ．906．如果OA //O A ''，OB //O B ''，那么AOB ∠和A O B '''∠的关系为 ． 7．下列命题中不正确的是________．（填序号）①没有公共点的两条直线是异面直线； ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行； ④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．8．如图所示,两个三角形ABC 和A'B'C'的对应顶点的连线AA',BB',CC'交于同一点O , 且AO BO COOA OB OC =='''.求证：△∽△ABC A B C '''.9．空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为60°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．10．分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是A．相交B．异面C．异面或相交D．平行11．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为A．相交B．平行C ．异面而且垂直D ．异面但不垂直12．如图，正四棱锥ABCD P 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于_________.ECDPAB13．如图,若P 是△ABC 所在平面外一点,PA ≠PB ,PN ⊥AB ,N 为垂足,M 为AB 的中点,求证：PN 与MC 为异面直线.14．（2016上海）如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是BC D E F A B 11D 1A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 115．（2015广东）若直线l 1与l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是 A ．l 与l 1,l 2都不相交B ．l 与l 1,l 2都相交C ．l 至多与l 1,l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1,l 2中的一条相交16．（2015浙江）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面ABC .若AB =AC =AA 1=1，BC =2，则异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°17．（2014广东）若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足12l l ⊥，23l l ∥，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是A ．14l l ⊥B ．14l l ∥C ．1l 与4l 既不垂直也不平行D ．1l 与4l 的位置关系不确定1 2 3 4 5 10 11 14 15 16 17 DBCBBCDDDCD1．【答案】D【解析】c a ∥，a b ，为异面直线，所以c 与b 的位置关系是异面或相交.4．【答案】B【解析】根据异面直线的定义观察图形，可知有三对异面直线，分别是PB 与AC 、P A 与BC 、PC 与AB ，故选B. 5．【答案】B【解析】如图，设G 为AC 的中点，连接,EG FG .由中位线可知,∥∥EG BC GF AD ，所以GEF ∠就是EF 与BC 所成的角，且三角形GEF 为等腰直角三角形，所以45GEF ∠=.6．【答案】相等或互补【解析】根据等角定理的概念可知AOB ∠和A O B '''∠的关系为相等或互补. 7．【答案】①②8．【解析】∵AA'与BB'交于点O ,且AO BOOA OB='',∴AB ∥A'B'.同理,AC ∥A'C'.又∠BAC 与∠B'A'C'两边的方向相反,∴∠BAC =∠B'A'C'. 同理,∠ABC =∠A'B'C'. 因此,△∽△ABC A B C '''.9．【解析】如图，取AC 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥AB ，GF ∥CD ，且由AB ＝CD 知EG ＝FG ，∴∠GEF （或它的补角）为EF 与AB 所成的角，∠EGF （或它的补角）为AB 与CD 所成的角． ∵AB 与CD 所成的角为60°，∴∠EGF ＝60°或120°． 由EG ＝FG 知△EFG 为等腰三角形， 当∠EGF ＝60°时，∠GEF ＝60°；当∠EGF ＝120°时，∠GEF ＝30°．学@科网 故EF 与AB 所成的角为60°或30°．10．【答案】C【解析】（1）若两条直线与两异面直线的交点有4个,如图（1）,两条直线异面;（2）若两条直线与两异面直线的交点有3个,如图（2）,两条直线相交.故选C.（1） （2）【误区警示】在判断两直线的位置关系时，要全面思考问题，可通过画出相关图形帮助分析，从而防止遗漏.本题中，没有明确指出直线交点的个数,两条直线分别与两异面直线相交,交点可能有4个,此时两条直线异面,也可能有3个,此时两条直线相交.11．【答案】D【解析】将展开图还原为正方体，如图所示．AB与CD所成的角为60°，故选D.13．【解析】假设PN与MC不是异面直线,则存在一个平面α,使得PN⊂α,MC⊂α,于是P∈α,C∈α,N∈α,M∈α.∵PA≠PB,PN⊥AB,N为垂足,M是AB的中点,∴M,N不重合.∵M∈α,N∈α,∴直线MN⊂α.∵A∈MN,B∈MN,∴A∈α,B∈α.即A,B,C,P四点均在平面α内,这与点P在平面ABC外相矛盾.∴假设不成立,则PN与MC是异面直线.16．【答案】C【解析】根据题意，得BC∥B1C1,故异面直线A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角.如图，连接A 1B ,在△A 1BC 中，BC =A 1C =A 1B =2,故∠A 1CB =60°,即异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为60°.故选C.17．【答案】D【解析】如下图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，取1AA 为2l ，1BB 为3l ，取AD 为1l ，BC 为4l ，则14l l ∥；取AD 为1l ，AB 为4l ，则14l l ⊥；取AD 为1l ，11A B 为4l ，则1l 与4l 异面，因此14,l l 的位置关系不确定，故选D.D 1C 1B 1A 1DCBA。
直线与直线的位置关系-PPT课件
你能给“异面直线所成的角”下个定义吗？
b α a
b' a' o
已知两条异面直线a，b，经过空间任一 点O作直线a′∥a， b′∥b，则 a′与b′ 所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所 成的角(或夹角)
空间问题平面化
思考8
1.两条异面直线所成的角的取值范围是什么？ 2.如果两条异面直线a、b所成的角是90°， 则称这两条直线互相垂直. 记作a⊥b. 在长方体ABCD-A′B′C′D′中,有没有两条 棱所在的直线是互相垂直的异面直线?
C'
B' A'
D'
D A
C
B
3.两条平行直线中有一条与某一条直线垂直,那 么另一条是否也与这条直线垂直？
4. 垂直于同一条直线的两条直线是否平行?
例2 如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中. （1）直线A′B和CC′的夹角是多少？ （2）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？ 哪些棱所在的直线与直线A′B垂直？
D' A' B' C'
D A
B
C
思考3
空间中直线与直线的各种位置关系 各有什么特点？
位置关系 相交 平行 异面 公共点个数 是否共面
只有一个
没有 没有
共面 共面 不共面
思考4
你能给出异面直线的定义吗？
定义：不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线.
异面直线作法:为了表示异面直线a，b 不共面的特点，作图时，通常用一个或两 个平面衬托,如图.
探究：如图是一个正方体的表面展开图,如 果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF， GH这四条线段所在直线是异面直线的有多 少对?
C G D H A B H G C E A B D
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系课件 新人教A版必修2
注意证明中常常要说明两个平面是重合的， 其基本模式如： ①点A、B、C、D共面于α，点A、B、C、 E共面于β，经过不共线三点A、B、C的平 面有且仅有一个，∴α与β重合，从而A、B、 C、D、E共面． ②直线a、b、c共面于α，直线a、b、d共 面于β，但直线a与b确定一个平面(a∥b或a 与b相交)，∴α与β重合，∴a、b、c、d共 面．
(3)共面问题 证明多个几何元素(点和直线)共面，一般 先据公理2或其推论结合题设条件确定一 个平面α，再由公理1或公理3说明其它元 素也在平面α内． 证明直线共面的一般方法有两种：一是先 由两条平行或相交直线确定一个平面，再 依据平面的基本性质证明其它直线在此平 面内；二是先分别确定两个平面，再依据 平面的基本性质证明两个平面是同一个平 面(即两平面重合)．
2．怎样检查一张桌子的四条腿的下端是 否在同一个平面内． [解析] 用两条细绳沿桌子对角两腿的下 端拉直，看两绳是否相交，若相交则在同 一个平面内，否则不在同一个平面内．
3．已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B， l∩c＝C，求证：a、b、c、l共面． [证明] ∵a∥b，∴a、b确定一个平面α， ∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴A∈α，B∈α，故l⊂α，∴a、b、l共面于 α. 又∵a∥c，∴a、c确定一个平面β， 同理可证：l⊂β，∴a、c、l共面于β， ∵a∩l＝A， 过两条相交直线有且只有一个平面． ∴α与β重合，即直线a、b、c、l共面．
制作人：豆猛刚
1．确定平面的条件． 我们已知不共线三点可以确定一个平面， 请探究： (1)一直线外一点和该直线能确定一个平面 吗？ (2)两条平行直线能确定一个平面吗？ (3)两相交直线能确定一个平面吗？
[解析] (1)可以．如图，在直线l上任取相 异两点，∵P∉l，∴P、A、B三点不共线， 由公理2，P、A、B三点可确定一个平面α， ∴经过直线l和l外一点P，有且仅有一个平 面．
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解：
连接BD，
A
∵ E、H分别是AB，AD的中点
∴ EH是△ABD的中位线 1 ∴EH ∥BD且EH = BD 2
E
D
H G
B
F
c
又∵在 △BCD中， CF CG 2
CB CD ∴ FG∥BD且FG = 2/3 BD
3
根据公理4，EH // FG,又FG > EH ∴四边形EFGH有一组对边平行但不相等。
课 堂 小 结
1.异面直线
2.空间两条直线的位置关系
平行直线 共面直线 相交直线 异面直线
公理４：平行于同一条直线的两条直线互相平行
作业：
P51 A组 3题
练习反馈：
1.长方体的一条对角线与长方体的棱所组成 的异面直线有 （ C ） （A）2对 （B）3对 （C）6对 （D）12对 2.两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交， 则直线a，b的位置关系是（D ） （A）一定是异面直线 （B）一定是相交直线 （C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线
E
D G
2
∴EH ∥FG且EH =FG ∴四边形EFGH是一个平行四边形
B
F
C
变式训练
已知四边形ＡＢＣＤ是空间四边形，Ｅ、Ｈ 分别是边ＡB、AD的中点，Ｆ、Ｇ分别是边CB、 ＣＦ CD上的点，且 ＝ ＣＧ ＝ ２。 ３ ＣＢ ＣＤ 求证：四边形ＥＦＧＨ有一组对边平行但不相等.
A E D B F H G c
D1 C1 B1
你能在图中找出与AB异 面的直线吗？
A1
D
C B
A
动动手，动动脑：
3.下图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正 方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在 直线是异面直线的有几对？
C G H E F
A D B
三对
AB与CD AB与GH
EF与GH
二.空间两条直线的位置关系
①相交直线 -------有且仅有一个公共点 ②平行直线 ------在同一平面内,没有公共点
通常用一个或两个平面来衬托,异面直线不同在任 何一个平面的特点。
b
b
β
b
α
a
α
a
α
图2 图3
a
图1
这样表示a、b异面正确吗？
β
b
α
a
趁热打铁，你能行：
1.已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的点， 那么MN与AB所在的直线是异面直线吗？ M D1 C
1
A1
B1
N
D
A
Cห้องสมุดไป่ตู้
B
2.如图: AA1与CC1在同一平面吗?
2.1.2 空间中直线与直线 的位置关系
公理1：如果一条直线上的两点在一个平 面内，那么这条直线在此平面内.
公理2：过不在一条直线上的三点，有且 只有一个平面.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共 点，那么它们有且只有一条过该点 的公共直线.
问题探究：
1、同一平面内不重合的两条直线有几种 位置关系？
(1)、相交：有且仅有一个公共点。 (2)、平行：在同一平面内没有公共点。
2、在同一平面内，同平行于一条直线的两 条直线有什么位置关系？
互相平行
空间中的两条直线呢？
擦亮双眼：
1.观察教室内的日光灯管所在直线与黑板的上下 两侧所在的直线,校园中的旗杆所在直线和门前 的马路所在直线，想一想:它们相交吗?平行吗? 共面吗?
a∥b c∥b
a∥c
实质：平行具有传递性，在平面、空间这个
性质都适用。
作用：判断空间两条直线平行的依据。
四. 例题讲析
例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形。
证明： 连结BD
∵ EH是△ABD的中位线 1 ∴EH ∥BD且EH = BD 2 1 同理，FG ∥BD且FG = BD A H
3.一条直线和两条异面直线中的一条平行, 则它和另一条的位置关系是( D ) （A）平行 （B）相交 （C）异面 （D）相交或异面
4．两条直线互相垂直，它们一定相交吗？
答：不一定，还可能异面．
③异面直线 -----不同在任何一个平面内,没有 公共点
空间两条直线的位置关系有且只有三种
平行直线 共面直线 相交直线 异面直线
位置关系 公共点个数 是否共面
相交
只有一个 没有 没有
共面 共面 不共面
平行
异面
三. 平行公理
想一想：在同一平面内，如果两条直线都与第三条
直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？
观察：如图2.1.2-5,长方体 ABCD A' B'C ' D'中,BB'∥ AA' BB'∥ CC' 那么 AA‘与 CC' 平行吗?
D' C'
A' D A
B' C
B
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示：设空间中的三条直线分别为a, b, c,若
ABCD A' B'C ' D' 2.观察长方体
中,线段A′B所在直线与线段 C′C所在直线的位置关系 如何？
一、异面直线
（1）.定义
不同在任何一个平面内 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面 直线。（既不相交也不平行的两条直线）
m l
β α
m
l
直线 m 和 l 是异面直线吗?
（2）.异面直线的画法: