(完整版)倍角公式练习题
数学人教B版必修4作业：3.2.1 倍角公式 Word版含解析
一、选择题1.2sin 2α1＋cos 2α·cos2αcos 2α＝()A．tan 2αB．tan αC．1 D.1 2【解析】原式＝2sin 2α2cos2α·cos2αcos 2α＝tan 2α.【答案】 A2．函数f(x)＝sin x cos x的最小值是()A．－1 B．－1 2C.12D．1【解析】f(x)＝12sin 2x，∴f(x)min＝－12.【答案】 B3．(2013·课标全国卷Ⅱ)已知sin 2α＝23，是cos2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝()A.16 B.13C.12 D.23【解析】∵sin 2α＝23，∴cos2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16.【答案】 A4．设sin α＝35(π2＜α＜π)，tan(π－β)＝12，则tan(α－2β)＝()A．－247B．－724C.247 D.724【解析】 ∵sin α＝35，α∈(π2，π)， ∴cos α＝－45，∴tan α＝－34. 又∵tan(π－β)＝12，∴tan β＝－12， ∴tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝－43. ∴tan(α－2β)＝tan α－tan 2β1＋tan αtan 2β＝－34－(－43)1＋(－34)·(－43)＝724. 【答案】 D5.2－2cos 8＋21－sin 8的化简结果是( ) A ．2cos 4－4sin 4 B ．2sin 4 C ．2sin 4－4cos 4 D ．－2sin 4【解析】 原式＝2(1－cos 8)＋21－2sin 4cos 4＝2×1－(1－2sin 24)＋2(sin 4－cos 4)2＝2|sin 4|＋2|sin 4－cos 4|， ∵sin 4<0，sin 4<cos 4，∴原式＝－2sin 4＋2(cos 4－sin 4)＝2cos 4－4sin 4. 【答案】 A 二、填空题6．(2013·广州高一检测)已知sin(π4－x )＝35，则sin 2x 的值等于________． 【解析】 法一 ∵sin(π4－x )＝35，∴cos(π2－2x )＝1－2sin 2(π4－x )＝1－2×(35)2＝725，∴sin 2x ＝cos(π2－2x )＝725.法二 由sin(π4－x )＝35，得22(sin x －cos x )＝－35， ∴sin x －cos x ＝－325，两边平方得 1－sin 2x ＝1825，∴sin 2x ＝725. 【答案】 7257．在△ABC 中，已知cos 2C ＝－14，则sin C 的值为________． 【解析】 cos 2C ＝1－2sin 2C ＝－14且0<C <π.所以sin C ＝104. 【答案】1048．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22·sin 2x 的最小正周期是________． 【解析】 f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x ＝22sin 2x －22cos 2x －22×1－cos 2x 2＝22sin 2x ＋22cos 2x － 2 ＝sin(2x ＋π4)－2，故该函数的最小周期为2π2＝π. 【答案】 π 三、解答题9．(1)求函数f (x )＝cos(x ＋23π)＋2cos 2x2，x ∈R 的值域； (2)已知tan α＝3，α∈(π4，π2)，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．【解】 (1)f (x )＝cos x cos 23π－sin x sin 23π＋cos x ＋1＝－12cos x －32sin x ＋cos x ＋1＝12cos x －32sin x ＋1＝sin(x ＋5π6)＋1，因此f (x )的值域为[0,2]．(2)∵α∈(π4，π2)，tan α＝3，∴sin α＝31010，cos α＝1010.∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×31010×1010＝35，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×110－1＝－45，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.10．已知sin(π4＋α)sin(π4－α)＝16，且α∈(π2，π)，求sin 4α的值． 【解】 因为(π4＋α)＋(π4－α)＝π2. 所以sin(π4－α)＝cos(π4＋α) 因为sin(π4＋α)sin(π4－α)＝16， 所以2sin(π4＋α)·cos(π4＋α)＝13， 即sin(π2＋2α)＝13. 所以cos 2α＝13.又因为α∈(π2，π)，所以2α∈(π，2π)， 所以sin 2α＝－1－cos 2 2α＝－223.所以sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝－429.11．(2013·安徽高考)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性． 【解】 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋ 2.因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin(2x ＋π4)＋ 2.若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2＜2x ＋π4≤5π4，即π8＜x ≤π2时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤π8，π2上单调递减.。
(完整版)三角函数系列二倍角公式测试题含答案.doc
评卷人得分二倍角公式一、选择题1.已知 2sin θ +3cosθ =0，则 tan2 θ =（）A ．B ．C ．D ．2.已知= ，则 sin2 α +cos （α﹣）等于（）A．﹣B．C．D．﹣3.若 0＜α＜，﹣＜β＜ 0，cos （+α） = ，cos （﹣β），则 cos （α +β）=（）A．B．﹣C．D．﹣5.已知 cos α=， cos （α +β）=﹣，且α、β∈（0，），则cos（α﹣β）=（）A．B．C．D．6.求值： tan42 ° +tan78 °﹣tan42 ° ?tan78 ° =（）A．B．C．D．7.已知 sinx= ﹣，且 x 在第三象限，则tan2x= （）A．B．C．D．8.已知 tan α =4，= ，则则 tan （α +β）=（）A．B．﹣C．D．﹣9.计算 log 2sin +log 2cos 的值为（）A．﹣ 4 B． 4 C． 2 D．﹣ 210.若均α，β为锐角，=（）A．B．C．D．11.已知 tan α=， tan β=，则 tan （α﹣β）等于（）12.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y=2x 上，则 cos2 θ =（）A．﹣B．﹣C．D．13.已知 sin θ +cos θ=，则tan2θ值为（）A．B．C．D．14.设 tan α， tan β是方程 x 2﹣3x+2=0 的两个根，则tan （α +β）的值为（）A．﹣ 3 B．﹣ 1 C． 1 D． 315.sin α=，α∈（，π），则cos （﹣α）=（）A．B．C．D．16.已知 sin α +cos α =﹣，则 sin2 α =（）A．B．C．D．17.已知，那么cosα=（）A．B．C．D．18.设α﹑β为钝角，且 sin α=， cos β =﹣，则α +β的值为（）A．B．C．D．或19.若 tan （α﹣β） = ， tan β=，则 tan α等于（）A．﹣ 3 B．﹣C． 3 D．20. =（）A．B．C．D．21.若角 A为三角形 ABC的一个内角，且 sinA+cosA= ，则这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形第 II 卷（非选择题）评卷人得分二、填空题22.若 tan （α +β）=，tan（β﹣）=，则tan（α+）=．23.（ 1+tan 1°）（ 1+tan44 °）=．24.若，，，则=．25.已知α为第三象限的角，，则=．26.已知＜α＜， cos （ +α） =﹣，则 sin α=．27.在△ ABC中，已知 tanA ，tanB 是方程 3x 2﹣ 7x+2=0 的两个实根，则 tanC= ．评卷人得分三、解答题28.已知，（1）求 sin α的值；（2）求β的值．29.已知 cos α=， cos （α﹣β） =，且0＜β＜α＜，（Ⅰ）求tan2 α的值；（Ⅱ）求β．二倍角公式试卷答案1.B2.A 解答：解：由已知得：==sin α +cos α=，∴（ sin α+cosα）2=1+2sin αcosα=1+sin2 α=，∴ sin2α=﹣，又 sin α+cosα=sin （α+），∴ sin（α+）=，cos（α﹣）=cos（﹣α）=sin（x+）=，∴ sin2α+cos（α﹣）=﹣．3.C解答：解：∵ cos（+α） =，0＜α＜，∴＜+α＜，∴sin （+α） ==，∵ cos（﹣β）=，﹣＜β＜0，∴＜﹣β＜，∴ sin（﹣β）==，∵α +β=（+α）﹣（﹣β），∴ cos（α+β）=cos[（+α）﹣（﹣β）]=cos （+α） cos （﹣β）+sin（+α） sin （﹣β）===．4.解答：由题意可得：tan α +tan β=； tan α tan β=，显然α，β﹣又 tan （α +β） ===1 且α+β∈，故α+β=﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10 分）5.C解答：由 2α∈（ 0，π），及 cos α=2﹣，且，得到 cos2 α =2cos α﹣ 1=sin2 α==，由α+β∈（ 0，π），及cos （α +β） =﹣，得到sin（α +β）==，则 cos （α﹣β） =cos[2 α﹣（α +β）] =cos2αcos（α +β） +sin2 αsin （α +β）=﹣×（﹣）+×=．6.C解答：由tan120°=tan（78°+42°）==﹣，得到 tan78 °+tan42 °=﹣（1﹣tan78°tan42°），则tan78 °+tan42 °﹣tan18 °?tan42 °=﹣．故选： C．．7.A8.B解答：由得tanβ=3，又 tan α=4，所以tan （α +β） ===，故选：B．解答：α，β 为锐角，则cosα===；则 cos （α +β） =﹣=﹣=﹣，cosβ=cos（α +β﹣α）=cos （α +β） cosα+sin （α +β） sin α==．11.D12.B13.C14.A15.A16.D17.C18.C解答：∵α﹑β 为钝角，且sin α=，cosβ=﹣，∴ cosα=﹣，sinβ=，∴cos（α +β） =cosαco sβ﹣ sin αsin β=﹣×（﹣）﹣×=，又α﹑β为钝角，∴α +β∈（π， 2π），∴α +β=．故选：C．19.C 解答：∵ tan （α﹣β） = = = ，∴可解得：tan α =3．故选：C．20.D 21.B 解答：角 A 为三角形ABC的一个内角， sinA+cosA= sin （ A+ ），如果 A∈（ 0，] ， A+ ∈，sin （ A+ ）∈．A∈（，π）， A+ ∈，sin （ A+ ）∈（﹣ 1， 1）．∵sinA+cosA= ，∴A 是钝角．三角形是钝角三角形．故选：B．22. 解答：∵tan （α+） =tan[ （α +β）﹣（β﹣） ] ，∴又∵∴．故答案为：．23.2 24. 解答：∵∴∵，∴===故答案为：25.解答：方法一：因为α 为第三象限的角，所以2α∈（ 2（ 2k+1）π，π +2（ 2k+1）π）（ k∈ Z），又＜ 0，所以，于是有，，所以=．方法二：α为第三象限的角，，? 4kπ+2π＜ 2α＜4kπ+3π ? 2α在二象限，26.解答：∵＜α＜，∴＜α+＜π，又cos（+α） =﹣，∴sin （+α） ==，∴sin α=sin[ （α+）﹣]=sin （+α） cos﹣cos（+α） sin=×﹣（﹣）×=．故答案为：．27.-7 解答：∵ tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个根，则tanA+tanB=，tanAtanB=，∴tanC=tan= ﹣ tan （A+B） =﹣=﹣ 728.解答：（1）∵，∴tan α==．∵ tanα=，sin2α+cos2α=1，∴sinα= ，cosα= ．（ 2）∵，，∴ sin（α﹣β）=﹣，∴tan （α﹣β）==﹣ 7==，∴ tanβ=﹣1，∴β=．29.解答：（Ⅰ）由，得∴，于是（Ⅱ）由0＜β＜α＜，得，又∵，∴由β=α﹣（α﹣β）得： cosβ=cos=cosαcos（α﹣β） +sin αsin （α﹣β）=所以．。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2.1 倍角公式练习 新人教B版必修4
3.2.1 倍角公式课时过关·能力提升1.已知α为第二象限的角,sin α=,则sin 2α等于()A.-B.-C.D.解析:由已知得cos α=-=-,于是sin 2α=2sin αcos α=2×=-.答案:A2.等于()A.-sin 50°B.sin 50°C.-cos 50°D.cos 50°解析:cos 50°.答案:D3.已知向量a=(3,-2),b=(cos α,sin α),若a∥b,则tan 2α的值为()A.B.-C.D.-解析:由a∥b得3sin α=-2cos α,于是tan α=-,从而tan 2α==-.答案:B4.已知sin,则sin 2α等于()A.-B.C.-D.解析:由已知得sin αcos+cos αsin,于是(sin α+cos α)=,sin α+cos α=,从而(sin α+cos α)2=,即1+sin 2α=,故sin 2α=-.答案:C5.函数y=2sin x(sin x+cos x)的最大值为()A.1+B.-1C. D.2解析:y=2sin x(sin x+cos x)=2sin2x+2sin x cos x=1-cos 2x+sin 2x=sin+1,因此当sin=1时,函数取最大值+1.答案:A★6.已知,则tan α+=()A.-8B.8C.D.-解析:∵=cos α-sin α=,∴1-2sin αcos α=,即sin αcos α=-.则tan α+==-8.故选A.答案:A7.已知sin α=,则sin=.解析:sin=sin=-cos 2α=-(1-2sin2α)=2×-1=2-.答案:2-8.sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°的值等于. 解析:sin 10°sin 50°sin 70°===.故sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°=.答案:9.已知=-5,则3cos 2θ+sin 2θ=.解析:由=-5,得2sin θ+cos θ=-5sin θ+15cos θ,∴7sin θ=14cos θ.∴tan θ=2.∴3cos 2θ+sin 2θ=3(cos2θ-sin2θ)+2sin θcos θ==3·==-1.答案:-110.已知α为锐角,且sin α=.(1)求的值;(2)求tan的值.解:(1)∵α为锐角,且sin α=,∴cos α=.∴==20.(2)由(1),得tan α=,故tan.★11.已知向量m=(sin x,-1),向量n=,函数f(x)=(m+n)·m.(1)求f(x)的最小正周期T;(2)已知f(A)恰是f(x)在上的最大值,求锐角A.解:(1)f(x)=(m+n)·m=sin2x+sin x cos x+sin 2x+sin 2x-cos2x+2=sin+2,所以函数f(x)的最小正周期T==π.(2)由(1),知f(x)=sin+2.当x∈时,-≤2x-.由正弦函数的图象可知,当2x-时,f(x)取得最大值3,即f(A)=3,此时2A-, 所以A=.。
高三数学倍角公式试题答案及解析
高三数学倍角公式试题答案及解析1.已知，，则（）A．1B．-1C．2D．-2【答案】D【解析】，即，解得或，又，∴，又，故选．【考点】倍角公式、齐次式.2.已知函数（1）求的值；（2）若，且，求.【答案】(1)(2)【解析】(1)直接把带入函数的解析式,再根据即可得到的值.(2)利用余弦的降幂公式化简,再利用关于的辅助角公式即可化简函数的解析式得到,把带入函数,利用正弦的和差角公式展开,根据题目已知,再根据正余弦之间的关系与为第二象限角(即角的余弦值为负数)即可求的,把的值带入的展开式即可得到的值.试题解析：(1) 2分(2) 4分6分8分10分因为，且，所以 11分所以 12分【考点】三角函数辅助角公式降幂公式正余弦关系3.若若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴，选D.【考点】1.三角函数求值；2.诱导公式；3.倍角公式.4.在中，角所对的边为，角为锐角，若，且.（1）求的大小；（2）若，求的面积.【答案】(1)(2)【解析】(1)由向量垂直的充要条件和二倍角公式可求出sinA=，再由同角三角函数的平方关系求出cos2A好值即可；（2）由余弦公式，和结合已知条件可求出bc的值，再由三角形的面积公式求解.试题解析：（1）由可得即 1分3分5分6分（2）由（1）知，8分10分12分【考点】1. 向量垂直的充要条件；2.二倍角公式；.3余弦定理、三角形面积公式.5.已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是,若且，试判断△ABC的形状．【答案】（Ⅰ）周期为；（Ⅱ）△ABC为等边三角形.【解析】（Ⅰ）首先将化为的形式，然后利用公式求周期.（Ⅱ）由可求出.再结合条件可知应该用余弦定理找到边与边之间的关系式，从而判断△ABC的形状.试题解析：（Ⅰ）4分5分周期为 6分（Ⅱ）因为所以 7分因为所以 9分又 10分所以 11分所以△ABC为等边三角形. 12分【考点】1、三角函数公式；2、余弦定理.6.如果，那么（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，故选D.【考点】1.二倍角；2.弦化切7.已知函数，且当时，的最小值为2.（1）求的值，并求的单调增区间；（2）将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得图象向右平移个单位，得到函数，求方程在区间上的所有根之和.【答案】（1），的单调增区间是；（2）.【解析】（1）首先应用三角函数的倍角公式及辅助角公式，将原三角函数式化简成，关键其在的最值，建立的方程；由解得，得到的单调增区间是.（2）遵循三角函数图象的变换规则，得到，利用特殊角的三角函数值，解出方程在区间上的所有根，求和。
理解三角函数的和差角与倍角的练习题
理解三角函数的和差角与倍角的练习题三角函数是数学中的重要概念，它们与角度的关系在许多领域都有广泛的应用。
在学习三角函数的过程中，了解和掌握和差角与倍角的关系是非常重要的。
本文将针对这个主题提供一些练习题，帮助读者巩固对三角函数的理解。
一、和差角公式1. 对于正弦函数，已知sinα = 1/3，sinβ = 2/5，求sin(α+β)和sin(α-β)的值。
解：根据正弦函数的和差角公式，有sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ，sin(α-β) = sinαcosβ - cosαsinβ。
代入已知的sinα和sinβ的值，得到sin(α+β) = (1/3)(2/5) + cosαsinβ，sin(α-β) = (1/3)(2/5) - cosαsinβ。
通过进一步计算，可得sin(α+β)和sin(α-β)的具体值。
2. 如果tanx = 3/4，tan(π/4 - x) = ?解：根据正切函数的和差角公式，有tan(π/4 - x) = (tan(π/4) - tanx) / (1 + tan(π/4)tanx) = (1 - 3/4) / (1 + 1/4*3/4)。
通过计算，得到tan(π/4 - x)的值。
二、倍角公式1. 已知cosα = 5/13，求cos2α的值。
解：根据余弦函数的倍角公式，有cos2α = cos^2α - sin^2α。
代入已知的cosα的值，得到cos2α = (5/13)^2 - (1 - (5/13)^2)。
通过计算，可以求得cos2α的具体值。
2. 如果sinθ = 3/5，求sin2θ的值。
解：根据正弦函数的倍角公式，有sin2θ = 2sinθcosθ。
代入已知的sinθ的值，得到sin2θ = 2(3/5)(4/5)。
通过计算，可以求得sin2θ的具体值。
三、综合练习题1. 如果tanα = 4/3，sinβ = 5/13，求cos(α+β)的值。
(完整word版)倍角公式练习题
1．若[]0,θπ∈， ）A ．7 D 2．已知α为第二象限角，54sin =α，则=-)2sin(απ A ．2425- B ．2425 C ．1225 D ．1225- 3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上则cos 2θ等于（ ）A 4）A 5，则α2cos 的值为（ ）A 6．【原创】在△ABC 中，若sin （A+B-C ）=sin （A-B+C ），则△ABC 必是（ ）（A ）等腰三角形 （B ）直角三角形（C ）等腰或直角三角形 （D ）等腰直角三角形7．【原创】x y 2sin 2=的值域是（ ）A ．[－2，2]B ．[0，2]C ．[－2，0]D ．R） （A ）)()2(x f x f =-π （B ）)()2(x f x f =+π（C ）)()(x f x f -=- （D ）)()(x f x f =- 9，则sin2=α（ ）10（ ）A 2- D ．2 11则sin 2θ=（ ）A．1 B．3 C12则x4cos的值等于（）13．若(0,)απ∈，且，则cos2α=（）（A（B（C（D14．已知α是第二象限角，且，则tan2α的值为（）A15，则x2sin的值为（）A1617的值为．18上的最大值是．1920___________212223．若tanα＝2，则sinα·cosα的值为．24的最大值是．25的最大值是．26．已知函数log(1)3ay x=-+，(0a>且1)a≠的图象恒过点P，若角α的终边经过点P，则2sin sin2αα-的值等于_______．27．①存在；②存在区间(,)a b使xy cos=为减函数而sin 0x <； ③x y tan =在其定义域内为增函数；④又是偶函数； 最小正周期为π， 以上命题错误的为____________。
参考答案1．D【解析】 试题分析：因为[]0,θπ∈D ． 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、二倍角．【一题多解】由题意，因为[]0,θπ∈，所以由tan θ＝，故选D ． 2．A【解析】试题分析：因为α为第二象限角，54sin =α，3cos 5α==-，则原式=24sin 22sin cos 25ααα==- 考点：（1）正弦的二倍角公式（2）诱导公式3．B【解析】考点：1．三角函数的定义；2．同角基本关系式；3．二倍角公式．4．A【解析】考点：同角间三角函数关系5．C ．【解析】试题分析：又∵),0(πα∈，∴sin 0α>，∴cos 0α<，考点：三角恒等变形．6．C【解析】∵sin （A+B-C ）=sin （A-B+C ），∴sin （π-2C ）=sin （π-2B ），即sin2C=sin2B ，7．B【解析】 试题分析：∵sinx ∈[－1，1]，∴1sin 02≤≤x ，则2sin 202≤≤x ．【原创理由】为了让学生弄清x 2sin 与2sin x 的不同，同时考查正弦函数的值域。
倍角及半角的三角函数公式(含答案)
倍角及半角的三角函数公式一、单选题(共10道，每道10分)1.若的值是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：二倍角的余弦公式2.已知角在第一象限且，则的值是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二倍角的余弦公式3.已知锐角满足：的值是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二倍角的正弦公式4.若的值是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：二倍角的余弦公式5.已知的值是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二倍角的正弦公式6.设，则下列结论中正确的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二倍角的余弦公式7.若，则的值是( )A.﹣2B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二倍角的余弦公式8.已知的值是( )A.2B.C.﹣2D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：半角的三角函数9.已知是△ABC的一个内角，且的值是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：半角的三角函数10.已知的值是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：半角的三角函数。
高三数学倍角公式试题答案及解析
高三数学倍角公式试题答案及解析1. [2012·江西高考]若＝，则tan2α＝()A．－B．C．－D．【答案】B【解析】∵＝，∴2sinα＋2cosα＝sinα－cosα，整理，得sinα＝－3cosα，即＝－3＝tanα，∴tan2α＝＝.故选B.2.已知α是第三象限的角，sinα=﹣，则=（）A．﹣B．C．2D．﹣2【答案】D【解析】∵α是第三象限角，∴2kπ+π＜α＜2kπ+∴kπ+＜＜kπ+∴tan ＜﹣1sinα=整理得3tan2+10tan +3=0求得tan =﹣3或﹣（排除）则=﹣2故选D．3.在中，角、、所对的边分别为、、，若，则为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于，故，所以，由正弦定理可得，故选B.【考点】1.二倍角公式；2.正弦定理4.在中，角所对的边为，角为锐角，若，且.（1）求的大小；（2）若，求的面积.【答案】(1)(2)【解析】(1)由向量垂直的充要条件和二倍角公式可求出sinA=，再由同角三角函数的平方关系求出cos2A好值即可；（2）由余弦公式，和结合已知条件可求出bc的值，再由三角形的面积公式求解.试题解析：（1）由可得即 1分3分5分6分（2）由（1）知，8分10分12分【考点】1. 向量垂直的充要条件；2.二倍角公式；.3余弦定理、三角形面积公式.5.已知，求下列各式的值：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【答案】（Ⅰ）－;（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）依题意可得tan α＝.所以可以将的分子分母都同时除以.即可转化为正切值的问题.从而求得结论.（Ⅱ）首先利用诱导公式将原式化为sin2α＋sin αcos α＋2.这式是一个二次的形式.将该式除以1.即由1=.再该分式的分子分母同时除以即可得到关于正切值的式子.再将正切值代入即可得到结论.本题主要是考查弦化为切的运算其中一种已是分式的形式，另一种则没有分母需要构造.试题解析：由已知得tanα＝.(1)原式＝＝＝－.(2) 原式=sin2α＋sin αcos α＋2＝sin2α＋sin αcos α＋2 (cos2α＋sin2α)＝＝＝＝.【考点】1.弦化切的知识.2.1的转化.3.二倍角公式的应用.6.若,则____________.【答案】.【解析】法一：，所以；法二：，.【考点】1.二倍角公式；2.诱导公式7.已知锐角的内角的对边分别为，，，，则（）A．B．C．D．【答案】D；【解析】因为，且锐角△ABC，故，故，解得.【考点】本题考查二倍角公式以及余弦定理的基本应用，考查学生的基本运算能力以及转化与化归的能力8.函数的最小正周期是．【答案】1【解析】，所以函数的最小正周期.【考点】二倍角公式、三角函数的周期.9.已知，且则的值为 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为两边平方得所以，所以，选C.【考点】1.倍角公式；2.三角函数平方关系.10.已知，则＝_______．【答案】【解析】，，.【考点】1、同角三角函数，2、倍角公式．11.已知，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，.由二倍角公式知，所以.【考点】三角函数值的符号，二倍角公式.12.已知则（）....【答案】A【解析】根据二倍角公式可知，，则可知，故选A.【考点】二倍角公式点评：关键是将函数化为单一三角函数的解析式，属于基础题。
倍角公式练习题含答案
倍角公式练习题含答案1. cos (π4−a)=35，则 sin 2α=（ ） A. 725B. 15C. −15D. -7252. 已知cos (θ+π)=−13，则sin (2θ+π2)=( )A.79 B.−79C.4√29D.−4√293. 已知x ∈(−π2, 0)，sin x =−35，则tan 2x =( ) A.−724 B.724C.−247D.2474. 函数y ＝sin 2x +cos 2x 的周期为（ ） A.π4 B.π2C.2πD.π5. 若tan π12cos 5π12=sin 5π12−m sin π12，则实数m 的值为（ ） A.2√3 B.√3 C.2 D.36. 已知sin (π6−α)=√33，则cos (2α+2018π3)=( )A.23 B.13 C.−23 D.−137. sin 15∘sin 75∘＝（ ） A.14 B.12C.√32D.√34πA.−45B.45C.−35D.359. 若将函数y=sin2x+√3cos2x的图象向左平移π6个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（）A.x=kπ2−π12(k∈Z) B.x=kπ2+π2(k∈Z)C.x=kπ2(k∈Z) D.x=kπ2+π12(k∈Z)10. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形的一个锐角为α，且小正方形与大正方形面积之比为9:25，则sin2α的值为（）A.49B.59C.916D.162511. 若√5cos(α−π2)=cos(π+α)，则tan2α=( )A.−√52B.√52C.−√55D.−√5412. 已知tan(α+π4)＝3，则sin2α+sin2α＝（）A.3 5B.45C.1D.8513. 已知函数．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；(Ⅱ)将函数f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，求g(x)在区间上的值域．14. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为a2．3sin A (1)求sin B sin C；(2)若6cos B cos C=1，a=3，求△ABC的周长．参考答案与试题解析 倍角公式练习题含答案一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ） 1.【答案】 D【考点】二倍角的正弦公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 2.【答案】 B【考点】求二倍角的余弦 【解析】由诱导公式化简已知可得cos θ=13，由诱导公式和二倍角的余弦函数公式即可求值． 【解答】解：∵ cos (θ+π)=−13，∴ 可得cos θ=13，∴ sin (2θ+π2)=cos 2θ=2cos 2θ−1=2×(13)2−1=−79． 故选：B ． 3.【答案】 C【考点】二倍角的正切公式同角三角函数间的基本关系【解析】由题意根据同角三角函数的基本关系求出 cos x 、tan x ，再利用二倍角的正切公式求出tan 2x 的值． 【解答】解：∵ x ∈(−π2, 0)，sin x =−35， ∴ cos x =45，∴ tan x =sin x cos x =−34， −34.【答案】D【考点】三角函数的周期性两角和与差的三角函数【解析】利用倍角公式，结合辅助角公式进行化简．利用周期公式进行求解即可．【解答】y＝sin2x+cos2x＝sin2x+1+cos2x2=sin2x+12cos2x+12=√52(√52x+√52x)+12，令cosθ=√5，sinθ=√5，则函数等价为y=√52(sin2x cosθ+cos2x sinθ)+12=√52sin(2x+θ)+12，则周期T=2π2=π，5.【答案】A【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】利用“切化弦”的思想，在结合二倍角即可求解．【解答】由tanπ12cos5π12=sin5π12−m sinπ12，可得：sinπ12cos5π12=cosπ12sin5π12−m sinπ12cosπ12，⇔sinπ12cos(π2−π12)=cosπ12sin(π2−π12)−m sinπ12cosπ12，⇔sin2π12=cos2π12−m2sinπ6，⇔m2sinπ6=cosπ6，∴m=2√36.【答案】D【考点】三角函数的恒等变换及化简求值两角和与差的三角函数【解析】∵sin(π6−α)=√33，则cos(2α+2018π3)=cos(2α+672π+2π3)=cos(2α+2π3)=cos2(α+π3)=2cos2(α+π3)−1=2sin2(π6−α)−1=2⋅13−1=−13，7.【答案】A【考点】二倍角的三角函数【解析】利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简，根据特殊角的三角函数值即可计算得解．【解答】sin15∘sin75∘＝sin15∘cos15∘=12sin30∘=12×12=14．8.【答案】C【考点】求二倍角的正弦求两角和与差的正弦【解析】利用两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系求得tanα，再利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得sin2α的值．【解答】解：∵sin(α+π4)=√2(sinα+2cosα)，即√22sinα+√22cosα=√2(sinα+2cosα)，即tanα=−3，则sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=−35，故选C．9.【答案】A【考点】三角函数中的恒等变换应用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，根据函数y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得平移后图象的对称轴方程．将函数y=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3)的图象向左平移π6个单位长度，可得y=2sin(2x+π3+π3)=2sin(2x+2π3)的图象，令2x+2π3=kπ+π2，可得x=kπ2−π12，k∈Z，则平移后图象的对称轴方程为x=kπ2−π12，k∈Z，10.【答案】D【考点】二倍角的三角函数【解析】由题意利用直角三角形中的边角关系可得5sinα−5cosα＝3，两边平方并利用二倍角的正弦公式，求得sin2α的值．【解答】∵小正方形与大正方形面积之比为9:25，设小正方形的边长为3，则大正方形边长为5，由题意可得，小直角三角形的三边分别为5cosα，5sinα，5，∵4个小直角三角形全等，故有5cosα+3＝5sinα，即5sinα−5cosα＝3，平方可得sin2α=1625，11.【答案】A【考点】二倍角的正切公式运用诱导公式化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】解：依题意，√5cos(π2−α)=−cosα，即√5sinα=−cosα，∴tanα=−√55，∴tan2α=2tanα1−tan2α=−2√551−15=−√52.故选A.12.【答案】C两角和与差的三角函数二倍角的三角函数【解析】通过两角和与差的三角函数求出tanα，然后化简所以的表达式为正切函数的形式，代入求解即可．【解答】tan(α+π4)＝3，可得1+tanα1−tanα=3，所以tanα=12，则sin2α+sin2α=2sinαcosα+sin2αsin2α+cos2α=2tanα+tan2αtan2α+1=1+1414+1=1．二、解答题（本题共计 2 小题，每题 5 分，共计10分）13.【答案】（1）函数＝2−cos(2x−＝＝．所以函数的最小正周期为，令(k∈Z)(k∈Z)，所以函数的单调递减区间为[](k∈Z)．（2）将函数f(x)的图象向右平移个单位）+4＝，由于x∈，所以，故，故函数的值域为[0．【考点】三角函数中的恒等变换应用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】此题暂无解答14.【答案】解：(1)由题设得：12ac sin B=a23sin A，即12c sin B=a3sin A，由正弦定理得12sin C sin B=sin A3sin A，故sin B sin C=23．(2)由(1)得cos B cos C−sin B sin C=−12，即cos(B+C)=−12，所以B+C=2π3，故A=π3.由题设得12bc sin A=a23sin A，即bc=8.由余弦定理得b2+c2−bc=9，即(b+c)2−3bc=9，得b+c=√33，故△ABC的周长为3+√33．【考点】两角和与差的余弦公式三角形的面积公式余弦定理正弦定理【解析】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式、三角恒等变换等基础知识．【解答】解：(1)由题设得：12ac sin B=a23sin A，即12c sin B=a3sin A，由正弦定理得12sin C sin B=sin A3sin A，故sin B sin C=23．即cos(B+C)=−12，所以B+C=2π3，故A=π3.由题设得12bc sin A=a23sin A，即bc=8.由余弦定理得b2+c2−bc=9，即(b+c)2−3bc=9，得b+c=√33，故△ABC的周长为3+√33．。
倍角公式和半角公式] · [基础] · [习题训练]
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倍角公式和半角公式一、选择题（共12小题；共60分）1. 计算的结果等于A. B. C. D.2. 已知，则A. B. C. D.3. 已知，则的值为A. B. C. D.4. 若，则A. B. C. D.5. 若，则的值为A. B. C. D.6. 已知，则A. B. C. D.7. 已知，则A. B. C. D.8. 已知，则的值为A. B. C. D.9. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则的值为A. B. C. D.10. 函数是A. 最小正周期为的奇函数B. 最小正周期为的奇函数C. 最小正周期为的偶函数D. 最小正周期为的偶函数11. 若，且，则的值为A. B. C. D.12. 给出下列三个命题：①函数与是同一函数；②若函数与的图象关于直线对称，则函数与的图象也关于直线对称；③若奇函数对定义域内任意都有，则为周期函数．其中真命题是A. ①②B. ①③C. ②③D. ②二、填空题（共5小题；共25分）13. 若角的终边经过点，则的值为．14. 已知，则的值为．15. 已知角的终边经过点，则， .16. 若，则．17. 已知，，则的值为．三、解答题（共5小题；共65分）18. 如图示，是以为直径的圆的下半圆弧上的一动点（异于，两点），，分别为，在过点的直线上的射影（，在直线的上方），记，，向量 直线．（1）若，求面积的最大值及取得最大值时的值；（2）若，用表示向量，在向量方向上的投影之和的绝对值，试问，满足什么条件时，有最大值?（3）若，，，求的值．19. 已知，求的值．20. 已知，，求的值．21. 已知，求的值．22. （1）已知，且，求的值；（2）已知，的值．。
三角函数的倍角化简练习题
三角函数的倍角化简练习题1. sin 2θ的化简：根据三角函数的倍角公式sin 2θ = 2sinθcosθ2. cos 2θ的化简：根据三角函数的倍角公式cos 2θ = cos²θ - sin²θ3. tan 2θ的化简：根据三角函数的倍角公式tan 2θ = (2tanθ)/(1-tan²θ)4. cot 2θ的化简：根据三角函数的倍角公式cot 2θ = (cot²θ - 1)/(2cotθ)5. sec 2θ的化简：根据三角函数的倍角公式sec 2θ = (1 + tan²θ)/(1 - tan²θ)6. csc 2θ的化简：根据三角函数的倍角公式csc 2θ = (2cscθcotθ)/(csc²θ - cot²θ)通过这些练习题，我们可以更加熟悉和了解三角函数的倍角化简方法。
在解三角函数问题中，倍角公式是非常重要的一部分。
熟练掌握这些公式，对于简化表达式、证明恒等式以及求解复杂的三角方程等问题都有很大的帮助。
在化简三角函数的倍角时，我们可以利用已经知道的三角函数的值，通过代数运算将复杂的表达式转化为简洁的形式，从而便于计算和进一步推导。
牢记这些公式，并进行反复练习，可以提高我们在解题过程中的速度和准确性。
在实际应用中，三角函数的倍角公式在物理、工程、计算机图形学等领域中有广泛的应用。
例如在机械工程中，利用角度的倍角关系可以简化机械零件的设计和加工；在计算机图形学中，三角函数的倍角公式可以用来实现旋转和变形效果等。
总之，三角函数的倍角化简是解三角函数问题中的重要步骤，掌握倍角公式的应用和运用，可以帮助我们更好地理解和解决各种与三角函数相关的数学和应用题目。
通过反复练习和思考，我们可以不断提高自己的解题能力和数学素养。
三角函数的和差与倍角公式练习题
三角函数的和差与倍角公式练习题1. 已知sin(x) = 1/2，cos(y) = 3/5，且x和y都属于第一象限，求sin(x+y)和cos(2x-y)的值。
解：首先，根据sin(x) = 1/2可知，x的角度必然是30度或150度（因为sin(30°) = 1/2，sin(150°) = 1/2），由于x属于第一象限，因此x = 30°。
接下来，由cos(y) = 3/5可知，y的角度必然是53.13度（使用计算器求解），由于y属于第一象限，因此y = 53.13°。
根据和差公式sin(x+y) = sin(x) * cos(y) + cos(x) * sin(y)，代入x = 30°，y = 53.13°，可得：sin(x+y) = sin(30°+53.13°)= sin(30°) * cos(53.13°) + cos(30°) * sin(53.13°)= (1/2) * (3/5) + (√3/2) * (√2/2)= 3/10 + 3√2/4= (6 + 3√2) / 20再根据倍角公式cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)，代入x = 30°，可得：cos(2x) = cos(60°)= 1 - 2sin^2(30°)= 1 - 2(1/2)^2= 1 - 1/2= 1/2继续代入y = 53.13°，可得：cos(2y) = cos(106.26°)= 1 - 2sin^2(53.13°)= 1 - 2(√2/2)^2= 1 - 2/2= 1 - 1= 0最终得到sin(x+y) = (6 + 3√2) / 20，cos(2x-y) = 1/2。
2. 已知tan(a) = 3/4，且a属于第二象限，求tan(2a)和tan(5a)的值。
数学人教B版必修4课后训练：3.2.1倍角公式 含解析 精
倍角公式练习1．(2012·广东揭阳测试)已知倾斜角为α的直线l与直线x－2y＋2＝0平行，则tan 2α的值为( )A．45B．34C．43D．232．当cos 2α＝3时，sin4α＋cos4α的值是( )A．1 B．79C．1118D．13183．若sin2x＞cos2x，则x的取值范围是( )A．3ππ2π2π,44x k x k k⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭ZB．π5π2π2π,44x k x k k⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭ZC．ππππ,44x k x k k⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭ZD．π3πππ,44x k x k k⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z4．函数y＝2sin x(sin x＋cos x)的最大值为( )A．11C．25．已知sinα，则πsin 24α⎛⎫-=⎪⎝⎭________.6．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝59，则sin 2θ＝________.7．已知2sin cos5sin3cosθθθθ+=--，则3cos 2θ＋sin 2θ＝________.8．在△ABC中，4cos5A＝，tan B＝2，求tan(2A＋2B)的值．9．(2012·福建三明联考)已知函数f(x)x cos x＋sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)函数f(x)的图象可由函数y＝sin 2x的图象经过怎样的变换得出？参考答案1．解析：依题意知1tan2α＝，从而 tan 2α＝22tan1tanαα-＝43，故选C．答案：C2．解析：由cos 2α，得sin22α＝79.所以sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1－12sin22α＝171112918-⨯=.答案：C3．解析：由已知cos2x－sin2x＜0，∴cos 2x＜0，于是2kπ＋π2＜2x＜2kπ＋3π2(k∈Z)．∴kπ＋π4＜x＜kπ＋3π4(k∈Z)．答案：D4．解析：y＝2sin x(sin x＋cos x)＝2sin2x＋2sin x cos x＝1－cos 2x＋sin 2x＝sin2x－cos 2x＋1π24x⎛⎫-⎪⎝⎭＋1，所以y1. 答案：A5．解析：ππsin 2sin242αα⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝－cos 2α＝2sin2α－1＝2答案：26．解析：由sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－12sin22θ＝59，即1－12sin22θ＝59，解得sin22θ＝89，所以sin 2θ＝又θ为第三象限角，故2kπ＋π＜θ＜2kπ＋3π2(k∈Z)，所以4kπ＋2π＜2θ＜4kπ＋3π(k∈Z)，即2(2k＋1)π＜2θ＜2(2k＋1)π＋π(k∈Z)，所以sin 2θ＞0，故sin 2θ.7．解析：由2sin cos 5sin 3cos θθθθ+=--，得2sin θ＋cos θ＝－5sin θ＋15cos θ， ∴7sin θ＝14cos θ.∴tan θ＝2.∴3cos 2θ＋sin 2θ＝3(cos 2θ－sin 2θ)＋2sin θcos θ＝22223(cos sin )cos sin θθθθ-+＋222sin cos sin cos θθθθ+＝3·221tan 1tan θθ-+＋22tan 1tan θθ+＝2233tan 2tan 1tan θθθ-++＝－1.答案：－18．解：解法一：在△ABC 中，由cos A ＝45得0＜A ＜π2，则sin A35.∴tan A ＝sin 353cos 544A A =⨯=. ∴tan 2A ＝22322tan 2441tan 7314A A ⨯==-⎛⎫- ⎪⎝⎭. 又tan B ＝2， ∴tan 2B ＝222tan 2241tan 123B B ⨯==---.于是，tan(2A ＋2B )＝tan2tan21tan2tan2A B A B+-＝2444473244117173-=⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭. 解法二：由解法一可知3tan 4A ＝.∴tan(A ＋B )＝tan tan 1tan tan A B A B +-＝3211432124+=--⨯，∴tan(2A ＋2B )＝()()22tan 441tan 117A B A B +=-+. 9．解：(1)f (x )x cos x ＋sin 2xx ＋1cos22x -＝π1sin 262x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.∴函数f (x )的最小正周期为π； 由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)，∴f(x)的单调递增区间是πππ,π63k k⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k∈Z)．(2)∵f(x)＝π1sin262x⎛⎫-+⎪⎝⎭＝π1sin 2122x⎛⎫-+⎪⎝⎭，∴先把函数y＝sin 2x的图象向右平移π12个单位长度，再把所得的图象向上平移12个单位长度即得到函数f(x)的图象．。
(完整版)倍角公式与半角公式习题(绝对物超所值).doc
.两角和与差的三角函数1．若 cos 4 0, ，则 tg．，且252．（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) A sin( x 6 )(A0 ,0)的最小正周期为 T 6，且 f (2 )2．（ 1）求f (x)的表达式；,[0, ] f (3 ) 16 f (3 5 ) 20)的值． （ 2）设 2 ， 5 ，2 13 ，求 cos( 3．在非等腰△ ABC 中， a ， b ， c 分别是三个内角 A ， B ， C 的对边，且 a=3，c=4， C=2A ． （Ⅰ）求 cosA 及 b 的值； （Ⅱ）求 cos(– 2A) 的值．31，则cos 2(4．已知 sin()) 的值是（）633A ．7B．1C． 1D．7933 941 tan5．若 cos， 是第三象限的角 , 则2=（）51 tan2A ．1B ．122 3C ．D．-256．己知 a R,sin a 3cos a5 ，则 tan 2a=_________ ．7．已知 cos()4 ,则 sin 2 .4 58．已知 cos() 4,则 sin 2 .4 59．在 ABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c 且 a b ，已知 cosC4， c 3 2 ，5sin Acos 2Bsin Bcos 2A2 1 sin C ．222（Ⅰ）求 a 和 b 的值；（Ⅱ）求 cos(B C) 的值．10．已知函数f ( x) 2sin( x)(0, x R )的最小正周期为.6（ 1）求 的值；（ 2）若 f ( )2 (0, ) ，求 cos2 的值 .，3811．已知函数 f ( x)2sin x cos x 2sin 2x 1(x R) ．.（ 1）求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间；（2）若在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， a3 错误 ! 未找到引用源。
数学人教B版必修4优化训练：3.2.1倍角公式 含解析 精
3.2 倍角公式和半角公式3.2.1 倍角公式5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.cos 48π-sin 48π等于（ ）A.0B.22 C.1 D.22-解析：cos 48π-sin 48π=（cos 28π+sin 28π).（cos 28π-sin 28π)=cos 4π=22. 答案:B 2.已知sin2α=54，cos 2α=53-，则α所在的象限是（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：由sin2α=54，cos 2α=53-得sinα=2sin 2αcos 2α=2524-＜0，cosα=cos 22α-sin 22α=（53-)2-（54)2=257-＜0，∴α为第三象限角.答案:C3.(2006高考全国卷Ⅱ，2)函数y=sin2xcos2x 的最小正周期是（ ） A.2π B.4π C.4π D.2π 解析：y=21sin4x,最小正周期T=242ππ=. 答案:D4.cos12π·sin 12π=___________，cos 212π-sin 212π=___________，︒-︒15tan 115tan 2=____________. 解析：cos 12π·sin 12π=21·2sin 12πcos 12π=21sin 6π=41；cos 2v-sin 2v=cos （2×12π)=cos 6π=23； 6330tan 21)152tan(2115tan 115tan 22115tan 115tan 22=︒=︒⨯=︒-︒∙=︒-︒.答案:41 23 6310分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.cos 2α=32时，sin 4α+cos 4α的值是（ ） A.1 B.97 C.1811 D.1813 解析：由cos2α=32,得sin 22α=97.∴sin 4α+cos 4α=（sin 2α+cos 2α)2-2sin 2αcos 2α =121-sin 22α=1-21×97=1811. 答案:C2.已知sin α+cos α=51，则tan α的值为（ ） A.34- B.43- C.34-或43- D.不确定解析：由sinα+cosα=51，平方得1+2sinαcosα=251，∴2sinαcosα=2524-.∴（sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=2549.∴sinα-cosα=±57.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,53cos ,54sin ,57cos sin ,51cos sin αααααα得 ∴tanα=34-. 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+.54cos ,53sin ,57cos sin ,51cos sin αααααα得 ∴tanα=43-. 答案:C3.函数f （x ）=cos2x-32sinxcosx 的最小正周期是____________. 解析：f （x)=cos2x-3sin2x=2cos （2x+3π)， ∴T=22π=π. 答案:π4.化简：8cos 228sin 1+++.解：)1cos 2(224cos 4sin 218cos 228sin 12-4+++=+++4cos 4)4cos 4(sin 22++==-(sin4+cos4)-2cos4=-sin4-3cos4.5.已知函数f （x ）=cos 2x-2sinxcosx-sin 2x ，(1)求f （x ）的最小正周期；(2)求f （x ）的最大值、最小值. 解：f （x)=cos 2x-2sinxcosx-sin 2x=cos2x-sin2x=2cos （2x+4π)， ∴T=π，f （x)max =2，f （x)min =-2.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.若sin 2x ＞cos 2x ，则x 的取值范围是( )A.{x|2k π43π-＜x ＜2k π+4π，k ∈Z }B.{x|2k π+4π＜x ＜2k π+45π，k ∈Z }C.{x|k π4π-＜x ＜k π+4π，k ∈Z }D.{x|k π+4π＜x ＜k π+43π，k ∈Z }解析：由已知cos 2x-sin 2x ＜0，cos2x ＜0，于是2kπ+2π＜2x ＜2kπ+23π（k ∈Z ).∴kπ+4π＜x ＜kπ+43π（k ∈Z ).答案:D2.若sin α=1312，α∈（2π，π），则tan 2α的值为( ) A.11960 B.119120 C.11960- D.119120- 解析：由已知可得cosα=135-，则tanα=ααcos sin =512-，tan2α=119120)512(1)512(2tan 1tan 222=---⨯=-αα. 答案:B3.函数y=2sinx （sinx+cosx ）的最大值为（ ）A.21+B.12-C.2D.2 解析：y=2sinx （sinx+cosx)=2sin 2x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=sin2x-cos2x+1 =2sin （2x-4π)+1， ∴y 的最大值为2+1. 答案:A4.(2005高考全国卷Ⅱ,理7)锐角三角形的内角A 、B 满足tanA-A2sin 1=tanB ，则有（ ）A.sin2A-cosB=0B.sin2A+cosB=0C.sin2A-sinB=0D.sin2A+sinB=0 解析：由tanA-A 2sin 1=tanB 得A A cos sin -A2sin 1=tanB ，∴AA 2sin 1sin 22- =tanB.∴AA2sin 2cos -=tanB.∴-cot2A=tanB.∴tan （2A- 2π)=tanB. 又A 、B 均为锐角，∴2A- 2π=B.∴cos （2A- 2π)=cosB.∴sin2A=cosB.∴sin2A-cosB=0. 答案:A5.已知θ是第三象限角，且sin 4θ+cos 4θ=95，则sin 2θ=____________. 解析：由sin 4θ+cos 4θ=（sin 2θ+cos 2θ)2-2sin 2θcos 2θ=1 21- sin 22θ及已知条件可得1-21sin 22θ=95，得sin 22θ=98，即sin2θ=±322. 又θ为第三象限角，故2kπ+π＜θ＜2kπ+23π（k ∈Z )， 4kπ+2π＜2θ＜4kπ+3π（k ∈Z )，2（2k+1)π＜2θ＜2（2k+1)π+π（k ∈Z ).所以sin2θ＞0， 故sin2θ=322. 答案：322 6.(2006高考江苏卷，14)cot20°cos10°+3sin10°tan70°-2cos40°=___________. 解析：原式=︒︒20sin 20cos cos10°+3 sin10°︒︒20sin 20cos -2cos40°=cos20°·︒︒︒+︒10cos 10sin 2)10sin 2310cos 21(2 -2cos40° =cos20°·︒︒20sin 40sin 2 -2cos40°=4cos 220°-2cos40° =2cos40°+2-2cos40°=2. 答案:27.已知θθθθcos 3sin cos sin 2-+=-5，则3cos 2θ+sin 2θ=______________.解析：由θθθθcos 3sin cos sin 2-+=-5得2sinθ+cosθ=-5sinθ+15cosθ， ∴7sinθ=14cosθ.∴tanθ=2.∴3cos2θ+sin2θ=3（cos 2θ-sin 2θ)+2sinθcosθ=θθθθθθθθθθθ222222222tan 1tan 2tan 1tan 13cos sin cos sin 2sin cos )sin (cos 3+++-∙=+++- θθθ22tan 1tan 2tan 33++-==-1.答案:-18.求值：cos50°（3-tan10°）. 解：原式=cos50°·（tan60°-tan10°)=cos50°·（︒︒-︒︒10cos 10sin 60cos 60sin )=cos50°·︒︒︒︒-︒︒10cos 60cos 10sin 60cos 10cos 60sin=cos50°·︒︒=︒︒=︒︒︒=︒︒-︒80sin 80sin 10cos 100sin 10cos 50cos 50sin 210cos 21)1060sin(=1. 9.(2006高考安徽卷，文17)已知α为锐角，且sin α=54.（1）求αααα2cos cos 2sin sin 22++的值；（2）求tan (α-45π)的值. 解:(1)∵α为锐角，且sinα=54， ∴cosα=α2sin 1-=53. ∴1)53(353542)54(1cos 3cos sin 2sin 2cos cos 2sin sin 222222-⨯⨯+=-+=++αααααααα=20. (2)∵tanα=34cos sin =αα，∴tan(α-45π)=71tan 11tan 45tantan 145tantan =+-=+-ααπαπα. 10.已知函数y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x ，x ∈R ，问： （1）函数的最小正周期是多少? （2）函数的单调递增区间是什么?（3）函数的图象可由函数y=2sin2x ，x ∈R 的图象如何变换而得出? 解:y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x=（sin 2x+cos 2x)+2sinxcosx+（2cos 2x-1)+1=2+sin2x+cos2x=2+2sin （2x+4π). （1)T=ωπ2=π. （2)由2π-+2kπ≤2x+4π≤2π+2kπ，得原函数的单调递增区间为 ［83π-+kπ，8π+kπ］(k ∈Z ). （3)可由y=2sin2x ，x ∈R 的图象向左平移8π个单位长度，再向上平移2个单位长度得到.。
数学人教B版必修4课后导练：3.2.1倍角公式 含解析 精
课后导练基础达标1.sinα-cosα=51,则sin ２α的值是（ ） A.2524- B.2524 C.54 D.54-解析：两边平方，1-2sinαcosα=215,∴sin2α=2524.答案：B2.已知tanα+αtan 1=m ，则sin2α等于（ ） A.m 1 B.m 2 C.2m D.21m解析：切化弦ααcos sin 1=m,∴sin ２α=m2.答案：B3.cos17π·cos 172π·cos 174π·cos 178π的值为（ ）A.21B.41C.81D.161解析：乘以17sin 17sinππ，利用倍角公式化简得161. 答案：D4.下列结论错误的是（ ）A.tanα+αα2sin 2tan 1= B.tanα-αα2tan 2tan 1- C.sin 2α-sin 2β=sin(α+β)sin(α-β) D.1+cos2θ=2sin 2θ解析：cos2θ=1-2sin 2θ, ∴2sin 2θ=1-cos2θ. 答案：D 5.已知sinα=215-,则sin2(α-4π)=_____________.解析：原式=-cos2α（诱导公式）. 答案：2-56.化简︒--︒+100sin 1100sin 1.解：原式=︒︒--︒︒+50cos 50sin 2150cos 50sin 21 =sin50°+cos50°-(sin50°-cos50°)=2cos50°.7.已知sin(4π+x)sin(4π-x)=61,x ∈(2π,π),求sin4x 的值. 解：∵sin(4π+x)sin(4π-x)=sin(4π+x)sin ［2π-(4π+x)］=sin(4π+x)cos(4π+x)=21sin(2π+2x)=21cos2x=61, ∴cos2x=31.∵x ∈(2π,π),∴2x ∈(π,2π).∴sin2x=322-. ∴sin4x=2sin2xcos4x=924-. 8.已知tan(4π+θ)=3,求sin2θ-2cos 2θ的值. 解:∵tan(4π+θ)=θθtan 1tan 1-+=3,∴tanθ=21.∴原式=θθθθθθθθθ222222cos sin cos 2cos sin 2cos sin cos 22sin +-=+- 541tan 2tan 22-=+-=θθ.综合运用9.已知cos(4π+x)=53,47127ππ<<x ,求xxx tan 1sin 22sin 2-+的值. 解：∵47127ππ<<x , ∴65π<4π+x<2π. ∵cos(4π+x)=53,∴23π<4π+x<2π.∴sin(4π+x)=54-,tan(4π+x)=34-.又∵sin2x=-cos(2π+2x)=-2cos 2(4π+x)+1 =2518-+1=257.原式=x x xx x x x x x x sin cos cos sin 2cos 2sin cos sin 1sin 22sin 22-+=-+x xx x x x x x tan 1tan 12sin sin cos )sin (cos 2sin -+=-+==sin2xtan(4π+x)=257·(34-)=7528-.10.已知sin 22α+sin2αcosα-cos2α=1,α∈(0,2π),求sinα,tanα. 解:原等式可变为4sin 2αcos 2α+2sinα·cos 2α-2cos 2α=0, ∴2cos 2α(2sinα-1)(sinα+1)=0. ∵α∈(0,2π),∴sinα+1≠0,cos 2α≠0. ∴sinα=21,α=6π.∴tanα=33 11.α,β是锐角,且3sin 2α+2sin 2β=1,3sin2α-2sin 2β=0,求证:α+2β=2π. 证明:由已知得3sin 2α=1-2sin 2β=cos2β, 又sin2β=23sin2α=3sinαcosα, ∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β =cosα3sin 2α-sinα3sinαcosα=0.又0<α<2π,0<β<2π, ∴0<α+2β<23π.∴α+2β=2π.拓展探究12.如图，在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ,沿BE 方向前进30 m 至点C 处测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进310 m 至D 处,测得顶端A 的仰角为４θ.同学们能否依据所测得的数据,计算出θ的大小与建筑物AE 的高吗？解：由已知BC=30 m,CD=103 m.在Rt △ABE 中,BE=AEcotθ,在Rt △ACE 中,CE =AEcot2θ,∴BC=BE-CE=AE(cotθ-cot2θ),同理,可得CD=CE-DE=AE(cot2θ-cot4θ), ∴)4cot 2(cot )2cot (cot θθθθ--=AE AE CD BC , 即3310304cot 2cot 2cot cot ==--θθθθ.而θθθθθθθθθθθθθθ2sin 4sin 4sin 4cos 2sin 2cos 2sin 2cos sin cos 4cot 2cot 2cot cot =--=-- =2cos2θ=3,∴2cos2θ=3⇒cos2θ=23⇒2θ=30°. ∴θ=15°, ∴AE=21AC=21BC=15 m. 故θ为15°，建筑物高为15 m.。
倍角公式练习题
2sin xcox
2 sin x cosx 2sin xcosx ，
4
4
2
令 t cosx sin x t
2, 2 则 2sin x cos 1 t 2 ， 所 以 原 函 数 等 价 于
2
2
y 1t
t
2
2
2 t
9 ，则其是开口向下， 对称轴为 x 2
4
8
2
2, 2 的抛
物线，所以当 x
2
9
9
2 时， ymax
9
9
3
14．已知 是第二象限角，且 sin(
) 3 ，则 tan 2 的值为（
）
5
A． 4 5
B ． 23 7
24 C．
7
D ．3
15．已知 sin( x) 1 ，则 sin 2 x 的值为（ ）
4
4
A． 7 8
B ．9 16
C ． 15 16
D ． 15 16
16．已知 cos(x )
3 ，则 cos x cos(x )
22． 3 5
【解析】
试题分析： sin 2
2 sin cos
2sin sin 2
考点： 1．二倍角公式； 2．同角三角函数
cos cos 2
2 tan
3
tan 2 1 5
23． 2 5
【解析】
试题分析： sin cos
sin cos
sin 2
cos2
考点：同角三角函数的平方关系与商数关系
tan tan2
3
sin 2 2sin cos
.
5
3 ，所以 sin
3cos ，∵ sin 2
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25． ．
【解析】
试题分析：因为 ，令 则 ，所以原函数等价于 ，则其是开口向下，对称轴为 的抛物线，所以当 时， ，即 有最小值为 ．
考点：1．三角和差角公式；2．一元二次函数的最值；3．转化与化归思想的应用．
26． ．【解析】源自18．【解析】试题分析：∵ ，
∴ ，
令 ，解得 ，又 ，∴ ，
当 时， ，函数为增函数；
当 时， ，函数为减函数，
则当 时，函数取最大值，最大值为 ．
故答案为：
考点：二倍角的余弦；余弦函数的定义域和值域．
19．
【解析】
试题分析： ，则 ．
考点：诱导公式、倍角公式与同角三角函数关系.
20．
【解析】
试题分析：由于
A． B． C． D．
6．【原创】在△ABC中，若sin（A+B-C）=sin（A-B+C），则△ABC必是（ ）
（A）等腰三角形（B）直角三角形
（C）等腰或直角三角形（D）等腰直角三角形
7．【原创】 的值域是（）
A．[－2，2]B．[0，2]C．[－2，0]D．R
8． 则下列等式成立的是（ ）
（A） （B）
11．D
【解析】
试题分析：∵ ，所以 ，∵ ，∴ .
考点：同角的基本关系.
12．C
【解析】
试题分析：由已知得
,解得 ，故 ．
考点：1、诱导公式；2、降幂公式和二倍角公式.
13．A
【解析】
试题分析：由 ，又 ，所以 ，且 .所以 . .所以 .故选A.
考点：1.三角恒等变形.2.三角函数的角的范围的确定.
14．C
【解析】
试题分析：由 得 ，因 是第二象限角，故 ，所以 ，所以
考点：三角函数诱导公式
15．A.
【解析】 .
考点：二倍角公式.
16．
【解析】
试题分析：
．
考点：利用两角差的余弦公式、辅助角公式对三角式子求值．
17．
【解析】
试题分析：
因此
考点：同角三角函数关系
【名师点睛】
（1）利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用 ＝tan α可以实现角α的弦切互化．（2）应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．（3）巧用“1”的变换：1＝sin2α＋cos2α等．
A． B． C． D．
15．已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
16．已知 ，则 ．
17．已知 ，且 ，则 的值为．
18．函数 在区间 上的最大值是．
19．若 ，则 ．
20．若 ，则 的值等于___________
21．已知 ，则 ．
22．若 ，则 ．
23．若tanα＝2，则sinα·cosα的值为．
试题分析：由题意得： ，∴ ， ，
∴ ．
考点：1．任意角的三角函数定义；2．三角恒等变形．
27．①②③⑤．
【解析】当 时 ，故①错；②若 为减函数，则 ，
此时 ，故②错；③当x分别去 时，y都是0，故③错；⑤ 最小正周期为 ，故⑤错。
1．若 ， ，则 （ ）
A． B． C．7 D．
2．已知 为第二象限角， ，则
A． B． C． D．
3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上则cos 2θ等于（ ）
A．－ B．－ C． D．
4．已知 ，则 （）
A． B． C． D．
5．已知 ，且 ，则 的值为（ ）
【解析】∵sin（A+B-C）=sin（A-B+C），∴sin（π-2C）=sin（π-2B），即sin2C=sin2B，∴2C=2B或2C=π-2B，即C=B或C+B= ，∴△ABC是等腰或直角三角形．
【原创理由】为了考查诱导公式的在判断三角形形状问题中的应用，
7．B
【解析】
试题分析：∵sinx∈[－1，1]，∴ ，则 ．
（C） （D）
9．已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
10．已知 =（ ）
A． B．- C． D．2
11．若 则 =（ ）
A．1 B．3 C． D．
12．已知 则 的值等于（ ）
A. B. C. D.
13．若 ，且 ，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
14．已知 是第二象限角，且 ，则 的值为（ ）
，
考点：（1）同角三角函数基本关系（2）二倍角公式
21．
【解析】
试题分析： 或 ， ．
考点：（1）同角三角函数的基本关系（2）二倍角公式
22．
【解析】
试题分析：
考点：1．二倍角公式；2．同角三角函数
23．
【解析】
试题分析： ，答案为 ．
考点：同角三角函数的平方关系与商数关系
24． ．
【解析】
试题分析：因为 ，令 则 ，所以原函数等价于 ，则其是开口向下，对称轴为 的抛物线，所以当 时， ，即 有最小值为 ．
参考答案
1．D
【解析】
试题分析：因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，故选D．
考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、二倍角．
【一题多解】由题意，得 ，所以 ．因为 ，所以 ，所以由 ＝ ，解得 或 （舍），故选D．
2．A
【解析】
试题分析：因为 为第二象限角， ， ，则原式=
考点：（1）正弦的二倍角公式（2）诱导公式
24．函数 的最大值是．
25．函数 的最大值是．
26．已知函数 ， 且 的图象恒过点 ，若角 的终边经过点 ，则 的值等于_______．
27．①存在 使 ；②存在区间 使 为减函数而 ；
③ 在其定义域内为增函数；④ 既有最大、最小值，又是偶函数；
⑤ 最小正周期为 ， 以上命题错误的为____________。
【原创理由】为了让学生弄清 与 的不同，同时考查正弦函数的值域。
8．D
【解析】由诱导公式 且它的周期为T=4π知,只有D正确．
9．B.
【解析】
试题分析： ，故选B.
考点：三角恒等变形.
10．B
【解析】
试题分析：由题意可得， ，∴
故选B
考点：本题考查同角三角函数之间的基本关系，二倍角公式
点评：解决本题的关键是利用同角三角函数之间的基本关系求出tanα
3．B
【解析】
试题分析： ，根据同角基本关系式， ，解得 ，根据二倍角公式 ．
考点：1．三角函数的定义；2．同角基本关系式；3．二倍角公式．
4．A
【解析】
试题分析： 的两边分别平分得
考点：同角间三角函数关系
5．C．
【解析】
试题分析：∵ ，∴ ，又∵ ，
∴ ，∴ ，∴ ， ，
．
考点：三角恒等变形．
6．C