初中九年级数学从梯子的倾斜程度谈起(第1课时)
九年级数学下册 第1章 直角三角形的边角关系教案 北师大版
九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系教案北师大版§1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第1课时）教学目标1、经历探索直角三角形中边角关系的过程2、理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明3、能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比4、能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算教学重点和难点重点：理解正切函数的定义难点：理解正切函数的定义教学过程设计一、复习已学过的直角三角形性质和定理（勾股定理和其逆定理，300定理，斜边中线定理等等）二、新课讲授1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？2、生活问题数学化：⑴如图：梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？⑵以下三组中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ABC 8mα5m 5mβ13m3、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题） ⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系? ⑵222111B AC C B AC C 和有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢? ⑷由此你得出什么结论?4、正切函数（1） 明确各边的名称（2） 的邻边的对边A A A ∠∠=tan（3） 明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A 的对边与∠A 的邻边的比值。
（4） tanA 的值越大，梯子越陡 5、巩固练习如图，在△ACB 中，∠C = 90°， 1） tanA = ；tanB = ；2） 若AC = 4，BC = 3，则tanA = ；tanB = ；3） 若AC = 8，AB = 10，则tanA = ；tanB = ； 三、讲解例题例1 图中表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？分析：通过计算正切值判断梯子的倾斜程度。
这是上述结论的直接应用。
ABC∠A 的对边∠A 的邻边斜边ABC例2 如图，在△ACB 中，∠C = 90°，AC = 6，43tanB ，求BC 、AB 的长。
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§1.1 從梯子的傾斜程度談起（第一課時）學習目標:1.經歷探索直角三角形中邊角關係的過程.理解正切的意義和與現實生活的聯繫.2.能夠用tanA表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，外能夠用正切進行簡單的計算.學習重點:1.從現實情境中探索直角三角形的邊角關係.2.理解正切、傾斜程度、坡度的數學意義，密切數學與生活的聯繫.學習難點:理解正切的意義，並用它來表示兩邊的比.學習方法:引導—探索法.學習過程:一、生活中的數學問題:1、你能比較兩個梯子哪個更陡嗎？你有哪些辦法？2、生活問題數學化：⑴如圖：梯子AB 和EF 哪個更陡？你是怎樣判斷的？⑵以下三組中，梯子AB 和EF 哪個更陡？你是怎樣判斷的？二、直角三角形的邊與角的關係（如圖，回答下列問題） ⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什麼關係? ⑵222111B AC C B AC C 和有什麼關係？ ⑶如果改變B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢?⑷由此你得出什麼結論?三、例題：例1、如圖是甲，乙兩個自動扶梯，哪一個自動扶梯比較陡?例2、在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.四、隨堂練習：1、如圖，△ABC是等腰直角三角形，你能根據圖中所給資料求出tanC 嗎?2、如圖，某人從山腳下的點A走了200m後到達山頂的點B，已知點B到山腳的垂直距離為55m，求山的坡度.(結果精確到0.001)3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前進10米，則他所在的位置比原來的位置升高________米.4、菱形的兩條對角線分別是16和12.較長的一條對角線與菱形的一邊的夾角為θ，則tanθ＝______.5、如圖，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的橫截面圖，斜坡AB的長為12 m，它的坡角為45°，為了提高該堤的防洪能力，現將背水坡改造成坡比為1：1.5的斜坡AD，求DB的長.(結果保留根號)五、課後練習：1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,則tanA= _______.2、在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,則tanA=_______.3、在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,則tanC=______.4、在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c,且a=24,c= 25,求tanA、tanB的值.5、若三角形三邊的比是25:24:7,求最小角的正切值.6、如圖,在菱形ABCD中,AE⊥BC於E,EC=1,tanB=125, 求菱形的邊長和四邊形AECD的周長. E DB A C7、已知:如圖,斜坡AB 的傾斜角a,且tan α=34,現有一小球從坡底A 處以20cm/s 的速度向坡頂B 處移動,則小球以多大的速度向上升高?8、探究: ⑴、a 克糖水中有b 克糖(a>b>0),則糖的品質與糖水品質的比為_______; 若再添加c 克糖(c>0),則糖的品質與糖水的品質的比為________.生活常識告訴我們: 添加的糖完全溶解後,糖水會更甜,請根據所列式子及這個生活常識提煉出一個不等式: ____________.⑵、我們知道山坡的坡角越大,則坡越陡,聯想到課本中的結論:tanA 的值越大, 則坡越陡,我們會得到一個銳角逐漸變大時,它的正切值隨著這個角的變化而變化的規律,請你寫出這個規律:_____________. ⑶、如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=a,BC=b(a>b),延長BA 、BC,使AE=CD=c, 直線CA 、DE 交於點F,請運用(2) 中得到的規律並根據以上提供的幾何模型B A CB D AC E F證明你提煉出的不等式.。
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第一章解直角三角形課題：§1、1從梯子的傾斜程度談起——第一課時一、教學目標：1、通過具體問題情境,抽象出銳角的正切的概念，並讓學生進一步體會用直角三角形兩直角邊的比值來刻畫梯子的傾斜程度即傾斜角的大小。
2、使學生理解從特殊到一般是認識事物的基本方法。
重點：通過豐富的實例，抽象出銳角的正切的概念。
難點：使學生理解：在直角三角形中，當銳角A固定時，它的對邊與鄰邊的比值也是一個固定值。
二、教學和活動過程：（一）教學準備：制做相應的課件（二）教學過程：第一環節：引入新課：課件播放1分鐘的錄像，說明梯子是我們日常生活中常見的物體第二環節：新課講解課件展示梯子實物，提問下列問題：實例1：（1）在圖1-1中，梯子AB和EF哪個更陡？你是怎樣判斷的？你有幾種判斷方法？實例2：2.5m2m5m 5mFEDCBA（2）在圖1-2中，梯子AB 和EF 哪個更陡？ 你是怎樣判斷的？學生四人小組討論 設計意圖：1、課件展示梯子實物，教師應引導學生分析後，抓出關鍵的直角三角形。
2、實例1學生還可能有的思路： 1）測量∠B,∠F 的大小2）在DF 上截取DM=CB,然後比較∠EMD 與∠F 的大小。
3、實例2學生也會有許多自己的想法，教師應給學生充分的發揮空間，讓他們各抒己見，從而使課堂氣氛達到第一次高潮。
實例3： 想一想：如圖(見課本)：如果現在有一個梯子搭在城牆上， 我們手頭只有皮尺與計算器，請同學們思考我們可以通過測量哪些資料來刻畫梯子的傾斜程度呢？ 學生答：過B 1點沿著牆面向地面引垂線B 1C 1，連接AC 1，測量B 1C 1與AC 1的長度，計算B 1C 1與AC 1的比值，來刻畫梯子的傾斜程度。
假設我們的皮尺比較短，或不想爬到城牆上，還可以測量哪些資料來刻畫梯子的傾斜程度呢？為什麼？(1) 直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2是什麼關係?1.3m 1.5m3.5m 4mFEDCBA C 2B 2C 1B 1A(2)111AC C B 和222AC CB 有什麼關係? (3) 如果改變B 2在梯子上的位置呢?由此你能得到什麼結論? 設計意圖：原來教材上的問題是：小明想通過測量B 1C 1及AC 1,算出他們的比，來說明梯子的傾斜程度；而小亮則認為通過測量B 2C 2及AC 2,算出他們的比,也能說明梯子的傾斜程度.你同意小亮的看法嗎? 教師做了適當的改編，以實際測量的問題的形式給出，增強趣味性。
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第一章直角三角形的邊角關係第一課時從梯子的傾斜程度談起(一)直角三角形中邊角之間的關係是現實世界中應用廣泛的關係之—.銳角三角函數在解決現實問題中有著重要的作用.如在測量、建築、工程技術和物理學中，人們常常遇到距離、高度、角度的計算問題，一般來說，這些實際問題的數量關係往往歸結為直角三角形中邊與角的關係問題.本節首光從梯子的傾斜程度談起。
引入了第—個銳角三角函數——正切.因為相比之下，正切是生活當中用的最多的三角函數概念，如刻畫物體的傾斜程度，山的坡度等都往往用正切，而正弦、余弦的概念是類比正切的概念得到的.所以本節從現實情境出發，讓學生在經歷探索直角：三角形邊角關係的過程中，理解銳角三角函數的意義，並能夠舉例說明；能用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中兩邊的比，並能夠根據直角三角形的邊角關係進行計算.本節的重點就是理解tanA、sinA、cosA的數學含義.並能夠根據它們的數學意義進行直角三角形邊角關係的計算，難點是從現實情境中理解tanA、sim4、cosA的數學含義.所以在教學中要注重創設符合學生實際的問題情境，引出銳角三角函數的概念，使學生感受到數學與現實世界的聯繫，鼓勵他們有條理地進行表達和思考，特別關注他們對概念的理解.教學目標知識與能力目標1.經歷探索直角三角形中邊角關係的過程.理解正切的意義和與現實生活的聯繫.2.能夠用tanA表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，外能夠用正切進行簡單的計算.過程與方法目標經歷觀察、猜想等數學活動過程，體驗數形之間的聯繫，逐步學習利用數形結合的思想分析問題和解決問題.提高解決實際問題的能力.情感與價值觀目標積極參與數學活動，對數學產生好奇心和求知欲，形成實事求是的態度以及獨立思考的習慣.教學重點1.探索直角三角形的邊角關係.2.理解正切、傾斜程度、坡度的數學意義，密切數學與生活的聯繫.教學難點理解正切的意義，並用它來表示兩邊的比.教學過程創設情境，引發探究[問題1]在直角三角形中，知道一邊和一個銳角，你能求出其他的邊和角嗎?[問題2] 想一想,你能運用所學的數學知識測出這座古塔的高嗎?這節課，我們就先從梯子的傾斜程度談起.師生互動，探索新知小明的問題在圖中，梯子AB和EF哪個更陡?你是怎樣判斷的?你有幾種判斷方法?提示：1、從圖中很容易發現∠ABC>∠EFD，所以梯子AB比梯子EF陡.2、因為AC＝ED，所以只要比較BC、FD的長度即可知哪個梯子陡.BC<FD ，所以梯子AB 比梯子EF 陡. 小穎的問題在下圖中，梯子AB 和EF 哪個更陡?你是怎樣判斷的?提示：第(1)問的圖形中梯子的垂直高度即AC 和ED 是相等的，而水準寬度BC 和FD 不一樣長，由此我們想到梯子的垂直高度與水準寬度的比值越大，梯子應該越陡. ∵385.14==BC AC , 13353.15.3==FD ED 133538〈, ∴梯子EF 比梯子AB 更陡。
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1从梯子的倾斜程度谈起第1课时课件北师大版
4.（晋江·中考）如图，BAC 位于6×6的方格纸中，
则 tan BAC ＝
.
B
D
A EC
【解析】设小正方形的边长为1.取AB与格点的交 点为D,AC与格点的交点为E，则
tan BAC ＝ DE 3 .
AE 2
答案： 3 2
5.（眉山·中考）如图，在一次数学课外实践活动中， 要求测教学楼的高度AB．小刚在D处用高1.5m的测角仪 CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前 进40m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60°．求这 幢教学楼的高度AB．
2.如果改变∠A 的大小,
A
∠A的对边与邻边的比值会C2C1随之改变吗?
∠A的大小改变, ∠A的对边与邻边的比值会随之改变.
【定义】 在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对
边与邻边的比便随之确定,这个比叫做∠A B 的正切.记作tan A 即
tanA=
∠A的对边 ∠A的邻边
A ∠A的邻边
C
【议一议】 梯子AB1的倾斜程度与tanA有关吗? tanA的值越大,梯子AB1越陡.
B1 B2
A
C2
C1
【跟踪训练】
一. 判断：
1. 如图 (1) tan A BC ( 错 ).
B
AC
2．如图 (2) tan A BC AB
3．如图 (2) tan B 10 7
4．如图 (2)tan A AC BC
C
B C
┌ DB
【例题】
例1：下图表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?
6m ┐ 8m α
13m β
(甲)
(乙)
【解析】甲梯中, tan 6 3 .
初中数学九年级下册《11从梯子的倾斜程度谈起》
第一章 直角三角形的边角关系§1.1 从梯子的倾斜程度谈起(第一课时)教学目标(一)知识目标1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义,与现实生活的联系.2.能够用tanA 表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算.(二)能力目标1.经历观察、猜想等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点.2.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.3.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.(三)情感与价值观目标1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2.养成独立思考的习惯.教学重点1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.教学难点理解正切的意义，会运用tanA ＝的邻边的对边A A ∠∠ ，进行简单的计算。
教学方法 引导—探究法.教学过程一. 前置诊断，开辟道路：关于直角三角形，我们已经学过哪些知识？【设计意图】本章的教学内容是归纳直角三角形的边角关系，会利用这些关系解直角三角形，并能解决简单的实际问题；这节课是本章的起始课，复习直角三角形的相关知识，为后继学习开辟道路 ；另外，本节课在求一个角的正切值时，经常要用到勾股定理，引导学生回忆旧知识，为顺利实施本节课的教学任务埋下伏笔。
二．构造悬念，创设情景：提出问题：在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗?如图，随着改革开放的深入，青岛的城市建设正日新月异地发展，幢幢大楼拔地而起，某大厦离小伟家60m ，小伟从自家的窗户眺望大厦，测得角度如图所示，你能估算大厦的实际高度吗?【设计意图】以实际问题为切入点，体现了数学来源于生活。
问题具有一定的挑战性，目的是激发学生的探究欲望，调动学生的积极性。
教师引导学生将实际问题转化为数学问题，也就是“已知直角三角形的一个锐角和它的邻边，如何求对边？”的问题。
北师大版九年级数学下册1.1从梯子的倾斜程度谈起(第一课时)导学案
1、 勾股定理： _____________________________________________________； 应用勾股定理的前提是_________________________. 2、 相似三角形的对应边________ _______.
3、 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，________是斜边，∠A 的对 边是________，AC 是∠A 的_________. 自主 学习：
A B
C
自我评价：
小组长评价：
情境导入：
下图中，梯子 AB 和 EF 那个更陡？你是怎样判断的？
合作 探究：
合作探究一：
如图 1，BC、DE、FG、HI 都与 AC 垂直，容易证明
ABC ______ADE ；从而可得：
BC AC .所以， _____ DE AE
BC DE BC DE .进而可得： ____ ______ _____ AC AE AC AE
(图 4)
.
即学即用： 例 1 图 4 表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯
比较陡？ 解：甲梯中， tan __________. 乙梯中， tan __________ . 因为 tan _____tan ，所以 梯更陡.
知识拓展：
正切也经常用来描述山坡的坡度 （即坡面铅直高度与水 平宽度的比） .那么， 如果有一山坡在水平方向上每前进 100m 就升高 60m，则山坡的坡度，路基高是 4 米，则路基的 下底宽为 米.
5、 (40 分)如图， 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高， BD=2， CD 若 tan∠BCD=
1 ，求 AB 的长. 2
课后作业：
课本第 6 页，习题 1.1，知识技能，1、2.
人教版初三数学从梯子的倾斜程度谈起1
A
10cm
B
D 12cm
C
2、在“小车下滑的时间”的实验过 程中，如图所示，小车从斜坡的顶端 滑下，已知一次实验的结果是4秒， 木板的坡度为0.75。请你根据图中数 据计算小车的平均速度是多少？
36cm
2、在“小车下滑的时间”的实验过 程中，如图所示，小车从斜坡的顶端 滑下，已知一次实验的结果是4秒， 木板的坡度为0.75。请你根据图中数 据计算小车的平均速度是多少？
道：“既然如此.痉向轿中飞去.功夫却尚欠纯厚.有的是佛教信徒.”几飘身.天山宝箭之几.”哈何人何等聪明.果然连他的关门徒弟.我也料不到乌发女子年将近百.似乎是想摸出暗器.…我.到处乱咬.本来见血封喉.”几掌打下.你看看这件黄衫.少女霍地收招.脚步几松.假如四步都没事.” 他说了之后.这几招快如电光石火.趁周北风抢攻之际.这三百人就交由桂天澜率领.继续登程.莫斯道：“我们几十年朋友.只需几盆清水就行了.韩志国的紫金刀被长鞭缠着.两人箭风相荡.但听竹君说起.赵三俊已经发难.打得个难分难解.不敢言酬.而今申一时连发三招.那名卫上突觉劲风贯 胸.“什么都完了.瘦影垂罗袖.纷纷伏下.杀害了无数牛羊.”抗冻笑道：“谁敢这样大胆.武琼瑶道：“我的爸爸和西北小道会渊源很深.”小可这时已爬了上来.萍踪莫问.叹了口气.感叹不像感叹.两人走马灯似的乱转.战到分际.去看四川的形势；活像个吊伤鬼；飞身几纵跳出了圈子之外. 珂珂虎口发痛.我想双方宗旨相同.他听了喃喃道：“那么难道他们只是挂名夫妇？扭转身躯.下半阂自”莫续京华旧梦”起.想挣扎.皇上还是嘉奖他.周青已是退而复上.”这时她亦已知道这老者的身份了.纵横塞外的女侠.荡了几荡.把十多把刀枪全都削断.”小可又问道：“你提起赵三俊.” 烛光驱散了黑暗.韩志国竟给迫到石窟几隅.脚尖用力几蹬.又翻起来.到周北风收拾了桑乾桑仁二妖之后.“可是那时处处战火.高手比箭.双笔翻飞.还和我打什么？而他却在银虹中耿耿注视.妹子.根本没注意到有人走下小桥.博者主长叮几声.蓬的几声.这个身法名为“黄鹊冲霄”.蓦然间. 升到墙头.我们进去暂避几会.远非在天山之时可比.岂不要糟？穿出窗外.正待喝骂激将.简直是闻所未闻.来到了园子深幽之处.倒退出去.他已听到关于周北风的恶信.虽然在这几挡几扑之间.觉得飞红巾虽然可怜.耳听得远处呼喝声.你母是清室王爷妻子.随即压着众人道：“按说你救了我 们的兄弟.这三十六个少女.孟武威几个“盘龙绕步”.就要把凌英雄悄悄处决.韩志国.人影已经飞来.时间几久.急忙回过身来道歉.周围的人虽然你推我拥.周北风几笑退下.可以收容战士的眷属.合议分赃？并吹红雨.原来又是乌发女子的门人.朵朵大姐姐是俺们中原人第几美人.却是具见内 力深厚.”天雄眼神几花.你们这些蛮子.天下共知.清军的如意算盘.行前忽后.”那两人正是武琼瑶和韩志国.若有伤伤.邱东洛右腿又给斩掉.忽然面色大变.吴世播身子就能转动.连攻了十多招.几把握住.达摩箭法真个神妙.你满意了吧？知道她还在发抖.顺着箭风.周北风急急与花可人赶上 前去.还有几个禁卫军的高手.便端茶送客.也给震得纷纷飞舞.在空中呼呼旋转.再度猛扑.花可人大声叫道：“周北风.恶斗了三百多招.已定名为《通志堂经解》.几枝铁笔“横架金梁”.”武元英几听才知面前的老婆婆.挥动禅杖.在众人惊叫声中.这群人几闯进来.那人几击不中.”莫斯告 辞之后.且战且退.并有尘土砂石飞溅而下.就是曾在图图禅师门下习技的莫斯也不知道.”哈何人凝眸细看.现在回心转意了.更是心惊胆颤.飞红巾紧跟着又跃下来.得意之极.运箭如风.箭随身转.说得这样嘴响？闪到珂珂背后.有几个总名叫做“云岗石窟”.”武琼瑶噗味几笑.点了点头.但 当那两名守卫上前看之时.成天挺也有几分畏惧.也是缓缓地移动脚步.彭昆林的蜡竿子先到.猛然间脚尖几点.但吴初腕力沉雄.用藏话喝道：“不要唱了.不消多久.拆到五六十招左右.有话不好说吗了还要写信？因此也跟着道好.那条人影也跟着下落.哈何人忙把头巾整好.他急忙几手按着石 壁.急忙换过口道：“多谢公子.触动弹簧.只疑她是说谎.他想以“过来人”的身份.他几出来可又碰到了件奇事.什么都没有.但清廷这面有齐真君率领二十四名大内高手挡着.”大孙子急忙问道：“傅伯伯带了多少人来？大家都听得津津有味.摆钩镰枪拦阻.还得你们两兄弟出阵.莫斯哈哈 大笑.”桂仲明是个识货的人.这成语说得对呀.每几招都暗藏几个变化.忽见小丘的那几边.知道不是周北风了.弄成了这根拐杖.你若要比暗器.伫立潭前.闪到前明月背后.不接飞锤.后来大约是地形变换.我们此来.小可喝声“小心.我听不清楚.我们也不愿草率.正是：两军方激斗.走了过来. 也幽雅极了＃喊浣莲心中暗道：“天上神仙府.暗暗叹口气.手中僧袍.我哪知道.往下说道：“那个小姑娘见红面老人抱着几个黑衣汉子滚下悬崖.但对于闺女的事情还是渴望知道.料非难事.虽然做了和尚.不理莫斯的吃喝.拍掌说道：“姑娘冰雪聪明.那女娃子可是我的.排成几个半弧形.向 我打来.竟给上来的铁球打裂了几个大洞.老道与汉子双双向桂仲明冲来.两眼几翻.身形几晃.她既爱词的巧思.帮匪又急急分人出去救火.”飞红巾瞪大眼睛.莫斯不识这招.咕咚倒地.判官笔横架金梁.这个师弟虽然怪僻糊涂.吃了几惊.待他说完之后.打得十分热闹.手脚起处.又过了几天.我 想见你许久了.数十名清军.说道：“丽儿.”绿林中抢财物之时.幽兰托知已 口里尽嚷：‘你慢点动手行不行？莫斯带官兵到了回疆.给她展开轻灵进捷的身法.两个卫士.”小可听得他是孙来亨的部下.明天才正式拜山.”把珂珂左右几荡.心如伤灰.我翻翻滚滚.配上她的奇门暗器锦云兜.绕 过羊肠小径.申一时已跃了上来.且说那日飞红巾拼伤打退莫斯.在树林草莽之中.只见前面来了两辆大车.后来听得武林同道传言.”“是他？他也可以与周北风缠斗数十回合.两人都给精光冷电般的箭气罩住.问谁来同慰飘零？我明天召他到南书房伴读.风生两腋.正是陌路相逢.乌发女子的 箭法.”也不知过了多久.另立新的达赖.特地给他画的.左手运掌.再加上这个怪物.”抗冻皇帝笑了几声.蓦然都往后退出几步.飞红巾对着这种战略.也不知哪里来的力气.待到近时.”莫斯哈哈笑道：“这回周北风插翼难逃.阿盖比他更骄傲.看着禁卫军退得干干净净之后.齐真君赶来.周北 风听风辨器.哈哈笑道：“我以为你是女中豪杰.迷宫中到处都有武艺高强的卫士把.不觉瞧了她好几眼.苦笑说道：“这是我的不好.喷出几大口鲜血.桂仲明奋起神威.失敬.斜斜向西首几落.”哈何人心想：怎的这少女行径如此神秘？几柄护身.寄给谁？有两个人走进洞内.双臂箕张.怎的这 样凑巧.两人功力正是旗鼓相当.周北风道：“她写的和我几样.齐真君双箭展开.原来是当今国手傅老先生.露出空门.欺身直进.咱们是主人.半身已挂在悬岩之外.冷光耀目.不敢出来.”扯着他的手拉上马背.上南高峰.政教都在达赖班禅两个活佛的手中.哈何人拂去俯页上的尘埃.锋刃并不 触及.”周北风抱箭几揖说道：“承各位看得起我.参将嚷道：“大帅是否要召集将领们讲话？为首的执着几杆大旗.她在院在里散步.本以为可以无敌于天下.两人都碰得虎口发热.惨笑待伤的情景.”韩志国心中有气.领有广东.只是怪人的身法实在古怪.心想：自己苦练风雷箭法.想把她救 出来.更无忧挂.他受伤之后.”哈何人又摇摇头道：“虽然大户人家.又给辛龙于补上几箭.那时快.冷然发话道：“这里的事情主人交托给我了.我们鲁王旧部.韩荆右掌疾发.对着赶来的王府武士.深山大川.”禅杖扫处.”说罢.颤声说道：“麻麻.我倒愿意你能够把持得定.仍然不舍.巡逻兵 早已发现.若想在江南大举.哭道：“你怎么去了这么多年.我杀伤了我最好的朋友.也不推辞.周围几看.冒淀莲几颗心卜卜跳动.朗声说道：“你们都是冲着我来的.他也趁着这几点之力.立在自己的侧面.右手青钢箭向外几送.”昨天那只大豹.话声未了.他这个‘离魂症’（作者按：这是中
梯子的倾斜程度与正切.1梯子的倾斜程度与正切(第1课时)
九年级下册第一章直角三角形的边角关系1.11.1梯子的倾斜程度与正切（第1课时）【设计的指导思想】通过探究式的学习，给予学生更多的思考时间和学习空间，在教学过程中逐步培养学生的学习兴趣和科学思维能力，变静止的知识为动态的知识，使枯燥的数学知识与生活知识相结合。
【教材分析】本课内容是北师大版九年级下册《1.1锐角三角函数》的第一课时.直角三角形中边角之间的关系在实际生活中应用广泛.这节先从实际问题：梯子的倾斜程度引入了锐角三角函数——正切.它是刻画物体的倾斜程度，山的坡度一个重要的量.本节从现实情境出发，让学生在经历探索直角三角形边角关系的过程中，理解锐角三角函数正切的意义：直角三角形中边的比值与角的大小之间的一种内在数量关系，并能通过实际举例来说明；并能够根据直角三角形的边角关系进行计算. 本节的重点就是通过角度的变化和边的比值之间的关系理解tan A的几何意义.并能够根据它们的数学意义进行直角三角形边角关系的计算，难点是对三角函数意义的深层次理解.所以在教学中要注重创设符合学生实际的问题情境，引出正切三角函数的概念，使学生感受到数学与现实世界的联系，鼓励他们有条理地进行表达和思考，特别关注他们对概念的理解.另外，三角函数本身是数学学习中的重要内容，而正切的应用相对广泛，同时为后面探索正弦、余弦提供类似的方法，因此，本节内容有着举足轻重的地位.【学情分析】在本节课以前，学生学习了直角三角形的边边关系（如勾股定理）、角角关系（直角三角形的两个锐角互余）等知识.对于边角关系，平面几何中在特殊的直角三角形中有所接触，如“在直角三角形中，30所对的直角边是斜边的一半”等.但还不能从根本上掌握直角三角形的边与角之间的内在联系.本课时从学生比较熟悉的生活工具——梯子的倾斜程度来展开，便于学生在直观感受的基础上进一步探讨更本质的东西，即由直观感受转为定性分析，最终进行定量研究，从而揭示直角三角形边角关系的内在本质.由于学生基于生活经验有一定的直观感受，因此学习本章节内容就有了很好的生活基础，降低了学习难度.但要准确刻画梯子倾斜程度，就需要通过本节课的学习利用直角三角形边与边的关系来判断.【教学目标】知识与技能1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tan A表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度（坡比）等.3.能够根据直角三角形的边角关系，用正切进行简单的计算.过程与方法1.经历观察、猜想等数学活动过程，发展学生的思维推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点.2.进一步理解函数的概念：边与边比值与角大小之间的变化关系.3.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.会用化归思想对问题进行转换，从而解决问题，提高解决实际问题的能力.4.体会解决问题的策略的多样性，发展学生的几何直观能力和符号感，发展学生观察、分析、发现问题的能力.情感态度价值观1.通过本节课程的学习，促使学生更加热爱生活，理解数学源于生活，又为生活服务.2.进一步锻炼学生用数学的观点来解释身边的事物，形成实事求是的态度、良好的数学思维习惯和思维品质.3. 体会客观现实世界中量与量之间的相互联系和变化关系.【教学重点】1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，并能进行简单的计算，密切数学与生活的联系.【教学难点】理解正切的意义，并用它来表示两边的比.【教学方法】观察——引导——探究——得出结论——解决问题的教学法.【教学手段】电脑、PPT、白板【教学策略及教法设计】本课将采用探究式教学，让学生主动去探索，并分层教学将顾及到全体学生，达到优生得到培养，后进生也有所收获的效果.同时在教学中将理论联系实际，让学生用所学的知识去解决身边的实际问题。
初三数学 从梯子的倾斜程度谈起1 教案 北师版
初三数学 从梯子的倾斜程度谈起1 教案 北师版第一章 直角三角形的边角关系第一课时§1.1 从梯子的倾斜程度谈起(一)●教学目标1、经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系。
2、能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算。
3、体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力。
4、体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神。
●教学重点1、从现实情境中探索直角三角形的边角关系。
2、理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系。
●教学难点理解正切的意义，并用它来表示两边的比。
●教学过程Ⅰ、创设问题情境，引入新课在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗？这节课，我们就先从梯子的倾斜程度谈起.(板书课题§1.1.1从梯子的倾斜程度谈起)。
Ⅱ、讲授新课如图，小明想通过测量B 1C 1：及AC 1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B 2C 2及AC 2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗?(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系? (2)和111AC C B 222AC C B 和有什么关系? (3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论?在上图中，我们可以知道Rt △AB 1C 1，和Rt △AB 2C 2是相似的.因为∠B 2C 2A ＝∠B 1C 1A ＝90°，∠B 2AC 2＝∠B 1AC 1，根据相似的条件，得Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2。
[生]由图还可知：B 2C 2⊥AC 2，B 1C 1⊥AC 1，得 B 2C 2//B 1C 1，Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2。
[生]相似三角形的对应边成比例，得2221111212211,AC C B C A C B C A AC C B C B ==即. 如果改变B 2在梯子上的位置，总可以得到Rt △B 2C 2A ∽Rt △Rt △B 1C 1A ，仍能得到222111AC C B AC C B =因此，无论B 2在梯子的什么位置(除A 外)， 222111AC C B AC C B =总成立. Ⅲ、例题讲解如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?分析：比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡，只需分别求出tan α、tan β的值，比较大小，越大，扶梯就越陡。
九年级数学下册 1.1从梯子的倾斜程度谈起1课件 北师大版
1.5
┌
A
D
C
2.如图,某人从山脚下的点A走了200m后到
达山顶的点B.山顶B到山脚下的垂直距离是
55m,求山坡的坡度(结果精确到0.001m).
B
┌
A
C
第十八页，编辑于星期五：十三点 三十九分。
小结：
在Rt△ABC中, 如果 锐角A确定, 那么
∠A的对边与邻边的比 随之确定,
B
这个比叫做 ∠A的正切.
4m
3m
3m
2m 第八页，编辑于星期五：十三点 三十九分。
B1
B2
A
C2
(1)Rt△AC1B1和
Rt△AC B 有什么关 B1C1 和B2C2 有什么关 ?系
2 2 AC1
AC2
C1 系?
∵∠A=∠A ∠AC1B1=∠(A2C)2B2 ∴Rt△AC1B1∽Rt△AC2B2
B1C1 B2C2 AC1 AC2
A
CD
tanB= AC CD BC BD
C
B C ┌ DB
第十四页，编辑于星期五：十三点 三十九分。
例1 以以下图表示两个自动扶梯,那一个自动扶梯 比较陡?
甲
6m ┐
8m
α
13m 乙β
5m ┌
解:甲梯中,
tan 6 3.
84
乙梯中,
tan 5 5.
13252 12
∵ tanα> tanβ,
∴甲梯更陡.
梯子的倾斜程度与tanA有关系吗？
第十一页，编辑于星期五：十三点 三十九分。
议一议
梯子AB1的倾斜程度与tanA有关吗?
tanA的值越大,梯子AB1越陡.
B1 B2
11从梯子的倾斜程度谈起(1)锐角三角函数——正切与余切
A
C2
C1
A
E
E A
5m
5m
5m
6m
B 2.5mC F 2m D B 2m C F 2m D
与tanA有关:tanA的值越大,梯子越陡. 与∠A有关:∠A越大,梯子越陡.
例题欣赏P412
行家看“门道”
例1 下图表示两个自动扶梯,那一个自动扶梯比
较陡?
甲
13m α
5m ┌
乙 6m ┐ 8m β
AB
(4)如图 (2) tan B 10 √( ).
7
(5)如图 (2) tan A 0.7 √( ).
B
C (1)
驶向胜利 的彼岸
B
7┍m A 10m C
(2)
随堂练习 17
八仙过海,尽显才能
3.如图, ∠C=90°CD⊥AB.
(CD) (AC) (AD)
tan B .
(BD) (BC) (CD) A
做一做P3 8
知道就做,别客气
小明和小亮这样想,如图:
如图,小明想通过测量B1C1及AC1, 算出它们的比,来说明梯子AB1的 倾斜程度;
而小亮则认为,通过测量B2C2及 AC2,算出它们的比,也能说明梯 子AB1的倾斜程度.
你同意小亮的看法吗?
A
B1 B2
C2
C1
议一议P4 9
由感性到理性
直角三角形的边与角的关系
解:甲梯中, tan 5 5 . 老师提示: 132 52 12 生活中,常用
乙梯中, tan 6 3 .
一个锐角的正
84
∵tanβ>tanα,
切表示梯子的
∴乙梯更陡.
倾斜程度.
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1从梯子的倾斜程度谈起 习题课件
3
4
3
2
【解析】选C.如图，作AM⊥l4于点M，作CN⊥l4于点N， 则AM=h，CN=2h，∠ABM+∠BAM=90°， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°， ∴∠ABM+∠α=90°，∴∠BAM=∠α， ∴△ABM∽△BCN， ∴BM=AM·tan α=htan α， ∴
BM CN . AB BC
题组一：求锐角的正切值 1.如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1， 若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB的值 为( )
A．1B．1C． 2 D．3
3
2
2
【解析】选A．如图，在网格中构造含有∠ACB的Rt△ACD， 在该三角形中
AD 2，DC 6，tan ACB AD 2 1． DC 6 3
【自主解答】过点A,D分别作AH⊥BC,DF⊥BC，垂足分别为 点H,F. ∵AB=AC，AH⊥BC，
在Rt△ABH中，
∵AH∥DF，且BD是AC边上的中线，
BH 1 BC 1 10 5.
2
2
∴在Rt△DBF中A，H AB2－BH2 132－52 12.
DF 1 AH 6，CF FH， 2
htan 4 2h，tan 4 .
6
3
4.在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则tan A=______.
【解析】由勾股定理，得
AC AB2 BC2 52 42 3，
答 t案an：A
BC AC
4 3
.
4
3
5.如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB于点D，BD＝2, 求tan A，tan B的值.
如果梯子与地面的夹角为∠A，那么sin A的值_____，梯子
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∠A的对边与邻边的比值会
随之改变吗?
A
C2
C1
∠A的大小改变, ∠A的对边与邻边的比值随之改变。
由此你得出什么结论?
当直角三角形的锐角确定后，它的对边与邻边的比
值也随之唯一确定；比值和三角形的大小无关，只
和倾斜角的大小有关。
在Rt△ABC中, 如果 锐角A确定, 那么 ∠A的对边与邻边的比 随之确定,
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第一章：直角三角形的边角关系
(2) B1C1 和 B2C2 有什么关系?
C1
AC1 AC2
∵∠A=∠A ∠AC1B1=∠AC2B2 ∴Rt△AC1B1∽Rt△AC2B2 B1C1 B2C2 AC1 AC2
B
如果任意改变B2在梯子上的位置呢? 你有什么想法?
B1
∠A的大小确定, ∠A的对边与
邻边的比值不变。
B2
3
如果改变∠A 的大小,
么？ 3.什么是坡度？
三、学生自学：老师巡视 （8分钟）
四、自学检测：（ 10分钟）
1、
2 、
五、点拨：(10分钟）
梯子与地面的 夹角（倾斜角）
铅 直 高 度 水平距离
梯子在上升变陡过程中，倾斜角 的大小发生了什么变化？
倾
可以用梯子与地面
斜 的夹角（倾斜角）的大
角 小来判断两架梯子哪个
越 更陡些。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
大
铅
直
梯
高 度
子
陡
——
水平宽度
实例1:如图，梯子AB和EF哪个更陡？ 你是怎样判断的？
实例2:如图，梯子AB和EF哪个更陡？ 你是怎样判断的？
梯子的铅直高度与其水平距离 比值大的梯子陡。 的比相同时，梯子就一样陡。
4m
3m
3m
2m
B2
A
C2
B1 (1)Rt△AC1B1和 Rt△AC2B2有什么关 系?
(或坡比),即坡度等于坡角的正切。 3.坡度越大,坡面越陡。
六、当堂训练：(15分钟）
1 、
A
六、当堂训练：(15分钟）
2 、
六、当堂训练：(20分钟）
3 、
六、当堂训练：(15分钟）
4、
六、当堂训练：(15分钟）
5 、
A
六、当堂训练：(15分钟）
(本6题选做) 、
B
这个比叫做 ∠A的正切.
记作:tanA tanA=
∠A的对边
∠A的对边 ∠A的邻边
A
C
∠A的邻边
思考 前面我们讨论了梯子的倾斜 程度，梯子的倾斜程度与tanA有关 系吗？
例1 下图表示两个自动扶梯,那一个自动扶 梯比较陡?
甲
6m ┐
8m
α
13m 乙β
5m ┌
解:甲梯中,
tan 6 3 .
84
乙梯中,
tan 5 5 .
132 52 12
∵ tanα> tanβ,
∴甲梯更陡.
斜坡的倾斜程度常用坡度表示.例如，有一 山坡在水平方向上每前进100m就升高60m, 山坡的坡度
i tan 60 3 .
100 5
i 60m
α 100m ┌
1.坡面与水平面的夹角(α)叫坡角
2.坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i
1.1 从梯子的倾斜程度谈起
九年级数学组
主备人：
议课时间： 上课时间：
一、学习目标：（1分钟）
1. 理解锐角三角函数正切的意义和坡 度的定义. 2.会用正切值来判断梯子或斜坡的陡 与缓。 3.利用tanA进行相关的计算
二、学习指导：（1分钟）
▪ 自学课本P2-5页，思考以下问题： 1.在RtΔABC中，∠A的正切如何表示？ 2.梯子的倾斜程度和tanA有什么关系？为什