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多命题结论几何选择题(一)

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几何证明 选择填空之压轴题训练(1)(沪教版)(原卷版)第一学期八年级压轴题训练

几何证明 选择填空之压轴题训练(1)(沪教版)(原卷版)第一学期八年级压轴题训练

专题05 几何证明 选择填空之压轴题训练（1）一、选择题（本大题共12题）1.（浦东四署2019期中6）下列命题中，真命题的序号为（ ）①相等的角是对顶角；②在同一平面内，若a//b,b//c,则a//c ；③同旁内角互补；④互为邻补角的两角的平分线互相垂直.A.①②；B.①③；C.①②④；D.②④.2.（松江区2020期末6）下列说法错误的是（ ）A ．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；B ．到点P 距离等于1 cm 的点的轨迹是以点P 为圆心，半径长为1cm 的圆；C ．到直线l 距离等于2 cm 的点的轨迹是两条平行于l 且与l 的距离等于2cm 的直线；D ．等腰△ABC 的底边BC 固定，顶点A 的轨迹是线段BC 的垂直平分线.3.（2019位育10月5）下列命题正确的是（ ）A.到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；B.线段的垂直平分线上的点与该线段的两端点均能构成等腰三角形；C.三角形一边的两端到这边中线所在的直线的距离相等；D.两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等.4.（浦东部分校2020期末5）下列命题中，逆命题是假命题的是（ ）A.全等三角形的对应边相等；B.全等三角形的对应角相等；C.直角三角形的两个锐角互余；D.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.5.（金山教育局2020期末6）下列四个命题:①有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等;②三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两部分:a ,则a>0:④点P(1,2)关于原点的对称点坐标为P(-1,-2);其中真命题的是( )A. ①、②；B. ②、④；C. ③、④；D. ①、③6.（2019华理附10月6）如图，在四边形ABCD 中，如果AD//CD ，AE//CF, BE=DF ，那么下列等式中错误的是（ ）A.∠DAE=∠BCF ；B. AB=CD ；C. ∠BAE=∠DCF ；D. ∠ABE=∠EBC ；FE D C B A7.（浦东南联合2019期中6）如图所示，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，且AD :BD =3:4,AE :CE =2:1 .联结DE ，那么 :ADE BCEDS S ∆=四边形（ ） （A ）12（B ）25 （C ）37 （D ）498.（建平实验2019期中6）如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，点D 在△ABC 内，且∠DBC=∠DCA ，则∠BDC 的度数为（ ）A.120°B.115°C.110°D.105°9.（浦东四署2020期末6）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，DE 垂直平分AC 边，垂足为点E ，若70B ∠=︒，且AB+BD=BC ，则BAC ∠的度数是（ ）A.40︒；B. 65︒；C. 70︒；D. 75︒.10.（浦东新区2020期末6）如图，在Rt ABC ∆中，90BCA ∠=︒，CD 是高，BE 平分∠ABC 交CD 于点E ，EF ∥AC 交AB 于点F ，交BC 于点G ．在结论：(1) EFD ∠=BCD ∠；(2) AD CD =；(3)CGEG ；(4) BF BC =中，一定成立的有( )A. 1个；B. 2个；C. 3个；D. 4个.ACB DEAB D CGA ECD F B11.（浦东新区2021期末6） 在ABC 中，A ∠、B 、C ∠的对应边分别是a 、b 、c ，下列条件中不能说明ABC 是直角三角形的是（ ）A. 222b a c =-B. C A B ∠=∠+∠C. ::3:4:5A B C ∠∠∠=D. ::5:12:13a b c = 12.（2019徐汇南模12月6） 如图，将边长2cm 的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把ABC 沿着AD 方向平移，得到A B C '''，若两个三角形重叠部分的面积为21cm ，则它移动的距离AA '等于（ ）A. 0.5cm ；B. 1cm ；C. 1.5cm ；D. 2cm .二、填空题（本大题共12题）13.(2019浦东一署10月18)如果一个等腰三角形的一个外角是110°，那么它的底角为 °.14.（2019复旦附中10月14）如图，在△ABC 中，已知点O 是边AB 、AC 垂直平分线的交点，点E 是∠ABC 、∠ACB 角平分线的交点，若∠O+∠E=180°，则∠A= 度.15.（2019上宝15）如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为原点，点A 、C 的坐标分别为(2，0)、. 将△AOC 绕AC 的中点旋转180°，点O 落到点B 的位置，D 的坐标为(1,. 若点P 是x 轴上一点，以P 、A 、D 为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y 轴上，则点P 的坐标为 .EOC B A O E C BA16.（川中南2019期中18）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，BC=4，将点C 折叠到点E 处，折痕为BD ，则DE 的长度为 .17.（建平实验2019期中18）如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 边上一点，DE=6，EC=3，点F 在直线AB 上，当线段CF 的长为 时，把线段AE 绕点A 旋转，使点E 恰好落在点F 处.18.（浦东新区2020期末18）正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，BE=3，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF=AE,则BM 的长为____．19.（松江区2020期末18）如图，在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，∠B ＝55°，点D 在边BC 上，BD ＝2CD ．把△ABC 绕着点D 逆时针旋转m （0＜m ＜180）度后，如果点B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上，那么m ＝ ．20.（静安附校2020期末14）在△ABC 中，∠B=15°，△ABC 的面积为3，过点A 作AD ⊥AB 交边BC 边于点D. 设BC=x ，BD=y. 那么y 与x 之间的函数解析式 .（不写函数定义域）.21.（普陀区2020期末18）在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4√3，BC=3，如图所示. 如果将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°得到△DEC ，其中点A 、B 的对应点分别为点D 、E ，联结BD ，那么BD 的长等于 . EDC B AA B DCE。

高中数学立体几何多选题100含解析

高中数学立体几何多选题100含解析

高中数学立体几何多选题100含解析一、立体几何多选题1．如图，正方体1111ABCD A B C D -中的正四面体11A BDC -的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）A ．异面直线1AB 与1AD 所成的角是3πB ．1BD ⊥平面11AC DC ．平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为3D ．正四面体11A BDC -的高等于正方体1111ABCD A B C D -体对角线长的23【答案】ABD 【分析】选项A ，利用正方体的结构特征找到异面直线所成的角；选项B ，根据正方体和正四面体的结构特征以及线面垂直的判定定理容易得证；选项C ，由图得平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为1ACB 面积的四分之一；选项D ，分别求出正方体的体对角线长和正四面体11A BDC -的高，然后判断数量关系即可得解. 【详解】A ：正方体1111ABCD ABCD -中，易知11//AD BC ，异面直线1A B 与1AD 所成的角即直线1A B 与1BC 所成的角，即11A BC ∠，11A BC 为等边三角形，113A BC π∠=，正确；B ：连接11B D ，1B B ⊥平面1111DC B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，即111AC B B ⊥，又1111AC B D ⊥，1111B B B D B ⋂=，有11A C ⊥平面11BDD B ，1BD ⊂平面11BDD B ，所以111BD AC ⊥，同理可证：11BD A D ⊥，1111AC A D A ⋂=，所以1BD ⊥平面11AC D ，正确；C ：易知平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为134ACB S=，错误；D ：易得正方体1111ABCD A B C D -()()()2222226++=2的正四面体11A BDC -的高为22222262213⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭，故正四面体11A BDC -的高等于正方体1111ABCD A B C D -体对角线长的23，正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：利用正方体的性质，找异面直线所成角的平面角求其大小，根据线面垂直的判定证明1BD ⊥平面11AC D ，由正四面体的性质，结合几何图形确定截面的面积，并求高，即可判断C 、D 的正误.2．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F 在平面1111D C B A 内，若||5AE =，AC DF ⊥，则（ ）A ．点E 的轨迹是一个圆B ．点F 的轨迹是一个圆C ．EF 21-D ．AE 与平面1A BD 21530+【答案】ACD 【分析】对于A 、B 、C 、D 四个选项，需要对各个选项一一验证. 选项A ：由2211||5AE AA A E =+=1||1A E =，分析得E 的轨迹为圆；选项B ：由AC DBF ⊥，而点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，； 选项C ：由E 的轨迹为圆，F 的轨迹为线段11B D ，可分析得min ||EF d r =-； 选项D ：建立空间直角坐标系，用向量法求最值. 【详解】 对于A:2211||5AE AA A E =+=221|25A E +=1||1A E =，即点E 为在面1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上；故A 正确；对于B: 正方体1111ABCD A B C D -中，AC ⊥BD ，又AC DF ⊥，且BD ∩DF=D ，所以AC DBF ⊥，所以点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，故B 错误；对于C:在平面1111D C B A 内，1A 到直线11B D 的距离为2,d=当点E ，F 落在11A C 上时，min ||21EF =-；故C 正确； 对于D:建立如图示的坐标系，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0A B A D因为点E 为在面1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上，可设()cos ,sin ,2E θθ 所以()()()1cos ,sin ,2,2,0,2,2,2,0,AE A B BD θθ==-=-设平面1A BD 的法向量(),,n x y z =，则有1·220·220n BD x y n A B x z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩ 不妨令x =1，则()1,1,1n =， 设AE 与平面1A BD 所成角为α，则：2|||sin|cos,|||||n AEn AEn AEπθα⎛⎫++⎪====⨯当且仅当4πθ=时，sinα15=，故D正确故选：CD【点睛】多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．3．在正三棱柱111ABC A B C-中，AC=11CC=，点D为BC中点，则以下结论正确的是（）A ．111122A D AB AC AA=+-B．三棱锥11D AB C-的体积为6C．1AB BC⊥且1//AB平面11AC DD．ABC内到直线AC、1BB的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分【答案】ABD【分析】A ．根据空间向量的加减运算进行计算并判断；B．根据1111D AB C A DB CV V--=，然后计算出对应三棱锥的高AD和底面积11DB CS，由此求解出三棱锥的体积；C．先假设1AB BC⊥，然后推出矛盾；取AB中点E，根据四点共面判断1AB//平面11AC D是否成立；D．将问题转化为“ABC内到直线AC和点B的距离相等的点”的轨迹，然后利用抛物线的定义进行判断.【详解】A．()11111111222A D A A AD AD AA AB AC AA AB AC AA=+=-=+-=+-，故正确；B．1111D AB C ADB CV V--=，因为D为BC中点且AB AC=，所以AD BC⊥，又因为1BB⊥平面ABC，所以1BBAD⊥且1BB BC B=，所以AD⊥平面11DB C，又因为AD===11111122DB CS BB B C=⨯⨯=，所以1111111133226D AB C A DB C DB CV V AD S--==⨯⨯=⋅=，故正确；C ．假设1AB BC ⊥成立，又因为1BB ⊥平面ABC ，所以1BB BC ⊥且111BB AB B =，所以BC ⊥平面1ABB ，所以BC AB ⊥，显然与几何体为正三棱柱矛盾，所以1AB BC ⊥不成立；取AB 中点E ，连接11,,ED EA AB ，如下图所示：因为,D E 为,BC AB 中点，所以//DE AC ，且11//AC A C ，所以11//DE AC ，所以11,,,D E A C 四点共面，又因为1A E 与1AB 相交，所以1AB //平面11AC D 显然不成立，故错误；D ．“ABC 内到直线AC 、1BB 的距离相等的点”即为“ABC 内到直线AC 和点B 的距离相等的点”，根据抛物线的定义可知满足要求的点的轨迹为抛物线的一部分，故正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求解空间中三棱锥的体积的常用方法：（1）公式法：直接得到三棱锥的高和底面积，然后用公式进行计算；（2）等体积法：待求三棱锥的高和底面积不易求出，采用替换顶点位置的方法，使其求解高和底面积更容易，由此求解出三棱锥的体积.4．已知图1中，A 、B 、C 、D 是正方形EFGH 各边的中点，分别沿着AB 、BC 、CD 、DA 把ABF 、BCG 、CDH △、DAE △向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面ABCD 垂直，再顺次连接EFGH ，得到一个如图2所示的多面体，则（ ）A ．AEF 是正三角形B ．平面AEF ⊥平面CGHC ．直线CG 与平面AEF 2D ．当2AB =时，多面体ABCD EFGH -的体积为83【答案】AC 【分析】取CD 、AB 的中点O 、M ，连接OH 、OM ，证明出OH ⊥平面ABCD ，然后以点O 为坐标原点，OM 、OC 、OH 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出EF ，可判断A 选项的正误，利用空间向量法可判断BC 选项的正误，利用几何体的体积公式可判断D 选项的正误. 【详解】取CD 、AB 的中点O 、M ，连接OH 、OM ， 在图1中，A 、B 、C 、D 是正方形EFGH 各边的中点，则1122CH GH EH DH ===，O 为CD 的中点，OH CD ∴⊥，平面CDH ⊥平面ABCD ，平面CDH 平面ABCD CD =，OH ⊂平面CDH ，OH ∴⊥平面ABCD ，在图1中，设正方形EFGH 的边长为()220a a >，可得四边形ABCD 的边长为2a ， 在图1中，ADE 和ABF 均为等腰直角三角形，可得45BAF DAE ∠=∠=， 90BAD ∴∠=，∴四边形ABCD 是边长为2a 的正方形，O 、M 分别为CD 、AB 的中点，则//OC BM 且OC BM =，且90OCB ∠=，所以，四边形OCBM 为矩形，所以，OM CD ⊥，以点O 为坐标原点，OM 、OC 、OH 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()2,,0A a a -、()2,,0B a a 、()0,,0C a 、()0,,0D a -、(),,E a a a -、()2,0,F a a 、(),,G a a a 、()0,0,H a .对于A 选项，由空间中两点间的距离公式可得2AE AF EF a ===，所以，AEF 是正三角形，A 选项正确；对于B 选项，设平面AEF 的法向量为()111,,m x y z =，(),0,AE a a =-，()0,,AF a a =，由111100m AE ax az m AF ay az ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取11z =，则11x =，11y =-，则()1,1,1m =-， 设平面CGH 的法向量为()222,,n x y z =，(),0,CG a a =，()0,,CH a a =-，由222200n CG ax az n CH ay az ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取21z =-，可得21x =，21y =-，则()1,1,1n =--， ()22111110m n ⋅=+--⨯=≠，所以，平面AEF 与平面CGH 不垂直，B 选项错误；对于C 选项，6cos ,23CG m CG m a CG m⋅<>===⨯⋅， 设直线CG 与平面AEF 所成角为θ，则sin 63θ=，23cos 1sin θθ=-=，所以，sin tan 2cos θθθ==，C 选项正确； 对于D 选项，以ABCD 为底面，以OH 为高将几何体ABCD EFGH -补成长方体1111ABCD A B C D -，则E 、F 、G 、H 分别为11A D 、11A B 、11B C 、11C D 的中点，因为2AB =，即1a =，则1OH =，长方体1111ABCD A B C D -的体积为2214V =⨯=，11211111113326A A EF A EF V S AA -=⋅=⨯⨯⨯=△，因此，多面体ABCD EFGH -的体积为111044463ABCD EFGH A A EF V V V --=-=-⨯=， D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.5．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是棱AB 、1CC 的中点，1MB P 的顶点P 在棱1CC 与棱11C D 上运动，有以下四个命题正确命题的序号是（ ）A ．平面1MB P 1ND ⊥ B ．平面1MB P ⊥平面11ND AC ．1MB P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值 D ．1MB P 在侧面11D C CD 上射影图形是三角形 【答案】BC 【分析】取N 与P 重合，结合勾股定理可判断A 选项的正误；利用面面垂直的判定定理可判断B 选项的正误；分点P 在棱1CC 、11C D 上运动两种情况讨论，利用三角形的面积公式可判断C 选项的正误；取点P 与点1C 重合，判断1MB P 在侧面11D C CD 上射影图形形状，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，如下图所示：当点P 与点N 重合时， 若1ND ⊥平面1MB P ，1B N ⊂平面1MB P ，则11ND B N ⊥，由勾股定理可得2211115D N C N C D =+=，同理可得15B N =，1122B D =，2221111B N D N B D ∴+≠，则1ND 与1B N 不垂直，假设不成立，A 选项错误；对于B 选项，取1BB 的中点E ，连接1A E 、EN ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//BB CC ，且E 、N 分别为1BB 、1CC 的中点， 则11//B E C N 且11B E C N =，所以，四边形11B ENC 为平行四边形，则11//EN B C 且11EN B C =，1111//A D B C 且1111A D B C =，所以，11//A D EN 且11A D EN =，所以，四边形11A END 为平行四边形，所以，11//A E D N ，111A B BB =，1B E BM =，11190A B E B BM ∠=∠=，所以，111Rt A B E Rt B BM ≅△△，所以，111B A E BB M ∠=∠，所以，111111190A EB BB M A EB B A E ∠+∠=∠+∠=，190B FE ∴∠=，所以，11B M A E ⊥，11A D ⊥平面11AA B B ，1B M ⊂平面11AA B B ，111B M A D ∴⊥， 1111A D A E A =，11A D 、1A E ⊂平面11ND A ，1MB ∴⊥平面11ND A ，1MB ⊂平面1MB P ，所以，平面1MB P ⊥平面11ND A ，B 选项正确；对于C 选项，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a .若点P 在棱1CC 上运动时，1MB P 在底面ABCD 上的射影为MBC △， 此时，射影图形的面积为21224MBCa a S a =⋅=△； 若点P 在棱11C D 上运动时，设点P 在底面ABCD 上的射影点为G ，则G CD ∈， 且点G 到AB 的距离为a ,1MB 在底面ABCD 内的射影为MB ，则1MB P 在底面ABCD 内的射影为MBG △，且21224MBGa a S a =⋅⋅=△.综上所述，1MB P 在底面ABCD 内的射影图形的面积为定值，C 选项正确； 对于D 选项，当点P 与1C 重合时，P 、1B 两点在平面11D C CD 上的射影重合， 此时，1MB P 在侧面11D C CD 上的射影不构成三角形，D 选项错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：证明面面垂直常用的方法： （1）面面垂直的定义； （2）面面垂直的判定定理.在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，组织论据证明即可.6．如图，已知四棱锥P ABCD -所有棱长均为4，点M 是侧棱PC 上的一个动点（不与点,P C 重合），若过点M 且垂直于PC 的截面将该四棱锥分成两部分，则下列结论正确的是（ ）A ．截面的形状可能为三角形、四边形、五边形B ．截面和底面ABCD 所成的锐二面角为4π C ．当1PM =时，截面的面积为52D ．当2PM =时，记被截面分成的两个几何体的体积分别为()1212,>V V V V ，则123=V V 【答案】BCD 【分析】点M 是侧棱PC 上的一个动点，根据其不同位置，对选项逐一进行判断即可. 【详解】A 选项中，如图，连接BD ，当M 是PC 中点时，2MC =，由题意知三角形PDC 与三角形PBC 都是边长为4的正三角形，所以DM PC ⊥,BM BC ⊥，又DM ，BM 在面MBD 内，且相交，所以PC ⊥平面PBD ，三角形MBD 即为过点M 且垂直于PC 的截面，此时是三角形，点M 向下移动时，2MC <，如图，仍是三角形；若点M 由中点位置向上移动，2MC >，在平面PDC 内作EM PC ⊥，交PD 于E ，在平面PBC 内作FM PC ⊥交PB 于F ，平面MEF 交平面PAD 于EG ，交PAB 于FH ，即交平面ABCD 于GH ，则五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，此时是五边形； 故截面的形状可能为三角形、五边形，A 错误；B 选项中，因为截面总与PC 垂直，所以不同位置的截面均平行，截面与平面ABCD 所成的锐角为定值，不妨取M 是中点，连接AC ，BD ，MB ，MD ，设AC ，BD 交点是N ，连接PN ，由题意知，四边形ABCD 是边长为4的菱形，BD AC ⊥，因为MB =MD ，所以MN BD ⊥，故MNC ∠是截面与平面ABCD 所成的锐角，过点M 作MQ AC ⊥，垂足Q.在三角形PAC中，MN =2，2，故在直角三角形MNQ 中，2cos 2NQ MNC MN ∠==，故4MNC π∠=，故B 正确；C 选项中，当PM =1时，M 是PC 中点，如图，五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，依题意，直角三角形PME 中，2cos PMPE EPM==∠，故E 为PD 的中点，同理，F是PB 的中点，则EF 是三角形PBD 的中位线，1222EF BD ==G ，H 分别在,AD AB 的中点上，证明如下，当G ，H ，也是中点时，1//,2GH BD GH BD =，有//,22GH EF GH EF ==EFHG 是平行四边形.依题意，三角形PAC 中4,42PA PC AC ===，故PA PC ⊥，故PC GE ⊥，易见，正四棱锥中BD ⊥平面PAC ，故BD PC ⊥，GH PC ∴⊥，因为 ,GE GH 均在平面EFHG 内，且相交，所以PC ⊥平面EFHG ，故此时平面EFHG 和平面MEF 即同一平面.又BD ⊥平面PAC ，有GH ⊥面平面PAC ，GH GM ⊥，根据对称性有GH GE ⊥，四边形EFHG 是矩形. 即五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，平面图如下:依题意，22GH EF ==，2EG FG ==，三角形高为()()22321h =-=，面积是122122⨯⨯=，四边形面积是22242⨯=，故截面面积是52. 故C 正确；D 选项中，若PM =2，看B 选项中的图可知，21124M BCD P BCD P ABCD V V V V ---===，故剩余部分134P ABCD V V -=，所以123=V V ，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查了棱锥的截面问题，考查了二面角、体积等计算问题，属于难题.7．如图，点E 为正方形ABCD 边CD 上异于点C ，D 的动点，将ADE 沿AE 翻折成SAE △，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．存在点E 和某一翻折位置，使得SB SE ⊥ B ．存在点E 和某一翻折位置，使得//AE 平面SBCC ．存在点E 和某一翻折位置，使得直线SB 与平面ABC 所成的角为45°D ．存在点E 和某一翻折位置，使得二面角S AB C --的大小为60° 【答案】ACD 【分析】依次判断每个选项：当SE CE ⊥时，⊥SE SB ，A 正确，//AE 平面SBC ，则//AE CB ，这与已知矛盾，故B 错误，取二面角D AE B --的平面角为α，取4=AD ，计算得到2cos 3α=，C 正确，取二面角D AE B --的平面角为60︒，计算得到tan θ=，故D 正确，得到答案. 【详解】当SE CE ⊥时，SE AB ⊥，SE SA ⊥，故SE ⊥平面SAB ，故⊥SE SB ，A 正确； 若//AE 平面SBC ，因AE ⊂平面ABC ，平面ABC 平面SBC BC =，则//AE CB ，这与已知矛盾，故B 错误；如图所示：DF AE ⊥交BC 于F ，交AE 于G ，S 在平面ABCE 的投影O 在GF 上， 连接BO ，故SBO ∠为直线SB 与平面ABC 所成的角，取二面角D AE B --的平面角为α，取4=AD ，3DE =，故5AE DF ==，1CE BF ==，125DG =，12cos 5OG α=，故只需满足12sin 5SO OB α==， 在OFB △中，根据余弦定理：2221213121312sin 1cos 2cos cos 55555OFB ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+---∠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得2cos 3α=，故C 正确； 过O 作OMAB ⊥交AB 于M ，则SMO ∠为二面角S AB C --的平面角，取二面角D AE B --的平面角为60︒，故只需满足22DG GO OM ==，设OAG OAM θ∠=∠=，84ππθ<<，则22DAG πθ∠=-，tan tan 22DG OGAG πθθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简得到2tan tan 21θθ=，解得tan 5θ=，验证满足，故D 正确； 故选：ACD .【点睛】本题考查了线线垂直，线面平行，线面夹角，二面角，意在考查学生的计算能力，推断能力和空间想象能力.8．在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB =12AD AA ==，,,P Q R 分别是11,,AB BB AC 上的动点，下列结论正确的是（ ） A ．对于任意给定的点P ，存在点Q 使得1D P CQ ⊥ B ．对于任意给定的点Q ，存在点R 使得1D R CQ ⊥ C ．当1AR A C ⊥时，1AR D R ⊥D ．当113AC A R =时，1//D R 平面1BDC 【答案】ABD 【分析】如图所示建立空间直角坐标系，计算142D P CQ b ⋅=-，()12222D R CQ b λλ⋅=--，134AR D R ⋅=-，10D R n ⋅=，得到答案.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设()2,,0P a ，0,23a ⎡∈⎣，()2,23,Q b ，[]0,2b ∈，设11A R AC λ=，得到()22,23,22R λλλ--，[]0,1λ∈. ()12,,2P a D -=，()2,0,CQ b =，142D P CQ b ⋅=-，当2b =时，1D P CQ ⊥，A 正确；()122,23,2D R λλλ=--，()12222D R CQ b λλ⋅=--，取22bλ=+时，1D R CQ ⊥，B 正确； 1AR A C ⊥，则()()12,23,222,23,2212440AR AC λλλλλλ⋅=--⋅--=-+-+=， 14λ=，此时11333313,,,,022224AR D R ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误； 113AC A R =，则4234,,333R ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，14232,,333D R ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1BDC 的法向量为(),,n x y z =，则10n BD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得()3,1,3n =-，故10D R n ⋅=，故1//D R 平面1BDC ，D 正确. 故选：ABD .【点睛】本题考查了空间中的线线垂直，线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，推断能力.9．在边长为2的等边三角形ABC 中，点,D E 分别是边,AC AB 上的点，满足//DE BC 且AD ACλ=，（()01λ∈，），将ADE 沿直线DE 折到A DE '△的位置.在翻折过程中，下列结论不成立的是（ ）A ．在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD 'B ．存在102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDEC ．若12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，||104A B '=D ．在翻折过程中，四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ，()f λ的最大值为23【答案】ABC 【分析】对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，即可判断出结论.对于B ，102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，即可判断出结论. 对于C ，12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，可得AM ⊥平面BCDE .可得22A B AM BM '=+，结合余弦定理即可得出.对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积()3133BCDE f S λλλλ=⋅⋅=-，()01λ∈，，利用导数研究函数的单调性即可得出.【详解】对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，如图所示，则可得FN 平行且等于BG ，即四边形BGNF 为平行四边形， ∴//NG BE ，而GN 始终与平面ACD 相交，因此在边A E '上不存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD '，A 不正确.对于B ，102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，因此不满足平面A BC '⊥平面BCDE ，因此B 不正确. 对于C.12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，如图所示：可得AM ⊥平面BCDE ， 则22223111010()1()21cos12022224A B AM BM '=+=++-⨯⨯⨯︒=≠，因此C 不正确；对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积()3133BCDE f S λλλλ=⋅⋅=-，()01λ∈，，()213f λλ'=-，可得3λ=时，函数()f λ取得最大值()312313f λ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，因此D 正确. 综上所述，不成立的为ABC. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了利用运动的观点理解空间线面面面位置关系、四棱锥的体积计算公式、余弦定理、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力空间想象能力与计算能力，属于难题.10．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，E ，F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB '，DD '交于点M ，N ，以下四个命题中正确的是（ ）A ．0MN EF ⋅=B ．ME NE =C ．四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2:3D ．四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3 【答案】ABD 【分析】证明EF ⊥平面BDD B ''，进而得EF MN ⊥，即可得A 选项正确；证明四边形MENF 为菱形即可得B 选项正确；由菱形性质得四边形MENF 的面积12S MN EF =⋅，再分别讨论MN 的最大值与最小值即可；根据割补法求解体积即可. 【详解】对于A 选项，如图，连接BD ，B D ''，MN ．由题易得EF BD ⊥，EFBB '⊥，BD BB B '⋂=，所以EF ⊥平面BDD B ''，又MN ⊂平面BDD B ''，所以EF MN ⊥，因此0MN EF ⋅=，故A 正确．对于B 选项，由正方体性质得：平面''//BCC B 平面''ADD A ，平面''BCC B 平面EMFN MF =，平面''ADD A 平面EMFN EN =， 所以//MF EN ，同理得//ME NF ，又EF MN ⊥，所以四边形MENF 为菱形， 因此ME NE =，故B 正确．对于C 选项，由B 易得四边形MENF 的面积12S MN EF =⋅， 所以当点M ，N 分别为BB '，DD '的中点时，四边形MENF 的面积S 最小，此时MN EF ==，即面积S 的最小值为1；当点M ，N 分别与点B （或点B '），D （或D ）重合时，四边形MENF 的面积S 最大，此时MN =，即面积S 的最大值为2所以四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2C 不正确． 对于D 选项，四棱锥A MENF -的体积11113346M AEF N AEF AEF V V V DB S --=+=⋅==△； 因为E ，F 分别是AA '，CC '的中点，所以BM D N '=，DN B M '=，于是被截面MENF 平分的两个多面体是完全相同的，则它们的体积也是相同的，因此多面体ABCD EMFN -的体积21122ABCD A B C D V V ''''-==正方体，所以四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题考查立体几何与向量的综合、截面面积的最值、几何体的体积，考查空间思维能力与运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于证明四边形MENF 为菱形，利用割补法将四棱锥A MENF -的体积转化为三棱锥M AEF - 和N AEF -的体积之和，将多面体ABCD EMFN -的体积转化为正方体的体积的一半求解.。

2024年数学七年级上册几何基础练习题(含答案)

2024年数学七年级上册几何基础练习题(含答案)

2024年数学七年级上册几何基础练习题（含答案）试题部分一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个图形是一个正方形？A. 四条边等长，四个角都是直角的四边形B. 四条边等长，四个角都是锐角的四边形C. 四条边不等长，四个角都是直角的四边形D. 四条边不等长，四个角都是锐角的四边形2. 下列哪个图形是一个矩形？A. 四条边等长，四个角都是直角的四边形B. 四条边等长，四个角都是锐角的四边形C. 四条边不等长，四个角都是直角的四边形D. 四条边不等长，四个角都是锐角的四边形3. 下列哪个图形是一个菱形？A. 四条边等长，四个角都是直角的四边形B. 四条边等长，四个角都是锐角的四边形C. 四条边不等长，四个角都是直角的四边形D. 四条边不等长，四个角都是锐角的四边形4. 下列哪个图形是一个正三角形？A. 三条边等长，三个角都是直角的三角形B. 三条边等长，三个角都是锐角的三角形C. 三条边不等长，三个角都是直角的三角形D. 三条边不等长，三个角都是锐角的三角形5. 下列哪个图形是一个等腰三角形？A. 三条边等长，三个角都是直角的三角形B. 三条边等长，三个角都是锐角的三角形C. 三条边不等长，两个角是直角的三角形D. 三条边不等长，两个角是锐角的三角形6. 下列哪个图形是一个等边三角形？A. 三条边等长，三个角都是直角的三角形B. 三条边等长，三个角都是锐角的三角形C. 三条边不等长，三个角都是直角的三角形D. 三条边不等长，三个角都是锐角的三角形7. 下列哪个图形是一个梯形？A. 四条边等长，四个角都是直角的四边形B. 四条边等长，四个角都是锐角的四边形C. 四条边不等长，两个角是直角的四边形D. 四条边不等长，两个角是锐角的四边形8. 下列哪个图形是一个平行四边形？A. 四条边等长，四个角都是直角的四边形B. 四条边等长，四个角都是锐角的四边形C. 四条边不等长，四个角都是直角的四边形D. 四条边不等长，四个角都是锐角的四边形9. 下列哪个图形是一个圆形？A. 所有边都是直线的图形B. 所有边都是曲线的图形C. 所有边都是直角三角形的图形D. 所有边都是锐角三角形的图形10. 下列哪个图形是一个椭圆？A. 所有边都是直线的图形B. 所有边都是曲线的图形C. 所有边都是直角三角形的图形D. 所有边都是锐角三角形的图形二、判断题（每题2分，共10分）1. 正方形的对角线互相垂直且相等。

暑假作业解析几何初步(一)

暑假作业解析几何初步(一)

解析几何初步（一）一、选择题1. 如果直线0=++C By Ax 的倾斜角为 45，则有关系式 （ ）Ａ．B A = Ｂ．0=+B A Ｃ．1=AB Ｄ．以上均不可能 2. 直线122=-by ax 在y 轴上的截距是 （ ）A. bB. 2bC. 2b -D. b ±3. 下列命题中正确的是 （ ） A ．平行的两条直线的斜率一定相等 B.平行的两条直线的倾斜角一定相等 C ． 垂直的两直线的斜率之积为-1 D.斜率相等的两条直线一定平行4. 圆2)3()2(22=++-y x 的圆心和半径分别是 （ ）A ．)3,2(-，1B ．)3,2(-，3C ．)3,2(-，2D ．)3,2(-，2 5. 如果直线l 上的一点A 沿x 轴负方向平移３个单位，再沿y 轴正方向平移１个单位后，又回到直线l 上，则l 的斜率是 （ ）A ．3B ．13C ．－3D ．－136. 已知A （1，1，1），B （－3，－3，－3），则线段AB 的长为（ ）A ．4B ．2C ．D ．7. 已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为13，则m ，n的值分别为 （ ） A.4和3 B. －4和3 C. －4和－3 D.4和－3 8. 已知点P （0，－1），点Q 在直线01=+-y x 上，若直线PQ 垂直于直线052=-+y x ，则点Q 的坐标是 （ ） A ．（－2，1） B ．（2，1） C ．（2，3） D ．（－2，－1）9. 两圆221:2220C x y x y +++-=，222:4210C x y x y +--+=的公切线有且仅有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条10. 平行于直线2x －y+1=0且与圆x 2+y 2=5相切的直线的方程是 （ ）A ．2x －y+5=0B ．2x －y －5=0C ．2x ＋y+5=0或2x ＋y －5=0D ．2x －y+5=0或2x －y －5=0 11．圆222690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是 （ ）A ．22(7)(1)1x y +++=B ．22(7)(2)1x y +++=C ． 22(6)(2)1x y +++=D ．22(6)(2)1x y ++-=12．如果实数y x ,满足等式22(2)3x y -+=，那么y x 的最大值是 （ ）A ．12B ．3C 2D ．3二．填空题13.如图，直线12,l l 的斜率分别为k 1、k 2，则k 1、k 2的大小关系是； .14.如果直线l 与直线x+y －1＝0关于y 轴对称，则直线l 的方程是 .15.已知两点A （1，－1）、B （3，3），点C （5，a ）在直线AB 上，则实数a 的值是 .16.直线02=+-b y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b 的取值范围是.三．解答题17.已知一条直线经过两条直线0432:1=--y x l 和0113:2=-+y x l 的交点，并且垂直于这个交点和原点的连线，求此直线方程。

球与各种几何体切、接问题专题(一))

球与各种几何体切、接问题专题(一))

球与各种几何体切、接问题专题(一))近年来，高考命题中球与各种几何体的切、接问题主要以选择题、填空题为主，大题较少出现。

在此之前，需要明确两个定义：一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球；一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。

一、球与柱体的切接。

规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题。

1、球与正方体。

正方体有三种形态：内切球、棱切球和外接球。

内切球的位置关系为正方体的六个面都与一个球相切，正方体中心与球心重合，数据关系为2r=a。

棱切球的位置关系为正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合，数据关系为2r=2a。

外接球的位置关系为正方体的八个顶点在同一个球面上，正方体中心与球心重合，数据关系为2r=3a。

例如，对于一个棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，如果其8个顶点都在球O的表面上，那么直线EF被球O截得的线段长为2.2、球与长方体。

长方体的外接球直径是长方体的对角线。

例如，已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为32π。

3、球与正棱柱。

正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点。

结论2：直三棱柱的外接球的球心位于上下底面三角形外心的连线的中点。

二、球与锥体的切接规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题。

1、正四面体与球的切接问题1）正四面体的内切球，如图4.位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h；球的半径为R，这时有4R= h=6a/√3；例4：正四面体的棱长为a，则其内切球的半径为R= a/√6.解析】如图正四面体ABCD的中心为O，即内切球球心，内切球半径R即为O到正四面体各面的距离。

多命题结论几何选择题(一)

多命题结论几何选择题(一)

多命题结论几何选择题（一）一、例题讲解：例1、如图1，已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出以下四个结论：①AE ＝CF ；②△EPF 是等腰直角三角形；③S 四边形AEPF ＝21S △ABC ；④EF ＝AP 。

当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时（点E 不与A 、B 重合），上述结论中始终正确的有( )A ①②③④B ①②③C ②③④D ①③④例2、如图2，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，弦CD 交AB 与E ，连结OD 、PC 、BC ，∠AOD=2∠ABC ，∠P=∠D ，过E 作弦GF ⊥BC 交圆于G 、F 两点，连结CF 、BG 。

则下列结论其中正确的是（ ）①CD ⊥AB ； ②PC 是⊙O 的切线；③OD ∥GF ④弦CF 的弦心距等于12BG 。

A ．①②④ B ．③④ C ．①②③ D ．①②③④例3、如图3，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 为⊙O 的直径，弦BD ⊥AC.下列结论：①∠P+2∠D ＝180°； ②∠BOC ＝∠BAD ；③∠DBO ＝∠ABP ； ④∠ABP ＝∠ABD其中正确结论有（ ）个（A ）1；（B ）2； （C ）3；（D ）4二、课堂练习：1、如图4，⊙O 的弦AB ⊥CD 于H ，D 、E 关于AB 对称，BE 延长线交⊙O 于F ，连接FC ，作OG ⊥AB 于G ，则下列结论：①FC =CE ；②AF =AD =21CF ；④E 点关于BC 的对称点必在⊙O 上，正确的是（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．②③④D ．①②④2、如图5，AB 是⊙O 的直径，弧AC=弧CE ，弦AE 交CD 于F ，交BC 于M ，下列结论：①AE=CD ；②AF=CF ；③AF=ME ；④∠EAB =∠HDO 。

第19章《几何证明(一)-证明》知识讲练(学生版)

第19章《几何证明(一)-证明》知识讲练(学生版)

2023-2024学年沪教版数学八年级上册章节知识讲练知识点01：几何证明1．命题和证明（1）命题定义：判断一件事情的句子.判断为正确的命题，叫做真命题；判断为错误的命题，叫做假命题.（2）演绎证明（简称证明）从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程.易错点拨：命题通常由题设、结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项，可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”开始的部分是题设，“那么”开始的部分是结论.2.公理和定理（1）公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原始依据.（2）定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并能进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.3.逆命题与逆定理（1）在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，则这两个命题叫互逆命题. 其中一个命题叫原命题；另一个命题叫它的逆命题.（2）如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，则这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫另一个的逆定理.4.证明真命题的一般步骤（1）理解题意，分清命题的条件（已知）、结论（求证）（2）根据题意，画出图形，并在图中标出必要的字母或符号（3）结合图形，用符号语言写出“已知”和“求证”（4）分析题意，探索证明思路（由“因”导“果”，执“果”索“因”）（5）依据思路，运用数学符号和数学语言条理清晰的写出证明过程（6）检查表达过程是否正确、完善易错点拨：（1）一个命题（定理）的逆命题（逆定理）并不是唯一的，这是因为一个命题的题设中可能有两个或多个条件，结论也可能不止一个；（2）逆命题的真假与原命题的真假没有关系.知识点02：线段的垂直平分线和角的平分线1.线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线的定义垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线.（2）线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.如图：∵MN垂直平分线段AB∴PA=PBMN BAP（3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.易错点拨：线段的垂直平分线定理与逆定理往往与边相等、角相等的证明密切相关，它提供了证明边、角相等的又一种重要的方法，在以后的学习中还会与直角三角形、角平分线、勾股定理等连在一起综合应用.2.角的平分线（1）角的平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.（2）角的平分线有下面的性质定理：①角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.②到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.如图：∵OP 平分∠AOB ，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴PD=PE.3.垂线的性质性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.易错点拨：（1）当题目中的条件涉及到角平分线上的点与角的两边的垂直关系时，利用角的平分线性质可直接得到垂线段相等，而不必用全等三角形来证，但是在书写过程中，不要漏掉垂直关系；（2）已知角的平分线，有两种常用的添加辅助线的方法：一是把角沿着角平分线翻折，在这个角的两边截取相等线段，从而创设两个全等的三角形；二是过角平分线上的点向角两边做垂线段，利用角平分线的性质定理及其逆定理来解题.知识点03：轨迹1.轨迹的定义把符合某些条件的所有点的集合叫做点的轨迹.易错点拨：轨迹定义包含以下两层含义：其一、轨迹图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都符合条件（也称图形的AB O D E P纯粹性）；其二、轨迹图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上（也称图形的完备性）；所谓轨迹问题的证明就是用论证的方法证明得到的轨迹符合上述两层含义.2.三条基本轨迹轨迹1：和已知线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；轨迹2：到已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；轨迹3：到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心、以定长为半径的圆.3.交轨法作图利用轨迹相交进行作图的方法叫做交轨法.如果要求作的点（图形）同时要满足两个条件时，我们通常先作出满足条件A的轨迹，然后再作出满足条件B的轨迹，两轨迹的交点则同时满足条件A和条件B.交轨法是常用的作图方法，我们在利用尺规作三角形、线段的垂直平分线、角平分线时，都运用了交轨法.易错点拨：“尺规作图”是指限用无刻度直尺和圆规来作几何图形，基本的尺规作图有如下几种：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）经过一点作已知直线的垂线；（5）作线段的垂直平分线.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•徐汇区期末）下列命题中，假命题是（ ）A．对顶角相等B．等角的补角相等C．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行D．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等2．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）在下列各原命题中，逆命题为假命题的是（ ）A．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半C．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等D．关于某一条直线对称的两个三角形全等3．（2分）（2021秋•徐汇区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB的垂直平分线DE交AB 于点D，交BC于点E，且AE平分∠BAC，下列关系式不成立的是（ ）A．AC＝2EC B．∠B＝∠CAE C．∠DEA＝∠CEA D．BC＝3CE4．（2分）（2022秋•黄浦区校级月考）如图所示，点H是△ABC内一点，要使点H到AB、AC的距离相等，且S△ABH ＝S△BCH，点H是（ ）A．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点C．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点5．（2分）（2022秋•杨浦区期中）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AD是∠BAC的平分线，CE是AB边上的高，AD与CE交于点F，过点D作DG∥CE交边AB于点G，联结CG交AD于点H，则下列结论中，不一定成立的是（ ）A．CD＝DG B．CF＝DG C．FH＝DH D．EF＝EG6．（2分）（2021秋•奉贤区校级期末）下列说法错误的是（ ）A．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线B．到点P距离等于1 cm的点的轨迹是以点P为圆心，半径长为1cm的圆C．到直线l距离等于2 cm的点的轨迹是两条平行于l且与l的距离等于2cm的直线D．等腰△ABC的底边BC固定，顶点A的轨迹是线段BC的垂直平分线7．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）下列命题的逆命题中，真命题有（ ）①全等三角形的对应角相等；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③关于某一条直线对称的两个三角形全等；④等腰三角形的两个底角相等．A．1个B．2个C．3个D．4个8．（2分）（2022秋•徐汇区校级期中）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）A．直角三角形的两个锐角互余B．两直线平行，内错角相等C．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形D．若x＝y，则x2＝y29．（2分）（2022秋•黄浦区月考）下列命题中，逆命题是假命题的是（ ）A．等边三角形的三个内角都等于60°B．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等C．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等D．相等的两个角是对顶角10．（2分）（2022秋•黄浦区校级月考）如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC＝9，AB＝5，PB＝3，则PC的长不可能是（ ）A．4B．5C．6D．7二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•宝山区期末）在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，如果DE ＝1，△ABC的面积是6，则△ABC的周长是 ．12．（2分）（2022秋•徐汇区期末）到点P的距离等于4cm的点的轨迹是 ．13．（2分）（2022秋•徐汇区校级期末）如图，在△ABC中，AD平分角BAC，AB＝6，AC＝4，△ABD的面积为9，则△ADC的面积为 ．14．（2分）（2022秋•普陀区期中）把命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果…，那么…”的形式． ．15．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）如图，点P是∠AOB的平分线上的一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA，若∠AOB＝60°，OC＝8，则PD＝ ．16．（2分）（2022秋•黄浦区校级月考）如图，等边△ABC中，点E为高AD上的一动点；以BE为边作等边△BEF，连接DF，CF，则∠BCF＝ ．17．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D在AC边上，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，如果AD＝DE，且∠BDE＝2∠ABC，那么∠CDE的度数是 ．18．（2分）（2022秋•徐汇区校级期末）已知：如图，△ABC中，∠ABC＝45°，H是高AD和BE的交点，AD ＝12，BC＝17，则线段BH的长为 ．19．（2分）（2022秋•杨浦区期末）如图，已知在等腰△ABC中，如果AB＝AC，∠A＝40°，DE是AB的垂直平分线，那么∠DBC＝ 度．20．（2分）（2022秋•徐汇区校级期中）在△ABC中，∠BAC＝α，边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC 的垂直平分线交边BC于点E，连接AD，AE，则∠DAE的度数为 ．（用含α的代数式表示）三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•黄浦区月考）如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，E是AB边上一点，连接ED，F是ED延长线上一点，连接CF，若BC平分∠ACF，求证：BE＝CF．22．（6分）（2022秋•黄浦区校级月考）如图，在△ABC中，PE垂直平分边BC，交BC于点E，AP平分∠BAC 的外角∠BAD，PG⊥AD，垂足为点G，PH⊥AB，垂足为点．（1）求证：∠PBH＝∠PCG；（2）如果∠BAC＝90°，求证：点E在AP的垂直平分线上．23．（8分）（2021秋•奉贤区校级期中）已知：如图，AM∥BN，AC平分∠MAB，BC平分∠NBA．过点C作直线DE，分别交AM、BN于D、E．（1）求证：△ABC是直角三角形．（2）求证：CD＝CE．24．（8分）（2022秋•青浦区校级期末）已知，如图在△ABC中，AD、BE分别是BC，AC边上的高，AD、BE 交于H，DA＝DB，BH＝AC，点F为BH的中点，DC＝DF．（1）求证：△ADC≌△BDH；（2）求证：∠ABE＝15°．25．（8分）（2020秋•浦东新区月考）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．（1）求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM；（2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交BM于点D．求证：CE＝ED．26．（8分）（2022秋•徐汇区校级期末）如图，△ABC中，D为BC边上一点，BE⊥AD，交AD的延长线于点E，CF⊥AD于F，BE＝CF．（1）求证：点D为BC的中点；（2）若BC＝2AC，求证：AF＝ED．27．（8分）（2021秋•普陀区期末）已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点M是边AC上一动点（与点A、C不重合），点N在边CB的延长线上，且AM＝BN，连接MN交边AB于点P．（1）求证：MP＝NP；（2）若设AM＝x，BP＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当△BPN是等腰三角形时，求AM的长．28．（8分）（2019秋•浦东新区校级月考）已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点O和点P是这个三角形内部两点．（1）如图①，如果点P是这个三角形三个内角平分线的交点，那么∠BPC和∠BAC有怎样的数量关系？请说明理由；（2）如图②，如果点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，那么∠BOC和∠BAC有怎样的数量关系？请说明理由；（3）如图③，如果点P（三角形三个内角平分线的交点），点O（三角形三边垂直平分线的交点）同时在不等边△ABC的内部，那么∠BPC和∠BOC有怎样的数量关系？请直接回答．。

经典竞赛几何题

经典竞赛几何题

绝密★启用前2018年05月17日朋松的初中数学组卷试卷副标题考试围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一．解答题（共50小题）1．已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（点D不与B，C重合）△ADF是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交射线AC于点E，连接BF．（1）如图1，求证：△AFB≌△ADC；（2）请判断图1中四边形BCEF的形状，并说明理由；（3）若D点在BC 边的延长线上，如图2，其它条件不变，请问（2）中结论还成立吗？如果成立，请说明理由．2．在△ABC中，AH⊥BC于H，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点（如图所示）．求证：∠DEF=∠HFE．3．在△ABC中，∠B=60°，∠A，∠C的角平分线AE，CF相交于点O，（1）如图1，若AB=BC，求证：OE=OF；（2）如图2，若AB≠BC，试判断线段OE与OF是否相等，并说明理由．4．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，在△ABC外取一点E，使得∠EAB=∠ACB，AE=DC，并且线段ED与线段AB相交，交点记为K，问线段EK 与DK有怎样的大小关系？并说明理由．5．已知如图，AC=BC，∠C=90°，∠A的平分线AD交BC于D，过B作BE垂直AD于E，求证：BE=AD．6．如图，已知AB=AC，∠BAC=60°，∠BDC=120°，求证：AD=BD+CD．7．如图△ABC，D是△ABC的一点，延长BA至点E，延长DC至点F，使得AE=CF，G，H，M分别为BD，AC，EF的中点，如果G，H，M三点共线，求证：AB=CD．8．如图，在正方形ABCD中，取AD，CD的边的中点E，F，连接CE，BF交于点G，连接AG，试判断AG与AB是否相等，并说明理由．9．如图，设点M是等腰Rt△ABC的直角边AC的中点，AD⊥BM于E，AD交BC于D．求证：∠AMB=∠CMD（请用两种不同的方法证明）10．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是DC及AB的中点，射线FE与AD及BC的延长线分别交于点H及G．试猜想∠AHF与∠BGF的关系，并给出证明．提示：若猜想不出∠AHF与∠BGF的关系，可考虑使四边形ABCD为特殊情况．如果给不出证明，可考虑下面作法，连结AC，以F为中心，将△ABC旋转180°，得到△ABP．11．如图，D为△ABC中线AM的中点，过M作AB、AC边的垂线，垂足分别为P、Q，过P、Q分别作DP、DQ的垂线交于点N．（1）求证：PN=QN；（2）求证：MN⊥BC．12．在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE=DF，过E、F分别作CA、CB的垂线相交于P，设线段PA、PB的中点分别为M、N．求证：①△DEM≌△DFN；②∠PAE=∠PBF．13．如图：已知AB∥DC，∠BAD和∠ADC的平分线相交于点E，过点E的直线分别交AB、DC于B、C两点．猜想线段AD、AB、DC之间的数量关系，并证明．14．如图，已知△ABC中，AB=BC=CA，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，G是BC上一点，△DGH是等边三角形．求证：EG=FH．15．已知如图，CD是RT△ABC斜边上的高，∠A的平分线交CD于H，交∠BCD的平分线于G，求证：HF∥BC．16．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E是CD的中点，过点E作CD的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF=AD，MF=MA．（1）若∠MFC=120°，求证：AM=2MB；（2）试猜想∠MPB与∠FCM数量关系并证明．17．如图，在△ABC中AC＞BC，E、D分别是AC、BC上的点，且∠BAD=∠ABE，AE=BD．求证：∠BAD=∠C．18．已知A，C，B在同一条直线上，△ACE，△BCF都是等边三角形，BE交CF于N，AF交CE于M，MG⊥CN，垂足为G．求证：CG=NG．19．如图所示，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD为BC边上的高，延长AB到E点，使BE=BD，过点D、E引直线交AC于点F，请判定AF与FC的数量关系，并证明之．20．如图，△ABC是边长为l的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，形成一个三角形，求证：△AMN的周长等于2．21．已知如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且AE=（AB+AD），求证：∠B与∠D互补．22．如图，已知△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠1=∠2，CE⊥BD于E．求证：BD=2CE．23．AD是△ABC的角平分线，M是BC的中点，FM∥AD交AB的延长线于F，交AC于E．（1）求证：CE=BF；（2）探索线段CE与AB+AC之间的数量关系，并证明．24．如图，AD是△ABC的中线，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠FAC=90°．判断线段AD与EF数量和位置关系．25．如图，四边形ABCD中，BC=DC，对角线AC平分∠BAD，且AB=21，AD=9，BC=DC=10，求AC的长．26．如图，已知线段AB的同侧有两点C、D满足∠ACB=∠ADB=60°，∠ABD=90°﹣∠DBC．求证：AC=AD．27．如图，正方形ABDE和ACFG是以△ABC的AB、AC为边的正方形，P、Q 为它们的中心，M是BC的中点，试判断MP、MQ在数量和位置是有什么关系？并证明你的结论．28．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，BP⊥AD，垂足为P．已知AB=5，BP=2，AC=9．试说明∠ABC=3∠ACB．29．如图，在△ABC中，∠B=90°，M为AB上一点，使得AM=BC，N为BC 上一点，使得CN=BM，连接AN，CM相交于点P，试求∠APM的度数．30．已知如图，在△ABC中，∠B=60°，AD、CE是△ABC的角平分线，并且它们交于点O，（1）求：∠AOC的度数；（2）求证：AC=AE+CD．31．如图，已知△ABC中AB＞AC，P是角平分线AD上任一点，求证：AB﹣AC＞PB﹣PC．32．如图，在△ABC中，D为BC的中点，点E、F分别在边AC、AB上，并且∠ABE=∠ACF，BE、CF交于点O．过点O作OP⊥AC，OQ⊥AB，P、Q为垂足．求证：DP=DQ．33．如图已知△ABC中，AB=AC，∠ABD=60°，且∠ADB=90°﹣∠BDC，求证：AB=BD+DC．34．如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA=BC，EB=AC，FC=AB，∠AFB=51°，求∠DFE度数．35．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点M、N分别是边AC 和BC的中点，点D在射线BM上，且BD=2BM．点E在射线NA上，且NE=2NA，求证：BD⊥DE．36．如图，△ABC中，BD为∠ABC的平分线；（1）若∠A=100°，∠C=50°，求证：BC=BA+AD；（2）若∠BAC=100°，∠C=40°，求证：BC=BD+AD．37．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD．求证：BD=CD．38．如图所示，在△ABF中，已知BC=CE=EF，∠BAC=∠CAD=∠DAE=45°，求的值．39．如图，已知过△ABC的顶点A，在∠BAC部任意作一条射线，过B、C分别作此射线的垂线段BD、CE，M为BC边中点．求证：MD=ME．40．已知，如图，在正方形ABCD中，O是对角线的交点，AF平分∠BAC，DH⊥AF于点H，交AC于点G，DH延长线交AB于点E求证：．41．已知：在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，求证：∠ADB=∠CDF．42．如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，E为AB中点，连接CE、CD，求证：CD=2EC．43．如图，在△ABC中，BD=CD，AG平分∠DAC，BF⊥AG，垂足为H，与AD 交于E，与AC交于F，过点C的直线CM交AD的延长线于M，且∠EBD=∠MCD，AC=AM．求证：DE=CF．44．如图，BE、CF是△ABC的高，它们相交于点O，点P在BE上，Q在CF 的延长线上且BP=AC，CQ=AB，（1）求证：△ABP≌△QCA．（2）AP和AQ的位置关系如何，请给予证明．45．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠BAC交CD于E，交BC于F，EG∥AB交BC于G，说明BG=CF的理由．46．在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，M是CD的中点，若∠AMD=∠BMD，求证：∠CDA=2∠ACD．47．如图，已知：四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是DC、AB的中点，直线EF分别与BC、AD的延长线相交于G、H．求证：∠AHF=∠BGF．48．如图，在等腰直角△ABC中，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过F作FG ⊥CD交BE延长线于G，求证：BG=AF+FG．49．已知△ABC，∠C=90°，AC=BC．M为AC中点，延长BM到D，使MD=BM；N为BC中点，延长NA到E，使AE=NA，连接ED，求证：ED⊥BD．50．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是△ABC一点，且∠DAC=∠DCA=15°，求证：BD=BA．2018年05月17日朋松的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（点D不与B，C重合）△ADF是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交射线AC于点E，连接BF．（1）如图1，求证：△AFB≌△ADC；（2）请判断图1中四边形BCEF的形状，并说明理由；（3）若D点在BC 边的延长线上，如图2，其它条件不变，请问（2）中结论还成立吗？如果成立，请说明理由．【分析】（1）利用有两条边对应相等并且夹角相等的两个三角形全等即可证明△AFB≌△ADC；（2）四边形BCEF是平行四边形，因为△AFB≌△ADC，所以可得∠ABF=∠C=60°，进而证明∠ABF=∠BAC，则可得到FB∥AC，又BC∥EF，所以四边形BCEF是平行四边形；（3）易证AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，可得∠FAB=∠DAC，即可证明△AFB≌△ADC；根据△AFB≌△ADC可得∠ABF=∠ADC，进而求得∠AFB=∠EAF，求得BF∥AE，又BC∥EF，从而证得四边形BCEF是平行四边形．【解答】证明：（1）∵△ABC和△ADF都是等边三角形，∴AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，又∵∠FAB=∠FAD﹣∠BAD，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD，∴∠FAB=∠DAC，在△AFB和△ADC中，，∴△AFB≌△ADC（SAS）；（2）由①得△AFB≌△ADC，∴∠ABF=∠C=60°．又∵∠BAC=∠C=60°，∴∠ABF=∠BAC，∴FB∥AC，又∵BC∥EF，∴四边形BCEF是平行四边形；（3）成立，理由如下：∵△ABC和△ADF 都是等边三角形，∴AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，又∵∠FAB=∠BAC﹣∠FAE，∠DAC=∠FAD﹣∠FAE，∴∠FAB=∠DAC，在△AFB和△ADC中，，∴△AFB≌△ADC（SAS）；∴∠AFB=∠ADC．又∵∠ADC+∠DAC=60°，∠EAF+∠DAC=60°，∴∠ADC=∠EAF，∴∠AFB=∠EAF，∴BF∥AE，又∵BC∥EF，∴四边形BCEF是平行四边形．【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，熟练掌握性质、定理是解题的关键．2．在△ABC中，AH⊥BC于H，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点（如图所示）．求证：∠DEF=∠HFE．【分析】EF为中位线，所以EF∥BC，又因为∠HFE和∠FHB，∠DEF和∠CDE 分别为一组平行线的对角，所以相等；转化成求证∠FHB=∠CDE．【解答】证明：∵E，F分别为AC，AB的中点，∴EF∥BC，根据平行线定理，∠HFE=∠FHB，∠DEF=∠CDE；同理可证∠CDE=∠B，∴∠DEF=∠B．又∵AH⊥BC，且F为AB的中点，∴HF=BF，∴∠B=∠BHF，∴∠HFE=∠B=∠DEF．即∠HFE=∠DEF．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，直角三角形中斜边的中线为斜边边长的一半．3．在△ABC中，∠B=60°，∠A，∠C的角平分线AE，CF相交于点O，（1）如图1，若AB=BC，求证：OE=OF；（2）如图2，若AB≠BC，试判断线段OE与OF是否相等，并说明理由．【分析】（1）可证明△ACF≌△CAE，再由角平分线的性质得出∠OAC=∠OCA，从而得出OE=OF；（2）过点O作OH⊥AC，OM⊥BC，ON⊥AB，垂足分别为H，M，N，连接OB．根据角平分线的性质定理以及逆定理可推得点O在∠B的平分线上，从而得出∠OBN=∠OBM=30°，由已知得出∠OEM=∠OFN，能证明Rt△OFN≌Rt△OEM，则OE=OF成立．【解答】证明：（1）∵∠B=60°，AB=BC，∴∠A=∠C=60°，∵AECF分别平分∠A，∠C，∴∠OAC=∠OCA=30°，∴OA=OC，△ACF≌△CAE（ASA），∴AE=CF，∴OE=OF；（2）过点O作OH⊥AC，OM⊥BC，ON⊥AB，垂足分别为H，M，N，连接OB．∵点O在∠A，∠C的平分线上，∴ON=OH，OH=OM，从而OM=ON，∴点O在∠B的平分线上（1分）∴∠OBN=∠OBM=30°，ON=OM （2分）又∠OEM=∠B+∠A=60°+∠A∠OFN=∠A+∠C=（∠A+∠C）+∠A=（180°﹣60°）+∠A=60°+∠A．∴∠OEM=∠OFN．（2分）∴Rt△OFN≌Rt△OEM（AAS），（1分）∴OE=OF．（1分）【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质，注意一题多解以及方法的简单性．4．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，在△ABC外取一点E，使得∠EAB=∠ACB，AE=DC，并且线段ED与线段AB相交，交点记为K，问线段EK 与DK有怎样的大小关系？并说明理由．【分析】首先作出EI⊥AB，DH⊥AB，证明△EAI≌△DCF再得出DH=DF进而得出△EKI≌△DKH即可证出．【解答】解：结论：EK=DK．（2分）理由：过点E作EI⊥AB，过点D作DH⊥AB于H，DF⊥BC于F，在△EAI和△DCF中∵，∴△EAI≌△DCF（AAS），（2分）∴EI=DF，（2分）∵BD是∠ABC的平分线，∴DH=DF，（2分）∴DH=EI，在△EKI和△DKH中，∵，∴△EKI≌△DKH（AAS），（2分）∴EK=DK．（2分）【点评】此题主要考查了三角形全等证明方法，根据题意作出EI⊥AB，DH⊥AB，从而利于全等证明是解决问题的关键．5．已知如图，AC=BC，∠C=90°，∠A的平分线AD交BC于D，过B作BE 垂直AD于E，求证：BE=AD．【分析】延长AC、BE交于点M，易证得△ACD≌△BCM，可得AD=BM①，可证得△AEM≌△AEB，可得EM=BE，即BM=2BE②，由①②即可得结论．【解答】解：如图，延长AC、BE交于点M，∵∠A的平分线AD，BE垂直AD于E，∴∠MAE=∠BAE，∠AEM=∠AEB=90°，∵AE=AE，∴△AEM≌△AEB（ASA），∴EM=BE，即BM=2BE①；∵∠A的平分线AD，AC=BC，∠C=90°，∴∠CAD=∠DAB=22.5°，∠ABC=45°，∵BE垂直AD于E，∴∠DAB+∠ABC+∠DBE=90°，即∠DBE=22.5°，∴∠CAD=∠DBE，又∵AC=BC，且∠ACB=∠BCM=90°，∴△ACD≌△BCM（ASA），∴AD=BM②；由①②得AD=2BE，即BE=AD．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，涉及到等腰直角三角形的性质、三角形角和定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．6．如图，已知AB=AC，∠BAC=60°，∠BDC=120°，求证：AD=BD+CD．【分析】先延长DB，使BE=CD，连接AE，BC，根据已知条件得出A，B，D，C四点共圆，得出∠ACB=∠ADE，再根据等边三角形的性质得出△ABC是等边三角形，在△ABE和△ACD中，根据SAS得出△ABE≌△ACD，得出△ADE 是等边三角形，得出AD=DE，再根据DE=BD+BE，即可证出AD=BD+CD．【解答】解：延长DB，使BE=CD，连接AE，BC，∵∠BAC+∠ACD+∠BDC+∠ABD=360°，∠BAC=60°，∠BDC=120°，∴∠ABD+∠ACD=180°，∴A，B，D，C四点共圆，∴∠ACB=∠ADE，∵∠ABD+∠ABE=180°，∴∠ABE=∠ACD，∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ADE=60°，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AE=AD，∴△ADE是等边三角形，∴AD=DE，∵DE=BD+BE，∴AD=BD+CD．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质和三角形角和定理，关键是根据题意作出辅助线．7．如图△ABC，D是△ABC的一点，延长BA至点E，延长DC至点F，使得AE=CF，G，H，M分别为BD，AC，EF的中点，如果G，H，M三点共线，求证：AB=CD．【分析】由三角形的中位线得，MS∥AE，MS=AE，HS∥CF，HS=CF，由已知得HS=SM，从而得出∠SHM=∠SMH，则得出∠TGH=∠THG，GT=TH，最后不难看出AB=CD．【解答】证明：取BC中点T，AF的中点S，连接GT，HT，HS，SM，∵GHM分别为BD，AC，EF的中点，∴MS∥AE，MS=AE，HS∥CF，HS=CF，∵GT∥CD，HT∥AB，GT=CD，HT=AB，∴GT∥HS，HT∥SM，∴∠SHM=∠TGH，∠SMH=∠THG，∴∠TGH=∠THG，∴GT=TH，∴AB=CD．【点评】本题考查了三角形的中位线定理以及平行线的性质．8．如图，在正方形ABCD中，取AD，CD的边的中点E，F，连接CE，BF交于点G，连接AG，试判断AG与AB是否相等，并说明理由．【分析】延长CE、BA交于P，易证△CDE≌△BCF，可得∠CFB=∠DEC，即可求得CE⊥BF，进而可以求证△PAE∽△PBC，可得PA=AB，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半性质即可解题．【解答】解：延长CE、BA交于P，∵在△CDE和△BCF中，，∴△CDE≌△BCF；（SAS）∴∠CFB=∠DEC，∵∠FCG+∠DEC=90°，∴∠FCG+∠CFB=90°，∴CE⊥BF，∴△PAE∽△PBC，==，∴A是PB的中点，即AB=PB，∵RT△BPG中，AG=PB．∴AG=AB．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△CDE≌△BCF是解题的关键．9．如图，设点M是等腰Rt△ABC的直角边AC的中点，AD⊥BM于E，AD交BC于D．求证：∠AMB=∠CMD（请用两种不同的方法证明）【分析】法（1）先延长AD至F，使得CF⊥AC，得出∠ABM=∠DAC，再根据AB=AC，CF⊥AC，得出△ABM≌△CAF，从而证出∠BMA=∠F，AM=CF，再根据所给的条件得出△FCD≌△MCD，即可得出∠AMB=∠F=∠CMD；法（2）先作∠BAC的平分线交BM于N，得出∠ABN=∠CAE，再根据∠BAN=∠C=45°，AB=AC，证出△BAN≌△ACD，得出AN=CD，证出△NAM≌△DCM，即可得出∠AMB=∠CMD．【解答】证明：法（1）如图，延长AD至F，使得CF⊥AC，∵AB⊥AC，AD⊥BM，∴∠ABM=∠DAC，又∵AB=AC，CF⊥AC，∴△ABM≌△CAF，∴∠BMA=∠F，AM=CF，∵∠BCA=∠BCF=45°，AM=CM=CF，DC=DC，∴△FCD≌△MCD，∴∠AMB=∠F=∠CMD；法（2）AD交BM于E，作∠BAC的平分线交BM于N，∵AE⊥BM，BA⊥AC，∴∠ABN=∠CAE，∵∠BAN=∠C=45°，AB=AC，∴△BAN≌△ACD．∴AN=CD，∵∠NAM=∠C=45°，AM=MC∴△NAM≌△DCM，∴∠AMB=∠CMD．【点评】此题考查了解等腰直角三角形；解题的关键是根据题意画出图形，再根据解等腰直角三角形的性质和相似三角形的判断与性质进行解答即可．10．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是DC及AB的中点，射线FE与AD及BC的延长线分别交于点H及G．试猜想∠AHF与∠BGF的关系，并给出证明．提示：若猜想不出∠AHF与∠BGF的关系，可考虑使四边形ABCD为特殊情况．如果给不出证明，可考虑下面作法，连结AC，以F为中心，将△ABC旋转180°，得到△ABP．【分析】方法一：连AC，取其中点为M，连EM和FM，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EM∥AD，2EM=AD，同理FM∥BC，2FM=BC，再根据两直线平行，错角相等可得∠AHF=∠MEF，两直线平行，错角相等可得∠BGF=∠MFE，从而得证；方法二：作法，连结AC，以F为中心，将△ABC旋转180°，得到△ABP，根据独角戏互相平分的四边形的平行四边形可得APBC是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得AP=BC=AD，连结AP，根据等边对等角可得∠APD=∠ADP，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥DP根据两直线平行，同位角相等可得∠AHF=∠ADP，根据两边互相平行的两个角相等或互补可得∠BGF=∠APD，然后等量代换即可得证．【解答】答：∠AHF=∠BGF．证明：方法一：连AC，取其中点为M，连EM和FM，∵EM是△ACD的中位线，∴EM∥AD，2EM=AD，同理FM∥BC，2FM=BC，∴EM=FM，∴∠MEF=∠MFE，∵∠AHF=∠MEF，∠BGF=∠MFE，∴∠AHF=∠BGF；方法二：作法，连结AC，以F为中心，将△ABC旋转180°，得到△ABP，∵F是AB的中点，∴APBC是平行四边形，∴AP=BC=AD，连结AP，则∠APD=∠ADP，∵EF是△CDP的中位线，∴EF∥DP，∴∠AHF=∠ADP，∵GF∥DP，GB∥AP，∴∠BGF=∠APD，∴∠AHF=∠BGF．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的判定与性质，难点在于作辅助线构造出三角形的中位线．11．如图，D为△ABC中线AM的中点，过M作AB、AC边的垂线，垂足分别为P、Q，过P、Q分别作DP、DQ的垂线交于点N．（1）求证：PN=QN；（2）求证：MN⊥BC．【分析】（1）要证明PN=QN，只有证明这两条线段所在的三角形全等就可以了，连接DN，利用斜边直角边对应相等的两个三角形全等就可以了．（2）△BPM和△CQM是直角三角形，由条件知道MB=CM，取BM、CM的中点S、T，连接PS、QT可以得到PS=QT，利用角的关系证明∠SPN=∠TQN，再证明△SPN≌△TQN，从而得到NS=NT，利用等腰三角形的三线合一的性质证明MN⊥BC．【解答】证明：（1）方法一：连接DN∵D为△ABC中线AM的中点∴AD=MD，MB=CM∵MP⊥AB，MQ⊥AC∴∠APM=∠AQM=90°∴△APM、△AMQ是直角三角形∴PD=AM，QD=AM∴PD=QD∴Rt△DPN≌Rt△DQN（HL）∴NP=PQ；方法二：∵MP⊥AB，MQ⊥AC∴∠APM=∠AQM=90°，所以∠APM+∠AQM=180°，所以四边形APMQ为圆接四边形．∵D为AM的中点，∴PD，DQ为以D为圆心的四边形APMQ接圆的半径．∵PN⊥PD，QN⊥QD，∴PN，NQ为圆的两条切线，∴PN=NQ．（2）取BM、CM的中点S、T，连接SP、SN、TQ、TN∴SP=BM=MC=TQ∴∠SPN=90°﹣∠BPS﹣∠NPM=90°﹣∠B﹣∠DPA=90°﹣∠B﹣∠BAM=90°﹣∠AMC=90°﹣∠DMQ﹣∠QMT=90°﹣∠DQM﹣∠MQT=∠TQN ∴△SPN≌△TQN∴SN=TN∵SM=TM∴NM⊥BC【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质．12．在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE=DF，过E、F分别作CA、CB的垂线相交于P，设线段PA、PB的中点分别为M、N．求证：①△DEM≌△DFN；②∠PAE=∠PBF．【分析】①要证△DEM≌△DFN，由D、M、N分别是AB、AP、BP的中点，所以DM=BP，DN=AP，再有过E、F分别作CA、CB的垂线相交于P，所以EM=AP=DN，FN=BP=DM．又DE=DF所以△DEM≌△DFN．②由①得∠EMD=∠FND，由∠AMD=∠BND=∠APB所以∠AME=∠BNF，那么∠PAE=（180°﹣∠AME），∠PBF=（180°﹣∠BNF），即∠PAE=∠PBF．【解答】证明：①如图，在△ABP中，∵D、M、N分别是AB、AP、BP的中点，∴DM=BP，DN=AP，又∵PE⊥AE，BF⊥PF∴EM=AP=DN，FN=BP=DM，∵DE=DF∴△DEM≌△DFN（SSS）；②∵由①结论△DEM≌△DFN可知∠EMD=∠FND，∵DM∥BP，DN∥AP，∴∠AMD=∠BND=∠APB，∴∠AME=∠BNF又∵PE⊥AE，BF⊥PF，∴△AEP和△BFP都为直角三角形，又M，N分别为斜边PA与PB的中点，∴AM=EM=AP，BN=NF=BP，∴∠MAE=∠MEA，∠NBF=∠NFB，∴∠PAE=（180°﹣∠AME），∠PBF=（180°﹣∠BNF）．即∠PAE=∠PBF，【点评】此题考查了线段之间的关系，和全等三角形的判定和性质，同学们应该熟练掌握．13．如图：已知AB∥DC，∠BAD和∠ADC的平分线相交于点E，过点E的直线分别交AB、DC于B、C两点．猜想线段AD、AB、DC之间的数量关系，并证明．【分析】在AD上截取AF=AB，连接EF，根据SAS证△BAE≌△FAE，推出∠B=∠EFA，求出∠C=∠EFD，证△CDE≌△FDE，推出DC=DF，即可得出答案．【解答】答：AD=AB+DC，证明：在AD上截取AF=AB，连接EF，∵AE平分∠BAF，∴∠BAE=∠FAE，∵在△BAE和△FAE中∴△BAE≌△FAE（SAS），∴∠B=∠EFA，∵AB∥DC，∴∠B+∠C=180°，∵∠EFD+∠EFA=180°，∴∠C=∠EFD，∵DE平分∠CDA，∴∠CDE=∠FDE，∵在△CDE和△FDE中∴△CDE≌△FDE（AAS），∴DC=DF，∴AD=AF+DF=AB+DC．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线定义等知识点的应用，关键是能正确作辅助线．14．如图，已知△ABC中，AB=BC=CA，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，G是BC上一点，△DGH是等边三角形．求证：EG=FH．【分析】连接DE、DF，根据三角形中位线定理及等边三角形的性质，可证明△DEG≌△DFH，即可得结论．【解答】证明：连接DE、DF，（如图）∵D、E、F是各边中点，∴DE平行且等于AC，DF平行且等于BC，∵AB=BC=CA，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴DE=DF，∠EDF=∠DFA=∠C=60°∵已知等边△DHG，∴DG=DH，∠HDG=60°=∠EDF，∴∠EDF﹣∠FDG=∠HDG﹣∠FDG，即∠1=∠2，∴△DEG≌△DFH（SAS），∴FH=EG．【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质，涉及到三角形中位线定理、等边三角形的性质等知识点，熟练掌握三角形全等判定方法是解题的关键．15．已知如图，CD是RT△ABC斜边上的高，∠A的平分线交CD于H，交∠BCD的平分线于G，求证：HF∥BC．【分析】根据角平分线性质作辅助线连接FE，进而证得HCEF是菱形从而证得．【解答】证明：连接FE，∵CD是Rt△ABC斜边上的高，∴∠A=∠DCB，又∵AE平分∠A，CF平分∠BCD，∴∠DCF=∠DAE，又∵∠AHD=∠CHE，∠ADH=90度，∴∠CGE=90度，在三角形ACF中，AE是高，中线，角平分线，∴CF⊥HE，CG=FG，∴CH=FH，CE=EF，∴CF是△CHE的高，中线，角平分线，∴CH=CE，∴CH=HF=EF=CE，∴四边形HCEF是菱形，∴HF∥BC．【点评】本题考查了角平分线性质以及其应用，问题有一定难度．16．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E是CD的中点，过点E作CD的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF=AD，MF=MA．（1）若∠MFC=120°，求证：AM=2MB；（2）试猜想∠MPB与∠FCM数量关系并证明．【分析】（1）连接MD，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得MD=MC，然后利用“边边边”证M明△MFC与△MAD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠MAD=∠MFC，根据两直线平行，同旁角互补求出∠BAD，然后求出∠BAM=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半证明；（2）根据全等三角形对应角相等和轴对称的性质可得∠BMP=∠FMD=∠DMA，然后用∠BMP表示出∠FCM，再根据直角三角形两锐角互余列式整理即可得解．【解答】（1）证明：连接MD，∵点E是CD的中点，ME⊥D，∴MD=MC，在△MFC与△MAD中，，∴△MFC≌△MAD（SSS），∴∠MAD=∠MFC=120°，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠BAD=180°﹣∠ABC=180°﹣90°=90°，∴∠BAM=∠MAD﹣∠BAD=120°﹣90°=30°，∵∠ABM=90°，∴AM=2MB；（2）解：2∠MPB+∠FCM=180°．理由如下：由（1）可知∠BMP=∠FMD=∠DMA，∵∠FCM=∠ADM=∠DMC=2∠BMP，∴∠BMP=∠FCM，∵∠ABC=90°，∴∠MPB+∠BMP=90°，∴∠MPB+∠FCM=90°，∴2∠MPB+∠FCM=180°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，直角三角形两锐角互余，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．17．如图，在△ABC中AC＞BC，E、D分别是AC、BC上的点，且∠BAD=∠ABE，AE=BD．求证：∠BAD=∠C．【分析】作∠OBF=∠OAE交AD于F，由已知条件用“ASA”可判定△AOE≌△BOF，所以AE=BF，再有条件AE=BD得BF=BD，所以∠BDF=∠BFD，再利用三角形的外角关系证得∠BOF=∠C，又因为∠BOF=∠BAD+∠ABE=2∠BAD，所以：∠BAD=∠C．【解答】证明：作∠OBF=∠OAE交AD于F，∵∠BAD=∠ABE，∴OA=OB．又∠AOE=∠BOF，∴△AOE≌△BOF（ASA）．∴AE=BF．∵AE=BD，∴BF=BD．∴∠BDF=∠BFD．∵∠BDF=∠C+∠OAE，∠BFD=∠BOF+∠OBF，∴∠BOF=∠C．∵∠BOF=∠BAD+∠ABE=2∠BAD，∴∠BAD=∠C，【点评】本题考查了全等三角形的判断和性质，常用的判断方法为：SAS，SSS，AAS，ASA．常用到的性质是：对应角相等，对应边相等．在证明中还要注意图形中隐藏条件的挖掘如：本题中的对顶角∠AOE=∠BOF．18．已知A，C，B在同一条直线上，△ACE，△BCF都是等边三角形，BE交CF于N，AF交CE于M，MG⊥CN，垂足为G．求证：CG=NG．【分析】先证△ACF与△ECB全等，得到∠AFC=∠ABE，再证△FMC≌△BNC 得到MC=MN，有条件MG垂直于NC而得到结论．【解答】证明：∵△ACE，△BCF都是等边三角形，∴AC=EC，FC=BC，∠ACE=∠BCF=60°，∴∠ECN=60°，∠BCE=∠ACF，∴△ACF≌△ECB，∴∠AFC=∠ABE，∵∠FCM=∠BCN=60°，CF=CB，∴△FMC≌△BNC，∴CM=CN，∵∠ECN=60°，∴△CNMN是等边三角形，∴CM=MN，∵MG⊥NC，∴GC=GN．【点评】本题考查了等边三角形的性质，通过两次全等得到MC=MN，通过MG垂直于NC得到结论．19．如图所示，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD为BC边上的高，延长AB到E点，使BE=BD，过点D、E引直线交AC于点F，请判定AF与FC的数量关系，并证明之．【分析】根据等边对等角可得∠E=∠BDE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个角的和求出∠ABC=2∠BDE，从而求出∠C=∠BDE，再求出∠C=∠CDF，然后根据等角对等边求出DF=FC，再根据等角的余角相等求出∠CAD=∠ADF，根据等角对等边求出DF=AF，即可得到AF=FC．【解答】解：AF=FC．理由如下：∵BE=BD，∴∠E=∠BDE，∵∠ABC=∠E+∠BDE=2∠BDE，∠ABC=2∠C，∴∠C=∠BDE，又∵∠BDE=∠CDF，∴∠C=∠CDF，∴DF=FC，∵AD为BC边上的高，∴∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°，∠C+∠CAD=180°﹣90°=90°，∴∠CAD=∠ADF，∴DF=AF，∴AF=FC．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟记性质与判定并准确识图是解题的关键．20．如图，△ABC是边长为l的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，形成一个三角形，求证：△AMN的周长等于2．【分析】可在AC延长线上截取CM1=BM，得Rt△BDM≌Rt△CDM1，得出边角关系，再求解△MDN≌△M1DN，得MN=NM1，再通过线段之间的转化即可得出结论．【解答】证明：如图，在AC延长线上截取CM1=BM，∵△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ABD=∠ACD=90°，∴∠DCM1=90°，∵BD=CD，∵在△BDM和△CDM1中，，∴△BDM≌△CDM1（SAS），得MD=M1D，∠MDB=∠M1DC，∴∠MDM1=120°﹣∠MDB+∠M1DC=120°，∴∠NDM1=60°，在△MDN和△M1DN中，∵，∴△MDN≌△M1DN（SAS），∴MN=NM1，故△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+AN+NM1=AM+AM1=AB+AC=2．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够通过线段之间的转化进而求解一些简单的结论．21．已知如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且AE=（AB+AD），求证：∠B与∠D互补．【分析】可在AB上截取AF=AD，可得△ACF≌△ACD，得出∠AFC=∠D，再由线段之间的关系AE=（AB+AD）得出BC=CF，进而通过角之间的转化即可得出结论．【解答】证明：在AB上截取AF=AD，连接CF，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，又AC=AC，∴△ACF≌△ACD（SAS），∴AF=AD，∠AFC=∠D，∵AE=（AB+AD），∴EF=BE，又∵CE⊥AB，∴BC=FC，∴∠CFB=∠B，∴∠B+D=∠CFB+∠AFC=180°，即∠B与∠D互补．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等腰三角形的判定及性质问题，能够熟练运用三角形的性质求解一些简单的计算、证明问题．22．如图，已知△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠1=∠2，CE⊥BD于E．求证：BD=2CE．【分析】延长CE、BA交于F，根据角边角定理，证明△BEF≌△BEC，进而得到CF=2CE的关系．再证明∠ACF=∠1，根据角边角定理证明△ACF≌△ABD，得到BD=CF，至此问题得解．【解答】证明：如图，延长CE、BA交于F．∵CE⊥BD，∴∠BEF=∠BEC=90°，∴∠1=∠2，在△BEF和△BEC中，∴△BEF≌△BEC（ASA），∴EF=EC，∴CF=2CE，∵∠BAC=90°，∴∠FAC=90°=∠BAC∵CE⊥BD，∴∠ACF=∠1，在△ACF和△ABD中，∴△ACF≌△ABD（ASA），∴BD=CF，∴BD=2CE．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质．解决本题主要是恰当添加辅助线，构造全等三角形，将所求问题转化为全等三角形边间的关系来解决．23．AD是△ABC的角平分线，M是BC的中点，FM∥AD交AB的延长线于F，交AC于E．（1）求证：CE=BF；（2）探索线段CE与AB+AC之间的数量关系，并证明．【分析】（1）延长CA交FM的平行线BG于G点，利用平行线的性质得到BM=CM、CE=GE，从而证得CE=BF；（2）利用上题证得的EA=FA、CE=BF，进一步得到AB+AC=AB+AE+EC=AB+AF+EC=BF+EC=2EC．【解答】（1）证明：延长CA交FM的平行线BG于G点，∠G=∠CAD、∠GBA=∠BAD∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴AG=AB，∵FM∥AD∴∠F=∠BAD、∠FEA=∠DAC∵∠BAD=∠DAC，∴∠F=∠FEA，∴EA=FA，∴GE=BF，∴M为BC边的中点，∴BM=CM，∵EM∥GB，∴CE=GE，∴CE=BF；（2）AB+AC=2EC．证明：∵EA=FA、CE=BF，∴AB+AC=AB+AE+EC=AB+AF+EC=BF+EC=2EC．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，解题的关键是正确地构造辅助线，另外题目中还考查了平行线等分线段定理．24．如图，AD是△ABC的中线，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠FAC=90°．判断线段AD与EF数量和位置关系．【分析】猜想：EF=2AD，EF⊥AD．证明：延长AD到M，使得AD=DM，连接MC，延长DA交EF于N，易证BD=CD，即可证明△ABD≌△MCD，可得AB=MC，∠BAD=∠M，即可求得∠EAF=∠MCA，即可证明△AEF≌△CMA，可得EF=AM，∠CAM=∠F，即可解题．【解答】解：EF=2AD，EF⊥AD．证明：延长AD到M，使得AD=DM，连接MC，延长DA交EF于N，∴AD=DM，AM=2AD，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在△ABD和△MCD中，，∴△ABD≌△MCD，（SAS）∴AB=MC，∠BAD=∠M，。

(必考题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试(答案解析)(1)

(必考题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试(答案解析)(1)

一、选择题1．正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心的棱锥）的三视图如图所示，俯视图是正三角形，O 是其中心，则正视图（等腰三角形）的腰长等于（ ）A ．5B ．2C ．3D ．22．在正方体1111ABCD A BC D -中，点,E F 分别是梭BC ，CD 的中点，则1A F 与1C E 所成角的余弦值为（ ） A ．5B ．25C ．5 D ．253．已知平面,αβ，直线l ，记l 与,αβ所成的角分别为1θ，2θ，若αβ⊥，则（ ） A ．12sin sin 1θθ+≤B ．12sin sin 1θθ+≥C ．122πθθ+≤D ．122πθθ+≥4．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PA AB =，E 为AP 的中点，则异面直线PC 与DE 所成的角的正弦值为（ ）．A 2B 5C 15D 10 5．如图，在Rt ABC △中，1AC =，BC x =，D 是斜边AB 的中点，将BCD △沿直线CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB AD ⊥，则x 的取值范围是（ ）A ．(0,3⎤⎦B ．2,22⎛⎤⎥ ⎝⎦C ．3,23D ．(]2,46．设有直线m ，n ，l 和平面α，β，下列四个命题中，正确的是（ ） A ．若//,//m n αα，则//m n B ．若//,//,//l m αβαβ，则//l m C ．若,m αβα⊥⊂，则m β⊥D ．若,,m m αββα⊥⊥⊄，则//m α7．已知四面体ABCD 中，二面角A BC D --的大小为60，且2AB =，4CD =，120CBD ∠=，则四面体ABCD 体积的最大值是（ ）A ．43B ．23C ．83D ．438．如下图所示是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中①//BM 平面ADE ；②D E BM ⊥；③平面//BDM 平面AFN ；④AM ⊥平面BDE ．以上四个命题中，真命题的序号是（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．①②④D ．②③④9．如图是某个四面体的三视图，则下列结论正确的是（ ）A ．该四面体外接球的体积为48πB ．该四面体内切球的体积为23π C ．该四面体外接球的表面积为323π D ．该四面体内切球的表面积为2π10．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为V ，该几何体所有棱的棱长之和为L ，则（ ）A ．8,14253V L ==+ B ．8,1425V L ==+ C ．8,16253V L ==+ D ．8,1625VL ==+11．某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的体积为（ ）A ．16B ．13C ．23D ．212．已知长方体1111ABCD A BC D -的顶点A ，B ，C ，D ，在球O 的表面上，顶点1A，1B ，1C ，1D ，在过球心O 的一个平面上，若6AB =，8AD =，14AA =，则球O 的表面积为（ ） A ．169πB ．161πC ．164πD ．265π二、填空题13．如图，四边形ABCD 是矩形，且有2AB BC =，沿AC 将ADC 翻折成AD C '，当二面角D AC B '--的大小为3π时，则异面直线D C '与AB 所成角余弦值是______.14．已知长方体1234ABCD A B C D -，底面是边长为4的正方形，高为2，点O 是底面ABCD 的中心，点P 在以O 为球心，半径为1的球面上，设二面角111P A B C --的平面角为θ，则tan θ的取值范围是________.15．在三棱锥P ABC -中，4PA PB ==，42BC =，8AC =，AB BC ⊥．平面PAB ⊥平面ABC ，若球O 是三棱锥P ABC -的外接球，则球O 的半径为_________．16．二面角a αβ--的大小为135A AE a E α︒∈⊥，，，为垂足，,B BF a F β∈⊥，为垂足，2,31AE BF EF P ===，，是棱上动点，则AP PB +的最小值为_______． 17．如图，在三棱锥V ABC -中，22AB =，VA VB =，1VC =，且AV BV ⊥，AC BC ⊥，则二面角V AB C --的余弦值是_____．18．已知四面体P ﹣ABC 的外接球的球心O 在AB 上，且PO ⊥平面ABC ，2AC 3=，若四面体P ﹣ABC 的体积为32，则该球的体积为_____． 19．在正方体1111ABCD A BC D -中，P 为线段1AB 上的任意一点，有下面三个命题：①//PB 平面11CC D D ；②1BD AC ⊥；③1BD PC ⊥．上述命题中正确命题的序号为__________（写出所有正确命题的序号）．20．已知点O 为圆锥PO 底面的圆心，圆锥PO 的轴截面为边长为2的等边三角形PAB ，圆锥PO 的外接球的表面积为______.三、解答题21．如图，三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，5AB =，3AC =，14BC CC ==，M 是1CC 的中点．（Ⅰ）求证：BC AM ⊥；（Ⅱ）若N 是AB 上的点，且//CN 平面1AB M ，求BN 的长．22．如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA ⊥底面ABCD ，E ，F ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点.（1）求证：DE ⊥平面PAH ；（2）若2PA AD ==，求直线PD 与平面PAH 所成线面角的正弦值.23．如图，四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，PD ⊥面ABCD ，E 、F 分别为PA 、BC 的中点．（1）求证：//EF 面PCD ；（2）若2AB =，1AD PD ==，求三棱锥P BEF -的体积．24．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，M 是棱PD 的中点.（1）求证：//PB 平面AMC ；（2）若PD ⊥平面ABCD ，2AD PD ==，3BAD π∠=，求点B 到平面AMC 的距离．25．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥平面ABC ，2,AB BC ==30ACB ∠=，13AA =，11BC AC ，E 为AC 的中点.（1）求证：1//AB 平面1C EB ；（2）求证：1AC ⊥平面1C EB . 26．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，226AB PD ==，O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点.（1）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；（2）若//PD 平面EAC ，求三棱锥B AEC -的体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】可得原几何体如图所示正三棱锥A BCD -，取BD 中点E ，连接,AE CE ，设底面边长为2x ，表示出2522x AO OE -===133xOE CE ==，即可求出x ，进而求出腰长. 【详解】根据三视图可得原几何体如图所示正三棱锥A BCD -，取BD 中点E ，连接,AE CE ，则底面中心O 在CE 上，连接AO ，可得AO ⊥平面ABC ，由三视图可知5AB AC AD ===45AEC ∠=， 设底面边长为2x ，则DE x =，则25AE x =-则在等腰直角三角形AOE 中，2522xAO OE -===O 是底面中心，则133xOE CE ==，2532x x-=，解得3x = 则1AO =，底面边长为23则正视图（等腰三角形）的腰长为()22312+=.故选：B.【点睛】本题考查根据三视图计算原几何体的相关量，解题的关键是根据正三棱锥中的关系求出底面边长.2．D解析：D【分析】延长DA至G，使AG CE=，可证11//AG C E，得1GA F∠是异面直线1A F与1C E所成的角（或其补角）．在1AGF△中，由余弦定理可得结论．【详解】延长DA至G，使AG CE=，连接1,GE GA,GF，11,AC AC，又//AG CE所以AGEC是平行四边形，//,GE AC GE AC=，又正方体中1111//,AC AC AC AC=，所以1111//,AC DE AC DE=，所以11AC EG是平行四边形，则11//AG C E，所以1GA F∠是异面直线1A F与1C E所成的角（或其补角）．设正方体棱长为2，在正方体中易得15AG10GF22222112(21)3A F AA AF=+=++=，1AGF△中，2221111125cos2253AG A F GFGA FAG A F+-∠===⋅⨯⨯．故选：D．【点睛】方法点睛：本题考查空间向量法求异面直线所成的角，求异面直线所成角的方法： （1）定义法：根据定义作出异面直线所成的角并证明，然后解三角形得结论； （2）建立空间直角坐标系，由两异面直线的方向向量的夹角得异面直线所成的角．3．C解析：C 【分析】如图，作出1θ和2θ，再由线面角推得12sin sin 2πθθ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，利用三角函数的单调性判断选项. 【详解】设直线l 为直线AB ，m αβ=，AD m ⊥，BC m ⊥，连结BD ，AC ，1ABD θ=∠，2BAC θ=∠，12sin sin 2AD AC AB AB πθθ⎛⎫=≤=- ⎪⎝⎭，12,2πθθ-都是锐角， 122πθθ∴≤-，即122πθθ+≤故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是作图，并利用线段AD AC ≤，传递不等式，12sin sin 2AD AC AB AB πθθ⎛⎫=≤=- ⎪⎝⎭. 4．D解析：D 【分析】先取正方形的中心O ，连接OE ，由PC //OE 知OED ∠为异面直线PC 与DE 所成的角，再在OED 中求OED ∠的正弦即可. 【详解】连AC ，BD 相交于点O ，连OE 、BE ，因为E 为AP 的中点，O 为AC 的中点，有PC //OE ，可得OED ∠为异面直线PC 与DE 所成的角，不妨设正方形中，2AB =，则2PA =，由PA ⊥平面ABCD ，可得,PA AB PA AD ⊥⊥， 则145BE DE ==+=1122222OD BD ==⨯= 因为BE DE =，O 为BD 的中点，所以90EOD ∠=︒，210sin 5OD OED DE ∠===故选：D. 【点睛】 方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.5．A解析：A 【分析】取BC 中点E ，连接DE ，AE ，若CB AD ⊥，则可证明出BC ⊥平面ADE ，则可得BC AE ⊥. 根据题目中各边长的关系可得出AE ，AD 关于x 的表达式，然后在ADE中，利用三边关系求解即可.【详解】由题意得BC x =，则212x AD CD BD +===，如图所示，取BC 中点E ，翻折前，在图1中，连接DE ，CD ，则1122DE AC ==， 翻折后，在图2中，若CB AD ⊥，则有：∵BC DE ⊥，BC AD ⊥，AD DE D ⋂=，且,AD DE 平面ADE ，∴BC ⊥平面ADE ，∴BC AE ⊥，又BC AE ⊥，E 为BC 中点，∴1AB AC ==∴2114AE x =-212x AD +=，在ADE 中，由三边关系得：①221111224x x ++>-，②221111224x x +<-，③0x >；由①②③可得03x << 故选：A. 【点睛】本题考查折叠性问题，考查线面垂直的判定及性质在解题中的运用,解答本题的主要思路分析在于将异面直线间的垂直转化为线面垂直关系，即作出辅助线DE 与AE ，根据题目条件确定出BC ⊥平面ADE ，得到BC AE ⊥，从而通过几何条件求解.6．D解析：D 【分析】在A 中，m 与n 相交、平行或异面； 在B 中，l 与m 不一定平行，有可能相交； 在C 中，m ⊥β或m ∥β或m 与β相交；在D 中，由直线与平面垂直的性质与判定定理可得m ∥α．【详解】由直线m 、n ，和平面α、β，知： 对于A ，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误；对于B ，若//,//,//l m αβαβ，l 与m 不一定平行，有可能相交，故B 错误； 对于C ，若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β或m ∥β或m 与β相交，故C 错误；对于D ，若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则由直线与平面垂直的性质与判定定理得m ∥α，故D 正确．故选：D ． 【点睛】本题考查了命题真假的判断问题，考查了空间线线、线面、面面的位置关系的判定定理及推论的应用，体现符号语言与图形语言的相互转化，是中档题．7．D解析：D 【分析】在BCD △中，利用余弦定理和基本不等式可得163BC BD ⋅≤，由三角形的面积公式可得43BCDS≤，由二面角A BC D --的大小为60，可得A 到平面BCD 的最大距离为2sin 603h ==ABCD 体积的最大值.【详解】在BCD △中，由余弦定理可得2222cos120CD BC BD BC BD =+-⋅22BC BD BC BD =++⋅因为222BC BD BC BD +≥，所以23CD BC BD ≥⋅， 所以163BC BD ⋅≤，当且仅当BC BD =时等号成立， 111634sin120322323BCDSBC BD =⋅≤⨯⨯= 因为二面角A BC D --的大小为60，所以点A 到平面BCD 的最大距离为2sin 603h ==所以1144333333A BCD BCDV S h -=⋅≤⨯⨯=， 所以四面体ABCD 体积的最大值是43， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用余弦定理和基本不等式、三角形面积公式求出BCD S △最大值，再由二面角求出高的最大值. 8．A解析：A 【分析】把正方体的平面展开图还原成正方体ABCA ﹣EFMN ，得出BM ∥平面ADNE ，判断①正确；由连接AN ，则AN ∥BM ，又ED AN ⊥，判断②正确；由BD ∥FN ，得出BD ∥平面AFN ，同理BM ∥平面AFN ，证明平面BDM ∥平面AFN ，判断③正确；由MC BD ⊥，ED ⊥AM ，根据线面垂直的判定，判断④正确．【详解】把正方体的平面展开图还原成正方体ABCA ﹣EFMN ，如图1所示； 对于①，平面BCMF ∥平面ADNE ，BM ⊂平面BCMF ， ∴BM ∥平面ADNE ，①正确；对于②，如图2所示，连接AN ，则AN ∥BM ，又ED AN ⊥，所以D E BM ⊥，②正确； 对于③，如图2所示，BD ∥FN ，BD ⊄平面AFN ，FN ⊂平面AFN ，∴BD ∥平面AFN ；同理BM ∥平面AFN ，且BD ∩BM ＝B ，∴平面BDM ∥平面AFN ，③正确； 对于④，如图3所示，连接AC ，则BD AC ⊥，又MC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以MC BD ⊥，又AC MC C ，所以BD ⊥平面ACM ，所以BD ⊥AM ，同理得ED ⊥AM ，ED BD D =，所以AM ⊥平面BDE ，∴④正确．故选：A ．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于展开空间想象，将正方体的平面展开图还原，再由空间的线线，线面，面面关系及平行，垂直的判定定理去判断命题的正确性．9．D解析：D 【分析】先找到几何体原图，再求出几何体的外接球的半径和内切球的半径，再判断每一个选项得解. 【详解】由三视图得几何体为下图中的三棱锥A BCD -，AB ⊥平面BCD,AB =2CE DE ==,2BE =,由题得2CBD π∠=.设外接球的球心为,O 外接球的半径为R ，则OE ⊥平面BCD , 连接,OB OA ,取AB 中点F ,连接OF .由题得12OE BF AB ===所以2222,R R =+∴=,所以外接球的体积为343π⨯=，所以选项A 错误；所以外接球的表面积为2448ππ⨯=，所以选项C 错误；由题得AC AD ===所以△ACD △6=， 设内切球的半径为r ，则11111112446)243222232r ++⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯⨯所以2r，所以内切球的体积为343π⨯=，所以选项B 错误；所以内切球的表面积为242ππ⨯=，所以选项D 正确. 故选：D【点睛】方法点睛：求几何体外接球的半径一般有两种方法:模型法和解三角形法.模型法就是把几何体放在长方体中，使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合，则几何体的外接球和长方体的外接球是重合的，长方体的外接球的半径22212r a b c =++就是几何体的外接球半径.如果已知中有多个垂直关系，可以考虑用此种方法.解三角形法就是找到球心O 和截面圆的圆心O '，找到OO '、球的半径OA 、截面圆的半径O A '确定的Rt OO A '△,再解Rt OO A '△求出球的半径OA .10．A解析：A 【分析】由三视图还原几何体，由棱锥的体积公式可得选项. 【详解】在如图所示的正方体1111ABCD A BC D -中，P ，E 分别为11,BC BC 的中点，该几何体为四棱锥P ABCD -，且PE ⊥平面ABCD ． 由三视图可知2AB =，则5,3PC PB PD PA ====，则21825681425,2233L V =++=+=⨯⨯=． 故选：A.【点睛】方法点睛：三视图问题的常见类型及解题策略：(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．11．C解析：C【分析】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体，得到相应的三棱锥，之后利用椎体体积公式求得结果.【详解】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体如图所示：该三棱锥满足底面BCD△是等腰三角形，且底边和底边上的高线都是2；且侧棱AD⊥底面BCD，1AD=，所以112=221=323V⨯⨯⨯⨯，故选：C.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关根据所给几何体三视图求几何体体积的问题，解题方法如下：（1）应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐），左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等），若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称；（2）根据三视图还原几何体；（3）利用椎体体积公式求解即可.12．C【分析】把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为6，8，8的长方体，则球O 就是该长方体的外接球，根据长方体外接球的直径等于体对角线的长，求出直径，即可得出球的表面积. 【详解】 如下图所示：把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为6，8，8的长方体，则球O 就是该长方体的外接球，根据长方体的结构特征可得，其外接球直径等于体对角线的长， 所以球O 的半径R 满足2222688164R =++=， 所以球O 的表面积24164S R ππ==. 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查几何体外接球的表面积，熟记长方体结构特征，其外接球的球心和半径与长方体的关系，以及球的表面积公式，是解决此类问题的关键.二、填空题13．【分析】作于于可得等于二面角的平面角从而可得然后求得而因此可得是异面直线与所成角（或补角）这样在求解可得【详解】如图作于于则连接根据二面角平面角的定义知与的夹角等于二面角的平面角所以因为所以设则在矩解析：12． 【分析】作DM AC ⊥于M ，BN AC ⊥于N ，可得,MD NB '<>等于二面角D AC B '--的平面角，从而可得DMD '∠，然后求得DD '，而//AB CD ，因此可得D CD '∠是异面直线D C '与AB 所成角（或补角）．这样在DCD '求解可得．如图，作DM AC ⊥于M ，BN AC ⊥于N ，则//DM BN ，连接,D M DD ''， 根据二面角平面角的定义知MD '与NB 的夹角等于二面角D AC B '--的平面角， 所以,3MD NB π'<>=，因为//DM BN ，所以23DMD π'∠=， 设1BC =，则22AB BC ==，在矩形ABCD 中，3AC =，1263DM ⨯==， 63D M DM '==， 则222222666612cos 22333332DD DM D M DM D M π⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+-⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2DD '=，因为//AB CD ，所以D CD '∠是异面直线D C '与AB 所成角（或补角）．DCD '是正三角形，3D CD π'∠=，1cos 2D CD '∠=． 所以异面直线D C '与AB 所成角余弦值是12． 故答案为：12．【点睛】关键点点睛：本题考查求异面直线所成的角，解题方法根据异面直线所成角定义作出它们所成的角，然后解三角形可得，解题关键是利用图中MD '与NB 的夹角等于二面角D AC B '--的平面角，从而求得DMD '∠，只要设1BC =，可求得DD '，从而求得结论．14．【分析】根据题意画出相应的图形结合题意找出什么情况下取最大值什么情况下取最小值利用和差角正切公式求得最值得到结果【详解】根据题意如图所示：取的中点过点作球的切线切点分别为可以判断为的最小值为的最大值解析：4747,⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【分析】根据题意，画出相应的图形，结合题意，找出什么情况下取最大值，什么情况下取最小值，利用和差角正切公式求得最值，得到结果. 【详解】根据题意，如图所示：取11A B 的中点H ，过H 点作球O 的切线，切点分别为,M N ， 可以判断1O HN ∠为θ的最小值，1O HM ∠为θ的最大值， 且1112tan 12OO O HO HO ∠===， 22,1OH OM ON ===，所以7HM HN ==tan tan 7NHO OHM ∠=∠=， 11171827477tan tan()17117O HN O HO NHO ----∠=∠-∠====+ 11171827477tan tan()17117O HM O HO OHM ++++∠=∠+∠====-， 所以tan θ的取值范围是474733⎡⎢⎣⎦， 故答案为：4747-+⎣⎦.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关二面角的求解问题，解题方法如下： （1）先根据题意画图；（2）结合题意，找出在什么情况下取最大值和最小值； （3）结合图形求得相应角的正切值； （4）利用和差角正切公式求得结果.15．4【分析】取中点连接再根据题意依次计算进而得球的球心即为（与重合）【详解】解：因为所以又因为所以所以因为平面平面平面平面平面所以平面取中点连接所以所以平面所以此时所以即球的球心球心即为（与重合）半径解析：4 【分析】取,AB AC 中点,D E ，连接DE ，DP ，再根据题意依次计算4EA EB EC EP ====，进而得球O 的球心O 即为E （O 与E 重合）【详解】解：因为BC =8AC =，AB BC ⊥，所以AB =4PA PB ==， 所以222PA PB AB +=，所以PA PB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，AB BC ⊥，BC ⊂平面ABC ，所以BC ⊥平面PAB ，取,AB AC 中点,D E ，连接DE ，DP所以//DE BC ，DE =DP =所以DE ⊥平面PAB ，所以DE PD ⊥，此时，142EB AC EA EC ====， 4EP =， 所以4EA EB EC EP ====，即球O 的球心球心O 即为E （O 与E 重合），半径为4EA =. 故答案为：4.【点睛】本题解题的关键在于寻找球心，在本题中，,PAB ABC △△均为直角三角形，故易得AC 中点即为球心.考查空间思维能力，运算求解能力，是中档题.16．【分析】首先将二面角展平根据两点距离线段最短求最小值【详解】如图将二面角沿棱展成平角连结根据两点之间线段最短可知就是的最小值以为邻边作矩形由可知三点共线则故答案为：【点睛】思路点睛：本题考查立体几何 解析：26 【分析】首先将二面角展平，根据两点距离线段最短，求AP PB +最小值.【详解】如图，将二面角沿棱a 展成平角，连结AB ，根据两点之间线段最短，可知AB 就是AP PB +的最小值，以,AE EF 为邻边，作矩形AEFC ，由,CF a BF a ⊥⊥可知,,C F B 三点共线， 则()222213226AB AC BC =+=++= 26【点睛】思路点睛：本题考查立体几何中的折线段和的最小值，一般都是沿交线展成平面，利用折线段中，两点间距离最短求解，本题与二面角的大小无关.17．【分析】取的中点连接证明出可得出面角的平面角为计算出利用余弦定理求得由此可得出二面角的余弦值【详解】取的中点连接如下图所示：为的中点则且同理可得且所以二面角的平面角为由余弦定理得因此二面角的余弦值为 解析：34【分析】 取AB 的中点O ，连接VO 、OC ，证明出VO AB ⊥，OC AB ⊥，可得出面角V AB C --的平面角为VOC ∠，计算出VO 、OC ，利用余弦定理求得cos VOC ∠，由此可得出二面角V AB C --的余弦值.【详解】取AB 的中点O ，连接VO 、OC ，如下图所示：VA VB =，O 为AB 的中点，则VO AB ⊥，且AV BV ⊥，22AB =122VO AB ∴== 同理可得OC AB ⊥，且2OC =V AB C --的平面角为VOC ∠，由余弦定理得2223cos 24VO OC VC VOC VO OC +-∠==⋅， 因此，二面角V AB C --的余弦值为34. 故答案为：34. 【点睛】本题考查二面角余弦值的计算，考查二面角的定义，考查计算能力，属于中等题. 18．【分析】根据四面体是球的内接四面体结合位置关系可得棱锥的形状以及棱长之间的关系利用体积公式即可代值计算【详解】设该球的半径为R 则AB ＝2R2ACAB2R ∴ACR 由于AB 是球的直径所以△ABC 在大圆所解析：43π【分析】根据四面体是球的内接四面体，结合位置关系，可得棱锥的形状，以及棱长之间的关系，利用体积公式即可代值计算.【详解】设该球的半径为R ，则AB ＝2R ，2AC 3=AB 3=⨯2R ， ∴AC 3=R ，由于AB 是球的直径，所以△ABC 在大圆所在平面内且有AC ⊥BC ，在Rt △ABC 中，由勾股定理，得：BC 2＝AB 2﹣AC 2＝R 2，所以R t △ABC 面积S 12=⨯BC ×AC 3=R 2， 又PO ⊥平面ABC ，且PO ＝R ，四面体P ﹣ABC 的体积为32， ∴V P ﹣ABC 13=⨯R 32⨯⨯R 232=，即3R 3＝9，R 3＝33， 所以：球的体积V 43=⨯πR 343=⨯π×33=43π． 故答案为：43π.【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，属基础题；本题的重点是要根据球心的位置去推导四面体的几何形态，从而解决问题.19．①②③【分析】①证明线面平行可判断对错；②证明线面垂直可判断对错；③证明线面垂直可判断对错【详解】①如下图所示：因为平面平面平面所以平面故①正确；②连接如下图所示：因为平面所以又因为且所以平面又因为解析：①②③【分析】①证明线面平行可判断对错；②证明线面垂直可判断对错；③证明线面垂直可判断对错.【详解】①如下图所示：因为平面11//ABB A 平面11CC D D ，BP ⊂平面11ABB A ，所以//PB 平面11CC D D ，故①正确；②连接,AC BD ，如下图所示：因为1DD ⊥平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，又因为AC BD ⊥且1DD BD D =，所以AC ⊥平面1DBD ，又因为1BD ⊂平面1DBD ，所以1BD AC ⊥，故②正确；③连接11,,,AC PC B C BC ，如下图所示：因为11D C ⊥平面11BCC B ，所以11D C ⊥1BC ，又因为11BC B C ⊥，且1111D C BC C ⋂=，所以1B C ⊥平面11BD C ，又1BD ⊂平面11BD C ，所以11B C BD ⊥，由②的证明可知1BD AC ⊥，且1AC BC C ⋂=，所以1BD ⊥平面1ABC ，又因为PC ⊂平面1ABC ，所以1BD PC ⊥，故③正确，故答案为：①②③.【点睛】本题考查空间线面平行、线线垂直关系的判断，涉及线面平行判定定理、线面垂直判定定理的运用，主要考查学生对空间中位置关系的逻辑推理能力，难度一般.20．【分析】由题意知圆锥的轴截面为外接球的最大截面即过球心的截面且球心在上由等边三角形性质有即求得外接球的半径为R 进而求外接球的表面积【详解】设外接球球心为连接设外接球的半径为R 依题意可得在中有即解得故解析：163π 【分析】由题意知圆锥PO 的轴截面为外接球的最大截面，即过球心的截面且球心在PO 上，由等边三角形性质有Rt AO O '△，即222O A AO O O ''=+求得外接球的半径为R ，进而求外接球的表面积.【详解】设外接球球心为O '，连接AO '，设外接球的半径为R ，依题意可得1AO =，3PO =，在Rt AO O '△中，有222O A AO O O ''=+，即)22213R R =+，解得3R =， 故外接球的表面积为24164433S R πππ==⋅=. 故答案为：163π. 【点睛】 本题考查了求圆锥体的外接球面积，由截面是等边三角形，结合等边三角形的性质求球半径，进而求外接球面积，属于基础题.三、解答题21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）52. 【分析】（Ⅰ）可证BC ⊥平面11AAC C ，从而可得BC AM ⊥.（Ⅱ）可证N 为AB 的中点，从而可得BN 的长.【详解】（Ⅰ）证明：1CC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面平面ABC ，∴1CC BC ⊥.又5AB =，3AC =，4BC =，∴222AC BC AB +=，即BC AC ⊥.又1AC CC C =，∴BC ⊥平面11AAC C ，又AM ⊂平面11AAC C ，∴BC AM ⊥. （Ⅱ）过点N 作1//NE BB 交1AB 于点E ，连ME ，由三棱柱111ABC A B C -可得11//BB CC ，∴1//NE CC 即四边形NEMC 为平面图形. 又//CN 平面1AB M ，CN ⊂平面NEMC ，且平面NEMC 平面1AB M ME =， ∴//CN ME ，∴四边形NEMC 为平行四边形，∴NE CM =，且//NE CM ，又点M 为1CC 中点，∴112CM BB =，且1//CM BB ，∴112NE BB =，且1//NE BB ， ∴1522BN AB ==. 【点睛】思路点睛：线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.由线面平行得到线线平行时，注意构造过线的平面.22．（1）证明见解析；（2）105. 【分析】（1）由PA ⊥底面ABCD ，得PA DE ⊥，由Rt ABH Rt DAE ≌△△，得DE AH ⊥，可得答案.（2）由可知DE ⊥平面PAH ，连接PG ，则DPG ∠即为直线PD 与平面PAH 所成线面角，在Rt PDG △中，由sin DPG ∠可得答案.【详解】（1）因为PA ⊥底面ABCD ，DE ⊂底面ABCD ，所以PA DE ⊥，因为E ，H 分别为正方形ABCD 的边AB ，BC 的中点， ,,AB DA BH AE HBA EAD ，所以Rt ABH Rt DAE ≌△△，所以BAH ADE ∠=∠，由90AED ADE ∠+∠= 所以90BAH AED ∠+∠=，所以DE AH ⊥，因为PA ⊂平面PAH ，AH ⊂平面PAH ，PA AH A ⋂=，所以DE ⊥平面PAH .（2）由（1）可知DE ⊥平面PAH ，设AH DE G ⋂=，如图，连接PG ，则DPG ∠即为直线PD 与平面PAH 所成线面角， 因为2PA AD ==，所以22PD =，5DE =，在Rt DAE 中，由于AG DE ⊥，所以2AD DG DE =⋅，所以45DG =⋅，所以5DG =， 所以在Rt PDG △中，105sin 522DG DPG PD ∠===，即直线PD 与平面PAH 所成线面角的正弦值为10.【点睛】本题主要考查线面垂直的证明、线面角的求法，对于线面角的求法的步骤,作：作（或找）出斜线在平面上的射影，证：证明某平面角就是斜线与平面所成的角；算：通常在垂线段、斜线段和射影所组成的直角三角形中计算.23．（1）证明见解析；（2）112. 【分析】（1）取PD 的中点M ，连接EM 、CM ，证明四边形CMEF 为平行四边形，可得出//EF CM ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）连接AF ，取AD 的中点N ，连接EN ，由题意可知点P 、A 到平面BEF 的距离相等，并推导出EN ⊥平面ABCD ，可得出P BEF A BEF E ABF V V V ---==，利用锥体的体积公式可求得三棱锥P BEF -的体积．【详解】（1）如下图所示，取PD 的中点M ，连接EM 、CM ，因为四边形ABCD 为矩形，则//AD BC 且AD BC =，E 、M 分别为PA 、PD 的中点，则//EM AD 且12EM AD =， F 为BC 的中点，所以，//EM CF 且EM CF =，所以，四边形CMEF 为平行四边形，所以，//EF CM ，EF ⊄平面PCD ，CM ⊂平面PCD ，//EF ∴平面PCD ；（2）如下图所示，连接AF ，取AD 的中点N ，连接EN ，E 为PA 的中点，所以，点P 、A 到平面BEF 的距离相等， 所以，P BEF A BEF E ABF V V V ---==，E 、N 分别为PA 、AD 的中点，则//EN PD 且1122EN PD ==， PD ⊥平面ABCD ，EN ∴⊥平面ABCD ，ABF 的面积为111122222ABF S AB BF =⋅=⨯⨯=△， 因此，11111332212P BEF A BEF E ABF ABF V V V S EN ---===⋅=⨯⨯=△. 【点睛】方法点睛：常见的线面平行的证明方法有：（1）通过面面平行得到线面平行；（2）通过线线平行得到线面平行，在证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形的性质.24．（1）证明见详解；（2）22. 【分析】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OM ，根据题中条件，推出//OM PB ，再由线面平行的判定定理，即可证明结论成立；（2）根据题中条件，求出AMC S △，ABC S ，MD ；设点B 到平面AMC 的距离为d ，由B AMC M ABC V V --=，列出等式求解， 即可得出结果.【详解】（1）连接BD 交AC 于点O ，因为底面ABCD 为菱形，所以O 为AC 中点；连接OM ，因为M 是棱PD 的中点，所以//OM PB ，因为OM ⊂平面AMC ，PB ⊄平面AMC ，所以//PB 平面AMC ；（2）因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AD ⊥，PD DC ⊥，因为2AD PD ==，3BAD π∠=，所以22215AM MC ==+2BD =，23ABC π∠=， 则112sin 22sin 3223ABC S AB BC ABC π=⋅⋅∠=⋅⋅⋅=22cos 236AC AO AB π==⋅⋅= 所以22532MO MC CO =--=11232622AMC S AC MO =⋅⋅=⋅=， 设点B 到平面AMC 的距离为d ，由B AMC M ABC V V --=可得1133AMC ABC S d S MD ⋅=⋅， 则3226ABC AMC S MDd S ⋅===， 即点B 到平面AMC 的距离为22． 【点睛】方法点睛： 求解空间中点P 到平面的距离的方法：（1）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出平面的法向量m ，以及一条斜线的方向向量PA ，根据PA md m ⋅=，即可求出点到面的距离；（2）等体积法：先设所求点到面的距离，选几何体不同的定点为顶点，表示出该几何体的体积，列出等量关系，即可求出点到面的距离.25．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）连接1AB 、1BC ，设11B C BC F =，连接EF ，可知点F 为1BC 的中点，利用中位线的性质可得出1//EF AB ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）推导出BE ⊥平面11AAC C ，可得出1BE AC ⊥，再由11BC AC ，利用线面垂直的判定定理可证得1AC ⊥平面1C EB . 【详解】（1）如下图所示，连接1AB 、1BC ，设11B C BC F =，连接EF ，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BB C C 为平行四边形，因为11B C BC F =，在点F 为1BC 的中点，又因为点E 为AC 的中点，1//EF AB ∴， 1AB ⊄平面1C EB ，EF ⊂平面1C EB ，所以，1//AB 平面1C EB ；（2）AB BC =，E 为AC 的中点，BE AC ∴⊥，因为平面11A ACC ⊥平面ABC ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =，BE ⊂平面ABC ， BE ∴⊥平面11A ACC ，1AC ⊂平面11A ACC ，1AC BE ∴⊥， 11BC AC ⊥，1BE BC B =，1AC ∴⊥平面1C EB . 【点睛】方法点睛：证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．26．（1）证明见解析；（226.。

立体几何试题及答案

立体几何试题及答案

立体几何试题一、选择题： 1．下列命题中正确命题的个数是（ ）⑴ 三点确定一个平面 ⑵ 若点P 不在平面α内，A 、B 、C 三点都在平面α内,则P 、A 、B 、C 四点不在同一平面内⑶ 两两相交的三条直线在同一平面内 ⑷ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形A.0B.1C.2 D 。

3 答案：A 2．已知异面直线a 和b 所成的角为︒50，P 为空间一定点，则过点P 且与a 、b 所成的角都是︒30的直线条数有且仅有 （ ） A 。

1条 B 。

2条 C 。

3条 D 。

4条 答案：B 3．已知直线⊥l 平面α,直线⊂m 平面β，下列四个命题中正确的是 （ ） （1) 若βα//，则m l ⊥ (2） 若βα⊥,则m l //（3） 若m l //，则βα⊥ （4) 若m l ⊥,则βα//A.（3)与（4）B.（1)与（3）C.（2）与(4)D.（1）与(2) 答案:B 4．已知m 、n 为异面直线，⊂m 平面α，⊂n 平面β，l =βα ，则l （ ）A.与m 、n 都相交B.与m 、n 中至少一条相交C.与m 、n 都不相交D.至多与m 、n 中的一条相交答案：B5．设集合A=｛直线}，B=｛平面}，B A C =，若A a ∈，B b ∈，C c ∈,则下列命题中的真命题是（ ) A. c a b a b c ⊥⇒⎭⎬⎫⊥// B.c a c b b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥C. c a b c b a //////⇒⎭⎬⎫ D 。

c a b c b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊥//答案：A6．已知a 、b 为异面直线,点A 、B 在直线a 上，点C 、D 在直线b 上，且AC=AD,BC=BD,则直线a 、b所成的角为 ( ） A 。

︒90 B 。

︒60 C 。

︒45 D 。

︒30 答案：A7．下列四个命题中正确命题的个数是（ )有四个相邻侧面互相垂直的棱柱是直棱柱各侧面都是正方形的四棱柱是正方体底面是正三角形，各侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥A.1个B.2个C.3个D 。

【期末复习】浙教版2022年七年级上册：“几何类题型大全”一卷过关(40道题)(含解析)

【期末复习】浙教版2022年七年级上册：“几何类题型大全”一卷过关(40道题)(含解析)

【期末复习】浙教版2022年七年级上册：“几何类题型大全”一卷过关（40道题）一．选择题1．如图，建筑工人在砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条直的参照线，这样做蕴含的数学原理是（）A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线C．经过一点有无数条直线D．垂线段最短2．下列说法中，正确的是（）A．相等的角是对顶角B．若AB＝BC，则点B是线段AC的中点C．过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线D．若一个角的余角和补角都存在，则这个角的补角一定比这个角的余角大90度3．平面上有三点A，B，C，如果AB＝8，AC＝5，BC＝3，下列说法正确的是（）A．点C在线段AB上B．点C在线段AB的延长线上C．点C在直线AB外D．点C可能在直线AB上，也可能在直线AB外4．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，AC＝4，BC＝3，AB＝5，CD＝2.4，那么点C到AB的距离是（）A．3B．5C．4D．2.45．如图，三角形ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于点D，则下列线段关系成立的是（）A．AD+BC＜AB B．BD+AC＜AB C．BC+AC＞2CD D．AC+BC＜AB6．下列四个图中，能表示线段x＝a+c﹣b的是（）A．B．C．D．7．将一副尺子中的两个三角板按如图方式摆放，其中∠1＝∠2的有几个（）A．1B．2C．3D．48．如图，射线OA表示北偏西36°方向，OB平分∠AOC，则∠BOC的度数为（）A．54°B．63°C．64°D．68°9．已知数轴上的三点A、B、C所对应的数a、b、c满足a＜b＜c、abc＜0和a+b+c＝0．那么线段AB与BC的大小关系是（）A．AB＞BC B．AB＝BC C．AB＜BC D．不确定的10．如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝26°18'，则∠2的度数是（）A．26°18'B．52°20'C．56°23'D．56°18'11．如图，已知线段AB＝12．点C在线段AB上，BC＝AB，点D是AB的中点，则CD的长度为（）A．2B．4C．6D．812．如图，将两块三角尺AOB与COD的直角顶点O重合在一起，若∠AOD＝4∠BOC，OE为∠BOC的平分线，则∠DOE的度数为（）A．36°B．45°C．60°D．72°13．如图，OA⊥OC，OB⊥OD，四位同学观察图形后分别说了自己的观点．甲：∠AOB＝∠COD；乙：∠BOC+∠AOD＝180°；丙：∠AOB+∠COD＝90°；丁：图中小于平角的角有6个．其中观点正确的有（）A．甲、乙、丙B．甲、丙、丁C．乙、丙、丁D．甲、乙、丁14．已知∠α与∠β满足2∠α+3∠β＝180°（∠α≠0°，∠β≠0°），下列式子表示的角：①90°﹣∠β；②30°+∠α；③∠α+∠β；④2∠α+∠β中，其中是∠β的余角的是（）A．①②B．①③C．②④D．③④二．填空题15．54°30'角的补角等于．16．∠a的余角＝﹣∠a．17．若∠α＝42°24′，∠β＝15.3°，则∠α与∠β的和等于．18．如图，∠COD是Rt∠，∠BOD＝35°，则∠AOC＝．19．如图AO⊥BO，∠BOC＝20°，OD平分∠AOC，则∠BOD的度数为．20．如图，P是线段MN上一点，Q是线段PN的中点．若MN＝10，MP＝6，则MQ的长是．21．如图放置一副三角板，若∠BOC＝∠COD，则∠AOD的度数是．22．已知线段AB＝24cm，点D是线段AB的中点，直线AB上有一点C，且CD＝3BC，则线段CD＝cm．23．已知线段AB＝1cm，延长线段AB至点C，使BC＝4AB，M是线段AC的中点，N是线段AM的中点，则BN ＝cm．24．如图1，两条直线相交，以交点为端点的射线有4条；如图2，三条直线相交，以交点为端点的射线最多有12条；如图3，四条直线相交，以交点为端点的射线最多有24条．那么六条直线相交，以交点为端点的射线最多有条．25．将一根绳子对折1次后从中间剪一刀（如图），绳子变成3段；将一根绳子对折3次后从中间剪一刀，绳子变成段．将一根绳子对折（2n﹣1）次后从中间剪一刀，绳子变成段．26．如图，将量角器的中心与∠AOB的顶点重合，读出射线OA，OB分别经过刻度18和140，把∠AOB绕点O顺时针方向旋转到∠A'OB'，读出∠AOA'的平分线OC经过刻度32，则∠AOB'的平分线经过的刻度是．三．解答题27．如图，已知点A，B，C，按下列要求画出图形．（1）作射线BA，直线AC；（2）过点B画直线AC的垂线段BH28．为了落实“村村通管道煤气”工程，煤气公司准备向村庄C铺设煤气管线，三个村庄A，B，C的位置如图所示（假设煤气管线铺设线路上无任何障碍）．（1）若准备自村庄A向村庄C修建煤气管线，怎样铺设最节省？请你画出示意图；（2）若线段AB表示的是村庄A，B之间铺设的煤气管线，准备从线段AB上取一个点D，向村庄C修建一条煤气管线，怎样铺设最节省？请你画出示意图．29．如图，已知平面上三点A，B，C，按下列要求完成作图和解答；（1）画射线AC，线段BC．（2）连结AB，并用圆规在线段AB的延长线上截取BD＝BC（保留画图痕迹）．（3）过点C作CE⊥AB于点E；点C到AB的距离是的长；线段AC，CE，BC这三条线段大小关系是（用“＜”号连接）．30．如图，直线AB，CD交于点O，射线OE，OF都在直线AB的上方，且OE⊥OF．（1）若∠AOC＝28°，∠BOF＝30°，求∠DOE的度数．（2）若OB平分∠DOF，请写出图中与∠AOE互余的角．（直接写出所有答案）31．如图，直线AE与CD相交于点B，BF⊥AE．（1）若∠DBE＝60°，求∠FBD的度数；（2）猜想∠CBE与∠DBF的数量关系，并说明理由．32．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥OE．（1）写出与∠BOF互余的角．（2）若∠BOF＝57°，求∠AOD的度数．33．如图，已知OB，OC，OD是∠AOE内三条射线，OB平分∠AOE，OD平分∠COE．（1）若∠AOB＝70°，∠DOE＝20°，求∠BOC的度数．（2）若∠AOE＝136°，AO⊥CO，求∠BOD的度数．（3）若∠DOE＝20°，∠AOE+∠BOD＝220°，求∠BOD的度数．34．将直角三角板OMN的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON．（1）如图，若∠BON＝60°，求∠COM的度数；（2）将直角三角板OMN绕顶点O按逆时针方向旋转，在旋转过程中：①当∠BON＝140°时，求∠COM的度数；②直接写出∠BON和∠COM之间的数量关系．35．如图，数轴上C，D两点把线段AB分成2：5：3三部分，E为AB的中点．（1）若点A，B，D所表示的数分别是﹣10，+20，x，求x的值．（2）若ED＝3cm，求线段AB的长．36．已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式，则＝．37．如图，数轴上A，B两点对应的数分别为﹣4，﹣1．（1）求线段AB的长度．（2）若点D在数轴上，且DA＝3DB，求点D对应的数．（3）若点A的速度为7个单位长度/秒，点B的速度为2个单位长度/秒，点O的速度为1个单位长度/秒，点A，B，O同时向右运动，几秒后，OA＝3OB？38．如图，已知数轴上点A表示的数为10，点B位于点A左侧，AB＝15．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒．（1）当点P在A、B两点之间运动时，①用含t的代数式表示PB的长度；②若PB＝2P A，求点P所表示的数；（2）动点Q从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点Q到达点A后立即原速返回．若P，Q两点同时出发，其中一点运动到点B时，两点停止运动．求在这个运动过程中，P，Q两点相遇时t的值．39．阅读理解：在钟面上，把一周分成12个大格，每个大格分成5个小格，所以每个大格对应的是30°角，每个小格对应的是6°角，时针每分钟转过的角度是0.5度，分针每分针转过的角度是6度．解决问题：（1）当时钟的时刻是8：30时，求此时分针与时针所夹的锐角的度数；（2）8：00开始几分钟后分针第一次追上时针；（3）设在8：00时，分针的位置为OA，时针的位置为OB，运动后的分针为OP，时针为OQ．问：在8：00～9：00之间，从8：00开始运动几分钟，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线？40．如图，已知实数a（a＞0）表示在数轴上对应的位置为点P．现对点P进行如下操作：先把点P沿数轴以每秒1个单位的速度向左移动t秒，再把所得到的点沿数轴以每秒2个单位的速度向右移动a秒，得到点P'．我们把这样的操作称为点P的“回移”，点P'为点P的“回移点”．（1）当t＝2时，①若a＝4，求点P的回移点P'表示的实数；②若回移点P'与点P恰好重合，求a的值；（2）是否存在这样的情况：原点O，点P及其回移点P'中，一个点是以另外两点的端点的线段的三等分点？若存在，请用含a的代数式表示t；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题1．【解答】解：建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，这样做蕴含的数学原理是：两点确定一条直线．故选：B．2．【解答】解：A、对顶角相等，但是相等的角不一定是对顶角，故本选项不符合题意；B、三点不在一条直线上，AB＝BC，但是B不是线段AC的中点，故本选项不符合题意；C、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，故此选项不符合题意；D、若一个角的余角和补角都存在，则这个角的补角一定比这个角的余角大90度，故此选项符合题意；故选：D．3．【解答】解：从图中我们可以发现AC+BC＝AB，所以点C在线段AB上．故选：A．4．【解答】解：∵CD⊥AB，CD＝2.4，∴CD＝2.4，故选：D．5．【解答】解：在Rt△CDB中，∠CDB＝90°，∴BD＜BC，∴AD+BC＞AD+BD＝AB，故选项A结论不成立；同理，BD+AC＞AB，AC+BC＞AB，故选项A、D结论不成立；∵BC＞CD，AC＞CD，∴BC+AC＞2CD，故选项C结论正确，符合题意；故选：C．6．【解答】解：根据线段的和差可得，能表示线段x＝a+c﹣b的是B，故选：B．7．【解答】解：图一：∠1＝∠2＝135°；图二：∠1＝∠2；图三：∠1+∠2＝90°；图四：∠1≠∠2；故选：B．8．【解答】解：由题意得：∠AOC＝90°+36°＝126°，∵OB平分∠AOC，∴∠BOC＝∠AOC＝63°，故选：B．9．【解答】解：∵a＜b＜c，abc＜0，a+b+c＝0，∴a＜0，b＞0，c＞0，|a|＝b+c，∴AB＝|a﹣b|＝b﹣a＞|a|，BC＝|b﹣c|＝c﹣b＜|a|，∴AB＞BC．故选：A．10．【解答】解：∵∠1+∠EAC＝60°，∠1＝26°18'，∴∠EAC＝60°﹣∠1＝60°﹣26°18'＝33°42'，∵∠EAC+∠2＝90°，∴∠2＝90°﹣∠EAC＝90°﹣33°42'＝56°18'．故选：D．11．【解答】解：∵BC＝AB，AB＝12，∴BC＝4，∵D是线段AB的中点，∴BD＝AB＝6，∴CD＝BD﹣BC＝2．故选：A．12．【解答】解：∵∠AOB＝90°，∠COD＝90°，∴∠AOB+∠COD＝180°，∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC，∠COD＝∠BOC+∠BOD，∴∠AOC+∠BOC+∠BOC+∠BOD＝180°，∴∠AOD+∠BOC＝180°，∵∠AOD＝4∠BOC，∴4∠BOC+∠BOC＝180°，∴∠BOC＝36°，∵OE为∠BOC的平分线，∴∠COE＝∠BOC＝18°，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣18°＝72°，故选：D．13．【解答】解：∵OA⊥OC，OB⊥OD，∴∠AOC＝∠BOD＝90°．∴∠AOC﹣∠BOC＝∠BOD﹣∠BOC．∴∠AOB＝∠COD．∴甲同学说的正确；∵∠BOC+∠AOD＝∠AOC+∠COD+∠BOC＝∠AOC+∠BOD＝90°+90°＝180°，∴乙同学说的正确；∵∠AOB+∠BOC＝∠AOB＝90°，∠BOC和∠COD不一定相等，∴丙同学说的错误；∵图中小于平角的角有∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠BOC、∠BOD、∠COD，共6个，∴丁同学说的正确．故选：D．14．【解答】解：∠β的余角是90°﹣∠β，故①正确；∵∠α与∠β满足2∠α+3∠β＝180°，∴3∠β＝180°﹣2∠α，∴∠β＝60°﹣∠α，∴∠β的余角是90°﹣（60∠α）＝30°+∠α，故②错误；∵∠α+β＝∠α+（60°﹣∠α）＝∠α+30°﹣＝30°+∠α，∴∠α+∠β是∠β的余角，故③正确；∵2∠α+∠β＝2∠α+60°﹣∠α＝60°+∠α≠30°+∠α，故④错误；即正确的是①③，故选：B．二．填空题15．【解答】解：180°﹣54°30′＝125°30′，故答案为：125°30′．16．【解答】解：∠a的余角＝90°﹣∠a．故答案为：90°．17．【解答】解：∵∠β＝15.3°＝15°+0.3×60′＝15°18′，∴∠α+∠β＝42°24′+15°18′＝57°42′．故答案为：57°42′．18．【解答】解：∵∠AOC+∠COD+∠BOD＝180°，∠COD＝90°，∠BOD＝35°，∴∠AOC＝180°﹣90°﹣35°＝55°，故答案为：55°．19．【解答】解：因为OA⊥OB，所以∠AOB＝90°，因为∠BOC＝20°，所以∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+20°＝110°，因为OD平分∠AOC，所以∠COD＝∠AOC＝55°，所以∠BOD＝∠COD﹣∠COB＝55°﹣20°＝35°，故答案为：35°．20．【解答】解：∵MN＝10，MP＝6，∴NP＝MN﹣MP＝10﹣6＝4．∵点Q为线段PN的中点，∴PQ＝NP＝2，∴MQ＝MP+PQ＝6+2＝8．故答案为：8．21．【解答】解：∠BOC＝∠COD＝20°，∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝60°﹣20°＝40°，∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝90°+40°＝130°．故填130°22．【解答】解：∵AB＝24cm，点D是线段AB的中点，∴BD＝12cm，设BC＝xcm，则CD＝3BC＝3xcm，当C点在B、D之间时，DC＝BD﹣BC，即3x＝12﹣x，解得x＝3，∴CD＝9（cm）；当C点在DB的延长线上时，DC＝DB+BC，即3x＝12+x，解得x＝6，∴CD＝18（cm）；故答案为：9或18．23．【解答】解：∵BC＝4AB，AB＝1cm，∴BC＝4×1＝4cm，∴AC＝AB+BC＝1+4＝5cm，∵M是线段AC的中点，∴AM＝＝＝2.5cm，∵N是线段AM的中点，∴AN＝AM＝＝1.25cm，∴BN＝AN﹣AB＝1.25﹣1＝0.25cm，故答案为：0.25．24．【解答】解：两条直线相交，以交点为端点的射线有4条，4＝2×（2×1），三条直线相交，以交点为端点的射线最多有12条，12＝3×（2×2），四条直线相交，以交点为端点的射线最多有24条，24＝4×（2×3），那么，六条直线相交，以交点为端点的射线最多有：6×（2×5）＝60条，故答案为：60．25．【解答】解：∵对折1次从中间剪断，有21+1＝3；对折2次，从中间剪断，有22+1＝5．∴对折3次，从中间剪断，有23+1＝9，∴对折（2n﹣1）次，从中间剪一刀全部剪断后，绳子变成（22n﹣1+1）段．故答案为：9；（22n﹣1+1）．26．【解答】解：如图，设∠AOB′的角平分线是OD，∵射线OA，OB分别经过刻度18和140，∴∠AOB＝140﹣18＝122°，∴∠C＝∠AOB＝122°，∵∠AOA'的平分线OC经过刻度32，∴∠AOC＝32﹣18＝14°，∠AOA′＝2∠AOC＝28°，∴∠AOB′＝∠AOA′+∠A′OB′＝28°+122°＝150°，∴∠AOD＝AOB′＝75°，∴射线OD经过的刻度是18+75＝93．故答案为：93．三．解答题27．【解答】解：（1）如图，射线BA，直线AC为所作；（2）如图，线段BH为所作．28．【解答】解：（1）如图，线段AC即为所求．（2）如图，线段CD即为所求．29．【解答】解：（1）如图，射线AC，线段BC即为所求；（2）如图，BD即为所求；（3）点C到AB的距离是CE的长；线段AC，CE，BC这三条线段大小关系是CE＜BC＜AC．故答案为：CE，CE＜BC＜AC．30．【解答】解：（1）∵∠BOD＝∠AOC＝28°，∠BOF＝30°，∴∠DOF＝∠BOD+∠BOF＝28°+30°＝58°，∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠DOE＝∠DOF+∠EOF＝58°+90°＝148°；（2）∵∠EOF＝90°，∠AOE+∠BOF+∠EOF＝180°，∴∠AOE+∠BOF＝90°，∵OB平分∠DOF，∴∠BOF＝∠BOD，∴∠AOE+∠BOD＝90°，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC+∠AOE＝90°，∴图中与∠AOE互余的角∠BOF，∠BOD，∠AOC，故答案为：∠BOF，∠BOD，∠AOC．31．【解答】（1）解：∵BF⊥AE，∴∠EBF＝∠ABF＝90°，∵∠FBD＝∠EBF﹣∠DBE，∴∠FBD＝90°﹣60°＝30°；（2）∠CBE﹣∠DBF＝90°．证明：∵∠ABD﹣∠FBD＝∠ABF，∴∠ABD﹣∠FBD＝90°，∵∠CBE＝∠ABD，∴∠CBE﹣∠DBF＝90°．32．【解答】解：（1）∵OF⊥OE，∴∠BOF+∠BOE＝90°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠COE，∴∠BOF+∠COE＝90°，∴与∠BOF互余的角为∠BOE，∠COE；（2）∵∠BOF＝57°，∠BOF+∠BOE＝90°，∴∠BOE＝90°﹣57°＝33°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠BOE＝66°，∴∠AOD＝∠BOC＝66°．33．【解答】解：（1）∵OB平分∠AOE，OD平分∠COE，∴∠BOE＝∠AOB＝70°，∠COE＝2∠DOE＝40°，∵∠BOC＝﹣∠BOE﹣∠COE，∴∠BOC＝70°﹣40°＝30°．（2）∵OB平分∠AOE，OD平分∠COE，∴∠BOE＝∠AOE，∠DOE＝∠COE，∵∠BOD＝∠BOE﹣∠DOE，∴∠BOD＝（∠AOE﹣∠COE）＝∠AOC，∵AO⊥CO，∴∠AOC＝90°，∴∠BOD＝45°．（3）∵OB平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠BOE，∵∠AOE+∠BOD＝220°，∴2∠BOE+∠BOD＝220°，∵∠BOE﹣∠BOD＝∠DOE，∴∠BOE﹣∠BOD＝20°，∴2∠BOE﹣2∠BOD＝40°，∴3∠BOD＝180°，∴∠BOD＝60°．34．【解答】解：∵∠BON＝60°，∴∠AON＝120°，∵OC平分∠AON，∴∠CON＝60°，∵∠MON＝90°，∴∠COM＝90°﹣60°＝30°；（2）①当ON在直线AB上方时，如图1，∵∠BON＝140°，∴∠AON＝40°，∵OC平分∠AON，∴∠CON＝20°，∵∠MON＝90°，∴∠COM＝70°，当ON在直线AB下方时，如图2，∵∠BON＝140°，∴∠AON＝40°，∵OC平分∠AON，∴∠CON＝20°，∵∠MON＝90°，∴∠COM＝110°，综上所述，∠COM的度数为70°或110°．②∠BON＝2∠COM或∠BON+2∠COM＝360°．35．【解答】解：（1）∵点A，B所表示的数分别是﹣10，+20，∴AB＝30，∵C，D两点把线段AB分成2：5：3三部分，∴DB＝AB＝9，∴D所表示的数x＝20﹣9＝11，∴x的值为11．（2）∵C，D两点把线段AB分成2：5：3三部分，∴设AC＝2y，CD＝5y，DB＝3y，∵E为AB的中点，∴EB＝12AB＝5y，∵ED＝3cm，∴ED＝EB﹣DB＝5y﹣3y＝3cm，∴y＝32，∴AB＝10y＝15（cm），∴线段AB的长为15cm．36．【解答】解：（1）∵AC＝2BC，AB＝18，∴BC＝6，AC＝12，①∵E为BC中点，∴CE＝3，∵DE＝8，∴CD＝5，∴AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②∵点C是线段DE的三等分点，DE＝8，∴当点C靠近E点时，CE＝DE＝，∴CD＝，∴AD＝AC﹣CD＝12﹣＝；当点C靠近点D时，DC＝DE＝，∴AD＝AC﹣CD＝12﹣＝；（2）当点E在线段BC之间时，如图，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，∴AB＝3x，∵AB＝2DE，∴DE＝1.5x，设CE＝y，∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，∵，∴，∴y＝x，∴CD＝1.5x﹣x＝x，∴；当点E在点A的左侧，如图，设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，∴DC＝EC+DE＝y+1.5x，∴AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x，∵，BE＝EC+BC＝x+y，∴，∴y＝4x，∴CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x，∴AB＝BD﹣AD＝6.5x﹣y+0.5x＝6.5x﹣4x+0.5x＝3x，∴，当点E在线段AC上及点E在点B右侧时，无解，综上所述的值为或．另一解法：可设AB＝6，则AC＝4，CB＝2，DE＝3，以A为原点，以AB的方向为正方向建立数轴，则A表示0，C表示4，B表示6，如图，设D表示的数为x，则E表示x+3，可得AD＝|x|，EC＝|x+3﹣4|＝|x﹣1|，BE＝|x+3﹣6|＝|x﹣3|，CD＝|x﹣4|，，①当x＜0或x≥3时，上式可化为：，解得x＝﹣7，则；②1≤x＜3时，上式化为：，解得：x＝，则；③0≤x＜1时，上式化为：，解得：x＝（舍去）．综上所述的值为或．故答案为：或．37．【解答】解：（1）∵A，B两点对应的数分别为﹣4，﹣1，∴AB＝﹣1﹣（﹣4）＝3；（2）①当点D在AB之间时，有：DA+DB＝AB，∵DA＝3DB，∴3DB+DB＝3，解得：DB＝，∴点D表示的数是：﹣1﹣＝﹣；②当点D是B的右侧，有：DA＝AB+DB，∵DA＝3DB，∴3DB＝3+DB，解得：DB＝，∴点D表示的数是：；综上所述：D对应的数为﹣或；（3）设经过t秒后，OA＝3OB，由题意得：OA＝|﹣4+7t﹣t|＝|﹣4+6t|，OB＝|﹣1+2t﹣t|＝|﹣1+t|，∵OA＝3OB，∴|﹣4+6t|＝3|﹣1+t|，解得：t＝或，答：秒或秒后，OA＝3OB．38．【解答】解：（1）①∵点A表示的数为10，点B位于点A左侧，AB＝15，∴点B表示的数为10﹣15＝﹣5，∴点P在A、B两点之间运动时PB＝15﹣2t；②∵PB＝2P A，∴15﹣2t＝2×2t，∴t＝2.5，∴P A＝2×2.5＝5，∴10﹣5＝5，∴点P所表示的数为5；（2）在这个运动过程中，P，Q两点有两次相遇，设P，Q两点第一次相遇的时间为t秒，根据题意得（2+5）t＝15，∴t＝；设P，Q两点第二次相遇的时间为t秒，根据题意得2t+15＝5t，∴t＝5，∴在这个运动过程中，P，Q两点相遇时t的值为秒或5秒．39．【解答】解：（1）∵8：30时，时针与分针的夹角是2.5个大格，∴夹角是30°×2.5＝75°，∴分针与时针所夹的锐角的度数是75°；（2）设x分钟后分针第一次追上时针，6x﹣0.5x＝240，解得x＝，答：8：00开始分钟后分针第一次追上时针；（3）设运动m分钟后，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线，分三种情况：如图①，当OB平分∠QOP时，∠QOB＝∠POB，∴0.5m＝240﹣6m，解得m＝；如图②，当OP平分∠QOB时，∠QOB＝2∠POB，∴0.5m＝2（6m﹣240），解得m＝；如图③，当OQ平分∠BOP时，∠POB＝2∠QOB，∴6m﹣240＝2×0.5m，解得m＝48．综上，运动分钟或分钟或48分钟后，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线．40．【解答】解：（1）①t＝2，a＝4时，回移点P'表示的实数是4﹣2×1+2×4＝10；②t＝2时，回移点P'表示的实数是a﹣2×1+2a＝3a﹣2，∵回移点P'与点P恰好重合，∴3a﹣2＝a，解得a＝1，答：a的值是1；（2）存在原点O，点P及其回移点P'中，一个点是以另外两点的端点的线段的三等分点，根据题意，P表示的数是a，O表示的数是0，P'表示的数是a﹣t+2a＝3a﹣t，∴OP＝a，OP'＝|3a﹣t|，PP'＝|2a﹣t|，当O为PP'三等分点时，OP'＝2OP或OP'＝OP，∴|3a﹣t|＝2a或|3a﹣t|＝a，解得t＝a（不符合题意，舍去）或t＝5a或t＝a（不符合题意，舍去）或t＝a；当P'是OP的三等分点时，OP'＝2PP'或OP'＝PP'，∴|3a﹣t|＝2|2a﹣t|或|3a﹣t|＝|2a﹣t|，解得t＝a（不符合题意，舍去）或t＝a或t＝4a（不符合题意，舍去）或t＝a，当P为OP'的三等分点时，OP＝2PP'或OP＝PP'，∴a＝2|2a﹣t|或a＝|2a﹣t|，解得t＝a或t＝a（不符合题意，舍去）或t＝4a（不符合题意，舍去）或t＝0（不符合题意，舍去），综上所述，t＝5a或t＝a或t＝a或t＝a或t＝a．。

第19章 专题01几何证明重难点专练(教师版

第19章 专题01几何证明重难点专练(教师版

专题01几何证明重难点专练（教师版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列命题的逆命题是假命题的是（）A．全等三角形的面积相等；B．等腰三角形两个底角相等；C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；D．在角的平分线上任意一点到这个角的两边的距离相等.【答案】A【分析】先确定每个命题的逆命题，再对每个选项依次判定即可解答.【详解】A.逆命题为：面积相等的三角形是全等三角形，是假命题，符合题意；B.逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，不符合题意；C.逆命题为：一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形，是真命题，不符合题意；D.在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，是真命题，不符合题意.故选：A.【点睛】此题考查命题，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，正确确定每个命题的逆命题是解此题的关键.2．设D为等腰ABC底边BC上一点，DE∥AB，DF∥AC，则四边形AFDE的周长是（）A．2AB B．2AB+BC C．2BC D．AB+BC【答案】A【分析】先证明四边形AFDE是平行四边形，得到DE=AF，AE=DF，再证明BF=DF=AE,问题得解．【详解】解：∵DE∵AB，DF∵AC，∵四边形AFDE是平行四边形，∵DE=AF，AE=DF，∵DF∵AC，∵∵C=∵FDB，∵AB=AC，∵∵B=∵C∵∵FDB=∵Ｂ，∵BF=DF，∵BF=DF=AE,∵四边形AFDE的周长等于AE+DE+DF+AF=BF+AF+BF+AF=2AB．故选：A【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟知相关定理是解题关键．3．下列给出的三条线段中，不能构成直角三角形的是（）A．4、8、B．4、8、C．7、24、25D．7、14、15【答案】D【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可．【详解】解：A、∵42+（2=64=82,∵能够成直角三角形,故本选项可构成直角三形；B、∵42+82=80=（2,∵能够成直角三角形,故本选项错误；C、∵72+242=625=252,∵能够成直角三角形,故本选项错误；D、∵72+142=245≠152,∵不能够成直角三角形,故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查的是如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形．4．如图，ABC中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE=3cm，ADC 的周长为9cm，则ABC的周长是（）A．12cm B．15cm C．21cm D．18cm【答案】B【分析】由DE是∵ABC中边AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得BD=AD，AB=2AE，又由∵ADC的周长为9cm，即可得AC+BC=9cm，继而求得∵ABC的周长．【详解】解：由DE是边AB的垂直平分线，∵AD=BD，AE=BE，由∵ADC的周长为9cm，∵AC+BC=9，∵AE=3，∵AB=6，∵∵ABC的周长是15cm，故选：B．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度适中，解题的关键是注意等量代换与整体思想的应用．5．下列命题中，假命题是（）A．对顶角相等B．同角的余角相等C．面积相等的两个三角形全等D．平行于同一条直线的两直线平行【答案】C【分析】根据对顶角的性质对A进行判断；根据余角的性质对B进行判断；根据三角形全等的判断对C进行判断；根据平行线的传递性对D进行判断．【详解】解：A、对顶角相等，所以A选项为真命题；B、同角的余角相等，所以B选项为真命题；C、面积相等的两个三角形不一定全等，所以C选项为假命题；D、平行于同一条直线的两条直线平行，所以D选项为真命题．故选：C．【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．6．下列命题中，是真命题的是（）A．对顶角相等B．两直线被第三条直线所截，截得的内错角相等C．等腰直角三角形都全等D．如果a b>，那么22>a b【答案】A【分析】分别利用对顶角的性质、平行线的性质及不等式的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A.对顶角相等，正确，是真命题；B.两直线被第三条直线所截，内错角相等，错误，是假命题；C.等腰直角三角形不一定都全等，是假命题；D.如果0＞a＞b，那么a2＜b2，是假命题．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平行线的性质及不等式的性质，难度不大．7．下列命题是真命题的是（）A．相等的两个角是对顶角B．好好学习，天天向上C．周长和面积相等的两个三角形全等D．两点之间线段最短【答案】D【分析】根据命题的定义以及几何知识逐一判断即可．【详解】解：A、相等的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题；B、好好学习，天天向上，不是命题；C、周长和面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；D、两点之间线段最短，是真命题；故选：D．【点睛】本题考查命题，掌握命题的定义以及对顶角的性质、全等三角形的判定、两点之间线段最短的基本事实是解题的关键．8．下列各命题中，假命题是（）A．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等B．有两边及第三边上高对应相等的两个三角形全等C．有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等D．有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等【答案】B【分析】根据全等三角形的判定定理进行证明并依次判断．【详解】解：A、有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；B、高有可能在内部，也有可能在外部，是不确定的，不符合全等的条件，原命题是假命题；C、有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；D、有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；故选：B．【点睛】此题考查全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，灵活判定命题真假，熟记定理并灵活应用解决问题是解题的关键．9．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E，F分别在边BC、CD上，EF=时，AEF的面积是（）．∠=︒．当845EAFA．8B．16C．24D．32【答案】D【分析】如图：∵ADF绕点A顺时针旋转90°，得到∵ABH，可得AH=AF，∵BAH=∵DAF，进一步求出∵EAH=∵EAF=45°，再利用"边角边"证明∵AEF和∵AEH全等，再根据全等三角形的面积相等，即可解答.【详解】解：如图，将∵ADF绕点A顺时针旋转90°，得到∵ABH，根据旋转的性质可得：AH=AF，∵BAH=∵DAF，∵∵EAF=45°，∵BAD=90°∵∵EAH=∵EAF=45°在∵AEF和∵AEH中AF=Aн∵EAH=∵EAF=45°，AE=AE∵∵AEF∵∵AEH（SAS），∵EH=EF=8，∵SAFE=S∵AEH=-12×8×8=32.故选：D.【点睛】本题考查了正方形和全等三角形的判定与性质，熟记并灵活应用它们的性质并利用旋转作辅助线、构造出全等三角形是解题的关键.二、填空题10．将命题关于某直线对称的两个三角形全等”，改写成“如果…，那么…”的形式：如果___________________________，那么________________________．【答案】两个三角形关于某直线对称；这两个三角形全等．【分析】任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式，如果是条件，那么是结论．【详解】解：关于某直线对称的两个三角形全等，改写成“如果…，那么…”的形式：如果两个三角形关于某直线对称，那么这两个三角形全等故答案为：两个三角形关于某直线对称；这两个三角形全等【点睛】本题考查了命题与定理，命题是有题设和结论构成．命题都能写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论．11．将“对顶角相等”改写为“如果．．．那么．．．”的形式，可写为__________．【答案】如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等【分析】根据命题的形式解答即可.【详解】将“对顶角相等”改写为“如果．．．那么．．．”的形式，可写为如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等，故答案为：如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等.【点睛】此题考查命题的形式，可写成用关联词“如果．．．那么．．．”连接的形式，准确确定命题中的题设和结论是解题的关键.12．在Rt ABC中，若∥C=90°，D是BC边上一点，且AD=2CD，则∥ADB=_____°【答案】120【分析】如图，延长DC到E，使EC=CD，连接AE，先证明AC为线段DE的垂直平分线，进而证明∵ADE是等边三角形，得到∵ADE=60°，问题得解．【详解】解：如图，延长DC到E，使EC=CD，连接AE，∵∵ACD=90°，∵AC∵DE，∵AC为线段DE的垂直平分线，∵AD=AE，又∵AD=2CD，CD=CE，∵AD=DE，∵AD=DE=AE，∵∵ADE是等边三角形，∵∵ADE=60°，∵∵ADB=180°-∵ADC=120°．故答案为：120°【点睛】本题考查了线段垂直平分线，等边三角形的判定与性质，根据题意添加辅助线，构造等边三角形是解题关键．13．在Rt ABC中,∥C=90°,∥A的平分线交BC于点D,且BC=8,BD=5,那么点D到AB 的距离是_____【答案】3【分析】作DE∵AB于E点,根据角平分线的性质,即可证得DE=CD,即可求解．【详解】解：如图,作DE∵AB于E点．∵∵A的平分线交BC于点D, ∵C=90°, DE∵AB,∵DE=CD=3．即点D 到AB 的距离等于3．故答案为：3．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理,正确证得DE=CD 以及找到点D 到AB 的距离是关键．14．等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，AH HG ⊥，BG HG ⊥，12HG =，4AH =，则BG =________．【答案】8【分析】先根据等腰直角三角形的定义可得BC CA =，再根据直角三角形的性质可得CBG ACH ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得4,CG AH BG CH ===，最后根据线段的和差即可得．【详解】 ABC 是等腰直角三角形，且90ACB ∠=︒，BC CA ∴=，90BCG ACH ∠+∠=︒，,A BG HG H HG ⊥⊥，90G H ∴∠=∠=︒，90BCG CBG ∠∴∠+=︒，CBG ACH ∴∠=∠，在BCG 和CAH 中，G H CBG ACH BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCG CAH AAS ∴≅，,CG AH BG CH ∴==，12,4H HG A ==，1248BG CH HG CG HG AH ∴==-=-=-=，故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、直角三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．15．把命题“直角三角形的两个锐角互为余角”改写成“如果…那么…”的形式是________，这个命题是__________（填“真”或“假”）命题【答案】如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互为余角真【分析】找出命题中的题设与结论即可得，根据直角三角形的性质即可得判断真假．【详解】命题“直角三角形的两个锐角互为余角”中的题设是三角形是直角三角形，结论是它的两个锐角互为余角，则改写成：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互为余角，由直角三角形的性质得：这个命题是真命题，故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互为余角；真．【点睛】本题考查了命题、直角三角形的性质，掌握理解命题的概念是解题关键．16．已知“若a>b，则ac>bc”是假命题，请写出一个满足条件的c 的值是_______________．【答案】0(答案不唯一)【分析】举出一个能使得ac=bc或ac＜bc的一个c的值即可．【详解】若a＞b，当c=0时ac=bc=0，故答案为：0(答案不唯一)．【点睛】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．17．把命题“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为______．【答案】如果两个角相等，那么这两个角的余角相等【分析】把命题的题设写在如果的后面，把命题的结论部分写在那么的后面即可．【详解】解：命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．故答案为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．三、解答题18．已知：如图，AB=DE，BC=DF，AF=CE．求证：BC∥DF．【答案】见解析【分析】由AF=CE，得到AC=EF，然后得到∵ABC∵∵DEF，则∵ACB=∵EFD，然后即可证明结论成立．【详解】证明：∵AF=CE，∵AC=EF，在∵ABC和∵DEF中AC=EF，AB=DE，BC=DF，∵∵ABC∵∵DEF∵∵ACB=∵EFD，∵∵BCF=∵DFC，∵BC∵DF；【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．19．已知：如图，在ABC中，AB=AC，AE是外角 CAD的平分线．求证：AE∥BC．【答案】见解析【分析】首先根据角平分线的性质可得∵DAC＝2∵DAE，再由AB＝AC可得∵B＝∵ACB，然后根据内角与外角的关系可得∵DAC＝∵B＋∵ACB＝2∵B，进而可证明∵DAE＝∵B，再根据同位角相等，两直线平行可得AE∵BC．【详解】证明：∵AE是∵CAD的平分线，∵∵DAC＝2∵DAE，∵AB＝AC，∵∵B＝∵ACB，又∵∵DAC＝∵B＋∵ACB＝2∵B，∵∵DAE＝∵B，∵AE∵BC．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．20．已知：如图，AC=BD，∠1=∠2．求证：AD∥BC．【答案】见解析【分析】根据等角对等边求出OB=OC,再利用已知条件求得AO=OD,进一步利用等腰三角形性质得：∵OAD=∵ODA,再利用内角和定理可得:∠1=∵ODA,即可得到平行.【详解】证明:因为∠1=∠2．所以OB=OC．因为AC=BD．所以OA=OD．所以∵OAD=∵ODA．因为∠1+∠2+∵BOC=180°．∵OAD+∵ODA+∵AOD=180°．∵BOC=∵AOD．所以∠1+∠2=∵OAD+∵ODA．所以2∠1=2∵ODA．即∠1=∵ODA．所以AD∵BC．【点睛】本题利用等腰三角形的性质与判定得到边与角的关系,本题关键找到角与角的关系．21．已知：如图，在∥ABC中，∥A∥∥ABC∥∥ACB=3∥4∥5，BD，CE分别是边AC，AB上的高，BD，CE相交于H，求∥BHC的度数．【答案】135°【分析】先设∵A=3x，∵ABC=4x，∵ACB=5x，再结合三角形内角和等于180°，可得关于x的一元一次方程，求出x，从而可分别求出∵A，∵ABC，∵ACB，在∵ABD中，利用三角形内角和定理，可求∵ABD，再利用三角形外角性质，可求出∵BHC．【详解】解：∵在∵ABC中，∵A：∵ABC：∵ACB=3：4：5，故设∵A=3x，∵ABC=4x，∵ACB=5x．∵在∵ABC中，∵A+∵ABC+∵ACB=180°，∵3x+4x+5x=180°，解得x=15°，∵∵A=3x=45°．∵BD，CE分别是边AC，AB上的高，∵∵ADB=90°，∵BEC=90°，∵在∵ABD中，∵ABD=180°-∵ADB-∵A=180°-90°-45°=45°，∵∵BHC=∵ABD+∵BEC=45°+90°=135°．【点睛】本题利用了三角形内角和定理、三角形外角的性质．解题关键是熟练掌握:三角形三个内角的和等于180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．22．已知：如图所示ABC，BE，CD相交于O，AB=AC，AD=AE（1）求证：OD=OE（2）联结DE，求证：DE//BC．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】≅，再由全等三角形对应边、对应角相等解题即可；（1）根据SAS证明ADC AEB≅,（2）先根据AB=AC，整理出BD、EC的数量关系，再由AAS证明BDO CEO最后根据全等三角形对应边相等的性质解题即可．【详解】（1）证明：在ADC和AEB△中AB=AC；∵A=∵A；AD=AE，所以ADC AEB ≅所以∵ABE=∵ACD ，又因为AD=AE ，所以BD=CE ，在BDO △和CEO 中BD=EC∵ABE=∵ACD∵DOB=∵EOC所以BDO CEO ≅所以OD=OE（2）证明：AD AE AB AC ==，AD AE AB AC∴= A A ∠=∠ADE ABC ∴ADE ABC ∴∠=∠//DE BC ∴【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．23．已知：如图，AB=DE ，∠A=∠D ，AC=DF ．求证：AC∥DF ．【答案】见解析【分析】由边角边证得∵ABC∵∵DEF ，得到∵ACB=∵DFE ，由同位角相等两直线平行即可得证.【详解】证明：在∵ABC 和∵DEF 中，AB DE A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以∵ABC∵∵DEF （SAS ），所以∵ACB=∵DFE ，所以AC∵DF.【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，要牢固掌握并灵活运用这些知识．24．如图：已知 ∠BAC=30°，AT 平分∠BAC ，TE∥AC ．（1）求证：AET △是等腰三角形；（2）若TD AC ⊥，垂足为点D ，AE=4cm ，求TD 的长．【答案】（1）见解析；（2）2cm【分析】（1）根据角平分线可得∵EAT=∵TAD,利用平行可得∵TAD=∵ETA,再利用等量代换即可得到∵EAT=∵ETA,进而证得AET △是等腰三角形．（2）AT 平分∠BAC,依据角平分线定理可得DT=TF 在RT∵TFE 中,ET=4cm,∵FET=30°,则TF=2cm,则TD=2cm ．【详解】解：（1）∵AT 平分∠BAC ．∵∵EAT=∵TAD．∵TE∵AC．∵∵TAD=∵ETA．∵∵EAT=∵ETA．∵AET△是等腰三角形．（2）过点T作TF⊥AB，垂足点F,⊥．∵AT平分∠BAC，TF⊥AB，TD AC∵据角平分线定理可得DT=TF．∵在RT∵TFE中，ET=4cm，∵FET=30°，则TF=2cm,∵TD=2cm．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定,如何利用角平分线性质作出辅助线是解决此问题的关键．25．如图所示，已知点C、P、D在一直线上，∥BAP与∥APD互补，∥1=∥2，试说明∥E=∥F的理由.【答案】∵E与∵F相等，理由见解析.【分析】根据已知可得出AB∵CD，进而由∵1=∵2可证得∵P AE=∵APF，故能得出AE∵FP，即能推出要证的结论成立．【详解】∵E与∵F相等.理由如下:因为∵BAP和∵APD互补,所以AB∵CD(同旁内角互补,两直线平行),所以∵BAP=∵CPA(两直线平行,内错角相等).因为∵1=∵2,所以∵PAE=∵APF,所以AE∵PF(内错角相等,两直线平行),所以∵E=∵F(两直线平行,内错角相等).【点睛】考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键.26．已知：如图，AC∥BC ，垂足为C ，∥BCD 是∥B 的余角求证：∥ACD=∥B证明：∥AC∥BC （已知）∥∥ACB=90°（ ）∥∥BCD 是∥DCA 的余角∥∥BCD 是∥B 的余角（已知）∥∥ACD=∥B （ ）【答案】垂直的意义；同角的余角相等．【分析】先根据垂直的意义可得90ACB ∠=︒，从而可得BCD ∠是DCA ∠的余角，再根据同角的余角相等即可得证．【详解】证明：∵AC BC ⊥（已知），∵90ACB ∠=︒（垂直的意义），∵BCD ∠是DCA ∠的余角，∵BCD ∠是B 的余角（已知），∵ACD B ∠=∠（同角的余角相等），故答案为：垂直的意义；同角的余角相等．【点睛】本题考查了垂直的意义、同角的余角相等，掌握理解同角的余角相等是解题关键． 27．如图， AB=AC ， E 是AD 上的一点，∥BAE=∥CAE ．求证：∥EBD=∥ECD ．【答案】见解析【分析】先证明∵ABD∵∵ACD ，得到∵ADB=∵ADC ，BD=CD ，再证明∵BDE∵∵CDE ，问题得证．【详解】证明：在∵ABD 和∵ACD 中AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵ABD∵∵ACD ，∵∵ADB=∵ADC ，BD=CD ，在∵BDE 和∵CDE 中DE DE EDB EDC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵BDE∵∵CDE ，∵∵EBD=∵ECD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理并根据题意灵活选择方法是解题关键．28．如图，在ABC △中，AB AC =，点E ，F 、G 分别在边AB 、BC 、AC 上，CG BF =，BE CF =，O 是EG 的中点，求证：FO GE ⊥．【答案】证明见解析【分析】连结EF 、FG ，根据等腰三角形得到B C ∠=∠，利用SAS 证明∵BEF 与∵CFG 全等，最后利用等腰三角形”三线合一”的性质证明即可.【详解】证明：连接EF 、FG∵AB AC =∵B C ∠=∠．在BEF 与CFG △中，BE CF B C BF CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵BEF ∵CFG △（SAS ）．∵EF FG =．∵O 是EG 的中点，∵FO GE ⊥．【点睛】本题考查的是全等三角形和等腰三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定方法是解答本题的关键.29．如图，在已知ABC △中，AB AC =，点D 在BC 上，过D 点的直线分别交AB 于点E ，交AC 的延长线于点F ，且BE CF =．求证：DE DF =．【答案】证明见解析【分析】过点E 作EG AC ∥交BC 于G ，根据平行的性质可得ACB BGE ∠=∠，F DEG ∠=∠，再根据等边对等角可得B ACB ∠=∠，进而得到B BGE ∠=∠，再根据等角对等边可得BE=GE ，从而得到GE=CF ，利用AAS 证得CDF ∵GDE △，根据全等三角形的性质可得DE=DF.【详解】证明：过点E 作EG AC ∥交BC 于G∵ACB BGE ∠=∠，F DEG ∠=∠∵AB AC =∵B ACB ∠=∠∵B BGE ∠=∠∵BE GE =．又∵BE CF =∵GE CF =．∵在CDF 和GDE △中F DEG CDF GDE GE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵CDF ∵GDE △（AAS ）．∵DE DF =．【点睛】本题考查了等腰三角形、全等三角形的判定与性质，构造出全等三角形是解答本题的关键.30．如图，在ABC △中，BAC ∠的角平分线交BC 于D ，且AB AC CD =+．求证：2C B ∠=∠．【答案】证明见解析【分析】在AB 上截取AE AC =，易证∵ACD∵∵AED ，则CD=DE ，∵C=∵AED ，可得DE=BE ，由等边对等角可得：∵EDB=∵EBD ，由三角形外角定理即可得到结论.【详解】证明：在AB 上截取AE AC =，∵AB AC CD =+．∵BE CD =．在ACD 和AED 中AC AE CAD BAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵ACD ∵AED ．∵CD DE =，C AED ∠=∠．∵DE BE =D ．∵EDB EBD ∠=∠．∵2EBD B ∠=∠．∵2C B ∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角定理，构造全等三角形、运用等腰三角形的知识是解答本题的关键.31．如图，在ABC △中，已知CA CB =，AD 平分CAB ∠，且AB AC CD =+，求证：AC BC ⊥．【答案】证明见解析【分析】在AB 上截取AE AC =，连结DE ，可得BE=CD ，由角平分线的定义可得∵CAD=∵EAD ，推出∵ACD∵∵ADE ，易得DE=CD 、∵C=∵AED ，即DE=BE ，由等腰三角形的性质可得∵B=∵BDE ，∵CAB=∵B ，进而得到∵C=∵DEB=∵DEA ，即可得到结论.【详解】证明：在AB 上截取AE AC =，连接DE ，∵AB AC CD =+，∵BE CD =．∵AD 平分CAB ∠，∵CAD EAD ∠=∠．在ACD 与ADE 中，AC AE CAD EAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵ACD ∵ADE ．∵DE CD =，C AED ∠=∠．∵DE BE =．∵B BDE ∠=∠．∵AC BC =，∵CAB B ∠=∠．∵C DEB DEA ∠=∠=∠．∵18090DEA ∠=︒=︒．∵90C ∠=︒．∵AC BC ⊥．【点睛】本题考查全等三角形、等腰三角形的判定和性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.32．已知AE AB ⊥，DA AC ⊥，AE AB =，AD AC =．直线MN 过点A ，交DE 、BC 于点M 、N ．（1）若AM 是EAD 中线，求证：AN BC ⊥；（2）若AN BC ⊥，求证：EM DM =．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）延长AM 至F ，使MF AM =，易证EMF △∵DMA △，可得DAM F ∠=∠，EF AD =，再根据AD AC =可得EF AC =，再利用∵BAC 、∵BAE 、∵EAD 和∵DAC 四个角和为360°，可得180BAC DAE ∠=︒-∠，利用∵AEF 的内角和可得180AEF DAE ∠=︒-，可得BAC AEF ∠=∠，即可证明ABC △∵EAF △，最后利用等角的余角相等的等量代换以及∵ABN 的内角和为180°可得出结论.（2）过点E 作EF AD ∥交AM 的延长线于F ，则F DAM ∠=∠，根据DA AC ⊥，可得90DAM CAN ∠+∠=︒；AN BC ⊥，可得90CAN C ∠+∠=︒，等量代换得出F DAM C ∠=∠=∠．根据周角等于360°，可得180BAC DAE ∠=︒-∠；根据三角形内角和可得180∠=︒-∠AEF DAE ，可得BAC AEF ∠=∠，则可证明ABC △∵EAF △（AAS ），得到EF AC =；易证EFM △∵DAM △，即可得到EM DM =． 【详解】解：（1）如图，延长AM 至F ，使MF AM =，∵AM 是EAD 中线，∵EM DM =．在EMF △和DMA △中，EM DM EMF AMD MF AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵EMF △∵DMA △（SAS ）．∵DAM F ∠=∠，EF AD =．∵AD AC =，∵EF AC =．∵AE AB ⊥，DA AC ⊥，∵360902180BAC DAE DAE ∠=︒-︒⨯-∠=︒-∠． ∵180180180AEF F EAM DAM EAM DAE ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=︒-， ∵BAC AEF ∠=∠．在ABC △和EAF △中，EF AC BAC AEF AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵ABC △∵EAF △（SAS ）．∵EAF B ∠=∠．∵AE AB ⊥，∵90EAF BAN ∠+∠=︒．∵90B BAN ∠+∠=︒．在ABN 中，()1801809090ANB B BAN ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，∵AN BC ⊥． （2）如图，过点E 作EF AD ∥交AM 的延长线于F ，则F DAM ∠=∠，∵DA AC ⊥，∵90DAM CAN ∠+∠=︒．∵AN BC ⊥，∵90CAN C ∠+∠=︒．∵F DAM C ∠=∠=∠．∵AE AB ⊥，DA AC ⊥，∵360902180BAC DAE DAE ∠=︒-︒⨯-∠=︒-∠． ∵180180180AEF F EAM DAM EAM DAE ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=︒-∠， ∵BAC AEF ∠=∠．在ABC △和EAF △中，BAC AEF F C AB AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵ABC △∵EAF △（AAS ）．∵EF AC =．∵AD AC =，∵EF AD =．在EFM △和DAM △中，F DAM EMF DMA EF AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵EFM △∵DAM △（AAS ）．∵EM DM =．【点睛】本题考查三角形全等以及角度之间的等量代换，第（1）题通过“倍长中线”这一辅助线做法，构造全等三角形，从而得出角相等，在遇到有中线的题目，并且题中没有全等三角形，那么我们就可以通过延长中线，或者经过中点的线段，构造全等三角形；第（2）题是通过构造平行线，进而得到角相等，构造全等三角形，然后再根据角之间的等量代换，常见的就是等角的余角相等、等角的补角相等，当直角比较多的地方都可以想到这种方法.33．如图，在ABC △中，已知D 是BC 的中点，ED DF ⊥，求证：BE CF EF +>．【答案】证明见解析【分析】延长FD 到M 使MD=DF ，连接BM ，EM.构造出两三角形全等，可得MD=DF ，三角形EFM 中，ED∵MF ，MD=FD ，那么ED 就是MF 的垂直平分线，可得EM=EF ，最后根据三角形三边的关系即可证明.【详解】证明：延长FD 到M 使MD=DF ，连接BM ，EM.∵D 是BC 的中点，∵BD CD =．在MDB △与FDC △中，BD DC MDB CDF FD DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵MDB △∵FDC △（SAS ）∵MD DF =．在FMC 中，CF CM MF +>．又∵ED DF ⊥，ED DM =，∵EF FM =．∵CF CM EF +>，即CF BE EF +>．【点睛】本题考查了全等三角形和三角形三边关系；做辅助线构造全等三角形是解答本题的关键.34．如图所示，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，D 是AC 上一点，AE BD ⊥，垂足为E ，BE 交AC 于D ，又12AE BD =．求证：BD 是ABC ∠的平分线．【答案】见解析【解析】【分析】延长AE 、BC 交于点F ，通过证全等得AF=BD ，结合已知条件得E 是AF 的中点，可得BE 是AF 的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一即可得.【详解】证明：如图，延长AE 、BC 交于点FAE BE ⊥90BEF ∴∠=︒，又90ACF ACB ∠=∠=︒90DBC AFC FAC AFC ∴∠+∠=∠+∠=︒DBC FAC ∴∠=∠又AC BC =()ASA ACF BCD ≌∴∆∆AF BD ∴=又2BD AE =2AF AE ∴=AE EF ∴=AB BF ∴=BD ∴是ABC ∠的平分线【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质的综合及等腰三角形的性质，构造全等，即辅助线的引入是解答此题的关键.35．如图1，已知∥ABC 中，AB ＝BC ＝1，∥ABC ＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上（直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF ），将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转.（1）在图1中，DE交边AB于M，DF交边BC于N，证明:DM＝DN；（2）在这一旋转过程中，直角三角板DEF与∥ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；（3）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.【答案】（1）详情见解析；（2）四边形DMBN面积不发生变化，面积为14；（3）仍然成立，证明见解析.【分析】（1）连接BD，求出BD=DC，∵MDB=∵CDN，∵C=∵ABD，根据ASA证明∵MBD∵∵NCD，进而求证即可；（2）根据全等得出∵MBD与∵NCD面积相等，求出四边形DMBN的面积等于∵BDC的面积，进而求解即可；（3）连接BD，求出BD=DC，∵MDB=∵CDN，∵C=∵ABD，根据ASA证明∵MBD∵∵NCD，进而求证即可.【详解】（1）如图1，连接BD.∵在Rt∵ABC中，AB=BC，AD=DC，∵BD=DC=AD，∵BDC=90°，∵∵ABD=∵C=45°，∵∵MDB+∵BDN=90°，∵CDN+∵BDN=90°∵∵MDB=∵NDC，在∵MBD与∵NCD中，∵∵MDB=∵NDC，BD=DC，∵MBD=∵C，∵∵MBD∵∵NCD，∵DM=DN.（2）四边形DMBN面积不发生变化.由（1）得∵MBD∵∵NCD ，∵S ∵MBD =S ∵NCD ，∵四边形DMBN 面积=S ∵DMB +S ∵BDN = S ∵CND + S ∵BDN =12S ∵ABC =14. （3）DM=DN 仍然成立.如图2，连接BD ，∵在Rt∵ABC 中，AB=BC ，AD=DC ，∵DB=DC,∵BDC=90°，∵∵DCB=∵DBC=45°，∵∵DBM=∵DCN=135°，∵∵NDC+∵CDM=90°，∵BDM+∵CDM=90°，∵∵CDN=∵BDM ，在∵CDN 与∵BDM 中，∵∵CDN=∵BDM ，DC=DB ，∵DCN=∵DBM ，∵∵CDN∵∵BDM ，∵DM=DN.【点睛】本题主要考查了三角形旋转问题与全等三角形的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.36．如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，BC CD =，90ABC ADC ∠=∠=︒，12MAN BAD ∠=∠．（1）如图（1），将MAN ∠绕着A 点旋转，它的两边分别交边BC 、CD 于M 、N ，试判断这一过程中线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明；（2）如图（2），将MAN ∠绕着A 点旋转，它的两边分别交边BC 、CD 的延长线于M 、N ，试判断这一过程中线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；（3）如图（3），将MAN ∠绕着A 点旋转，它的两边分别交边BC 、CD 的反向延长线于M 、N ，试判断这一过程中线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明．【答案】（1）详见解析；（2）MN BM DN =-，证明见解析；（3）MN DN BM =-.【分析】（1）延长MB 到G ，使BG DN =，连接AG ，易证ABG ∵ADN △，可得AG AN =，BG DN =，∠=∠NAD BAG ，再根据12MAN BAD ∠=∠，可得∠=∠MAG MAN ，易证AMG ∵AMN ，等量代换可得MN BM DN =+.（2）在BM 上截取BG ，使BG DN =，连接AG ，易证ADN △∵ABG ，可得AN AG =，NAD GAB ∠=∠，所以12MAN NAD BAM DAB ∠=∠+∠=∠，可得MAN MAG ∠=∠，易证MAN △∵MAG △，等量代换即可得出MN BM DN =-. （3）在DC 上截取DF=BM ，易证∵ABM∵∵ANF ，可得AFAM =，∠=∠DAF MAB ，根据12∠=∠+∠=∠MAN NAB BAM DAB ，等量代换可得12∠+∠=∠NAB DAF DAB ，可得∠=∠FAN MAN ，即可证明∵FAN∵∵MAN ， 得到=FN MN ，等量代换可得MN BM DN =-．【详解】（1）如图（1），延长MB 到G ，使BG DN =，连接AG ．∵90ABG ABC ADC ∠=∠=∠=︒，AB AD =，在∵ABG 与∵AND 中，BG DN NDA GBA AG AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵ABG ∵ADN △（SAS ）．。

八上数学(几何)综合测试一

八上数学(几何)综合测试一

一．选择题（共10小题） 1．下列说法正确的有（ ）（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形的两边之差大于第三边；（3）三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（4）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．下列结论中正确的是（ ）A ．三角形的一个外角大于这个三角形的任何一个内角B ．三角形按边分类可以分为：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形C ．三角形的三个内角中，最多有一个钝角D ．若三条线段a 、b 、c ，满足a+b ＞c ，则此三条线段一定能组成三角形 3．下列说法正确的有（ ）①等腰三角形是等边三角形；②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；③等腰三角形至少有两边相等；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． A ．①② B ．①③④ C ．③④ D ．①②④ 4．下面说法正确的是个数有（ ）①如果三角形四个内角的比是1：2：3，那么这个三角形是直角三角形 ②三角形的三条中线的交点叫三角形的中心③如果三条线段的比1：2：3则这三条线段可构成三角形 ④在△ABC 中，若∠A ﹣2∠B+∠C=0°，那么∠B=30°⑤若三角形的一个内角于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形； ⑥三角形按边分类可分为等腰三角形和等边三角形． ⑦各边相等或各角相等的多边形一定是正多边形 ⑧正多边形一定是凸多边形⑨一个正多边形的各条对角线一定相等⑩若一个多边形用剪刀剪掉一个角后，所得的新多边形内角和为1080°则原多边形一定是8边形． A ．6个 B ．5个 C ．4个 D ．3个 5．下列说法正确的是（ ）A ．按角分类，三角形可以分为钝角三角形、锐角三角形和等腰直角三角形B ．按边分类，三角形可分为等腰三角形、不等边三角形和等边三角形C ．三角形的外角大于任何一个内角D ．一个三角形中至少有一个内角不大于60° 6．三角形按角分类可以分为（ ）A ．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形B ．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形C ．直角三角形、等边直角三角形D ．以上答案都不正确7．下列说法正确的是（ ）A ．三角形分为等边三角形和三边不相等的三角形B ．等边三角形不是等腰三角形C ．等腰三角形是等边三角形D ．三角形分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形8．下列说法：（1）三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；（2）三角形两边之和不一定大于第三边；（3）等边三角形一定是等腰三角形；（4）有两边相等的三角形一定是等腰三角形．其中说法正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9．如图，为测量池塘边上两点A 、B 之间的距离，小明在池塘的一侧选取一点O ，测得OA 、OB 的中点分别是点D 、E ，且DE=14米，那么A 、B 间的距离是（ ）A ．18米B ．24米C ．30米D ．28米10．上午9时，一艘船从A 处出发以每小时20海里的速度向正北方向航行，11时到达B 处，若在A 处测得灯塔C 在北偏西34°，且∠ACB=∠BAC ，则在B 处测得灯塔C 应为（ ）A ．北偏西68°B ．南偏西85°C ．北偏西85°D ．南偏西68° 二．填空题（共2小题）11．下列说法正确的是 ． ①等边三角形是等腰三角形． ②三角形的两边之差大于第三边．③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形． ④三角形按角分类应分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形． 12．下列说法：①三角形三条中线的交点叫做三角形的重心；②三角形按边分类可分为三边都不相等的三角形、等腰三角形和等边三角形； ③各边都相等的多边形是正多边形； ④周长相等的两个三角形全等；⑤两条直角边分别相等的两个直角三角形全等． 其中正确的有 ．（填序号） 三．解答题（共14小题）13．小明和小红在一本数学资料书上看到有这样一道竞赛题：“已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且|b+c ﹣2a|+（b+c ﹣5）2=0，求b 的取值范围”．（1）小明说：“b 的取值范围，我看不出如何求，但我能求出a 的长度．”你知道小明是如何计算的吗？你帮他写出求解的过程．（2）小红说：“我也看不出如何求b 的范围，但我能用含b 的代数式表示c”．同学，你能吗？若能，帮小红写出过程． （3）小明和小红一起去问数学老师，老师说：“根据你们二人的求解，利用书上三角形的三边满足的关系，即可求出答案．”你知道答案吗？请写出过程．14．如图，在△ABC 中，∠A 是钝角，完成下列作图题．（1）作△ABC 的高线CD 、中线AE ，EA 与CD 的延长线交于点F ； （2）连接BF ，请写出以DF 为高的三角形．15．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠ADC ，∠ABC=∠BCD ，∠BAD 的角平分线AE 与∠ABC 的角平分线BF 交于点G ，（1）AD 与BC 有什么关系，为什么？ （2）∠AGB 的度数是多少？16．如图，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为BC ，AD ，CE 的中点，且S △ABC =4cm 2，则阴影部分的面积是多少？17.如图，从A 处观测C 处仰角∠CAD=30°，从B 处观测C 处的仰角∠CBD=45°，从C 外观测A 、B 两处时视角∠ACB 的大小是多少？北偏西36°，航行到B 处时，又测得灯塔C 在北偏西72°，求从B 到灯塔C 的距离．19．如图，上午10时，一艘船从A 出发以20海里/时的速度向正北方向航行，11时45分到达B 处，从A 处测得灯塔C 在北偏西26°方向，从B 处测得灯塔C 在北偏西52°方向，求B 处到达塔C 的距离．20．如图，△ABC 的内角度数∠A ：∠B ：∠C=5：10：3，AD 是∠BAC 的角平分线，求∠ADC的度数．21．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=40°，AD 是∠BAC 的角平分线，求∠ADC 的度数．22．如图所示，将△ABC 沿EF 折叠，使点C 落到点C′处，试探求∠1，∠2与∠C 的数量关系．23．如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的角平分线，且CE 交BA 的延长线于点E ，求证：∠BAC=∠B+2∠E ．24．如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，且CE 交BA 的延长线于点E ，∠B=40°，∠E=30°，求∠BAC 的度数．25．如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，且CE 交BA 的延长线于点E ，若∠B=30°，∠BAC=80°，求∠E 的度数．26．如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，且CE 交BA 的延长线于点E ，判断∠BAC ，∠B ，∠E 之间的关系，并说明理由．一．选择题（共10小题）1．下列说法正确的有（）（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形的两边之差大于第三边；（3）三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（4）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：（1）等边三角形是一特殊的等腰三角形，正确；（2）根据三角形的三边关系知，三角形的两边之差小于第三边，错误；（3）三角形按边分类可以分为不等边三角形和等腰三角形，错误；（4）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，正确．综上所述，正确的结论有2个．故选：B．2．下列结论中正确的是（）A．三角形的一个外角大于这个三角形的任何一个内角B．三角形按边分类可以分为：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形C．三角形的三个内角中，最多有一个钝角D．若三条线段a、b、c，满足a+b＞c，则此三条线段一定能组成三角形【解答】解：A、三角形的一个外角大于这个三角形的和它不相邻的一个内角，故选项错误；B、三角形按边分类可以分为：不等边三角形、等腰三角形，故选项错误；C、三角形的三个内角中，最多有一个钝角是正确的；D、如a=8、2、1，满足a+b＞c，但是能组成三角形，故选项错误．故选C．3．下列说法正确的有（）①等腰三角形是等边三角形；②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；③等腰三角形至少有两边相等；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．A．①② B．①③④C．③④ D．①②④【解答】解：①∵有两个边相等的三角形叫等腰三角形，三条边都相等的三角形叫等边三角形，∴等腰三角形不一定是等边三角形，∴①错误；②∵三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形，∴②错误；③∵两边相等的三角形称为等腰三角形，∴③正确；④∵三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，∴④正确．故选C．4．下面说法正确的是个数有（）①如果三角形四个内角的比是1：2：3，那么这个三角形是直角三角形②三角形的三条中线的交点叫三角形的中心③如果三条线段的比1：2：3则这三条线段可构成三角形④在△ABC中，若∠A﹣2∠B+∠C=0°，那么∠B=30°⑤若三角形的一个内角于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形；⑥三角形按边分类可分为等腰三角形和等边三角形．⑦各边相等或各角相等的多边形一定是正多边形⑧正多边形一定是凸多边形⑨一个正多边形的各条对角线一定相等⑩若一个多边形用剪刀剪掉一个角后，所得的新多边形内角和为1080°则原多边形一定是8边形．A．6个B．5个C．4个D．3个【解答】解：如果三角形三个内角的比是1：2：3，则三个角分别为30°、60°、90°，这个三角形是直角三角形，所以①正确；三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，所以②错误；如果三条线段的比1：2：3，这三条线段不能构成三角形，所以③错误；在△ABC中，若∠A﹣2∠B+∠C=0°，而∠A+∠B+∠C=180°，则3∠B=180°，得到∠B=60°，所以④错误；若三角形的一个内角等于另两个内角之差，即一个角等于另外两个角之和，则这个三角形是直角三角形，所以⑤正确；三角形按边分类可分为等腰三角形和不等边三角形，所以⑥错误；各边相等且各角相等的多边形一定是正多边形，所以⑦错误；正多边形一定是凸多边形，所以⑧正确；一个正多边形的各条对角线不一定相等，所以⑨错误；若一个多边形用剪刀剪掉一个角后，所得的新多边形内角和为1080°则原多边形可能为7或8或9边形，所以⑩错误．故选D．5．下列说法正确的是（）A．按角分类，三角形可以分为钝角三角形、锐角三角形和等腰直角三角形B．按边分类，三角形可分为等腰三角形、不等边三角形和等边三角形C．三角形的外角大于任何一个内角D．一个三角形中至少有一个内角不大于60°【解答】解：A、按角分类，三角形可以分为钝角三角形、锐角三角形和直角三角形，所以A错误；B、按边分类，三角形可分为等腰三角形、不等边三角形，所以B错误；C、三角形的外角大于任何一个与它不相邻内角，所以C错误；D、因为三角形的内角和等于180°，所以一个三角形中至少有一个内角不大于60°，所以D正确．故选D6．三角形按角分类可以分为（）A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形C．直角三角形、等边直角三角形D．以上答案都不正确【解答】解：三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，故选：A．7．下列说法正确的是（）A．三角形分为等边三角形和三边不相等的三角形B．等边三角形不是等腰三角形C．等腰三角形是等边三角形D．三角形分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形【解答】解：A．三角形分为等腰三角形和三边不相等的三角形，故本选项错误，B．等边三角形是等腰三角形，故本选项错误，C．等腰三角形不一定是等边三角形，故本选项错误，D．三角形分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，故本选项正确，故选：D．8．下列说法：（1）三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；（2）三角形两边之和不一定大于第三边；（3）等边三角形一定是等腰三角形；（4）有两边相等的三角形一定是等腰三角形．其中说法正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：（1）三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形，故命题错误；（2）三角形两边之和一定大于第三边，故命题错误；（3）正确；（4）正确．故选B．9．如图，为测量池塘边上两点A、B之间的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE=14米，那么A、B间的距离是（）A．18米B．24米C．30米D．28米【解答】解：∵D、E分别是OA、OB的中点，∴DE是△ABO的中位线，根据三角形的中位线定理，得：AB=2DE=28米．故选：D ．10．上午9时，一艘船从A 处出发以每小时20海里的速度向正北方向航行，11时到达B 处，若在A 处测得灯塔C 在北偏西34°，且∠ACB=∠BAC ，则在B 处测得灯塔C 应为（ ） A ．北偏西68° B ．南偏西85° C．北偏西85°D ．南偏西68°【解答】解：如图所示：根据题意可知：∠A=34°， ∵∠ACB=∠BAC ，∴∠ACB=由三角形的外角的性质可知：∠1=∠ACB+∠BAC=34°+51°=85°． 故选：C ．二．填空题（共2小题）11．下列说法正确的是 ①④ ． ①等边三角形是等腰三角形． ②三角形的两边之差大于第三边．③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形． ④三角形按角分类应分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．【解答】解：等边三角形是等腰三角形，所以①正确； 三角形的任意两边之差小于第三边，所以②错误；三角形按边分类可分为等腰三角形、不等边三角形，所以③错误；三角形按角分类应分锐角三角形、直角三角形、钝角三角，所以④正确． 故答案为①④． 12．下列说法：①三角形三条中线的交点叫做三角形的重心；②三角形按边分类可分为三边都不相等的三角形、等腰三角形和等边三角形； ③各边都相等的多边形是正多边形； ④周长相等的两个三角形全等；⑤两条直角边分别相等的两个直角三角形全等． 其中正确的有 ①⑤ ．（填序号）【解答】解：①三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，正确； ②三角形按边分类可分为三边都不相等的三角形、等腰三角形，错误； ③各边都相等、各角都相等的多边形是正多边形，错误； ④周长相等的两个三角形不一定全等，错误；⑤两条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确； 故答案为：①⑤三．解答题（共14小题）13．小明和小红在一本数学资料书上看到有这样一道竞赛题：“已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且|b+c ﹣2a|+（b+c ﹣5）2=0，求b 的取值范围”．（1）小明说：“b 的取值范围，我看不出如何求，但我能求出a 的长度．”你知道小明是如何计算的吗？你帮他写出求解的过程．（2）小红说：“我也看不出如何求b 的范围，但我能用含b 的代数式表示c”．同学，你能吗？若能，帮小红写出过程． （3）小明和小红一起去问数学老师，老师说：“根据你们二人的求解，利用书上三角形的三边满足的关系，即可求出答案．”你知道答案吗？请写出过程．【解答】解：（1）∵|b+c ﹣2a|+（b+c ﹣5）2=0， ∴b+c ﹣2a=0且b+c ﹣5=0， ∴2a=5，解得a=；（2）由b+c ﹣5=0，得c=5﹣b ； （3）由三角形的三边关系，得 当5﹣b ≥，即b ≤时，则，解得＜b ≤；当5﹣b ＜时，即b ＞，则，解得＜b ＜，∴b 的取值范围为＜b ＜．14．如图，在△ABC 中，∠A 是钝角，完成下列作图题．（1）作△ABC 的高线CD 、中线AE ，EA 与CD 的延长线交于点F ； （2）连接BF ，请写出以DF 为高的三角形．【解答】解：（1）如图所示：（2）如图，连接BF ，以DF 为高的三角形有△ADF ，△BDF ，△BAF ．15．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠ADC ，∠ABC=∠BCD ，∠BAD 的角平分线AE 与∠ABC 的角平分线BF 交于点G ，（1）AD 与BC 有什么关系，为什么？ （2）∠AGB 的度数是多少？【解答】解：（1）AD ∥BC ，理由是：∵在四边形ABCD 中，∠BAD=∠ADC ，∠ABC=∠BCD ，∠BAD+∠ADC+∠ABC+∠BCD=360°， ∴2∠BAD+2∠ABC=360°，∴∠BAD+∠ABC=180°，∴AD∥BC；（2）∵∠BAD的角平分线AE与∠ABC的角平分线BF交于G，∴∠BAG=∠BAD，∠ABG=ABC，∵∠BAD+∠ABC=180°，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠AGB=180°﹣（∠BAG+∠ABG）=90°．16．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4cm2，则阴影部分的面积是多少？【解答】解：∵点D为BC的中点，∴S△ABD=S△ADC=S△ABC=2，∵点E为AD的中点，∴S△EBD=S△EDC=S△ABD=1，∴S△EBC=S△EBD+S△EDC=2，∵点F为EC的中点，∴S△BEF=S△BEC=1，即阴影部分的面积为1cm2．18.如图，从A处观测C处仰角∠CAD=30°，从B处观测C处的仰角∠CBD=45°，从C外观测A、B两处时视角∠ACB的大小是多少？【解答】方法1：∵∠CBD是△ABC的外角，∴∠CBD=∠CAD+∠ACB，∴∠ACB=∠CBD-∠ACB=45°-30°=15°．方法2：由邻补角的定义可得∠CBA=180°-∠CBD=180°-45°=135°．∵∠CAD=30°，∠CBA=135°，∴∠ACB=180°-∠CAD-∠CBA=180°-30°-135°=180°-165°=15°．18．上午8时，一艘轮船从A处出发以每小时20海里的速度向正北航行，10时到达B处，则轮船在A处测得灯塔C在北偏西36°，航行到B处时，又测得灯塔C在北偏西72°，求从B到灯塔C的距离．【解答】解：由题意得：AB=（10﹣8）×20=40海里，∵∠C=72°﹣∠A=36°=∠A，∴BC=AB=40海里．答：从B到灯塔C的距离为40海里．19．如图，上午10时，一艘船从A出发以20海里/时的速度向正北方向航行，11时45分到达B处，从A处测得灯塔C在北偏西26°方向，从B处测得灯塔C在北偏西52°方向，求B处到达塔C的距离．【解答】解：据题意得，∠A=26°，∠DBC=52°，∵∠DBC=∠A+∠C，∴∠A=∠C=26°，∴AB=BC，∵AB=20×=35，∴BC=35（海里）．∴B处到达塔C的距离是35海里．20．如图，△ABC的内角度数∠A：∠B：∠C=5：10：3，AD是∠BAC的角平分线，求∠ADC的度数．【解答】解：∵△ABC的内角度数∠A：∠B：∠C=5：10：3，∴设∠A=5x，∠B=10x，∠C=3x，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴5x+10x+3x=180°，解得：x=10°，∴∠BAC=5x=50°，∠B=10x=100°，∠C=3x=30°，∵AD是∠BAC的角平分线，∴=25°，∵∠DAC+∠C+∠ADC=180°，∴∠ADC=180°﹣∠DAC﹣∠C=125°．21．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，AD是∠BAC的角平分线，求∠ADC的度数．【解答】解：∵∠C=90°，∠B=40°，∴∠BAC=50°，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠BAC=25°，∴∠ADC=∠B+∠BAD=40°+25°=65°．22．如图所示，将△ABC沿EF折叠，使点C落到点C′处，试探求∠1，∠2与∠C的数量关系．【解答】解：∵∠1=180°﹣2∠CEF，∠2=180°﹣2∠CFE，（4分）∴∠1+∠2=360°﹣2（∠CEF+∠CFE）（6分）=360°﹣2（180°﹣∠C）=360°﹣360°+2∠C=2∠C．（9分）【一图多变】23．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的角平分线，且CE交BA的延长线于点E，求证：∠BAC=∠B+2∠E．【解答】证明：在△BCE中，∠1=∠B+∠E，∵CE是△ABC的外角∠ACD的角平分线，∴∠1=∠2，在△ACE中，∠BAC=∠E+∠2=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E，即：∠BAC=∠B+2∠E．24．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，∠B=40°，∠E=30°，求∠BAC的度数．【解答】解：∵∠B=40°，∠E=30°，∴∠ECD=∠B+∠E=70°，∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∴∠ACD=2∠ECD=140°，∴∠BAC=∠ACD﹣∠B=140°﹣40°=100°．25．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，若∠B=30°，∠BAC=80°，求∠E的度数．【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD=∠B+∠BAC=30°+80°=110°，∵CE是∠ACD的平分线，∴∠ECD=∠ACD=×110°=55°，∵∠ECD是△EBC的外角，∴∠ECD=∠B+∠E，∴∠E=∠ECD﹣∠B=55°﹣30°=25°．答：∠E的度数是25°．26．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，判断∠BAC，∠B，∠E之间的关系，并说明理由．【解答】解：∠BAC=∠B+2∠E．理由：在△BCE中，∠DCE=∠B+∠E，因为CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，所以∠DCE=∠ACE．在△ACE中，∠BAC=∠E+∠ACE=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E，即∠BAC=∠B+2∠E．。

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解析几何题库一、选择题1.已知圆C 与直线x －y =0 及x －y －4=0都相切，圆心在直线x +y =0上，则圆C 的方程为 A.22(1)(1)2x y ++-= B. 22(1)(1)2x y -++= C.22(1)(1)2x y -+-= D. 22(1)(1)2x y +++=【解析】圆心在x ＋y ＝0上,排除C 、D,再结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可. 【答案】B 2.直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（ ）A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离【解析】圆心(0,0)为到直线1y x =+，即10x y -+=的距离2d ==，而012<<，选B 。

【答案】B 3.圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）A ．22(2)1xy +-=B ．22(2)1xy ++=C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．22(3)1xy +-=解法1（直接法）：设圆心坐标为(0,)b1=，解得2b =，故圆的方程为22(2)1x y +-=。

解法2（数形结合法）：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为22(2)1x y +-=解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B ，D ，又由于圆心在y 轴上，排除C 。

【答案】A4.点P （4，－2）与圆224x y +=上任一点连续的中点轨迹方程是（ ）A.22(2)(1)1x y -++= B.22(2)(1)4x y -++=C.22(4)(2)4x y ++-=D.22(2)(1)1x y ++-=【解析】设圆上任一点为Q （s ，t ），PQ 的中点为A （x ，y ），解得：⎩⎨⎧+=-=2242y t x s ，代入圆方程，得（2x －4）2＋（2y＋2）2＝4，整理，得：22(2)(1)1x y -++=【答案】A 5.已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l kx k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 得值是（ ）A. 1或3B.1或5C.3或5D.1或2【解析】当k ＝3时，两直线平行，当k ≠3k －3，解得：k ＝5，故选C 。

2014高考一轮复习空间几何专题一-理

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第八章 单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)1．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题： ①若α∥β，m ⊂α，则m ∥β；②若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n ；③若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β；④若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β.其中为真命题的是( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④答案 C解析 ①为空间面面平行的性质，是真命题；②m ，n 可能异面，故该命题为假命题；③直线m 与平面β也可以平行也可以相交不垂直．故该命题是一个假命题；④为真命题．故选C.2．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( )A.8π3 B.82π C ．2π D.32π3 答案 B解析 S 圆＝πr 2＝1⇒r ＝1，而截面圆圆心与球心的距离d ＝1，∴球的半径为R ＝r 2＋d 2＝2，∴V ＝43πR 3＝82π3，故选B.3．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A.163πB.193πC.1912πD.43π答案 B解析 设球半径是R ，依题意知，该三棱柱是一个底面边长为2、侧棱长为1的正三棱柱，记上、下底面的中心分别是O 1、O ，易知球心是线段O 1O 的中点，于是R 2＝(12)2＋(32×223)21912，因此所求球的表面积是4πR 2＝4π×1912＝19π3，选B.4．如右图所示，是一个正方体的表面展开图，A 、B 、C 均为棱的中点，D 是顶点，则在正方体中，异面直线AB 和CD 的夹角的余弦值为( )A.25B.35C.10D.5答案 C 解析把展开图复原为正方体后示意图如右图所示，∠EGF 为AB 和CD 所成的角，F 为正方体一棱的中点．∴EF ＝GF ＝52，EG ＝ 2. ∴cos ∠EGF ＝105.5．图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm 3的几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为( )A ．25π cm 2 B.77π2 cm 2 C ．77π cm 2 D ．144π cm 2答案 C解析 由三视图画出此空间几何体的直观图如图所示．由题意得 V ＝13×12×h ×5×6＝20⇒h ＝4. 从而易知，其外接球的半径为 r ＝1242＋52＋62＝772.从而外接球的表面积为S ＝4πr 2＝4π(772)2＝77π.选C. 6.如右图所示，正四棱锥P －ABCD 的底面积为3，体积为2，E 为侧棱PC 的中点，则P A 与BE 所成的角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案 C解析 连接AC 、BD 交于点O ，连接OE ，易得OE ∥P A . ∴所求角为∠BEO .由所给条件易得OB ＝6，OE ＝12P A ＝2，BE ＝2， ∴cos ∠OEB ＝12，∴∠OEB ＝60°，选C.7．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的直观图及三视图如下图所示，D 为AC 的中点，则下列命题是假命题的是( )A ．AB 1∥平面BDC 1 B ．A 1C ⊥平面BDC 1 C ．直三棱柱的体积V ＝4D ．直三棱柱的外接球的表面积为43π 答案 D 解析由三视图可知，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面B 1C 1CB 是边长为2的正方形，底面ABC 是等腰直角三角形，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2.连接B 1C 交BC 1于点O ，连接AB 1，OD .在△CAB 1中，O ，D 分别是B 1C ，AC 的中点，∴OD ∥AB 1，∴AB 1∥平面BDC 1.故A 正确．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ， ∴AA 1⊥BD .又AB ＝BC ＝2，D 为AC 的中点， ∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面AA 1C 1C ， ∴BD ⊥A 1C .又A 1B 1⊥B 1C 1，A 1B 1⊥B 1B ， ∴A 1B 1⊥平面B 1C 1CB ，∴A 1B 1⊥B 1C .∵BC 1⊥B 1C ，且BC 1∩B 1C ＝0，∴BC 1⊥平面A 1B 1C . ∴BC 1⊥A 1C ，∴A 1C ⊥平面BDC 1.故B 正确．V ＝S △ABC ×C 1C ＝12×2×2×2＝4，∴C 正确． 此直三棱柱的外接3，其表面积为12π，D 错误，故选D. 8．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是( )A ．22πR 2 B.94πR 2 C.83πR 2 D.52πR 2答案 B 解析如图所示，为组合体的轴截面，由相似三角形的比例关系，得PO 13R ＝xR ，PO 1＝3x ，圆柱的高为 3R －3x ，所以圆柱的全面积为 S ＝2πx 2＋2πx (3R －3x ) ＝－4πx 2＋6πRx ，则当x ＝34R 时，S 取最大值， S max ＝94πR 2. 9.(2011·广东文)如图，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为( )A ．43B ．4C ． 3D ．2答案 C 解析由题意知该几何体为如图所示的四棱锥，底面为菱形，且AC ＝23，BD ＝2，高OP ＝3，其体积V ＝13×(12×23×2)×3＝2 3.10．半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为()A.5π 6B.6π 2C．π 2 D．5π12答案 B解析方法一作过正方体对角面的截面，如图，设半球的半径为R，正方体的棱长为a，那么CC′＝a，OC＝22a.在Rt△C′CO中，由勾股定理得CC′2＋OC2＝OC′2，即a2＋(2a)2＝R2，∴R＝6a，∴V半球＝23＝23π(62a)3＝62πa3，V正方体＝a3.3πR因此V半球V正方体＝63a3＝6π 2.2πa方法二将半球补成整个球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体刚好是球的内接长方体，那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径，设原正方体棱长为a，球的半径是R，则根据长方体的对角线性质，得(2R)2＝a2＋a2＋(2a)2，即4R2＝6a2，∴R＝6a.从而V半球＝23＝23π(62a)3＝62πa3，3πRV正方体＝a3.因此V半球V正方体＝6πa3a3＝6π 2.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)11．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m ⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β.其中真命题的序号是________．答案②③解析若α⊥β，m∥α，则m与β可能相交、平行或m在平面β内，故①错；m∥α，n∥β，m∥n，则α与β可能平行，可能相交，故④错．12．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是________．答案73π解析上底半径r＝1，下底半径R＝2.∵S侧＝6π，设母线长为l，则π(1＋2)·l＝6π，∴l＝2，∴高h＝l2－(R－r)2＝3，∴V＝13π·3(1＋1×2＋2×2)＝73 3π.13．(2011·天津文)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.答案 4解析 由三视图可知，此几何体的上面是正四棱柱，其长，宽，高分别是2,1,1，此几何体的下面是长方体，其长，宽，高分别是2,1,1，因此该几何体的体积V ＝2×1×1＋2×1×1＝4(m 3)．14．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，则三棱锥P －ABC 的主视图与左视图的面积的比值为________．答案 1解析 依题意得三棱锥P －ABC 的主视图与左视图分别是一个三角形，且这两个三角形的底边长都等于正方体的棱长，底边上的高也都相等，因此三棱锥P －ABC 的主视图与左视图的面积之比等于1.15．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上．若AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝120°，则此球的表面积等于______．答案 20π解析 设球心为O ，球半径为R ，△ABC 的外心是M ，则O 在底面ABC 上的射影是点M ，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，∠ABC ＝12(180°－120°)＝30°，AM ＝AC2sin30°＝2.因此，R 2＝22＋(AA 12)2＝5，此球的表面积等于4πR 2＝20π. 16.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E、F、分别为P A、PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面P AD.其中正确的有______个．答案 2解析将几何体展开图拼成几何体(如图)，因为E、F分别为P A、PD的中点，所以EF∥AD∥BC，即直线BE与CF共面，①错；因为B∉平面P AD，E∈平面P AD，E∉AF，所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF∥AD∥BC，EF ⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；平面P AD与平面BCE 不一定垂直，④错．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)下图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD ⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝AD＝2EC＝2.(1)请画出该几何体的三视图；(2)求四棱锥B－CEPD的体积．解析(1)该组合体的三视图如下图所示．(2)因为PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PDCE ， 所以平面PDCE ⊥平面ABCD . 因为四边形ABCD 为正方形， 所以BC ⊥CD ，且BC ＝DC ＝AD ＝2.又因为平面PDCE ∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面PDCE .因为PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥DC .又因为EC ∥PD ，PD ＝2，EC ＝1，所以四边形PDCE 为一个直角梯形，其面积S 梯形PDCE ＝12(PD ＋EC )×DC ＝12×3×2＝3.所以四棱锥B －CEPD 的体积V B －CEPD ＝13S 梯形PDCE ×BC ＝13×3×2＝2.18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，M 为PD 的中点．(1)证明PB ∥平面ACM ； (2)证明AD ⊥平面P AC ；(3)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．解析 (1)连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO .因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，所以PB ∥平面ACM.(2)因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1，所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC .又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥AD .而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面P AC . (3)取DO 中点N ，连接MN ，AN .因为M 为PD 的中点，所以MN ∥PO ，且MN 12PO ＝1.由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角．在Rt △DAO 中，AD ＝1，AO ＝12，所以DO ＝52.从而AN ＝12DO ＝54.在Rt △ANM 中，tan ∠MAN ＝MN AN ＝154＝455，即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为455.19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，AB ＝4，P A ＝3，A 点在PD 上的射影为G 点，E 点在AB 上，平面PEC ⊥平面PCD .(1)求证：AG ∥平面PEC ； (2)求AE 的长．解析 (1)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥CD . 又∵CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面P AD .∴CD ⊥AG . 又PD ⊥AG ，∴AG ⊥平面PCD . 作EF ⊥PC 于点F ，连接GF ， ∵平面PEC ⊥平面PCD ， ∴EF ⊥平面PCD .∴EF ∥AG . 又AG ⊄平面PEC ，EF ⊂平面PEC ， ∴AG ∥平面PEC .(2)解：由(1)知A 、E 、F 、G 四点共面， 又AE ∥CD ，AE ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， ∴AE ∥平面PCD .又∵平面AEFG ∩平面PCD ＝GF ，∴AE ∥GF . 又由(1)知EF ∥AG ，∴四边形AEFG 为平行四边形，∴AE ＝GF . ∵P A ＝3，AD ＝4，∴PD ＝5，AG ＝125. 又P A 2＝PG ·PD ，∴PG ＝95.GP CD ＝PGPD ，∴GF ＝95×45＝3625，∴AE ＝3625.20．(本小题满分12分)如图，在六面体ABCDEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，AD ⊥平面DEFG ，ED ⊥DG ，EF ∥DG .且AB ＝AD ＝DE ＝DG ＝2，AC ＝EF ＝1.求证：BF∥平面ACGD.解析设DG的中点为M，连接AM，FM.则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形．∴MF∥DE，且MF＝DE.∵平面ABC∥平面DEFG，∴AB∥DE.∵AB＝DE.∴MF∥AB，且MF＝AB，∴四边形ABFM是平行四边形，∴BF∥AM.又BF⊄平面ACGD，AM⊂平面ACGD，故BF∥平面ACGD.21．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC＝BC＝BB1＝2，D为AB的中点，且CD⊥DA1.(1)求证：BB1⊥面ABC；(2)求多面体DBC－A1B1C1的体积．解析(1)证明：∵AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB.又CD⊥DA1，AB∩A1D＝D，∴CD⊥面AA1B1B.∴CD⊥BB1.又BB1⊥AB，AB∩CD＝D，∴BB1⊥面ABC.(2)解：V多面体DBC－A1B1C1＝V棱柱ABC－A1B1C1－V棱锥A1－ADC＝S △ABC ·|AA 1|－13S △ADC ·|AA 1|＝S △ABC ·|AA 1|－13×12S △ABC ·|AA 1|＝56S △ABC ·|AA 1|＝103.22．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°， 2AC ＝AA ＝BC ＝2.若D 为AA 1的中点，求证：平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D . 解析 证明：∵∠A 1C 1B 1＝∠ACB ＝90°， ∴B 1C 1⊥A 1C 1.又由直三棱柱的性质知B 1C 1⊥CC 1， ∴B 1C 1⊥平面ACC 1A 1.∴B 1C 1⊥CD ，① 由D 为AA 1的中点，可知DC ＝DC 1＝2，∴DC 2＋DC 21＝CC 21，即CD ⊥DC 1，②由①②可知CD ⊥平面B 1C 1D ，又CD ⊂平面B 1CD ，故平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D .1．已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆)，根据图中标出的数据，这个几何体的体积是( )A ．288＋36πB ．60πC ．288＋72πD ．288＋18π答案A解析 将几何体的三视图转化为直观图此几何体下面为长方体上面为半圆柱，根据三视图所标数据 V 长方体＝6×8×6＝288， V 半圆柱＝12×32×π×8＝36π， ∴此几何体的体积为V ＝288＋36π.2．设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题错误的是( )A ．若a ⊥α，b ∥α，则a ⊥bB ．若a ⊥α，b ∥a ，b ⊂β，则α⊥βC ．若a ⊥α，b ⊥β，α∥β，则a ∥bD ．若a ∥α，a ∥β，则α∥β 答案 D解析 由题意可得A 、B 、C 选项显然正确，对于选项D ：当α，β相交，且a 与α，β的交线平行时，有a ∥α，α∥β，但此时α与β不平行．故选D.3．半径为4的球面上有A ，B ，C ，D 四点，且满足AB→·AC →＝0，AD →·AC →＝0，AB →·AD →＝0，则△ABC ，△ACD ，△ADB 面积之和S △ABC ＋S △ACD ＋S △ADB 的最大值为( )A ．8B ．16C ．32D ．64答案 C解析 设AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ， 则S △ABC ＋S △ACD ＋S △ADB ＝12(ab ＋ac ＋bc )12(a 2＋b 22＋a 2＋c 22＋b 2＋c 22)12(a 2＋b 2＋c 2)12×4R 2＝12×4×42＝32， 当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”．4．设a 、b 、c 表示三条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中逆命题不成立的是( )A ．当c ⊥α时，若α∥β时，则c ⊥βB ．当b ⊂β，c 是a 在β内的射影时，若b ⊥c ，则a ⊥bC ．当b ⊂β时，若b ⊥α，则β⊥αD ．当b ⊂α，c ⊄α时，若c ∥α，则b ∥c 答案 C解析 A ．其逆命题为当c ⊥α时，若c ⊥β，则α∥β，显然垂直于同一直线的两平面平行，逆命题正确；B ．其逆命题为当b ⊂β时，c 是a 在β内的射影，若a ⊥b ，则b ⊥c ，此为三垂线定理内容，逆命题正确；C．其逆命题为当b⊂β时，若β⊥α，则b⊥a，显然两平面垂直，其中一平面内任一直线不一定垂直另一平面，逆命题错误；D．其逆命题为当b⊂α，c⊄α时，若b∥c，则c∥α，此为线面平行的判断定理，逆命题正确．5．图2中的实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展形图内的概率14，则此长方体的体积是________．答案 3解析设长方体的高为h，则图2中虚线围成的矩形长为2＋2h，宽为1＋2h，面积为(2＋2h)(1＋2h)，展开图的面积为2＋4h；由几何概型的概率公式知2＋4h(2＋2h)(1＋2h)＝14，得h＝3，所以长方体的体积是V＝1×3＝3.6．(2010·江苏)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC ＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.(1)求证：PC⊥BC；(2)求点A到平面PBC的距离．解析(1)证明因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.由∠BCD＝90°，得BC⊥DC.又PD ∩DC ＝D ， 所以BC ⊥平面PCD .因为PC ⊂平面PCD ，故PC ⊥BC . (2)方法一 分别取AB ，PC 的中点E ，F ，连接DE ，DF . 易证DE ∥BC ，DF ⊥PC ，则DE ∥面PBC . ∴点D ，E 到面PBC 的距离相等．∴点A 到面PBC 的距离为点D 到面PBC 的距离的2倍． 由(1)知BC ⊥面PCD ，∴面PBC ⊥面PCD . 又DF ⊥PC ，∴DF ⊥面PBC . ∵PD ＝DC ＝1，∴DF ＝2. ∴点A 到面PBC 的距离为 2. 方法二连接AC ，设点A 到面PBC 的距离为h . ∵AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＝90°. 由AB ＝2，BC ＋1，得S △ABC ＝12AB ×BC ＝12×2×1＝1. ∵V P －ABC ＝13S △ABC ·PD ＝13×1×1＝13.又V P－ABC＝V P－ABC，∴13S△PBC·h＝13，即13×12×1×2h＝13，解得h＝ 2.∴点A到面PBC的距离为 2.7．(2011·北京理)如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD 是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面P AC；(2)若P A＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求P A的长．解析(1)因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.又因为P A⊥平面ABCD，所以P A⊥BD，又AC∩P A＝A，所以BD⊥平面P AC.(2)设AC∩BD＝O.因为∠BAD＝60°，P A＝AB＝2，所以BO＝1，AO＝CO＝ 3.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O－xyz，则P(0，－3，2)，A(0，－3，0)，B(1,0,0，)C(0，3，0)，所以PB→＝(1，3，－2)，AC→＝(0,23，0)．设PB 与AC 所成角为θ，则cos θ＝PB →·AC →|PB→||AC →|＝622×23＝6. (3)由(2)知BC→＝(－1，3，0)． 设P (0，－3，t )(t >0)，则BP→＝(－1，－3，t )， 设平面PBC 的一个法向量m ＝(x ，y ，z )，则BC→·m ＝0，BP →·m ＝0， 所以îïíïì－x ＋3y ＝0，－x －3y ＋tz ＝0.令y ＝3，则x ＝3，z ＝6t .所以m ＝(3，3，6t )． 同理，平面PDC 的一个法向量n ＝(－3，3，6t )．因为平面PBC ⊥平面PDC ，所以m ·n ＝0，即－6＋36t 2＝0.解得t ＝6，所以P A ＝ 6.8．如图，AC 是圆O 的直径，点B 在圆O 上，∠BAC ＝30°，BM ⊥AC 交AC 于点M ，EA ⊥平面ABC ，FC ∥EA ，AC ＝4，EA ＝3，FC ＝1.(1)证明：EM⊥BF；(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．解析方法一(1)证明：∵EA⊥平面ABC，BM⊂平面ABC，∴EA⊥BM.又∵BM⊥AC，EA∩AC＝A，∴BM⊥平面ACFE.而EM⊂平面ACFE.∴BM⊥EM.∵AC是圆O的直径，∴∠ABC＝90°.又∵∠BAC＝30°，AC＝4，∴AB＝23，BC＝2，AM＝3，CM＝1.∵EA⊥平面ABC，FC∥EA，∴FC⊥平面ABC.又FC＝CM＝1，AM＝EA＝3，∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形．∴∠EMA＝∠FMC＝45°.∴∠EMF＝90°，即EM⊥MF.∵MF∩BM＝M，∴EM⊥平面MBF.而BF⊂平面MBF，∴EM⊥BF.(2)解：延长EF交AC的延长线于G，连接BG，过点C作CH⊥BG，连接FH.由(1)知FC ⊥平面ABC ，BG ⊂平面ABC ，∴FC ⊥BG .而FC ∩CH ＝C ，∴BG ⊥平面FCH .∵FH ⊂平面FCH ，∴FH ⊥BG .∴∠FHC 为平面BEF 与平面ABC 所成的二面角的平面角．在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝30°，AC ＝4，∴BM ＝AB ·sin30°＝ 3.FC EA ＝GC GA ＝13，得GC ＝2.∵BG ＝BM 2＋MG 2＝(3)2＋32＝23，又∵△GCH ∽△GBM ，∴GC BG ＝CH BM ，则CM ＝GC ·BM BG ＝2×323＝1. ∴△FCH 是等腰直角三角形，∠FHC ＝45°.∴平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值为2.方法二 (1)证明：因为AC 是圆O 的直径，所以∠ABC ＝90°，又∠BAC ＝30°，AC ＝4，所以AB ＝23，而BM ⊥AC ，易得AM ＝3，BM ＝ 3.如图，以A 为坐标原点，垂直于AC 的直线，AC 、AE 所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．由已知条件得A (0,0,0)，M (0,3,0)，E (0,0,3)，B (3，3,0)，F (0,4,1)， ∴ME→＝(0，－3,3)，BF →＝(－3，1,1)． 由ME→·BF →＝(0，－3,3)·(－3，1,1)＝0， 得ME→⊥BF →，∴EM ⊥BF . (2)解：由(1)知BE →＝(－3，－3,3)，BF→＝(－3，1,1)． 设平面BEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ·BE→＝0，n ·BF →＝0， 得îïíïì－3x －3y ＋3z ＝0，－3x ＋y ＋z ＝0.令x ＝3得y ＝1，z ＝2，∴n ＝(3，1,2)．由已知EA ⊥平面ABC ，所以平面ABC 的一个法向量为AE→＝(0,0,3)． 设平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角为θ，则cos θ＝|cos 〈n ，AE →〉|＝|3×0＋1×0＋2×3|3×22＝2.。

高中数学空间几何经典习题及解答

高中数学空间几何经典习题及解答

高中数学空间几何体一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（）A．B．C．D．2．如图所示是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC为（）A．1800 B．1200 C．600 D．4503．已知三棱锥S－ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB 上，SO⊥底面ABC，，则球的体积与三棱锥体积之比是（）A．B．C．D．4．如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1,那么这个几何体的体积为（）A．1 B．C．D．5．一平面截球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是（）A．B．C．D．6．半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为（）A．B．C．D．7．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等，设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1、h2、h3，则h1:h2:h3等于（）A．B．C．D．8．如图所示的一个5×4×4的长方体，阴影所示为穿透的三个洞，那么剩下的部分的体积是（）A．50 B．54 C．56 D．589.一个正三棱锥的四个顶是半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．B．C．D．10．如图用□表示1个正方体，用□（浅黑）表示两个正方体叠加，用□（深黑）表示三个立方体叠加，那么右图是由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是（）11.如图所示，水平地面上有一个大球，现作如下方法测量球的大小：用一个锐角为600的三角板，斜边紧靠球面，一条直角边紧靠地面，并使三角板与地面垂直，P为三角板与球的切点，如果测得PA＝5，则球的表面积为（）A．B．C．D．12.一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D、E、F；且知SD：DA＝SE：EB＝CF：FS＝2：1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________。

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多命题结论几何选择题（一）
一、例题讲解：
例1、如图1，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P 是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：①AE＝CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF＝S△ABC；④EF＝AP。

当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有( )
A ①②③④
B ①②③
C ②③④
D ①③④
例2、如图2，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB与E，连结OD、PC、BC，∠AOD=2∠ABC，∠P=∠D，过E作弦GF⊥BC 交圆于G、F两点，连结CF、BG。

则下列结论其中正确的是（） ①CD⊥AB； ②PC是⊙O的切线；
③OD∥GF ④弦CF的弦心距等于BG。

A．①②④ B．③④ C．①②③ D．①②③④
例3、如图3，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC为⊙O的直径，
弦BD⊥AC.下列结论：
①∠P+2∠D＝180°；②∠BOC＝∠BAD；
③∠DBO＝∠ABP；④∠ABP＝∠ABD
其中正确结论有（）个
（A）1；（B）2；（C）3；（D）4
二、课堂练习：
1、如图4，⊙O的弦AB⊥CD于H，D、E关于AB对称，BE延长线交⊙O 于F，连接FC，作OG⊥AB于G，则下列结论：①FC=CE；②AF=AD；
③OG=CF；④E点关于BC的对称点必在⊙O上，正确的是（）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
2、如图5，AB是⊙O的直径，弧AC=弧CE，弦AE交CD于F，交BC于M，下列结论：①AE=CD；②AF=CF；③AF=ME；④∠EAB=∠HDO。

其中正确的是（ ）
A.①②③
B.①②④
C.①②
D.③④
3、如图6，AB是圆O的直径，P位BA延长线上一点，PC切半圆于C，BE⊥PC的延长线于E，BE交圆于F,下列结论：①∠PCA=∠DCA ②弧AC=弧CF ③ CE=CD ④弧CF=弧BF,其中一定成立的个数为（ ）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
4、如图7，△ABC内接于圆，∠A＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC交圆于H，CE⊥AB交圆于F，AD、CF交于P点，下列结论正确的有（）
①PD＝DH；②BC＝AP；③PE＝FE；④CP＝OB。

A、①②③
B、②③④
C、①②④
D、①②③④
5、如图8,在⊙O中,直径AB垂直弦CD,E为BC弧上一点,下列结
论:①∠1=∠2;②∠3=2∠4;③∠3+∠5=180°.其中正确的是( ).（A）①③ （B）①② （C）①②③ （D）②③
6、如图9，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°,给出以下五个结论： ①∠EBC＝22.5° ②BD＝DC ③AE＝2EC ④劣弧AE是劣弧DE的2倍 ⑤AE＝BC 其中正确
结论的序号是（ ）
A、①②
B、①②④
C、②③
D、①③
7、如图10，等腰ΔＡＢＣ，ＡＢ＝ＡＣ，以ＡＢ为直径作为⊙O分别交
ＡＣ、ＢＣ于Ｄ、Ｅ两点，过Ｂ点的切线交ＯＥ的延长于点Ｆ，连结ＦＤ，则下列结论中①DE=BE
②FD是⊙O的切线 ③∠C=∠DFB ④FD=FB，其中正确的是（ ）
Ａ、①②③　Ｂ、①②④ Ｃ、①③④ Ｄ、②③④
8、如图11，在⊿ABC中，∠ABC＝90°，E、O是AB的三等分点，以O为圆心，BE为直径的圆过AC上一点D， DE∥CO。

下列结论：①AC为⊙O的切线； ②DE＝OB； ③设CO与⊙O交于F，则F为⊿BCD的内心；
④连结CE，则∠CEB＝45°.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②
三、课后作业：
1、如图12，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆O交BC于D，AC于E，
连结AD、
BE交于点M，过点D作DF⊥AC于F，DH⊥AB于H，交BE于G，下列结论：
①BD=CD；②DF
是⊙O的切线；③∠DAC=∠BDH；④成立的个数（ ）
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
2、 如图13，⊙O内接的外角的平分线与圆交于点，于，于，下列结论：①；②弧BD=弧CD；③； ④为⊙O的切线。

其中一定成立的是（ ）
（A）①②③④ （B）①③④ （C）②③④ （D）①③
3、 如图14，M是⊙O的半径OA的中点, OA=,MB⊥OA交⊙O于B,弦AC⊥OB于
N,交BM于D,连接DO并延长交⊙O于F,下列结论:
① ∠CFD=45º ② CD=2 ③ CF= ④ ∠C=75º 其中命题一定成立的是( )
A. ①②③④
B.①②④
C.①③④
D.②③④
4、如图15，A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点，点P是弧DE的中点，连结AD、BF、AC、BP，AC、BP交于H.下列结论中：①GF=GB；②AC=BF；
③；④.其中正确的命题有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
5、 如图16，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D， AC交⊙O于点E，∠BAC＝450。

给出以下四个结论：①∠EBC＝22.50，；②BD＝DC；
③BE=（+1）CE；④AE＝2DE.其中正确结论的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
6、如图17，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD∥AC，①∠BOD＝
∠BAC ； ②∠BOD＝∠COD ； ③∠BAD＝∠CAD ； ④∠C＝
∠D ；其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7、如图18，△ABC内接于⊙O，BA＝BC，AD⊥BC于D并延长交⊙O于G，OE 是BC的弦心距，连结BO并延长交AD于F，连OA，下列结论：①∠ABC＝
2∠CAF；②AF＝2OE；③DF＝DG；④AF＝CD．其中正确的结论是（ ）
A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．只有①④
8、如图19，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交弧BC于D。

下列结论①AC∥OD；②△OBD是等边三角形；③S△OBD=BC·OE；④若BC=8，
DE=2，则AB=10。

其中正确的结论有（ ）
（A）①② （B）①②④ （C）①③④ （D）②③④
9、 如图20，P为⊙O的直径DC延长线上一点，过P作⊙O的切线PA、PB，切点分别为A、B，连AB交PO于E，过D作DF⊥PA交PA的延长线于F，连EF、AC、BD. 则以下结论：①C为△PAB的内心； ②AC∥EF；
③AB=2AF；④BD为△PAB的外接圆切线，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10、如图21，等腰Rt△ABC中，AC＝BC，以AC为直径作⊙O交AB于D点，E 为CD上的一个动点，过E作AE的垂线交BC的延长线于点F，连接AE、BE、EF，下列结论：①AE＝BE；②BE＝EF；③∠EAC＝∠EFC；④∠AED＝AFB.其中正确的个数是（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11、 如图22，⊙O是△ABC的外接圆，D为弧BC的中点，DE切⊙O于D，交
AC的延长线于E，则下列论断①BC∥DE ②DE=DC ③∠BCD=∠DAE
④OA平分∠BAD 其中正确的个数有（ ）
A ．1 个 B．2 个 C．3个 D ．4
个
12、如图23，△ABC纸片中，AB=BC>AC，点D是AB边的中点，点E在边AC 上，将纸片沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处．则下列结论成立的个数有（ ）
①△BDF是等腰直角三角形； ②∠DFE=∠CFE；③DE是△ABC的中位线；④BF+CE=DF+DE．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13、如图24,△ABC中，∠A=60º，BC为定长，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E,连结DE、OE.下列结论其中正确是（）
①BC＝2DE；②D点到OE的距离不变；③BD+CE＝2DE；④OE为
△ADE外接圆的切线.
A.①②
B.③④
C.①②③
D.①②④
答案：
一、例题讲解：
例1：A 例2：D 例3：C
二、课堂练习：
1、A
2、B
3、C
4、A
5、B
6、B
7、B
8、A
三、课后作业：
1、D
2、A
3、A
4、D
5、C
6、C
7、
8、A
9、C 10、D 11、 12、 13、。

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