第三章 三角恒等变换

第三章 三角恒等变换

§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

一、课标要求：

本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用. 二、编写意图与特色

本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用. 三、教学重点与难点

1. 重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；

2. 难点：两角差的余弦公式的探索与证明.

3.1.1 两角差的余弦公式

一、教学目标

掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 二、教学重、难点

1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；

2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等. 三、学法与教学用具 1. 学法：启发式教学 2. 教学用具：多媒体 四、教学设想：

（一）导入：我们在初中时就知道 cos 452

=

，cos30= ，由此我们能否得到

()cos15cos 4530?=-= 大家可以猜想，是不是等于cos 45cos30- 呢？

根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的

余弦公式()cos ?αβ-= （二）探讨过程：

在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）

展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索()cos αβ-与cos α、

cos β、sin α、sin β之间的关系，由此得到cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，认识

两角差余弦公式的结构.

思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？

提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？

2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？ 展示多媒体课件

比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处. 思考：()cos ?αβ+=，()()cos cos αβαβ+=--⎡⎤⎣⎦，再利用两角差的余弦公式得出

()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦

（三）例题讲解

例1、利用和、差角余弦公式求cos75

、cos15

的值. 解：分析：把75

、15

构造成两个特殊角的和、差.

()1cos75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 3022224

=+=-=

-=

()1

2

c o s 15c o s 45

30

c o s 45c o s 30s i n 453022

2

=

-=+=+

⨯

点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：

()cos15cos 6045=- ，要学会灵活运用.

例2、已知4sin 5α=

，5,,cos ,213παπββ⎛⎫

∈=- ⎪⎝⎭

是第三象限角，求()cos αβ-的值.

解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===-

又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===-

所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

-=+=-⨯-

+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.

（四）小结：本节我们学习了两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活运用. （五）作业：

§3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

一、教学目标

理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒

等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点

1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；

2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 三、学法与教学用具 学法：研讨式教学 四、教学设想：

（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：

()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．

这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？ 提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？

让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.

()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ

⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫

+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦

sin cos cos sin αβαβ=+．

()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ

-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）

()()()

sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβ

αβαβαβαβ

+++=

=

+-．

通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

++=

-．