五、机械振动

第一节、 第一节、简谐振动
一、简谐振动(simple harmonic vibration )的基本特征 简谐振动 的基本特征 以弹簧振子为例讨论， 以弹簧振子为例讨论， 弹簧振子是典型的简谐 振动 弹簧的弹力
O
x
M x
F = -kx
根据牛顿第二定律有 所以 其解
医学物理学
x = Acos(ωt +ϕ)
二、同一直线上两个频率相近的简谐振动的合成 两简谐振动分别为
x1 = A1 cos( ω 1t + ϕ 1 )
x 2 = A2 cos( ω 2 t + ϕ 2 )
y
ω1
合振动 x = x1 + x2 = A1 cos(ω1t + ϕ1 ) + A2 cos(ω 2t + ϕ 2 ) 合振动不再是简谐振动， 合振动不再是简谐振动， 而是一种复杂振动 如图] 矢量图解法 [如图 如图 由矢量图得合振动的振幅为
一、同一直线上两个同频率简谐振动的合成 设有两个同频率的简谐振动 x1 = A1 cos(ωt + ϕ1 ) x2 = A2 cos(ωt + ϕ 2 ) 合振动 x = x1 + x2 = A1 cos(ωt + ϕ1 ) + A2 cos(ωt + ϕ 2 ) 由矢量图得 而
仍为同频率谐振动） x = A cos( ω t + ϕ ) （仍为同频率谐振动）
医学物理学
v A2 v A1
v A
• 推广：多个同方向同频率简谐振动的合成 推广： 合振动仍是简谐振动。
x = Acos(ω⋅t +ϕ)
tgϕ =
∑ A sinϕ
i =1 n i i =1 i
n
i
∑ A cosϕ
n 2
i
i
∴A= ∑
i=1
A + A + A A+1 cos∆ϕ i i
2 i+1
医学物理学
y
合振动的轨迹是以坐标轴为 主轴的正椭圆，如右图所示。 主轴的正椭圆，如右图所示。
β－α= π/2 时，
o -B
A x
合振动沿顺时针方向进行； 合振动沿顺时针方向进行；
A y
β－α = −π/2 时，
合振动沿逆时针方向进行。 合振动沿逆时针方向进行。
-A
o -A
A x
A=B，椭圆变为正圆，如右图所示。 ，椭圆变为正圆，如右图所示。
乘以(3)式 乘以(4)式后相减得 以sinβ 乘以 式，sinα 乘以 式后相减得
（5） ）
x y sinβ − sinα = cosωtsin β −α) ( A B
x y 2xy + 2− cos(β −α) = sin2(β −α) A2 B AB
医学物理学
2 2
（6） ）
(5)式、(6)式分别平方后相加得合振动的轨迹方程 式 式分别平方后相加得合振动的轨迹方程
0 = 4.0 × 10
医学物理学
−2
cos(ω −
π 3
) m
因 ω >0 即
ω =(
π 2 + π 3
所以 ω −
) rad ⋅ s-1 =
π
3 5π
6
=
π 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
rad ⋅ s-1
−2
简谐振动的表达式为 四、简谐振动的能量 以弹簧振子为例
x = A cos (ω t+ϕ) v = −Aω sin (ω t+ϕ)
此式表明，两个互相垂直的、 此式表明，两个互相垂直的、频率相同的简谐 振动合成，其合振动的轨迹为一椭圆， 振动合成，其合振动的轨迹为一椭圆，而椭圆的 形状决定于分振动的相位差（ 形状决定于分振动的相位差（β－α）。 讨论： 讨论： 1. β－α = 0 或 π 时 x y 2 B ( m ) =0 即 y =± x A B A 合振动的轨迹是通过坐标原点 的直线，如图所示。 的直线，如图所示。
医学物理学
3.如果 3.如果(β−α)不是上述数 值，那么合振动的轨迹 为椭圆， 为椭圆，其范围处于边 长分别为2A(x方向)和 方向) 长分别为 方向 2B(y方向 的矩形内。 方向)的矩形内 方向 的矩形内。 两个分振动的频率相 差较大， 差较大，但有简单的整 数比关系， 数比关系，合振动曲线 称为利萨如图形 利萨如图形。 称为利萨如图形。
am = −ω A 称为加速度振幅；
2
加速度比位移的相位超前（或落后） 加速度比位移的相位超前（或落后）
医学物理学
π
• 位移
• 速度超前位 移（π/2） ）
• 加速度超前 于位移π） 于位移 ）
医学物理学
的轻弹簧, 例 1：有一劲度系数为 ：有一劲度系数为32.0 N ⋅ m-1 的轻弹簧 放置 在光滑的水平面上，其一端被固定, 在光滑的水平面上，其一端被固定 另一端系一质量 为500 g的物体。将物体沿弹簧长度方向拉伸至距平 的物体。 的物体 衡位置10.0 cm 处，然后将物体由静止释放 物体将 然后将物体由静止释放, 衡位置 在水平面上沿一条直线作简谐振动。 在水平面上沿一条直线作简谐振动。分别写出振动 的位移、速度和加速度与时间的关系。 的位移、速度和加速度与时间的关系。
医学物理学
5 π x = 4.0×10 cos( t − ) 6 3
1 2 1 E k = mv = mω 2 A 2 sin 2 (ω t + ϕ ) 2 2
1 2 1 2 E p = k x = kA cos2 (ω t + ϕ ) 2 2
当位移最大时，速度为零，动能为零，势能最大； 当位移最大时，速度为零，动能为零，势能最大； 在平衡位置时，势能为零，速度最大，动能最大。 在平衡位置时，势能为零，速度最大，动能最大。
x1 = A cos(ω1t + ϕ )
ν =ν2 −ν1
x2 = A cos(ω 2t + ϕ )
合振动为 x = x1 + x2 = A cos(ω1t + ϕ ) + A cos(ω 2t + ϕ )
= 2 A cos(
医学物理学
ω 2 − ω1
2
t )cos(
ω 2 + ω1
2
t +ϕ)
拍的振幅为 振幅的周期为
y B b -A o
a A x
-B
β－α = 0 时，相位相同，取正号，斜率为B/A。 相位相同，取正号， β－α = π 时，相位相反，取负号，斜率为-B/A。 相位相反，取负号，
医学物理学
合振动的振幅
C = A2 + B2
π 2. 当 β − α = ± 时 2
x2 A
2
+
y2 B
2
=1
B -A
A = A1 + A2
v A v A1
v A2
合振幅最大， 合振幅最大，振动加强
2.
ϕ2 −ϕ1 = ±(2k +1)π k = 0,12,L , v A2 A = A1 − A2 v v A1 A 合振幅减小， 合振幅减小，振动减弱
3. 一般情况 ∆ϕ 为任意值
ϕ2 −ϕ1 ≠ π
A1 − A2 < A < A1 + A2
A 当 t =0 时， x0 = , v0 > 0 2 由式 x0 = A cos ϕ
x/cm
4.0 2.0 O -2.0 -4.0
P
1
t/s
{
解得
π x = 4.0×10 cos ωt − ) m ( 所以 3 又由曲线知 当 t =1s 时,x =0,代入上式得 ,
−2
v0 = −Aω sin ϕ π ϕ=− 3
2Acos(
ω2 −ω 1
2
t)
拍频为 1 ω2 − ω1 ν= = = ν2 −ν1 T 2π 拍的振动曲线如右图
2 2 T=( )= ω2 −ω ω2 −ω 1 1
三、两个互相垂直的简谐振动的合成 两简谐振动为
医学物理学
x = A cos( ω t + α )
y = B cos( ω t + β )
′ A 2 ′ A 1
ω2
A
A ω 2 1 A 1
x
A′
O
ω2
A = A 2 + A 2 + 2A A cos[(ω2 −ω1)t + (ϕ2 −ϕ1)] 1 2 1 2
医学物理学
由于两个分振动频率的微小差异而 产生的合振 动振幅时强时弱的现象称为拍现象。 动振幅时强时弱的现象称为拍现象。 合振动在1s内加强或减弱的次数称为拍频。 合振动在 内加强或减弱的次数称为拍频。 内加强或减弱的次数称为拍频 拍频为 三角函数法 设两个简谐振动的振幅和初相位相同
y A A2
ϕ2 ϕ ϕ1
A = A2 + A2 + 2A A cos(ϕ2 −ϕ1) 1 2 1 2
A sinϕ1 + A sinϕ2 2 ϕ = arctan 1 A cosϕ1 + A cosϕ2 1 2
医学物理学
A1 x1 x x
o
x2
讨论：1. ϕ2 −ϕ1 = ±2kπ k = 0,1,2,L
医学物理学
y
ω
M
ϕP
O ωt +ϕ
x
G A
I
H
T
N
J
M
K T
L
t
dx 简谐振动的速度： • 简谐振动的速度： V = = − Aω sin(ωt + ϕ ) dt
Vm = −ωA