大学物理第五章机械振动习题解答和分析要点

5-1 有一弹簧振子，振幅A=2.0⨯10-2m，周期T=1.0s，初相ϕ=3π/4.试写出它的振动位移、速度和加速度方程。

分析根据振动的标准形式得出振动方程，通过求导即可求解速度和加速度方程。解：振动方程为：x=Acos[ωt+ϕ]=Acos[

3π

42πTt+ϕ] 代入有关数据得：x=0.02cos[2πt+

振子的速度和加速度分别是：

v=dx/dt=-0.04πsin[2πt+3π

4

3π

4](SI) ](SI) a=dx/dt=-0.08πcos[2πt+222](SI)

5-2若简谐振动方程为x=0.1cos[20πt+π/4]m，求：

（1）振幅、频率、角频率、周期和初相；

（2）t=2s时的位移、速度和加速度.

分析通过与简谐振动标准方程对比，得出特征参量。

解：(1)可用比较法求解.根据x=Acos[ωt+ϕ]=0.1cos[20πt+π/4] 得：振幅A=0.1m，角频率ω=20πrad/s，频率ν=ω/2π=10s 周期T=1/ν=0.1s，ϕ=π/4rad

（2）t=2s时，振动相位为：ϕ=20πt+π/4=(40π+π/4)rad

22 由x=Acosϕ，ν=-Aωsi nϕ，a=-Aωcosϕ=-ωx得 -1，

x=0.0707m,ν=-4.44m/s,a=-279m/s

5-3质量为2kg的质点，按方程x=0.2sin[5t-(π/6)](SI)沿着x轴振动.求：

（1）t=0时，作用于质点的力的大小；

（2）作用于质点的力的最大值和此时质点的位置.

分析根据振动的动力学特征和已知的简谐振动方程求解，位移最大时受力最大。2解：（1）跟据f=ma=-mωx，x=0.2sin[5t-(π/6)] 2

将t=0代入上式中，得：f=5.0N

2 （2）由f=-mωx可知，当x=-A=-0.2m时，质点受力最大，为f=10.0N

5-4为了测得一物体的质量m，将其挂到一弹簧上并让其自由振动，测得振动频率ν1=1.0Hz；而当将另一已知质量为m'的物体单独挂到该弹簧上时，测得频率为

ν2=2.0Hz.设振动均在弹簧的弹性限度内进行，求被测物体的质量.

分析根据简谐振动频率公式比较即可。解：由ν=1

2πk/m，对于同一弹簧（k相同）采用比较法可得：ν1

ν2=m'm

解得：m=4m'

5-5一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A=2.0⨯10

（1）物体在正方向端点；

（2）物体在平衡位置，向负方向运动；

（3）物体在x=1.0⨯10-2-2m，周期T=0，当t=0时， m处，向负方向运动；

-2（4）物体在x=-1.0⨯10m处，向负方向运动.

求以上各种情况的振动方程。

分析根据旋转矢量图由位移和速度确定相位。进而得出各种情况的振动方程。解：设所求振动方程为：x=Acos[

由A旋转矢量图可求出

ϕ1=0,ϕ2=π/2,ϕ3=π/3,ϕ4=2π/3 2πTt+ϕ]=0.02cos[4πt+ϕ]

题图5-5

（1）x=0.02cos[4πt](SI)（2）x=0.02cos[4πt+

（3）x=0.02cos[4πt+π

3π2](SI) 2π3](SI) ](SI)（4）x=0.02cos[4πt+ 2

5-6在一轻弹簧下悬挂m0=100g砝码时，弹簧伸长8cm.现在这根弹簧下端悬挂

m=250g

的物体，构成弹簧振子.将物体从平衡位置向下拉动4cm，并给以向上的21cm/s 的初速度（令这时t=0）.选x轴向下，求振动方程.

分析在平衡位置为原点建立坐标，由初始条件得出特征参量。

解：弹簧的劲度系数k=m0g/∆l。

当该弹簧与物体m构成弹簧振子，起振后将作简谐振动，可设其振动方程为：

x=Acos[ωt+ϕ] 角频率为ω=k/m代入数据后求得ω=7rad/s

以平衡位置为原点建立坐标，有：x0=0.04m,v0=-0.21m/s 据A=x0+(v0/ω)得：

A=0.05m -122据ϕ=±cosx0

A得ϕ=±0.64rad由于v0<0,应取ϕ=0.64(rad)

于是，所求方程为：x=0.05cos(7t+0.64)(m)

5-7 某质点振动的x-t曲线如题图5－7所示.求：

（1）质点的振动方程；

（2）质点到达P点相应位置所需的最短时间.

分析由旋转矢量可以得出相位和角频率，求出质点的振动方程。并根据P点的相位确定最短时间。

解：（1）设所求方程为：x=Acos(ωt+ϕ0)

从图中可见，t=0,x0=A/2,v0>0

由旋转矢量法可知；ϕ0=-

又t=1s,ωt-

∴π3π3=π2 ω=5π

6

5π

6t-故：x=0.1cos(π

3)m题图

5-7

（2） P点的相位为0

∴ωtp+ϕ0=5π6tp-π3=0tp=0.4s

即质点到达P点相应状态所要的最短时间为0.4s

5-8有一弹簧，当下面挂一质量为m的物体时，伸长量为9.8⨯10

且规定向下为正方向.

（1）当t＝0时，物体在平衡位置上方8.0⨯10-2-2m.若使弹簧上下振动，m，由静止开始向下运动，求振动方程.

(2) 当t＝0时，物体在平衡位置并以0.6m/s的速度向上运动，求振动方程. 分析根据初始条件求出特征量建立振动方程。

解：设所求振动方程为：x=Acos(ωt+ϕ) mg

∆lg∆l其中角频率ω=k/m=/m=，代入数据得：ω=10rad/s

（1）以平衡位置为原点建立坐标，根据题意有：x0=-0.08m,v0=0 据A=x0+(v0/ω)得：A=0.08m -122据ϕ=±cosx0

A得ϕ=±πrad由于v0＝0,不妨取ϕ=πrad

于是，所求方程为：x1=0.08cos(10t+π)(SI)

（2）以平衡位置为原点建立坐标，根据题意有：x0=0,v0=-0.6m/s 据A=x0+(v0/ω)得：A=0.06m -122据ϕ=±cosx0

A得ϕ=±π/2rad由于v0<0,应取ϕ=π/2rad

于是，所求方程为：x2=0.06cos(10t+π/2)(SI)

5-9 一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为x=4⨯10-2cos(2πt+

起到质点位置在x=-2cm处，且向x轴正方向运动的最短时间.