复变函数积分方法总结

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复变函数积分计算

复变函数积分计算方法总结1、一般计算方法：()(,)(,)f z u x y iv x y =+沿有向曲线C 的积分：()CCCf z dz udx vdy i udy vdx =-++⎰⎰⎰若有向光滑曲线C 可以表示为参数方程()()() ()z z t x t iy t t αβ==+≤≤，则：()[()]()Cf z dz f z t z t dt βα'=⎰⎰2、柯西积分定理：()f z 在简单闭曲线C 上和内部解析，则：()0Cf z dz =⎰由闭路变形原理可得重要积分：100, 012, 0()n C n dz i n z z π+≠⎧=⎨=-⎩⎰ 可以把各种简单闭路变为圆周进行积分。

3、柯西积分公式：设D 为有界多（单）连域，Γ为其正向边界条件：()f z 在D 内及其边界Γ上解析，0z 为D 内任意一点公式：00()2()f z dz if z z z πΓ=-⎰高阶导数公式：设D 为有界多（单）连域，Γ为其正向边界条件：()f z 在D 内及其边界Γ上解析，0z 为D 内任意一点公式：()010()2()()!n n f z i dz f z z z n π+Γ=-⎰ 联系：柯西积分公式是高阶导数公式的特殊情况，高阶导数公式是柯西积分公式的推广。

4、用洛朗级数展开式的-1次项系数计算积分00101()()() (r<) 2()n n n n C n f z f z c z z z z R c dz iz z π∞+=-∞=--<=-∑⎰，其中：其中C 为环域内任意围绕0z 的正向简单闭路。

当1n =-时，-1次项的系数为11()2Cc f z dz iπ-=⎰，因此1()2Cf z dz ic π-=⎰5、用留数计算复积分函数()f z 在点0z 的留数定义为:01Re [(),]()2Cs f z z f z dz iπ=⎰，即洛朗级数展开式中-1次项的系数。

复变函数积分计算方法

一．复变函数积分计算方法：
1．线积分法，udy vdx i vdy udx z f c c c ++-=⎰⎰⎰
)( 2．参数方程法，就是将积分线段分成几段，每一段尽可能简单，并且可以用一个参数式表达出来。

参考课本37页例3.1（2） 3．原函数法，要用此方法必须保证函数f(z)在单连通区域D 内解析，求出f(z)的原函数G
（z ），则)z ()z ()(00G G dt t f z z -=⎰
4．柯西积分公式，)z (2z -z z)(00
if dz f c π=⎰，用这种方法的关键是找出函数)z (f ，有时候要进行一些变形。

二．课本难点
课本47页例3.10（2）他在解答过程中，有一步是令2)z ()z (i e f z +=，开始看的时候很难看明白是为什么，后来细心一想，原来他用了一个很巧妙的变换：
2
2222)()z /()])(z [()1z (111i z i e i z i e dz e z c z c z c -+=-+=+⎰⎰⎰ 这样就可以凑成柯西积分公式的形式，令2)z ()z (i e f z +=，就可以轻松使用柯西积分公式求出答案。

作业题很多都要用到这个技巧。

三．错误更正
课本55页作业6（3）的答案是i e π，课本答案e π是错误的。

四．规律总结
在做作业过程中，我找到以下两个公式：
ishz iz =sin
ithz iz =tan
特别是z=1的时候，有sini=ish1,tani=ith1
上面的公式根据定义就可以证明。

复变函数与积分变换知识点

复变函数与积分变换知识点复变函数是数学中极具特色和深刻内涵的一个分支，其理论和应用不仅涉及到数学领域，也伸展至物理、工程、计算机等多个领域。

而积分变换则是复变函数中的一项重要技术，可应用于信号处理、控制系统等领域。

本文将介绍关于复变函数和积分变换的知识点。

1. 复数及其运算复数是一种拓展了实数的数学概念，其具有实部和虚部，记作z = x + yi（其中 x 和 y 均为实数，i 为虚数单位，满足 i² = -1）。

复数的加、减、乘法等运算法则与实数有所区别，例如：（1）加法：若 z = x + yi，w = u + vi，则 z + w = (x + u) + (y + v)i。

（2）减法：若 z = x + yi，w = u + vi，则 z - w = (x - u) + (y - v)i。

（3）乘法：若 z = x + yi，w = u + vi，则 z × w = (xu - yv) + (y u + x v)i。

（4）除法：若 z = x + yi，w = u + vi，则 z ÷ w = (xu + yv)/(u²+ v²) + (y u - x v)/(u² + v²)i。

2. 复变函数的概念复变函数是自变量为复数、因变量为复数的函数。

设 z = x + yi，w = u + vi，则复变函数 f(z) 的定义为： f(z) = u(x,y) + v(x,y)i （其中，u(x,y) 和 v(x,y) 均为实函数）。

复变函数的导数、积分、解析函数等概念与实函数也有所不同，例如：（1）导数：复变函数 f(z) 在点 z0 的导数定义为：f'(z0) = lim (f(z) - f(z0))/(z - z0) （其中，极限是沿着复平面中有向直线逼近 z0 时的极限）（2）积分：复变函数沿着简单曲线γ 的积分（记作∮γ f(z) dz）定义为：∮γ f(z) dz = ∫ab f(γ(t))γ'(t) dt （其中，γ(t) 为参数方程，γ'(t) 为γ(t) 的导数）（3）解析函数：对于复平面上的一个区域 D，若在 D 内的每一点都有导数，则称 f(z) 在 D 内为解析函数。

复变函数积分方法总结

复变函数积分方法总结经营教育乐享选取日期复变函数积分方法总结数学本就灵活多变,各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势,同时也具有本来原函数的性质,也会有多类型的可积函数类型,也就会有相应的积分函数求解方法;就复变函数：z=x+iy i2=-1 ,x,y分别称为z的实部和虚部,记作x=Rez,y=Imz; arg z=θθ称为主值-π＜θ≤π ,Arg=argz+2kπ ;利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ ,y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ;z=re iθ;1.定义法求积分：定义：设函数w=fz定义在区域D内,C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线,把曲线C 任意分成n 个弧段,设分点为A=z 0 ,z 1,…,z k-1,z k ,…,z n =B,在每个弧段z k-1 z k k=1,2…n 上任取一点k 并作和式S n =∑f(k )nk−1z k -z k-1= ∑f(k )nk−1z k 记z k = z k - z k-1,弧段z k-1 z k 的长度δ=max1≤k≤n {S k }k=1,2…,n,当 δ→0时,不论对c 的分发即k 的取法如何,S n 有唯一的极限,则称该极限值为函数fz 沿曲线C 的积分为：∫f(z)dz c=lim δ 0∑f(k )nk−1z k设C 负方向即B 到A 的积分记作 ∫f(z)dz c−.当C 为闭曲线时,fz 的积分记作∮f(z)dz cC 圆周正方向为逆时针方向例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线; 1 解：当C 为闭合曲线时,∫dz c =0. ∵fz=1 S n =∑f(k)n k−1z k -z k-1=b-a ∴lim n 0Sn =b-a,即1)∫dz c =b-a.2当C 为闭曲线时,∫dz c =0. fz=2z;沿C 连续,则积分∫zdz c 存在,设k =z k-1,则∑1= ∑Z n k−1（k −1）z k -z k-1 有可设k =z k ,则∑2= ∑Z n k−1（k −1）z k -z k-1因为S n 的极限存在,且应与∑1及∑2极限相等;所以S n = ∑1+∑2= ∑k−1n z k (z k2−z k−12)=b 2-a 2∴ ∫2zdz c=b 2-a 2定义衍生1：参数法：fz=ux,y+ivx,y, z=x+iy 带入∫f(z)dz c得： ∫f(z)dz c = ∫udx c - vdy + i ∫vdx c + udy 再设zt=xt+iyt α≤t ≤β∫f(z)dz c =∫f(z(t))z(t)́dt βα参数方程书写：z=z 0+z 1-z 0t0≤t ≤1；z=z 0+re i θ,0≤θ≤2π 例题1： ∫z 2dz 3+i 0积分路线是原点到3+i 的直线段解：参数方程 z=3+i t ∫z 2dz 3+i 0=∫[(3+i)t]2[(3+i)t]′dt 1=3+i 3∫t 2dt 1=6+263i例题2：沿曲线y=x 2计算∫（x 2+iy ）dz 1+i解：参数方程 {x =ty =t 2 或z=t+it 2 0≤t ≤1 ∫(x2+iy )dz 1+i 0=∫（t 2+it 2）(1+2it)dt 1=1+i [∫(t 2dt )dt 10 + 2i ∫t 3dt 1=-16+56i定义衍生2 重要积分结果： z=z 0+ re i θ ,0≤θ≤2π 由参数法可得：∮dz(z−z 0)n+1c =∫ire iθe i （n+1）θr n+12π0d θ=i r n ∫e −inθ1+i 0d θ ∮dz (z−z 0)n+1c={2πi n =00 n ≠0例题1：∮dz z−2|z |=1 例题2：∮dzz−12|z |=1解： =0 解 =2πi2.柯西积分定理法：柯西-古萨特定理：若fzdz 在单连通区域B 内解析,则对B 内的任意一条封闭曲线有：∮f(z)dz c=0 定理2：当f 为单连通B 内的解析函数是积分与路线无关,仅由积分路线的起点z 0与终点z 1来确定;闭路复合定理：设函数fz 在单连通区域D 内解析,C 与C 1是D 内两条正向简单闭曲线,C 1在C 的内部,且以复合闭路Γ=C+C 1所围成的多连通区域G 全含于D 则有：∮f(z)dz Γ=∮f(z)dz c +∮f(z)dz c1=0 即∮f(z)dz c =∮f(z)dz c1推论： ∮f(z)dz c=∑∮f(z)dz ckn k=1 例题：∮2z−1z 2−zdz cC 为包含0和1的正向简单曲线;解：被积函数奇点z=0和z=1.在C 内互不相交,互不包含的正向曲线c 1和c 2;∮2z−1z 2−zdz c=∮2z−1z (1−z)dz c1+∮2z−1z (1−z)dz c2=∮1z−1+1z dz c1+∮1z−1+1zdz c2=∮1z−1dz c1+∮1zdz c1+∮1z−1dz c2+∮1zdz c2=0+2πi+2πi+0=4πi原函数法牛顿-莱布尼茨公式：定理可知,解析函数在单连通域B 内沿简单曲线C 的积分只与起点z 0与终点z 1有关,即∫f()c d = ∫f()z1zd 这里的z 1和z 0积分的上下限;当下限z 0固定,让上限z 1在B 内变动,则积分∫f()z1zd 在B 内确定了一个单值函数Fz,即Fz= ∫f()z1zd 所以有若fz 在单连通区域B 内解析,则函数Fz 必为B 内的解析函数,且F(z)́=fz.根据定理和可得∫f(z)z 1z 0dz = Fz 1 - Fz 0. 例题：求∫zcosz 1dz 解：函数zcosz 在全平面内解析∴∫zcosz 10dz =zsinz |0i -∫sinz 1dz = isin i+cosz |0i =isin i+cos i-1 =ie −1−12i+e −1+12i-1=e -1-1此方法计算复变函数的积分和计算微积分学中类似的方法,但是要注意复变适合此方法的条件; 柯西积分公式法：设B 为以单连通区域,z 0位B 中一点,如fz 在B 内解析,则函数f(z)z−z 0在z 0不解析,所以在B内沿围绕z0的闭曲线C的积分∫f(z)z−z0dzc一般不为零; 取z0位中心,以δ>0为半径的正向圆周|z−z0|=δ位积分曲线cδ,由于fz的连续性,所以∫f(z)z−z0dzc =∫f(z)z−z0dzcδ=2πifz0：若fz在区域D内解析,C为D内任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D,z0为C内的任一点,有：fz0=12πi ∮f(z)z−z0dz例题：1∮|z|2∮z(9−z2)(z+i)dz |z|=2解：=2π isin z|z=0=0 解：=∮z9−z2z−(−i)dz|z|=2=2πi z9−z2|z=-i=π5解析函数的高阶导数：解析函数的导数仍是解析函数,它的n阶导数为f n z0=n!2πi ∮f(z)(z−z0)n+1dzn=1,2…其中C为fz的解析区域D内围绕z0的任一条正向简单闭曲线,而它的内部全含于D.例题：∮e zz5dzcC:|Z|=1解：由高阶导数的柯西积分公式：原式=2πi14!e z4|z=π2=πi123.解析函数与调和函数：定义：1调和函数：如果二元实函数φx,y在区域D内具有二阶连续函数,且满足拉普拉斯方程：2φx 2+2φy 2=0,则称φx,y 为区域D 内的调和函数;若fz=u+iv 为解析函数,则u 和v 都是调和函数,反之不一定正确2共轭调和函数:ux,y 为区域内给定的调和函数,我们把是 u+iv 在D 内构成解析函数的调和函数vx,y 称为ux,y 的共轭调和函数;若v 是u 的共轭调和函数,则-u 是v 的共轭调和函数关系：任何在区域D 内解析的函数,它的实部和虚部都是D 内的调和函数；且虚部为实部的共轭调和函数;求解方法：1偏积分法：若已知实部u=ux,y,利用C-R 方程先求得v 的偏导数u x =v y ,两边对y 积分得v=∫u x dy +g(x).再由u y =−v x 又得x ∫vx dy +g(x)́=- u y从而g(x)=∫[−u y−x∫ux dy]dx + Cv=∫u xdy + ∫[−u y−x∫ux dy]dx + C 同理可由vx,y 求ux,y.不定积分法：因为f(z)́=U x +i V x = U x -iU y = V y +iV X 所以fz=∫U (z )dz +c fz=∫V (z )dz +c线积分法：若已知实部u=ux,y,利用C-R 方程可得的dv=vxdx+vydy=-uydx+∫u xdy 故虚部为 v=∫−u ydx +（x ，y ）（x0，y 0，）u xdy +C该积分与路径无关,可自选路径,同理已知vx,y 也可求ux,y.例题：设u=x 2-y 2+xy 为调和函数,试求其共轭函数vx,y 级解析函数fz=ux,y+ivx,y 解：利用C-R 条件u x=2x+yu y=-2y+x2ux 2=22uy 2=-2所以满足拉普拉斯方程,有v x=−u y=2y-xv y=ux=2x+y所以v=∫(2y −x)dx +φ(y)=2xy- x 22+φ(y)v y=2x+φ(y)́=2x+y φ(y)́=y φ(y)=y 22+c vx,y=2xy- x 22+y 22+cfz=ux,y+ivx,y=122-i z 2+iC4.留数求积分：留数定义：设z 0为函数fz 的一个孤立奇点,即fz 在去心邻域、0<|z −z 0|<δ ,我们把fz 在z 0处的洛朗展开式中负一次幂项系数c -1称为fz 在z 0处的留数,记为Resfz,z 0即Resfz,z 0=c -1 或者Resfz,z 0=12πi∮f (z )dz c C 为0<|z −z 0|<δ 留数定理：设函数fz 在区域D 内除有限个孤立奇点z 1z 2…z n,其中z k 表示函数f (z )的孤立奇点孤立奇点：定义：如果函数f (z )在z 0不解析,但在z 0某个去心邻域0<|z −z 0|<δ内解析,则称z 0为f (z )的孤立奇点; 例如1z 、e 1z都是以z=0为孤立奇点函数1(z+1)（z+2）以z=-1、z=2为孤立奇点..........在孤立奇点z=z 0的去心邻域内,函数f (z )可展开为洛朗级数 f (z )=∑c n ∞n=−∞（z−z 0）n洛朗级数中负幂项是否存在,若存在是有限项还是无限项,这对fz 在z 0处的奇异性将起着决定性的作用;讨论孤立奇点z 0的类型：：若函数fz 在孤立奇点z 0的去心邻域内的洛朗展开式中不含负幂项,即对一切n<0有c n =0,则称z 0是fz 的可去奇点因为没有负幂项,即c -n =0,n=1,2.....故c -1=0;遇到函数fz 的奇点类型是可去奇点 ,一般对函数f (z )求积分一般为零判断可去奇点方法：⑴函数f (z )在某个去心邻域0<|z −z 0|<δ内解析,则z 0是f (z )的可去奇点的充要条件是存在极限lim z→z 0f （z ）=c 0,其中c 0是一复常数;⑵在⑴的假设下,z 0是fz 可去奇点的充要条件是：存在r ≤δ,使得fz 在0<|z −z 0|<r 内有界若函数fz 在孤立奇点z 0的去心邻域内洛朗级数展开式中只有有限个负幂项,即有正整数m,c -m ≠0,而当n<-m 时c -n =0 则称z 0是fz 的m 级极点; 其洛朗展开式是：fz=c −m （z−z 0）m +c −m +1（z−z 0）m+1+…+c −1z−z 0+c 0+c 1z-z 0n+m +…+c 0z-z 0n+…这里c -m ≠0,于是在 0<|z −z 0|<δ有fz=c −m （z−z 0）m+c −m +1（z−z 0）m+1+…+c −1z−z 0+c 0+c 1z-z 0n+m +…+c 0z-z 0n +…=1(z−z 0)mφ(z).φ(z)一个在0<|z −z 0|<δ解析,同时φ(z)≠0,则z 0是fz 的m 级极点;判断定理：1fz 在z 0的去心邻域0<|z −z 0|<δ解析,z 0是fz 的m 级极点的充要条件是可以表示成的形式;2z 0是fz 的m 级极点的充要条件是lim z→z 0f(z)=∞.：若函数fz 在孤立奇点z 0的去心邻域内洛朗级数展开式中只有无限个负幂项,则称z 0是fz 的本性奇点判断方法：孤立奇点是本性奇点的充要条件是不存在有限或无穷的极限lim z→z 0f(z);函数在极点的留数：准则一：若z 0为一级极点,则 Resfz,z 0= lim z→z 0f (z )(z −z 0)准则二：做z 0为m 级极点,则 Resfz,z 0=1(m−1)!limz→z 0d m−1dzm−1{z-z 0mfz} 准则三：设fz=P(Z)Q(Z),Pz 以及Qz 都在z 0解析,如果Pz 0=0,Qz 0≠0,则z 0是fz 的一级极点,而且： Resfz,z 0=P(Z 0)Q(Z0)́ 无穷远处的留数：定义：扩充z 平面上设z=∞为fz 上的孤立奇点,即fz 在R<|z |<+∞内解析,C 为圆环绕原点z=0的任一条正向简单闭曲线,则积分值12πi ∮f (z )c −1dz 称为fz 在z=∞处的留数,记作 Resfz, ∞=12πi ∮f (z )c −1dz如果fz,在R<|z |<+∞内的洛朗展开式为fz,=∑c n z n∞n=−∞ 则有Resfz, ∞=-c -1如果fz 在扩充复平面上只有有限个孤立奇点包括无穷远处在内设为z 1,z 2,…,z n ，∞则fz 在各奇点的留数总和为零,即 ∑Res[f(z)dz]n k=1+Resfz, ∞=0; Resfz, ∞=-Resf 1z 1z 2,0 例题：求下列Resfz, ∞的值 1fz=e zz 2−1 2fz=1z (z+1)4(z−4)解：1在扩充复平面上有奇点：±1,∞ ,而±1为fz 的一级极点且Resfz,1=lim z→1(z −1)f(z)=lim z→1e z z+1=12e Resfz,-1= lim z→−1(z −1)f(z)=lim z→1e z z−1=-12e −1 ∵Resfz, ∞ + Resfz,1 + Resfz,-1=0得∴Resfz, ∞=-{ Resfz,1+ Resfz,-1}= 12e −1+e =-sh1 2 由公式Resfz, ∞=-Resf 1z 1z 2,0,而1z 2f 1z = 1z (z+1)4(z−4)以z=0为可去奇点,所以 Resfz, ∞= -Resf 1z 1z 2,0=0 用留数定理计算积分：形如∫R(cosθ,sinθ)2π0d θ的定积分计算；其中R(cosθ,sinθ)为cos θ与sinθ的有理函数;故解这类题是就会联想到复变函数与三角变换的相关知识--欧拉公式,令z=e iθ,dz=izd θ=i e iθ d θ d θ=dz iz sin θ=12i e iθ−e −iθ=z 2−12iz cos θ(e iθ+e −iθ)= z 2+12iz 则∫R(cosθ,sinθ)2π0d θ=∮R[z 2+12iz ,z 2−12iz ]|z |dz iz =∮f (z )dz |z |其中fz= R[z 2+12iz ,z 2−12iz 1iz 然后又留数定理求的积分值为2πi ∑Res[f (z ),z k ]n k=1 其中z k k=1,2, …n 为fz 在单位圆周内的所有孤立奇点; 形如∫R(x)dx +∞−∞的积分计算;其中Rx 为x 的有理函数,且分母的次数至少比分子的高二次,Rx 在实轴上无孤立奇点;则∫R(x)dx +∞−∞=2πi ∑Res Rz,z k ,z k 为上半平面的所有奇点形如∫R(x)e iax dx +∞−∞=2πi ∑Res R (x )e iax ，z k 其中k 为上半平面的所有奇点 5.总结：以上只是粗略的列举了计算复变积分的方法,还有许多细节性的问题没有一一列举;复变积分的算法对比实函数积分的计算方法,有很多相似的地方,较实函数积分要复杂些;复变的积分变换多是理解性的问题,多做题目可以提高思维的多样性,但容易造成思维定势;理解才是主要解题之道。

复变函数与积分变换

C f ( z )dz lim 1 f ( k ) zk . n k
n
3.积分的性质
g 设 f ( z ) ， ( z ) 在曲线 C 上可积，则 C 1) C f ( z )dz C f ( z )dz ，与 C 反向； 2) C Kf ( z )dz K C f ( z )dz，K 为常数；
习题：
1.设C是正向圆周z 1, 计算下列各积分的值。 dz dz dz 1 ） ; 2) ; 3) ; i z2 cos z c c c ( z )( z 2) 2 解：
dz 1) 0; z2 c dz 2) 0; cos z c 4i 3) 2i ; i i c ( z )( z 2) 2 i4 2 2 dz 1
z re i
z x iy
(5)代数表示:
5.运算 1)相等; 2)四则运算,及运算规律; 3)共轭运算,及运算规律; 4) z z r r [cos( ) i sin( )]
1 2 1 2 1 2 1 2
5)
z1 r 1 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )] z2 r2 r i (1 2 ) 1e ． r2
2i
3.沿指定曲线计算下列各积分.
ez 1 ） z 2 dz, C : z 2 1; c ez 3) C ( z 1)( z 2) dz, C : z 3; eiz 3 2) 2 dz, C : z 2i ; z 1 2 c ez 4) 3 dz, C : z 2; C z
2 2
在区域x 0内连续，且 u v v u , 在区域x 0上成立时， 1, 2a x y x y 1 即，当a 时，函数f ( z )在区域x 0内是解析的。 2

复变函数积分方法总结()

f(z),= 则有Res[f(z), ]=-c-1
4.4.1如果f(z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远处在内）设为z1，z2，…，zn 则f(z)在各奇点的留数总和为零,即
+Res[f(z), ]=0;
4.4.2Res[f(z), ]=-Res[f( ) ,0]
例题：求下列Res[f(z), ]的值
复变函数积分方法总结
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复变函数积分方法总结
数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：
z=x+iy i²=-1，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。arg z=θ₁θ₁称为主值-π＜θ₁≤π，Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z=rcosθ+irsinθ；利用欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ。z=reiθ。
∑1= (zk-zk-1)
有可设k=zk，则
∑2= (zk-zk-1)
因为Sn的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以
Sn= (∑1+∑2)= =b2-a2
∴ =b2-a2
1.2定义衍生1：参数法：
f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入得：
= - vdy + i + udy
再设z(t)=x(t)+iy(t) ( ≤t≤ )
= +
=
= + + +
=0+2πi+2πi+0

复变函数-总结

所以 vx,y1y22xy-1x2c. 于是
2
2
27
fzx2-y2xy i 1 2y22 xy-1 2x2 c
由f00( x y 0 0) c0 从而
fz x 2- y 2 x y i 1 2 y 2 2 x y - 1 2 x 2 1 - 2 i z 2
即为所求解析函数。
等价定义：
设 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 ,
那么
lim f (z)
zz0
运算性质：
limu(x, Axyxyl im xxyy0000 v(x,
y) y)
u0 v0
.
( 1 ) li (f m ( z ) g ( z ) ) lifm ( z ) lig ( m z )
例题1 一调和函数 ux,yx2-y2xy,
求一解析函数 fzuiv使 f00.
解：〔法一〕 ux2xy,uy-2yx
由 C-R 方程 v y u x 2 x y v 2 x y d y
由 v x - u y 2x2 yy 12c y2x c 2 xy - x v x c2xyc-12xx2,c,
9
对复平面内任一
x3
点z, 用直线将z
除了复数的平面表示方法外, 还可以
与N相连, 与球面
N(0,0,2r) 用球面上的点来表
相交于P点, 那么
示复数.
球面上除N点外
x3
的所有点和复平
面上的所有点有
P(x1,x2,x3)
一一对应的关系,
而N点本身可代
表无穷远点, 记作 .这样的球面

复变函数积分方法总结

复变函数积分方法总结复变函数是研究复平面上的函数的数学分支，复变函数的积分方法是复分析领域中的重要内容。

在复变函数的积分方法总结中，主要包括以下几个方面的内容：1.概念和基本定理复变函数的积分方法的基础是复积分的概念和基本定理。

首先，复数集合C上的曲线C是指满足连续可微的映射γ:[a,b]→C，其中[a,b]是实数区间。

定义复积分为∫Cf(z)dz=∫abf(γ(t))γ′(t)dt，其中f(z)是连续函数，γ′(t)是γ(t)的导数。

复积分的基本定理包括积分的线性性质、积分之间的关系，以及Cauchy-Goursat定理等。

其中，Cauchy-Goursat定理是指如果f(z)是一个整函数或者在一个简单连通域上解析，那么∫Cf(z)dz=0，其中C是C 上的任意闭曲线。

2.积分路径的选取在计算复积分时，积分路径的选取对结果有影响。

常用的积分路径包括曲线、圆周、分段积分路径等。

对于简单的曲线积分，可以用参数方程表示，然后利用Cauchy-Riemann方程求导，将积分转化为实数函数的定积分。

对于圆周积分，可以利用Cauchy积分定理化简积分表达式。

对于分段积分路径，可以将路径分成若干小段进行计算，然后累加结果。

3.积分的计算复变函数的积分计算可以用多种方法进行。

常用的方法包括换元法、分部积分法、变限积分法和奇偶性等。

对于换元法，可以通过变量替换将复积分转化为常数积分求解。

分部积分法可以通过求导和积分的关系将积分转化为另一种形式。

变限积分法是在计算积分时，将积分限进行变换，然后求导得到关于原积分的方程，从而解得原积分的值。

奇偶性是指其中一函数在定义域上的奇偶函数性质，利用奇偶性可以简化积分计算。

4.应用复变函数的积分方法在物理学、工程学等领域有广泛的应用。

其中，应用最广泛的是在电动力学中的静电场和静磁场的计算中。

根据Maxwell方程组，可以通过计算积分来求解电场和磁场分布。

同时，在流体力学中，可以利用复变函数的积分方法来求解流体的流速分布和流量等问题。

(完整版)复变函数积分方法总结

复变函数积分方法总结[键入文档副标题]acer[选取日期]复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。

就复变函数： z=x+iy i²=-1 ，x,y 分别称为z 的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。

arg z =θ₁ θ₁称为主值 -π＜θ₁≤π ，Arg=argz+2k π 。

利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcos θ ，y=rsin θ,故z= rcos θ+i rsin θ；利用欧拉公式e i θ=cos θ+isin θ。

z=re i θ。

1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D 内，C 为区域D 内起点为A 终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z 0 ，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点ξk 并作和式S n =∑f(ξk )n k−1(z k -z k-1)= ∑f(ξk )n k−1∆z k 记∆z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max 1≤k≤n {∆S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分发即ξk 的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为：∫f(z)dz c=lim δ 0∑f(ξk )nk−1∆z k设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f(z)dz c−.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f(z)dz c(C 圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。

（1）解：当C 为闭合曲线时，∫dz c=0.∵f(z)=1 S n =∑f(ξk)n k−1(z k -z k-1)=b-a ∴lim n 0Sn =b-a,即1)∫dz c=b-a. (2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c 存在，设ξk =z k-1,则∑1= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1) 有可设ξk =z k ，则∑2= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1)因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。

复变函数与积分变换总结

复变函数与积分变换总结第一章小结一、复数及运算1.复数及代数运算2复数的几何表示复数与复平面上的点、向量一一对应；几何角度看唯一确定复数的两个概念为：模、辐角；复数加减乘积运算后对应的复数在坐标面上可通过画图做出；几何运算：积商的模等于模的积商，幅角等于幅角和差；复数差的模表示两个点间的距离；复数的三角表示在计算复数的乘幂及方根时较方便二、复数集概念：邻域、内点、开集、区域、简单曲线、单联通与多联通区域三、复变函数1.对应于两个二元实变函数，因此对复变函数的研究有两种方法1参考一元实变函数的研究方法在0连续，且f00，证明必存在0的一个邻域，使得在此邻域内f0f02证明：设imff0，则对任意的0,存在0使得当0时ff0f02f02,因此f0ff02,所以f02转化为两个二元实变函数的研究，如复变函数的极限与连续性的讨论四、几个特定的复数问题及求解的关键步骤1证明复数模的不等式关键步骤：1证明原不等式两端平方后的不等式2利用22.确定平面曲线的复数方程关键步骤：转化为求,满足的方程3确定复数方程对应图形关键步骤：利用复数差模的几何意义；转化为关于,的方程；转化为关于r,将平面上的图形映到w平面上的图形关键步骤：1写出wf对应的两个二元实变函数2的极限及连续性关键步骤：1将wf看成一些简单函数的运算2通过分析这些简单函数对应的两个二元实变函数得到这些简单函数的极限及连续性3利用极限及连续的一些运算法则得到原函数的极限及连续性扩展阅读：复变函数与积分变换重要知识点归纳复变函数复习重点一复数的概念1.复数的概念：i，,是实数,Re,Imi21注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小2复数的表示1）模：22；2）幅角：在0时，矢量与轴正向的夹角，记为Arg（多值函数）；主值arg是位于,]中的幅角。

3）arg与arctan之间的关系如下：；当0,argarctan0,argarctan当0,0,argarctan；4）三角表示：coiin，其中arg；注：中间一定是“”号。

复变函数与积分变换总结

第一章小结一、复数及运算1. 复数及代数运算2. 复数的几何表示复数与复平面上的点、向量一一对应；几何角度看唯一确定复数的两个概念为：模、辐角；复数加减乘积运算后对应的复数在坐标面上可通过画图做出；几何运算：积(商)的模等于模的积(商)，幅角等于幅角和(差)；复数差的模表示两个点间的距离；复数的三角表示在计算复数的乘幂及方根时较方便二、复数集概念：邻域、内点、开集、区域、简单曲线、单联通与多联通区域三、复变函数1. 对应于两个二元实变函数，因此对复变函数的研究有两种方法 (1). 参考一元实变函数的研究方法例. 设函数()f z 在0z 连续，且0()0f z ≠，证明必存在0z 的一个邻域，使得在此邻域内()0f z ≠证明：设00lim ()()z z f z f z →=，则对任意的0(),2f z ε=存在0δ>使得当0z z δ-<时00()()(),2f z f z f z -<因此 00()()(),2f z f z f z -<所以 0()()0.2f z f z >>(2). 转化为两个二元实变函数的研究，如复变函数的极限与连续性的讨论四、几个特定的复数问题及求解的关键步骤 1. 证明复数模的不等式关键步骤：(1). 证明原不等式两端平方后的不等式 (2). 利用2zz z =2. 确定平面曲线的复数方程关键步骤：转化为求,x y 满足的方程 3. 确定复数方程对应图形关键步骤：利用复数差模的几何意义；转化为关于,x y 的方程；转化为关于,r θ的方程 4. 确定映射()w f z =将z 平面上的图形映到w 平面上的图形关键步骤：(1). 写出()w f z =对应的两个二元实变函数(2). 利用z平面上的图形对应的方程将二元实变函数中的两个变量用同一个变量表示5. 讨论复变函数()=的极限及连续性w f z关键步骤：(1). 将()=看成一些简单函数的运算w f z(2). 通过分析这些简单函数对应的两个二元实变函数得到这些简单函数的极限及连续性(3). 利用极限及连续的一些运算法则得到原函数的极限及连续性。

复变函数积分

复变函数积分复变函数是数学分析中一个重要的概念，它是指从复数域到复数域的映射。

复变函数可以用于描述电磁场、流体力学等现象，也是解析几何、函数论等数学领域的基础。

在复变函数中，积分是一个重要的概念。

复变函数的积分包括曲线积分、路径无关积分、面积积分等，下面对这些内容进行详细介绍。

1. 曲线积分：曲线积分是复变函数论中的基础概念之一。

对于一个可微曲线C，我们可以定义复变函数f(z)在C上的积分。

曲线积分的计算可以使用参数方程，将积分转化为对参数的积分，并通过换元法或者分部积分等方法进行计算。

2. 路径无关积分：路径无关积分是复变函数最重要的性质之一。

当复变函数f(z)在开集D上解析时，f(z)在D上的曲线积分与路径无关，即积分结果与路径选择无关。

这个性质保证了复变函数的积分是唯一的，不受路径的影响。

3. 格林公式：格林公式是复变函数论中的基本公式之一，它与曲线积分和面积积分有密切的关系。

格林公式可以用于计算曲线积分和面积积分，并给出了二者之间的关系。

格林公式是复变函数的积分理论的重要基础。

4. 应用举例：复变函数的积分在物理学和工程学中有广泛的应用。

比如，电磁场的描述中经常使用电磁场复变函数，通过对复变函数进行积分可以得到电场、磁场等物理量。

在流体力学中，也可以使用复变函数进行描述，并通过积分得到流体速度、流量等参数。

综上所述，复变函数的积分是复变函数论中的重要内容之一，它包括曲线积分、路径无关积分、格林公式等内容。

复变函数的积分在物理学和工程学中有广泛的应用，并为这些领域提供了一种描述和计算复杂问题的方法。

复变函数的积分是复变函数论基础知识，对于进一步研究复变函数的性质和应用具有重要意义。

复变函数与积分变换知识点总结

复变函数与积分变换知识点总结本文主要介绍复变函数与积分变换的相关知识点，包括基本概念、公式、定理及其应用。

复变函数是数学中重要的一门学科，它涉及到多种数学领域，如数学分析、微积分、拓扑学、数论等，具有广泛的应用价值和重要性。

一、复变函数和复数复变函数是指将复数作为自变量和函数值的函数，也就是输出值为复数的函数。

在复平面上，复数可以表示为 x+yi 的形式，其中 x 和 y 分别表示实部和虚部，i 是虚数单位。

从图形上看，复数可以看成是在平面坐标系上的点，其中实部 x 对应水平方向，虚部 y 对应垂直方向。

二、重要公式和定理1. 欧拉公式：e^(iθ)=cosθ+isinθ欧拉公式是复数理论中非常重要的公式，它表明了复数极坐标形式和直角坐标形式之间的关系。

欧拉公式常常被用来化简复数幂、求解复数方程等等。

2. 柯西-黎曼条件柯西-黎曼条件是指函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在某一点处可导的充分必要条件。

它包括两个部分：一是实部和虚部的偏导数存在且相等；二是实部和虚部的偏导数在该点处连续。

3. 洛朗级数洛朗级数是指将复变函数在一个环域上展开成为一定形式的级数，它可以看成是泰勒级数的一种推广形式。

洛朗级数可以用来处理复变函数的奇点、留数及边界值等问题。

4. 度量定理度量定理是指一个可积函数的形式化定义，它对于研究函数的特殊性质和进行积分变换有很重要的作用。

度量定理是复变函数理论中的一个基本定理，它可用来刻画单复变函数的局部和全局性质。

三、应用及例子复变函数和积分变换广泛应用于数学、物理、工程、计算机科学等领域。

其中，最为著名的应用包括热传导方程、电动力学、量子力学等等。

下面列举一些具体的例子：1. 应用于调制技术调制技术是指将信息信号通过某种方式转换成为载波信号，以达到传输信号的目的。

而在调制过程中，使用的正交变换中的基函数，就是一种特殊的复变函数。

2. 应用于信号处理信号处理是指对信号进行数字化、滤波、噪声抑制等一系列工作，以提高信号的质量和准确度。

复变函数与积分变换知识点总结

复变函数与积分变换知识点总结复变函数与积分变换是数学中重要的概念和工具，广泛应用于物理、工程、经济等领域。

复变函数是指定义在复平面上的函数，具有复数作为自变量和函数值，积分变换是指通过对函数进行积分操作来获得新的函数。

本文将对复变函数与积分变换的相关知识进行总结，包括复变函数的定义与性质、积分变换的定义与性质、常见的复变函数以及常见的积分变换。

一、复变函数的定义与性质1. 复变函数的定义：复变函数是指定义在复平面上的函数，具有复数作为自变量和函数值。

一般来说，复变函数可以写成f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy表示复平面上的点，u(x,y)和v(x,y)分别是实部和虚部函数。

2.复变函数的性质：（1）连续性：复变函数在复平面上连续，当且仅当实部和虚部函数分别在该点连续。

（2）可微性：复变函数在复平面上可微，当且仅当实部和虚部函数具有一阶连续偏导数，并满足复合函数的求导法则。

（3）调和函数：实部和虚部函数都是二阶偏导数连续的函数，若满足拉普拉斯方程△u=0，则称u(x,y)为调和函数。

二、积分变换的定义与性质1. 积分变换的定义：积分变换是一种将函数通过积分操作转换为另一种函数的方法。

一般来说，积分变换可以写成F(s)=∫f(t)e^(-st)dt，其中s为复变量，f(t)为原函数。

2.积分变换的性质：（1）线性性：积分变换具有线性性质，即对于常数a和b，以及函数f(t)和g(t)，有积分变换[a*f(t)+b*g(t)](s)=a*F(s)+b*G(s)。

（2）平移性：若对于函数f(t)，其积分变换为F(s)，则e^(at)*f(t)的积分变换为F(s-a)。

（3）卷积性：若函数f(t)和g(t)的积分变换分别为F(s)和G(s)，则f(t)*g(t)的积分变换为F(s)*G(s)。

三、常见的复变函数1. 复指数函数：复指数函数的表达式为e^(z)=e^(x+iy)=e^x*cos(y)+ie^x*sin(y)，其中x和y分别是实部和虚部。

复变函数积分的几种计算方法

复变函数积分的几种计算方法《复变函数积分的几种计算方法》一、概述求解复变函数积分是数学分析中一个重要问题，复变函数积分是指将某个复变函数沿定义域内任意等距离曲线积分计算。

复变函数积分拥有广泛的应用范围，可以应用在物理、化学等多种领域，它具有很高的实用性和重要的实现意义。

对于复变函数的积分可以采用传统的计算机算法，也可以采用其他算法，以求解复变函数积分的效率和精度。

二、求积法求积法是常用的复变函数积分的计算方法，它是通过求某个复变函数的定义域内等距离曲线上每个“小段”积分值来计算函数积分。

求积法对于多元复变函数积分计算效率较低，但是具有很高的通用性和稳定性，是初学者最容易掌握的求复变函数积分的算法。

三、数值积分法数值积分法是将复变函数的积分问题转化为求解多个方程组解的问题，采用数值方法求解复变函数积分一般包括前向梯形法、中间梯形法、各向同性梯形法和后向梯形法。

可以采用牛顿-拉夫逊数值积分法，以及几何素数、拉格朗日插值等数值计算方法，解决复变函数积分问题。

四、函数解析法函数解析法是指采用函数解析的方法，如积分变换、参数替换等，并结合某些函数的性质，求解复变函数的积分问题。

目前，微积分的教科书中有许多常见求积公式，这些常见求积公式可以帮助解决复变函数积分问题。

五、蒙特卡洛法蒙特卡洛法是指采用概率论中熵学原理，采用大数定律等方法，计算复变函数的积分。

蒙特卡洛法可以避免上述几种方法在求解某些复变函数积分问题时所出现的不精确的结果，可以改善复变函数积分计算的精度和效率。

除此之外，蒙特卡洛法还可用于计算多元复变函数的积分。

六、结论复变函数的积分法有很多，上述介绍了几种常用的求解复变函数积分的方法，并对其优缺点作了论述。

综上所述，计算复变函数积分一般应对函数特点、计算所采用的算法特点等方面进行选择，确定最合适的求解方法。

关于复变函数求积分的方法总结

关于复变函数求积分的⽅法总结1. 利⽤参数化求解考虑实变函数积分中的第⼀型曲线积分——，选择合适的参数化表示曲线——，进⽽进⾏计算。

在计算积分的时候，注意在换元的时候不要漏了中对u、v的求导。

适⽤情况：积分函数⽆奇点，参数化便于寻找，⼀般为圆或者椭圆。

2. 利⽤柯⻄积分定理计算若是闭环积分，对于环内⽆奇点时，可以利⽤柯⻄积分定理，进⾏计算。

适⽤情况：闭环积分，环内⽆奇点。

3. 利⽤柯⻄积分公式/留数定理进⾏计算前两种情况适⽤范围较⼩，条件较严格。

⼤多数复变函数可能都含有奇点，或是不容易寻找合适的参数化。

⾯对有奇点的函数，我们可以应⽤柯⻄积分公式/留数定理进⾏计算。

由于留数定理的本质就是柯⻄积分公式，并且其⽤更统⼀的形式表述了柯⻄积分公式的结论，所以以下的讨论均使⽤留数定理进⾏说明。

留数定理——关键：留数的计算判断是否为孤⽴奇点只有孤⽴奇点才有留数，没有定义的点不⼀定为孤⽴奇点，如。

极点粗略估算极点的阶：在分⺟零点次数总和 - 分⼦零点次数总和。

关于零点次数，可以通过“求⼏次导不为0”判断。

需要注意的是，极点的阶数可能受到分⺟其他项与分⼦的影响，以及函数本身性质影响，如中，z = 0是的2次零点，是分⺟的4次零点，但也是分⼦的3次零点，所以z = 0是该级数的1阶零点。

确定极点的阶，使⽤公式，当为⾮零且有限值时，极点的阶为n。

本性奇点此时只能将函数展开为洛朗级数，获得。

类型⼀：从0到的三⻆积分将、进⾏换元，与。

适⽤范围：积分区间为0到。

类型⼆：从0到的三⻆积分将换成，将换成。

适⽤范围：积分区间为0到，且除了三⻆函数的部分应该为偶函数或者奇函数。

与类型⼀区别：当z趋近于时，、不⼀定有界，⽆法满⾜类型⼀的条件。

类型三：从到的积分寻找上半平⾯与实轴上奇点上半平面奇点实轴上奇点适⽤范围：普适性最强，所有积分区间为到的积分最后都可以⽤该公式解决。

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