高等数学11单元第八章常微分方程

授课11单元教案

第一节微分方程的基本概念

教学过程

一、引入新课

初等数学中就有各种各样的方程：线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后求取方程的解。

方程的定义：含有未知数的的等式。它表达了未知量所必须满足的某种条件。根据对未知量所施行的数学运算的不同，我们可以将方程分成许多不同的类型来研究。

引例1

二、新授课

1、微分方程的定义：

含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程

如果未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程式；如果未知函数是多元函数的微分方程式称为偏微分方程。

例如，22;d y

x y x dx

=+=dx 和是常微分方程dy

z

xy x

∂=∂是偏微分方程. 微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程式的阶。 一阶微分方程的一般形式为 (,,)0F x y y '= 例如：2

3

5

4

()0y x y x '+-=，2(

)20dy dy

x y x dx dx

-+=都是一阶微分方程。 二阶微分方程的一般形式为 (,,,)0

F x y y y '''= 例如：222sin 0d y dy

y

x dx dx

-+=，2223()(2)y k y '''=+都是二阶微分方程。 类似可写出n 阶微分方程的一般形式 ()(,,,,)0n F x y y y y '''=。其中F 是n +2个变

量的函数。这里必须指出，在方程()(,,,,

)0n F x y y y y '''=中，()n y 必须出现，而,,,x y y '

(1),n y y -''等变量可以不出现。例如()()n y f x =也是n 阶微分方程。

例1 ．指出下列方程中哪些是微分方程，并说明它们的阶数：

1

22

22222

2(1) 0; (2) 2;

(3) sin 0; (4) 3;

(5) '''3; (6) ;

(7) '''(')0. t dy y dx y y x d y

xdy y xdx y e dt y

y y x dy dx x y xy y -==++=+=+==+-=

2、微分方程的解

能够满足微分方程的函数都称为微分方程的解 求微分方程的解的过程，称为解微分方程

例如，函数3

x 16

是微分方程22d y x dx =的解。

如果微分方程的解中含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相

同，这样的解称为微分方程的通解。通解即为在一定范围内就是方程的所有解的一个共同表达式。

例如 3

12x C x C ++1y=6

是微分方程22d y x dx =的通解。

在通解中，利用附加条件确定任意常数的取值，所得的解称为该微分方程的特解，这种

附加条件称为初始条件，例如微分方程22d y x dx

=，初始条件'

(0)1,(0)2y y ==，则满足初

始条件的特解为

321x x ++1y=6

。 带有初始条件的微分方程称为微方程的初值问题。

微分方程的通解不一定包含所有的解，不在通解中的解称为奇解。 由于微分方程的解是通过积分而获得的，所以我们也把微分方程的解称为微分方程的积分曲线，把通解称为微分方程的积分曲线族。

微分方程的解根据函数的形式可分为显式解和隐式解。

例2 验证下列函数(其中C 为任意常数)是否是相应的微分方程的解，是通解还是特解：

222(1) '2,,;

(2) '',sin ,3sin 4cos ; (3) 2,,.

x x

xy y y Cx y x y y y x y x x dy y y e y Ce dx

====-==-=== 如果微分方程中关于未知函数及其导数()(),"(),...,()n t x t x t '

x(t),x

是一次有理整

式，则称方程是线性的，称它是n 阶线性微分方程，一般形式为：

(1)'11()()()()()()()()n n n t a t x t a t x t a t x t f t --++⋅⋅⋅++=(n)x

如果≡f(t)0，则称为n 阶线性齐次方程；否则称为线性非齐次方程，这时称f(t)为线性方程的非齐次项。

如果微分方程不是线性的微分方程，则称为非线性方程。 三、小结

微分方程定义及概念：微分方程的阶，通解，特解， 四、练习

课堂完成P97 2

第二节 常微分方程的分离变量法

可分离变量的微分方程

（1）可分离变量的微分方程：形如()()f x g y =dy

dx

称为可分离变量的微分方程，其特点是方程的左端可分离为只含x 的函数f(x)与只含y 的函数g(y)的乘积。

（2）可分离变量的微分方程的求解步骤： 第一步 分离变量为 g(y)dy =f(x)dx

第二步 将上式两端积分得： =⎰⎰

g(y)dy f(x)dx 设G (y).F(x)分别为g(y)、f(x)的原函数，则得微分方程()()f x g y =⋅dy

dx

的通解为 ()()G y F x C =+

例1 求解方程

x

y dx dy = 解 分离变量，方程化为

x

dx y dy = 两端积分，即得通积分 1ln ln C x y +=

或 Cx y ln ln = (C 0≠)

解出 ，得方程通解Cx y = (C 0≠) 另外，0=y 也是方程的解.所以在通解Cx y =中，任意常数C 可以取零. 练习:求微分方程2=dy

xy dx

的通解 例2 求解方程

0)1()1(22=-+-dy x y dx y x

解 首先，易见1±=y ，1±=x 为方程的解.其次，当0)1)(1(2

2≠--y x 时，

分离变量得