高中常见数列的公式及经典例题

高中常见数列的公式及经典例题

等差数列

1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）

2．等差数列的通项公式：

d n a a n )1(1-+= =n a d m n a m )(-+或 n a =pn+q (p 、q 是常数))

3．有几种方法可以计算公差d 4．① d=n a －1-n a ② d =11--n a a n ③ d =m

n a a m

n -- 4．等差中项：,,2

b a b

a A ⇔+=

成等差数列 5．等差数列的性质： m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 等差数列前n 项和公式

6.等差数列的前n 项和公式 （1）2)(1n n a a n S +=

（2）2

)1(1d n n na S n -+= （3）n )2d

a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式

8.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:

（1） 利用n a ：当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值

当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值（2） 利用n S ：由n )2

d

a (n 2d S 12n -+=

二次函数配方法求得最值时n 的值 等比数列

1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：

1

-n n

a a =q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ， )0(1≠⋅⋅=-q a q

a a m

n m n 3．｛n a ｝成等比数列⇔

n

n a a 1+=q （+

∈N n ,q ≠0） “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．

5．等比中项：G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）. 6．性质：若m+n=p+q ，q p n m a a a a ⋅=⋅

7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法

8．等比数列的增减性：

当q>1, 1a >0或01, 1a <0,或00时, {n a }是递减数列; 当q=1时, {n a }是常数列; 当q<0时, {n a }是摆动数列; 等比数列前n 项和

等比数列的前n 项和公式：

∴当1≠q 时，q

q a S n n --=1)

1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ②

当q=1时，1na S n =

当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式②.

数列通项公式的求法

一、定义法

直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．

例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，2

55a S =．求数列{}n a 的通项公式. 解：设数列{}n a 公差为)0(>d d

∵931,,a a a 成等比数列，∴912

3

a a a =， 即)8()2(112

1d a a d a +=+d a d 12

=⇒

∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①

∵2

55a S = ∴211)4(2

4

55d a d a +=⋅⨯+

…………② 由①②得：5

3

1=

a ，53=d

∴n n a n 5

3

53)1(53=⨯-+=

点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。

二、公式法

若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨

⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2

1

11n S S n S a n n n 求解。

例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n

n n ．求数列{}n a 的通项公式。

解：由1121111=⇒-==a a S a

当2≥n 时，有

,)1(2)(211n

n n n n n a a S S a -⨯+-=-=-- ,)1(22221----⨯+=n n n a a ……，.2212-=a a

经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3

212

---+=

n n n a 点评：利用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-21

1n S S n S a n n

n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．